恒高教育 高二数学(复数的定义和坐标表示)(学生版)
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2 6、若复数(1-a)+(a -4)i(i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数 a 的范围为____________.
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7、在 8， 6 4， 2，0，1，3，5，7，9 这 10 个数中，任取两个作为虚数 a bi 的实部和虚部 (a b) ，则可 能组成模大于 5 的不同的虚数的个数为 （ （A）61 （B）63 （C）64 （D）65 ）
2
例 5、设复数 z 3a 1 (a 2)i(a R)求a为何值时，表示复数z的点Z在第二象限？第三象限？
在实轴上？在虚轴上？能否在原点？
例 6、已知复数 z1 3x 5 ( y 1)i, z2 2 y (2 x 3)i( x, y R), 若z1, z2在复平面内对应的点重合，求x, y
恒高一对一教师辅导讲义
年 课 级： 高二 题 辅导科目： 数学 学生姓名：
复数的概念和复数的坐标表示
1、理解复数集、复数的代数形式、实部与虚部的概念；
教学目的
2、理解两个复数相等的概念； 3、理解复数与向量之间的关系，为用向量的方法处理复数的加减法打下基础；
教学内容
【知识梳理】 1. 虚数单位 i :
（
）
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（A） 2 3 2i
（B） 2i
（C） 3 3i
（D） 3 3i
4. 把复数 z1 与 z2 所对应的向量 OA 、 OB 分别按逆时针方向旋转 i , 则 z1 等于 （ (A) － 2 － 2 i ） (B)－ 2 ＋ 2 i (C) 1 － 3 i
4 和 后，恰重合于向量 OM 。若 z2＝ 1 － 3 4 3
i 4 n 3 i ,
i 4n 1 .
4. 复数的定义：形如 a bi(a, b R) 的数叫复数， a 叫复数的实部， b 叫复数的虚部.全体复数所成的集合叫做复数
集，用字母 C 表示
5. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a, b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数
8、若复数 z 满足方程 z 2 2 0 ，则 z 3 （ A. 2 2 B. 2 2
） D. 2 2iΒιβλιοθήκη C. 2 2i-6-
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变式练习 1：已知 x2 y 2i 3(1 i) 2( x yi)，其中x,y都是实数，求复数x+yi
变式练习 2： 若x R, 试确定a取什么实数时，等式3x
2
a x 1 10i xi 2 x 2i成立？ 2
例 4、求满足 log2 (1 m) log 1 (3 m)i log2 (n 2) log2 (n2 3n 3)i的实数m, n的范围。
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例 7、已知复数 z1 a2 3 (a 5)i, z2 a 1 (a2 2a 1)i(a R) ，分别对应向量 OZ1, OZ2 (O为原点) 若向量
Z1Z2 (Z1Z2 =z1 -z2 ) 对应的复数为纯虚数，求 a 的值。
例 2、实数 m 取什么数值时，复数 z m 1 (m 1)i 是： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
变式练习： m 取何值时，复数 z
m2 m 6 (m2 2m 15)i （1）是实数 m3
（2）是虚数
（3）是纯虚数
例 3、已知 (3 10i) y (2 i) x 1 9i ，求实数 x,y.
形式. 6. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 a bi(a, b R) ，当且仅当 b 0 时，复数 a bi(a, b R) 是实 数 a ；当 b 0 时，复数 z a bi 叫做虚数；当 a 0 且 b 0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时， z 就 是实数 0
5 ，再把它的模变为原来的 2 倍，则与所得到的向量对应的复数是 12
（D） 3 i
（A） 3 i
（C） 3 i
3. 把复数 z 3 i 所对应的向量 OZ 绕原点逆时针旋转 则向量 ZQ 对应的复数是
后， 再将所得向量的模伸长到原来的 2 倍 ， 得向量 OQ ， 3
(D) 1 ＋
3i
【课后练习】 1、复数 (1 i)m2 (3 5i)m 2(2 3i) 时纯虚数时，实数 m 的取值为
2、a=0 是复数 z=a+bi 是纯虚数的
条件（必要，充分，充要）
3、如果 z 10 (7a a2 )i中（a R）,Rez=Imz 则 a =
4、求是和下列各等式的 x,y
(1)( x 2 y 2 ) (2 x 4 y )i 13 8i; (2)( x 2 y 2 ) 2 xyi 2i; (3)( x 2 11x 30) ( y 2 y 6)i 0
5、已知 x 为实数，是否存在实数 a 使得复数 z1 3x2 ( x a 1)2 i和z2 27 （x2 +a ax 1 ）i满足关系z1 z2 ? 若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，说明理由。
7. 复数集与其它数集之间的关系： N 苘Z Q 苘R C 8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果 a ， b ， c ， d R ，那么 a bi c di a c , b d 【典型例题分析】
例 1、判断下列结论是否正确
变式练习： 在复平面内，已知等边三角形 ABC 的两个顶点 AB 所表示的复数分别为
1 3 i 和 2，求第三个顶点的坐标。 2 2
【课堂小练】
1. 已知 z 1 i ，则在复平面上与 iz 对应的点所在的象限是 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限期 （ ）
（D）第四象限
2. 将复数 1 i 对应的向量按顺时针方向旋转 （ ） （B） 3 i
1 它的平方等于 1 ，即
i 2 1 ;
2 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2. i 与－1 的关系: i 就是 1 的一个平方根，即方程 x2 1 的一个根，方程 x2 1 的另一个根是 i . 3. i 的周期性： i 4 n 1 i , i 4n2 1 ,
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（1） a、b R ,则 a bi 是虚数； （2） b R ，则 bi 是纯虚数； （3）z=a 不是虚数； （4） z a bi(a, b N * ) 是虚数
变式练习：判断下列命题的真假 命题 1： 若z C,则z 0
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命题 2： 若x, y, z C,( x y)2 ( y z)2 0, 则x y z 命题 3： 若a R, 则(a 2)i是纯虚数 命题 4： 若p, q C, p 0且q 0, 则pq 0且p q 0
