《2.14定积分与微积分基本定理》 学案

定积分与微积分基本定理复习（课堂导学案）班级：；姓名：；学习小组组；号课前准备·明确目标【目标导引】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。

2. 学生能够利用定积分相关知识解决实际应用问题，会用微积分基本定理解决相关问题。

3. 通过小组合作的形式提升学生分析解决问题的能力。

自主学习·求知探究知识梳理教与学感悟1．定积分中，a，b分别叫做积分下限与积分上叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x∫421 x dA.176 B.143 C.136 D.116∫101－x2d＝1x，直线＋52所围成的封闭图形的面积为⎭⎫＋1x2π⎰sin2x2d(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值．考点二利用定积分的几何意义求定积分[例2]∫10－x2＋2x d x＝________.变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．考点三：利用定积分求平面图形的面积[例3](2014·高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为()A.103B．4 C.163D．6变式训练：若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解？———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．(4)计算定积分，写出答案．考点四：定积分在物理中的应用[例4]列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4 m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2013·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误． 2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；(2)准确确定被积函数和积分变量．变式训练：1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13D.7122．(2014·高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.本节学习感悟：定积分与微积分基本定理（教案设计部分）设计人： 审核：吕厚杰【教学目标】1. 学生加深对定积分与微积分基本定理相关知识的理解。

