2019年深国交G1入学考试数学：二次函数的性质01(选择题)

G1入学二次函数01（填空）一．填空题（共30小题）1．（2015•肥城市一模）已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为．2．（2015•杭州模拟）已知点P（5，n），点Q（m，n）是抛物线y=2x2+4x﹣c的两个不同的点，则m=．3．（2015•和平区一模）某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：s=60t ﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行米才能停止．4．（2015•杭州模拟）已知正整数a满足不等式组（x为未知数）无解，则a的值为；函数y=（3﹣a）x2﹣x﹣3图象与x轴的交点坐标为．5．（2015秋•潮州期末）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c=0的解为．6．（2014•涪城区校级自主招生）一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y=x2+bx﹣4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是．7．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是．8．（2014•上海一模）已知一个二次函数的图象具有以下特征：（1）经过原点；（2）在直线x=1左侧的部分，图象下降，在直线x=1右侧的部分，图象上升．试写出一个符合要求的二次函数解析式．．9．（2014•丹东校级二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列4个结论正确的有个①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．10．（2014•老河口市模拟）抛物线y=2x2+3上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1≠x2，y1=y2，当x=x1+x2时，y=．11．（2014•独山县模拟）如图，抛物线y=x2沿直线y=x向上平移个单位后，顶点在直线y=x上的M处，则平移后抛物线的解析式为．12．（2014•工业园区一模）二次函数y=（x+3）（2﹣x）取得最大值时，x=．13．（2014•牡丹江一模）已知抛物线y=ax2+bx+c经过三个点（0，5），（4，5）（3，0）并且与x轴另一个交点为点P，若将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则点P 的对应点的坐标为．14．（2014•天门模拟）抛物线y=kx2﹣5x+2的图象和x轴有交点，则k的取值范围是．15．（2014•乳山市二模）抛物线y=x2﹣（2m﹣1）x﹣2m与x轴的两交点坐标分别是A（x1，0），B（x2，0），且||=1，则m的值为．16．（2013秋•龙口市期末）已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2012的值为．17．（2013秋•开封县期末）将抛物线y=3x2﹣6x+4先向右平移3个单位，再向上平移2个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的顶点坐标是．18．（2013秋•文登市期末）已知下列函数：①y=﹣（x﹣1）2；②y=x2+1；③y=﹣x2﹣1．其中，图象通过平移可以得到函数y=﹣（x﹣2）2﹣1的图象的有（填写所有正确选项的序号）．19．（2013秋•日照期末）二次函数y=x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最大值和最小值分别是．20．（2014春•永定县校级期末）不论x取何值，二次函数y=﹣x2+6x+c的函数值总为负数，则c的取值范围为．21．（2013秋•南京期末）某公园草坪的防护栏形状是抛物线形．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则其中防护栏支柱A3B3的长度为m．22．（2013秋•宜城市期末）向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为ym，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则炮弹飞行第秒时高度是最高的．23．（2013秋•宝安区期末）某服装店销售童装平均每天售出20件，每件赢利50元，根据销售经验：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可以多售出4件．则每件童装应降价元时，每天能获得最大利润．24．（2013•鞍山一模）若二次函数y=（a+1）x2+2x+a2﹣1的图象经过原点，则a的值是．25．（2013•大港区一模）已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下则该二次函数的关系式为．26．（2013•黄陂区模拟）已知y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是．27．（2013•灌云县模拟）根据下列表格中y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判228．（2013•黄冈二模）如图，是y=x2、y=x、y=在同一直角坐标系中图象，请根据图象写出＜x＜x2时x的取值范围是．29．（2013秋•如皋市期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=﹣（x﹣1）2+1的图象上，若﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，则y1y2（填“＞”、“＜”或“=”）．30．（2013秋•工业园区期中）若二次函数y=（m+1）x2+m2﹣9有最小值，且图象经过原点，则m=．。

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝Array对值越大，抛物线的开口越小。

2.2=+y ax c的性质：上加下减。

()2x h-左4. ()2y a x h k=-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x yx 【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

选择题下列函数中，是二次函数的是（）。

A. y = x^2 + 1/xB. y = 3x^2 + 2x - 1C. y = √(x^2 + 1)D. y = (x + 1)^3若关于x的方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为x1 = 2, x2 = 3，则 b 的值为（）。

A. 5B. -5C. 6D. -6钝角三角形的一个锐角为30°，则另一个锐角的取值范围是（）。

A. 0° < α < 30°B. 30° < α < 60°C. 60° < α < 90°D. 0° < α < 90°一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积是_______ cm²。

