2020届 苏教版 计数原理 单元测试 (7)

计数原理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知，则_______【答案】2-【解析】令x=1可知01271,a a a a ++++=-令00,1x a =∴=，所以127112a a a +++=--=-.2．已知的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 ，则展开式中二项式系数最大的项为_________. 【答案】 .【解析】由题意知,第五项的系数为 ，第三项的系数为，则有，化简可得 ，解得 ＝ 或 ＝ (舍去).由 ＝ 知第5项二项式系数最大.此时 .3．已知：22108)1()1()2++++=+x a x a a x （88)1(+++x a ,其中2,1,0(==i a i )8 为实常数,则=++++8721872a a a a ．【答案】1024. 【解析】 试题分析：，∴118a C =，228a C =，338a C =，448a C =，558a C =，668a C =，778a C =，888a C =，∴.考点：二项式定理与性质.4．在()()()62111x x x ++++++ 的展开式中，2x 项的系数是__________．（用数字作答） 【答案】35 【解析】()127012277-=++++x a a x a x a x a a a 127+++=试题分析：（1+x ）+（1+x ）2+…+（1+x ）6的展开式中，x2项的系数是： 22+ 32+ 42+…+ 62= 33+ 32+ 42+…+ 62= 43+ 42+…+ 62=…= 63=35。

考点：二项式。

5．若（）,且,则_______________．【答案】【解析】试题分析：由 ,中取 得 . 考点：二项式定理 6．的展开式中， 项的系数为__________．（用数字作答）【答案】 【解析】在的展开式中，它的通项公式为：． 令 ，求得 ，可得 项的系数为 .7．甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有______种．（用数字作答） 【答案】12 【解析】 【分析】由排列、组合及简单计数问题得：甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有132312C A =，得解．【详解】解：甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有132312C A =，故答案为：12． 【点睛】本题考查了排列、组合及简单计数问题，属中档题．8．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①665646362C C C C +++；②26C ；③726-；④26A ．其中所有正确的结果的序号是 ．【答案】①③ 【解析】略9．()63211x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 ．【答案】35 【解析】略视频10．将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有 ▲ 种． 【答案】36 【解析】考点：排列、组合及简单计数问题．分析：由题意知将4名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师，只有一种分法1，1，2，从4个人中选2个作为一个元素，使它与其他两个元素在一起进行排列，得到结果．解：将4名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师， 只有一种结果1，1，2，首先从4个人中选2个作为一个元素， 使它与其他两个元素在一起进行排列， 共有C 42A 33=36种结果，11．用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且至少有一个数字是奇数的三位偶数，这样的三位数一共有______个. 【答案】54 【解析】 【分析】运用排列组合，先求出偶数的可能一共有多少个，然后减去三个数字都是偶数的情况 【详解】当个位是偶数的时候共有种可能三个数字都是偶数时，有 种可能则满足题意的三位数共有 种 故答案为 【点睛】本题考查了排列组合的数字的排序问题，只要按照题目要求进行分类求出一共的情况，然后减去不符合情况即可得出结果 12．()()1022018x y x y +-展开式中56x y 的系数为__________.【答案】210【解析】由题意可得： ()()()()1010102220182018x yx y x x y y x y +-=-+-，据此可得：只有()10x x y -中含有56x y ，结合二项式定理可得其系数为： ()66101210C ⨯-=.二、解答题13．已知＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，求(2x －1x)2n的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．【答案】（1）第6项 （2）第4项 【解析】由题意知，22n －2n ＝992， 即(2n －32)(2n ＋31)＝0. ∴2n ＝32，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，(2x －1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大． 即T 6＝510C ·(2x)5·(－1x)5＝－8064. 即二项式系数最大的项为第6项为－8064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大． ∵T r ＋1＝10rC ·(2x)10－r ·(－1x)r＝(－1)r 10r C ·210－r ·x 10－2r，∴101111010101910102222r r r r r r r r C C C C ----+-⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，得110101101022r r r r C C C C -+⎧≥⎪⎨≥⎪⎩即()1122110r rr r-≥⎧⎪⎨+≥-⎪⎩解得83≤r≤113. ∵r ∈Z ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项， T 4＝－310C ·27·x 4＝－15360x 4.14．已知在n的展开式中，第6项为常数项。

计数原理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．在（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）9的展开式中，x 2的系数是_________ 【答案】120 【解析】 【分析】根据题意，利用组合数的性质即可得出结果． 【详解】在（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）9的展开式中，x 2项的系数为222322239339C C C C C C ++⋯+=++⋯+＝3223234499910C C C C C C +++=⋯=+=＝120．故答案为：120． 【点睛】本题考查了二项式定理、组合数的性质与应用问题，属于基础题.2．教育局组织直属学校的老师去新疆地区支教，现甲学校有2名男老师和3名女老师愿意去支教，乙学校有3名男老师和3名女老师愿意去支教，由于名额有限，教育局决定从甲学校选2人去支教，乙学校选1人去支教，若被选去支教的3名老师中必须有男老师，则乙学校被选去支教的老师是女老师的概率为_______ 【答案】177【解析】试题分析：根据题意，由于被选去支教的3名老师中必须有男老师，那么从甲学校选2人去支教，乙学校选1人去支教所有的情况有2156C C ,而对于选去支教的3名老师中必须有男老师，则乙学校被选去支教的老师是女老师的情况有2111133323C C C C C +，那么可知其概率为21111333232156717C C C C C C C += ，故答案为177考点：排列组合点评：本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3．在()()()()56781111x x x x ---+---的展开式中，含3x 的项的系数是 ．（用数字作答） 【答案】121． 【解析】试题分析：5(1)x -二项展开的通项公式为515(1)r r r r T C x -+=-，令532r r -=⇒=，∴5(1)x -中3x 的系数为2510C =，同理依次可求得其余三项展开式中3x 的系数，从而可知3x 的系数为23455678()()10203556121C C C C --+--=+++=．考点：二项式定理．4．(1−12x)(1+2√x)5展开式中x 2的系数为________.【答案】60 【解析】 【分析】求出二项式(1+2√x)5展开式的通项，再根据(1−12x)(1+2√x)5，即可求解x 2的系数．【详解】因为(1+2√x)5展开式的通项为T r+1=C 5k⋅2k⋅x k 2，所以(1−12x)(1+2√x)5展开式中x 2的系数为1×C 54×24−12×C 52×22=60．故答案为60． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中熟记二项展开式的通项是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．5．n的展开式中，只有第9项的二项式系数最大，则展开式中含x3的项是第 项【答案】7 【解析】略6．某学校要对如图所示的5个区域进行绿化（种花），现有4种不同颜色的花供选择，要求相邻区域不能种同一种颜色的花，则共有___________种不同的种花方法.【答案】72【解析】分析: 根据题意，分4步进行分析：依次分析区域1、2、3、4和5的着色方法数目，由分步计数原理计算可得答案． 详解：根据题意，分4步进行分析：①，对于区域1，有4种颜色可选，即有4种着色方法，②，对于区域2，与区域1相邻，有3种颜色可选，即有3种着色方法， ③，对于区域3，与区域1、2相邻，有2种颜色可选，即有2种着色方法， ④，对于区域4，若其颜色与区域2的相同，区域5有2种颜色可选， 若其颜色与区域2的不同，区域4有1种颜色可选，区域5有1种颜色可选， 则区域4、5共有2+1=3种着色方法； 则一共有4×3×2×（1+2）=72种着色方法； 故答案为：72点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 7．在nxx )12(3-的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是_______. 【答案】14 【解析】试题分析：依题意有721282,7n n ===，37(2x展开式的通项为 ()()173721 3.5277212rrr r r r r C xx C x ----⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，21 3.50,6r r -==，故常数项为()676671214C --=.考点：二项式．8．二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含x 项的系数为__________（用数字作答）．【答案】-10【解析】521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()52151rrrr T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭=（﹣1）r C 5r x 10﹣3r 令10﹣3r=1得r=3∴展开式中含x 项的系数T 4=﹣C 53=﹣10 故答案为：﹣10点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.9．二项式(5x −1x )n展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的14倍,则展开式中的常数项为________ 【答案】-10【解析】分析: 根据二项式的展开式各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A=4B ，得到次数n 的值，写出通项式，当x 的指数是0时，得到结果． 详解：令x=1，得A=4n ， 而B=2n ，所以4n =4•2n ，解得n=2所以展开式中的常数项为2×5×(−1)=−10， 故答案为：−10．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.10．若()3nx -的展开式中所有项的系数和为32，则含3x 项的系数是__________．（用数字作答） 【答案】90-【解析】由题设2325n n =⇒=，通项公式()()555155313rrr r r r rr T C x C x ---+=-=-，令532r r -=⇒=，则含3x 项的系数是2251390C -⨯⨯=-，应填答案90-。