定积分与微积分基本定理【学习目标】1.了解定积分的实际背景，基本思想、概念.2.了解微积分基本定理的含义. 【基础评测】1.用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( D ) A ．⎠⎛a c f(x)dx B ．|⎠⎛ac f(x)dx|C ．⎠⎛a b f(x)dx ＋⎠⎛b c f(x)dxD ．⎠⎛b c f(x)dx －⎠⎛a b f(x)dx 2．下列各命题中，不正确的是( D )A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－aaf(x)d x ＝2⎠⎛0a f （x ）d xC ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛ab f(x)d x>0D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛ab f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)2x (x <0)则∫1－1f (x )d x 的值是 ( D ) A.∫1－1x 2d x B.∫1－12x d x C.∫0－1x 2d x ＋∫102x d x D.∫0－12x d x ＋∫10 x 2d x4．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则f (x )d x 等于 ( )A ．0B ．4C ．8D ．16 答案 D 解析 原式＝－6f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称．∴对应的面积相等.8×2＝16，故选D. 5．计算：1220(1)_____x x dx -=⎰答案：1+23π6．一个弹簧压缩x cm 产生4x N 的力，那么将它从自然长度压缩0.05 cm 所做的功是 （B ）A ．50 JB ．0.5 JC ．500 JD ．5 J7．一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间1秒内的位移为176【教材导读总结与质疑】自主总结： 质疑点:【互动探究】探究一 定积分的计算计算下列定积分：(1)∫20x (x ＋1)d x ； (2)∫21(e 2x ＋1x )d x (3)∫π0sin 2x d x . (4)∫a －a a 2－x 2d x (a >0)． (5)∫20|x －1|d x ；(6) 1－sin 2x d x ；（7）⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ；（8）如果∫10f (x )d x ＝1，∫20f (x )d x ＝－1，则∫21f (x )d x 解:(1)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x ＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝x 33| 20＋x 22| 20＝143. (2)∫21(e 2x ＋1x )d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x | 21＋ln x | 21＝12e 4－12e 2＋ln 2. (3)∫π0sin 2x d x ＝∫π01－cos2x 2d x ＝∫π012d x －∫π0cos2x 2d x ＝x 2| π0－14sin 2x | π0＝π2－0＝π2. (4)∫a －aa 2－x 2d x 表示y ＝a 2－x 2的图象与x ＝－a ，x ＝a ，y ＝0所围成的图形的面积，由y ＝a 2－x 2得x 2＋y 2＝a 2(y ≥0)，∴y ＝a 2－x 2表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，其面积为12·πa 2＝πa 22，(5)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]∴∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝(x －x 22)| 10＋(x 22－x )| 21＝12＋12＝1. (6)＝∫π0|sin x －cos x |d x ＝(cos x －sin x )d x ＋(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x ) ＋(－cos x －sin x )＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.(7)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ＝⎠⎛011x ＋1－1x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)⎪⎪⎪ )10＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.（8）解析：∵∫20f (x )d x ＝∫10f (x )d x ＋∫21f (x )d x ，∴∫21f (x )d x ＝∫20f (x )d x －∫10f (x )d x ＝－1－1＝－2.[悟一法]求定积分的一些技巧(1)对被积函数，要先化简，再求定积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质， 分段求定积分再求和．(3)对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能 求定积分．(4)利用微积分基本定理不易求解时，可考虑利用定积分的几何意义求解．探究二 利用定积分求面积求下图中阴影部分的面积．解 解方程组⎩⎨⎧y ＝x －4，y 2＝2x ，得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝8y ＝4S 阴影＝⎠⎛082x d x －8＋⎠⎛02|－2x |d x ＋2＝2 ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3280＋2⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3220－6＝18.求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的上、下限；(2)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(3)写出平面图形面积的定积分的表达式；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．探究三 定积分的应用1．