拍案惊奇,原来折纸背后的数学如此强大.

“折纸”中蕴含的数学思维与动手能力“折纸”是学生经常做的手工活动，在“折纸”过程中学生手脑并用，互相协作，可以了解数学价值，获得数学活动经验，可以学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会中的有关数学的问题，并解决日常生活中的一些问题，增强应用数学的意识。

一、在折纸中体验数学学习中的“数感”数学新课标在总体目标中提出要使学生“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感，发展抽象思维”，并且在内容标准的几个阶段都阐述了培养学生数感的问题。

数感并不是一个新的概念，但《课标》第一次明确地把它作为数学学习的内容提了出来，可见，理解数感，让学生在数学学习过程中建立数感，是《课标》十分强调和重视的问题。

折纸可以加强对学生数感的培养，把数感的培养体现在折纸活动之中。

随着学生年龄的增长和知识经验的丰富，引导学生探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，通过折纸，初步掌握有效的表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，会进一步增强学生的数感。

把数感的建立与数量关系的理解和运用结合起来，与符号感建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助于学生整体数学素养的提高。

二、在折纸中培养数学学习的“逻辑思维”现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的养成良好逻辑思如何在数学教学中培养学生的逻辑思维能力，教学。

．维品质是教学改革的一个重要课题。

孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆”。

在数学学习中要使学生逻辑思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确逻辑思维方式。

要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，逻辑思维能力是得不到提高的。

《华东师大版九年级数学（上册）》第40页有这样一道题：小明用一张边长为10cm的正方形硬纸板制作一个无盖的长方体，怎样制作使得底面积为81 ？不同的底面积与其剪去的正方形的边长发生怎样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎样的变化？学生在折叠前可能会从以下几个方面进行思考：①无盖长方体展开后是什么样？②用一张正方形的纸怎样才能制作一个无盖长方体？基本的操作步骤是什么？③制成的无盖长方体的侧面积应当怎样去表达？④什么情况下无盖长方体的侧面积会较大？最大？思路一：在正方形的四角分别剪去一个相同的小正方形，折起后，制成一个无盖长方体，怎样才能使制作的无盖长方体的体积尽可能大？假设正方形的边长为20cm，剪去的小正方形的边长依次为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm，折成无盖长方体的体积将如何变化？（1）用表格表示通过表格，我们再把边长在2.5cm到3.5cm之间的数据进行细化：时，无盖长方体的体积较大。

折纸这是个数学问题没有3D打印机怎么办？其实只用一张纸，也能创造大千世界——大家还记得以前大脸兔介绍过的折纸达人刘通吗？区区一张方形纸，不剪不裁不拼贴，却能被他折出万千造型。

他是怎么做到的？如果栗子君说是“算”出来的，你信吗？强大的折纸几何学拆开一件折纸作品，将其还原为一张纸，可以看到纸上布满一条条折痕，构成许多几何图形。

这其中蕴含着大量数学概念和原理，例如你学过的相似、轴对称、点对称、全等、比例，以及将来可能要学的迭代、递归等等。

据说在8世纪中期，阿拉伯人就懂得运用几何知识来折纸，同时他们也用折纸来研究几何问题。

到19世纪，欧洲人也开始将折纸用于数学和科学研究。

折着折着，人们发现，折纸能解决的数学问题比想象的多得多。

在几何作图方面，折纸甚至能甩尺规作图几条街，许多任务，比如作正七边形、三等分任意角、求2的立方根等，尺规作图没法完成的，折纸都能搞定。

至于将一张纸等分成13、15、17……份，对刘通这样的折纸玩家来说，不过是基础的入门技能。

这还不算，还有更猛的——跟刘通同为世界顶级折纸大师的美国大叔罗伯特·朗，竟然开发出两个折纸软件TreeMake和ReferenceFinder。

依靠7條折纸公理，这两个软件可以计算出用户想要的任何造型的折痕展开图，以及正确的折叠顺序！什么公理这么逆天？不用说，它就是咱们今天的教学重点——藤田—羽鸟公理中国人发明的折纸，自隋朝传入日本后就立刻受到热烈追捧，最后还成了日本的国粹。