一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30B ．30C ．-40D ．402．对任意正整数n ，定义n 的双阶乘!!n 如下：当n 为偶数时，()()!!24642n n n n =--⨯⨯；当n 为奇数时，()()!!24531n n n n =--⨯⨯．现有四个命题：①()()2009!!2008!!2009!=；②2008!!21004!=⨯；③2008!!个位数为0；④2009!!个位数为5．其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．254．若()352()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．15．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C6．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．5007．甲、乙二人均从5种不同的食品中任选一种或两种吃，则他们一共吃到了3种不同食品的情况有( ) A ．84种B ．100种C ．120种D ．150种8．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．1659．若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如，134********+=），则称(),m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(),m n 的值，那么值为2964的“简单的”有序对的个数是（ ） A ．525 B ．1050C ．432D ．86410．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或611．某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种12．若()()()2202020202019201801220201111a x a x x a x x a x +-+-++-=，则012020a a a +++=（ ）A ．1B ．0C ．20202D ．20212二、填空题13．有2个不同的红球和3个不同的黄球，将这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，且同色球不能放在同一个盒子中，则不同的放置方法有________种.（用数字作答）14．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中4x 的系数为___________.15．若变量x ，y 满足约束条件202020x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，22n x y =+-，则n取最大值时，1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为______．16．有4位同学参加学校组织的政治、地理、化学、生物4门活动课，要求每位同学各选一门报名（互不干扰），则地理学科恰有2人报名的方案有______．17．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n的展开式中的常数项为______．18．已知33210n n A A =，那么n =__________．19．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．20．设S 为一个非空有限集合，记||S 为集合S 中元素的个数，若集合S 的两个子集A 、B 满足：||A B k =并且A B S =，则称子集{,}A B 为集合S 的一个“k —覆盖”（其中0||k S ≤≤），若||S n =，则S 的“k —覆盖”个数为________三、解答题21．已知n的二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256. （1）求展开式中有理项的个数； （2）求展开式中系数最大的项.22．已知在n 的展开式中第5项为常数项.（1）求n 的值；（2）求展开式中含有2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项. 23．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++．24．记2nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b . （1）求m b 的表达式； （2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项. 25．已知()23*23n n A C n N =∈.（1）求n 的值；（2）求12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中2x 项的系数. 26．已知4530nnA C =，设()nf x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．C解析：C 【分析】利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简2008!!可判断②的正误；由2008!!能被10整除可判断③的正误；由2009!!能被5整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，由双阶乘的定义得2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯，2008!!2462008=⨯⨯⨯⨯，所以，()()2009!!2008!!1234200820092009!=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=，命题①正确；对于命题②，()()()()2008!!246200821222321004=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯100421004!=⨯，命题②错误；对于命题③，2008!!2468102008=⨯⨯⨯⨯⨯⨯，则2008!!能被10整除，则2008!!的个位数为0，命题③正确； 对于命题④，2009!!1352009=⨯⨯⨯⨯能被5整除，则2009!!的个位数为0或5，由于2009!!为奇数，所以，2009!!的个位数为5，命题④正确.故选：C. 【点睛】本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意，用赋值法，在()352()x x a -+中，令1x =可得()521(1)32a -+=，解可得a的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，()352()xx a -+的展开式的各项系数和为32，令1x =可得：()521(1)32a -+=， 解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．5．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.6．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.7．C解析：C 【分析】由分步乘法计数原理先由5种食物中选择3种，共35C 种情况; 第二步，将3种食物编号，用列举法列举所有情况即可； 【详解】由分步乘法计数原理：第一步：由5种食物中选择3种，共35C 种情况； 第二步：将3种食物编号为A,B,C ，则甲乙选择的食物的情况有：()AB C ，，()AB AC ，，()AB BC ，，()AC B ，，()AC BC ，，()BC A ，，()A BC ，，()BC AC ，，()B AC ，，()BC AB ，，()AC AB ，，()C AB ，共12种情况，因此他们一共吃到了3种不同食品的情况有3512C 120=种.故选C【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，按定义逐步计算，最后求乘积即可，属于常考题型.8．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．9．B解析：B 【分析】由题意知本题是一个分步计数原理，第一位取法两种为0，1，2，第二位有10种取法，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ，第三位有7种取法，从0，1，2，3，4，5，6取一个数字，第四为有5种，从0，1，2，3，4取一个数字，根据分步计数原理得到结果． 【详解】由题意知本题是一个分步计数原理， 第一位取法3种为0，1， 2，第二位有10种为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 ， 第三位有7种为0，1，2，3，4，5，6， 第四为有5种为0，1，2， 3，4根据分步计数原理知共有3×10×7×5=1050个 故选：B. 【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．10．D解析：D 【解析】因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.11．D解析：D 【详解】最前排甲，共有55A 120=种；最前排乙，最后不能排甲，有种，根据加法原理可得，共有种，故选D ．考点：排列及计数原理的应用．12．C解析：C 【分析】 由()202011x x =+-⎡⎤⎣⎦结合二项式定理可得出2020kk a C =，利用二项式系数和公式可求得012020a a a +++的值.【详解】()2020201920182202001220202020(1)(1(1)11)x x a x a x x a x x a x +-+-++-=⎡⎤⎣⎦+-=，当02020k ≤≤且k ∈N 时，2020kk a C =，因此，01220202020202020202020012202020202a a a C C a C C =++++=+++⋅⋅⋅+.故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式0122nn n n n n C C C C ++++=，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】由题意可得一个盒子里有2个球一定为1红1黄其余盒子每个盒子放一个根据分步计数原理可得【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中要求每个盒子至少放一个球且同色球不能放在同一个盒子中则一个盒子里有 解析：144【分析】由题意可得一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，根据分步计数原理可得． 【详解】解：这5个球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球， 且同色球不能放在同一个盒子中，则一个盒子里有2个球，一定为1红1黄，其余盒子每个盒子放一个，故有11134233144C C C A =种，故答案为：144. 【点睛】本题考查了分步计数原理，运用组合数的运算，理解题目意思是关键..14．-48【分析】令x=1解得a=1再利用的通项公式进而得出【详解】令x=1=2解得a=1又的通项公式令5−2r=35−2r=5解得r=1r=0∴该展开式中的系数为=−80+32=−48故答案为：−48解析：-48 【分析】令x =1，解得a =1，再利用512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式，进而得出． 【详解】令x =1,()()5112a +-=2，解得a =1.又512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式()5521512r r rr r T C x --+=-⋅，令5−2r =3，5−2r =5. 解得r =1，r =0.∴该展开式中4x 的系数为()()141505512+12C C --=−80+32=−48， 故答案为：−48. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，根据通项公式求系数，属于中等题.15．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通解析：240 【分析】首先利用约束条件得到可行域，结合z 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项． 【详解】 作出可行域如图：由22n x y =+-变形为22y x n =-++，当此直线经过图中(2,4)B 时，直线在y 轴的截距最大，n 最大， 所以n 的最大值为22426⨯+-=，所以12n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭二项展开式中的通项为6362661(22rr rr rrC x C xx --⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4r =此项为常数项， 所以常数项为4462240C =； 故答案为：240． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题与二项式定理的运用；关键是利用数形结合正确求出n ，然后由二项展开式通项求常数项．16．【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案即可求解得到答案【详解】由题意先在4位同学中选2人选地理学科共种选法再将剩下的2人在政治化学生物3门活动课任选一门报名共3×3＝9种选法故地 解析：54【分析】由排列组合及分步原理得到地理学科恰有2人报名的方案，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，先在4位同学中选2人选地理学科，共246C =种选法，再将剩下的2人在政治、化学、生物3门活动课任选一门报名，共3×3＝9种选法， 故地理学科恰有2人报名的方案有6×9＝54种选法， 故答案为54． 【点睛】本题主要考查了排列、组合，以及分步计数原理的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合，以及分步计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．17．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20 【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n =的展开式的通项公式为()3161r rr r T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．18．8【详解】分析：利用排列数公式展开解方程即可详解：解得即答案为8点睛：本题考查排列数公式的应用属基础题解析：8 【详解】分析：利用排列数公式展开，解方程即可. 详解：33210n n A A = ，()()()()221221012,n n n n n n ∴--=-- ()()22152,n n -=-解得8n =. 即答案为8.点睛：本题考查排列数公式的应用，属基础题.19．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.20．【分析】当时共有种情况当时共有种情况由此可计算得到答案【详解】由题意当时即中有个元素所以共有种情况此时集合中剩下个元素其子集个数为个即共有种情况所以的—覆盖个数为故答案为：【点睛】本题主要考查组合数解析：2k n kn C -⋅【分析】 当||A B k =时，共有k n C 种情况，当A B S =时，共有2n k -种情况，由此可计算得到答案. 【详解】 由题意，当||AB k =时，即A B 中有k 个元素，所以共有kn C 种情况，此时集合S 中剩下n k -个元素，其子集个数为2n k -个， 即AB S =共有2n k -种情况，所以S 的“k —覆盖”个数为2k n kn C -⋅. 故答案为：2k n kn C -⋅【点睛】本题主要考查组合数的应用和集合子集个数的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）3；（2）70x 或1220412x - 【分析】（1）根据二项式系数和的性质，以及二项式系数和为256，可得2256n =，解出8n =，再由通项公式163418k k k k Ta C x-+=，0,1,2,,8k =，分析即得；（2）根据各项系数的和均为256，可得()81256a +=，解出3a =-或1a =，再由通项公式分情况进行计算即得. 先通过二项展开式的各二项式系数的和与各项系数的和均为256求出n .【详解】（1）n的二项展开式的各二项式系数的和为2n，各项系数的和为()1n a +，由已知得2256n =，故8.n =此时n展开式的通项为：163418k k k k T a C x -+=，0,1,2,,8k =，当0,4,8k =时，该项为有理项，故有理项的个数为3. （2）由()81256a +=，得3a =-或 1.a = 当1a =时，展开式通项为163418k kk TC x-+=，0,1,2,,8k =，故二项式系数最大时系数最大，即第5项系数最大，即系数最大的项为45870T C x x ==；当3a =-时，163418(3)k kk k TC x-+=-，0,1,2,,8k =，展开式系数最大的项是奇数项，其中41T x =，523252T x =，55670T x =，12720412T x-=，296561T x -=，故展开式中系数最大的项为第7项，即系数最大的项为12720412T x-=.综上，展开式中系数最大的项为70x 或1220412x -. 【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通项公式的应用，要注意二项式系数与各项的系数的区别，考查分析计算能力，属于中档题. 22．（1）8；（2）4-；（3）24x -，358，2116x- 【分析】（1）先写出展开式的通项公式2311()2n rr r r nT C x -+=-，由展开式中第5项为常数项，则当4r =时，有203n r-=，从而求出n 出的值. （2）由（1）中得到8n =，则含有2x 项，即8223r-=，得到1r =，从而求出答案. （3）展开式中所有的有理项,则82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，可得r 可取1，4，7，可得到答案.【详解】（1）展开式的通项公式为2311(()2n rr n rrr r r nnT C C x --+==-.因为第5项为常数项. 所以4r =时，有203n r-=，解得8n =. （2）令223n r-=，由（1）8n =，解1r =， 故所求系数为181()42C -=-（3）有题意得，82308r r r Z -⎧∈Z ⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令82()3r k k Z -=∈，则833422k r k -==- 所以k 可取2,0,2-，即r 可取1，4，7它们分别为24x -，358，2116x -. 【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式应用，求展开式中某项的系数，属于中档题. 23．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论； （2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解； （3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论． 【详解】（1）2()nx x+的展开式中第m 项为11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=；112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =；即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()nx x+展开式中的通项公式6621662()2r r r r rr r T C x C x x--+==，依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．25．（1）6n =；（2）240. 【分析】（1）根据排列数和组合数公式，列方程；（2）写出二项展开式的通项公式，求出2x 系数为()4462C -，即可得到答案；【详解】解：（1）因为2323n n A C =所以()()()3122132n n n n n ---=⨯即42n =- 所以6n =（2）由（1）得12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中6n =， 所以612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，()()626166122kkkk kk k T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以262k -=，所以4k =，所以2x 系数为()4462240C -=.【点睛】本题考查排列数和组合数公式的计算、二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意二项式系数与系数的区别. 26．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x ⎛⎝展开式的通项为488318831kk kkkk k T C xCxx由4803k 得6k =，即()f x 的展开式中的常数项为728T ．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.。

