判定二次函数中的a,b,c的符号

y
-1 o 1 x
（5）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0 ② △＝0
抛物线与x轴有两个交点； 抛物线与x轴有唯一的公共点；
③ △＜0 抛物线与x轴无交点。
y ox
y ox
y ox
勇攀高峰
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①abc＞0；② a+b+c＜0 ③ a-b+c＞0 ；
o1 特殊值法
x
y aabb cc 0 0
y=ax2+bx+c 当x 1时 y=a-b+c
y aabbcc0 0 y
y aabbcc00
-1 o
x
y aabbcc00
x=-1
比拼速度
二次函数y ax2 bx c的图象如图，用(< , >或 =)填空: a< 0，b < 0，c > 0，a+b+c< 0，a-b+c> 0， Nhomakorabeay
开口向下
a＜0
数形结合法
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：
① 图象与y轴交点在y轴正半轴；
c＞0
② 图象过原点
c=0
③ 图象与y轴交点在y轴负半轴
c＜0
y
指出下列二次函数与y轴交点的坐标.
(1) y=x2-8x+7 (2) y=-2x2+9x-17
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: 对称轴是直线x =
转化 + 特殊值
根据抛物线y=ax2+bx+c图象位置，你 会判断那些字母或代数式的符号？

九年级数学学案一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型2-32例1.已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是 例2.如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）例3.已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

九年级数学二次函数中a ，b ，c 符号的确定珠海市第四中学（519015） 邱金龙二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象是抛物线，利用图象来确定a ，b ，c 的符号，是常见的问题，解决的关键是对二次函数的图象和性质的正确理解。

一、a ，b ，c 符号的确定（1）a 符号的确定。

抛物线的开口向上，a ＞0，抛物线的开口向下，a ＜0。

（2）c 符号的确定。

因为x=0时，由c bx ax y ++=2得，y ＝c ，故抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴，c ＞0，抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴，c ＜0，抛物线经过原点，c ＝0。

（3）b 符号的确定。

b 的符号要看对称轴ab x 2-=，再结合a 的符号来确定。

二、应用举例1、二次函数c bx ax y ++=2的图象分别如图所示，试分别判断（A ）（B ）（C ）（D ）图中a ，b ，c 的符号。

分析：（A ）图中，抛物线的开口向上，故a ＞0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的负半轴，故c ＜0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＞0，故b ＜0。

（B ）图中，抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点P 在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＜0，而a ＜0，故b ＜0。

（C ）图中（过程略），a ＞0，c ＞0 ，b ＞0。

（D ）图中（过程略），a ＜0， c ＜0 ，b ＞0。

2、（2004重庆中考题）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则点M （b ，ac ）在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，故c ＞0。

对称轴ab x 2-=＞0，而a ＜0，故b ＞0。

因此，点M （b ，ac ）的横坐标为正，纵坐标为负，在第四象限，选（D ）。

3、（2004陕西中考题）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ）A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、.a+b+c ＞0D 、a －b+c ＜0分析：抛物线的开口向下，故a ＜0；抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，故c ＜0。

课题二次函数图象与系数符号学习目标：1．探索发现二次函数的系数a,b,c,△的符号与图象之间的关系；2．由抛物线确定a,b,c,△及相关代数式的符号；学习过程一、知识回顾：1.抛物线y=ax2+bx+c 的开口方向由决定：⇒开口向上⇒开口向下.2.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是（）.c>o⇒与y轴的交点在；c<o⇒与y轴的交点在；c=o⇒抛物线过点3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 .b=0⇒对称轴是；0⇒对称轴在y轴的侧；a、b同号⇒－b2a0⇒对称轴在y轴的侧.a、b异号⇒－b2a4.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点，则交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数由决定.抛物线与x轴有两个交点；抛物线与x轴有一个交点；抛物线与x轴没有交点.二、协作归纳，获取新知（一）a、b、c、△=b2-4ac的符号与抛物线位置的关系。

1. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上⇒；抛物线y=ax2+bx+c开口向下⇒ .2. 抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的负半轴上⇒；抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在y轴的正半轴上⇒，抛物线经过坐标原点⇒ .3. 抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是y 轴⇒b 0；抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴在y 轴的左侧⇒－b2a 0⇒a 、b 号； 抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴在y 轴的右侧⇒－b 2a 0⇒a 、b 号. 4. 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点⇒△ ； 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有一个交点⇒△ ； 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点⇒△ . 试一试：根据二次函数c bx ax y ++=2的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号，并说明理由.（二）确定代数式a+b+c ； a-b+c ； 4a+2b+c ；4a-2b+c ；2a+b ；2a-b 的符号1.二次函数y=ax 2+bx+c 中，当x=1时，y= ；当x=-1时，y= .2.二次函数y=ax 2+bx+c 中，当x=2时，y= ；当x=-2时，y= . 试一试：抛物线y=ax 2+bx+c 如图所示，判断下列各式的符号 （1）a+b+c （2）a-b+c （3）4a+2b+c （4） 4a-2b+c （5）2a+b （6）2a-b三、归纳小结，升华提高四、累化回味，形成技能1.二次函数y=kx2-3x+2k-k2的图象经过原点，则k= .2.若二次函数y=ax2+3x-1与x轴有两个交点，则a的取值范围是 .3.二次函数cbxaxy++=2与一次函数caxy+=在同一坐标系中的图象大致是( )4. 若0,0,0<><c b a ，则抛物线c bx ax y ++=2的大致图象为（ ）5.若无论x 取何实数，二次函数y=ax 2+bx+c 的值总为负，则下列结论成立的是（ ） A.a>0且b 2-4ac ≥0 B.a>0且b 2-4ac>0 C.a<0且b 2-4ac<0 D.a <0且b 2-4ac ≤0 五、拓广探索： 观察抛物线图象填空：(1)方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________; (2)方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________; (3)方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________; (4)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________; (5)不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________; (6)不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________.xxxx。