上世纪70年代，日本人又把眼光投向了折纸中的数理问题，掀起一股经久不衰的研究热潮。

其中影响最深远的成果，大概就是“藤田—羽鸟公理”。

这一组公理共7条，其中6条由日裔意大利数学家藤田文章于1991年提出。

藤田指出了折纸过程中的6种基本操作，用来定义纸张如何折叠。

10年后，另一位数学家羽鸟公士郎又补充了一种操作。

于是这7种操作被合称为“藤田—羽鸟公理”。

经罗伯特·朗证明，它们涵盖了折纸过程中的全部折法。

折纸中的几何数学折纸，作为一种古老而有趣的手工艺品，以其独特的几何形状和构造方式而闻名于世。

在探索折纸的过程中，我们会发现其中蕴藏着丰富而深奥的几何数学知识。

本文将从不同角度介绍折纸中的几何数学。

一、平面几何与折纸形状折纸起源于平面几何中的基本概念和原理。

在折纸的过程中，我们需要了解和运用平面几何的知识，如点、线、面、角等。

折纸的形状通常可以由直线、折线和曲线构成，而这些基本几何元素的运用决定了折纸形状的特征和性质。

例如，当我们用一张正方形纸折叠成一个正方体时，就涉及到平面几何中正方形、正方体和立方体的关系。

通过折纸，我们可以直观地感受到正方形纸张的每一边和对应的面如何变换成正方体的一条边和一个面。

折纸还可以通过平面几何中的相似性原理来构造各种形状。

相似性是指两个图形的形状与大小相似。

当我们折纸时，可以利用相似性原理来确定折纸纸张的长度比例和角度关系，从而实现将平面图形转化为立体形状。

二、尺规作图与折纸构造折纸不仅与平面几何有紧密的联系，还可以扩展到尺规作图。

尺规作图是指利用直尺和圆规进行的几何作图方法。

折纸在某种程度上可以看作是尺规作图的一种延伸。

在折纸的过程中，我们常常会遇到需要特定角度的折叠操作。

这时，我们可以借助圆规辅助完成特定角度的折叠，实现折纸纸张的角度精确控制。

同时，折纸中的构造也可以通过尺规作图的思想进行，即将给定的图形通过折叠的方式实现。

例如，我们可以通过折纸构造出正五边形、正十二边形等多边形，并且可以利用尺规作图的原理验证这些构造的正确性。

三、拓扑与折纸变形拓扑是几何学的一个分支，研究的是空间形状在连续变形下的不变性质。

折纸中的变形实际上是一种拓扑变换。

通过折叠、压缩、展开等操作，我们可以改变折纸形状，实现面的拼接、剖开和重组。

在折纸变形中，我们可以观察到一些有趣的现象。

比如，当我们将一张平面纸张折叠成一个多面体时，这些面在变形的过程中始终保持互相邻接，不会出现穿越的情况。

这便是由折纸中的拓扑性质所决定的，每次的变形都会保持面的连通性。

折纸的魔力学习折纸与几何的关系折纸的魔力：学习折纸与几何的关系折纸是一种古老而有趣的手工艺品，它不仅可以培养我们的动手能力和创造力，还能够帮助我们理解几何学的一些概念和原理。

本文将探讨折纸与几何之间的关系，并介绍一些相关的数学原理。

一、起源与发展折纸的起源可以追溯到古代中国和日本，但现代折纸艺术则主要受到了日本折纸大师佐仓纪子的影响。

她的作品通过纯粹的几何折叠和变形，展示了折纸的无限可能性。

折纸艺术逐渐流传到全世界，成为了一门受欢迎的手工艺品。

二、几何折纸的基本原理几何学是研究空间和形体关系的数学学科，而折纸则通过特定的折叠方法和角度来形成复杂的几何形状。

折纸可以通过简单的平面纸张折叠出三维的模型，这背后隐藏着一些几何原理和规律。

1.折纸中的对称性对称性在几何学中起着重要的作用，而折纸正是一种展现对称性的方式之一。

通过将纸张对折，我们可以创建出各种对称图形，如正方形、等腰三角形等。

通过实践折纸，我们可以更好地理解对称性对形状和图案的影响。

2.折纸中的平行线和垂直线平行线和垂直线是几何学中基本的概念，也同样适用于折纸。

通过合理的折叠，我们可以创造出平行线和垂直线所组成的结构，如箱子、立方体等。

这些结构的折叠方式和几何学中的平行线和垂直线的关系密切相关。

3.折纸中的比例和比例关系几何学中的比例关系可以通过折纸来直观地感受和理解。

通过将纸张按照一定比例进行折叠，我们可以创造出黄金分割、相似形状等具有美学价值的折纸作品。

理解比例关系的重要性对于折纸中的构图和设计非常关键。

三、折纸与数学之间的联系折纸艺术不仅可以帮助我们理解几何学的概念，还同样涉及到一些数学原理。

以下是折纸与数学之间的一些联系：1.欧拉定理欧拉定理是数学中的重要定理之一，它表明对于一个多面体，包括顶点、边和面的数量之间存在一个简单的关系。

通过折纸，我们可以创造出各种多面体的模型，并观察它们的顶点、边和面的数量是否符合欧拉定理的要求。

2.流形流形是几何学中的重要概念，它是指一种可以在小范围内与欧几里得空间相似的空间。

好书推荐《奇妙的数学折纸》：从数学角度深刻揭示折纸的魅力还记得我们之前给大家推荐的一套折纸学具《动手动脑玩转数学》吗？这套学具自推出以来，在咱们公众号颇受好评，累计销量3700多套，可见其受欢迎程度。

8月初的南京上海之行，我有幸在上海见到了学具的作者之一常文武老师。

常老师是数学折纸领域的专家，长期致力于数学折纸领域的研究，成果丰硕。

此次见面，常老师送了我一本他的新书《奇妙的数学折纸》，还是签名版哦。

据常老师介绍，他准备出一个系列，这是系列丛书中的第1本，已于7月出版，明年将出第2本。

翻开《奇妙的数学折纸》，第一感觉就是这是一本花了心思的书，每一个折纸每一步都有详细的图文讲解，很多图片都是常老师亲自拍摄的，光制作和拍摄这些图片就是一项非常大的耗时工程，没有坚韧的毅力、专业的知识以及对折纸的热爱，我想是不可能有这本书的。

书中每一个折纸还贴心地配备了一至多个折纸或玩法视频，视频在书中以二维码的形式呈现，读者朋友们只要打开微信扫一扫二维码，常老师就会立刻出现在你面前，手把手教你，一步一步为你讲解，相当于直接把常老师请回了家。

