直线上独立随机环境中的随机游动[1]
- 格式：pdf
- 大小：452.47 KB
- 文档页数：5
文档推荐
-
直线上独立随机环境中的随机游动[1]页数:5
-
一类随机环境下随机游动的常返性页数:6
-
一类时间随机环境中随机游动页数:6
下载文档原格式
合集下载
一类随机环境中的随机游动
粉 ∑
一
（ ２）
这里 由过程的定义可知 当 ｚ ａ时 ， 辛 （ ） ０Ｐ （） ｌ当 ｚ三 ｂ ， ｊ ｚ ： ｌ Ｐ ｚ 一 ， ・ ｚ 一 ； 三 时 Ｐ ＝ （） ，
Ｐ ｔ ｚ） ＝ ０ ］（ ．
ｌ
返性准 则和 一些 极 限性 质 ．
关键词 随 机 环境 ；随机 蝣 动 ；常 返性 ；首 中 时
中图分 类号
Ｏ ２ １ ６ １．２
文 献 标识 码
Ａ
Ｘ■
一
ｔ
随 机 环 境 中 的 随 机 过 程 是 概 率 论 的 一 个 新 的 分 枝 ， 机 环 境 中 的 随 机 游 动 （ 记 为 随 简
维普资讯
第 ３ 期
柳 向 东 等 ： 类 随 机 环 境 中 的 随 机 游 动 一
・９ ２ ９・
（ 若∑ 。 一 ． 。且∑ ，… ｉ ） （ 。 ） 一。， … 一 ＜。， ｉ… Ｘ 一。 ａ ． 。 。 则ｌ ａ ｒ ． ｃ ． ｅ （） ｉ 若∑二 （ … ） 一ｏ， ｊ ． ． 。 且∑二 一。， 一ｏ 一ｌ ｎ—Ｘ ＜ ｌ 一 … 。则 。 ｉ ｆ ，． ｉ ｍ｛Ｉ ｎ
与 Ｓ ｌ ｎ一致 的 结果 ． ｏｏ ｍｏ
定义 ｌ 设 ｛ ， ，． ， ∈ ｚ） 为 概 率 空 间 （ ， （ 。 ）） ， ， ０， Ｐ） 卜的 一 列 随机 向 量 ， 中 （ ， 其 ／） ｝
独 立 同分 布 ， ｅ一 ｛ ， ，． ， ∈ ｚ）定 义 在 ｚ上 的 ． 足 ｒ 记 （ 。 ）） ， 满 列条 件 为 Ｒ Ｉ Ｗ ＲＥ：
（ｉ ｉ）如果 Ｅｏ ａ＞ ０ 则 ｌ … 。一 一 ∞ Ⅱ ｅ ｉ ｌｇ ， ｉ ａ ｒ ．．
[理学]2-3 Bonulli试验和直线上的随机游走_OK
![[理学]2-3 Bonulli试验和直线上的随机游走_OK](https://img.taocdn.com/s1/m/5539bbe1a2161479171128ff.png)
16
2.二项分布
根据乘法原理，A 要在 n 次试验中恰好发生 k 次， 由三个步骤组成： 哪 k 次试验 → A 发生 k 次 → A 不发生 n – k 次
因此，当P (A 发生) = p， P (A 不发生) = q = 1 – p ， 每次试验的结果要么 A 发生，要么 A 不发生。独立重复 进行 n 次试验，其中 A 恰好发生 k 次的概率是：
则称试验E1，E2，…，Eｎ是相互独立的.
5
例如: 1. n次有放回摸球所构成的n个试验是相
互独立的； 2. n次不放回摸球所构成的n个试验不
独立。
6
例 若试验E1是掷一枚硬币，=1 {正,反} ，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中 摸出一球，=2 {红,白,黑}，则复合试验E 表示先掷一枚硬币再一球，它相应的样
建议： 1. 用r:s来分配 2.用最终甲乙取胜的概率P甲：P乙来分配
25
分析：
• 甲若想获胜，需要再胜n=t-r局 • 乙若想获胜，需要再胜m=t-s局 • 记A={甲获胜},P(A)=p,P(Ac)=q • 甲若想获胜，当甲再胜n局时，乙再胜的局数k<m
局，即A的第n次成功发生在第n+k次(k<m)试验
例：布朗运动的近似 股票价格涨落和汇率变化
29
无限制随机游动模型：
sn 为质点在ｔ＝ｎ时刻的位置
{sn k}
表示ｔ＝ｎ质点位于Ｋ，即其向右移动 的次数比向左移动多了K次
Ｘ为前ｎ次移动中向右移动的次数 Ｙ为前ｎ次移动中向左移动的次数
ｘ＋ｙ＝ｎ Ｘ－ｙ＝ｋ
Ｘ＝（ｎ＋ｋ）／２ （整数）
即ｋ与ｎ必具有相同的奇偶性
C p q k
k nm1k
nm1
k n
2.二项分布
根据乘法原理，A 要在 n 次试验中恰好发生 k 次， 由三个步骤组成： 哪 k 次试验 → A 发生 k 次 → A 不发生 n – k 次
因此，当P (A 发生) = p， P (A 不发生) = q = 1 – p ， 每次试验的结果要么 A 发生，要么 A 不发生。独立重复 进行 n 次试验，其中 A 恰好发生 k 次的概率是：
则称试验E1，E2，…，Eｎ是相互独立的.