10A B C D二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：a>0⇔；a<0⇔．（2）C决定抛物线与y轴交点的位置，c>0⇔抛物线交y轴于；c<0⇔抛物线交y轴于；c=0⇔．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当a,b同号时⇔对称轴在y轴；b=0⇔对称轴为；a,b异号⇔对称轴在y轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，△c，的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号yx2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，△c，的符号判断抛物线的位置：例1．若a<0,b>0,c<0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）y y y yOx O x O x O xA B C D例2．若a＞0，b＞0，c＞△0，＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）y yy 1x0x-1x 0-101．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线y=ax+3经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是()yO x3．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点, ⎪ 在．（ ）⎝ b 2 - 4ac b ⎭y yA 、 a < 0, b > 0, c < 0B 、 b 2 - 4ac < 0C 、 a + b + c < 0D 、 a - b + c > 0⎛ a + b ac ⎫yA 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限O4．二次函数 y=ax 2+bx+c 与一次函数 y = ax + c 在同一坐标系中的图象大致是() yyO xO xO x OxABCD5．二次函数 y=ax 2+bx+c (a ≠ 0)的图象，如图，下列结论①c < 0 ② b > 0 ③ 4a + 2b + c > 0 ④ (a + c )2 < b 2 其中正确的有（）A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个6．已知函数 y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数 a, b , cyOxx = 1y有下列不等式① a < 0 ② b < 0 ③ c > 0 ④ 2a + b < 0 ⑤ a + b + c > 0 其中正确个数为 ．7．已知直线 y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线y = ax 2 + bx 一定经过（）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数 y ＝ax 2-3x ＋a 2-1 的图象，那么 a 的值是__．- O 1x．． 轴正半轴相交，其顶点坐标为,1⎪ ，下列结论：①ac＜0；② 精品资料 欢迎下载9. 若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为______若抛物线 y ＝x 2－bx ＋9 的顶点在 y 轴上，则 b 的值为______10．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b ＋c=2； ③a >结论是( )1 2；④b＜1．其中正确的A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与 y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b ＞0；③a＋c ＝1；④a＞1．其中正确的结论是()A 、1 个B 、2 个C 、3 个D 、4 个12. 二次函数 y ＝ax 2 －2x －1 与 x 轴有交点，则 k 的取值范围________。

二次函数：图象位置与a，b，c，（1）a决定抛物线的开口方向：；．（2）C决定抛物线与轴交点的位置，抛物线交轴于；抛物线交轴于；．（3）ab决定抛物线对称轴的位置，当同号时对称轴在轴；对称轴为；异号对称轴在轴，简称为．一、通过抛物线的位置判断a，b，c，△的符号．例1．根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断a、b、c、b2-4ac的符号2.看图填空（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b _______0（4）4a＋2b＋c_______0二、通过a，b，c，△的符号判断抛物线的位置：D例1．若，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）例2．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2+bx+c经过象限．例3.已知二次函数y=ax2+bx+c且a＜0，a-b+c＞0；则一定有b2-4ac 0例4．如果函数y=kx+b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx2+bx-1的大致图象是（）BDCA1．若抛物线y=ax2+bx+c开口向上，则直线经过象限．2．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列条件不正确的是(A、 B、C、 D、3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则点在．（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限4．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数在同一坐标系中的图象大致是( O5．二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图，下列结论①②③④其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个16．已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于系数有下列不等式①②③④⑤其中正确个数为．7．已知直线y=ax2+bx+c不经过第一象限，则抛物线一定经过（）A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限C．第一、二象限 D．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2-3x＋a2-1的图象，那么a的值是__．9. 若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在x轴上，则b的值为______若抛物线y＝x2－bx＋9的顶点在y轴上，则b的值为______10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a＋b＋c=2；；④b＜1．其中正确的结论是(A．①② B．②③ C．②④ D．③④11.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc＜0；②2a＋b＞0；③a ＋c＝1；④a＞1．其中正确的结论是(A、1个B、2个C、3个D、4个12. 二次函数y＝ax2 －2x－1与x轴有交点，则k的取值范围________。

专题02 二次函数与系数a 、b 、c 的关系【知识梳理】知识梳理一、二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的基本认知b 2-4ac =0知识梳理二、关于a 、b 、c 代数式的取值问题．a 、b 、m知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类）（1）通过给出的系数系数信息，判断图像共存（2）通过给出的图像判断系数，再判断图像共存（3）不给出任何系数信息，通过题意判断【例题精讲】例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．例3．函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．例4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．例5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．例6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），例7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．例8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号．例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．例10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有：．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．【专项训练】1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（）A．B．C．D．7．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝6ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于（）A．﹣1B．1C．D．13．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．14．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．15．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．17．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．18．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．20．下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（）A．B．C．D．21．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．第21题图第22题图22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．23．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．其中结论正确是．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ab c＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．26．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的番号）27．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是（填序号）．30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）。