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()73(,/)1v t t t s v m s t=-++的单位：的单位：行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是 ．4+25ln5 A ．1+25ln5 B ．118+25ln3C ．4+25ln5D ．4+50ln 2 2．一质点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2－4t ＋3(m/s)运动．求：(1)在t ＝4 s 的位置；(2)在t ＝4 s 内运动的路程． 解：(1)在时刻t ＝4时该点的位置为⎠⎛04(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪40＝43(m)，即在t ＝4 s 时刻该质点距出发点43m.(2)因为v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上的v (t )≥0， 在区间[1,3]上，v (t )≤0，所以t ＝4 s 时的路程为S ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＋⎪⎪⎪⎪⎠⎛13(t 2－4t ＋3)d t ＋⎠⎛34(t 2－4t ＋3)d t ＝(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪ 1＋⎪⎪⎪⎪13t 3－2t 2＋3t |31 ＋(13t 3－2t 2＋3t )⎪⎪⎪ 43＝43＋43＋43＝4(m) 即质点在4 s 内运动的路程为4 m..巩 固 提 高1．求由曲线y =直线2y x =-+及y 轴所围成的图形的面积错误的为（ ）A ．4(2)x x dx -+⎰B ．4xdx ⎰C ．222(2)y y dy ---⎰D ．022(4)y dy --⎰【答案】C ．2．[2014·湖北卷] 若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sin 12x ，g(x)＝cos 12x ；②f(x)＝x ＋1，g(x)＝x －1；③f(x)＝x ，g(x)＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．C [解析] 由题意，要满足f(x)，g(x)是区间[－1，1]上的正交函数，即需满足⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝0.①⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11sin 12x cos 12x d x ＝12⎠⎛－11sin x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12cos x 1－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11(x ＋1)(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－x 1－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交函数；③⎠⎛－11f(x)g(x)d x ＝⎠⎛－11x ·x 2d x ＝x 441－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数． 综上，是区间[－1，1]上的正交函数的组数是2. 故选C . 3.计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰_______23____.4.关于式子5220254x dx -⎰的结果，有以下结论：①半径为52的圆的面积的二分之一 ②半径为52的圆的面积的四分之一③长短轴长分别为10和5的椭圆面积的二分之一 ④长短轴长分别为10和5的椭圆面积的四分之一 ⑤该式子的值为258π ⑥该式子的值为2516π 其中正确结论的序号为 .①④⑤5．给出如下命题：(1)⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；(2)⎠⎛0－11－x 2d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＝π4；(3)曲线y ＝sin x (0≤x ≤2π)与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2.真命题的个数为________．解析 由于⎠⎛b a d x ＝a －b ，⎠⎛ab d t ＝b －a ，故(1)错；由定积分的几何意义知⎠⎛0－11－x 2d x和⎠⎛011－x 2d x 都表示半径为1的圆面积的14，所以都等于π4，故(2)正确；曲线y ＝sinx (0≤x ≤2π)与直线y ＝0所围成的两个封闭区域的面积之和应该等于4，所以(3)错误．答案 16．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围成的图形面积是 ________.答案 3解析 结合图形知其面积为S ＝cos x d x ＋＝－＝1－(－1－1)＝3.7．f(x)＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f(x)d x 为________．答案 π 解析 由y ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2，(x －1)2＋y 2＝4，(y ≥0)∴⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14，∴等于14·π·22＝π.8．列车以72 km/h 速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？【解析】 因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v ＝0 ，求出t .再根据v 和t 应用定积分求出路程．已知列车速度v 0＝72 km/h ＝20 m/s ，列车制动时获得的加速度为a ＝－0.4 m/s 2. 设列车开始制动到经过t 秒后的速度为v ，则v ＝v 0＋⎠⎛0t a d t ＝20－⎠⎛0t 0.4d t ＝20－0.4t ，令v ＝0，得t ＝50 s.设列车由开始制动到停止时所走的路程是s ，则s ＝v d t ＝ (20－0.4t )d t ＝500 m.9.如下图所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax (a >1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0<t ≤1)与曲线C 1、C 2分别相交于点D 、B ，连接OD 、DA 、AB . 求四边形ABOD 面积和最大值。