5
例如: 1. n次有放回摸球所构成的n个试验是相
互独立的； 2. n次不放回摸球所构成的n个试验不
独立。
6
例 若试验E1是掷一枚硬币，=1 {正,反} ，试验E2是从装有红白黑三球的袋子中 摸出一球，=2 {红,白,黑}，则复合试验E 表示先掷一枚硬币再一球，它相应的样
建议： 1. 用r:s来分配 2.用最终甲乙取胜的概率P甲：P乙来分配
25
分析：
• 甲若想获胜，需要再胜n=t-r局 • 乙若想获胜，需要再胜m=t-s局 • 记A={甲获胜},P(A)=p,P(Ac)=q • 甲若想获胜，当甲再胜n局时，乙再胜的局数k<m
局，即A的第n次成功发生在第n+k次(k<m)试验
例：布朗运动的近似 股票价格涨落和汇率变化
29
无限制随机游动模型：
sn 为质点在ｔ＝ｎ时刻的位置
{sn k}
表示ｔ＝ｎ质点位于Ｋ，即其向右移动 的次数比向左移动多了K次
Ｘ为前ｎ次移动中向右移动的次数 Ｙ为前ｎ次移动中向左移动的次数
ｘ＋ｙ＝ｎ Ｘ－ｙ＝ｋ
Ｘ＝（ｎ＋ｋ）／２ （整数）
即ｋ与ｎ必具有相同的奇偶性
C p q k
k nm1k
nm1
k n
第7章 Brown运动
定义： 设函数f(t)在 ， 上有定义 上有定义， 定义 设函数 在[0，T]上有定义，在[0，T]上定义一个 ， 上定义一个 剖分Π
0 = t0 < t1 < L < t N = T
N −1 k =0
则相应于剖分Π, f(t)的二次变差定义为 的二次变差定义为
QΠ =
∑
f
(t k +1 ) −
{
}
的条件下， 设s<t，在给定 ，在给定B(t)=x0的条件下，B(s)的条件密度 的条件密度 函数为
f B( s ) B( t ) ( x x0 ) = 1 = 2π s 1 = 2π s t = s f B( s ), B( t ) ( x, x0 ) f B( t ) ( x0 ) f s ( x ) ft − s ( x0 − x ) = ft ( x0 )
第七章 Brown运动 运动
第一节 基本概念与性质
一、直线上的随机游动 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△ 时间， 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t 时间，等 概率地向左或向右移动△ 的距离 的距离。 表示时刻t粒子的 概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻 粒子的 表示时刻 位置，则 位置，
( B ( t ) ,L , B ( t ) )
1 n
的联合密度函数为
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ft1 ( x1 ) f t2 −t1 ( x2 − x1 )L ftn −tn−1 ( xn − xn −1 )
其中
1 ft ( x ) = e 2π t , 服从n维正态分布 维正态分布。 由此可以看出 ( B( t1 ) ,L B( tn ) ) 服从 维正态分布。
0 = t0 < t1 < L < t N = T
N −1 k =0
则相应于剖分Π, f(t)的二次变差定义为 的二次变差定义为
QΠ =
∑
f
(t k +1 ) −
{
}
的条件下， 设s<t，在给定 ，在给定B(t)=x0的条件下，B(s)的条件密度 的条件密度 函数为
f B( s ) B( t ) ( x x0 ) = 1 = 2π s 1 = 2π s t = s f B( s ), B( t ) ( x, x0 ) f B( t ) ( x0 ) f s ( x ) ft − s ( x0 − x ) = ft ( x0 )
第七章 Brown运动 运动
第一节 基本概念与性质
一、直线上的随机游动 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△ 时间， 设一粒子在直线上随机游动，即粒子每隔△t 时间，等 概率地向左或向右移动△ 的距离 的距离。 表示时刻t粒子的 概率地向左或向右移动△x的距离。以X(t)表示时刻 粒子的 表示时刻 位置，则 位置，
( B ( t ) ,L , B ( t ) )
1 n
的联合密度函数为
f ( x1 , x2 ,L , xn ) = ft1 ( x1 ) f t2 −t1 ( x2 − x1 )L ftn −tn−1 ( xn − xn −1 )
其中
1 ft ( x ) = e 2π t , 服从n维正态分布 维正态分布。 由此可以看出 ( B( t1 ) ,L B( tn ) ) 服从 维正态分布。
直线上独立随机环境中的随机游动
线 上 的 ＲＷＩ Ｅ则假 定 环境 是 随 机 变化 ， 有 ∈ｚ Ｒ 即
得 本 引理 ．
（ 全体 整 数 ） 处转 移 概 率 Ｐ…＋ 是 随机 变化 ， 为 随 。 称 机 环 境 ． Ｖ．Ｋｏ ｌｖ 在 文 献 ［ ］中 首 先 提 出 Ｍ． ｚｏ １ ＲＷＩ ＲＥ， 后 Ｓ ｌｍｎ在 文 献 ［ ］ 其 ｏｏ ２ 中研 究 环 境 是 独
