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3.2.2 导数的运算法则自主预习·探新知情景引入如何求得下列函数的导数呢？ 1．y ＝x 5＋x 3－x 2＋3； 2．y ＝e x－sin x ＋ln x ； 3．y ＝cos 2x2－sin 2x2.新知导学 导数的运算法则和差的导数 [f (x )±g (x )]′＝__f ′(x )±g ′(x )__积的导数[f (x )·g (x )]′＝__f ′(x )g (x )＋f (x )·g ′(x )__ 商的导数[f xg x]′＝__f ′xg x －f x g ′xg 2x__(g (x )≠0)预习自测1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( A ) A ．1 B ． 2 C ．－1D ．0[解析] ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1. 2．已知f (x )＝e xln x ，则f ′(x )＝( C ) A ．e xxB ．e x＋1xC ．e xx ln x ＋1xD ．1x＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′ln x ＋e x(ln x )′＝e xln x ＋exx＝exx ln x ＋1x.3．(2020·全国卷Ⅰ理，6)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( B )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1[解析] ∵f (x )＝x 4－2x 3，∴f ′(x )＝4x 3－6x 2，∴f ′(1)＝－2，又f (1)＝1－2＝－1， ∴所求的切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.故选B ．4．(2020·全国卷Ⅲ文，15)设函数f (x )＝e xx ＋a .若f ′(1)＝e 4，则a ＝__1__.[解析] 由于f ′(x )＝exx ＋a －e x x ＋a 2，故f ′(1)＝e a1＋a2＝e4，解得a ＝1.5．求下列函数的导数： (1)y ＝sin x －2x 2； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝excos x.[解析] (1)y ′＝(sin x －2x 2)′ ＝(sin x )′－(2x 2)′ ＝cos x －4x .(2)y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3) ＝12x 2－8x ＋6x 2＋9 ＝18x 2－8x ＋9.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xcos x ′＝ex′·cos x －cos x ′·excos 2x ＝excos x ＋sin xcos 2x互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶导数的四则运算法则的应用典例1 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)2(x －1)； (2)y ＝x 2sin x ； (3)y ＝1x ＋2x 2＋3x3；(4)y ＝x tan x －2cos x. [解析] (1)解法一：y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1.解法二：y ＝(x 2＋2x ＋1)(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，y ′＝(x 3＋x 2－x －1)′＝3x 2＋2x －1.(2)y ′＝(x 2sin x )′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 2＋3x 3′＝(x －1＋2·x －2＋3·x －3)′＝－x －2－4x －3－9x －4＝－1x 2－4x 3－9x4.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x －2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x －2cos x ′＝x sin x －2′cos x ＋x sin x －2sin xcos 2x＝sin x ＋x cos xcos x ＋x sin 2x －2sin xcos 2x＝sin x cos x ＋x －2sin x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2 x －2tan xcos x. 『规律方法』 1.符合导数运算法则形式特点的函数求导可直接用公式，注意不要记错用混积商的导数运算法则．①[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )；②⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′≠f ′x g ′x .2．公式[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )的推广为[f 1(x )·f 2(x )·f 3(x )…f n (x )]′＝f 1′(x )f 2(x )f 3(x )…f n (x )＋f 1(x )f 2′(x )f 3(x )f 4(x )…f n (x )＋…＋f 1(x )f 2(x )…f n ′(x )3．较为复杂的求导运算，一般要先将函数化简，再求导． ┃┃跟踪练习1__■ 求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(3)y ＝x －1x ＋1. [解析] (1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin x cos x ＋xcos 2x. (2)解法一：y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′ ＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11；解法二：∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11； (3)解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12；解法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝2x ＋12.命题方向❷利用导数求参数典例2 (2020·云南昆明高二调研)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．[思路分析] 本题主要考查利用导数求解参数问题，观察y ＝f ′(x )的图象可知y ＝f ′(x )过点(1,0)、(2,0)，即f ′(1)＝0，f ′(2)＝0.[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，且f ′(1)＝0、 f ′(2)＝0、 f (1)＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝012a ＋4b ＋c ＝0a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－9c ＝12.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .『规律方法』 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径．2．求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解． ┃┃跟踪练习2__■偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式．[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)， ∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.命题方向❸导数的综合应用典例3 已知曲线y ＝f (x )＝x 2a－1(a >0)在x ＝1处的切线为l ，求l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．[解析] ∵f (1)＝1a －1，∴切点坐标为(1，1a－1)．由已知，得f ′(x )＝(x 2a －1)′＝2xa，∴切线的斜率k ＝f ′(1)＝2a，∴切线l 的方程为y －(1a －1)＝2a(x －1)，即2x －ay －a －1＝0. 令y ＝0，得x ＝a ＋12；令x ＝0，得y ＝－a ＋1a. ∴切线l 与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×a ＋12×a ＋1a＝14(a ＋1a )＋12≥14×2a ×1a ＋12＝1，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时取等号，∴S min ＝1.故l 与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.『规律方法』 求曲线的切线方程要注意分清点是否是切点．若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点．┃┃跟踪练习3__■函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图象上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB ．[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)， 即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.学科核心素养 综合应用问题灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题．典例4 已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线l ：y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[思路分析] (1)由f (x )在点P 处的切线方程可知f ′(2)，及f (2)＝－6，得到a 、b 的方程组，解方程组可求出a 、b ；(2)由曲线y ＝f (x )的切线与l 垂直，可得切线斜率k ＝f ′(x 0)，从而解出x 0，求得切点坐标和k .[解析] (1)∵f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ， 由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13, f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6， 解得a ＝1，b ＝－16.(2)∵切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14，或y 0＝－1－1－16＝－18. 则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.『规律总结』 处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解．┃┃跟踪练习4__■(天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__1__.[解析] ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1.易混易错警示 准确应用公式典例5 若f (x )＝cos xx，求f ′(π)．[错解] ∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x ＋cos x ·x ′x 2＝－x sin x ＋cos xx2，∴f ′(π)＝－πsin π＋cos ππ2＝－1π2.[错解分析] 应用商的求导法则时，分子应是“分子的导数乘分母－分子乘分母的导数”，解题时错误的写成了“＋”．[正解]∵f (x )＝cos xx，∴f ′(x )＝cos x ′x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos xx2， ∴f ′(π)＝－πsin π－cos ππ2＝1π2.。
3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一 直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， 则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解 方法一 由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二 由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二 直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程． 解 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟 如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三 直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解 如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5， 即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程． 反思与感悟 直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________． 对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析 由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________． 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)， 故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析 方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时， 设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0； 当a ≠0，且截距互为相反数时， 设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ， 由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)． 则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析 该直线过原点时， 设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时， 设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)， 即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________． 答案 3x ＋2y －6＝0解析 由题意知，直线在y 轴上的截距为3， 则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5， 即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5， 整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。
