对数函数·换底公式·例题

第三章 指数函数、对数函数和幂函数第 7 课时 内容：对数的公式班级 姓名 小组一、学习目标1．理解并掌握对数性质及运算法则； 2．掌握对数换底公式；二、自主学习 阅读读本(P75 –P78 )1.对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 1.加法：log log log ()a a a M N MN += 2.减法：log log log a a aM M N N-= 3.数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ 4.N aNa =log5.换底公式：log a N=aNc c log log )1,0(≠>c c 说明：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）： ① log log 1a b b a ⋅=；② log log m n a a nb b m=；三、例题分析 例1.求值．（1）log 5125； （2）log 2(23·45)；（3）(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2； (4)3log 24例2.计算（1）83log 9log 32⨯（2）427125log 9log 25log 16⋅⋅（3）483912(log 3log 3)(log 2log 2)log ++-例3.设)2lg(2lg lg b a b a -=+，求log 4a b的值．四、课堂训练1.若0>a 且1≠a ,0,0>>N M ,且N M >,给出下列式子:①)(log log log N M N M a a a +=⋅; ②)(log log log N M N M a a a ⋅=⋅; ③)(log log log MN N M a a a =+; ④)(log log log N M N M a a a -=-. 其中不正确的是 .2. 用lg x ，lg y ，lg z表示：2lg yz3.求值：（1）52log (48)⨯ （2）52lg 4lg 8+ （3）lg8lg125+ （4）13log 22+4. 化简：532111log 7log 7log 7++；5. 设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.五、课堂小结 1．对数的运算性质； 2．换底公式.六、课后作业1.若a =2lg ，lg3＝b ，则log 512＝________2.计算：（1）12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+(2)(log 2125+log 425+log 85)(log 52+log 254+log 1258)3.若a lg 、b lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，求2)(lg )lg(baab ⋅的值。

对数函数换底公式换底公式为：loga（b）=logc（b）/logc（a）（c＞0，c≠1）推导过程令loga（b）=t (1)即a^t=b两边取以c（c＞0，c≠1）的对数即logc（a^t）=logc（b）即t logc（a）=logc（b）故由a≠1，即logc（a）≠0即t=logc（b）/ logc（a） (2)由（1）与（2）知loga（b）=logc（b）/logc（a）。

如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。

它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。

因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

扩展资料：在高等数学中有一种求导方法叫对数求导法，其原理就是指数函数的换底，把底为普通常数或变量的指数函数或幂指函数统统都变形为以e为底的复合函数形式。

这些都可以很容易地由对数换底公式及推论得到。

在实数域中，真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），底数则要大于0且不为1。

【在一个普通对数式里a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。

但是，根据对数定义：log以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm），并把log10N 记为lgN。

另外，在科学计数中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并且把logeN 记为In N。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