第二篇 函数、导数及其应用专题2.14 定积分与微积分基本定理【考纲要求】1. 了解定积分的实际背景、基本思想及概念． 2．了解微积分基本定理的含义. 【命题趋势】定积分与微积分基本定理难度不大，常常考查定积分的计算和求曲边梯形的面积. 【核心素养】本讲内容可以突出对数学建模，数学运算，数学抽象的考查. 【素养清单•基础知识】 1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 2．定积分的性质(1) ⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(2) ⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x ；(3) ⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数解析式，然后根据定积分的性质(3)进行计算. 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．4．定积分的几何意义定积分⎠⎛ab f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形的面积的代数和，其值可正可负，具体来说，如图，设阴影部分的面积为S . ①S ＝⎠⎛a b f (x )d x ；②S ＝－⎠⎛a b (x )d x ；③S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x ；④S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .(1)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可正可负.(2)当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零. 【素养清单•常用结论】 1．常见被积函数的原函数 (1) ⎠⎛a bc d x ＝cx |b a ；(2)⎠⎛ab x n d x ＝x n ＋1n ＋1|ba (n ≠－1)； (3) ⎠⎛ab sin x d x ＝－cos x |b a ；(4) ⎠⎛abcos x d x ＝sin x |b a ；(5) ⎠⎛ab 1x d x ＝ln|x ||b a ；(6) ⎠⎛ab e x d x ＝e x |b a .2. 奇函数、偶函数定积分的两个重要结论 设函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；(2)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 【真题体验】1．若s 1＝⎠⎛12x 2d x ，s 2＝⎠⎛121x d x ，s 3＝⎠⎛12e x d x ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为( )A ．s 1<s 2<s 3B ．s 2<s 1<s 3C ．s 2<s 3<s 1D ．s 3<s 2<s 1【答案】B【解析】 因为s 1＝13x 3∣21＝13(23－13)＝73<3，s 2＝ln x ∣21＝ln 2－ln 1＝ln 2<1，s 3＝e x ∣21＝e 2－e>3，所以s 2<s 1<s 3. 2.直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4【答案】D【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x3得交点为(0,0)，(2,8)，(－2，－8)， 所以S ＝⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4∣2 0＝4，故选D ．3.已知t >1，若⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝t 2，则t ＝__________.【答案】 2【解析】 ⎠⎛1t (2x ＋1)d x ＝(x 2＋x )∣t 1＝t 2＋t －2，从而得方程t 2＋t －2＝t 2，解得t ＝2.4.汽车以36 km/h 的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以加速度a ＝－2 m/s 2刹车，则从开始刹车到停车，汽车走的距离是__________m ． 【答案】 25【解析】 t ＝0时，v 0＝36 km/h ＝10 m/s ，刹车后，汽车减速行驶，速度为v (t )＝v 0＋at ＝10－2t ，由v (t )＝0得t ＝5 s ，所以从刹车到停车，汽车所走过的路程为⎠⎛05v (t )d t ＝⎠⎛05(10－2t )d t ＝(10t －t 2)∣50＝25(m)．【考法拓展•题型解码】 考法一 定积分的计算 答题模板：计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积或和或差． (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为初等函数的定积分． (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数． (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值． (5)计算原始定积分的值． 【例1】 计算下列定积分．(1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ； (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ；(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x . 【答案】见解析【解析】 (1)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ＝⎠⎛01(－x 2)d x ＋⎠⎛012x d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3∣10＋(x 2)∣10＝－13＋1＝23. (2)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x )∣π0－sin x ∣π0＝2.(3)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝⎠⎛12e 2x d x ＋⎠⎛121xd x ＝12e 2x ∣21＋ln x ∣21 ＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.(4)⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x ＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x ,＝⎠⎜⎛0π4(cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪π2π4＝2－1＋(－1＋2)＝22－2. 考法二 定积分的几何意义及应用 归纳总结(1)利用定积分求平面图形面积的步骤： ①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(2)根据平面图形的面积求参数的方法：先利用定积分求出平面图形的面积，再根据条件构造方程(不等式)求解．【例2】 (1)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A ．103B ．4C ．163D ．6【答案】C【解析】作出曲线y ＝x 和直线y ＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x ∣40＝23×8－12×16＋2×4＝163. (2)(2019·湖南雅礼中学质检)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112.试求：切点A 的坐标和过切点A 的切线方程．【答案】见解析【解析】 (2)如图，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.,令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝⎛⎭⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ．S 曲边△AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12⎝⎛⎭⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30， 即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，所以x 0＝1. 从而切点为A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1. 考法三 定积分在物理中的应用 归纳总结：定积分在物理中的两个应用(1)求变速直线运动的路程：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2【答案】C【解析】由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4，t ＝－83(舍去)，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )∣40＝4＋25ln 5(m)． (2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为__________J.【解析】由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025 d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ∣42＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36 (J)． 【易错警示】易错点 定积分的几何意义理解错误【典例】 如图，函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，则阴影部分的面积S 为( )A ．⎠⎛ab f (x )d xB ．⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xC ．－⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d xD ．－⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x【错解】：A ，B ，C【错因分析】：在实际求解曲边梯形的面积时要注意在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号，而各部分面积的代数和为x 轴上方的定积分减去x 轴下方的定积分．