第六七单元测试卷一、填一填。

（36分）1.用数字4、7、9可以组成（）个不同的三位数。

2.下面是五年级参加课外运动的男、女生人数统计图。

（1）男生人数最多的是（）组,最少的是（）组。

（2）排球组男生比女生少（）人,足球组男生比女生多（）人。

（3）篮球组的人数比排球组少（）人。

3.一张靶纸共四圈,投中最里面一圈得10分,投中其他三圈由内向外依次得8分、6分、4分。

张宇投中三次,他最多得（）分,最少得（）分。

4.6人见面后,每2人都互相握了一次手,他们一共握了（）次手。

5.海涛有5元和1元两种面值的人民币若干张,他要拿36元,有（）种不同的拿法,最少要拿（）张人民币。

6.报刊亭有《数学报》、《关心下一代》和《快乐作文》三种报纸可供小红选择,如果最少订阅1份,最多订阅3份,她有（）种不同的订阅方法。

7.张军的爸爸、妈妈分别去不同的城市出差,他们一家3口每两人通一次电话,一共通了（）次电话;如果他们一家三口每两人互相写一封信,一共写了（）封信。

8.到早餐店吃早餐,有包子、油条、馒头三种早点可供选择。

最少吃一种,最多吃两种,有（）种不同的选择。

9.如果条形统计图纵轴上1小格表示20人,那么4小格表示（）人;若要表示240人,一共需要画（）小格。

10.如下图,小红从家到学校,如果只向东或向北走,一共有（）种路线。

二、选一选。

（将正确答案的序号填在括号里）（14分）1.小芳和爸爸、妈妈照全家福,他们三人站一排,一共有（）种站法。

A.3B.4C.6D.52.用24个小正方形拼成一个大长方形,有（）种不同的拼法。

A.4B.3C.2D.53.a和b都是自然数,且a+b=15,a和b相乘的积最大是（）。

A.60B.54C.56D.504.有1分、2分、5分的硬币各一枚,从中取出一枚或几枚,可以组成（）种不同的钱数。

A.6B.7C.8D.95. 一列火车往返于上海和扬州之间,中途要经过4个火车站,这列火车要准备（）种不同的车票。

计数原理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．有7个球，其中红色球2个（同色不加区分），白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各1个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2个红色排一起，黄色和红色不相邻， 则有______种不同的排法（用数字回答）． 【答案】408【解析】分析：把红色球看做一个处理，利用分类计数原理结合分步计数原理，由左至右逐一排放，然后求和即可. 详解：红色球 个（同色不加区分）， 个红色排一起，把红色球看做一个， 本题相当于 个球的排列，将它们排成一行，最左边不排白色， 个红色排一起，黄色和红色不相邻，左侧 号位置，放红色球，有： ， 号位置放红色球，则放球方法有： ，号位置放红色球，则放球方法有： ， 号位置放红色球，则放球方法有： ，排列方法有： ，故答案为 .点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.2．ny x )234(+-(∈n N *)展开式中不含y 的项的系数和为 【答案】1 【解析】试题分析：ny x )234(+-(∈n N *)展开式中不含y 的项为0(43)nn C x -，令x=1可得系数和为1.考点：本小题主要考查三项式的展开式中某一特定项的求解.点评：遇到三项式展开问题，要将其中的两项看成一个整体，再利用二项式定理展开即可.3．若n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________． 【答案】255 【解析】试题分析：由二项式定理可得通项公式：因含的项为第6项，故.令,令考点：（1）二项式定理；（2）赋特殊值求二项式系数.4． 的展开式中 的系数为______.（用数字作答） 【答案】 . 【解析】试题分析： 的系数为 .考点：二项式定理. 5．()()5211x x x +++展开式中4x的系数为__________（用数字作答）．【答案】25【解析】（1+x+x 2）（1+x ）5=（1+x+x 2）（1+5x+223344555555C x C x C x C x +++） ∴展开式中x 4的系数43255525.C C C =++=故答案为：25.6．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每个班至少一名，至多2名，则不同的分配方案有 种 【答案】90【解析】解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有12542215=C C A =15种方法， 再将3组分到3个班，共有15•33A =90种不同的分配方案， 7．已知二项式的展开式中二项式系数之和为 ，则展开式中有理项系数的最大值为________． 【答案】【解析】 【分析】 由二项式的展开式中二项式系数之和，求得 ，得到二项展开式的通项通项为，令时，得 ，即可得到答案．【详解】 因为二项式的展开式中二项式系数之和为，所以 ，则二项式的通项为，当时， ，所以有理项系数为，因为，故答案为．【点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数等问题的应用，其中关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．8．已知展开式66016(1)x a a x a x -=+++L ，则06a a +的值为【答案】2【解析】661524266666(1)(1)(1)(1)x C x C x C x -=-+-+-++，所以66066(1)1,1a a C =-===，则062a a +=9．若()()()()50251251111a x a x a x a x -+-+++++-=，则2a =_________．【答案】80 【解析】【分析】根据()()()()()55250125112111x x a a x a x a x +=-+=+-+-++-⎡⎤⎣⎦，利用二项式展开式的通项公式求得2a 的值． 【详解】解：∵ ()()()()()55250125112111x x a a x a x a x +=-+=+-+-++-⎡⎤⎣⎦，则3325280a C =⋅=， 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．在4(1x ++的展开式中，2x 项的系数为_______（结果用数值表示）.【答案】19 【解析】 【分析】由022x x =⨯，22xx =⨯，42xx =⨯结合排列组合的结论计算可得2x 项的系数.【详解】由于：022x x =⨯，22x x =⨯，420x x =⨯，据此结合排列组合的性质可得2x 项的系数为：202121040422431440612119C C C C C C C C C ++=++=.故答案为：19． 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 11．平面内有9个数，有4 点在同一直线上，其余则无三点或三点以上的点共线，则可连成___________条线段，___________________条射线。