有兴趣的朋友可以长按识别下面的二维码抢先体验一下，这是一个教你用折纸的方法做七巧板的视频。

之前我们做七巧板，一般是拿一张正方形的纸，按照下图所示的方式画线并裁剪。

用这种方式做七巧板必须用正方形的厚纸板，太薄的纸做出来之后比较轻，使用起来不方便。

而常老师在书中教我们用一张普通的A4纸就能折出七巧板，是“折”出七巧板而不是“剪”出七巧板，真是让人大开眼界。

折出来的七巧板相比于剪出来的七巧板好用多了，而且技术含量也高。

如果我们教会我们的学生折出七巧板，相信他们一定会觉得这是一件很有趣的事。

书中还不乏作者的原创折纸作品。

比如作者的原创折纸作品——鳖臑(nào)，曾获2016年上海市教师自制教具评比一等奖。

鳖臑的名称来自中国古代数学著作《九章算术》中的“商功”一章，这是一种每个面都是直角三有形的特殊四面体。

096折纸艺术：指尖上的千变万化Art in Origami折纸艺术可以追溯到几千年前，折纸的历史和纸张本身同样古老。

纸张被认为是公元105年左右在中国发明的，在日本得到发展，慢慢地欧洲也有自成一体的折纸艺术。

19世纪，西方人开始将折纸与自然科学结合在一起，折纸不仅成为建筑学院的教具，还发展为现代几何学的一个分支。

纸中的乐趣人与人之间说话，声波会呈现折叠状，银河系也在以折叠的方式旋转运动着，山脉山谷的形成过程也是如此，连DNA的形态都是弯曲折叠的，这是我们人类存在的根本。

你通常会在纸上看到什么？在米开朗基罗眼里每一块石头都是雕像。

在折纸艺术家眼里，一张白纸可以幻化出无穷无尽的形态。

在艺术与数学的边缘游走的他们，通过不加不减地改变形状、幻化神奇。

拥有空间想象能力的折纸，是运用数学和几何学知识的艺术品。

折纸慢慢发展成不只是儿童的玩具，也是一种有益身心、开发智力和思维的活动。

你擅长将纸张折叠成漂亮的形式吗？规则是不要裁剪，一张纸，不用胶水。

要想折出鹤和青蛙等作品，可以归结为两个基本技术：凹折和凸折，它们是不同的对折方法。

掌握了这两个技术，你就可以随心所欲地创作。

曲折、打褶和花瓣折只是创造不同形状的一些方法，雕塑技巧，比如湿折，在这种技术中，纸的一部分是湿的，这样可以弄软纸纤维，使它更容易成型，纸干后就变硬了。

还有更高级的3D 设计，折纸者需要使用生成折痕图的软件。

曲调和音乐之间都有调和比，折纸也有其数学规律。

日本折纸大师吉泽章，有时候你会感觉到他的作品会呼吸，是一个在创作中故意让纸保持潮湿状态的人，还发明了图样折纸法，让折纸真正成为艺术。

从前折纸图样只有20步，到现在有200、300步图样，以后也许会达到1000步甚至更多。

但是如果把全部精力花在技术层面，作品的情感方面就会丧失很多东西。

如果完全忽视技术层面的练习，那灵感与情感也只是空中楼阁。

纸中的思想你拿出一张纸，任意折，但最后要是一个平面，然后用剪刀剪一条直线，再把这张纸打开，你需要解答剪完后会是什么形状？答案是可以得到任何形状。

《折纸中得数学》——小课题研究 王炯亮(1) 课题得背景 折纸起源于中国,而我酷爱折纸,因为折纸又称之为“工艺折纸”,就是一种以纸张折成各种不同形状得艺术活动。

如今折纸得发展不只就是儿童得玩具,也就是一种有益身心、开发智力与思维得活动。

凭着我对折纸得热爱,在无数次得折纸实践中,我发现其实折纸与数学存在着密不可分得关系,在折纸中用到许多数学知识。

V4GWs 。

（2）此小课题得目得 如何将一张平面得纸张通过折叠成有空间概念得模型,比如幸运星、千纸鹤、或就是纸飞机等等？这就就是需要运用到折纸中最基础得“将一条线N 等分”得方法,可就是如何将一条直线进行多次等分,比如2、3、4、5、6等分呢？6UNCe 。

（3） 研究得内容与步骤 Pj5QE 。

③四等分 在一张矩形得纸中,如何进行四等分呢,最简单得就就是把这张纸边对边得对折再对折(½×½=¼),最后形成得两个矩形得面积比为3:1④五等分 如下图,在一张正方形得纸中,先进行对角线对折,再取其中一个角平分对折再对折,这时取第三条角平分线与左边得交点D,作与上下边得平行线,以此边为界而形成得两个长方形面积比为4:1 ①二等分 将一张矩形纸进行边对边得对折(即1×½=½),最后形成得两个矩形得面积比为1:1,且就是全等图形。

② 三等分 如下图,在一个正方形ABCD 得纸中,取对角线BD 进行对折;然后打开后进行左右,边对边对折(AD 对BC);再将纸打开,在长方形EBCF 中取对角线EC 对折,与BD 相交于点G ,这时经G 点作平行于BC 得直线(即下图中红线),红直线与上纸边AB 得交点即3等分点,最后形成得两个长方形得面积比为2:1AB DC O E F G⑤六等分如下图,也就是在一张正方形得纸中进行对角线对折再对折,(图二所示)边上所产生得交点与正方形得顶点重合,(在图三)交红色边为点Q,经点Q作平行于底边做一折痕,最后形成得两个矩形得面积比为5:1,即六等分。