【正解】：如图所示，在[a ，c]上，f(x)≤0；在[c ，b]上，f(x)≥0，所以函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的阴影部分的面积S ＝－⎠⎛a c f(x)dx ＋⎠⎛cb f(x)dx ，故选D ．【跟踪训练】 (2019·山东淄博一模)如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A ．⎠⎛02|x 2－1|d xB ．⎪⎪⎪⎪⎠⎛02(x 2－1)dxC ．⎠⎛02(x 2－1)dxD ．⎠⎛01(x 2－1)dx ＋⎠⎛12(1－x 2)dx【答案】A【解析】 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下阴影部分的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|dx .1．定积分⎠⎛01x (2－x ) d x 的值为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】A【解析】 令y ＝x (2－x )，则(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，由定积分的几何意义知，⎠⎛01x (2－x )d x 的值为区域⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，0≤x ≤1的面积，即为π4.2．计算：⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝__________.【答案】 0【解析】 因为y ＝x 3cos x 为奇函数，所以⎠⎛－33(x 3cos x )d x ＝0.3．如图，由两条曲线y ＝－x 2，y ＝－14x 2及直线y ＝－1所围成的平面图形的面积为__________．【答案】 43【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，y ＝－1得交点A (－1，－1)，B (1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x 2，y ＝－1得交点C (－2，－1)，D (2，－1)． 所以所求面积S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝⎛⎭⎫－14x 2＋x 2d x ＋⎠⎛12⎝⎛⎭⎫－14x 2＋1d x ＝43.4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机向圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率为__________．【答案】4π3【解析】 阴影部分的面积为2⎠⎛0πsin x d x ＝2(－cos x )∣π0＝4，圆的面积为π3，所以点A 落在区域M 内的概率是4π3.5.物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是__________m ． 【答案】 130【解析】 设A ，B 两物体运动t s 后相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10tdt ＝5，所以t 3＋t －5t 2＝5，解得t ＝5，所以A 物体从出发到相遇时的运动距离为53＋5＝130(m)． 【考卷送检】 一、选择题1.⎠⎛01e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1D ．12(e －1)【答案】C【解析】 ⎠⎛01e x d x ＝e x ∣10＝e 1－e 0＝e －1，故选C ．2.⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝( ) A ．e 2－2 B ．e －1 C ．e 2 D ．e ＋1【答案】C【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )∣e 1＝e 2，故选C ． 3.求曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xB ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【答案】A【解析】 由图象可得S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4.曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及直线x ＝4所围成的封闭图形的面积为( )A ．2ln 2B ．2－ln 2C ．4－ln 2D ．4－2ln 2【答案】D【解析】 由曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1及x ＝4所围成的封闭图形如图中阴影部分所示，故所求图形的面积为S ＝⎠⎛24⎝⎛⎭⎫x －1－2x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－x －2ln x ∣42＝4－2ln 2.5.若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1【答案】B【解析】 S 1＝13x 3∣21＝73，S 2＝ln x ∣21＝ln 2，S 3＝e x ∣21＝e 2－e.因为ln 2<1<73，e 2－e ＝e(e －1)>e>73，故S 2<S 1<S 3，故选B ．6.如图，设D 是图中所示的矩形区域，E 是D 内函数y ＝cos x 图象上方的点构成的区域(阴影部分)，向D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为( )A ．2πB ．1πC ．12D ．π－2π【答案】D【解析】 因为⎠⎜⎛0 π2cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪⎪π2＝1，故所求概率为π－1×2π＝π－2π.二、填空题7. ⎠⎜⎛0π2(cos x －sin x )d x ＝________.【答案】 0【解析】 ⎠⎜⎛0 π2(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π2＝0. 8.若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝________.【答案】 e 2＋12【解析】 ⎠⎛1e ⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ∣e 1＝e 2＋12. 9.由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形(图中的阴影部分)的面积是________．【答案】 22－2【解析】 由图可得阴影部分面积S ＝2⎠⎜⎛0 π4(cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪⎪π4＝2(2－1)． 三、解答题 10.求下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .【答案】【解析】 (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22∣21－x 33∣21＋ln x ∣21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x ＝,sin x ∣0－π＋e x ∣0－π＝1－1e π. 11.已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积． 【答案】【解析】 因为(1,2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1,2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以在点(1,2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x ，其与函数g (x )＝x 2围成的图形如图．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2,4)． 所以y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积 S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3∣20＝4－83＝43. 12.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，直线l 1：x ＝2，直线l 2：y ＝－t 2＋8t (其中0≤t ≤2，t 为常数)，若直线l 1，l 2与函数f (x )的图象以及l 2，y 轴与函数f (x )的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求阴影面积S 关于t 的函数S (t )的解析式． 【答案】见解析【解析】 (1)由图可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f (x )的最大值为16，则⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ·82＋b ·8＋c ＝0，4ac －b 24a ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝8，c ＝0.(2)由(1)知函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋8x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－t 2＋8t ，y ＝－x 2＋8x得x 2－8x －t (t －8)＝0，所以x 1＝t ，x 2＝8－t .因为0≤t ≤2，所以直线l 2与f (x )的图象位于l 1左侧的交点坐标为(t ，－t 2＋8t )，由定积分的几何意义知：S (t )＝⎠⎛0t[(－t 2＋8t )－(－x 2＋8x )]d x ＋⎠⎛t2[(－x 2＋8x )－(－t 2＋8t )]d x ＝⎣⎡⎦⎤(－t 2＋8t )x －⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2∣t 0＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x 33＋4x 2－(－t 2＋8t )x ∣2t＝－43t 3＋10t 2－16t ＋403. 13.求曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π4与x 轴围成的图形的面积． 【答案】见解析【解析】 当x ∈[0，π]时，f (x )≥0，当x ∈⎝⎛⎦⎤π，5π4时，f (x )<0. 则所求面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－⎠⎜⎛π 5π4sin x d x ＝－cos x ∣π0＋cos x ⎪⎪⎪⎪5π4π＝2＋⎝⎛⎭⎫－22＋1＝3－22.。

