2020年河南省顶级名校高考数学二模试卷(文科)含答案解析
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2020年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若集合A={x|log（2x+1）＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则A∩B=（ ）
A．（0，） B．（﹣，） C．（0，2） D．（，2）
2．i是虚数单位，复数（1+3i）（a﹣i）在复平面内对应的点在第四象限，则a的范围（ ）
A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，） C．（﹣3，） D．（﹣3，1）
3．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
4．设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（ ）
A．ln2﹣1 B．ln2﹣2 C．2ln2﹣1 D．2ln2﹣2
5．设a∈R，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）
A． B．7 C．6 D．
8．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ） 第2页（共21页）
A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3
9．等差数列的前n项和为Sn，且S1006＞S1008＞S1007，则满足SnSn﹣1＜0的正整数n为（ ）
A．2020 B．2020 C．2020 D．2020
10．已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且cosA=，BC=1，AC=3，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．16π C．12π D．
11．在△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=60°，若P是△ABC所在平面内一点，且AP=2，则•的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．10+2 D．8
12．设过点P（﹣1，1）作两直线，PA，PB与抛物线y2=4x任相切于点A，B，若F为抛物线y2=4x的焦点，||•||=（ ）
A． B．5 C．8 D．9
二、填空题:本大题共4小题。每小题5分，共20分.
13．用系统抽样的方法从300名学生中抽取容量为20的样本，将300名学生从1﹣300编号，按编号顺序平均分成20组，若第16组应抽出的号码为231，则第一组中用抽签方法确定的号码是
． 14．若实数x，y满足条件，则2x+y的最大值为 ．
15．已知点A（0，3），若圆C：（x﹣a）2+（x﹣2a+4）2=1上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围为 ．
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB=2a+b，若△ABC的面积为S=c，则ab的最小值为 ．
三、解答题：解答写出文字说明、证明或验算步骤
17．已知=（sin2x，2cos2x﹣1），=（sinθ，cosθ）（0＜θ＜π），函数f（x）=•的图象经过点（，1）．
（Ⅰ）求θ及f（x）的最小正周期； 第3页（共21页）
（Ⅱ）当x∈时，求f（x）的最大值和最小值．
18．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83．
（1）求x和y的值；
（2）计算甲班7位学生成绩的方差s2；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．
19．如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=BC=2，F是AD的中点．
（1）求证：AB∥平面CEF；
（2）求点A到平面CEF的距离．
20．设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点，证明点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值．
21．设函数f（x）=﹣2x2+ax﹣lnx（a∈R），g（x）=+3．
（I）若函数f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围；
（II）若对任意x∈（0，e），都有唯一的xo∈[e﹣4，e]，使得g（x）=f（xo）+2xo2成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图AB是半圆的直径，C是圆上一点，CH⊥AB于点H，CD是圆的切线，F是AC上一点，DF=DC，延长DF交AB于E．
（Ⅰ）求证：DE∥CH；
（Ⅱ）求证：AD2﹣DF2=AE•AB． 第4页（共21页）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，过点P（2，）作倾斜角为α的直线l与曲线C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）求+取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣2|+2|x+a|（a＞0）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞8；
（2）若不等式f（x）≥3在（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
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2020年河南省顶级名校高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．若集合A={x|log（2x+1）＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则A∩B=（ ）
A．（0，） B．（﹣，） C．（0，2） D．（，2）
【考点】交集及其运算．
【分析】先把集合A，B解出来，然后再求A∩B即可
【解答】解：A={x|log（2x+1）＞﹣1}={x|﹣＜x＜}，
B={x|1＜3x＜9}={x|0＜x＜2}，
∴A∩B={x|0＜x＜}，
故选A．
2．i是虚数单位，复数（1+3i）（a﹣i）在复平面内对应的点在第四象限，则a的范围（ ）
A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，） C．（﹣3，） D．（﹣3，1）
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】通过复数的运算得到关于a的不等式组，求出a的范围即可．
【解答】解：∵（1+3i）（a﹣i）=（a+3）+（3a﹣1）i，
又∵在复平面内对应的点在第四象限，
∴，解得：﹣3＜a＜，
故选：C．
3．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
【考点】椭圆的简单性质；圆锥曲线的综合．
【分析】利用椭圆的离心率求出ab关系式，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的离心率为，
可得， 第6页（共21页）
即：，可得，
在则双曲线中，由，即，
可得，∴e=．
故选：C．
4．设直线y=x+b是曲线y=lnx的一条切线，则b的值为（ ）
A．ln2﹣1 B．ln2﹣2 C．2ln2﹣1 D．2ln2﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】设切点为（m，n），代入曲线的方程，求得曲线对应的函数的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得m=2，求得n，代入切线的方程可得b．
【解答】解：设切点为（m，n），则n=lnm，
y=lnx的导数为y′=，
可得切线的斜率为，
由切线方程y=x+b，可得=，
解得m=2，n=ln2，
b=n﹣m=ln2﹣1．
故选：A．
5．设a∈R，则“a=1是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质，以及充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：若a=1时，f（x）=ln（1+）=ln，
由，解得x＜﹣1或x＞1，
∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；
又f（﹣x）+f（x）=ln+ln=ln（•）=ln1=0，
即f（﹣x）=﹣f（x），
∴函数f（x）是奇函数．即充分性成立． 第7页（共21页）
若f（x）=ln（a+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=ln（a+）+ln（a+）=0，
化为（a﹣1）[（a+1）（x2﹣1）+4]=0，此式对于定义域内的任意x皆成立，必有a=1，
由上面可知a=1满足题意，即必要性成立．
故“a=1”是“f（x）=ln（a+）为奇函数”的充要条件．
故选：C．
6．已知实数x∈[1，10]，执行如图所示的程序框图，则输出x的值不小于55的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于54得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．
【解答】解：设实数x∈[0，10]，
经过第一次循环得到x=2x+1，n=2
经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3
经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x
输出的值为8x+7
令8x+7≥55，得x≥6
由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．
故选：C
7．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（ ）
A． B．7 C．6 D．
【考点】等比数列．
【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．
【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；
a7a8a9=10⇒a83=10，
a52=a2a8，
