随机环境中有界跳幅随机游动常返性暂留性的另一证明

[收稿日期]2005211217　[基金项目]国家自然科学基金资助项目(10571001);安徽大学创新团队基金项目第23卷第4期大　学　数　学Vol.23,№.42007年8月COLL EGE MA T H EMA TICSAug.2007随机变量序列的大数定律及常返性定理何江宏,　胡舒合(安徽大学数学与计算科学学院,合肥230039) [摘　要]对一类有界独立或相依的随机变量序列|ξn |,获得了它的伯努利大数定律、波雷尔强大数定律及常返性定理.作为应用,得出了Lo ève 专著[1]中的推广的伯努利大数定律、常返性定理,改进了[1]中的推广的波雷尔强大数定律.[关键词]贝努里大数定律;波雷尔强大数定律;常返性定理[中图分类号]O212 [文献标识码]A [文章编号]167221454(2007)04200762041　引 言设ξ1,ξ2,…,ξn ,…是定义在概率空间(Ω,F ,P )上的随机变量列,存在常数M ,使得|ξk |≤M <∞,a.s.,k =1,2,….记X n =1n∑nk =1ξk,　p 1(n )=1n∑nk =1E ξk,p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nE (ξj ξk ),　d (n )=p 2(n )-p 21(n ),于是|E ξk |≤M ,　|E (ξj ξk )|≤M 2,　|p 1(n )|≤M ,　|p 2(n )|≤M 2,E X 2n =1n2E∑nk =1ξ2k +2∑1≤j <k ≤nξj ξk=1n2∑nk =1E ξ2k +n -1np 2(n ),D (X n )=1n2∑nk =1E ξ2k +n -1n p 2(n )-p 21(n )=d (n )+1n2∑nk =1E ξ2k -1np 2(n ).(1)引理1　设X 为随机变量,M 为正实数,如|X |≤M ,a.s.,则对任意的ε>0,P (|X |≥ε)≥E X 2-ε2M2.(2)证　因为E X 2=∫(|X|≥ε)X 2(ω)P (d ω)+∫(|X|<ε)X 2(ω)P (d ω)≤M2∫(|x|)≥εP (d ω)+ε2∫(|X|<ε)P (d ω)≤M 2P (|X |≥ε)+ε2,由此得出(2)式.2　随机变量列的大数定律定理1(Bernoulli 型大数定律)　设|ξn |为随机变量列(可相互独立也可不相互独立),存在实数M ,使得|ξn |≤M ,a.s.,n =1,2,…,则X n -E X n P0的充要条件是d (n )=p 2(n )-p 21(n )→0.证　易见|X n |≤M ,a.s.,从而|X n -E X n |≤2M ,a.s.,于是由引理1及车贝晓夫不等式知D (X n )-ε2(2M )2≤P (|X n -E X n |≥ε)≤D (X n )ε2,　Πε>0.(3)由此知,欲使X n -E X nP0,必须且只须D (X n )→0.又由(1)式知|D (X n )-d (n )|=1n2∑nk =1Eξ2k-1np 2(n )≤2M 2n→0,(4)所以D (X n )→0等价于d (n )→0,证毕.如果d (n )→0且有一定的收敛速度,则我们可得到更强的结论:定理2(Borel 型强大数定律)　设存在实数M 使得|ξn |≤M ,a.s.,n =1,2,…,d (n )满足条件∑∞k =1|d (k 2)|<∞,则P (lim n →∞(X n -E X n )=0)=1.(5)证　记ηi =ξi -E ξi ,i =1,2,…,　Y n =X n -E X n =1n∑ni =1ηi,则|ηi |≤2M ,a.s.,i =1,2,….又对每个自然数n ,存在相应的自然数k =k (n ),满足k 2≤n <(k +1)2,因此|Y n -Y k2|=1n-1k2∑k2i =1ηi+1n ∑ni =k 2+1ηi≤n -k 2nk2・2M k 2+n -k 2n ・2M ≤8Mk ,a.s.,|Y n |≤|Y n -Y k 2|+|Y k 2|≤8Mk+|Y k 2|,a.s..(6)再由车贝晓夫不等式,(4)式及∑∞k =1|d (k 2)|<∞知:对每个自然数m ,∑∞k =1P|Y k2|≥1m≤m2∑∞k =1D (Yk2)=m2∑∞k =1D (Xk2)≤m2∑∞k =1|d (k 2)|+2M 2k2<∞.