2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

2020年河南省高考数学模拟试卷(理科)(3月份)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知𝑎,𝑏∈𝑅，复数𝑧=𝑎−𝑏𝑖，则𝑧2=( )

A. 𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏𝑖 B. 𝑎2−𝑏2−2𝑎𝑏𝑖 C. 𝑎2−𝑏2 D. 𝑎2+𝑏2

2. 集合𝐴={𝑥∈𝑍||𝑥|≤2}，𝐵={−1,0，2}，𝐶={−1,0，1，3}，则(∁𝐴𝐵)∪𝐶=( )

A. {−1,0，1，3} B. {−1,0，1，2，3}

C. {−2,−1,0，1，3} D. {−2,−1,0，1，2，3}

3. 若|𝑚⃗⃗⃗ |=2，𝑚⃗⃗⃗ ·𝑛⃗ =8，𝑚⃗⃗⃗ ，𝑛⃗ 的夹角为60°，则|𝑛⃗ |的值为( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

4. 若双曲线C：𝑥22−𝑦23𝑚=𝜆的一条渐近线方程为2𝑥+3𝑦=0，则𝑚=(

)

A. 32 B. 23 C. 827 D. 278

5. 已知某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，如图所示，则该几何体的体积为( )

A. 1

B. 13

C. 16

D. 112

6. 已知随机变量𝜉服从正态分布𝑁(2018,𝜎2)(𝜎>0)，则𝑃(𝜉<2018)等于( )

A. 11009 B. 12018 C. 14 D. 12

7. 已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0)的图象如图所示，则𝑓(5𝜋6)=( )

A. −√22

B. √22

C. √32

D. −√32 8. 函数𝑓(𝑥)=ln|𝑥−1||1−𝑥|的图象大致为(

)

A. B.

C. D.

9. 设不等式组{𝑥−𝑦+4≥0𝑥+𝑦≥0𝑥≤1表示的平面区域为𝛺1，不等式组{−2≤𝑥≤1−1≤𝑦≤5表示的平面区域为𝛺2.在区域𝛺2内随机取一点，则该点是取自于区域𝛺1的概率是(

)

A. 12 B. 13 C. 23 D. 34

10. 函数𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥的零点所在的区间为( )

A. (−2,−1) B. (−1,0) C. (0,1) D. (1,2)

11. 已知抛物线C：𝑦2=4𝑥的焦点为F，直线l：𝑦=𝑘(𝑥−1)与抛物线C交于A、B两点，若𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|𝐴𝐵|=( )

A. 163 B. 4 C. 3 D. 169

12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知𝑥∈[150,300]且x是整数，则满足能被3除余1且被5除余3的所有x的取值的和为( )．

A. 2020 B. 2305 C. 4610 D. 4675

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 𝑥(2𝑥−1)6展开式中的𝑥4项的系数为______．

14. 函数𝑓(𝑥)=1√𝑥的值域为________．

15. 已知等比数列{𝑎𝑛}为递增数列，设其前n项和为𝑆𝑛，若𝑎2=2，𝑆3=7，则𝑎5的值为________．

16. 在边长为2的正方形𝐴𝑃1𝑃2𝑃3中，点B，C分别是边𝑃1𝑃2，𝑃2𝑃3的中点，沿AB，BC，CA翻折成一个三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶，使𝑃1、𝑃2、𝑃3重合于点P，则三棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶的外接球的表面积为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足𝑎𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏√3𝑐𝑜𝑠𝐵

(1)求∠𝐵．

(2)若点M为BC中点，且𝐴𝑀=𝐴𝐶，求sin∠𝐵𝐴𝐶的值．

18. 在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐷𝐶⊥𝐴𝐷，𝑃𝐴⊥平面ABCD，2𝐴𝐷=𝐵𝐶=2√3，∠𝐷𝐴𝐶=30°，M为PB中点．

(1)证明：𝐴𝑀//平面PCD；

(2)若二面角𝑀−𝑃𝐶−𝐷的余弦值为−√64，求PA的长．

19. 如图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200，表示空气质量重度污染，该市某校准备举行为期3天(连续3天)的运动会，在11月1日至11月13日任选一天开幕

(Ⅰ)求运动会期间至少两天空气质量优良的概率；

(Ⅱ)记运动会期间，空气质量优良的天数为𝜉，求随机变量𝜉的分布列和数学期望

20. 已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为√32，点A为椭圆C的左顶点．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设圆M：𝑥2+(𝑦−2)2=𝑟2(0<𝑟<2)，过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C于点B和D，求证：直线BD过定点．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1𝑥2+1，𝑎∈𝑅．