.3一、选择题1．下列各式中不正确的是( )[答案] D[解析] 根据对数的运算性质可知：2．log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] log 23·log 34·log 45·log 56·log 67·log 78＝lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg6lg5×lg7lg6×lg8lg7＝lg8lg2＝3，故选C.3．设lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512等于( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a[答案] C[解析] log 512＝lg12lg5＝2lg2＋lg31－lg2＝2a ＋b1－a ，故选C.4．已知log 72＝p ，log 75＝q ，则lg2用p 、q 表示为( ) A ．pq B.q p ＋q C.pp ＋qD.pq 1＋pq[答案] B[解析] 由已知得：log 72log 75＝p q ，∴log 52＝pq变形为：lg2lg5＝lg21－lg2＝p q ，∴lg2＝pp ＋q ，故选B.5．设x ＝ ，则x ∈( )A ．(－2，－1)B ．(1,2)C ．(－3，－2)D ．(2,3)[答案] D[解析] x ＝＝log 310∈(2,3)，故选D.6．设a 、b 、c ∈R ＋，且3a ＝4b ＝6c ，则以下四个式子中恒成立的是( ) A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2bD.2c ＝1a ＋2b[答案] B[解析] 设3a ＝4b ＝6c ＝m ， ∴a ＝log m 3，b ＝log m 4，c ＝log m 6， ∴1a ＝log m 3，1b ＝log m 4，1c ＝log m 6， 又∵log m 6＝log m 3＋log m 2，1c ＝1a ＋12b ，即2c ＝2a ＋1b，故选B. 7．设方程(lg x )2－lg x 2－3＝0的两实根是a 和b ，则log a b ＋log b a 等于( ) A ．1 B ．－2 C ．－103D ．－4[答案] C[解析] 由已知得：lg a ＋lg b ＝2，lg a lg b ＝－3 那么log a b ＋log b a ＝lg b lg a ＋lg a lg b ＝lg 2b ＋lg 2alg a lg b＝(lg a ＋lg b )2－2lg a lg b lg a lg b ＝4＋6－3＝－103，故选C.8．已知函数f (x )＝2x 2＋lg(x ＋x 2＋1)，且f (－1)≈1.62，则f (1)≈( )A ．2.62B ．2.38C ．1.62D ．0.38[答案] B[解析] f (－1)＝2＋lg(2－1)，f (1)＝2＋lg(2＋1) 因此f (－1)＋f (1)＝4＋lg[(2－1)(2＋1)]＝4， ∴f (1)＝4－f (－1)≈2.38，故选B. 二、填空题9．设log 89＝a ，log 35＝b ，则lg2＝________. [答案]22＋3ab[解析] 由log 89＝a 得log 23＝32a ，∴lg3lg2＝3a2，又∵log 35＝lg5lg3＝b ，∴lg3lg2×lg5lg3＝32ab ， ∴1－lg2lg2＝32ab ， ∴lg2＝22＋3ab.10．已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，那么式子log abc x ＝________. [答案] 1[解析] log x (abc )＝log x a ＋log x b ＋log x c ＝12＋13＋16＝1，∴log abc x ＝1.11．若log a c ＋log b c ＝0(c ≠1)，则ab ＋c －abc ＝______. [答案] 1[解析] 由log a c ＋log b c ＝0得：lg(ab )lg a lg b·lg c ＝0，∵c ≠1，∴lg c ≠0∴ab ＝1， ∴ab ＋c －abc ＝1＋c －c ＝1.12．光线每透过一块玻璃板，其强度要减弱110，要使光线减弱到原来的13以下，至少要这样的玻璃板______块(lg3＝0.4771)．[答案] 11[解析] 设光线原来的强度为1，透过第n 块玻璃板后的强度为(1－110)n .由题意(1－110)n <13，两边同时取对数得n lg(1－110)<lg 13，所以n >－lg32lg3－1＝0.47710.0458≈10.42故至少需要11块玻璃板． 三、解答题13．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值． [解析] log 416＝2，log 34·log 48·log 8m ＝log 3m ＝2， ∴m ＝9.14．计算(lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋lg8＋……＋lg1024)·log 210.[解析] (lg 12＋lg1＋lg2＋lg4＋…＋lg1024)·log 210＝(－1＋0＋1＋2＋…＋10)lg2·log 210＝－1＋102×12＝54. 15．若25a ＝53b ＝102c ，试求a 、b 、c 之间的关系． [解析] 设25a ＝53b ＝102c ＝k ， 则a ＝15log 2k ，b ＝13log 5k ，c ＝12lg k .∴log k 2＝15a ，log k 5＝13b ，log k 10＝12c ，又log k 2＋log k 5＝log k 10，∴15a ＋13b ＝12c. 16．设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] a ＝log 4m ，b ＝log 5m .∴1a ＋2b＝log m 4＋2log m 5＝log m 100＝1，∴m ＝100. 17．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值是3，求a 的值． [解析] ∵f (x )的最大值等于3∴⎩⎪⎨⎪⎧lg a <016lg 2a －44lg a ＝3，∴(4lg a ＋1)(lg a －1)＝0∵lg a <0，∴lg a ＝－14，∴a ＝10－14.。

换底公式练习题换底公式练习题换底公式是数学中一个重要的概念，常用于解决对数运算中底数不同的情况。

通过换底公式，我们可以将一个对数的底数变换为另一个底数，从而简化计算。

在本文中，我们将通过一些实际的练习题来加深对换底公式的理解和应用。

练习题一：已知log2 3 ≈ 1.585和log2 5 ≈ 2.322，请计算log3 5。

解析：我们需要将底数为2的对数转换为底数为3的对数。

根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log2 3转换为底数为3的对数：log3 3 = log2 3 / log2 3 ≈ 1.585 / 0.631 ≈ 2.511练习题二：已知log5 2 ≈ 0.431和log5 3 ≈ 0.682，请计算log2 3。

解析：我们需要将底数为5的对数转换为底数为2的对数。

根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log5 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log5 3 / log5 2 ≈ 0.682 / 0.431 ≈ 1.583练习题三：已知log10 2 ≈ 0.301和log10 3 ≈ 0.477，请计算log2 3。

