周期分岔与混沌现象复习过程

非线性动力学中的混沌与分岔现象混沌现象的介绍混沌现象是非线性动力学中一个重要的研究课题，它描述了一种似乎随机的、无规律可循的运动状态。

在混沌现象的研究中，人们发现了一些特征，如灵敏依赖于初始条件、无周期运动和封闭轨道等。

混沌现象的研究对于理解自然界中的复杂系统行为具有重要的意义。

混沌现象最早是由美国数学家Edward Lorenz于20世纪60年代发现的。

他在研究气象学中的大气运动方程时，意外地发现了不确定性的现象。

这个发现被称为“蝴蝶效应”，即当一个蝴蝶在巴西振动翅膀时，可能引发一系列的气流变化，最终导致美国得克萨斯州的一个龙卷风的形成。

这个例子说明了混沌现象中初始条件的微小变化可能引起系统运动的巨大变化。

混沌现象的数学表示混沌现象可以用一些非线性动力学方程描述。

这些方程通常包含了一些非线性项，使得系统的演化不再是简单的线性叠加。

一个经典的混沌系统方程是Lorenz方程：\\frac{{dx}}{{dt}} = \\sigma(y - x),\\frac{{dy}}{{dt}} = x(\\rho - z) - y,\\frac{{dz}}{{dt}} = xy - \\beta z其中，x、y和z是系统的状态变量，t是时间。

σ、ρ和β是一些常数，它们决定了系统的性质。

这个方程描述了一个三维空间中的运动，这种运动就是混沌现象。

分岔现象的介绍分岔现象是混沌现象的一个重要特征，它描述了系统参数发生微小变化时，系统行为的剧烈变化。

简单来说，分岔现象就是系统从一个稳定的演化状态变成多个稳定状态的过程。

分岔现象的经典例子是Logistic映射。

Logistic映射是一种常用的非线性映射，它用于描述生物种群的增长。

Logistic映射的公式为：x_{n+1} = r \\cdot x_n \\cdot (1 - x_n)其中，x_n是第n个时刻的种群密度，x_{n+1}是下一个时刻的种群密度，r是系统的参数，它决定了种群的增长速度。

电压反馈型BOOST变换器闭环控制系统的分岔及混沌苏琦;陆益民;黄险峰【摘要】为了弥补以往对DC—DC变换器非线性特性的研究主要是在开环或比例积分( PI )控制下进行的不足，在分段光滑系统状态空间模型的基础上，根据凯莱—哈密尔顿定理，建立了比例-微分( PD)控制电压反馈型Boost变换器闭环控制系统的精确离散映射，推导了系统的稳定性条件，讨论了PD控制器参数对变换器系统稳定性和分岔的影响，定性分析了系统的倍周期分岔和混沌现象产生的机理，指出控制器的比例增益对系统的稳定性起主导作用。

最后，搭建了变换器实验电路，结果表明了理论分析和仿真的正确性。

研究结果为深刻认识该类变换器的非线性特性提供借鉴意义。

%The previous studies on nonlinear behavior of DC/DC converters mainly focused on the open-loop and proportional-integral ( PI) control systems. To make up the deficiencies, the precise discrete mapping of a voltage-mode closed-loop controlled Boost converter system is derived from its piecewise smooth state space model depending on Cayley-Hamilton theorem. The stability condition of the system is analyzed. The parameters of PD controller influence on stability and bifurcation, as well as the mechanism that produced chaos from period-doubling bifurcation are discussed. The re-sults found that the proportional gain is a dominant parameter affecting the stability of the system. Finally, the analysis results are verified through simulation and experiment. The results provide a reference for a profound understanding of the nonlinear characteristics of such kind of converters.【期刊名称】《广西大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)005【总页数】9页(P1192-1200)【关键词】Boost变换器;电压反馈型;PD控制器;分岔【作者】苏琦;陆益民;黄险峰【作者单位】广西大学电气工程学院，广西南宁 530004;广西大学电气工程学院，广西南宁 530004;广西大学土木建筑工程学院，广西南宁 530004【正文语种】中文【中图分类】TM13;TP17DC-DC 变换器电路的核心器件是功率半导体器件。