2020-2021学年高二数学下学期计数原理章末检测卷（基础篇）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.561212C C +等于（ ）A. 513CB. 613CC. 1113CD. 712C【答案】B【解析】由组合数公式的性质可得：566121213C C C +=,故选：B. 【点睛】本题考查了组合及组合数公式的性质，组合数公式：11mm mn nn C C C -++=，属于基础题.2.有三个不同的项目准备安排给甲、乙两个人做，每个项目都由一个人独立完成，则有（ ）种不同的安排方式． A. 32 B. 23C. 23A D. 23C【答案】A【解析】根据，每个项目都由一个人独立完成， 每个项目均有2种排法，所以共有32222⨯⨯=.故选：A【点睛】本题考查了分步计数乘法原理，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 3.899091100⨯⨯⨯⨯可表示为（ ）A. 10100A B. 11100AC. 12100AD. 13100A【答案】C【解析】12100=10099(100121)1009989⨯⨯⨯-+=⨯⨯⨯A ，故选：C【点睛】本题考查了排列数的定义，考查了理解辨析能力和逻辑推理能力，属于基础题. 4.若实数2a =1019228101010222a C a C a -+-+等于（ ）A. 32B. －32C. 1 024D. 512【答案】A【解析】由题意可得：()()1019222101010101022222232.a C a C a a -+-+=-==【点睛】本题考查了利用二项式的展开式化简，属于基础题.5.楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有（ ） A. 72种 B. 84种 C. 120种 D. 165种【答案】D【解析】当3个中任意2个都不相邻时，把此问题当作一个排队模型在9盏亮灯的10个空隙中插入3个不亮的灯有310C ＝120种．当有两个相邻时，把2个相邻的捆绑在一起，和上面的做法一样，9盏亮灯的10个空隙中插入2个有21045c =， 共有，120+45＝165种．故选：D.【点睛】本题考查了组合中构造模型问题，考查用插空法解决不相邻问题，属于基础题.6.设1021001210)x a a x a x a x =++++，那么()(220210139)a a a a a a +++-+++的值为（ ）A. 0B. 1-C. 1D. 101)【答案】C【解析】因为)1021001210xa a x a x a x =++++，令1x =得)100123101a a a a a =++++，令1x =-得)100123101a a a a a =-+-++，所以()(220210139)a a a a a a +++-+++()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++))101011=⋅))1011⋅⎡⎤⎣⎦=1011==, 故选：C【点睛】本题考查了利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于基础题．7.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选法有（ ） A ．242种 B ．220种C ．200种D ．110种【答案】C【解析】根据题意,甲没有选择马且乙丙中有一人选择羊，所以甲没有选择马和羊，而是在除了马和羊的十个中选择一个，即有110C 种.乙丙中恰有一人选羊，先在两个人中选一人让他选羊，即有121C ⨯种，再让剩下的一人在剩余的十个动物中选一个，即有110C 种.根据分步计数原理，综上所述：选法总共有111102101200C C C ⨯⨯⨯=种故选：C.8.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）A. 48种B. 72种C. 96种D. 144种【答案】B【解析】根据题意，如图，假设5个区域依次为A B C D E 、、、、，分4步分析： ①，对于A 区域，有4种涂法，②，对于B 区域，与A 相邻，有3种涂法，③，对于C 区域，与AB 、 相邻，有2种涂法， ④，对于D 区域，若其与B 区域同色，则E 有2种涂法，若D 区域与B 区域不同色，则E 有1种涂法，则D E 、 区域有2+1＝3种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；故选： B ．【点睛】本题考查了两个计数原理的综合问题，使用两个计数原理进行计数的基本思想：对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若382828xx C C -=，则x 的值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 18【答案】AC 【解析】382828x x C C -=∴ 38x x -=或3828x x -+=解得：4x =或9x = 故选：AC【点睛】本题考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 10.对于()()N na b n *+∈展开式的二项式系数下列结论正确的是（ ）A. m n mn n C C -= B. 11m m mn n n C C C -++=C. 当n 为偶数时，012...2nnn n n n C C C C ++++=D. 012...2n nn n n n C C C C ++++=【答案】ABCD【解析】选项A ：由组合数的运算直接可得mn mn n C C -=，故选项A 正确；选项B ：由杨辉三角直接可得11mm mn nn C C C -++=，故选项B 正确；选项C ：二项式展开式中，令1a b ==，不论n 为奇数还是偶数，都可得012...2nnn n n n C C C C ++++=，故选项C 正确；选项D ：由选项C 可知012...2n nn n n n C C C C ++++=，故选项D 正确. 故选：ABCD 【点睛】本题考查了二项式展开式性质，属于基础题.11.将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有（ ）. A. 11113213C C C C B. 2343C AC. 122342C C AD. 18【答案】BC【解析】根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个， 有2种解法：（1）分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有24C 种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有33A 种放法； 则没有空盒的放法有2343C A 种； （2）分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有1234C C 种情况； ②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有22A 种放法； 则没有空盒的放法有122342C C A 种；故选：BC ．【点睛】本题考查了排列、组合的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12.设常数R a ∈，N n *∈，对于二项式(1n +的展开式，下列结论中，正确的是（ ） A ．若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小 B ．若各项系数随着项数增加而增大，则a n > C ．若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D ．若a =7n =，则所有奇数项系数和为239 【答案】BCD【解析】二项式(1n+的展开式的通项为(211r rr n rr rr nnT C C a x -+=⋅⋅=⋅⋅，对于A ，当0a =时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A 错误；对于B ，若a n ≤，则最后两项为11,n n n n n n C a C a --，有11n n n nn n C a C a --≥，与已知矛盾，故a n >，故B 正确； 对于C ，若2a =-，10n =，则各项系数为()001021C -=，()1110220C -=-，()22102180C -=， ()33102960C -=-，()441023360C =-，()551028064C -=-，()6610213440C -=，()7710215360C -=-，()8810211520C -=，()991025120C -=-，()10101021024C -=，故第7项的系数最大，故C 正确.对于D ，若a =7n =，则所有奇数项系数和为0022446677771121235478239C a C a C a C a +++=⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 正确，故选：BCD.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项、项的系数以及二项式展开式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为__________. 【答案】15【解析】由题意6621661rr rr rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令622r -=，得2r，所以2x 项的系数为2615C =．故答案为：15．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16【解析】根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案为:16.【点睛】本题考查了关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.15.如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．