解析：我们需要将底数为10的对数转换为底数为2的对数。

根据换底公式：loga b = logc b / logc a我们可以将log10 3转换为底数为2的对数：log2 3 = log10 3 / log10 2 ≈ 0.477 / 0.301 ≈ 1.584通过以上练习题，我们可以看到换底公式的应用。

它可以帮助我们在不同底数的对数运算中进行转换，从而简化计算过程。

换底公式的理解和掌握对于解决复杂的对数问题非常重要。

除了上述练习题，我们还可以通过实际生活中的例子来进一步理解换底公式的应用。

例如，假设我们需要计算某个物质的半衰期，而我们只知道以10为底的对数。

如果我们想要以2为底进行计算，就可以利用换底公式将底数为10的对数转换为底数为2的对数，从而得到准确的半衰期。

对数换底公式例题《对数换底公式例题》对数换底公式是数学中的重要公式之一，用于计算不同底数的对数之间的关系。

它在解决一些复杂的对数问题时起到了关键的作用。

在本文中，我们将探讨一些关于对数换底公式的例题。

例题1：已知 log₅12 ≈ 1.929，求 log₆12 的值。

解析：根据对数换底公式，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数。

换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa其中，a 和 n 是底数，b 是真数。

根据题目的要求，我们可以将 log₆12 转化为以底数为 5 的对数：log₆12 = log₅12 / log₅6代入已知的 log₅12 的值：log₆12 ≈ 1.929 / log₅6此时，我们需要计算 log₅6 的值。

通过换底公式，我们可以计算出：log₅6 = logₙ6 / logₙ5选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₅6 的值：log₅6 ≈ log₁₀6 / log₁₀5 ≈ 0.778将 log₅6 的值代入原式，可以得出：log₆12 ≈ 1.929 / 0.778 ≈ 2.480因此，log₆12 的值约等于 2.480。

例题2：已知 log₂3 ≈ 1.585，求 log₄3 的值。

解析：类似于例题1，我们可以使用对数换底公式来计算 log₄3。

换底公式可以表示为：logₐb = logₙb / logₙa根据题目要求，我们需要计算 log₄3 的值，将其转化为以底数为 2 的对数：log₄3 = log₂3 / log₂4我们已知 log₂3 的值为 1.585，将其代入原式：log₄3 = 1.585 / log₂4此时，我们需要计算 log₂4 的值。

通过换底公式，我们可以计算出：log₂4 = logₙ4 / logₙ2选择一个适当的底数 n（例如，n=10），我们可以计算出 log₂4 的值：log₂4 = log₁₀4 / log₁₀2 ≈ 2 / 0.301 ≈ 6.644将 log₂4 的值代入原式，可以得出：log₄3 = 1.585 / 6.644 ≈ 0.238因此，log₄3 的值约等于 0.238。

2021-2022学年高一数学必修一第4章微专题4 换底公式换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．一、换底公式的正用例1 (1)log 29×log 34等于( )A.14B.12C ．2D ．4 考点 对数的运算题点 换底公式的应用答案 D解析 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. (2)已知log 152＝a ，b ＝log 35，则log 12518＝________.答案 ab ＋a ＋23b解析 a ＝log 152＝log 32log 315＝log 32log 35＋1＝log 32b ＋1， 所以log 32＝a (b ＋1)＝ab ＋a ，log 12518＝log 318log 3125＝log 3(2×32)log 353＝log 32＋23log 35＝ab ＋a ＋23b. 二、换底公式的逆用例2 计算：log 52×log 727log 513×log 74＝________. 答案 －34解析 原式＝log 52log 513×log 727log 74＝13log log 427＝lg 2lg 13×lg 27lg 4 ＝12lg 2－lg 3×3lg 32lg 2＝－34. 三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a例3 已知2a ＝5b ＝10，求1a ＋1b的值． 解 ∵2a ＝10，∴a ＝log 210， ∴1a ＝1log 210＝lg 2， 5b ＝10，∴b ＝log 510，∴1b ＝1log 510＝lg 5. ∴1a ＋1b＝lg 2＋lg 5＝1. 四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 例4 已知log 1627＝a ，则log 916＝________. 答案 32a解析 ∵log 1627＝a ，∴432log 3＝a ，∴34log 23＝a ，∴log 23＝43a ， ∴log 916＝243log 2＝42log 32＝2log 32＝2·1log 23＝2×34a ＝32a. 五、解对数方程例5 若log a b ·log b c ·log c 3＝2，则a 的值为________． 答案 3解析 ∵log a b ·log b c ·log c 3＝lg b lg a ·lg c lg b ·lg 3lg c ＝lg 3lg a＝2. ∴lg 3＝2lg a ＝lg a 2， ∴a 2＝3，解得a ＝3，或a ＝－3(舍去)．六、证明对数恒等式例6 证明：(ab )lg a ＋lg b ＝a lg a ·b lg b ·a 2lg b .证明左边＝a lg a＋lg b·b lg a＋lg b ＝a lg a·a lg b·b lg a·b lg b，又()lg lg lg lg lg log lg lg lg lg .b ba ab b a a b b b b b b b a ⋅⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭ 所以左边＝a lg a ·b lg b ·b lg a ·a lg b ＝a lg a ·b lg b ·a lg b ·a lg b＝a lg a ·b lg b ·a 2lg b ＝右边． 即原等式成立．。