折纸与数学折纸是一种古老而有趣的手工艺术，它是通过将平面纸张经过折叠后形成各种形状和结构。

折纸不仅仅是一种手工艺，它还与数学有很深的关联。

本文将探讨折纸与数学之间的联系，以及折纸对于数学教学的重要性。

折纸与几何学密切相关。

在折纸的过程中，我们需要精确地测量和划定纸张的边界和角度。

这要求我们对几何学的基本概念和原理有一定的了解。

当我们折纸时，常常需要计算纸张的尺寸和比例，以确保折叠后的形状能够达到预期的效果。

折纸可以帮助我们加深对几何学的理解，使几何学的概念更加直观和易于理解。

折纸也涉及到一些代数学的概念。

在折纸的过程中，我们经常需要计算和解方程。

当我们折纸时，我们需要考虑每个折痕之间的关系，并根据已知的条件推导出未知的值。

这要求我们具备一定的代数学思维和计算能力。

通过折纸，我们可以将代数学的概念应用到实际问题中，提高我们的问题解决能力。

折纸也与计算机科学有关。

在计算机图形学中，折纸被广泛应用于建模和动画设计。

通过折纸的技术，我们可以将平面纸张折叠成三维的形状，并在计算机中进行模拟和渲染。

这不仅能够帮助我们更好地理解和研究三维几何结构，还可以为计算机图形学的发展提供有力支持。

折纸在计算机科学领域具有重要的应用价值和研究前景。

折纸还对于数学教学有着重要的启发作用。

通过折纸，我们可以将抽象的数学概念转化为具体的可视化模型，使学生更容易理解和接受。

在教学线性方程组时，我们可以通过折纸模拟出平面上两条直线的交点，并帮助学生解决交点的求解问题。

这种直观的教学方法不仅能够提高学生的学习兴趣，还能培养学生的空间想象能力和问题解决能力。

折纸还培养了学生的耐心和创造力。

折纸需要反复尝试和实践，从错误中学习和改进。

这培养了学生的耐心和毅力，使他们能够面对困难和挑战。

折纸也注重学生的创造力和想象力。

在折纸的过程中，学生可以尝试各种不同的折叠方法和形式，发挥自己的创造力和想象力。

这不仅能够提高学生的创造思维和创新能力，还能激发他们对数学的兴趣和探索欲望。

数学折纸：使用折纸解决问题数学和艺术之间有着密切的联系，而折纸作为一种古老的手工艺，也可以产生出令人惊讶的数学效果。

折纸不仅仅是一种美妙的娱乐方式，它还能应用于解决复杂问题。

本文将介绍折纸在数学中的应用，并探讨其中的奥秘。

折纸可以简化几何问题，例如通过折纸构建各种形状以解决难题。

一项经典的折纸问题是如何将纸折叠成正方形的一半。

这个问题追溯到日本古代，被称为“和纸折刀”，因其简单、有趣和有挑战性而成为人们喜爱的谜题。

解决这个问题时，我们将纸对角线上的两个顶点重合，然后沿对角线将纸折叠过去，即可得到一个完美的正方形。

这个折纸过程实际上是一种几何证明。

我们可以利用几何学中的对称性和投影原理来解释这个过程。

这个例子展示了折纸作为一种工具，可以辅助我们理解和解决几何问题。

另一个有趣的应用是折纸测量。

通过折叠纸片，我们可以估算一些难以测量的长度和角度。

例如，通过不断折叠一张纸，我们可以近似计算出根号2的值。

这个过程被称为“折纸法求解根号2”，是数学中的一个经典问题。

通过多次折叠，我们可以逼近根号2，并最终得到一个接近于精确值的结果。

除了在几何和测量方面的应用，折纸还可以用于解决一些复杂的数学问题。

例如，“折纸质点问题”是一个研究如何通过折纸将一个点移动到另一个位置的数学难题。

这个问题可以用图论和折纸技巧相结合来解决。

通过特定的折叠序列，我们可以实现点的平移、旋转和反射等操作，从而达到所需的目标。

折纸还被广泛应用于计算机科学中的算法设计。

例如，“折纸排序算法”是一种基于折叠和比较的排序算法，可以在最坏情况下实现线性时间复杂度。

这种非常高效的算法是基于对纸片的不同折叠方式进行比较和排序的原理。

在现代科技的推动下，折纸在解决实际问题中的应用也日益广泛。

例如，NASA在太空探索中使用折纸技术来设计和折叠太阳能板，以便在航天器发射前进行紧凑的储存和运输。

这种折纸设计不仅减少了太空舱体积，还提高了能源的利用效率。

总之，折纸作为一种古老的手工艺，不仅具有艺术价值，还有广泛的数学应用。

折纸与数学折纸是一种简单而又实用的手工艺，它不仅能够制作出各种美丽的造型和立体图形，还能够通过折叠，让我们更深入地了解数学中的几何学和拓扑学。

今天，让我们来一起探讨折纸与数学之间的奥妙。

折纸起源于古代中国，是一种可以通过折叠平面纸张来形成各种立体图形的手艺。

在欧洲，折纸也被广泛使用，主要是在礼品包装、贺卡、装饰等方面。

随着时间的推移，折纸开始引起越来越多的数学家的兴趣，他们开始研究折纸的数学原理，并将其应用于一些数学问题中。

在折纸中，最基本的操作就是将平面纸张沿着一些线条来折叠，这些线条被称为折痕。

折痕有以下几种类型：1.直线折痕：将纸张沿一条直线折叠，可以在平面上形成两个相等的部分。

2.折痕交点：当折叠纸张时，直线折痕会在某些点处相交。

这些交点是折纸中非常重要的数学概念，称为折痕交点，它们可以让我们更深入地了解折纸的数学原理。

3.折痕数：折纸过程中，形成的直线折痕数目称为折痕数。

在数学研究中发现，四次折痕以内的平面纸张可以通过折叠而得到，而五次或更多次折痕则不能。

除了折纸中常见的折痕和折痕数外，还有一些数学概念可以与折纸联系起来，例如平面映射、拓扑学和几何学等。

拓扑学研究的是空间的性质，通过折纸可以更加直观地理解拓扑学概念。

例如，将纸张沿着一定的线条折叠后，可以形成一个圆柱体或者一个圆锥体。

这两种几何体是通过拓扑等价的，因为它们可以通过拉伸、压缩或扭曲而互相转化。

此外，通过折叠不同数量的直线折痕，可以得到许多不同的几何体，例如立方体、正四面体等，这些几何体都是拓扑等价的。

平面映射是指将一个平面图形映射到另一个平面图形的过程。

折纸可以被看作是一种平面映射，因为折叠纸张的过程可以看作是将一个平面图形映射到另一个平面图形的过程。

通过折叠不同的折痕，可以得到不同的平面图形，例如正多边形、星形等。

此外，通过折纸可以得到一些可逆的平面映射，这些可逆映射可以帮助我们更好地理解平面几何学。

最后，折纸与数学之间的联系也可以在某些数学问题中得到应用。

折纸中的奥秘林宽雨说到折纸游戏，很多同学很小的时候就开始接触了，比如纸灯笼、纸青蛙……玩得最多的，可能要属纸飞机了。

前不久，有个叫太乙飞猪纸飞机的折纸很火，它和我们想象中的纸飞机有点不一样，看起来就像是给一个圆筒加上了一双翅膀。

虽然造型有点颠覆想象，但一点都不影响它的人气，很多人都跟着教程折起了属于自己的太乙飞猪纸飞机。

可以说，这个纸飞机凭借着“一己之力”又把折纸游戏拉回了人们的视野。

虽然折纸只是把纸折叠起来，但这里面还是有些玄机的。

今天，让我们从著名折纸大师罗伯特·朗的作品中，了解一些关于折纸的秘密吧！纸张选择有学问虽然都是用纸折出来的作品，但是根据折纸大师罗伯特·朗的经验，不同的纸折出来的作品是不一样的。