Ｓ ” 一 ｌｇ ｏｐ
主 要 结果 如 下 ： 定理 １ 设 ｛ 为 独立 随机 变 量 序列 ， ａ）
（ ） １ （ ） ２
Ｐ（ Ｘ卅 ｌ — ０ Ｘ１ ｉ， ， 一 一 ｉ ｌ Ｘ — Ｉ Ｘ０ ， 一 １ … Ｘ １ ， 一
ｆ Ｊ一 十 ｌ ｌ
—
引理 １ 若 对 几 乎 所 有 的 环 境 ， ≥ ０在 此 Ｘ ， 环境 下 某 一 性 质 成 立 ， 直 线 上 ＲＷＩ Ｅ几 乎 必 然 则 Ｒ
具 有此 性 质 ．
证
完 全类 似 文 献 ［ ］ ２ 中定 理 ０ １的 证 明可 证 ．
点 处 确定 一 个环 境 ， 质点 按 确定 的环境 作 运 动 ， 而直
文 章 编 号 ： ２ ３ ９ ８ （ ０ ２ ０ — ５ ９ ０ ０ ５ — ８ ８ ２ ０ ） ５０ ３ — ５
直线 上独立随 机环境 中 的随 机 游动
毛 明志 ，胡 亦 钧
（ 汉 大 学 数 学与 统计 学 院 ， 北 武 汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ２
摘
要 ：主要 讨 论 直 线 上 独 立 随 机 环 境 中 的 常 返 性 和非 常 返 性 ， 进 一 步 研 究 常 返 性 中 的正 常返 和零 常 返 ， 并 非
的 ， 际 上 有 实
得 本 引理 ．
（ 全体 整 数 ） 处转 移 概 率 Ｐ…＋ 是 随机 变化 ， 为 随 。 称 机 环 境 ． Ｖ．Ｋｏ ｌｖ 在 文 献 ［ ］中 首 先 提 出 Ｍ． ｚｏ １ ＲＷＩ ＲＥ， 后 Ｓ ｌｍｎ在 文 献 ［ ］ 其 ｏｏ ２ 中研 究 环 境 是 独
Ｓ ” 一 ｌｇ ｏｐ
主 要 结果 如 下 ： 定理 １ 设 ｛ 为 独立 随机 变 量 序列 ， ａ）
（ ） １ （ ） ２
Ｐ（ Ｘ卅 ｌ — ０ Ｘ１ ｉ， ， 一 一 ｉ ｌ Ｘ — Ｉ Ｘ０ ， 一 １ … Ｘ １ ， 一
ｆ Ｊ一 十 ｌ ｌ
—
引理 １ 若 对 几 乎 所 有 的 环 境 ， ≥ ０在 此 Ｘ ， 环境 下 某 一 性 质 成 立 ， 直 线 上 ＲＷＩ Ｅ几 乎 必 然 则 Ｒ
具 有此 性 质 ．
证
完 全类 似 文 献 ［ ］ ２ 中定 理 ０ １的 证 明可 证 ．
点 处 确定 一 个环 境 ， 质点 按 确定 的环境 作 运 动 ， 而直
文 章 编 号 ： ２ ３ ９ ８ （ ０ ２ ０ — ５ ９ ０ ０ ５ — ８ ８ ２ ０ ） ５０ ３ — ５
直线 上独立随 机环境 中 的随 机 游动
毛 明志 ，胡 亦 钧
（ 汉 大 学 数 学与 统计 学 院 ， 北 武 汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ２
摘
要 ：主要 讨 论 直 线 上 独 立 随 机 环 境 中 的 常 返 性 和非 常 返 性 ， 进 一 步 研 究 常 返 性 中 的正 常返 和零 常 返 ， 并 非
的 ， 际 上 有 实
一类随机环境中的随机游动
Ｏ １
ｙｌ ０
０
Ｏ ｒ １ ｙ ２
…
０ 口 ２
ｙ
口
记状 态空 间为 （ ， ， 中 Ｖ—Ｚ ， 上分 布记为 Ｐ ， Ｐ—Ｐ Ｐ 为 （ Ｖ 量） 其 其 ：则 ｏ ： ｎ×Ｖ Ｏｘｍ ＿ ８分布 ． ， ）Ｌｆ
／ ０ 上 的推移 ０ 义为 （ ） 一∞ ． ｛） 定 钆 抖
同［］ １可证 这类 ＲｗＩ ＲＥ是存 在 的 ，ｆｐ＝ 假设 ｉ ． ￣ ｌ
，
［ 收稿 日期 ］２ ０ —９１ ０ ５０ —２ ［ 基金项 目］安徽省高校青年教师资助计划项 目（ ｏ ７ １６ ） ２ ｏｊ １２ ｑ
维普资讯
第 ２期
（ Ａ ）Ｐ平 稳遍 历 ；
定义在Ｚ ＝ ｛ ，， ， 上 的 Ｒ ０ １２ …） ＷＲ Ｅ 是
Ｐ（ 一 ０ 一 １ ） ，
Ｐ Ｘ ＋ 一 ｌ ＝０ Ｘ１ １ … ， １ １ Ｘ 一ｉ∞ （ １ Ｘ０ ， 一ｉ， Ｘ 一 一ｉ ， ， ） 一
ｆ ∞，
Ｉ
— １ ＋ ，
Ｉ ， 一ｉ １ － ，
给 出非 常 返 、 常 返 、 常返 的充 要 条 件 ， 正 零 并讨 论 了 极 限性 质 ． 为 推 论 ， 出 Ｐ独 立 同分 布 时 的相 应 结 论 ． 作 给 １ 键词］随机环境 ； 机游动 ； ［ 关 随 常返 性 ； 常 返 ； 稳 ； 历 非 平 遍 ［ 图分 类号 ］ Ｏ １ ． ２ 中 ２ １６ ［ 文献 标 识 码 ］ Ａ ［ 章编 号］ １７ —４ ４ ２ ０ ）２０ ０ —５ 文 ６ ２１ ５ （０ ７０ —１ ８０
由遍 历性 ， （ ＜。 ） ． 以ｌ ｕ Ｘ ＜ 。 Ｐ—ａ ｓ 由假 设 （ ） Ｐ（ 一１ 一０ 所 以 Ｘ Ｐ Ｎ。 。 一１ 所 ｉ ｓ ｐ 。， ａ ｒ ．． Ａ３ ， ） ， 常返 ．
ｙｌ ０
０
Ｏ ｒ １ ｙ ２
…
０ 口 ２
ｙ
口
记状 态空 间为 （ ， ， 中 Ｖ—Ｚ ， 上分 布记为 Ｐ ， Ｐ—Ｐ Ｐ 为 （ Ｖ 量） 其 其 ：则 ｏ ： ｎ×Ｖ Ｏｘｍ ＿ ８分布 ． ， ）Ｌｆ