于是,由文[1]第18页的一个命题知Y k 2k →∞0,a.s..又注意到当n →∞时,k →∞,从而在(6)式两边令n →∞,得Y n =X n -E X n →0,a.s.,证毕.3　常返性定理设|ξk |≤M <∞,a.s.,k =1,2,…,ε>0,如果n >2M 2/ε,则由(1)式得p 2(n )=p 21(n )-1n2∑nk =1E ξ2k+1np 2(n )+D (X n )≥p 21(n )-2nM 2≥p 21(n )-ε.(7)引理2　对随机变量ξ1,ξ2,…,ξn (|ξi |≤M <∞,a.s.,i =1,2,…,n ),ε>0,只要n >2M 2/ε,就至少存在着两个随机变量ξj 与ξk ,1≤j <k ≤n ,使得E (ξj ξk )≥p 21(n )-ε.(8)证　用反证法,如对Π1≤j <k ≤n ,E (ξj ξk )<p 21(n )-ε,则p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nE (ξj ξk )<2n (n -1)n 2(p 21(n )-ε)=p 21(n )-ε,此与(7)式矛盾,证毕.特别,由引理2知,如果对任意的自然数k ,E ξk ≥p >0(此时p 21(n )≥p 2),则对Πε>0,每个这种随机变量列{ξk },至少存在两个随机变量ξj 和ξk ,使得E (ξj ξk )≥p 2-ε.定理3(常返性定理)　设M ,p 为正实数,|ξk |≤M <∞,a.s.,E ξk ≥p >0,k =1,2,…,则对Πε>0,77第4期 何江宏,等:随机变量序列的大数定律及常返性定理恒存在{ξk }的子序列{ξk v },使得对Πl ≠m ,均有E (ξk l ξk m)≥p 2-ε.(9)证　首先注意,在定理的条件下有p 21(n )≥p 2.先给出一个ξj 与ξk “ε相交”的定义:如果E (ξj ξk )≥p 2-ε,则称ξj 与ξk “ε相交”.那么,存在一个{ξk }的子序列,其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.现对这一结论采用反证法.假设这种子序列不存在,则对任何自然数n ,必存在整数m n ,使得ξn 皆不能与ξn ′“ε相交”(n ′≥n +m n ),即E (ξn ξn ′)<p 2-ε,　Πn ≥1,n ′≥n +m n .(10)于是,取n 1=1,n 2=n 1+m n 1=1+m 1,n 3=n 2+m n 2,n 4=n 3+m n 3,…,则ξn 1,ξn 2,ξn 3,…中任两个ξn j ,ξn k 均有E (ξn j ξn k )<p 2-ε(因为ξn 2=ξn 1+m n 1=ξ1+m 1与ξn 1非“ε相交”,ξn 3=ξn 2+m n 2与ξn 2非“ε相交”,ξn 3=ξn 2+m n 2与ξn 1非“ε相交”.同理有ξn 4与ξn 1,ξn 2,ξn 3均非“ε相交”,等),此与引理2的结论矛盾.即证明了存在一个{ξk }的子序列,其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.同理可以证明:对{ξk }的任何子列{ξk ′},存在{ξk ′}的子列{ξk ″},其中第一项与其后的任何一项皆“ε相交”.因此我们可以从{ξk }中取一个子序列ξ11,ξ21,ξ31,…,ξn 1,…,使得第一项与其后任何一项皆“ε相交”.同理,可再从{ξ21,ξ31,…,ξn 1,…}中取一个子序列ξ12,ξ22,ξ32,…,ξn 2,…,使之具有同样的性质(即ξ12与ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中的任何一项皆“ε相交”);再从{ξ22,ξ32,…,ξn 2,…}中取一个子序列ξ13,ξ23,ξ33,…,ξn 3,…,使之具有同样的性质.把这种手续延续下去,所得到的序列ξ,ξ12,ξ13,…中任何两项皆“ε相交”(此因ξ11与ξ21,ξ31,…,ξn 1,…中每一项皆“ε相交”,而ξ12,ξ13,…都是从ξ21,ξ31,…,ξn 1,…中取出的,所以ξ11与ξ12,ξ13,…中任何一项皆“ε相交”.