【答案】84【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法； （2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法； （3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法； 所以共有涂色方法24481284++=, 故答案为：84【点睛】本题考查了涂色问题，注意分类计数原理的运用，属于基础题.16.已知3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在的展开式中，第6项为常数项,则n 的值为______________；展开式中所有的有理项为______________． 【答案】（1）10n =；（2）2454x ，638-，245256x . 【解析】（1）3312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为233311122r rn r r n rr r r n n T C x x C x----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为第6项为常数项，所以=5r 时，有203n r-=，解得10n =． （2）根据通项公式与题意得1023010r Z r r Z-⎧∈⎪⎪≤≤⎨⎪∈⎪⎩，令()1023r k k Z -=∈，则1023r k -=，即352r k =-．r Z ∈，∴k 应为偶数．又010r ≤≤，∴k 可取2，0，-2，即r 可取2，5，8．所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为2221012C x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，551012C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8821012C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2454x ，638-，245256x ． 【点睛】本题考查了二项式展开式的应用，考查二项式展开式的通项公式以及某些特定的项，解决本题的关键点是求解展开式的有理项时，令()1023rk k Z -=∈，由r Z ∈以及010r ≤≤，求出k 的值，进而得出r 的值，代入通项公式化简可得有理项，考查了学生计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：233100100101()C C A +÷ （2）解方程：3221326X X X A A A +=+． 【答案】（1）16；（2）5x =. 【解析】（1）（+）÷=÷==；（2）3=2+6，∴3x （x ﹣1）（x ﹣2）=2x （x+1）+6x （x ﹣1）， 化简得3x 2﹣17x+10=0，解得x=5，x=（不合题意，舍去）；∴x=5．【点睛】本题考查了组合及组合数、排列公式的灵活应用，考查数学运算能力，属于基础题． 18.3男3女共6个同学排成一行．（1）女生都排在一起，有多少种排法？ （2）任何两个男生都不相邻，有多少种排法？（3）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2名女生，女生又不能排在队伍的两端，有多少种排法？ 【答案】（1）144；（2）144；（3）24【解析】（1）将3名女生看成一个整体，就是4个元素的全排列，有44A 种排法，又3名女生内部有33A 种排法，所以共有44A ⋅33A 144=种排法.（2）女生先排，女生之间以及首尾共有4个空隙， 任取其中3个安插男生即可，所以任何两个男生都不相邻的排法共有33A ⋅34A 144=种排法. （3）先选2个女生排在男生甲、乙之间，有23A 种排法， 又甲、乙有22A 种排法，这样就有23A ⋅22A 种排法， 然后把他们4人看成一个整体（相当于一个男生）， 这一元素以及另1名男生排在首尾，有22A 种排法， 最后将余下的女生排在中间，有1种排法， 故总排法为23A ⋅222224A A ⋅=种排法，【点睛】本题考查了排列在生活中的应用，考查了捆绑法、插空法、特殊元素以及特殊位置优先考虑在排列中的应用，属于基础题.19.已知nx ⎛+ ⎝的展开式中前三项的系数成等差数列．（1）求n 的值；（2）如果第3k 项和第2k +项的二项式系数相等，试求k 的值； （3）求展开项中最大的系数． 【答案】（1）8；（2）1或2；（3）7． 【解析】（1）根据题意，0n C，12n C ，24n C 成等差数列， 所以210=4nnnC C C +，即(1)4482n n n n -=+⇒=，或1n =(舍去). （2）当32k k =+时，即1k =显然成立；当32k k ≠+时，由二项式的单调性和对称性得：31182k k k -++=⇒=. （3）设第1r +项的系数最大，则()1881188111118212211112229rr r r r r r r C C r r C C r r++--⎧⎧≥≥⎪⎪-+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩-⎩，解得2r 或3r =，所以展开项中系数最大为23882311=722C C =. 20.设723456701234567(31)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，求： （1）0246a a a a +++； （2）1357a a a a +++；（3）01234567a a a a a a a a +++++++． 【答案】（1）8128-；（2）8256；（3）16384．【解析】（1）取1x =得到7701234567(31)2a a a a a a a a +++++++=-=， 取1x =-得到7701234567(31)4a a a a a a a a -+-+-+-=--=-，两式相加得到77024********a a a a -+++==-.（2）根据（1）知：()713570246212881288256a a a a a a a a +++=-+++=+=.（3）7(31)x -展开式通项为：()()71731rrrr T C x -+=-，故当r 为偶数时，对应系数为正；当r 为奇数时，对应系数为负，故()()0123456713570246a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++-+++()8128825616384=-=-.【点睛】本题考查了赋值法求系数和，二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.21. 设函数()(),1,N nf x n x n *=+∈.（1）求(,8)f x 的展开式中系数最大的项； （2）若(,)64f i n i =，（i 为虚数单位），求值： ①0216810n n n n n n C C C C C C -+-+-；②()135792n n n n n C C C C C -+-+.【答案】（1）70x 4；（2）①-1；②152【解析】（1）展开式中系数最大的项是第5项448()C x ==70x 4； （2）由已知，（1+i ）n ＝64i，两边取模，得n =64，所以n ＝12 所以0216810216810121212121212=n n n n n n C C C C C C C C C C C C -+-+--+-+-，而（1+i ）12＝（02468101212121212121212C C C C C C C -+-+-++）（1357911121212121212C C C C C C -+-+-）i ＝64i 所以02468101212121212121212C C C C C C C -+-+-+=0．135791112121212121264C C C C C C -+-+-=. 又12121C =，111212C =，故0216810=1n n n n n n C C C C C C -+-+--，135791357911121212121212==6476n n n n n C C C C C C C C C C C -+-+-+-++=，即()135792152n n n n n C C C C C -+-+=【点睛】本题考查了二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查复数的运算，属于中档题． 22.已知函数*()(1),n f x x n N =+∈. （1）当8n =时，求展开式中系数的最大项； （2）化简01122312222n n n n n n n n C C C C ----++++；（3）定义：121ni n i a a a a ==+++∑，化简：1(1)nini i C =+∑. 【答案】（1）470x ；（2）32n ；（3）()1221n n -+-【解析】（1）()()81f x x =+∴系数最大的项即为二项式系数最大的项4445870T C x x ==（2）()()0122111nn n n n n n n n n f x x C C x C x C x C x --=+=++++∴原式()()01122113222212222n nn n n n n n n nC C C C --=++++=+= （3）()11nin i i C=+∑ ()121231n nn n n nC C nC n C -=++++ ①()11n i n i i C =+∑ ()121132n n n n n nn C nC C C -=++++ ② 在①、②添加0n C ，则得1+()11n i n i i C=+∑ ()0121231n n n n n n nC C C nC n C -=+++++ ③ 1+()11n i n i i C=+∑ ()12101321n n n n n n nn C nC C C C -=+++++ ④ ③+④得：2（1+()11n i n i i C =+∑）()()()0121222n n n n n n n n n C C C C C n -=++++++=+ ∴ ()11n i ni i C =+∑=()1221n n -+- 【点睛】本题考查了二项式定理，二项式系数，倒序相加法，赋值法，属于中档题.。