对数函数知识点1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称 为 ，记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. ① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________． (2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ． (3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________； ② log a NM ＝____________________________；③ log a M n＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log mna a nb b m = .2．对数函数：① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；4) 函数y ＝log a x 与 的图象关于x 轴对称． ③ 函数值的变化特征：例1 计算：（1）)32(log32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;（3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.例2 比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556; （2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 21b ＜log 21a ＜log 21c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.例3已知函数f(x)=log a x(a ＞0,a ≠1)，如果对于任意x ∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立， 试求a 的取值范围.函数y=log 2x 的图象交于C 、D 两点.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行与 （1）证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上； （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.1解：（1）方法一 利用对数定义求值 设)32(log32-+=x, 则(2+3)x=2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.方法二 利用对数的运算性质求解)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.（2）原式=lg 2（2lg 2+lg5）+12lg 2)2(lg 2+-=lg 2(lg2+lg5)+|lg 2-1| =lg 2+(1-lg 2)=1. （3）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245 =21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21 (2lg7+lg5) =25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5 =21lg(2×5)= 21lg10=21. 2解：（1）∵log 332＜log 31=0, 而log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2, ∴0＞2.1log 1.1log 7.00.7>, ∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象. 如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log <<, ∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .3解：当a ＞1时，对于任意x ∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x 在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x ∈［3，+∞），有f(x)≥log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可，∴1＜a ≤3. 当0＜a ＜1时，对于x ∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f （x ）=log a x 在［3，+∞）上为减函数，∴-f （x ）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x ∈［3，+∞）都有 |f(x)|=-f(x)≥-log a 3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x ∈［3，+∞）都成立， 只要-log a 3≥1成立即可， ∴log a 3≤-1=log a a1,即a 1≤3,∴31≤a ＜1. 综上，使|f(x)|≥1对任意x ∈［3，+∞）都成立的a 的取值范围是：(1，3］∪［31，1）.例4（1）证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2, 由题设知x 1＞1,x 2＞1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2, OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =, OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上. （2）解： 由于BC 平行于x 轴，知log 2x 1=log 8x 2，即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2log 8x 1=x 1log 8x 2，得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1＞1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1＞1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为（3，log 83).训练1：化简求值. （1）log 2487+log 212-21log 242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1loglog 1<< B.bbb baa1log 1log log << C.b bb aba1log 1log log << D.b bb aablog 1log 1log <<训练3：已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.训练4：已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x). （1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.1解：(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2解： C3解：令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=（x-2a ）2-a-42a , 由以上知g(x ）的图象关于直线x=2a 对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2＞1, 在区间（-∞,1-3］上是减函数， 所以g(x)=x 2-ax-a 在区间（-∞,1-3］上也是单调减函数，且g(x)＞0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ，即解得2-23≤a ＜2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a ＜2}.4解：（1）f(x)有意义时，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x x x 由①、②得x ＞1,由③得x ＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p ＞1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log 2［(x+1)(p-x)］ =log 2［-（x-21-p ）2+4)1(2+p ］ (1＜x ＜p), ①当1＜21-p ＜p ，即p ＞3时， 0＜-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p , ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2. ②当21-p ≤1，即1＜p ≤3时， ∵0＜-(x-),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ＜1+log 2(p-1). 综合①②可知： 当p ＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log 2(p+1)-2］; 当1＜p ≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log 2(p-1)). 1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.。