／ ０ 上 的推移 ０ 义为 （ ） 一∞ ． ｛） 定 钆 抖
同［］ １可证 这类 ＲｗＩ ＲＥ是存 在 的 ，ｆｐ＝ 假设 ｉ ． ￣ ｌ
，
［ 收稿 日期 ］２ ０ —９１ ０ ５０ —２ ［ 基金项 目］安徽省高校青年教师资助计划项 目（ ｏ ７ １６ ） ２ ｏｊ １２ ｑ
维普资讯
第 ２期
（ Ａ ）Ｐ平 稳遍 历 ；
定义在Ｚ ＝ ｛ ，， ， 上 的 Ｒ ０ １２ …） ＷＲ Ｅ 是
Ｐ（ 一 ０ 一 １ ） ，
Ｐ Ｘ ＋ 一 ｌ ＝０ Ｘ１ １ … ， １ １ Ｘ 一ｉ∞ （ １ Ｘ０ ， 一ｉ， Ｘ 一 一ｉ ， ， ） 一
ｆ ∞，
Ｉ
— １ ＋ ，
Ｉ ， 一ｉ １ － ，
给 出非 常 返 、 常 返 、 常返 的充 要 条 件 ， 正 零 并讨 论 了 极 限性 质 ． 为 推 论 ， 出 Ｐ独 立 同分 布 时 的相 应 结 论 ． 作 给 １ 键词］随机环境 ； 机游动 ； ［ 关 随 常返 性 ； 常 返 ； 稳 ； 历 非 平 遍 ［ 图分 类号 ］ Ｏ １ ． ２ 中 ２ １６ ［ 文献 标 识 码 ］ Ａ ［ 章编 号］ １７ —４ ４ ２ ０ ）２０ ０ —５ 文 ６ ２１ ５ （０ ７０ —１ ８０
由遍 历性 ， （ ＜。 ） ． 以ｌ ｕ Ｘ ＜ 。 Ｐ—ａ ｓ 由假 设 （ ） Ｐ（ 一１ 一０ 所 以 Ｘ Ｐ Ｎ。 。 一１ 所 ｉ ｓ ｐ 。， ａ ｒ ．． Ａ３ ， ） ， 常返 ．
半直线上时间随机环境中随机游动的渐近性质
２０ 年 ５月 ０ｒ ７
半 直 线 上 时 间 随机 环 境 中 随机 游 动 的渐 近性 质
胡 学 平
（ 安庆师范学 院 数学 与计算科 学学 院 ， 安徽省 安庆 ２ ６ １ ） ４ ０ １
摘要 ： 给出了半直线上时间随机环境下随机游动的模 型， 并利用马 氏链理论研 究 了该随机游 动 的常返 暂 留准则 和依 概 率 收敛 的大数定 律 ，得 到在 非 常返 情形 下 的 中心极 限定 理 ． 关键词 ： 随机环境 ； 随机游动； 常返 ； 大数定律；中心极限定理 中图分 类号 ：０ １．２ ２ １６ 文 献标识 码 ： 文 章编 号 ： ６ １ ４ ９ ２０ ）３０ ３ － Ａ １７ － ８ （０ ７ ０ －３ ９０ ５ ５
ｔｅ ｒ ｈ ｎ ｈ ｇ ｔ ｉ ｅ，ｔ ｅ ｈ ｔｄ ｅ ｂ ｕ ｅ ｕ ｌ ｎ ｅ ｔ ｎ ｉｎ ｅ ｃ ｔｒａ ａ ｄ ｌ ｔｔ ｅ ｒ ｍ ｙ ｕ ｉ ｇ ｓ ｍｅ ｒ ｌｔ ｅ ｉ ｌ ｈ ｎ ｔ ｅ ｓｕ ｉｓ ａ ｏ ｔｒ ｃ ｒ ｃ — ａ ｓｅ ｃ ｒ ｅ ｎ ｉ ｈ ｏ ｅ ｂ ｓｎ ｏ ｅ ａｉ ￣ ｒ ｉ ｉ ｍｉ ｖ ｈ ｏ ｉ ｆＭａ ｋ ｖ ｃ ａ ｎ ， ｔ ｅ ｒ ｓｏ ｒ ｏ ｈ ｉ ｓ ａ ｄ ｆ ａｌ ｅ ｔｒｌ ｔ ｅ ｒｍ ｆ ｉ ａ ｄ ｍ ａ ｋ ｎ ｔｅ ｎ ｎ ｒ ｃ ｒｅ ｃ ａ ｅ ｅ ｎ ｎ ｌ ａ ｃ ｎ ｅ ｍｉ ｔ ｏｅ ｏ ｓｒ ｏ ｗ ｌ ｓｉ ｏ — ｕ ｒ ｎ ｅ ｃ ｓ ． ｉ ｙ ｉ ｈ ｈ ｔ ｎ ｈ ｅ
Ａｓ ｍ ｐ ｏ ｉ ｏ ｅ ｔｅ ｏ ｎｄ ｍ ａ ｋ ｎ Ｔｉ ｅ ｒ ｎ ｏ ｙ ｔ ｔｃ Ｐｒ ｐ ｒ ｉ ｓ ｆ ｒ Ｒａ ｏ Ｗ ｌ ｓ ｉ ｍ － ａ ｄ ｍ Ｅｎ ｉ ｏ ｍ ｅ ｔ ｎ ｔ ｅ Ｒｉ ｈｔＬｉ ｅ ｖｒ ｎ ｎ ｓ ｏ ｈ ｇ ｎ
随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明
，
能的跳幅，给出 （ ， ） Ｑ 上的一列随机变量 （ ） ， Ｐ Ａ 且满足 ∑ Ｐ ｗ ＝１ －．， ） ， ａ． ｅ 及椭圆条件
￡＞０ Ｖ ， ∈Ａ ≠０ （ｚｐ ） ￡ —．． ， ， Ｐ ／Ｒ ， ａ ． ｅ
收稿 日 期： ０ ８ ０ —５ 修订 日 ： ０ ９１ —９ ２ ０ —５１ ； 期 ２ ０ ２２
让 ７Ｍ ， 是 Ｍ 关于 （ ， Ｔ 的最大 的 Ｌａ ｏｎｖ指数 ．在 Ｌ中考 虑 Ｌ （ Ｔ） Ｑ， ， ） ｉｐ ｕ ｏ 范数 ，
即 ｌ ｌ Ｃ：｛ １ ∈Ｒ ，ｉ ） ＬＸ ＞０ 和它与球面的交集：
种 直觉来 自于 电网络 中 电压与 概率 的联 系． 我 们先 简要 的介绍 一下模型 ， 文采用 Ｂ ６ ｎ ［ 中的记 号． 本 ｒｍｏ ｔ ］ 。 给定 可逆 的 动力系统 （ ， ， Ｑ ） 即概率 空 间 （ ， 和可逆 变换 ， ， Ｑ， ） 且 及其 逆都是 可 测的 ，且 保持测 度 ， 假定 关 于 是遍 历 的．这 里 的 Ｑ可看 为 随机环境 的空 间． 给 出两 个取 定的 整数 Ｌ １和 Ｒ １ 引入整 数集 合 Ａ＝ ｆ ， ， ， 们代表 游动 可 ， —Ｌ … Ｒ｝ 它
数学物理学报
２１，０ ２： ９ ２６ ００８ Ａ（ ２ －９ ）８ ｈｔ ： ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃＧ ｐ／ ｗ ｍ． ｎ
随机环境 中有界跳幅随机游动 常返性 暂 留性 的 另一 证 明
王 士东 洪文 明