在直角坐标系中，点A(2, -3) 关于x 轴对称的点的坐标是_______。

已知数据x1, x2, ..., xn 的平均数为5，则数据3x1, 3x2, ..., 3xn 的平均数为_______。

填空题方程x^2 - 4x + _______ = 0 的一个根为2，则另一个根为_______。

已知直角三角形的两直角边分别为3 和4，则斜边上的中线长为_______。

函数y = 2x^2 的图象经过点(1, _______)。

若二次函数y = ax^2 + bx + c 的图象经过点(0, 1) 和(1, 0)，则c = _______，a + b = _______。

在△ABC 中，△A = 45°，△B = 60°，则△C = _______°。

一个正n 边形的内角和为1080°，则n = _______。

简答题已知方程x^2 - 5x + 6 = 0 的两个根为x1 和x2，求x1^2 + x2^2 的值。

二次函数的图象与性质1一、选择题：1.把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（）A. ﹣4B. 0C. 2D. 62.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=1，则以下四个结论中：① abc>0，② 2a+b=0，③ 4a+b2<4ac，④ 3a+c<0.正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43.已知二次函数y=−x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A. 图象的开口向上B. 图象的顶点坐标是(1,3)C. 当x<1时，y随x的增大而增大D. 图象与x轴有唯一交点4.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C在(0,2)与(0,3)之间（不包括这两点），抛物线的顶点为D，对称轴为直线x=2，有以下结论：① abc>0；②若点M(−12,y1)，点N(72,y2)是函数图象上的两点，则y1<y2；③ −35<a<−25；④ ΔADB可以是等腰直角三形.其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个5.点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（）A. 154B. 4 C. ﹣154D. ﹣1746.已知二次函数y=x2−2ax+a2−2a−4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x>3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）A. a≥−2B. a<3C. −2≤a<3D. −2≤a≤3二、填空题7.抛物线y=(k−1)x2−x+1与x轴有交点，则k的取值范围是________.8.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x．其中正确结论的序号是________．的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a9.下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为________．10.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________．11.将抛物线y=(x－1)2－5关于y轴对称，再向右平移3个单位长度后顶点的坐标是________．三、解答题12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点A（﹣1，8）、B（2，﹣1），与y轴交于点C（0，3），求二次函数的表达式．13.已知二次函数y=ax2−2ax−3a的图象与x轴交于A、B两点，且经过C（1，－2），求点A、B的坐标和a的值.14.已知二次函数的顶点坐标为(2，−2)，且其图象经过点(1，−1)，求此二次函数的解析式.15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，正半轴交于点B，OA=2OB=4．求抛物线的顶点坐标。

