初中数学中的折叠问题

初中数学折叠问题解题思路
一、先了解内容，掌握题意
1、折叠问题是指利用解题方法对题目中的数据、公式等信息，进行分析和推理，以解出问题的正确答案的一种问题。

2、此类问题的解答，应首先熟悉和了解题目中的信息，然后正确地把握一些解题方法，根据定理、推论、例题、练习等，应用到解题中，然后根据解题方法，分析归纳出解题步骤，最后得出结论。

二、展开解题步骤
1、分析题目：根据题目中给出的信息，逐项分析，确定问题的解决方法。

2、确定问题类型：结合题目中的信息，确定问题类型，比如初中数学折叠问题中存在的比例、三角形、圆形、椭圆形等等。

3、查找常用公式：比如面积的公式、角度的公式等，以及在此类问题中常用的数学定理，并根据它们来计算和推算。

4、分析步骤：分析题目，综合运用所掌握的知识和相关定理，画出分析图，看清问题的解法。

5、综合结论：根据步骤的分析，得出正确的答案和解答。

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第1题图第2题图G 第3题图第4题图第5题图第6题图折叠问题文稿（不含压轴题）1.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=___．2.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 的长．3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于_ ____．4.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，折痕交CD 于点E ，已知AB=8cm, BC=10cm ， 求EC 的长．5.如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，将BC 边折叠，使点B 与点D 重合，折痕经过点C ，若AD=2，AB=4，求∠BCE 的正切值．6.如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将点A 沿过DE 的直线拆叠． （1）说明点A 的对应点A ＇一定落在BC 上； （2）当A ＇在BC 中点处时，求证：AB=AC ．第7题图C'FEDABC7. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是多少？8. 如图是面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 位置，折痕为BQ ，连结PQ ．（1）求MP 的长；（2）求证：以PQ 为边长的正方形面积等于13．9. 把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕上，得到Rt △ABE ，延长EB 交AD 于点F ，若矩形的宽CD=4． （1）求证：△AEF 是等边三角形； （2）求△AEF 的面积．第8题图 第9题图xy第11题图E COAB PD10. 把矩形纸片OABC 放入直角坐标系xOy 中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y轴的正半轴上。

数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。

下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。

在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。

例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。

2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。

折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。

在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。

例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。

3. 利用代数知识，进行化简和求解。

折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。

例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。

然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。

4. 寻找规律，构建模型。

有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。

例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。

通过模型，可以更好地理解和解决问题。

折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。

同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。

专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________.3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B EC6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ．7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ．8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________．9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.3/4B.4/5C.5/6D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。

初中数学折叠问题模型摘要：初中数学折叠问题模型I.引言A.折叠问题背景B.折叠问题在初中数学中的重要性C.本文的目的和结构II.折叠问题模型A.折叠问题的定义和分类B.折叠问题模型的建立C.折叠问题模型的应用III.折叠问题解决方法A.传统解法B.折叠问题模型的解法C.折叠问题模型的优势IV.折叠问题模型的教学应用A.折叠问题模型在教学中的作用B.折叠问题模型的教学策略C.教学案例分析V.总结与展望A.折叠问题模型的重要性B.折叠问题模型的未来发展方向C.总结正文：初中数学折叠问题模型I.引言折叠问题在初中数学中是一个常见的问题，它涉及到几何图形的折叠和展开，需要学生掌握一定的几何知识和空间想象能力。