阶段质量检测(一) 计 数 原 理(考试时间：120分钟 试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次班会，则不同的选法种数为________．2．(湖南高考改编)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是________． 3．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学 、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是________．4．将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．5．(湖北高考改编)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝________． 6．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．7．C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＝________．8.用4种不同的颜色涂入如图所示的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种． 9．“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字2或1的四位数的个数为________．10．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．11．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是________．12．(重庆高考改编)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是________．13.⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是________．14.()x ＋14(x －1)5的展开式中x 4的系数为________．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)有三个袋子，其中第一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码．第二个袋子装有白色小球15个，每个球上标有1至15中的一个号码．第三个袋子装有黄色小球8个，每个球上标有1至8中的一个号码．(1)从袋子里任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从袋子里任取红、白、黄色球各一个，有多少种不同的取法？16．(本小题满分14分)有0，1，2，3，4，5共六个数字．(1)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；(2)能组成多少个没有重复数字且为5的倍数的五位数．17．(本小题满分14分)在(1－x2)20的展开式中，如果第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，(1)求r的值；(2)写出展开式中的第4r项和第r＋2项．18．(本小题满分16分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值．(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.19．(本小题满分16分)6个人坐在一排10个座位上，问：(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？20．(本小题满分16分)10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现如下结果：(1)4只鞋子没有成双的； (2)4只鞋子恰成两双；(3)4只鞋中有2只成双，另2只不成双．答案1．解析：由题意可得不同的选法为C 17＝7种． 答案：72．解析：由二项展开式的通项可得，第四项T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫12x 2(－2y )3＝－20x 2y 3，故x 2y 3的系数为－20. 答案：－203．解析：设男学生有x 人，则女学生有(8－x )人，则C 2x C 18－x A 33＝90，即x (x －1)(8－x )＝30＝2×3×5，所以x ＝3，8－x ＝5.答案：3，54．解析：由分步计数原理，先排第一列，有A 33种方法，再排第二列，有2种方法， 故共有A 33×2＝12种排列方法． 答案：125．解析：T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ⎝⎛⎭⎫a x r＝C r727－r a r x 7－2r ，令7－2r ＝－3，得r ＝5， 即T 5＋1＝C 5722a 5x－3＝84x －3，解得a ＝1. 答案：16．解析：从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共在C 24·C 34·C 34＝96种．答案：967．解析：∵C 06＋C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66＝26＝64，∴C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＝64－2＝62.答案：628．解析：分四步依次涂A ，B ，C ，D .开始涂A 有4种涂法；再涂B 有3种涂法；然后涂C 有2种涂法；最后涂D ，由于D 和A ，B 不相邻，所以D 可以和A 或B 同色，也可以和A ，B 不同色，所以共有3种涂法．由分步计数原理得，共有4×3×2×3＝72(种)．答案：729．解析：由题意可分情况讨论：含有两个1或两个2的四位数，先排0有3个位置可以选，然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选，剩下的排重复的数字，所以满足要求的数共有2C 13C 13C 22＝18个．答案：1810．解析：分两类：甲、乙两个宿舍中一个住4人、另一个住3人或一个住5人，另一个住2人，所以不同的分配方案共有C 37A 22＋C 27A 22＝35×2＋21×2＝112种．答案：11211．解析：分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个C 35C 34； 第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个C 45C 24； 第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个C 55C 14， 由分类计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 55C 14＝74.答案：7412．解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120. 答案：12013．解析：只有第六项的二项式系数最大，则n ＝10，T r ＋1＝C r 10·()x 10－r⎝⎛⎭⎫2x 2r＝2r C r10x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180.答案：180 14．解析：()x ＋14(x －1)5＝(x －1)5(x 2＋4x x ＋6x ＋4x ＋1)，x 4的系数为C 35×(－1)3＋C 25×6＋C 15×(－1)＝45.答案：4515．解：(1)从第一个袋子中取一个小球有20种取法；从第二个袋子中取一个小球有15种取法；从第三个袋子中取一个小球有8种取法．由分类计数原理可知共有20＋15＋8＝43种取法．(2)分三步：第一步，从第一个袋子中取一个红色球有20种取法；第二步，从第二个袋子中取一个白色球有15种取法；第三步，从第三个袋子中取一个黄色球有8种取法．由分步计数原理可知共有20×15×8＝2 400种取法．16．解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类，0在个位时有A35个；第二类，2在个位时有A14A24个；第三类，4在个位时有A14A24个；由分类计数原理知，共有四位偶数A35＋A14A24＋A14A24＝156(个)．(2)五位数中5的倍数可分为两类；第一类，个位上的数字是0的五位数有A45个；第二类，个位上的数字是5的五位数有A14A34个．故满足条件的五位数有A45＋A14A34＝216(个)．和C r＋120，17．解：(1)第4r项和第r＋2项的二项式系数分别是C4r－120＝C r＋120⇔4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，C4r－120解得r＝4或r＝23(舍去)．所以r＝4.(2)T4r＝T16＝C1520·(－x2)15＝－15 504x30，T r＋2＝T6＝C520(－x2)5＝－15 504x10.18．解：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.(2)a6即为含x6项的系数，T r＋1＝C r10(2x)10－r(－1)r＝C r10(－1)r210－r x10－r，所以当r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440.19．解：6个人排有A66种坐法，6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位．(1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A66C47＝25 200种．(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A66A27＝30 240种．(3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有C47种坐法；②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有C17C26种坐法；③4个空位分两组，每组都有2个相邻，有C27种坐法．综上所述，应有A66(C47＋C17C26＋C27)＝115 920种坐法．20．解：(1)从10双鞋子中选取4双，有C410种不同选法，每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，根据分步计数原理，选取种数为N＝C410·24＝3 360(种)．即4只鞋子没有成双有3 360种不同取法．(2)从10双鞋子中选取2双有C210种取法，所以选取种数为N＝C210＝45(种)即4只鞋子恰成两双有45种不同取法．(3)先选取一双有C110种选法，再从9双鞋中选取2双有C29种选法，每双鞋只取一只各有2种取法．根据分步计数原理，不同取法为N＝C110C29·22＝1 440(种)．。