（ 北京师 范大学数学科 学学院数 学与复杂系统实验 室 北京 １ ０ ７ ） ０ ８ ５
２０ ９
数
学 物
理
学
报
Ｖ１０ Ｏ３ ｌ． Ａ
能的跳幅，给出 （ ， ） Ｑ 上的一列随机变量 （ ） ， Ｐ Ａ 且满足 ∑ Ｐ ｗ ＝１ －．， ） ， ａ． ｅ 及椭圆条件
￡＞０ Ｖ ， ∈Ａ ≠０ （ｚｐ ） ￡ —．． ， ， Ｐ ／Ｒ ， ａ ． ｅ
收稿 日 期： ０ ８ ０ —５ 修订 日 ： ０ ９１ —９ ２ ０ —５１ ； 期 ２ ０ ２２
让 ７Ｍ ， 是 Ｍ 关于 （ ， Ｔ 的最大 的 Ｌａ ｏｎｖ指数 ．在 Ｌ中考 虑 Ｌ （ Ｔ） Ｑ， ， ） ｉｐ ｕ ｏ 范数 ，
即 ｌ ｌ Ｃ：｛ １ ∈Ｒ ，ｉ ） ＬＸ ＞０ 和它与球面的交集：
种 直觉来 自于 电网络 中 电压与 概率 的联 系． 我 们先 简要 的介绍 一下模型 ， 文采用 Ｂ ６ ｎ ［ 中的记 号． 本 ｒｍｏ ｔ ］ 。 给定 可逆 的 动力系统 （ ， ， Ｑ ） 即概率 空 间 （ ， 和可逆 变换 ， ， Ｑ， ） 且 及其 逆都是 可 测的 ，且 保持测 度 ， 假定 关 于 是遍 历 的．这 里 的 Ｑ可看 为 随机环境 的空 间． 给 出两 个取 定的 整数 Ｌ １和 Ｒ １ 引入整 数集 合 Ａ＝ ｆ ， ， ， 们代表 游动 可 ， —Ｌ … Ｒ｝ 它
数学物理学报
２１，０ ２： ９ ２６ ００８ Ａ（ ２ －９ ）８ ｈｔ ： ａｔｍｓ ｉ ａ． ｔ ／ ｃａ ． ｐ ｃＧ ｐ／ ｗ ｍ． ｎ
随机环境 中有界跳幅随机游动 常返性 暂 留性 的 另一 证 明
王 士东 洪文 明
（ 北京师 范大学数学科 学学院数 学与复杂系统实验 室 北京 １ ０ ７ ） ０ ８ ５
２０ ９
数
学 物
理
学
报
Ｖ１０ Ｏ３ ｌ． Ａ
§2.3伯努利试验随机游动
虑带有反射壁及弹性壁的随机游动等类型.
当 p = q = 1 时，随机游动称为是对称的，这时质点向 右或向左的概2 率是一样的. 这里只介绍两种最简单的随机
游动模型.
无限制的随机游动
假定质点在时刻0从原点出发，以 Sn表示它在时刻 t = n时的
位置. 为了使质点在时刻 t = n 时位于 y( k也可以是负整数 )，当且仅当在前 n 次游动中向右游动的次数（记为 x）比 向左游动的次数（记为 y）多 k 次.故有
以 f (k; r, p) 记其概率.
Ck 发生当且仅当前面的k-1 次试验中有 r -1 次出现成功， k - r 次失败，而在第 k 次试验的结果是成功，这两个事件的
概率分别为
C p q r−1 r−1 k −r k −1
和
p
利用试验的独立性得
f
(k;
r,
p)
=
Cr−1 k−1
pr−1qk−r
(2)事件A 在每次试验中出现的概率 p 保持不变.
(3)各次试验相互独立,
(4)共进行n次试验.
n 重伯努利试验的基本结果可以记作
ω = (ω1,ω2,",ωn )
其中 ω i 或者为A,或者为 A .这样的 ω 共有 2 n 个，这
2n 个样本点组成了样本空间 Ω .
设样本点 ω = (ω1 , ω2 ," , ω n ) 中有 k 个A ，n- k 个
并称出现 A 为“成功”，A 为“失败”.
这种只有两个结果的试验称为伯努利试验.
在伯努利试验中，首先要给出下面的概率：
P( A) = p, P( A) = q = 1− p. 其中： p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1.
当 p = q = 1 时，随机游动称为是对称的，这时质点向 右或向左的概2 率是一样的. 这里只介绍两种最简单的随机
游动模型.
无限制的随机游动
假定质点在时刻0从原点出发，以 Sn表示它在时刻 t = n时的
位置. 为了使质点在时刻 t = n 时位于 y( k也可以是负整数 )，当且仅当在前 n 次游动中向右游动的次数（记为 x）比 向左游动的次数（记为 y）多 k 次.故有
以 f (k; r, p) 记其概率.
Ck 发生当且仅当前面的k-1 次试验中有 r -1 次出现成功， k - r 次失败，而在第 k 次试验的结果是成功，这两个事件的
概率分别为
C p q r−1 r−1 k −r k −1
和
p
利用试验的独立性得
f
(k;
r,
p)
=
Cr−1 k−1
pr−1qk−r
(2)事件A 在每次试验中出现的概率 p 保持不变.
(3)各次试验相互独立,
(4)共进行n次试验.
n 重伯努利试验的基本结果可以记作
ω = (ω1,ω2,",ωn )
其中 ω i 或者为A,或者为 A .这样的 ω 共有 2 n 个，这
2n 个样本点组成了样本空间 Ω .
设样本点 ω = (ω1 , ω2 ," , ω n ) 中有 k 个A ，n- k 个
并称出现 A 为“成功”，A 为“失败”.
这种只有两个结果的试验称为伯努利试验.
在伯努利试验中，首先要给出下面的概率：
P( A) = p, P( A) = q = 1− p. 其中： p ≥ 0, q ≥ 0, p + q = 1.