二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而增大； x0时， y随a 0 向上y 轴x 0 时， y 有最小值 0 ．x 的增大而减小；0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而减小； x0时， y随a 0 向下y 轴x 0 时， y 有最大值 0 ．x 的增大而增大；a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.y ax2 c 的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0 ，c x 0 时， y 随x的增大而增大； x0时， y随a 0 向上y 轴x 0 时， y 有最小值c．x 的增大而减小；0 ，c x 0 时， y 随x的增大而减小； x0时， y随a 0 向下y 轴x 0 时， y 有最大值c．x 的增大而增大；3. y a x h 2的性质：左加右减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h ，0 x h 时， y 随x的增大而增大；x h 时， ya 0 向上X=hx h 时， y 有最小值 0 ．随 x 的增大而减小；h ，0 x h 时， y 随x的增大而减小；x h 时， ya 0 向下X=hx h 时， y 有最大值 0 ．随 x 的增大而增大；4. y a x h 2k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质h ，k x h 时， y 随x的增大而增大；x h 时， ya 0 向上X=hx h 时， y 有最小值 k ．随 x 的增大而减小；h ，k x h 时， y 随x的增大而减小； x h 时， ya 0 向下X=hx h 时， y 有最大值 k ．随 x 的增大而增大；二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a2h ，k ；x hk ，确定其顶点坐标⑵保持抛物线 y ax2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k |个单位y=ax 2+ky=ax2向右 (h>0)【或左 ( h<0)】向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 (k>0) 【或下 (k<0) 】平移 |k|个单位y=a(x-h)2|k|个单位y=a(x-h)2+k向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y ax2 bx c 沿y轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成y ax 2 bx c m （或 y ax 2 bx c m ）⑵ y ax2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， y ax 2 bx c 变成y a( x m) 2 b( x m) c （或 y a(x m) 2 b( x m) c ）三、二次函数 y a x h 2 k 与 y ax2 bx c 的比较从解析式上看，y a x2k 与 y ax2 bx c是两种不同的表达形式，后者通过配h2b2b，k2方可以得到前者，即y a x b 4ac ，其中 h 4ac b ．2a 4a 2a 4a 四、二次函数 y ax2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2bx c 化为顶点式 y a (x h)2 ，k 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 ，c 、以及0 ，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点x1，0 ，x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数y ax2bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2 ．2a 2a 4a当 x b时， y 随x的增大而减小；当x b 时， y 随x的增大而增大；当x b 2a 2a 2a 2时， y 有最小值4ac b．4a2. 当 a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b 2 ．当2a 2a 4ax b时， y 随x的增大而增大；当xb时， y 随x的增大而减小；当x b 时， y 2a 2a 2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数，a 0 ）；2. 顶点式：y a( x h) 2 k （ a ，h，k为常数，a 0 ）；3. 两根式：y a( x x1 )( x x2 ) （a 0， x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即 b 2 4 ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 ．⑴当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在 a 0 的前提下，当 b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．2a⑵在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴xb0 ，在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab2a概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项 c⑴当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y ax 2 bx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k ；2.关于 y 轴对称y ax 2 bx c 关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y ax2 bx c 关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；y a x2k 关于原点对称后，得到的解析式是y a x h2k ；h4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2 y ax2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax 2 bx c b ；2ay a x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h2k ．h5. 关于点m，n 对称y a x2k 关于点 m，n 对称后，得到的解析式是y a x22n k h h 2m根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．y=2x 2二次函数图像参考：y=3(x+4)2y=3x2y=x 2y=3(x-2)2x2 y=2y=2x 2y=2(x-4) 2十一、y=2(x-4) 2-3y=2 x 2+2y=2 x 2y=2 x 2-4x 2 y= -2y= -x 2y=-2(x+3)2【 例精y=-2x 2y=-2(x-3)2y=-2x 2】一、一元二次函数的 象的画法【例 1】求作函数 y1 x2 4x 6 的 象1 x 22 1( x 2【解】 y4x 68x 12)221[( x24) 2- 4]1( x 24) 2 - 222以 x4 中 ，取 x 的一些 ，列表如下：x⋯-7 -6 -5-4 -3-2 -1 ⋯y 5 03 -23 5 ⋯⋯222 02【例 2】求作函数 y x 24x 3 的 象。

2019年深国交G1入学考试复习专题：二次函数的最值一．选择题（共15小题）22或C或或2．已知二次函数的图象y=ax2+bx+c（0≤x≤3）如图．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）22﹣D﹣22225．二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范27．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）C210．小聪、小明、小伶、小俐四人共同探究代数式2x2﹣4x+6的值的情况．他们作了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小俐负11．y=x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x=1时取22222C15．正实数x，y满足xy=1，那么的最小值为（）C二．填空题（共8小题）16．二次函数y=x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，则a的值为．17．已知实数x、y满足x2﹣2x+4y=5，则x+2y的最大值为．18．若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为．19．正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．20．如图，已知A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是．21．若二次函数y=x2+2x﹣3（0≤x≤3）的最小值为，最大值为．22．函数y=﹣+的最大值为．23．已知二次函数y=（x﹣1）2+（x﹣3）2，当x=时，函数达到最小值．。