20
）
二次函数中的符号问题
y ax bx c(a 0)
2
1
二次函数中的符号问题
（a、b、c、△等符号）
2
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与什么有关？ 2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点是 （0，c） .
开口方向与a有关
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
a、b异号 b=0 简记为：左同右异
对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴 （4）b2-4ac的符号：
由抛物线与x轴的交点个数确定:
与x轴有两个交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
5
与x轴有一个交点
与x轴无交点
归纳知识点：
6
7
8
9
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
X= - b/2a .
3
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定 开口向上 开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定:
交点在x轴上方 交点在x轴下方 经过坐标原点
c>0
c<0
c=0
4
归纳知识点：
（3）b的符号：
由对称轴的位置确定： a、b同号
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数学因规律而不再枯燥， 数学因思维而耐人寻味。
让我们热爱数学吧！
19
课外作业：
1.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和 一次函数y2=mx+n的图象，观察 图象写出y2 ≥y1时，x的取值范围 是________;

。
y o
图2
x
o
图1
x
y
C、4个
D、5个
-1 o
1
x
8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0； ④（a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个 y
o x=1
x
9.如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
2
已知 : y ( m 1) x 2 x m ， 当m _____ 1 时，图象为直线；
2
当m _____ 1时，图象为抛物线； 当m _____ 1时，抛物线开口向下；
当m _____ 时，抛物线经过原点。 0
1、二次函数y ax 2 bx c(a 0)的图象如图所示， 下列结论①c<0,②b>0③4a+2b+c>0,④(a+c)2 b2 其中正确的是 （填序号，并说明理由）
1.已知抛物线y x 2 （ 2 m 1 ）x （ 2 m 1 ），求证：
2.已知抛物线y （m+6）x 2 （ 2 m 1 ）x m 1的图象 与x轴总有两个交点，求m的取值范围。
3.已知抛物线y 2x 3x m与x轴交于A, B两点，且
2
1 线段AB的长为 ，（）求 1 m的值；（2）若抛物线顶 2 点为p，求ABP的面积。
2
(2) y 1 2 x x (3) y x(5 x) (4) y ( x 1)( x 2)

已知二次函数 y ax2 bx c 的图像如图所示
对称轴是x=1，下列结论
①abc﹥0
y
②2a+b=0
③b2-4ac﹤0
④4a+2b+c﹥0
⑤ 若 2, y1 ,5, y2
x
是抛物线上两点，
0
则y1﹥y2
正确的有——————（填序号） X=1
• 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分， 图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出 四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；
5个结论
①4ac-b2≥0， ②-3a+c﹤0
X=2
③abc﹤0
④将该函数图像向左平移2个单位后，
所得抛物线解析式是 y ax2 c
⑤m﹤2
正确的有——————（填序号）
象如图所示，有下列5个结论：① abc﹤o
② b ﹤ a+c；③ 4a+2b+c﹥0；④ 2c ﹤ 3b；⑤ a+b ﹤ m(am+b)，（m≠1的实数）其中正确的 结论有（ ）
（m﹥2）无实数根
正确的有——————（填序号）
抛物线 y x 2 ax a 1
（1）无论a取何值，抛物线与x轴有交点
（2）无论a取何值，抛物线过一个定点
如图，在平面直角坐标系中，抛物线
y 1 x2
2
y 1 x2
y
2
y 3x
O
x
⊙O半径为2
阴影部分的面积=
一次函数 y1 x y
• ③a－b＋c=0；④3a﹥b．
⑤其图像与x轴另一个交点坐标是（1,0）
⑥若点（-4，y1）点（3，y2） 在该函数图像上，则y1 ﹤ y2

模块三 函数第五讲 二次函数图象与a 、b 、c 的关系知识梳理 夯实基础二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征a >0开口向上aa <0开口向下b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧bab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交cc <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4acb 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,hx =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。

（3）赋值法：在二次函数c bx ax y ++=2中，令1=x ，则c b a y ++=；令1-=x ，则c b a y +-=；令2=x ，则c b a y ++=24；令2-=x ，则c b a y +-=24；利用图象上对应点的位置来判断含有a 、b 、c 的关系式的正确性。