计数原理学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．的展开式中， 的系数为__________． 【答案】【解析】展开式的通项公式：， 令 ，解得 ；令 ，解得舍去．的展开式中， 的系数为 ．故答案为： ．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.2．【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_______________.【答案】18【解析】由题意，要使小明从街道的E 处出发到F 处最短，小明需走两纵两横四段路，共有24C 条不同的路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C ⋅=，故答案为18.3．某班班会，准备从包括甲、乙两人的七名同学中选派4名学生发言，要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为__________． 【答案】16． 【解析】试题分析：甲、乙都被选中且发言时不相邻的概率为2253447512018401206A A A A ==--． 考点：1．排列组合；2．概率． 4．若55443322105)2(x a x a x a x a x a a x +++++=-，则=++++54321a a a a a ．（用数字作答） 【答案】-31 【解析】略5．二项式151()x x-的展开式中系数最大的项是第 项． 【答案】9 【解析】试题分析：因为151********()(1)r r r r r rr T C x C xx--+=-=-，而组合数中871515C C =最大，所以展开式中系数最大的是8815(1)C -，即第9项.考点：组合数性质6．在二项式6⎫的展开式中，第3项为120，则x = __________. 【答案】2【解析】结合二项式定理的通项公式有：662166rrrrr r r T C C t--+⎛⎫==，其中0t =>，结合题意有：226226120C t-⨯=，计算可得： 24t =，即： 24,2xx =∴=.7．在)()1(212222121202N n D x D x D xD x D x x nn n n n n n n n n n ∈+++++=++--- 的展开式中，把0n D ，1n D ，2n D ，…，nn D 2叫做三项式的n 次系数列． （Ⅰ）例如三项式的1次系数列是1，1，1，填空： 三项式的2次系数列是 _________ ； 三项式的3次系数列是 _________ ．（Ⅱ）二项式)()(N n b a n∈+的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如下①当N n n ∈≤≤,40时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的n 次系数列的数阵表；②由杨辉三角形数阵表中可得出性质：11-++=n n n n n n C C C ，类似的请用三项式的n 次系数表示),121(11N k n k D k n ∈-≤≤++（无须证明）；（Ⅲ）试用二项式系数（组合数）表示3n D ．【答案】（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1. （Ⅱ）①三项式的n 次系数的数阵表如下：②观察得：),121(1111N k n k D D D D k n k n k n k n ∈-≤≤++=+-++. （Ⅲ）1323n n n C C D -=+.【解析】试题分析：（Ⅰ）由1232)1(23422++++=++x x x x x x ，求得2次系数列．同理根据136763)1)(1232()1(23456223432++++++=++++++=++x x x x x x x x x x x x x x ，求得3次系数列．（Ⅱ）①②如图所示：根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，可得结论．（Ⅲ）根据三项式的2次系数列和3次系数列的定义，再利用组合数公式的性质，可用二项式系数表示试题解析：（Ⅰ）三项式的2次系数列是1,2,3,2,1；三项式的3此系数列是1,3,6,7,6,3,1. （Ⅱ）①三项式的n 次系数的数阵表如下：②观察得：),121(1111N k n k D D D D k n k n k n k n ∈-≤≤++=+-++.（Ⅲ）因为121=D ，由（Ⅱ）②得，23211101223C D D D D ==++=， 24221202236C D D D D ==++=， 252313032410C D D D D ==++=，……，所以2213121112121n n n n n n C C n D D D D =+-+=++=-----，又11111-=-=-n n C n D ，所以由3121113---++=n n n n D D D D 得，1121212111313-=-+=+=-+---n n n n n n n C C C D D D D .所以有1243233-=-C D D ，1253334-=-C D D ，1263435-=-C D D ，……，121313-=-+-n n n C D D所以将2-n 个式子累加得)2()2()2(32343221262524323+-=---=--++++=-+++n C n C C n C C C C D D n n n n .又232=D ，所以1323n n n C C D -=+.考点：二项式系数的性质．8．在的展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】 【解析】试题分析：因为，所以 项只能在 展开式中，即为 ，系数为考点：二项式定理．9．在)3n的展开式中，x 的整数次幂的各项系数之和为 ．【答案】422n n+【解析】试题分析：r n r rn r x C T -+⨯=3)(211，x 的整数次幂的各项系数之和为2242)31()31(nn n n +=+-++.考点：二项式定理.【方法点晴】本题主要考查了二项式的展开式，展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项式中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式（组）.10．（2013•重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 _________ （用数字作答）． 【答案】590 【解析】 【分析】方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答． 【详解】3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C 33C 41C 51＝20种， 1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C 31C 43C 51＝60种， 1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C 31C 41C 53＝120种， 2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C 32C 42C 51＝90种， 1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C 31C 42C 52＝180种， 2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C 32C 41C 52＝120种， 共计20+60+120+90+180+120＝590种 故答案为：590. 【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步，属于基础题.11．()5121x x-的展开式中常数项为__________． 【答案】10 【解析】()5121x x -的展开式中常数项为()()42512110C x x-=，故答案为10. 12．在二项式的展开式中，常数项的数值为________. 【答案】60 【解析】 【分析】通过二项式展开式的通项，令 的指数等于零，求得 的值，从而求得常数项. 【详解】当，即 时，常数项为,故填【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式.需要将二项展开式公式化简后，再来求指定项的值.属于基础题.13．若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1（x ＋1）＋ ＋a 9（x ＋1）9＋a 10（x ＋1）10，则a 9＝ ． 【答案】-10 【解析】 试题分析：令1+=x t ，则1-=t x ()()102101099221011-+-=+++++t t t a t a t a t a a ，因此()10199109-=-=C a . 考点：二项式定理的应用.二、解答题14．（12分）3名教师与4名学生排成一横排照相，求: （1）3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？（2）3名教师必须在中间（在3、4、5位置上）的不同排法有多少种？ （3）3名教师不能相邻的不同排法有多少种？ 【答案】（1）720; （2）144; （3）1440. 【解析】试题分析：（1）捆绑法，将3名教师作为一整体与4名学生全排列有55A 种，3名教师各自排列有33A ，分步乘法原理；（2）3名教师排法有33A ，4个学生在4个位子上全排列共有44A 种，分步乘法原理；（3）插空法，4名学生共有44A 种，形成5个空位由3个老师排列有35A 种，再用分步乘法原理.解：（1）3名教师的排法有33A ，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有55A 种，则共有3535720A A =（种） 4分（2）3名教师的排法有33A ， 4个学生在4个位子上的全排列共有44A 种，则共有3434144A A =（种）---8分（3）43451440A A = 12分考点：1.分步乘法原理；2.排列组合.15．由四个不同的数字1，2，4， 组成无重复数字的三位数.（最后的结果用数字表达） （Ⅰ）若 ,其中能被5整除的共有多少个？ （Ⅱ）若 ，其中能被3整除的共有多少个？ （Ⅲ）若 ，其中的偶数共有多少个？（Ⅳ）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求 ． 【答案】（1）6个；（2）12个；（3）14个；（4）x=7 【解析】试题分析：（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案； （4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论 ≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x 的值．解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5； 又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况，即能被5整除的三位数共有6个； （2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，取出的三个数字为1、2、9时，有A 33=6种情况， 取出的三个数字为2、4、9时，有A 33=6种情况，则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数； （3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A 32=6种情况， 当末位是2或4时，有A 21×A 21×A 21=8种情况， 此时三位偶数一共有6+8=14个，（4）若x=0，可以组成C 31×C 31×C 21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意， 故x=0不成立；当 ≠0时，可以组成无重复三位数共有C 41×C 31×C 21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字， 则每个数字用了=18次，则有252=18×（1+2+4+x ），解可得x=7． 考点：排列、组合的实际应用． 16．求 ()621x x +- 的展开式中含 5x的项．【答案】56x .【解析】试题分析：把三项式视为二项式，再利用二项式定理求特定项即可. 试题解析：()621x x +-=()621x x ⎡⎤+-⎣⎦=()()()()()()23456222222161520156,x x x xx x x x x x x x +-+-+-+-+-+-故含 5x 的项为 ()()()555520315466x x x x +-+=． 17．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． （1）恰有一件是次品的抽法有多少种？ （2）至少一件是次品的抽法有多少种？【答案】（1）种（2）【解析】（1）先选择次品然后选择正品，再利用分步原理求解即可；（2）先求出抽出3件正品的抽法数，然后利用排除法求解（1）恰有一件是次品，即从2件次品中抽1件，从8件正品中抽2件，所以，共有种…6分（2）至少有一件是次品，可用排除法，10件中抽取3件有种，8件正品中抽取3件有种，所以，共有视频18．已知3naa⎫-⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求3naa⎫-⎪⎝⎭展开式中含1a的项的二项式系数．【答案】3735C=【解析】试题分析：设5⎛⎝的展开式的通项为55105·4?6rr rrC b--⎛⎝，令1056r-=，由此求出r的值，进而得到常数项，令1a=得n的展开式的各项系数之和为2n，可得7n=，由二项展开式的通项公式知，含1a-的项是第4项，并求出其系数.试题解析：令1a=得n的展开式的各项系数之和为2n，由二项展开式得(1055561554r r rrr r rrT C C b---+⎛⎛==⎝⎝，令1050r-=得r=2，所以5⎛⎝的展开式中的常数项是第3项，即22373542T C⎛==⎝由2n=72得n = 7．对于7,由二项展开式得(()75217617713r rr rr r rrT C C a---+==-所以1a含的项是第4项，其二项式系数是3735C =． 视频19． 已知n的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512.（1）求展开式的所有有理项（指数为整数） ；（2）求()()()3411...1nx x x -+-++-展开式中2x 项的系数.【答案】（1）5417,210T x T x ==；（2）164.【解析】试题分析：（1）由所有奇数项的系数之和为512可得12512n -=，得到10n =，求出展开式的通项公式，找出在010r ≤≤范围内x 的指数为整数的项；（2）分别找出各个二项式展开式中2x 项的系数，根据组合数的性质即可求得2x 项的系数.试题解析：（1）0219...2512219,10n n n C C n n -++===∴-==(()()()101052361101010110,1,...10r rrrrrrr rrr T C C xC xr --+-+==-=-=5,0,66rZ r -∈∴=有理项为055644110710,210T C x x T C x x ====.（2）1111,r r r r r r n n n n n n C C C C C C --+++=∴=-2x 项的系数为()()()222333341043.....C C C C C C +++=-+考点：二项式定理. 20．（本题14分）设函数)2,()(22432≥∈+⋯+++=-n N n x C x C x C C x f n n n n n n n ，当,1->x 且0≠x 时，证明：0)(>x f n 恒成立【答案】略 【解析】]1)1[(1)(2nx x xx f nn --+=222121()010(1)1:(1)2,(1)10(1)12(2)(,2),(1)11,(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)101,(1)1(1)n n k k k k f x x x x nx n x x x x n k k N k x kxn k x k x x x kx x x kx kx x kx n k x k x ++>>-≠+>+=+-=>+>+=∈≥+>+=++--+=++--->++---=>∴=++>++要证且只需证证明如下当时即成立假设当时当时当时成(1)(2),,2(1)1()0n n n N n x nx f x ∀∈≥+>+>立由可知对于都有即21．用0，1，2，3，4，5这六个数字： (Ⅰ)可组成多少个无重复数字的自然数？ (Ⅱ)可组成多少个无重复数字的四位偶数？(Ⅲ)组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少?【答案】解：(Ⅰ)组成无重复数字的自然数共有个；(Ⅱ)重复数字的四位偶数共有 个； (Ⅲ)比4023大的数共有60＋48＋6＋1＝115个. 【解析】本试题主要是考查了排数问题的运用。