二次函数及函数的性质及答案一、选择题(每小题6分，共36分)1.关于函数y ＝－3x 的单调性的叙述正确的是( )(A)在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的 (B)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增 (C)在[0，＋∞)上递增 (D)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的2.(2012·厦门模拟)函数f(x)＝2x 2－mx ＋2当x∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是( )(A)(－∞，＋∞) (B)[8，＋∞) (C)(－∞，－8] (D)(－∞，8] 3.若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等 于( )(A)13 (B) 2 (C)22(D)2 4.函数f(x)＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )(A)(－∞，32] (B)[32，＋∞) (C)(－1，32] (D)[32，4)5.(2012·杭州模拟)定义在R 上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x ＋2)的图象关于x ＝0对称，则( )(A)f(－1)<f(3) (B)f(0)>f(3) (C)f(－1)＝f(3) (D)f(0)＝f(3)6.定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在[a ，b]上有( )(A)最小值f(a) (B)最大值f(b) (C)最小值f(b) (D)最大值f(a ＋b2)二、填空题(每小题6分，共18分)7.如果二次函数f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在区间(12，1)上是增函数，那么f(2)的取值范围是 .8.(预测题)已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝ .9.(2012·深圳模拟)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x<0)(a －3)x ＋4a (x≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是 . 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)＝|x|x ＋2，(1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并加以证明； (2)求函数f(x)的值域.11.(易错题)函数f(x)＝x 2＋x －14.(1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b]，求b －a 的最大值.【探究创新】(16分)定义：已知函数f(x)在[m ，n](m<n)上的最小值为t ，若t≤m 恒成立，则称函数f(x)在[m ，n](m<n)上具有“DK”性质.(1)判断函数f(x)＝x 2－2x ＋2在[1,2]上是否具有“DK”性质，说明理由. (2)若f(x)＝x 2－ax ＋2在[a ，a ＋1]上具有“DK”性质，求a 的取值范围. 一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·揭阳模拟)若关于x 的方程2x 2－3x ＋m ＝0的两根满足x 1∈(－2，－1)，x 2∈(2,3)，则m 的取值范围是( )(A)(－∞，98) (B)(－9，－5) (C)(－14，98) (D)(－14，－2)2.如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么( ) (A)f(2)＜f(1)＜f(4) (B)f(1)＜f(2)＜f(4) (C)f(2)＜f(4)＜f(1) (D)f(4)＜f(2)＜f(1)3.(预测题)设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，如果f(x 1)＝f(x 2)( x 1≠x 2)，则f(x 1＋x 2)等于( )(A)－b 2a (B)－b a (C)c (D)4ac －b24a4.(2012·韶关模拟)若f(x)＝x 2－x ＋a ，f(－m)<0，则f(m ＋1)的值为( ) (A)正数 (B)负数 (C)非负数 (D)与m 有关5.函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )(A)[－3,0) (B)(－∞，－3] (C)[－2,0] (D)[－3,0]6.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x∈(0，12]恒成立，则a 的最小值是( )(A)0 (B)2 (C)－52 (D)－3二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2011·南京模拟)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是 .8.若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(a 、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝ .9.(2012·泉州模拟)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为[－254，－4]，则m 的取值范围为 . 