直击中考 胜券在握1．（2021·山东日照中考）抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②()()2242a c b +<；③若()11,x y 和()22,x y 是抛物线上的两点，则当1211x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为()1,m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y 轴交点位置判断a ，b ，c 符号．②把2x =±分别代入函数解析式，结合图象可得22(4)(2)a c b +-的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点y 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为m 可得2ax bx c m ++…，从而进行判断21ax bx c m ++=-无实数根．【详解】解：①Q 抛物线图象开口向上，0a \>，Q 对称轴在直线y 轴左侧，a \，b 同号，0b >，Q 抛物线与y 轴交点在x 轴下方，0c \<，0abc \<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b \+-<，即22(4)(2)a c b +<，故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--，12|1||1|x x +>+Q ，\点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y \>，故③错误．④Q 抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m \…，2ax bx c m \++…，21ax bx c m \++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数2(0)y ax bx c a =++¹中a ，b ，c 与函数图象的关系．2．（2021·四川巴中中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的自变量x 与函数y 的部分对应值见表格，则下列结论：①c ＝2；②b 2﹣4ac ＞0；③方程ax 2+bx ＝0的两根为x 1＝﹣2，x 2＝0；④7a +c ＜0．其中正确的有（ ）x…﹣3﹣2﹣112…y … 1.8753m 1.8750…A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④【答案】B 【分析】由表格可以得到二次函数图象经过点点（-3，1.875）和点（1，1.875），这两点关于对称轴对称，由此得到对称轴直线，设出二次函数顶点式，代入两点，求解出二次函数解析式，得到a ，b ，c 的值，依次代入到①②③④中进行判断即可解决．【详解】解：由表格可以得到，二次函数图象经过点(3,1.875)-和点(1,1.875)，Q 点(3,1.875)-与点(1,1.875)是关于二次函数对称轴对称的，\二次函数的对称轴为直线3112x -+==-，\设二次函数解析式为2(1)y a x h =++，代入点(2,3)-，(2,0)得，390a h a h +=ìí+=î，解得38278a h ì=-ïïíï=ïî，\二次函数的解析式为：2327(1)88y x =-++，Q 233384y x x =--+，3c \=，\①是错误的，2934430168b ac -=+´´>Q ，\②是正确的，方程20ax bx +=为233084x x --=，即为220x x +=，12x \=-，20x =，\③是正确的，3377()3088a c +=´-+=>Q ，\④是错误的，\②③是正确的，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数系数特征和二次函数解析式求法，利用待定系数法求解函数解析式是通法，由表格提炼出对称轴的信息，是解题的突破口，此题，也可以通过二次函数系数特征来解决．3．（2021·牡丹江中考）如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），与x 轴的一个交点B （3，0），与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①ab c>0；②﹣2＜b 53<-；③（a ＋c ）2﹣b 2＝0；④2c ﹣a ＜2n ，则正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为（1，n ），∴对称轴x =12ba-=，∴b =-2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c ＜-2＜0，∴abc>0；故①正确；∵抛物线线x 轴的一个交点B （3，0），∴9a +3b +c =0，抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∵b =-2a ∴c =32b，∴-3＜32b＜-2，∴﹣2＜b 43<-，故②错误；∵抛物线线x 轴的一个交点（-1，0），∴a -b +c =0，∴（a ＋c ）2﹣b 2＝（a +b +c ）（a -b +c ）=0，故③正确；∵a ＞0，∴-a ＜0∵b =-2a ∴3a +2b =-a ＜0∴2c ﹣a ＞2（a +b +c ），∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（1，n ），∴a +b +c =n ，∴2c ﹣a ＞2n ；故④错误；故选：B 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），明确以下几点：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；③常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．4．（2021·湖北荆门中考）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(,0)B m （21m -<<-），下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③ (1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】根据已知条件可判断0c >，0a b <<，据此逐项分析解题即可．【详解】解：Q 抛物线开口向下a \<把(1,0)A ，(,0)B m 代入2y ax bx c =++得200a b c am bm c ++=ìí++=î2am bm a b\+=+20am bm a b \+--=(1)()0m am a b -++=21m -<<-Q 0am a b \++=,(1)am c a m b\=+=-0c \>110m \-<+<10m +<Q 11022m +\-<<1022b a\-<-<10b a\>>0a b \<<①220b c b a b b a +=--=->，故①正确；②220a c a a b a b +=--=-<，故②正确；③ (1)2230a m b c b c b a b b a +-+=-+=---=-->，故③正确；；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即2(1)10ax a m x am -++-=22(1)4(1)a m a am D =+--222(1)44a m a m a=+-+2244a bb a a a--=-⋅+22444b a ab a=+++24()4b a a b a=+++2440b ac a =-+>244ac b a \-<，故④正确，即正确结论的个数是4，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a 、b 、c 关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．5．（2021·辽宁丹东中考）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且13,22a b c a b c ++=--+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x ££时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【分析】由题意易得1,12b c a ==--，则有0c <，进而可判定①②，当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线104x a =-<，则有当23x ££时，y 随x 的增大而增大，故可得④；联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵13,22a b c a b c ++=--+=-，∴两式相减得12b =，两式相加得1c a =--，∴0c <，∵0,0,0a b c >><，∴0abc <，故①正确；∴12222102a b c a a a ++=+´--=>，故②正确；∵当x =1时，则12y a b c =++=-，当x =-1时，则有32y a b c =-+=-，∴当0y =时，则方程20ax bx c =++的两个根一个小于-1，一个根大于1，∴抛物线与x 轴正半轴必有一个交点，故③正确；由题意可知抛物线的对称轴为直线1024b x a a=-=-<，∴当23x ££时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，有最小值，即为424113y a b c a a a =++=+--=，故④正确；联立抛物线2y ax bx c =++及直线y x c =-可得：2x c ax bx c -=++，整理得：22012ax x c -+=，∴1804ac D =->，∴该抛物线与直线y x c =-有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的部分图象如图所示，对称轴为12x =，且经过点()2,0．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若11,2y ⎛⎫-⎪⎝⎭，25,2y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点，则12y y <；⑤()14b c m am b c +>++（其中12m ¹）．正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】B 【分析】先根据抛物线开口向下、与y 轴的交点位于y 轴正半轴0,0a c <>，再根据对称轴可得0b a =->，由此可判断结论①；将点()2,0代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．【详解】解：Q 抛物线的开口向下，与y 轴的交点位于y 轴正半轴，0,0a c \<>，Q 抛物线的对称轴为122b x a =-=，0b a \=->，0abc \<，则结论①正确；将点()2,0代入二次函数的解析式得：420a b c ++=，则结论③错误；将a b =-代入得：20b c -+=，则结论②正确；Q 抛物线的对称轴为12x =，32x \=和12x =-时的函数值相等，即都为1y ，又Q 当12x ³时，y 随x 的增大而减小，且3522<，12y y \>，则结论④错误；由函数图象可知，当12x =时，y 取得最大值，最大值为1111142424a b c b b c b c ++=-++=+，12m ¹Q ，214b c am bm c +>++\，即1()4b c m am b c +>++，结论⑤正确；综上，正确的结论有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．7．（2021·四川广安中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -³+，④30a c +<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a ，b ，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x 轴的交点可得当x =-2时，y ＞0，可判断②；再根据x =-1时，y 取最大值可得a -b +c ≥ax 2+bx +c ，从而判断③；最后根据x =1时，y =a +b +c ，结合b =2a ，可判断④．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线x =-1，即12b a-=-，∴b =2a ，则b ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x =-1，与x 轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x 轴的另一个交点在-2和-3之间，∴当x =-2时，y =4a -2b +c ＞0，故②错误；∵x =-1时，y =ax 2+bx +c 的最大值是a -b +c ，∴a -b +c ≥ax 2+bx +c ，∴a -b ≥ax 2+bx ，即a -b ≥x （ax +b ），故③正确；∵当x =1时，y =a +b +c ＜0，b =2a ，∴a +2a +c =3a +c ＜0，故④正确；故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）．