又因ξ12与ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中的任何一项皆“ε相交”,而ξ13,ξ14,…都是从ξ22,ξ32,…,ξn 2,…中取出的,所以ξ12与ξ13,ξ14,…中的任何一项皆“ε相交”,等),证毕.4　定理的推论设A k ∈F ,{A k }可相互独立也可不相互独立,取ξk =I A k ,k =1,2,…,则X n =1n ∑nk =1I A k ,p 1(n )=1n∑nk =1P (A k ),p 2(n )=2n (n -1)∑1≤j <k ≤nP (A j A k ),仍记d (n )=p 2(n )-p 21(n ),于是由定理1,定理2,定理3分别得出下面的3个系:系1　X n -E X n =1n∑nk =1(I A k -P (A k ))P0的充要条件是d (n )=p 2(n )-p 21(n )→0.系2　如∑nk =1|d (k 2)|<∞,则X n -E X n =1n∑nk =1I A k -1n∑nk =1P (A k )a.s.0.系3　如果对每一个n ,P (A n )≥p >0,则对任何ε>0,恒存在事件A n 的子序列,使得对于这个子序列中任二项A j 与A k ,均有P (A j A k )≥p 2-ε.注　1)系1即为[1]中第26页的“推广的伯努利大数定律”,系3即为[1]中第27页著名的Poincare 常返性定理.若取d (n )=O 1n,则由系2得出[1]中第26页的“推广的波雷尔强大数定律”,注意条件“∑nk =1|d (k 2)|<∞”比“d (n )=O1n”弱.因此系2改进了[1]中的“推广的波雷尔强大数定律”.2)由定理3知:不存在有界随机变量序列{X n },满足E X n =E X 1>0,Cov (X i ,X j )=C <0,Πn ≥1,i ≠j.因此,如果这样的{X n }存在,则对0<ε<-C ,E (X i X j )=Cov (X i ,X j )+E X i E X j =(E X 1)2+C <(E X 1)2-ε,　Πi ≠j ,这与定理3相矛盾.另一方面,我们可构造正态随机变量列{ξk },满足E ξk =E ξ1=μ>0,D (ξk )=σ2>0,Cov (ξi ,ξj )=ρσ2<0,Πi ≠j.于是对0<ε<-p σ2,87大　学　数　学 第23卷E (ξi ξj )=Cov (ξi ξj )+E ξi E ξj =(E ξ1)2+ρσ2<(E ξ1)2-ε,Πi ≠j ,这表明定理3中ξk 有界的条件不能去掉.[参　考　文　献][1]　Lo ève M.Probability Theory I (4th Edition )[M ].New Y ork ,Heidelberg ,Berlin :Springer 2Verlag ,1977.La w of Large Numbers and R ecurrence Theorem forR andom V ariable SequenceH E J i ang 2hong ,　H U S hu 2he(School of Mathematics and Computation Science ,Anhui University ,Hefei 230039,China )Abstract :We obtain Bernoulli law of large numbers ,Borel strong law of large numbers and recurrence theorem forbounded ,independent or dependent random variable sequence {ξn }.As appllications ,we get the extended Bernoulli law oflarge numbers ,recurrence theorem in [1]and improves the extended Borel strong law of large numbers in [1].K ey w ords :Bernoulli law of large numbers ;Borel strong law of large numbers ;recurrence theorem97第4期 何江宏,等:随机变量序列的大数定律及常返性定理。