三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)设f(x)为定义在R 上的偶函数，当x≤－1时，y ＝f(x)的图象是经过点(－2,0)，斜率为1的射线，又在y ＝f(x)的图象中的一部分是顶点在(0,2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并作出其图象. 11.(2012·揭阳模拟)已知：函数f(x)＝ax 2－2x ＋1.(1)若13≤a≤1，且f(x)在[1,3]上的最大值为M(a)，最小值为N(a)，令g(a)＝M(a)－N(a)，求g(a)的表达式；(2)在(1)的条件下，求证：g(a)≥12.【探究创新】(16分)已知直线AB 过x 轴上一点A(2,0)且与抛物线y ＝ax 2相交于B(1，－1)、C 两点. (1)求直线和抛物线对应的函数解析式.(2)问抛物线上是否存在一点D ，使S △OAD ＝S △OBC ？若存在，请求出D 点坐标，若不存在，请说明理由.答案解析1. 【解析】选D.由于函数y ＝1x 在(－≦，0)和(0，＋≦)上是递减的，且－3<0，因此函数y ＝－3x 在(－≦，0)和(0，＋≦)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”.2.【解析】选C.由已知得m4≤－2，解得：m ≤－8.3.【解析】选D.当0<a<1时，f(x)在[0,1]上为减函数，则其值域不可能为[0,1]；当a>1时，f(x)在[0,1]上为增函数，由已知有⎩⎪⎨⎪⎧log a 1＝0log a 2＝1，得a ＝2，综上知a ＝2.4.【解题指南】本题为求复合函数单调区间问题，需先求定义域，再在定义域内判断t ＝4＋3x －x 2的单调性，从而根据“同增异减”求解.【解析】选D.要使函数有意义需4＋3x －x 2>0， 解得－1<x<4， ≨定义域为(－1,4). 令t ＝4＋3x －x 2＝－(x －32)2＋254.则t 在(－1，32]上递增，在[32，4)上递减， 又y ＝lnt 在(0，254]上递增，≨f(x)＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间为[32，4).5.【解析】选A.因为f(x ＋2)的图象关于x ＝0对称，所以f(x)的图象关于x ＝2对称，又f(x)在区间(－≦，2)上是增函数，则其在(2，＋≦)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示.由图象知，f(－1)<f(3)，故选A. 6.【解析】选C.设x 1<x 2，由已知得f(x 1)＝f[(x 1－x 2)＋x 2]＝f(x 1－x 2)＋f(x 2).又x 1－x 2<0，≨f(x 1－x 2)>0.≨f(x 1)> f(x 2). 即f(x)在R 上为减函数. ≨f(x)在[a ，b]上亦为减函数.≨f(x)min ＝f(b) f(x)max ＝f(a)，故选C.7.【解析】f(x)＝x 2－(a －1)x ＋5在(a －12，＋≦)上递增，由已知条件得a －12≤12，则a ≤2，f(2)＝11－2a ≥7.答案：[7，＋≦)8.【解析】≧f(x)是奇函数， ≨f(x －4)＝－f(x)＝f(－x)，≨f(x)＝f(－x －4)， ≨f(x)的图象关于x ＝－2对称. 又f(x)在区间[0,2]上是增函数，≨f(x)在区间[－2,0]上是增函数.又f(x)＝m(m>0)在区间 [－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则数形结合知≨x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.答案：－89.【解析】由已知x 1≠x 2，都有f(x 1)－f(x 2)x 1－x 2<0，知f(x)在R 上为减函数，则需⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1a 0≥(a －3)·0＋4a a －3＜0，解得0<a ≤14.答案：(0，14]10.【解析】(1)当x>0时，f(x)＝|x|x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2.设0<x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝(1－2x 1＋2)－(1－2x 2＋2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)，由0<x 1<x 2可得f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，因此f(x)在(0，＋≦)上递增. (2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋2 x ≥0－1＋2x ＋2 x<0且x ≠－2.可以证明f(x)在(－≦，－2)上递减，且f(x)在(－2,0)上递减，由反比例函数y ＝2x 通过平移、对称变换得 f(x)的图象如图所示，因此f(x)的值域为：(－≦，－1)∪[0，＋≦). 11.【解析】≧f(x)＝(x ＋12)2－12，≨对称轴为x ＝－12. (1)≧3≥x ≥0>－12，≨f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，即[－14，474]；(2)≧x ＝－12时，f(x)＝－12是f(x)的最小值， ≨x ＝－12∈[a ，b]，令x 2＋x －14＝116，得x 1＝－54，x 2＝14，根据f(x)的图象知b －a 的最大值是14－(－54)＝32.【探究创新】 【解析】(1)≧f(x)＝x 2－2x ＋2，x ∈[1,2]， ≨f(x)min ＝1≤1， ≨函数f(x)在[1,2]上具有“DK ”性质.(2)f(x)＝x 2－ax ＋2，x ∈[a ，a ＋1]，其对称轴为x ＝a 2.①当a 2≤a ，即a ≥0时，函数f(x)min ＝f(a)＝a 2－a 2＋2＝2.若函数f(x)具有“DK ”性质，则有2≤a 总成立，即a ≥2. ②当a<a2<a ＋1，即－2<a<0时，f(x)min ＝f (a 2)＝－a24＋2.