8．（2021·湖南株洲中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图像如图所示，点 P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，设()M ac a b c =++，则 M 的取值范围为（ ）A ．1M <-B ．10M -<<C ．0M <D ．0M >【答案】D【分析】由图像可得0a <，0c >，当1x =，y a b c =++，并与x 轴交于OP 之间，得0a b c ++<，据悉可得()0M ac a b c =++>，据此求解即可．【详解】解：由图像可知，图像开口向下，并与y 轴相交于正半轴，∴0a <，0c >，当1x =，211y a b c a b c =++=++g g ，∵1OP =，并由图像可得，二次函数2y ax bx c =++与x 轴交于OP 之间，∴0a b c ++<∴()0M ac a b c =++>，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．9．（2021·齐齐哈尔中考）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，对称轴为1x =-，结合图象给出下列结论：①0a b c ++=；②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1；④若点()14,y -，()22,y -，()33,y 均在二次函数图象上，则123y y y <<；⑤()a b m am b -<+（m 为任意实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．【详解】解：∵二次函数2(0)y ax bx c a =++¹图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为()1,0，∴当x =1时，0a b c ++=，故结论①正确；根据函数图像可知，当10x y =-<，，即0a b c -+<，对称轴为1x =-，即12b a-=-，根据抛物线开口向上，得0a ＞，∴20b a =＞，∴0a b c b -+-<，即20a b c -+<，故结论②正确；根据抛物线与x 轴的一个交点为()1,0，对称轴为1x =-可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，∴关于x 的一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两根分别为-3和1，故结论③正确；根据函数图像可知：213y y y <<，故结论④错误；当x m =时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴当1m =-时，()a b c m am b c -+=++，即()a b m am b -=+，故结论⑤错误，综上：①②③正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．10．（2021·湖北鄂州中考）二次函数()20y ax bx c a =++¹的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．【详解】解：①由图象可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②∵对称轴为直线x = 2b a-=1，且图象与x 轴交于点（﹣1，0），∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a ，∴根据图象，当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，故②错误；③根据图象，当x =﹣2时，y =4a ﹣2b +c =4a +4a +c =8a +c ＜0，故③正确；④∵抛物线经过点()3,n -，∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点()5,n ，∴抛物线2y ax bx c =++与直线y =n 的交点坐标为（﹣3，n ）和（5，n ），∴一元二次方程()200ax bx c n a ++-=¹的两根分别为3-，5，故④正确，综上，上述结论中正确结论有①③④，故选：C ．本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．11．（2021·江苏宿迁·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据抛物线的开口方向、于x 轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a ＞0，故①正确；∵抛物线与x 轴没有交点∴24b ac -＜0，故②错误∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）1933a b c a b c ++=ìí++=î∴8a+2b=2∴4a +b =1，故③错误；由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）则抛物线与直线y=x 交于这两点∴()21ax b x c +-+＜0可化为2ax bx c x ++<，根据图象，解得：1＜x ＜3故选A ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．12．（2021·四川达州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a ,b ,c 的正负②根据对称轴公式2b x a =-，12x =判断,a b 的大小关系③根据2x =时，0y =，比较423a b c ++与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图像开口朝上，故0a > ，根据对称轴“左同右异”可知0b <，图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c <0abc \>故①正确；②122b x a =-=得=-a b 0a b \+=③2y ax bx c =++Q 经过()2,0420a b c \++=又由①得c <04230a b c \++<故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x =与1x =-时的函数值相等\ 当1x =-时0y =，即0a b c -+=a b=-Q 20a c \+=即12c a=- \ 2y ax bx c =++经过,02c a ⎛⎫⎪⎝⎭，即经过(1,0)- 故④正确；⑤当12x =时,1142y a b c =++, 当x m =时,2y am bm c =++0a >Q\ 函数有最小值1142a b c ++\ 21142am bm c a b c ++³++化简得2440am bm b +-≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．13．（2021·湖北随州中考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c ->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ^．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】依据抛物线的图像和性质，根据题意结合二次函数图象与系数的关系，逐条分析结论进行判断即可【详解】①从图像观察，开口朝上，所以0a >，对称轴在y 轴右侧，所以0b <，图像与y 轴交点在x 轴下方，所以0c <0,0a b a b c--><\，所以①不正确；②点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点(0,)C c ，且2OB OC=设(2,0)B c -代入2y ax bx c =++,得：2420ac bc c -+=0c ¹Q \241b ac -=，所以②正确；③Q ()2,0A -，(2,0)B c -设抛物线解析式为：(2)(2)y a x x c =++过(0,)C c 4c ac \= 14a \=，所以③正确；④如图：设,AN BM 交点为P ，对称轴与x 轴交点为Q ，顶点为D ，根据抛物线的对称性，APB △ 是等腰直角三角形，()2,0A -Q ，(2,0)B c -22AB c \=-，112PQ AB c ==- 又对称轴2(2)12c x c -+-==+ (1,1)P c c \+- 由顶点坐标公式可知24(1,)4ac b D c a-+ 14a =Q 2(1,)D c cb \+- 由题意21c b c -<-，解得1b > 或者1b <-由①知0b <\1b <-，所以④不正确．综上所述：②③正确共2个故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，二次函数2y ax bx c =++（a ≠0），a 的符号由抛物线的开口决定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置确定，此外还有注意利用特殊点1，-1及2对应函数值的正负来解决是解题的关键．14．（2021·天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ¹）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．∴c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1，∴a -b = -2,2a -b ＞0，∴2a -a -2＞0，∴a ＞2＞0，∴b =a +2＞0，∴abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∴△=24(3)b a c --=28b a +＞0,∴230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；∵b =a +2，a ＞2，c =1，∴a +b +c =a +a +2+1=2a +3，∵a ＞2，∴2a ＞4，∴2a +3＞4+3＞7，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．15．（2021·四川遂宁中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②24b ac <；③23c b <；④2()a b m am b +>+（1m ¹）；⑤若方程2ax bx c ++＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y 轴的交点得到a ，b ，c 的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x 轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得12b a-=，则12a b =-，根据1x =-可得0a b c -+<，代入变形可对③进行判断；当1x =时，y a b c =++的值最大，即当(1)x m m =¹时，即a b c ++>2am bm c ++，则可对④进行判断；由于方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a ＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴b ＞0，∴abc ＜0，①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点∴24b ac ->0∴24b ac >，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x =1，∴12b a-=，∴12a b =-由图象得，当1x =-时，0y a b c =-+<，∴102b bc --+<∴23c b <，故③正确；④当1x =时，y a b c =++的值最大，∴当(1)x m m =¹时，a b c ++>2am bm c ++，∴()a b m am b +>+（1m ¹），∵b ＞0，∴2()a b m am b +>+（1m ¹），故④正确；⑤∵方程|ax 2+bx +c |=1有四个根，∴方程ax 2+bx +c =1有2个根，方程ax 2+bx +c =-1有2个根，∴所有根之和为2×（-b a）=2×2a a =4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．16．（2013·山东德州中考）函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4c＜0；故①错误．当x=1时，y=1+b+c=1，故②错误．∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0．故③正确．∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确．综上所述，正确的结论有③④两个，故选B．。