第四章随机过程
设状态空间为 S ，一步转移概率为 P ，初始分布为 p i = P( X 0 = i ), i ∈ S 的齐次
Markov 链 {X n , n ≥ 0}，令 Pij( n ) = P ( X n + m = j X m = i ) = P (X n = j X 0 = i ), n ≥ 2 ，表示
证：
5
Pij( n ) = P( X n = j X 0 = i ) = ∑ P(τ ij = l , X n = j X 0 = i )
l =1 n n
= ∑ P(τ ij = l X 0 = i ) P( X n = j τ ij = l , X 0 = i )
l =1 n
= ∑ P(τ ij = l X 0 = i ) P( X n = j X 0 = i, X 1 ≠ j , L X l −1 ≠ j , X l = j )
4.4 常返与瞬过
在事件 {X 0 = i}上引入一个重要的概率 f ij( n ) ，表示从 i 出发在 n 步转移时首次 到达 j 的概率。用式子表示即是
f ij( 0) = 0, f ij( n ) = P( X n = j , X k ≠ j , k = 1, L n − 1 X 0 = i ) 。
i =1
(m) 定理 4.3.3 的一个直接推论是： 若 Pji > 0 ，存在正整数 N 使得对所有的 ( m + nd ( i )) n > N 恒有 Pji > 0。
定理 4.3.4：设 P 为不可约、非周期、有限状态 Markov 链的一步转移概率矩阵， 则存在正整数 N 使得当 n > N 时， n 步转移概率矩阵 P ( n ) 的所有元素都大于 0。
半直线上随机环境中随机游动的常返性和非常返性
＝
｛ ， ≥ １ ， 的每 个实 现称 为环 境 ． ａ， ｝它 同 ［］ 以证 明在 给定 的环境 下 的 Ｒ ＩＥ是 存在 的 ． １可 Ｗ Ｒ 固定 一 环境 ， 时 ｛ ， ≥ ０ 是 ｚ 此 Ｘ ｝ 上 的 简单 随
机游动 ， 为齐 次 马 氏链 ．
一
＝ ＝
０ ｎ ／
Ｘ ， ≥ ０是 ： ｎ Ｐ（ ｘｎ＝ ０ ）＝ １ ，
ａ ，Ｊ＝ ｉ＋ １ ，
Ｐ（ ＋ Ｘ １＝ Ｊ Ｉ Ｘｏ＝ ０ ｘ１ ｉ ， ， 一 ， ＝ １… Ｘｎ １＝ ｉ一 ， １ Ｘｎ＝ ｉ ａ ， ∈ Ｚ ） ；
，
Ｊ ＝ ｉ一 １ ａ ｓ ，．
０ 其它 情况 ， 其 中 ｉ， ｉ∈ Ｚ ｋ＝ １ … ， 一１０≤ ａ ≤ １ａ ＋ ＝ １称 随机 变量列 ｛ ， ≥ １ 为随 机环境 ， ｅ ， ， ， ， ， ａ， ｝ 记
．
环境 ．ｏ ｍｏ 文献 ［］中系统地 讨 论 了全直 线上 的 Ｒ Ｒ Ｓｌ ｎ在 ｏ １ ＷＩ Ｅ的性 质 ， 毕秋 香 在文献 ［］中讨 论 了半直 线上 ２ 的Ｒ Ｒ ＷＩＥ的有关性 质 ， 文献 ［ ，］ １２ 考虑 的都 是 随机 环境 为独 立 同分布 的情况 ， 献 ［］ 虑 的半直 线上 随机 文 ３考 环 境是 独立 的情 况 ． 文则 着重 讨论 一般 环境 下在 ０点上 具有 反射 壁 的右半直 线上 的 Ｒ ＩＥ的 常返性 和非 本 Ｗ Ｒ 常返性 ， 并将 这一 结果 推广 到 随机环 境是 独 立 的和独 立 同分 布的情形 ． 定义 １ 设 ａ ０＝ １ａ ， ≥ １ ， 为概 率空 间（ Ｆ， 上 的随机 变量序 列 ， ＝ ｛，， ， ｝ 的 Ｒ Ｒ ｎ， Ｐ） ｚ ０ １２ … 上 ＷＩ Ｅ
｛ ， ≥ １ ， 的每 个实 现称 为环 境 ． ａ， ｝它 同 ［］ 以证 明在 给定 的环境 下 的 Ｒ ＩＥ是 存在 的 ． １可 Ｗ Ｒ 固定 一 环境 ， 时 ｛ ， ≥ ０ 是 ｚ 此 Ｘ ｝ 上 的 简单 随
机游动 ， 为齐 次 马 氏链 ．
一
＝ ＝
０ ｎ ／
Ｘ ， ≥ ０是 ： ｎ Ｐ（ ｘｎ＝ ０ ）＝ １ ，
ａ ，Ｊ＝ ｉ＋ １ ，
Ｐ（ ＋ Ｘ １＝ Ｊ Ｉ Ｘｏ＝ ０ ｘ１ ｉ ， ， 一 ， ＝ １… Ｘｎ １＝ ｉ一 ， １ Ｘｎ＝ ｉ ａ ， ∈ Ｚ ） ；
，
Ｊ ＝ ｉ一 １ ａ ｓ ，．
０ 其它 情况 ， 其 中 ｉ， ｉ∈ Ｚ ｋ＝ １ … ， 一１０≤ ａ ≤ １ａ ＋ ＝ １称 随机 变量列 ｛ ， ≥ １ 为随 机环境 ， ｅ ， ， ， ， ， ａ， ｝ 记
．
环境 ．ｏ ｍｏ 文献 ［］中系统地 讨 论 了全直 线上 的 Ｒ Ｒ Ｓｌ ｎ在 ｏ １ ＷＩ Ｅ的性 质 ， 毕秋 香 在文献 ［］中讨 论 了半直 线上 ２ 的Ｒ Ｒ ＷＩＥ的有关性 质 ， 文献 ［ ，］ １２ 考虑 的都 是 随机 环境 为独 立 同分布 的情况 ， 献 ［］ 虑 的半直 线上 随机 文 ３考 环 境是 独立 的情 况 ． 文则 着重 讨论 一般 环境 下在 ０点上 具有 反射 壁 的右半直 线上 的 Ｒ ＩＥ的 常返性 和非 本 Ｗ Ｒ 常返性 ， 并将 这一 结果 推广 到 随机环 境是 独 立 的和独 立 同分 布的情形 ． 定义 １ 设 ａ ０＝ １ａ ， ≥ １ ， 为概 率空 间（ Ｆ， 上 的随机 变量序 列 ， ＝ ｛，， ， ｝ 的 Ｒ Ｒ ｎ， Ｐ） ｚ ０ １２ … 上 ＷＩ Ｅ
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线上独立随机环境中的随机游动 Ξ
毛明志 , 胡亦钧
(武汉大学 数学与统计学院 ,湖北 武汉 430072)
摘 要 : 主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性 ,并进一步研究常返性中的正常返和零常返 ,非 常返性中的大数定律 ,从而推广了 Solomn 的研究框架 1
关 键 词 : 随机环境 ; 随机游动 ; 常返性 ; 正常返性 ; 强大数定律 ; 平衡分布 ; 马尔可夫链 中图分类号 : O 211162 文献标识码 :A
[4 ] Wang Rong2ming. Zero Recurrence of a Class of Random Walks in a Random Environments [J ] . Journal of East China Normal University ( Natural Science) ,1997 ,4 :9212 (Ch) .