若函数f(x)具有“DK ”性质，则有－a24＋2≤a 总成立，解得a ∈∅.③当a2≥a ＋1，即a ≤－2时，函数f(x)的最小值为f(a ＋1)＝a ＋3.若函数f(x)具有“DK ”性质，则有a ＋3≤a ，解得a ∈∅.综上所述，若f(x)在[a ，a ＋1]上具有“DK ”性质，则a 的取值范围为[2，＋≦).答案解析1.【解析】选B.构造二次函数f(x)＝2x 2－3x ＋m ，由二次函数f(x)的图象得：⎩⎪⎨⎪⎧f(－2)·f(－1)＜0f(2)·f(3)＜0得－9＜m ＜－5.2.【解析】选A.依题意，函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的对称轴方程为x ＝2，且f(x)在[2，＋≦)上为增函数，因为f(1)＝f(2－1)＝f(2＋1)＝f(3),2＜3＜4， ≨f(2)＜f(3)＜f(4)，即f(2)＜f(1)＜f(4).3.【解析】选C.≧f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)， ≨x 1＋x 22＝－b2a ，即x 1＋x 2＝－b a ，≨f(x 1＋x 2)＝f(－b a )＝a(－b a )2＋b ·(－ba )＋c ＝c.4. 【解析】选B.由f(x)＝x 2－x ＋a 的图象知f(x)＝x 2－x ＋a 的图象关于x ＝12对称，设x 2－x ＋a ＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，则f(－m)<0的解为x 1<－m<x 2,1－x 2<1＋m<1－x 1，而x 1＋x 2＝1， ≨1－x 1＝x 2,1－x 2＝x 1，≨x 1<1＋m<x 2，故f(1＋m)<0，故选B. 5.【解析】选D.当a ＝0时，f (x)＝－3x ＋1显然成立， 当a ≠0时，需⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0－a －32a≤－1，解得－3≤a ＜0，综上可得－3≤a ≤0.6.【解析】选C.方法一：设g(a)＝ax ＋x 2＋1， ≧x ∈(0，12]，≨g(a)为单调递增函数.当x ＝12时满足：12a ＋14＋1≥0即可，解得a ≥－52.方法二：由x 2＋ax ＋1≥0得a ≥－(x ＋1x )在(0，12]上恒成立，令g(x)＝－(x ＋1x )，则知g(x)在(0，12]为增函数，≨g(x)max ＝g(12)＝－52，≨a ≥－52.7.【解析】函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8， 依题意有：－k 8≤－1或－k 8≥2，解得k ≥8或k ≤－16. 答案：k ≥8或k ≤－168.【解析】≧f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)＝bx 2＋(2a ＋ab)x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称， ≨2a ＋ab ＝0，≨b ＝－2或a ＝0(舍去).又≧f(x)＝－2x 2＋2a 2且值域为(－≦，4]， ≨2a 2＝4，f(x)＝－2x 2＋4. 答案：－2x 2＋4 9.【解析】y ＝x 2－3x －4＝(x －32)2－254， 对称轴为x ＝32，当x ＝32时，y ＝－254，≨m ≥32，而当x ＝3时，y ＝－4，≨m ≤3. 综上：32≤m ≤3. 答案：32≤m ≤310.【解析】当x ≤－1时，设f(x)＝x ＋b ，则由0＝－2＋b ，即b ＝2，得f(x)＝x ＋2； 当－1＜x ＜1时，设f(x)＝ax 2＋2，则由1＝a(－1)2＋2，即a ＝－1，得f(x)＝－x 2＋2； 当x ≥1时，f(x)＝－x ＋2. 故f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12－x 2，－1＜x ＜1－x ＋2，x ≥1，其图象如图.11.【解析】(1)≧f(x)＝a(x －1a )2＋1－1a ， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，≨N(a)＝f(1a )＝1－1a .当1≤1a ＜2，即12＜a ≤1时， M(a)＝f(3)＝9a －5，故g(a)＝9a ＋1a －6，当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时， M(a)＝f(1)＝a －1，故g(a)＝a ＋1a－2.≨g(a)＝111a 2a []a 32119a 6a (,1]a 2⎧∈⎪⎪⎨⎪∈⎪⎩＋－，，＋－，(2)≧当a ∈11[]32，时，g ′(a)＝1－21a ＜0，,≨函数g(a)在11[]32，上为减函数；当a ∈(12,1]时，g ′(a)＝9－21a＞0，,≨函数g(a)在(12,1]上为增函数， ≨当a ＝12时，g(a)取最小值，g(a)min ＝g(12)＝12，故g(a)≥12.【探究创新】【解析】(1)设直线对应的函数解析式为y ＝kx ＋b ，由题知，直线过点A(2,0)，B(1，－1)， ≨2k b 0k b 1⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得k ＝1，b ＝－2. ≨直线的解析式为y ＝x －2，又抛物线y ＝ax 2过点B(1，－1)，≨a ＝－1. ≨抛物线的解析式为y ＝－x 2. (2)直线与抛物线相交于B 、C 两点，故由方程组2y x 2y x⎧⎨⎩＝－＝－，解得B 、C 两点坐标为B(1，－1)，C(－2，－4).由图象可知，S △OBC ＝S △OAC －S△OAB＝12×|－4|×2－12×|－1|×2＝3.假设抛物线上存在一点D ，使S △OAD ＝S △OBC ，可设D(t ，－t 2)，≨S △OAD ＝12×2×t 2＝t 2，,≨t 2＝3，≨t或t即存在这样的点－3)或(3).。