比如我们生活中常见的杂志、纸张、报纸，就不适合折纸。

因为这两种纸不仅柔软，而且留不住折痕，最终会成为作品的减色项。

食品包装常用的锡箔纸薄而牢固，但不是很好的选择，因为其本身的光泽会给作品带来生硬冰冷的外观。

据说罗伯特·朗最喜欢的纸是另一位世界级折纸大师历时数年研发的特殊折纸。

这种纸不仅薄而结实，而且色彩极佳，非常适合折纸。

当然，对于以娱乐为主的我们来说，用纸的选择不用考虑那么多。

不管什么样的纸，只要能折出自己喜欢的作品。

折纸和数学有联系折纸遇到数学会发生什么？答案是获得更好的折纸作品。

是的，你没听错。

在我们的生活中，很多数学也和折纸有关。

罗伯特·朗(Robert Lang)曾经研究过折纸背后隐藏的数学理论，将折纸、数学和科学结合在一起。

据说罗伯特·朗还专门设计了一个数学折纸软件，可以根据你的输入形成各种折痕。

根据这些折痕，可以得到漂亮的折纸作品。

可见，学好数学不仅可以提高我们的成绩，还可以提高我们的艺术创作能力。

小折纸“支援”太空除了作为装饰品、供我们消遣娱乐等我们能想到的用途，折纸还有很多你意想不到的“用武之地”，比如“支援”太空。

罗伯特·朗(Robert Lang)和其他人一起利用折纸的原理设计了一种可折叠的太阳能电池板。

折纸与数学折纸艺术是源自日本的一种古老传统手工艺，它通过将一张平面纸张折叠成各种形状，切割后得到各式各样的造型。

折纸不仅是一种有趣的手工艺活动，更是一门融合了数学知识的艺术。

在折纸的世界里，数学不仅仅是一个工具，更是一种灵感的源泉和丰富想象力的支持。

折纸与数学之间存在着密不可分的联系，让我们一起来探索一下折纸与数学的奇妙之处。

折纸艺术中的基本形状，如正方形、三角形等，都涉及到数学中的几何知识。

折纸作品的形状、大小以及比例都需要精确的测量和计算，这就需要我们运用到数学中的测量与标注以及比例的知识。

而在折纸的过程中，几何学中的对称性也占据着重要的位置。

对称折纸是折纸中的一种常见手法，通过折纸在对称轴上的对称性，可以创造出各种富有美感的作品。

在数学的帮助下，我们可以更加轻松地理解和掌握折纸的技巧，如角度的选择、纸张的折叠方法等。

数学知识可以帮助我们计算出不同角度的折叠方法，使得折纸作品更加准确、精美。

利用数学中的投影理论，我们还可以更好地把握折纸中的立体构造，创造出更加真实的折纸作品。

在折纸的创作过程中，数学还可以为我们提供更多的灵感。

在数学中有着无穷自相似性的分形几何，而折纸中的雪花折纸正是运用了分形几何的原理。

又如，在解决折纸问题时，数学家们利用了图论的知识，通过对纸张的折叠过程建模，发现了一些有趣而又复杂的数学规律。

折纸还有助于激发人们的数学兴趣。

折纸不仅可以让学生们在实践中感受到数学的魅力，还可以帮助他们更加直观地理解和体验数学概念。

通过折纸，学生们可以更加深入地理解到几何学中的各种概念和定理，提高他们的数学学习兴趣和动手能力。

除了几何学之外，折纸还与数学中的一些其他分支有着紧密的联系。

比如在折纸的折叠过程中，数学中的拓扑学概念也经常发挥着重要作用。

通过对折纸作品的表面和边界的分析，我们可以更好地理解其拓扑结构，进而创造出更有趣的折纸作品。

数学与折纸的结合，不仅让折纸更加有趣和富有挑战性，同时也为数学知识的应用提供了新的领域。

kawasaki定理折纸川崎定理：折纸中的数学之美折纸，这门古老而优雅的艺术，不仅锻炼手指的灵活性，更蕴藏着丰富的数学原理。

其中，川崎定理是折纸领域的基本定理之一，揭示了折纸中折痕与模型形状之间的内在联系。

川崎定理的表述川崎定理由日本折纸大师川崎敏和在20世纪60年代提出。

定理指出：对于一个闭合折纸多面体，其折痕的总数等于顶点总数加上边数减去2。