二次函数：图象位置与a ，b ，c ，（1）a 决定抛物线的开口方向：⇔>0a ；⇔<0a ． （2）C 决定抛物线与y 轴交点的位置， 0>c ⇔抛物线交y 轴于 ； 0<c ⇔抛物线交y 轴于 ； 0=c ⇔ ．（3）ab 决定抛物线对称轴的位置，当b a ,同号时⇔对称轴在y 轴 ；0=b ⇔对称轴为 ；b a ,异号⇔对称轴在y 轴 ，简称为 ．一、通过抛物线的位置判断a ，b ，c ，△的符号．例1．根据二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，判断a 、b 、c 、b 2-4ac 的符号2.看图填空（1）a ＋b ＋c_______0（2）a －b ＋c_______0（3）2a －b _______0（4）4a ＋2b ＋c_______0二、通过a ，b ，c ，△的符号判断抛物线的位置：例1．若0,0,0<><c b a ，则抛物线y=ax 2+bx+c 的大致图象为（ ）例2．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 经过 象限． 例3.已知二次函数y=ax 2+bx+c 且a ＜0，a-b+c ＞0；则一定有b 2-4ac 0例4． 如果函数y=kx+b 的图象在第一、二、三象限内，那么函数y=kx 2+bx-1的大致图象是（ ）练习： 1．若抛物线y=ax 2+bx+c 开口向上，则直线3+=ax y 经过 象限．2．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列条件不正确的是( )Oy x A O y x B O y x C O y xxy 1 0 x y -1 0 B 1 0 x y C -1 0 xyA 、0,0,0<><c b aB 、042<-ac bC 、0<++c b aD 、0>+-c b a 3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则点⎪⎭⎫ ⎝⎛-+b ac ac b b a ,42在．（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限4．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是( )5．二次函数y=ax 2+bx+c ()0≠a 的图象，如图，下列结论①0<c ②0>b ③024>++c b a ④()22b c a <+其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个6．已知函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，关于系数c b a ,,有下列不等式①0<a ②0<b ③0>c ④02<+b a ⑤0>++c b a 其中正确个数为 ．7．已知直线y=ax 2+bx+c 不经过第一象限，则抛物线2y ax bx =+一定经过（ ）A ．第一、二、四象限B ．第一、二、三象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限8. 如图所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2-3x ＋a 2-1的图象，那么a 的值是__．9. 若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为______若抛物线y ＝x 2－bx ＋9的顶点在y 轴上，则b 的值为______10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c=2；21>a ③；④b ＜1．其中正确的结论是( )1=x xyO y O x- 1 Oy O xyOAx yO x y O C x y O x yA ．①②B ．②③C ．②④D ．③④11.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象开口向上，图象经过点（-1,2）和（1,0），且与y 轴负半轴交于一点，给出以下结论①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1．其中正确的结论是( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个12. 二次函数y ＝ax 2 －2x －1与x 轴有交点，则k 的取值范围________。