折叠问题也常常出现在数学竞赛中，因此解决折叠问题对于提高学生的数学能力和竞赛成绩具有重要的意义。

本文旨在介绍初中数学折叠问题模型，帮助学生更好地理解和解决折叠问题。

II.折叠问题模型A.折叠问题的定义和分类折叠问题是指将一个平面图形沿着某一条轴线折叠，使得折叠后的图形与原来的图形重合，或者形成一个新的几何形状。

折叠问题可以分为两类：完全重合型和部分重合型。

完全重合型是指折叠后的图形与原来的图形完全重合，而部分重合型是指折叠后的图形与原来的图形只有部分重合。

B.折叠问题模型的建立折叠问题模型是指通过建立几何图形的折叠和展开关系，来解决折叠问题的方法。

在折叠问题模型中，我们需要确定折叠轴线、折叠前后图形的对应关系以及折叠后的图形形状。

C.折叠问题模型的应用折叠问题模型可以用于解决各种折叠问题，包括完全重合型和部分重合型折叠问题。

通过建立折叠问题模型，学生可以更好地理解折叠问题的本质，从而更有效地解决折叠问题。

III.折叠问题解决方法A.传统解法传统的折叠问题解决方法通常是通过手工绘制图形，然后利用几何知识和空间想象能力来解决。

这种方法费时费力，而且容易出错。

B.折叠问题模型的解法折叠问题模型提供了一种更加简便和准确的解决折叠问题的方法。

初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。

在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。

方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。

它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 将纸张按照比例剪成相应大小。

3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。

4. 计算所需参数并得出答案。

优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。

同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。

缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。

同时也容易出现误差和偏差。

方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。

它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。

3. 得出答案。

优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。

同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。

缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。

同时也容易出现计算错误和漏算情况。

方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。

它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。

步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。

2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。

3. 得出答案。

优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。

同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。

缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。

同时也容易出现计算错误和漏算情况。

结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。

专题八折叠问题学习要点与方法点拨:出题位置:选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中,常出现的知识时轴对称。

折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等;考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等;轴对称性质-----折线,就是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

压轴题就是由一道道小题综合而成,常常伴有折叠;解压轴题时,要学会将大题分解成一道道小题;那么多作折叠的选择题填空题,很有必要。

基本图形:在矩形ABCD中,将△ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论？（1）基本图形练习:如图,将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB上,折痕为AD,展开纸片;再次折叠,使得A与D 点重合,折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF就是等腰三角形,对不？（2）折叠中角的考法与做法:将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠,使得A落在BC边上的点F处,折痕为BE(图1);再沿过点E的直线折叠,使点D落在BE边上的点D’,折痕为EG(图2),再展开纸片,求图(3)中角a的大小。

（3）折叠中边的考法与做法:如图,将边长为6cm的正方形ABCD折叠,使点D落在AB边中点E处,折痕为FH,点C落在Q处,EQ与BC交于点G,则△EBG的周长就是多少？模块精讲例1、(2014•扬州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.结论:(1)全等;(2)垂直。

★解题步骤:第一步:将已知条件标在图上;第二步:设未知数,将未知数标在图上;第三步:列方程,多数情况可通过勾股定理解决。

(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.①求证:△OCP∽△PDA;②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;(2)若图1中的点P恰好就是CD边的中点,求∠OAB的度数;(3)如图2,,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度就是否发生变化？若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.例2、(2013•苏州)如图,在矩形ABCD中,点E就是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD 内部.将AF延长交边BC于点G.若=,则=用含k的代数式表示).例3、(2013•苏州)如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1、5cm/s,当点F到达点C(即点F与点C重合)时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形就是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t(单位:s).(1)当t=s时,四边形EBFB′为正方形;(2)若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;(3)就是否存在实数t,使得点B′与点O重合？若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.例4、如图,已知矩形纸片ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点A与边CD上的点E重合,折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.(1)如图1,求证:A,G,E,F四点围成的四边形就是菱形;(2)如图2,当△AED的外接圆与BC相切于点N时,求证:点N就是线段BC的中点;(3)如图2,在(2)的条件下,求折痕FG的长.例5、已知AD∥BC,AB⊥AD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称,点E与点F关于BD 对称,AC与BD相交于点G,则()A.1+tan∠ADB=2B.2BC=5CFC.∠AEB+22°=∠DEFD.4cos∠AGB=6课堂练习1、2、(2014连云港)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N,则tan∠ANE=_________.图3 图43、(2014•徐州)如图3,在等腰三角形纸片ABC中,AB=AC,∠A=50°,折叠该纸片,使点A落在点B处,折痕为DE,则∠CBE= _________°.4、(2014•扬州)如图4,△ABC的中位线DE=5cm,把△ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A、F两点间的距离就是8cm,则△ABC的面积为_________cm2.5、(2013•扬州)如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且与B、C不重合,连接PA,过P作PE⊥PA交CD所在直线于E.设BP=x,CE=y.(1)求y与x的函数关系式;(2)若点P在线段BC上运动时,点E总在线段CD上,求m的取值范围;(3)如图2,若m=4,将△PEC沿PE翻折至△PEG位置,∠BAG=90°,求BP长.课后巩固习题1、(2014•淮安)如图,在三角形纸片ABC中,AD平分∠BAC,将△ABC折叠,使点A与点D重合,展开后折痕分别交AB、AC于点E、F,连接DE、DF.求证:四边形AEDF就是菱形.2、(2013•宿迁)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,且AB=10,BC=6,CD=2.点E从点B出发沿BC方向运动,过点E 作EF∥AD交边AB于点F.将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF,直线FG、EG分别交AD于点M、N,当EG过点D时,点E即停止运动.设BE=x,△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y.(1)证明△AMF就是等腰三角形;(2)当EG过点D时(如图(3)),求x的值;(3)将y表示成x的函数,并求y的最大值.3、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,把△BCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C'处,BC交AD于点G,E,F,分别就是C'D 与BD上的点,线段EF交AD于点H,把△FDE沿着EF折叠,使点D落在D'处,点D'恰好与点A重合、(1)求证:三角形ABG≌△C'DG(2)求tan∠ABG的值;(3)求EF的长。

