7.1-7.2Newton-Cotes求积公式

( c 02 ) =
1/8 16/45 25/144 34/105
2989/ 17280 10496/ 28350
7/90 25/96 9/280
2989/ 17280 -4540/ 28350
19/288 9/35
1323/ 17280 10496/ 28350
41/840
3577/ 17280 -928/ 28350 751/ 17280 5888/ 28350 989/ 28350
k
xj
dx
在[a, b]作等距的插值基点 a=x0<x1<……<xn=b ， 作等距的插值基点
A =∫ ∏ dx k a j=0 x x j k
j≠k
b n
xxj
ba , x k = a + kh , k = 0,1 , n 设节点步长 h = n
积分作变量替换x= 积分作变量替换 a+th
步长
当x=a时 当x=b时
t=0， t=n，
t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n) Ak = ∫ lk ( x)dx = h∫ dt nk 0 a k !(n k )!(1) (1)nk n = h ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )! nk n (1) =nh ∫0 t (t 1)(t k + 1)(t k 1)(t n)dt k !(n k )!n
Newton-Cotes公式 公式
牛顿—柯特斯 牛顿 柯特斯(Newton-Cotes)求积公式 柯特斯 求积公式
Newton—Cotes公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式： 公式是插值型求积公式的特殊形式

计算方法
(2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但 表达式太复杂，例如函数 f (x) x2 2x2 3
并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后 其原函数F(x)为：
F(x) 1 x2 2x2 3 3 x 2x2 3 9 ln( 2x x2 2x2 3)
2
2
两端不相等, 所以该求积公式具有 1 次代数精度。
计算方法
例2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
4
0 f ( x)dx Af (0) Bf (1) Cf (3)
解: 要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2 求积公式准确成立，即得如下方程组
A B C 4


A1 A0 A1 4h hA1 hA1 0
h2 A1

h2 A1

16 h3 3
解之得
计算方法
A0


4 3
h,
A1

A1


8 3
h
2h f ( x)dx 4h2 f (h) f (0) 2 f (h)
2h
3
其代数精度至少为2, 将f(x)=x3代入求积公式两端相等, 将f(x)=x4代入求积公式两端不相等, 所以其代数精度为3次。
由定积分定义
b
n
f ( x)dx lim
a
x 0
f (i )xi
i0
(1)分 割 a x0 x1 ... xn i b
计算方法
(2)近 似 si f ( )xi xi xi xi1
n
n
(3)求 和 Sn si f (i )xi

newton-cotes 公式牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是用来在有限的数据点上进行数值积分的公式，它有助于解决一些数学里复杂的积分问题。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式是建立在具有固定的插值点的基础上的，它的基本思想是将积分区间上的函数值用一个多项式曲线表示，根据多项式的函数值，通过运用权重系数求出函数对应积分区间上的积分值。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式具有理论可靠性和可计算性，可以用来计算任何一类好的函数在有限积分区间上的数值积分值。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式有如下几种：前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式，中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式和梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式，每种公式都是以一定的格式形式来进行积分计算的，它们在实用水平上是相通的，可以用来求取给定函数在有限划分区间上的近似数值积分值。

不同的是，每种公式都有不同的特点，比如，前向 - 望厄（Forward-Newton-Cotes）公式算法效率高但精度低，后向 - 望厄（Backwards-Newton-Cotes）公式算法精度高但效率低，梯形 - 望厄（Trapezoid-Newton-Cotes）公式精度取决于区间的分段数，而中间 - 望厄（Midpoint-Newton-Cotes）公式适合单次积分的计算。

牛顿-科特斯（Newton-Cotes）公式可以用来解决一些数学里比较复杂的积分问题，它对于提高程序自动执行效率也必不可少，所以它在很多地方都有实际应用。

第七章 微积分的数值计算方法⏹传统方法的困境⏹数值积分的基本思想⏹数值积分的一般形式⏹代数精度问题求函数 f (x ) 在区间 [a ,b ] 上的定积分是微积分学中的基本问题。

返回章7.1 基本概念§图7-0 矩形规则yxa=x 0x 1x 2x ix i +1x n-1x n =bf 0f 1f 2f if i+1f n-1f nf (x )(1)(2)()()(),[,]baI f x dx b a f a b ξξ==-∈⎰积分中值定理ξ但具体位置一般是不知道的，()f ξ 称为函数y=f(x)在区间[a, b]上的平均高度。

这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。

()f ξ一般地，我们取[a,b]内若干个节点处的高度的加权平均的方法近似地得出平均高度。

数值积分的一般形式数值积分的一般形式是：(3)其中，f i ----是函数f(x)在节点x i 上的函数值，它可能以列表形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函数值；A i ----称为节点x i 上的权系数，也称求积系数。

正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。

记数值积分公式为特点：把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的代数运算。

x i为节点，A i 为求积系数。

需要做的工作：1. 确定节点和求积系数；2. 估计余项；3. 讨论公式的算法设计及其数值稳定性。

最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下:上取一组节点在积分区间],[b a bx x x a n ≤<<<≤ 10次插值多项式的作n x f )(∑==nk k k n x l x f x L 0)()()(为插值基函数其中：),,1,0)((n k x l k =不同的插值方法有不同的基函数,不同的表示形式插值型求积公式有的近似作为被积函数用,)()(x f x L n ⎰badx x f )(⎰≈ba n dx x L )(⎰∑==b ank kkdxx l x f 0)()(∑⎰==nk bak k dxx l x f 0)()(则，若记⎰=bak k dx x l A )(⎰=badx x f f I )(][n 0() =I (1)nk k k A f x =≈∑ (1)式为数值求积公式.A k 为求积系数, 且仅与积分区间和求积节点x k 有关.[][]()=[] (2)nk k n k R f I f A f x I f I ==--∑称为求积余项。