二次函数系数a 、b 、c 与图像的关系若抛物线与 x 轴交于（1，0），则a + b + c = 0；若抛物线与 x 轴交于（-1，0），则a - b + c = 0． （1） 当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 0，则a + b + c < 0 （2） 当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．5 例1（重庆2004年）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则点M （b ，ac ）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b > 0；∴ac < 0；∴点M 在第四象限选D例2、（2004陕西）二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，则下列关系判断正确的是（ ）A ．ab < 0B ．bc < 0C ．a + b + c > 0D ．a - b + c < 0分析：∵开口向下，∴a < 0； ∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴ab > 0， bc > 0 故A 、B 均错 ∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0，故C 错 ∵x = -1时，y < 0，∴a - b + c < 0．故选D例3（2004呼和浩特）如图，四个二次函数的图像中分别对应的是：①2χγa =②2χγb =③2χγc =④2χγd =，则a ， b ， c ， d 的大小关系是 ． A ．a > b > c > d B ．a > b > d > c C ．b > a > c > dD ．b > a > d > c分析：∵③、④的图像开口向下，∴c < 0，d < 0； ∵④的张口比③的张口小，∴∣d ∣ > ∣c ∣， ∴c > d ； ∵①、②的图像开口向上，∴a > 0，b > 0；∵①的张口比②的张口小，∴∣a ∣ > ∣b ∣， ∴a > b例4、已知二次函数()02≠++=a c b aχχγ的图像如图，则a 、b 、c 满足（ ）A ．a < 0，b < 0，c > 0 ；B ．a < 0，b < 0，c < 0 ；C ．a < 0，b > 0，c > 0 ；D ．a > 0，b < 0，c > 0 ；分析：∵开口向下，∴a < 0；∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴，∴c > 0∵顶点在y 轴的左边，∴b 与a 同号，即b < 0； ∴选A 例5 二次函数()02≠++=a c b a χχγ的图像如图，13χ=为该函数图像的对称轴，根据这个函数图像，你能得到关于该函数的那些性质和结论呢?(写4个即可)． 解： ①∵开口向上，∴a > 0；②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴，∴c < 0； ③∵顶点在y 轴的右边，∴b 与a 异号，即b < 0； ④∵x = 1时，y < 0，∴a + b + c < 0；⑤∵x = -1时，y > 0，∴a - b + c > 0．例１、已知y=ax 2+bx+c 图象如图1，则下列关系中成立的是( )120.<-<a bA 220.<-<abB 221.<-<a bC12.=abD 剖析 特别位置判定法，若抛物过O(0，0)(2，0)则x=12=-a b 这里221<-<ab ，所以选C ．求值判定法，设抛物线过(α，0)(0<α<2)，(2，0)，则α2a+αb+c=0①，4a+2b+c=0②，①②(α2-4)a+(α-2)b=0∵α-2≠0∴(α+2)a+b=0b=-(α+2)a.121222)2(2>+=+=+=-∴αααa a a b 221<-<∴ab求中点坐标判定法，设抛物线与x 轴交于点A(α，0)(0<α<2)，B(2，0)， 则A 、B 中点坐标是12122>+=+αα 221<-<∴ab所以选 C ． 注意：若题目为“已知抛物线y=ax 2+bx+c 过A(1，5)，B(4，5)，求对称轴直线”应怎样求？例２为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2．4米高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线y=ax 2+bx+c 如图2，则下列结论： ①601-<a ，②0601<<-a ，③a-b+c>0，④a<b<-12aA ．①③ B． ①④ C ． ②③ D ． ②④剖析 排除法判定，易知c=2．4把(12，0)代入y=ax 2+bx+c 中得： 144a+12b+2．4=0，11205a b ++=，由图象知a<0，对称轴2b x a-=11120560a a ∴+<<-，， 即①成立， ②不成立，故不可能选C 与D ． 111201201255a b a b b a++=∴+-<<- ，，，000022b ba b a a<->∴<> ，，，．,12a b a -<<∴④正确，故在A ，B 中只能选B ．例3、已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)经过点(-1，0)且满足4a+2b+c>0以下结论：①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④b 2-2ac>5a 2其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 特殊值判定法，∵抛物线过(-1，0)点，∴a-b+c=0， c=b-a 代入4a+2b+c>0中得．a+b>0，①正确．∵a<0，a+b>0，∴b>0，∵a-b+c=0，∴a+c=b>0，a+c>0，②正确．∵a<0，b>0，∴c=b-a>0，-a>0，∴-a+b+c>0，③正确．∵a-b+c=0，∴a+c=b ，2a+c=a+b>0，2a+c>0，∵a<0，c>0，∴c-2a>0， ∴(c-2a)(c+2a)>0，c 2-4a 2>0，c 2>4a 2，∵b=a+c ，∴b 2=c 2+a 2+2ac ，c 2=b 2-a 2-2ac ，b 2-a 2-2ac>4a 2，b 2-2ac>5a 2， ④正确． 所以选D ．注意 ：有时利用x=±1时，y=a±b+c ，x=±2时，y=4a±2b+c 中，y 符号判定a±b+c 和4a±2b+c 的符号．例4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴交于(-2，0)(x ，0)且1<x 1<2，与y 轴正半轴交点在(0，2)下方，下列结论，①a<b<0，②2a+c>0，③4a+c<0，④2a-b+1>0其中正确个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析： 数形判定法，根据题意可画草图3， 1122b b x a a=->-∴< 对称轴，， 00022b ba a a<-<∴> ，， ∴a<b<0 ①正确． ∵抛物线过(-2，0)，∴4a-2b+c=0， 2a+c=-2a+2b=-2(a-b)>0∴2a+c>0，②正确． ∵4a-2b+c=0，4a+c=2b<0∴4a+c<0，③正确． ∵4a-2b+c=0，2cb a 2-=-∴ ∵0<c<2，12c->-∴，2a-b>-1，即2a-b+1>0 ④正确． 所以选D ．补充练习：1、二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠０）的图象如图2所示，则点c M b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 2、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A 、240b ac ->B 、0a >C 、0c >D 、02ba-< 4、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确的是（ ） A 、ab ＜0B 、bc ＜0C 、a +b +c ＞0D 、a -b +c ＜05、 二次函数c bx ax y ++=2，图象如图所示，则反比例函数xab y =的图象的两个分支分别在第 象限。