浅谈初中数学中的折叠问题王华榆林实验中学陕西榆林719000在初中数学中，折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来。

在折叠过程中，通过观察图形中的变与不变，灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。

在变化过程中使学生初步体会了数学的动态美，同时提高了学生的观察能力、空间想象能力及动手能力。

归纳起来，折叠问题有如下几类题型：一、折叠问题中涉及的探索规律问题。

例：（如图1）将一张长方形纸对折可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折六次能得到几条折痕，n次有几条折痕？图1分析：在这个折叠问题中对折方式不变，变化的是随着对折次数的增加折痕有规律的增加，情况如下表所以对折6次能得到63条折痕，对折n次可得到( 2n-1 )条折痕。

二、折叠中发现图形的基本性质。

1、（如图2）等腰三角形△ABC中,AB=BC,折叠使AB与AC重合,折痕为AD。

则折痕AD集“三线合一”于一身，即：底边BC上的中线、高线和顶角∠BAC的平分线。

（图2）2、（如图3）正方形ABCD经过两次沿对角线折叠，可确定正方形的中心，同时将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

D C（图3）3、（如图4）圆形纸片通过两次对折，可确定圆形纸片的圆心，折痕就是圆的直径。

DC B（图4）三.利用图形全等的性质解决折叠问题.例1、（如图5）三角形纸片△ABC中，∠A=65o , ∠B=75o，把纸片的一角折叠, 使点C落在△ABC内, 若∠C′DB=20o ,求∠C′EA的度数？BA E C（图5）分析：由三角形内角和为180o ，∠A+∠B+∠C=180o∠C=180o -（∠A+∠B）=40o因为折叠前后△C′ED≌△C ED，所以∠C′=40o由四边形AEDB内角和得：∠A+∠B+∠C′EA+∠C′ED+∠C′DE+∠C′DB=360o得：∠C′EA=60o例2. 一张长方形的纸片按（如图6）方式折叠，EM，FM为折痕，折痕后的点C落在M B′或M B′的延长线上，那么∠EMF的度数是多少？B M C（图6）分析：∠EMF=∠EM B′+∠FMC′因为在折叠过程中△EBM≌△E B′M ，四边形CDFM与C′D′FM全等。