简而言之，该定理揭示了折痕、顶点和边数之间的关系。

定理的证明川崎定理的证明涉及组合拓扑学的基本原理。

首先，将折纸多面体视为一个球面上的多面体。

然后，可以证明：每个顶点贡献了一个折痕。

每个边贡献了一个折痕。

每个面贡献了一个消失的折痕，该折痕在构造过程中消失。

因此，折痕总数等于顶点总数加上边数减去消失的折痕数。

由于每个消失的折痕对应于两个相邻的面，因此消失的折痕数等于面数减去2。

定理的应用川崎定理在折纸实践中有着广泛的应用：预测折痕数量：通过计算顶点和边数，折纸师可以预测折纸模型所需的折痕数量。

验证折纸模型：如果一个折纸模型的折痕数量与川崎定理预测的不一致，则表明模型可能存在错误。

设计折纸模型：折纸师可以利用川崎定理来设计新的折纸模型。

例如，如果需要一个具有特定折痕数量的模型，可以根据定理计算出顶点和边数。

定理背后的数学意义川崎定理不仅是一个实用的计算工具，更体现了折纸与数学之间的深刻联系。

它揭示了折纸中折痕、顶点和边数之间的内在几何关系，证明了折纸是一种具有强大数学基础的艺术形式。

结论川崎定理是折纸领域的一项基本定理，揭示了折痕、顶点和边数之间的关系。

它为折纸师提供了预测、验证和设计折纸模型的有力工具。

更重要的是，它彰显了折纸与数学之间的密切联系，证明了折纸不仅仅是一门艺术，更是蕴藏着丰富数学原理的科学。

周末，我和弟弟一起玩正方形手工折纸卡，越玩越起劲，争得不可开交，差点儿打起来。

听到吵嚷声的妈妈问清楚了原因，对我们说：“谁能用这36张边长为2分米的折纸卡摆出周长最小的造型，谁就可以独自玩这套折纸卡。

”弟弟一听，先下手为强，不一会儿就摆出了一个造型，还边摆放边算。

文/江西省萍乡市芦溪县芦溪第二小学三（1）班 陈星安图/虫 原折纸卡中的数学奥秘方案一：36张折纸卡摆成一排弟弟将36张折纸卡摆成1排，组合成一个长方形。

这个长方形的长是36×2=72（分米），宽是2分米。

那么，长方形的周长=（长+宽）×2，所以它的周长为（72+2）×2=148（分米）。

方案二：36张折纸卡摆成两排我一看弟弟算出的周长有148分米，顿时来了精神，说道：“看我的！”我将36张折纸卡摆成2排，每排可以摆18个。

这个长方形的长是18×2=36（分米），宽是2×2=4（分米），那么，它的周长为（36+4）×2=80（分米）。

比弟弟摆放的周长小，哈哈，我赢了，这下折纸卡归我玩了！方案三：36张折纸卡摆成三排弟弟一看，不服气了，说他还可以摆出更小的周长，便边说边动手排列折纸卡：“36可以被3整除，所以36张折纸卡摆成3排，每排摆12张。

这个长方形的长是12×2=24（分米），宽是3×2=6（分米），周长是（24+6）×2=60（分米）。

怎么样，是不是比你摆放的周长小？”44数学作文算到这儿，弟弟兴奋地说：“我发现了，这里有规律。

最下面这排摆几张折纸卡，那么，它的周长就是算每边摆几张折纸卡的正方形的周长。

原来，用玩积木的方法还可以帮忙解决数学问题呢！”我不由得对弟弟竖起了大拇指 。

发现了数学乐趣的弟弟，不再跟我争着玩折纸卡。

他把折纸卡让给我玩，自己去玩积木了，希望他能发现更多数学的奥秘吧！指导老师：刘 琼方案四：36张折纸卡摆成4排看着弟弟摆放出来的图形，我发现，将同样大的小正方形拼成长方形，这个新图形的长和宽相差越小，它的周长越小。

纸论坛Paper Forum·杂谈·折纸中蕴含的数学思维与动手能力□李霞摘要：折纸是一种较为常见的手工活动。

文章围绕折纸活动对学生动手能力的强化进行探讨，同时着眼于数学逻辑思维、空间能力以及空间观念等多项内容，指引学生通过实践探寻生活中的数学，并学会使用数学，锻炼学生的数学思维，强化其动手水平和能力。