第七单元演练一、填空题。

1. 10个苹果,平均分成5份,取其中的3份,用分数表示就是。

2. 一朵花有5片同样的花瓣,其中的2片占这些花瓣的。

3. 把一个正方形沿它的对角线对折,然后沿它的另一条对角线对折,折痕把它平均分成了()份,每份占它的。

4. 六分之五写作(),它的分子是(),分母是()。

5. 4分米是1米的;6厘米是100厘米的。

6. 在、、中,最大的分数是(),最小的分数是()。

7. 把1米长的纸带分成同样长的7段,这样的5段长米。

二、判断题。

(正确的画“√”,错误的画“✕”)1. 把一个圆分成3份,每份是它的。

()2. 把一条线段分成相等的7段,其中的4段是它的七分之四。

()3. 有一张纸,剪去它的,还剩下这张纸的。

()4. 12的和15的相等。

()5. 4角是元。

()三、用分数表示下面各图中的涂色部分。

四、直接写出得数。

+=+=+=-= 1-= 1-= += -= +=五、看图填一填。

1. 下图中苹果的是几个?( )÷( )= ( )(个) 2.下图中月季花的是几朵?( )÷( )= ( ) (朵)3.下图中橘子的是几个?（）÷（）×（）=（）(个) 4.下图中玫瑰花的是几朵?（）÷（）×（）=（）(朵)六、画一画。

(6分)1. 画出下面这条线段的。

2. 画一条线段,使它的长度是6厘米的。

七、解决问题。

(33分)1. 老师有20张星星卡,小华获得了星星卡的,小丽获得了星星卡的,他们各获得了几张星星卡?2. 修路队修一条长为2千米的公路,第一天修了全长的,第二天修了全长的。

(1)第一天修了多少米?(2)前两天一共修了多少米?3. 24个同学在教室里打扫卫生,其中的同学在扫地,的同学在擦玻璃。

扫地和擦玻璃的各有多少人?4. 她们看的页数相同吗?(请把条件补充完整再解答)(7分)第七单元答案一、1. 2. 3. 44. 565. 6. 7.二、1. ✕2. 3. ✕4. ✕5.三、四、五、1.8242.12433.93264.15539六、画图略。

课时作业河］籃易】现他站习：：：也升能“、填空题1 •三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数为 _________ .解析：设另两边长分别为X、y,且不妨设KX W y< 11,要构成三角形，必须x+ y> 12.当y取11时，x= 1,2,3,…，11，可有11个三角形;当y取10时，x= 2,3，…，10,可有9个三角形；当y取6时，x只能取6,只有1个三角形.•••所求三角形的个数为11 + 9+ 7+ 5+ 3+ 1= 36.答案：362•将1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法种数为____________ .□□□34□□□□□□□解析：如图所示，根据题意，1,2,9三个数字的位置是确定的，余下的数中，5只能在a, c位置，8只能在b, d位置，依(a, b, c, d)顺序，具体有(5,8,6,7), (5,6,7,8), (5,7,6,8), (6,7, 5,8), (6,8,5,7), (7,8,5,6),合计6 种.I1-_2_fL丄丄丄答案：63.如图，一环形花坛分成A, B, C, D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花, 则不同的种法总数为__________________________ .解析：可依次种A、B、C、D四块，当C与A种同一种花时，有4X 3X 1X 3= 36（种）种法；当C与A所种花不同时，有4X 3X 2X 2 = 48（种）种法，由分类计数原理，不同的种法总数为36+ 48= 84.答案：844•直线方程Ax+ By= 0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中任取两个不同的数作为A、B 的值，则可表示___________不同的直线.解析：分成三类：A= 0，B M0; A M0，B= 0和A M0，0,前两类各表示1 条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故有5X4 = 20（种）.所以可以表示22条不同的直线.答案：225. 如图，某电子元件，是由3个电阻组成的回路，其中有4个仕具焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在一|i|. ----------发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有__________ 中.解析：解法一当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2X 2X 2X 2- 1= 15（种）.解法二恰有i个焊点脱落的可能情况为C4（i = 1,2,3,4）种，由分类计数原理，当电路不通时焊点脱落的可能情况共C4 + C2+ C3+ C4= 15（种）.答案：156. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则报名方法的种数为________ •五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有________ 中.答案：45 547. 从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b,共可得到lg a—lg b的不同值的个数是________ .解析：由于lg a—lg b= lg学@>0，b>0），从1,3,5,7,9中任取两个作为学有A5=20 种，又1与3相同，1与3相同，：lg a—lg b的不同值的个数有A i—2 = 20 —2= 18.答案：188. 某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为___________ 用数字作解析：其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步计数原理，总的选法种数是30X 20X 12= 7 200.答案：7 2009 •已知集合M = {1，- 2,3}，N = { —4,5,6,—7}，从M， N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是________ •解析：分两类：第一类，第一象限内的点，有2X 2= 4（个）;第二类，第二象限内的点，有1X 2= 2（个）.共4 + 2 = 6（个）.答案：6二、解答题10•已知集合A= {a i，a2, a3, a4}，B= {0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射.（1）若B中每一元素都有原象，这样不同的f有多少个？⑵若B中的元素0必无原象，这样的f有多少个？⑶若f满足f（a1）+ f（a2）+ f（a3）+ f®）= 4,这样的f又有多少个？解析：（1）显然对应是-对应的，即为a1找象有4种方法，a2找象有3种方法，a3找象有2种方法，a4找象有1种方法，所以不同的f共有4X 3X 2X 1 = 24（个）.（2）0必无原象，1,2,3有无原象不限，所以为A中每一元素找象时都有3种方法•所以不同的f共有34= 81（个）.（3）分为如下四类：第一类：A中每一元素都与1对应，有1种方法；第二类：A中有两个元素对应1，一个元素对应2,另一个元素与0对应，有C2 C11 =12（种）方法；第三类，A中有两个元素对应2,另两个元素对应0,有C2C2= 6（种）方法；第四类，A中有一个元素对应1, 一个元素对应3,另两个元素与0对应，有C C1 =12（种）方法.所以不同的f共有1+ 12+ 6+ 12 = 31 （个）.11 •某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解析：由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有2+ 1= 3（种），此时共有6X3= 18（种）;第二类：不从只会英语的6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1X 2 = 2（种）；所以根据分类计数原理知共有18+ 2 = 20（种）选法.12 •在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息•若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为多少？解析：分0个相同、1个相同、2个相同讨论.（1）若0个相同，则信息为1001.共1个.⑵若1个相同，则信息为0001,1101,1011,1000共4个.（3）若2个相同，又分为以下情况：①若位置一与二相同，则信息为0101 ；②若位置一与三相同，则信息为0011 ；③若位置一与四相同，则信息为0000;④若位置二与三相同，则信息为1111;⑤若位置二与四相同，则信息为1100;⑥若位置三与四相同，则信息为1010.共6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 1 + 4+ 6= 11.。