初中数学中的折叠问题对于折叠问题,我们要明白：1、折叠问题翻折变换实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形纸片折叠问题中,重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD 为折痕,折叠后BG 和BH 在同一条直线上,∠CBD=度．BC 、BD 是折痕,所以有∠ABC=∠GBC,∠EBD=∠HBD 则∠CBD=90°折叠前后的对应角相等2．如图所示,一张矩形纸片沿BC 折叠,顶点A 落在点A ′处,再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC,若AB=4,AC=3,则△ADE 的面积是．沿BC 折叠,顶点落在点A ’处,根据对称的性质得到BC 垂直平分AA ’,即AF=AA ’,又DE ∥BC,得到△ABC ∽△ADE,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE 的面积=24 对称轴垂直平分对应点的连线3．如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG,求AG 的长． 由勾股定理可得BD=5,由对称的性质得△ADG ≌△A ’DG,由A ’D=AD=3,AG ’=AG,则A ’B=5–3=2,在Rt △A ’BG 中根据勾股定理,列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠,使得BA 边与BC 重合,然后再沿着BF 折叠,使得折痕BE 也与BC 边重合,展开后如图所示,则∠DFB 等于根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE,∠EBF=∠CBF,据此即可求出∠FBC 的度数,又知道∠C=90°,根据三角形外角的定义即可求出∠DFB=°注意折叠前后角的对应关系5．如图,沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠,点C 落在点E 的位置,已知BC=8cm,AB=6cm,求折叠后重合部分的面积．∵点C 与点E 关于直线BD 对称,∴∠1=∠2 ∵AD ∥BC,∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴FB=FD设FD=x,则FB=x,FA=8–xGA'CABD在Rt△BAF中,BA2+AF2=BF2∴62+8-x2=x2解得x=所以,阴影部分的面积S△FBD=FD×AB=××6=cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1=度；△EFG的形状三角形．∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称∴∠2=∠3=64°∴∠4=180°-2×64°=52°∵AD∥BC∴∠1=∠4=52°∠2=∠5又∵∠2=∠3∴∠3=∠5∴GE=GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图,将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折,展平,得折痕EF如图①；延CG折叠,使点B落在EF上的点B′处,如图②；展平,得折痕GC如图③；沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处,如图④；沿GC′折叠如图⑤；展平,得折痕GC′,GH如图⑥．1求图②中∠BCB′的大小；2图⑥中的△GCC′是正三角形吗请说明理由．1由对称的性质可知：B’C=BC,然后在Rt△B′FC中,求得cos∠B’CF=,利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’=60°；2首先根据题意得：GC平分∠BCB’,即可求得∠GCC’=60°,然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴,可得GC’=GC,即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称,则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,求四边形BCFE的面积设AE=x,则BE=GE=4-x,在Rt△AEG中,根据勾股定理有：AE2+AG2=GE2即：x2+4=4-x2解得x=,BE=EG=4–=∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°∴∠1=∠3又∵∠A=∠D=90°∴△AEG∽△DGP∴=,则=,解得GP=二、纸片中的折叠11．如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于∵∠α=∠1,∠2=∠1∴∠α=∠2∴2∠α+∠ABE=180°,即2∠α+30°=180°,解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为180度的性质,注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图,将一宽为2cm的纸条,沿BC,使∠CAB=45°,则后重合部分的面积为作CD⊥AB,∵CE∥AB,∴∠1=∠2,根据翻折不变性,∠1=∠BCA,故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°,∴在Rt△ADC中,AC=,AB=S△ＡＢＣ＝AB×CD=在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形纸片折叠,折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状,那么折痕PQ的长是如图,作QH⊥PA,垂足为H,则QH=2cm,由平行线的性质,得∠DPA=∠PAQ=60°由折叠的性质,得∠DPA=∠PAQ,∴∠APQ=60°,又∵∠PAQ=∠APQ=60°,∴△APQ为等边三角形,在Rt△PQH中,sin∠HPQ=∴=,则PQ=注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形纸片折叠问题中,会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形,即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE 的度数是∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=20°,在图b中,GE=GF,∠GFC=180°-2∠EFG=140°,在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°,图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70cm的长方形纸片ABCD,沿对称轴EF折叠成如图的形状,若折叠后,AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽AB是设AB=xcm．右图中,AF=CE=35,EF=x根据轴对称图形的性质,得AE=CF=35-xcm．则有235-x+x=60,x=10．16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠阴影部分表示纸条的反面,为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,求MA的长将折叠这条展开如图,根据折叠的性质可知,两个梯形的上底等于纸条宽,即3cm,下底等于纸条宽的2倍,即6cm,两个三角形都为等腰直角三角形,斜边为纸条宽的2倍,即6cm,故超出点P的长度为30-15÷2=,AM=+6=三、三角形中的折叠BD∴△AEF是等腰三角形1由折叠可知∠AEB=∠FEB,∠DEG=∠BEG而∠BEG=45°+∠α因为∠AEB+∠BEG+∠DEG=180°所以45°+245°+∠α=180°∠α=°由于角平分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关;要抓住折叠前后图形之间的对应关系2将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F重合,展开纸片,此时恰好有MP=MN=PQ如图④,求∠MNF的大小．