定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。

说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。

《1・4・2微积分基本定理》导学案5【课标转述】通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。

【学习目标】1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法【学习过程】一、复习：定积分的概念：用定义计算定积分方法步骤：二、新课探究：我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较-•般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之I、可的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为V(t)(v(r)><?),则物体在时间间隔「丁T 1内经过的路程可用速度函数表示为小 o另一方而，这段路程还可以通过位置函数S(t)在百込］上的增S-5(7；)-5(7；)来表达，即|%a)d「s(G-s(7；)而S'(r) = v(r)。

对于一般函数芦(兀),设尸3 =加'是否也有fbI f(x)dx = F(b) — F(ci)J a若上式成立，我们就找到了用f(力的原函数(即满足^，(劝二广(兀))的数值差F(b) —F(G)来计算/(x)在［a,b］上的定积分的方法。

注：1、定理如果函数F(X)是⑺小］上的连续函数f(劝的任意一个原函数，则f(x)dx = F(b) — F(a)2、为了方便起见,还常用尸(兀)『表示F(b)_F(a)，即b >f(x)dx = F(x)^=F(b)-F(a)该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分Z间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》一、教学目标：1. 理解定积分与微积分的基本定理的概念。

2. 掌握定积分的性质和计算方法。

3. 学会应用定积分解决实际问题。

二、教学重点：1. 定积分与微积分的基本定理的概念。

2. 定积分的性质和计算方法。

三、教学难点：1. 定积分与微积分的基本定理的理解和应用。

2. 定积分的计算方法的掌握。

四、教学准备：1. 教材或教辅资料。

2. 投影仪或黑板。

3. 练习题。

五、教学过程：1. 导入：通过复习微积分的基本概念，引导学生思考微积分的应用，引出定积分与微积分的基本定理。

2. 讲解：讲解定积分与微积分的基本定理的概念，解释定积分的性质和计算方法。

3. 示例：给出定积分的计算示例，引导学生理解定积分的计算方法。

4. 练习：给出练习题，让学生独立完成，老师进行讲解和解析。

5. 总结：总结本节课的重点内容，强调定积分与微积分的基本定理的理解和应用。

6. 作业：布置相关的作业题，让学生进行巩固练习。

六、教学拓展：1. 引导学生思考定积分在实际问题中的应用，例如物理学、经济学等领域。

2. 介绍定积分的进一步研究，如定积分的广义概念、多重积分等。

七、教学反思：1. 课后对自己的教学进行反思，观察学生的学习情况，看是否达到了教学目标。

2. 针对学生的学习情况，调整教学方法，以便更好地引导学生理解和掌握定积分与微积分的基本定理。

八、课后作业：1. 完成教材或教辅资料中的相关练习题。

九、课后辅导：1. 对学生在课堂上的疑问进行解答。

2. 针对学生的学习进度，提供个性化的辅导。

十、教学评价：1. 通过课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等方面，对学生的学习情况进行评价。

2. 结合学生的反馈，对教学方法进行改进，提高教学效果。

重点和难点解析一、教学目标：在制定教学目标时，需要明确学生应掌握的知识点和技能，以及培养学生的能力。

对于定积分与微积分的基本定理，学生应理解其概念，掌握定积分的性质和计算方法，并能够应用定积分解决实际问题。

《定积分与微积分基本定理》教案章节一：定积分的概念1.1 引入定积分的概念1.2 定积分的几何意义1.3 定积分的性质1.4 定积分的计算方法章节二：定积分的计算2.1 定积分的换元法2.2 定积分的分部积分法2.3 定积分的三角函数法2.4 定积分的特殊函数法章节三：定积分的应用3.1 定积分在几何中的应用3.2 定积分在物理中的应用3.3 定积分在经济学中的应用3.4 定积分在其他领域的应用章节四：微积分基本定理4.1 微积分基本定理的引入4.2 微积分基本定理的证明4.3 微积分基本定理的应用4.4 微积分基本定理的拓展章节五：定积分的进一步应用5.1 定积分的双重积分5.2 定积分的三重积分5.3 定积分的线积分5.4 定积分的面积分《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节六：定积分的数值计算6.1 梯形法则6.2 辛普森法则6.3 柯特斯法则6.4 蒙特卡洛方法章节七：定积分的误差分析7.1 梯形法则的误差分析7.2 辛普森法则的误差分析7.3 柯特斯法则的误差分析7.4 蒙特卡洛方法的误差分析章节八：微积分基本定理的应用8.1 微积分基本定理在求解不定积分中的应用8.2 微积分基本定理在求解定积分中的应用8.3 微积分基本定理在求解极限中的应用8.4 微积分基本定理在求解导数中的应用章节九：定积分的优化问题9.1 利用定积分求解最大值和最小值9.2 利用定积分求解极值问题9.3 利用定积分求解最值问题的应用实例9.4 利用定积分求解实际问题中的优化问题章节十：定积分与微积分基本定理的综合应用10.1 利用定积分和微积分基本定理解决实际问题10.2 定积分和微积分基本定理在工程中的应用10.3 定积分和微积分基本定理在科学研究中的应用10.4 定积分和微积分基本定理在其他领域的应用《定积分与微积分基本定理》教案（续）章节十一：定积分的物理意义11.1 定积分在物理学中的作用11.2 定积分与力学中的功11.3 定积分与电磁学中的电场强度11.4 定积分在热力学中的应用章节十二：定积分在工程中的应用12.1 定积分在土木工程中的应用12.2 定积分在机械工程中的应用12.3 定积分在电子工程中的应用12.4 定积分在生物医学工程中的应用章节十三：定积分在经济与管理中的应用13.1 定积分在经济学中的优化问题13.2 定积分在金融学中的应用13.3 定积分在运筹学中的应用13.4 定积分在管理科学中的应用章节十四：定积分在现代科技中的应用14.1 定积分在计算机科学中的应用14.2 定积分在数据科学中的应用14.3 定积分在中的应用14.4 定积分在其他现代科技领域的应用章节十五：定积分与微积分基本定理的复习与提高15.1 定积分的基本概念与性质的复习15.2 微积分基本定理的复习与应用15.3 定积分的计算方法的巩固与提高15.4 定积分在实际问题中的应用案例分析重点和难点解析重点：1. 定积分的概念和几何意义2. 定积分的计算方法：梯形法则、辛普森法则、柯特斯法则和蒙特卡洛方法3. 定积分的应用领域：几何、物理、经济学等4. 微积分基本定理的引入、证明和应用5. 定积分的数值计算和误差分析6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等难点：1. 定积分的换元法和分部积分的具体操作2. 定积分的三角函数法和特殊函数法的应用3. 微积分基本定理的证明过程中的理解和应用4. 定积分的数值计算方法的误差分析5. 定积分在实际问题中的优化问题和应用实例6. 定积分在不同学科中的应用：物理学、工程学、经济与管理、现代科技等，这些应用领域的理解和实际问题解决能力的培养。