(1)讨论𝑓(𝑥)的单调性；

(2)若𝑎=1，证明：当𝑥∈[1,+∞)时，𝑓(𝑥)≤𝑙𝑛𝑥2．

22. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{𝑥=3+5cos𝜃𝑦=−4+5sin𝜃(𝜃为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)过点𝑃(2,0)，倾斜角为𝜋4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|𝑃𝑀|+1|𝑃𝑁|的值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=ln(3−|𝑥−1|−|2𝑥+1|)．

(Ⅰ)求函数𝑓(𝑥)的定义域D；

(Ⅱ)证明：当a，𝑏∈𝐷时，|𝑎+𝑏|<|1+𝑎𝑏|．

【答案与解析】

1.答案：B

解析：

本题主要考查了复数的运算，属于基础题．

解：∵𝑎,𝑏∈𝑅，复数𝑧=𝑎−𝑏𝑖，

∴𝑧2=(𝑎−𝑏𝑖)2=𝑎2−𝑏2−2𝑎𝑏𝑖

故选B．

2.答案：C

解析：

本题考查集合的综合运算，属于基础题．

先化简A，再求∁𝐴𝐵，最后求并集即可．

解：因为𝐴={𝑥∈𝑍||𝑥|≤2}={−2,−1,0，1，2}，𝐵={−1,0，2}，

所以∁𝐴𝐵={−2,1}，

又𝐶={−1,0，1，3}，

所以(∁𝐴𝐵)∪𝐶={−2,−1,0,1,3}．

故选C．

3.答案：D

解析：

本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可．

解：因为，

所以．

故选D．

4.答案：C

解析：

本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力，属于基础题．

利用已知条件列出关系式，转化求解即可．

解：由题意知双曲线的渐近线方程为𝑦=±√3𝑚2𝑥(𝑚>0)，

2𝑥+3𝑦=0可化为𝑦=−23𝑥，

则√3𝑚2=23，解得𝑚=827．

故选C．

5.答案：C

解析：

由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，利用三视图的数据求解几何体的体积，可得答案．

本题考查的知识点是由三视图，求体积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．

解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体的一部分，𝐷−𝐴𝐵𝐶，

几何体的体积为：13×12×1×1×1=16．

故选C．

6.答案：D

解析：

本题考查的是正态分布曲线的性质．

根据正态分布的性质可得分布列关于𝜉=2018对称，又所有概率和为1，即可得出答案．

解：因为随机变量𝜉服从正态分布𝑁(2018,𝜎2)(𝜎>0)，所以分布列关于𝜉=2018对称，

又所有概率和为1，所以𝑃(𝜉<2018)=12，

故选D． 7.答案：B

解析：解：由图象可知：𝑇=2×2𝜋3=2𝜋𝜔，解得𝜔=32．

且𝑓(2𝜋3)=sin(32×2𝜋3+𝜑)=1，取𝜑=−𝜋2．

∴𝑓(𝑥)=sin(3𝜋2𝑥−𝜋2)，

∴𝑓(5𝜋6)=sin(3𝜋2×5𝜋6−𝜋2)=sin3𝜋4=√22．

故选：B．

由图象可知：𝑇=2×2𝜋3=2𝜋𝜔，解得𝜔=32.且𝑓(2𝜋3)=sin(32×2𝜋3+𝜑)=1，取𝜑=−𝜋2.即可得出．

本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8.答案：D

解析：解：𝑓(𝑥)=ln|𝑥−1||1−𝑥|的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且图象关于𝑥=1对称，排除B，C，

取特殊值，当𝑥=12时，𝑓(𝑥)=2𝑙𝑛12<0，

故选：D．

求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断．

本题考查了函数图象的识别，属于基础题．

9.答案：A

解析：如图，区域𝛺1的面积是9，区域𝛺2的面积是18，所以所求概率为

10.答案：B

解析：解：由函数的解析式可得𝑓(−1)=−1+13=−23<0，𝑓(0)=0+1=1>0，

∴𝑓(−1)𝑓(0)<0，

根据函数零点的判定定理可得函数𝑓(𝑥)=𝑥+3𝑥的零点所在的区间为(−1,0)，

故选：B．