由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF,∴MF=NF,由对称性可知,MF=PF,∴NF=PF,而由题意得出：MP=MN,又MF=MF,∴△MNF≌△MPF,∴∠PMF=∠NMF,而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°,即3∠MNF=180°,∴∠MNF=60°,在矩形中的折叠问题,通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构,即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如图,将纸片沿某条直线折叠,使点A落在直角边BC上,记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形,那么纸片中∠B的度数是多少写出你的计算过程,并画出符合条件的后的图形．∵△CDF中,∠C=90°,且△CDF是等腰三角形,∴CF=CD,∴∠CFD=∠CDF=45°,设∠DAE=x°,由对称性可知,AF=FD,AE=DE,∴∠FDA=∠CFD=°,∠DEB=2x°,分类如下：①当DE=DB时,∠B=∠DEB=2x°,由∠CDE=∠DEB+∠B,得45°+°+x=4x,解得：x=°．此时∠B=2x=45°；见图形1,说明：图中AD应平分∠CAB．②当BD=BE时,则∠B=180°-4x°,由∠CDE=∠DEB+∠B得：45++x=2x+180-4x,解得x=°,此时∠B=180-4x°=30°．图形2说明：∠CAB=60°,∠CAD=°．③DE=BE时,则∠B=由∠CDE=∠DEB+∠B的,45++x=2x+此方程无解．∴DE=BE不成立．综上所述∠B=45°或30°先确定△CDF是等腰三角形,得出∠CFD=∠CDF=45°,因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形,故需讨论,①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分别利用角的关系得出答案即可22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片图1的全过程：首先对折,如图2,折痕CD交AB于点D；打开后,过点D任意折叠,使折痕DE交BC于点E,如图3；打开后,如图4；再沿AE折叠,如图5；打开后,折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是过D点作DF∥BC,交AC于F,作A点关于BC的对称点A′,连接DA′,则DA′就是DE和AE的最小值．∵D点是AB的中点,∴DF=1,FC=1,∴FA′=3∴DA′==∴折痕DE和AE长度的和的最小值是本题经过了三次折叠,注意理清折叠过程中的对称关系,求两条线段的和的最小值问题可以参见文章23．小华将一条1如图1,沿它对称轴折叠1次后得到如图,再将图沿它对称轴折叠后得到如图3,则图3中一条腰长；同上操作,若小华连续将图1折叠n次后所得到如图n+1一条腰长为多少．解：每次折叠后,腰长为原来的故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为2-则小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为n本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的．24．如图,矩形纸片ABCD中,AB=,BC=．第一次将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1,第二次将纸片折叠使点B与点D1重合,折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2,第三次将纸片折叠使点B与点D2重合,折痕与BD交于点O3,…．按上述方法,第n次折叠后的折痕与BD 交于点O n,则BO1=,BO n=第一次折叠时,点O1是BD的中点,则BO1=DO1第二次折叠时,点O2是BD1的中点,则BO2=D1O2第三次折叠时,点O3是BD2的中点,则BO3=D2O3因为AB=,BC=,所以BD=4第一次折叠后,有BO1=DO1∴BO1=2第二次折叠后,有BO2=D1O2∴BO2===第三次折叠后,有BO3=D2O3∴BO3===即当n=1时,BO1=2==当n=2时,BO2===当n=3时,BO3===则第n次折叠后,BO n=问题中涉及到的折叠从有限到无限,要明白每一次折叠中的变与不变,充分展示运算的详细过程;在找规律时要把最终的结果写成一样的形式,观察其中的变与不变,特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25．如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1,第n次纸片折叠,使A与点D n-1重合,折痕与AD交于点P n n＞2,则AP6长AD=第一次折叠后,AP1=P1D,P1D1=D1D∴AP1==第二次折叠后,AP2=P2D1,P2D2=D2D1∴AP2====第三次折叠后,AP3=P3D2∴AP3=====即当n=1时,AP1==当n=2时,AP2==当n=3时,AP3==则第n次折叠后,AP n=故AP6=此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律,注意培养自己的归纳总结能力26．阅读理解如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠,点B n与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合；情形二：如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合．探究发现1△ABC中,∠B=2∠C,经过两次,∠BAC是不是△ABC的好角填“是”或“不是”．2小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系为．∠B=n∠C应用提升3小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．∴BC ×4=×,BC= ∴OC=OB –BC=4-=,则C0, 2如右图,BC=B'C B'C=BC=OB –OC=4–y 在Rt △OB'C 中根据勾股定理有：y 2+x 2=4-y 2所以y=-+2∵当0≤x ≤2时,抛物线的值随x 的增大而减小 当x=0时,y=2 当x=2时,y= ∴≤y ≤2 3如右图由DB''∥OB 得,∠2=∠3 由对称性质得,∠1=∠2 ∴∠2=∠3,则CB''∥BA ∴△OB''C ∽△OAB ∴OC=2OB'' 设OB''=m,则OC=2m 所以2m=-+2解得m=-8±,∵m ＞0,∴m=-8+ 则点C 的坐标为0,-16折痕是对应点连线的垂直平分线四、圆中的折叠30．如图,正方形ABCD 的边长为2,⊙O 的直径为AD,将正方形的BC 边沿EC 折叠,点B 落在圆上的F 点,求BE 的长连接OC 、OF,则△OCF ≌△OCDSSS,∴∠OFC=∠ODC=90°, 所以∠OFE=180°,即点O 、F 、E 在一条直线上 设BE=x,则EF=x,AE=2–x,OE=1+x 在Rt △AEO 中,AE 2+AO 2=OE 2所以2-x 2+1=1+x 2 解得：x=用对称关系构造勾股定理,再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法31．如图,将半径为8的⊙O 沿AB 折叠,弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D,则折痕AB 长为解：延长CO 交AB 于E 点,连接OB, ∵CE ⊥AB, ∴E 为AB 的中点,由题意可得CD=4,OD=4,OB=8, DE=8×2-4=6 OE=6-4=2,在Rt △OEB 中,根据勾股定理可得：AB=注意折叠过程中形成的对应边,利用勾股定理求解32．如图,将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D,若AD=5,DB=7,则BC 的长是多少连接CA、CD；根据对称的性质,得：弧CB=弧BDC∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；∵∠CDA=∠CBD+∠BCD,∴∠CAD=∠CDA,即△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E,则AE=DE=；∴BE=BD+DE=；在Rt△ACB中,CE⊥AB,△ABC∽△CBE,得：BC2=BEAB=×12=114；故BC=此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△CAD是等腰三角形,是解答此题的关键33．已知如图：⊙O的半径为8cm,把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O,再把弧AOB沿CD折叠,使弧COD经过AB的中点E,则折线CD的长为作CD关于C’D’的对称线段C’D’,连接OE并延长交CD于点F,交C′D′于点F′,交弧AmB于点G,根据对称的性质得出OF′=6,再由勾股定理得出C’F’=．。