导学案 定积分与微积分基本定理学习目标：1、通过求曲边梯形的面积，了解定积分的背景；2、了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分；3、理解掌握定积分的几何意义和性质；4、了解微积分基本定理的含义，会用微积分基本定理求定积分．重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义、微积分基本定理． 难点：定积分的概念、定积分的几何意义、用微积分基本定理求定积分．预习内容：1、求曲边梯形的面积．如上图，求由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S ．解：（1）分割，在区间[01]，上等间隔地插入1n -个点，将区间[01]，等分成n1[0]n ，，12[]n n ，，⋅⋅⋅，1[1]n n-，，记第i 个区间为1[](12)i ii n n n-=，，，，，其长度为11i i x n n n-∆=-=，分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，⋅⋅⋅，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑.（2）近似代替，记2()f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1[]i in n -， 上，可以认为函数2()f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n -处的函数值1()i f n-，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1[]i in n-，上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内 “以直代曲”，则有221111()()()(12)i i i i i S S f x x i n n n n n---'∆≈∆=∆=∆==⋅⋅⋅，，， （3）求和，由①，上图中阴影部分的面积2111111()()nnnn i i i i i i S S f x n n n ===--'=∆=∆==∑∑∑== = ，从而得到S 的近似值n S S ≈= .（4）取极限，分别将区间[01]，等分8，16，20，⋅⋅⋅等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即0x ∆→时，111(1)(1)32n S n n=--趋向于S ， 从而有1111111lim lim()lim (1)(1)323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-==⋅=--=∑. 知识要点1、定积分：设()f x 定义在区间[]a b ，上，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间1[]i i x x -，上取一点(12,)i i n ξ=⋅⋅⋅，，，，作和式：11()()nni i i i b af x f n ξξ==-∆=∑∑，当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[]a b ，上的定积分，记为：()baf x dx ⎰， 即()baf x dx ⎰=1lim ()ni n i b af nξ→∞=-∑，其中函数()f x 叫做 ，b 叫积分 ，a 叫积分 ，()f x dx 叫 ，1中的例题可用积分式 表示.2、函数()f x 在区间[]a b ，上连续且满足()0f x ≥，则由直线x a =，x b =，0y =和曲线()y f x = 所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为：S = .3、函数()f x ，()g x 在区间[]a b ，上连续且满足()()f x g x ≥，则由直线x a =，x b =和曲线()y f x =，()y g x =所围成的曲边梯形的面积用定积分表示为：S = .4、求()y f x =，()y g x =所围成的曲边梯形的面积的步骤： .5、定积分的性质：性质1 、⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （0k ≠）（定积分的线性性质）； 性质2 、1212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）； 性质3 、()()()()b c baacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中 （定积分对积分区间的可加性）.6、原函数、函数()f x 是函数()F x 的导函数，即对任意x I ∈有'()()F x f x =，则称 是()f x 在I 上的一个原函数.7、微积分基本定理：如果 ，且()f x 在[]a b ，上可积，则()baf x dx =⎰= .预习检测：1、定积分⎰bacdx （常数0c >）的几何意义是 .2、由sin y x =，0x =，2x π=，0y =所围成图形的面积写成定积分的形式是 .3、定积分⎰badx x f )(的大小（ ）.A 、与)(x f 和积分区间[]a b ，有关，与i ξ的取法无关B 、与)(x f 有关，与区间[]a b ，及i ξ的取法无关C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]a b ，无关D 、与)(x f 、区间[]a b ，和i ξ的取法都有关 4、下列等式或不等式成立的个数是（ ）. ①⎰⎰=101)()(dx x f dt t f ；②dx x dx x xdx ⎰⎰⎰=+ππππ0220sin sin sin ；③dx x dx x aa a ⎰⎰=-02 ；④11dx <⎰⎰ A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、利用定积分的几何意义求解下列定积分. （1）21(1)x dx +⎰； （2）22||x dx -⎰；（3）a-⎰（0a >）； （4）4()f x dx ⎰ ，其中01()113434x x f x x x x ≤<⎧⎪=≤≤⎨⎪-<≤⎩，，，.典型例题例1、（1）求sin y x =在[0]π，上的阴影的面积S ；（2）求2sin xdx ππ⎰；20sin xdx π⎰．例2、计算：（1）41⎰； （2）22(1)x dx +⎰； （3）211dx x ⎰； （4）2211dx x ⎰．例3、求由曲线y =与直线4x =，0y =所围成的曲边梯形的面积S ．例4、求由曲线2y x =，2y x =所围图形的面积S ．课堂练习：1、计算下列定积分（1）215dx -⎰； （2）032x dx -⎰； （3）0⎰； （4）91⎰； （5）311dx x ⎰；（6）11edx x --⎰； （7）102x dx ⎰； （8）10xe dx ⎰； （9）2sin xdx ππ⎰； （10）26cos xdx ππ⎰.2、计算下列定积分： （1）3(1)(3)t t dt -+⎰； （2）220(2)x x dx -⎰；（3）2cos2d πθθ⎰； （4）2121()x x dx -+⎰．3、由直线3x π=-，3x π=，0y =与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 .4、由曲线2y x =，3y x =围成的封闭图形面积为 .。