关键词：折纸；小学数学；数学思维；动手能力折纸活动各异，其对学生的影响不同。

折纸过程可培养和锻炼学生的实际操作以及沟通和交流能力，并强化学生对知识获取的见解以及分析和处理问题的水平，逐渐引导其树立空间理念。

综观小学数学教材，与折纸相关的活动大概四十多次，每一项折纸活动所发挥的作用都是不同的，如巩固知识、启发思想等，与小学阶段学生好动灵活的特征相吻合。

折纸中有很多与数学有关的学问，通过折纸活动改进数学教学，成效十分显著。

数学新课标要求，要让学生从最初用数字符号或者图形来描绘世界，进而构建起数感，强化自己的抽象思维。

其中，数感的培养得到了格外的重视，在内容标准中的多个阶段都有体现。

数感实际为对数学的感受，包含诸如数字的大小等多项内容。

如果学生具备较高的数感，其心算水平、对数值大小的判断能力等一定不低。

数感并非是新近出现在大众视野之中的，新课标率先将其作为一项数学学习内容，明显可以看出数感的建立对于学生学习的重要程度。

折纸这项活动恰恰可以帮助学生培养数感，可将数感的培养与折纸有效融合在一起。

随着学生年龄的不断增加以及知识的逐渐累积，通过折纸，学生能够体会事物变化的方式、规律，指引学生加强对数与形的进一步探究，强化学生的数感。

充分培养学生数感，引导学生将将数学模型与符号的构建联系在一起，对提升学生的数学素养是极其有益的。

逻辑思维，又称“抽象思维”，指的是将各种和思维相关的内容联系在一起的方式，它是一种人们通过概念以及推理等各种途径对客观现实进行能动反映并加以理解的过程。

折纸操作是一种在三维空间中将特定形状的纸进行组合和折叠的过程，涵盖边、角以及折痕等不同的几何元素，也体现了空间和数量间的联系。

临桂90后男孩用数学逻辑和想象力折纸成顶级高手一张简简单单的纸，你能折出什么东西？相信多数人只能折出飞机小船之类，而临桂的“90后”大男孩秦坤却能折出你能想到的任何东西，且不用剪刀，也没粘贴，更没有拼接。

年纪轻轻的他从一个爱好者成为国内顶级折纸高手只用了几年的时刻，堪称“折纸天才”，得到了国内外同行的青睐。

秦坤在折纸创作。

这是秦坤花一个月时刻折出来的龙。

折出来的马和图片对比。

从小对折纸情有独钟近日，记者在临桂县玩美改日画室见到21岁的秦坤，他面目清秀，手指细长，说起话来还有些害羞。

这间画室确实是他的工作室。

秦坤是临桂县会仙镇睦洞村委后门头村人，他说自己从小就喜爱折纸，经常用一张纸折出飞机、小鸟等东西，得到同学们的喜爱。

读了初中后，他对折纸依旧爱好不减，没事的时候就到书店去看折纸方面的书，只要看到书上的图样，他通过摸索就能够折出来，每次折出新的东西他都会专门有成就感，并乐在其中。

初中毕业后，他想学习美术，但家里却不赞成，认为没什么前途。

秦坤到南宁学习水产畜牧专业，但他对那个专业没有丝毫爱好，没事的时候就将全部精力放在折纸上，对折纸如痴如醉，有一次为了折一个东西难道37小时没休息。

用数学逻辑和想象力折纸“传统折纸和现代折纸有专门大的不同。

”秦坤说，12岁那年，他偶然在一本杂志上看到国外的一个人物折纸，他难以相信用一张纸就能折出一个人物。

他告诉记者，传统的折纸相对比较简单，比如飞机、小玩具等。

但现代折纸不用剪刀，不能拼接、裁剪，就专门需要想象力和运算能力了。

记者看到，他办公桌上有一条栩栩如生的龙，形状逼真，每个爪子甚至每片鳞甲都折了出来，这条不到一米长的龙，上面的鳞片就有1000片，每片鳞片只有一两毫米大小。

“折这条龙我用了一个月。

”看着记者惊奇的表情，秦坤说明说，要折出如此一条龙，就需要专门强的运算能力。

在折之前，先要在纸上打好格子，而这些格子只有几毫米大小，两米长的纸打了9000多个格子，然后就要运算好龙的每个部位需要多少个格子。

折纸背后的数学原理折纸背后有乾坤一张白纸，不剪不裁，却能折出无数变化。

有时候尺规作图无法完成的任务，折纸却能解决。

为什么它能有如此多变化呢？这还要从折纸对应的几何操作说起了。

折纸几何公理1991 年，日裔意大利数学家藤田文章（Humiaki Huzita）指出了折纸过程中的6 种基本操作，也叫做折纸几何公理。

假定所有折纸操作均在理想的平面上进行，并且所有折痕都是直线，那么这些公理描述了通过折纸可能达成的所有数学操作：1. 已知 A 、 B 两点，可以折出一条经过 A 、 B 的折痕2. 已知 A 、 B 两点，可以把点 A 折到点 B 上去3. 已知 a 、 b 两条直线，可以把直线 a 折到直线 b 上去4. 已知点 A 和直线 a ，可以沿着一条过 A 点的折痕，把 a 折到自身上5. 已知 A 、 B 两点和直线 a ，可以沿着一条过 B 点的折痕，把 A 折到 a 上6. 已知 A 、 B 两点和 a 、 b 两直线，可以把 A 、 B 分别折到 a 、b 上容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。

例如，操作1 实际上相当于连接已知两点，操作2 实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3 则相当于作出已知线段的夹角的角平分线，操作4 则相当于过已知点作已知线的垂线。

真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。

正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是，操作5 的解很可能不止一个。

在大多数情况下，过一个点有两条能把点 A 折到直线 a 上的折痕。

操作6 则更猛：把已知两点分别折到对应的已知两线上，最多可以有三个解！一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6 变得无比灵活，无比强大。

利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6 有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个三次方程的解。