二次函数的基木性质1二次函数即为形式为y=ax2+bx+c(a#:O),因为若a=0,且bH0时, 函数变为一次函数，若a二0,且b二0时，函数则变为常函数。

因此判断函数是否为二次函数，只需判断二次项系数不为0即可。

例］:若函数y二(5a2+3a-2) x2+ (a2-l) x+6 a-2 为二次函数,贝Ua 满足什么条件？解：：•函数为二次丙数，则5a2+3a-2^0,(这里解方程需要用到二次函数求根公式)，aH芈壬，即3工-3±号丁4空,得aHj或2/5。

2a2-5(引申：若函数为一次函数，则需要满足5a2+3a-2=0, a2-1^0, 解得a=2/5)2上面提到了求根公式，若二次函数为y=ax2+bx+c(a7^0), Va7^0, 就注定a只能有两种符号1)其中a>0时，二次函数开口向上2)aVO时，二次函数开口向下但不论a的符号如何，△二沪一4ac,即当厶〉。

吋，方程有两个不相等的实根，即图像与x轴有两个不同的交点；(方程有两个解)△二0时，方程有两个相等的实根，即图像与x轴有一个交点；(方程有一个解)△ V0时，方程没有实根，即图像与x轴无交点；(方程无解)二次函数乂叫抛物线(顾名思义是弧状图形)，如下图所示，此函数y=x2-4x-5, 二次项系数为1,则开口向上，△二沪—4ac二「4)2—4 • 1 •(・5)二36 >0,故与x轴有两个交点，可以求得两根为丄5画出即可，其中图像与y轴的交点为常数项c的值(令x=0,代入方程，得y二c)当然，上述方程可以用到十字相乘法，所谓十字相乘就是在脑袋里把二次函数想成两个式了相乘，并且常数项相乘等于・5(此时想到1或J -5) 又一次项系数相加为・4(即-5+1)所以可以列成这种形式(x-5) <x+l), 与x轴交点即y二0,得-x=-l或5。

例2若二次函数为y=-x2+x+6,图像与x轴的两个交点坐标是什么？可以先变成-(X2-X-6),BP-(X-3)(X+2),故与x轴两个交点分别为(3,0),(・乙0)。

OxyA图5x = 2ByxO yxOy xO 1 －1 yxO1 －1 二次函数图像和性质1一、选择题1．已知二次函数y ＝Ax 2＋Bx ＋C 的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．a ＋b ＋c ＞02．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3）3．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )4．把抛物线y =x 2+bx +c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y =x 2－3x ＋5，则（ ）A ．b =3，c =7 B ．b =6，c =3 C ．b =-9，c =-5 D ．b =-9，c =215．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是 A ．ab ＜0 B ．ac ＜0C ．当x ＜2时，函数值随x 的增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 的增大而减小D ．二次函数y =ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点的横坐标就是方程ax 2+bx+c =0的根。

6．已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12x ＋3的图象大致如图，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范围是（ ）．A ．－32＜x ＜2 B ．x ＞2或x ＜－32 C ．－2＜x ＜32 D ． x ＜－2或x ＞327．若把函数y=x 的图象用E （x ，x ）记，函数y=2x+1的图象用E （x ，2x+1）记，……则E （x ，122+-x x ）可以由E （x ，2x ）怎样平移得到？8．已知抛物线2y ax bx c =++（a ＜0）过A （2-，0）、O （0，0）、B （3-，1y ）、C （3，2y ）四点，则1y 与2y 的大小关系是A ．1y ＞2yB ．1y 2y =C ．1y ＜2yD ．不能确定9．下列函数：①3y x =-；②21y x =-；③()10y x x=-<；④223y x x =-++，其中y 的值随x 值增大而增大的函数有（ ）A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 10．设a 、b 是常数，且b ＞0，抛物线y=ax 2+bx +a 2-5a -6为下图中四个图象之一，则a的值为（ ）11．已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则实数b a n m ,,,的大小关系可能是A ．n b a m <<<B ．b n a m <<<C ．n b m a <<<D ．b n m a <<< 12．如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 于PB 为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为(第10题)AB CD第（15）题yxO1x = 1- 2- 13． 定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m < 0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.其中正确的结论有A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④14．如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）15．已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④ 930a b c ++<．其中，正确结论的个数是 16．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．17． y=x 2＋（1－a ）x ＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1≤x ≤3时，y 在x ＝1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）。

