函数的定义域和值域

函数的定义域和值域

函数的定义域、值域

⼀、知识回顾

第⼀部分：函数的定义域1.函数的概念：

设集合A 是⼀个⾮空的数集，对于A 中的任意⼀个数x ，按照确定的法则f ，都有唯⼀的确定的数y 与它对应，则这种关系叫做集合A 上的⼀个函数，记作()x f y =，(A x ∈)其中x 叫做⾃变量，⾃变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域.

如果⾃变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作)(a f y =或a

x y

=，所有的函数值所构成的集合{}

A x x f y y ∈=),(叫做这个函数的值域.

2.定义域的理解：

使得函数有意义的⾃变量取值范围，实际问题还需要结合实际意义在确定⾃变量的范围，注意:定义域是个集合，所以在解答时要 ⽤集合来表⽰. 3.区间表⽰法：设a ，R b ∈，且b a <.

满⾜b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满⾜b x a <

满⾜b x a ≤

时⽤空⼼点表⽰.4.基本思想：使函数解析式有意义的x 的所有条件化为不等式，或不等式组的解集.

5.定义域的确定⽅法：保证函数有意义，或者符合规定，或满⾜实际意义. （1）分式的分母不为零. （2）偶次⽅根式的⼤于等于零. （3）对数数函数的真数⼤于零.

（4）指数函数与对数函数的底⼤于零且不等于1. （5）正切函数的⾓的终边不能在y 轴上. （6）零次幂的底数不能为零.

（7）分段函数：①分段函数是⼀个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

（8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ?=的定义域的⽅法为解不等式：

A x ∈)(?，求出x 的取值范围.

②已知()[]x f y ?=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的⽅法:A x ∈，求)(x ?的取值范围即可.

第⼆部分：函数的值域

函数值域的确定⽅法：

（1）直接观察法对于⼀些⽐较简单的函数，其值域可通过观察得到. （2）分离常数法：分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如,dcx b

ax y ++=，,,,,(d c b a 为常数，)0≠c 可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.

（3）换元法：运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c ba ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解. （4）配⽅法：适⽤于⼆次函数值域的求值域. （5）判别式法：适⽤于⼆次函数型值域判定.

（6）单调性法：利⽤单调性，端点的函数值确定值域的边界.

（7）函数的有界性：在直接求函数值域困难的时候，可以利⽤已学过函数的有界性，反过来确定函数的值域.

（8）不等式法：利⽤不等式的性质确定上下边界.

（9）数形结合法：函数解析式具有明显的某种⼏何意义，如两点间的距离公式直线斜率等等，这类题⽬若运⽤数形结合法，往往会更加简单，⼀⽬了然，赏⼼悦⽬.

⼆、 精选例题

第⼀部分：函数的定义域

例1.函数x x y +-=1的定义域为（ ）A .{}1x x ≤

B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}

01x x ≤≤

【解析】由题意??≥≤

≥≥-0

1

001x x x x 即∈x {}10≤≤x x ，故选D. 例2.函数()()x

x x x f -+=01的定义域是（ ）

A .()0,+∞

B .(),0-∞

C.()(),11,0-∞--U

D.()()(),11,00,-∞--+∞U U

【解析】由?≠-≠+001x x x 得,01

<-≠x x 故选C.

例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（ ）5.0,2A ??

[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 【解析】Θ()1+=x f y 的定义域是[],3,2-,32≤≤-∴x

[]4,11-∈+∴x ，即()x f 的定义域是[]4,1-.

⼜由4121≤-≤-x 解得250≤≤x

即()12-=x f y 的定义域是??2

5,0故选.A例4.设函数()x f y =的定义域是()1,0，则()2

x f y =的定义域是什么？ 【解析】Θ函数()x f y =的定义域是()1,0.102

<<∴x 即11<<-x

故()2

x f y =的定义域是()1,1-∈x 且0≠x .

例5.已知函数(),11

+=

x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（ ） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或

【解析】：()11+=x x f 的定义域是101-≠?≠+x x 则()[]x f f 的定义域是

11

1

-≠+x 即2101

2

-≠-≠?≠++x x x x 且故选.C 例6.已知()x f

21-求函数??

-x

x f 213的定义域是?

【解析】由()x f21-可知

021≥-x 即

0213≥-x x ()21

00312≤≤?≤-?x x x

故函数-x x f 213的定义域是??

∈21,0x

例7.若函数y =

的定义域是R ，求实数k 的取值范围.【解析】当0=k 时，86+-=x y ，当34

>

x 时，⽆意义，∴0≠k ； 当0

68y kx x k =-++为开⼝向下的⼆次函数，图像向下延伸， 函数值总会出现⼩于零的情况，进⽽，0k 时，同时要求0≤?，

即解得1≥k .

例8.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(x

f x x f x F +++=的定义域. 【解析】由题意

011>-+x

x

，即0)1)(1(<+-x x ，解得11<<-x 故函数xx

x f -+=11lg )(的定义域为)1,1(-

所以??≠+<+<-0

12111x x 解得02<<-x 且21

-≠x .

即12)1()(++=x x f x m 的定义域为)0,2

1

()21,2(---Y

⼜121<<-x

，解得22<<-x ，即)2(x f 的定义域为)2,2(-)2

(12)1()(x

f x x f x F +++=的定义域即为)(x m 和)2(x f 的定义域的交集，

即)0,21()21,2(---Y )2,2(-I =)0,21

()21,2(---Y

故函数)2(12)1()(x

f x x f x F +++=的定义域为)0,21()21,2(---Y .

例9.已知函数()23x x f x a b =?+?，其中常数,a b 满⾜0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性； （2）若0ab <，求(1)()f xf x +>时x 的取值范围. 【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-

∵121222,0(22)0x x x x a a <>?-<，121233,0(33)0x x x x

b b <>?-<，

∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数. 当0,0a b <

当0,0a b <>时，3()22x a b >-

，则 1.5log ()2ax b >-；

当0,0a b >

<-.

第⼆部分：函数的值域1.观察法：

例1.求函数x y 1=的值域. 【解析】0≠x Θ01

≠∴x

0≠∴y ，即值域为：()()+∞∞-,00,Y

2.分离常数法：

分⼦、分母是⼀次函数得有理函数，形如)0,,,(,≠++=c d c b a dcx b

ax y 为常数，，可⽤分离常数法，此类问题⼀般也可以利⽤反函数法.

通式解析：)(,)(cad b d cx c ad b c a d cx b c ad d cx c a d cx b ax y ≠+-

+=++-+=++=

故值域为?

≠

c a y y 例2.求函数125

x

y x -=+的值域. 【解析】因为177(25)112222525225x x y x x x -++

-===-++++， 所以7

2025x ≠+，所以1

2

y ≠-，

所以函数125x y x -=+的值域为1{|}2

y y ≠-.

3.换元法：

运⽤代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另⼀函数，从⽽求得原函数的值域，如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数且0≠a ）的函数常⽤此法求解.

例3.(A 类)

求函数2y x =.

【解析】令x t 21-=（0t ≥），则212t x -=，所以2215

1()24y t t t =-++=--+

因为当12t =

，即38

x =时，max 54y =，⽆最⼩值

所以函数2y x =5(,]4-∞.

4.三⾓换元：

例4.求函数2)1(12+-++=x x y 的值域.

【解析】0)1(12≥+-x Θ1)1(2≤+∴x ，

令[]πββ,0,cos 1∈=+x1)4sin(21cos sin cos 11cos 2++=++=-++=∴π

βββββy ，

,

0πβ≤≤Θ4

54

4

π

π

βπ

≤

+