数学与变幻无穷的折纸一个正方形变形为一个盒子。

一个正方形变形为一只鸟。

一个正方形变形为一条蛇。

一个正方形变形为一头象。

折纸是一种艺术形式。

动物、花、船和人都是折纸的创作题材。

(折纸一词源于“折的”“游戏”。

）几个世纪以来，人们对折纸的热情有增无减。

事实上，今天在英国、比利时、法国、意大利、日本、荷兰、新西兰、秘鲁、西班牙和美国等国家都有国际折纸协会的区域机构。

在创作折纸图形时，折纸能手是由一张正方形的纸开始的，然后运用他们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。

一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，因为与矩形和其他四边形相比，它有四条对称轴；而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但它们又缺少正方形所拥有的直角，这就给制作造成了较大的困难。

有时人们也用其他形状的纸张作为折纸的初始材料，但纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水和剪刀的。

折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸就给制作造成了较大的困难。

有时人们也用其他形状的纸张作为折纸的初始材料，但纯粹从正方形开始的折纸作品是不用胶水和剪刀的。

折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，揭示出大量几何的图形和性质。

在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念：相似、轴对称、心对称、全等、相似比、比例，以及类似于几何分形结构的迭代。

折纸艺术家们不用胶水、不用剪刀，巧妙地变形纸张，而且熟练的程度简直令人难以置信！最终完成的作品远非简单的盒子或花朵，而是造型逼真的动物，栩栩如生的纸的雕塑！诸如乌贼、蜘蛛、蛇、舞女、家具等。

这些创造性的成就，无疑来自常年的工作、丰富的经验和深刻的研究。

数学寓于折纸之中，不管折纸人的身份如何，对数学了解多少，人们在折纸中总能增加想象力和创造力。

很多人以为自己是数学天才，直到遇见了极限反比例函数是大家接触最早和最熟悉的函数之一，它的函数解析式是y=k/x （k为常数，k≠0）。

我们利用反比例函数的解析式，就可以画出它的图像，如下图所示：根据函数的图像可知，在k＞0情况下的第一象限内，反比例函数中x的值无限变大，大到无穷的时候，曲线就不断向x轴靠近，换句话说y的值逐渐向“0”靠近；或者是y的值无限变大，曲线就不断向y轴靠近，x的值逐渐向“0”靠近。

初探折纸中的数学发布时间：2022-10-28T01:19:08.645Z 来源：《教育学文摘》2022年6月12期作者：朱铭华[导读] 叶圣陶先生在《创造的儿童教育》中说；“处处是创造之地、天天是创造之时朱铭华苏州工业园区星湾学校 215021叶圣陶先生在《创造的儿童教育》中说；“处处是创造之地、天天是创造之时、人人是创造之人。

”，是的！在我们的生活中处处有创造的天地，有数学知识的素材。

折纸，是学生在日常生活中喜闻乐见的一种游戏，其实它就是非常贴近生活的数学素材， “折纸型”问题在近年屡屡出现在中考试题、综合实践活动中。

因为在折叠纸张时，很自然的出现许多几何概念，如：直线、角、相交、垂直、平行、对称、三角形、正方形、矩形、梯形、对角线、角平分线、高等等几何基本元素，还会有几何变换，如：对称、旋转、平移。

所以由折纸派生出来的平面图形的折叠问题能较全面的考查学生的动手操作能力、空间想象能力和数学建模能力，而在教学过程中学生在动手与动脑之间的数学学习上中产生浓厚的探索、学习的兴趣。

这种蕴含着丰富的数学思想的数学活动，在强调塑造数学能力的课程改革中也日益凸显其重要性。

笔者在初二的教学过程中，关注到课本上有这样一个问题。

【课本原题】把一张矩形纸ABCD如图1这样折叠后，沿EF裁下，可以得到一个正方形纸片，为什么？分析：易证明∠BEG=∠GEF，图2、图3、图4中利用Rt⊿BEG可得∠BGE的度数，从而知∠FGB的度数，通过互补关系得∠2的度数；图5中通过AD∥BC可得∠AKF的度数，再通过Rt⊿AKF的两锐角互余得∠2的度数；图6、图7通过GH∥EF，得∠EGH，通过AD∥BC得∠EGD的度数，两者相减，即得∠2的度数．【题目变形2】在图5中，AB沿折痕为AE翻折到AF，求证：⊿AKE为等腰三角形．分析：易证明∠BEA=∠AEF，又通过AK∥BC，得∠KAE=∠BEA，所以∠KAE=∠KEA，即⊿AKE为等腰三角形．说明：这个等腰三角形⊿AKE中AK=KE在折叠问题的边的相关问题中是计算的推理基础，只有充分理解、掌握了它的性质，才能熟练的解决折叠问题的计算．【题目变形3】把一张矩形纸ABCD将AB翻折到BF上，ED翻折到EB上，如图翻折2次，求∠FEG的大小．分析：由上面的深入学习可知，在Rt⊿AOF中利用勾股定理可求出AF=5，由等腰三角形⊿AEF 可知AE = AF =5，因此作EG⊥OG交OG于点G，可得E（5，3），FG=1.在Rt⊿EFG中求得EF=；同时可知F（4，0），从而可以求出EF的解析式.【题目变形7】如图，Rt⊿AOB中AB所在的解析式为，现将⊿AOB沿CD折叠，使A点落在B处，求BC所在直线解析式．在这一系列的问题中，通过一个基本元素---折纸，让学生感受到：在生活中将周围事物与数学知识加以结合，处处都有数学，考虑问题时可以从数学的角度出发。