n →∞Tn
lim Xn n →∞ n
= lim E ( A1 ) n →∞
+
1 E( A2) +An)
a. e.
(ii) 类似可证 1
推论 5 的证明来自推论 2 和定理 31
致谢 :作者衷心感谢审稿人所提出富有价值的 修改意见 1
参考文献 :
[1 ] Kozlov M V. Random Walk in a One Dimensional Random Medium[J ] . Theory Prob Appl ,1973 ,18 :3872388.
,0
<
α i
<1
,αi
+
β i
=
1
,称
随机变量序列{αn } n ∈Z为随机环境 ,记 α= {αn } n ∈Z ,
每个现实为环境 1
同文 献 [ 2 ] 可 以 证 明 在 给 定 独 立 环 境 下 的 RWIRE 是存在的 ,此时 ,对每一个固定环境 α, Xn , n
≥0 就是 Z 上的一个马尔可夫链 1
境 1M. V. Kozlov 在文献[ 1 ]中首先提出 RWIRE ,其后
Solomn 在 文 献 [ 2 ] 中 研 究 环 境 是 独 立 同 分 布 的
RWIRE ,本文研究此环境是独立但不必同分布 1 定义 1 设 αn , n ∈Z 为概率空间 (Ω , F , P) 上
一列独立的随机变量序列 ,定义在 Z 上的 REIRE ,
Key words : random environment ; random walks ; recurrence ; positive recurrence ; the law of large numbers ; sta2 tionary distribution ; markov chain
第 48 卷 第 5 期 武汉大学学报 (理学版) 2002 年 10 月 J . Wuhan Univ. (Nat. Sci. Ed. )
Vol148 No15 Oct. 2002 ,539～543
文章编号 :025329888 (2002) 0520539205
543
lim Xn = lim n a. e.
n →∞ n
n →∞ Tn
(ii)
若
lim
n →∞
Xn
=
-
∞a. e. 且 lim Tn 存在 ,则
n →∞ n
lim
n →∞
Xn n
=-
lim
n →∞
n Tn
a. e.
证明参见文献[ 2 ]p7 28.
定理 3 的证明
(i)
lim
n →∞
Xn
=
∞ a. e. 对任意的
Abstract : We mostly consider the recurrence and nonrecurrence of random walks in a independent but not need identically distributed random environment on the line. Then further study positive recurrence and null recurrence in the recurrence ;the law of large numbers in the nonrecurrence. So we extend the frame solomn has studied.
Random Walks in a Independent Environment on the Line
MAO Ming2zhi , HU Yi2jun
(School of Mathematics and Statistics ,Wuhan University ,Wuhan 430072 ,Hubei ,China)
[2 ] Solomon F. Random Walks in a Random Environments [J ] . Ann Prob ,1975 ,3 :1231.
[ 3 ] Chung KL. Markov Chains with Stationary Transition Proba2 bilities [M] . Berlin :Springer ,1960.
0 引 言
随机环境中的随机过程是概率论的一个新分
支 ,随机环境中的随机游动 (简记 RWIRE) 是它的特
例 ,通常所研究直线上的随机游动是在直线上每点
处确定一个环境 ,质点按确定的环境作运动 ,而直线
上的 RWIRE 则假定环境是随机变化 ,即有 n ∈Z(全
体整数) 处转移概率 Pn , n + 1 是随机变化 ,称为随机环
[ 5 ] Chung KL. A Course in Probability Theory [ M] . New York : Horcourt Brace and World ,1968.
[6 ] Alili S. Asymptotic Behaviour for Random Walks in Random Environments [J ] . J Appl Prob ,1999 ,36 :3342349.
{ Xn}是 :
P ( X0 = 0) = 1
P( Xn + 1 = j| X0 = 0 , X1 = i1 , …, Xn - 1 = in - 1 , Xn
αi j = i + 1
= i ,αn , n ∈Z =
β i
j
=
i
-
1
a. e.
0 其他情形
其中
ik
∈Z , k
=1
,
…, n
-
1
n , E (τ2n )
=
E
(
A
2 n
)
<
M
,由引理 7
lim [τ1
n →∞
+
…+
τ n
n
-
E (τ1 )
+
…+
n
E(τn )
]=0
a.
e.