BOOST变换器不连续导通模式下的混沌现象分析苏嘉梁;潘峰;刘勇平【摘要】研究输出电压反馈型Boost DC/DC变换器,构建并推导了不连续导通方式下(即DCM方式)变换器的离散映射模型.基于此数学模型,以倍周期分岔理论分析了变换器的分岔特性.并利用Matlab软件搭建仿真模块,通过仿真验证了离散模型的正确性,并且详细给出了变换器从稳定逐步到混沌的全过程.该文的研究具有基础性,为更加深入研究Boost变换器工作时的混沌现象打下基础.【期刊名称】《太原科技大学学报》【年(卷),期】2015(036)005【总页数】6页(P347-352)【关键词】混沌;BOOST变换器;压控模式;不连续传导模式【作者】苏嘉梁;潘峰;刘勇平【作者单位】太原科技大学,太原030024;太原科技大学,太原030024;太原科技大学,太原030024【正文语种】中文【中图分类】TM46DC/DC变换器作为一个分段强非线性动力学系统，分岔和混沌现象十分普遍[1]。

这些非线性现象对于系统的稳定性有直接影响，各国学者已对此进行了大量研究并取得丰富成果，已有研究表明，变换器的主电路参数在工作时具有一个稳定域，一旦不在此范围，即失去稳态，甚至进入混沌。

研究非线性系统最根本的是构建一个精确且合适的数学模型。

现有的DC/DC变换器建模方法主要有俩大类：数值法和解析法[2]。

缺点是无法得到解析解，难以反映变换器实际工作机理。

解析法又可分为连续法和离散法俩大类。

连续法在低频下可以利用成熟的经典控制理论来分析，并且误差很小，但是在高频下则不能正确反映变换器的实际工作机理。

离散法精度高且可以利用计算机迭代从而其速度快，迭代得到的解析解也可准确反映出变换器的实际工做状态。

现有研究表明：离散数学模型最能反映DC/DC变换器丰富的分岔与混沌现象。

为此，以电压控制模式Boost DC/DC变换器作为研究对象，全面考虑变换器的3个工作模态，建立了不连续导通模式下(即DCM模式)变换器的离散数学模型，并据此给出分岔图，采用倍周期分岔理论进行混沌现象研究，最后进行Matlab仿真给出时域波形图和相图。

周期3意味着混沌一．沙尔可夫斯基定理抛物线映射分岔图，及其稳定和不稳定周期轨道。

● 在单峰映射中，倍周期分岔表示存在2i P （i = 0,1,2,…）诸偶数周期轨道。

● 在混沌带中，则存在3P 、5P 、7P 、9P 、…诸奇数周期轨道。

这些奇数周期轨道也按倍周期进一步分岔，得到32P 52P 72P 92P m m m m m ⨯⨯⨯⨯= 、、、、（0,1,2,）诸周期轨道。

● 倍周期分岔和混沌带中周期窗口的所有周期轨道（包括周期窗口的精细结构），包括了全部n P （周期轨道）。

● 当映射中的参量（如方程抛物线方程中的μ）取某一定值、映射结果是某稳定周期轨道n P 时，实际上还同时存在许多不稳定周期轨道。

然则它总共可能包含哪些（稳定和不稳定）周期轨道呢？沙尔可夫斯基定理回答了此问题。

沙尔可夫斯基首先为一维映射中的不同周期定义了“领先”关系，如果周期p 的存在一定导致周期q 存在，则称“p 领先于q ”，记为p q 。

在此意义上，所有自然数的领先关系为：22223235793252729232527292 32527292 22221m m m m i ⎫⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎬⎪⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎭（1）这就是沙尔可夫斯基序列。

沙尔可夫斯基定理说，如果在某个一维连续映射中存在着周期p ，则在序列（1）中一切排在p 后面的周期都也存在。

◆ 当分岔参量μ取值增大时，原来稳定的周期轨道不断地变得不稳定，并出现新的稳定轨道。

但新的稳定轨道(p)的出现并不意味着原来轨道(q)不存在，而只是说原来轨道(q)是以不稳定的形式存在于新的稳定状态中。

因此参量μ值越大，（式1中位置越靠前），状态中包含的不稳定轨道越多。

这就是沙尔可夫斯基定理。

◆ 序列（1）中最下一行的p ＝2i 就是倍周期分岔的逆过程。

◆ 序列（1）中p ≠ 2i 的周期轨道就是混沌带中的奇数周期窗口，这种周期轨道实际上包含有无穷多周期轨道(q)。

实验十一 非线性混沌实验研究非线性科学和复杂系统的研究是二十一世纪科学研究的一个重要方向。

目前主要的研究方法是在给定的参量和初值后，依照一定的决定性关系用计算机按迭代法对其演变进行数值计算。

其相应的研究结论和成果在电子学、数学、物理学、气象学、生态学、经济学等领域得到了广泛应用。

长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。

但是自然界中最常见的运动形式，既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间。

在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。

1963年，美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。

于是，1975年“混沌”作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。

世界是有序的还是无序的？从牛顿到爱因斯坦，他们都认为世界在本质上是有序的，有序等于有规律，无序就是无规律，系统的有序有律和无序无律是截然对立的。

这个单纯由有序构成的世界图象，有序排斥无序的观点，几个世纪来一直为人们所赞同。

但是混沌和分形的发现，向这个单一图象提出了挑战，经典理论所描述的纯粹的有序实际上只是一个数学的抽象，现实世界中被认为有序的事物都包含着无序的因素。

混沌学研究表明，自然界虽然存在一类确定性动力系统，它们只有周期运动，但它们只是测度为零的罕见情形，绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动，虽然并非所有的非线性系统都有混沌运动，但事实表明混沌是非线性系统的普遍行为。