初中数学折叠问题模型摘要：I.引言A.概述折叠问题在初中数学中的重要性B.介绍折叠问题的基本概念II.折叠问题的类型A.基本折叠问题B.复杂折叠问题C.组合折叠问题III.折叠问题的解题方法A.基本折叠问题的解题方法1.图形折叠2.计算折叠后的面积和周长B.复杂折叠问题的解题方法1.分析折叠过程2.确定折叠前后的关系3.应用几何知识计算C.组合折叠问题的解题方法1.分解折叠问题2.分别解决各个子问题3.组合答案IV.折叠问题在实际生活中的应用A.解释折叠问题在实际生活中的例子B.强调折叠问题解决能力的重要性V.结论A.总结折叠问题的解题技巧B.提出进一步学习的建议正文：折叠问题在初中数学中占有重要的地位，是几何学中的一个基本概念。

折叠问题主要涉及到图形的折叠，需要运用几何知识和计算技巧来解决。

本文将详细介绍初中数学折叠问题的类型、解题方法及其在实际生活中的应用。

折叠问题可以分为基本折叠问题、复杂折叠问题和组合折叠问题。

基本折叠问题是指简单的图形折叠，例如将一个矩形折叠成一半，求折叠后的面积和周长。

复杂折叠问题则涉及到多个图形的折叠，需要分析折叠过程和确定折叠前后的关系。

组合折叠问题则是将多个折叠问题组合在一起，需要分解问题并分别解决各个子问题。

解决折叠问题的方法有多种，但最基本的是图形折叠和计算。

对于基本折叠问题，我们可以直接将图形折叠，然后计算折叠后的面积和周长。

对于复杂折叠问题，我们需要分析折叠过程，确定折叠前后的关系，然后应用几何知识进行计算。

对于组合折叠问题，我们可以先分解问题，然后分别解决各个子问题，最后组合答案。

折叠问题不仅在数学中占有重要地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。

例如，纸张折叠成各种形状，建筑物的折叠结构等等。

这些例子都说明了折叠问题解决能力的重要性。

总之，折叠问题是初中数学中的一个重要概念，需要我们掌握其类型、解题方法和实际应用。