你还可想到啥？
6
利用以上知识主要解决以下几方面问题： （1）由a,b,c,∆的符号确定抛物线在坐标系中的大 致位置； （2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,∆等符号及有关 a,b,c的代数式的符号；
7
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
① abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正确结论的序 号是 ② ③ ④（答对得5分，少选、错选均不得分）．
y
2
x -1 O 1
19
这节课你有哪些体会？
1.a,b,c等符号与二次函数y=ax2+bx+c有密切的 联系； 2.解决这类问题的关键是运用数形结合思想， 即会观察图象；如遇到2a+b,2a-b要与对称轴联 系等； 3.要注意灵活运用数学知识，具体问题具体分 析……
3.(03武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c （a＜0)经过点（－1，0）， 且满足4a＋2b＋c＞0．以下结论：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③
－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正确的个数有（
）
（A）1个 （B）2个 （C）3个
（D）4个
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继续保持安静
9
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
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快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号：
y
o
x
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二次函数的图像与性质知识点：二次函数抛物线，图像对称是关键，开口、顶点和交点，它们确定图像现。

a 的正负开口判（开口大小由a 断），c 与y 轴来相见，b 的符号较特别，符号与a 相关联，顶点位置先找见，y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱。

△的符号最简便，x 轴上数交点，顶点坐标最重要，一般配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值现，若求对称轴位置，括中符号正相反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

二次函数a ，b ，c 及相关问题的解决：1、 a 正负性：由开口方向决定，开口向上，a ＞0；开口向下，a ＜02、 b 的正负性：由于抛物线对称轴为ab x 2-=，所以b 的正负性与对称轴的位置和a 的正负性相关联。

对称轴在y 轴的左边时，a 、b 符号相同，对称轴在y 轴的右边时，a 、b 符号相反，对称轴为y 轴时，b=0（左同右异中为0）3、 c 的正负性：c 表示抛物线与y 轴交点的纵坐标，即当x=0时，y=c ，所以当抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方时，c ＞0，当抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方时，c ＜0。

（c 与y 轴来相见）4、 abc 的正负性：a ，b ，c 确定，则随之确定5、 ac b 42-=∆的正负性：△是根的判别式，由于一元二次方程是二次函数y=0的特殊情况，所以可以从抛物线与x 轴的交点个数来判断△的正负性，与x 轴有两个交点时，042>-ac b ，与x 轴的交点有一个时，042=-ac b ，与x 轴没有交点时，042<-ac b6、 利用x 的特殊值判断一些代数式的正负性：当x=1时，y=a+b+c ，当x=-1时，y=a-b+c ，当x=2时，y=4a+2b+c ，当x=-2时，y=4a-2b+c ，当x=3时，y=9a+3b+c ，当x=-3时，y=9a-3b+c ，对于取x 的特殊值得到代数式的正负性，重点看此时图像在x 轴的上方还是下方。

二次函数题型总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ①y=2x 2； ①y=2x 2+4x ； ①y=－3x ； ①y=－2x －1； ①y=mx 2+nx+p ； ①y =； ①y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。

6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为交点式：y=(x -x 1)(x -x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。

1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。

2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。

课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间 学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标 掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。

教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。

4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回顾： （09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； （2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ， 解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。