混沌既包含无序又包含有序，混沌既不是具有周期性和其他明显对称性的有序态，也不是绝对的无序，而可以认为是必须用奇怪吸引子来刻划的复杂有序，是一种蕴涵在无序中的有序。

以简单的Logistic 映射为例，系统在混沌区的无序中存在着精细的结构，如倒分岔、周期窗口、周期轨道排序、自相似结构、普适性等，这些都是有序性的标志。

所以，在混沌运动中有序和无序是可以互补的。

混沌原理实验报告篇一：混沌上机实验报告混沌上机实验报告学院：课程名称：混沌学生姓名：许亮亮学号：1106440513 实验一一、上机题目：在VC中自制调色板二、上机目的与要求1.熟悉一种编程语言环境及相关图形功能，能够灵活使用画笔，画刷等绘图工具。

2.利用相关编程语言的图形功能，制作20色以上调色板。

3.理解平面与屏幕的对应关系，掌握吸引子的构造原理与色带的制作方法，为下一个实验做准备工作。

三、思路及步骤1.在MFC中，创建一个对话框窗口。

在主窗体中添加一个textbox 控件，作为调色板的产生区域。

在其属性中的样式里，将“凹陷”和“边框”选上。

2.为了使调色板的长宽可变，在text区域的右部添加两个编辑框，分别控制产生色块的行列数量。

在ClassWizard里为其添加成员变量，变量名分别为m_length和m_width，并设置变量值区域，长在1和7之间，宽在1和5之间。

另外，添加一个控制时间间隔的编辑框，命名为m_elapse，以毫秒为单位。

类型均为int。

3.添加两个按钮，“绘图”和“退出”。

界面效果如下。

4.为绘图按钮添加消息映射函数。

在text的区域绘制一个矩形，坐标为(15,615),(20,425)，用白色画刷填充。

产生的每个色块为边长为80单位的正方形，行列数量由输入的m_length和m_width决定。

每产生一个，调用Sleep(m_elpase)函数，等待m_elpase个间隔后再产生下一个。

此调色板的颜色全部由随机数控制，即用random()函数产生RGB三种颜色。

部分代码如下：四、所作图形7*5的调色板5*4的调色板，时间间隔较大，颜色差别也较大，并过渡了一个色调可以看到，时间间隔为500ms时，每两个色块的颜色相同五，实验部分代码// Set the icon for this dialog. The framework does this automatically // when the application’s main window is not a dialog SetIcon(m_hIcon, TRUE); SetIcon(m_hIcon, FALSE);// TODO: Add extra initialization here// Set big icon // Set small iconreturn TRUE; // return TRUE unless you set the focus to a control}void CTiaosebanDlg::OnSysCommand(UINT nID, LPARAM lParam) { if ((nID 0xFFF0) == IDM_ABOUTBOX) {CAboutDlg dlgAbout;dlgAbout.DoModal(); } else {CDialog::OnSysCommand(nID, lParam); }}// If you add a minimize button to your dialog, you will need the code below // to draw the icon. For MFC applications using the document/view model, // this is automatically done for you by the framework.void CTiaosebanDlg::OnPaint() { if (IsIconic()) {CPaintDC dc(this); // device context for paintingSendMessage(WM_ICONERASEBKGND, (WPARAM) dc.GetSafeHdc(), 0); // Center icon in client rectangleint cxIcon = GetSystemMetrics(SM_CXICON);int cyIcon = GetSystemMetrics(SM_CYICON);CRect rect;GetClientRect(rect);int x = (rect.Width() cxIcon + 1) / 2;int y = (rect.Height() cyIcon + 1) / 2; // Draw the icon dc.DrawIcon(x, y, m_hIcon); } else {CDialog::OnPaint();}篇二：混沌通讯实验报告篇一：近代物理实验混沌通信实验报告近代物理实验——混沌电路及其在加密通信中的应用预习报告：蔡氏电路虽然简单，但具有丰富而复杂的混沌动力学特性，而且它的理论分析、数值模拟和实验演示三者能很好地符合，因此受到人们广泛深入的研究。