定积分与微积分基本定理一. 教学内容：定积分与微积分基本定理二. 教学目的：1. 了解定积分的定义和定积分的几何意义；2. 会用定积分求一些平面图形的面积，变速直线运动的路程，变力所做的功。

三. 重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理。

［知识分析］知识点1：定积分的定义1. 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的．它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，定积分是由实际问题中提出的，对定积分概念说明如下： （1）把闭区间［a ，6］用n ＋1个分点（包括两个端点0n x a,x b ==）分为任意n 个小区间，并非要求一定分成n 等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n 等分的方法去布列分点． （2）在每个小区间i x ∆上，点ξ的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即i i 1i x x 2-+ξ=，也可以取在小区间的两个端点，即i i x ξ=或i i 1x -ξ=，还可以取在小区间的其他任何位置（i ＝1，2，…，n ）． （3）从几何意义上讲，i i f ()x ξ⋅∆（i ＝1，2，…，n ）表示以i x ∆为底边，以i f ()ξ为高的第i 个小矩形的面积，而不是第i 个小曲边梯形的面积，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑表示n 个小矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，不过，和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑可以近似地表示曲边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高． （4）总和n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑取极限时的极限过程为“i x 0∆→”（n →∞），当分割无限变细，即n →∞时，不一定能保证和式n 1iii 0f ()x-=ξ⋅∆∑的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积．（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值，定义n 1bi iax 0i 0f (x)dx lim f ()x -∆→==ξ⋅∆∑⎰实际上给出了定积分baf (x)dx⎰的一个计算方法，在实际问题中，由于它太繁琐，故很少使用．2. 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即bb ba a a f (x)dx f (u)du f (t)dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分baf (x)dx⎰与积分区间［a ，b ］息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上、下限不同，所得的值也不同，例如12(x 1)dx+⎰与320(x 1)dx+⎰的值就不同。

《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。

3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。

二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。

2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。

3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。

4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。

三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。

2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。

3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。

五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。

2. 第二课时：微积分基本定理的证明。

3. 第三课时：微积分基本定理的应用。

4. 第四课时：定积分的综合练习。

六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。

2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。

3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。

七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。

2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。

3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。

八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。

2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。