进一步有
,
lim
n →∞
Tn n
=
lim
n →∞
E ( Tn ) a. e. 再由引理 8 , lim Xn = lim n a. e. ,从而
n
n →∞ n
引理 1 若对几乎所有的环境 , Xn , n ≥0 在此 环境下某一性质成立 ,则直线上 RWIRE 几乎必然具 有此性质 1
证 完全类似文献 [ 2 ] 中定理 011 的证明可证 得本引理 1
1 常返性主要结果及证明
为了叙述主要结果 ,引进若干记号 :
Ξ 收稿日期 : 2002207205 通讯联系人 基金项目 :国家自然科学基金 (10071058) ; 国家教育部基金资助 作者简介 :毛明志 (19772) ,男 ,硕士生 ,现从事大偏差理论研究 1 E2mail :Mingzhi - Mao @sina. com
540
武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动
541
542
武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动
毛明志 , 胡亦钧
(武汉大学 数学与统计学院 ,湖北 武汉 430072)
摘 要 : 主要讨论直线上独立随机环境中的常返性和非常返性 ,并进一步研究常返性中的正常返和零常返 ,非 常返性中的大数定律 ,从而推广了 Solomn 的研究框架 1
关 键 词 : 随机环境 ; 随机游动 ; 常返性 ; 正常返性 ; 强大数定律 ; 平衡分布 ; 马尔可夫链 中图分类号 : O 211162 文献标识码 :A
[4 ] Wang Rong2ming. Zero Recurrence of a Class of Random Walks in a Random Environments [J ] . Journal of East China Normal University ( Natural Science) ,1997 ,4 :9212 (Ch) .
n →∞Tn
lim Xn n →∞ n
= lim E ( A1 ) n →∞
+
1 E( A2) +An)
a. e.
(ii) 类似可证 1
推论 5 的证明来自推论 2 和定理 31
致谢 :作者衷心感谢审稿人所提出富有价值的 修改意见 1
参考文献 :
[1 ] Kozlov M V. Random Walk in a One Dimensional Random Medium[J ] . Theory Prob Appl ,1973 ,18 :3872388.
,0
<
α i
<1
,αi
+
β i
=
1
,称
随机变量序列{αn } n ∈Z为随机环境 ,记 α= {αn } n ∈Z ,
每个现实为环境 1
同文 献 [ 2 ] 可 以 证 明 在 给 定 独 立 环 境 下 的 RWIRE 是存在的 ,此时 ,对每一个固定环境 α, Xn , n
≥0 就是 Z 上的一个马尔可夫链 1
境 1M. V. Kozlov 在文献[ 1 ]中首先提出 RWIRE ,其后
Solomn 在 文 献 [ 2 ] 中 研 究 环 境 是 独 立 同 分 布 的
RWIRE ,本文研究此环境是独立但不必同分布 1 定义 1 设 αn , n ∈Z 为概率空间 (Ω , F , P) 上
一列独立的随机变量序列 ,定义在 Z 上的 REIRE ,
Key words : random environment ; random walks ; recurrence ; positive recurrence ; the law of large numbers ; sta2 tionary distribution ; markov chain
第 48 卷 第 5 期 武汉大学学报 (理学版) 2002 年 10 月 J . Wuhan Univ. (Nat. Sci. Ed. )
Vol148 No15 Oct. 2002 ,539～543
文章编号 :025329888 (2002) 0520539205
543
lim Xn = lim n a. e.
n →∞ n
n →∞ Tn
(ii)
若
lim
n →∞
Xn
=
-
∞a. e. 且 lim Tn 存在 ,则
n →∞ n
lim
n →∞
Xn n
=-
lim
n →∞
n Tn
a. e.
证明参见文献[ 2 ]p7 28.
定理 3 的证明
(i)
lim
n →∞
Xn
=
∞ a. e. 对任意的
Abstract : We mostly consider the recurrence and nonrecurrence of random walks in a independent but not need identically distributed random environment on the line. Then further study positive recurrence and null recurrence in the recurrence ;the law of large numbers in the nonrecurrence. So we extend the frame solomn has studied.
Random Walks in a Independent Environment on the Line
MAO Ming2zhi , HU Yi2jun
(School of Mathematics and Statistics ,Wuhan University ,Wuhan 430072 ,Hubei ,China)
[2 ] Solomon F. Random Walks in a Random Environments [J ] . Ann Prob ,1975 ,3 :1231.
[ 3 ] Chung KL. Markov Chains with Stationary Transition Proba2 bilities [M] . Berlin :Springer ,1960.
0 引 言
随机环境中的随机过程是概率论的一个新分
支 ,随机环境中的随机游动 (简记 RWIRE) 是它的特
例 ,通常所研究直线上的随机游动是在直线上每点
处确定一个环境 ,质点按确定的环境作运动 ,而直线
上的 RWIRE 则假定环境是随机变化 ,即有 n ∈Z(全
体整数) 处转移概率 Pn , n + 1 是随机变化 ,称为随机环
[ 5 ] Chung KL. A Course in Probability Theory [ M] . New York : Horcourt Brace and World ,1968.
[6 ] Alili S. Asymptotic Behaviour for Random Walks in Random Environments [J ] . J Appl Prob ,1999 ,36 :3342349.
{ Xn}是 :
P ( X0 = 0) = 1
P( Xn + 1 = j| X0 = 0 , X1 = i1 , …, Xn - 1 = in - 1 , Xn
αi j = i + 1
= i ,αn , n ∈Z =
β i
j
=
i
-
1
a. e.
0 其他情形
其中
ik
∈Z , k
=1
,
…, n
-
1
n , E (τ2n )
=
E
(
A
2 n
)
<
M
,由引理 7
lim [τ1
n →∞
+
…+
τ n
n
-
E (τ1 )
+
…+
n
E(τn )
]=0
a.
e.
进一步有
,
lim
n →∞
Tn n
=
lim
n →∞
E ( Tn ) a. e. 再由引理 8 , lim Xn = lim n a. e. ,从而
n
n →∞ n
引理 1 若对几乎所有的环境 , Xn , n ≥0 在此 环境下某一性质成立 ,则直线上 RWIRE 几乎必然具 有此性质 1
证 完全类似文献 [ 2 ] 中定理 011 的证明可证 得本引理 1
1 常返性主要结果及证明
为了叙述主要结果 ,引进若干记号 :
Ξ 收稿日期 : 2002207205 通讯联系人 基金项目 :国家自然科学基金 (10071058) ; 国家教育部基金资助 作者简介 :毛明志 (19772) ,男 ,硕士生 ,现从事大偏差理论研究 1 E2mail :Mingzhi - Mao @sina. com
540
武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动
541
542
武汉大学学报 (理学版) 第 48 卷
第 5 期 毛明志 等 :直线上独立随机环境中的随机游动