二次函数的图象01（选择题）一．选择题（共30小题）1．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．2．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B． C．D．4．如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b ﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．5．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣57．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知函数y=，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．9．方程x2﹣2x=﹣2实数根的情况是（）A．有三个实数根 B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根10．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x的图象大致是（）A．B．C．D．11．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．12．设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．13．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．1个B．2个C．3 D．014．已知函数y=ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．15．给出下列命题及函数y=x与y=x2和的图象：①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；②如果a2＞a，那么a＞1或﹣1＜a＜0；③如果＞a2＞a，那么﹣1＜a＜0；④如果a2＞＞a，那么a＜﹣1．则（）A．正确的命题只有①B．正确的命题有①②④C．错误的命题有②③D．错误的命题是③④16．用图象法探索二次函数y=x2和反比例函数y=（k不为零）交点个数为（）A．一定是1个B．一定有2个C．1个或者2个D．0个17．王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y=ax2﹣6ax﹣3，则她所选择的x轴和y轴分别为（）A．m1，m4B．m2，m3C．m3，m6D．m4，m518．若m＜﹣3，则下列函数：①y=（x≥﹣3），②y=﹣mx+1，③y=m（x+3）2，④y=（m+3）x2（x≤0）中，y的值随x的值增大而增大的函数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．在同一坐标系中，函数y=ax2+b与y=bx2+ax的图象只可能是（）A．B．C．D．20．抛物线y=ax2、y=bx2、y=cx2的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a21．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k＞n C．k=n D．h＞0，k＞022．如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x2；②y=；③y=x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③ B．①③② C．②③① D．③②①23．方程x2+3x﹣1=0由于x≠0，因此可化为x+3=，则原方程的根可视为函数y=x+3与y=图象交点的横坐标，利用图象估计一元三次方程x3+2x2﹣2=0的根x0所在的范围是（）A．1＜x0＜2 B．0＜x0＜l C．﹣l＜x0＜0 D．﹣2＜x0＜﹣l24．从y=2x2﹣3的图象上可以看出，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤5 B．﹣5≤y≤5 C．﹣3≤y≤5 D．﹣2≤y≤125．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数y=x2+1与y=的交点的横坐标x0的取值范围是（）A．0＜x0＜0.5 B．0.5＜x0＜1 C．1＜x0＜1.5 D．1.5＜x0＜226．函数y=x2+1与y=x2+2的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向 C．顶点 D．形状27．下列三个函数：①y=x+1；②；③y=x2﹣x+1．其图象既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．328．如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，根据图象回答，当ax2+bx+c＜1时，x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜3 B．x＜﹣1或x＞3 C．x＜﹣1 D．x＞329．已知函数y=x2﹣2x﹣2的图象如图所示，根据图象提供的信息，可得y≤1时，x的取值范围是（）A．x≥﹣3 B．﹣3≤x≤1 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥330．方程x2+2x+3=的实数根的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4。

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。

二次函数的性质02（填空题）一．填空题（共21小题）1．（2015•泗洪县校级模拟）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．2．（2015•下城区二模）已知函数y=﹣与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P 的纵坐标为2，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为．3．（2015•玄武区一模）如图为函数：y=x2﹣1，y=x2+6x+8，y=x2﹣6x+8，y=x2﹣12x+35在同一平面直角坐标系中的图象，其中最有可能是y=x2﹣6x+8的图象的序号是．4．（2015•孝感三模）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围．5．（2015•长宁区二模）请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲线y=，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1=有一个正实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣（x﹣3）2+4=的根的情况（填写根的个数及正负）．6．（2015秋•无锡校级期中）若函数y=，则当函数值y=10时，自变量x=．7．（2015秋•岳池县期中）如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=2x2的图象，C2是函数y=﹣2x2的图象，则图中阴影部分的面积为．8．（2014•武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是．9．（2013秋•东海县校级期末）小张同学想用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图值所对应的x=．10．（2014春•乐清市校级月考）已知方程|x2﹣4x+1|=a有四个解，则a的取值范围是．11．（2013•甘肃模拟）在我们刚刚学过的九年级数学下册课本第11页，用“描点法”画某个y=．12．（2013•惠山区校级二模）已知函数，若使y=k成立的x的值恰好有一个，则k的取值范围是．13．（2013•余姚市校级模拟）函数y=b的图象与y=|x2﹣2x﹣1|的图象恰有三个交点，则b=．14．（2013秋•淳安县校级月考）在同一直角坐标系内直线y=x﹣1，双曲线，抛物线y=﹣2x2+12x﹣15这三个图象共有个交点．15．（2012•海门市校级自主招生）已知方程x3﹣6x﹣10=0有一根x0满足k＜x0＜k+1，k为正整数，则k=．的取值范围为．17．（2012•西湖区校级二模）函数y=kx+3﹣3k必过定点，若其与函数的交点恰好有2个，则k的值为．18．（2011•天水）抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．19．（2011•路南区一模）已知二次函数y=（x﹣3a）2﹣（3a+2）（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图中分别是当a=﹣1，a=﹣，a=1时二次函数的图象．则它们的顶点所满足的函数关系式为．20．（2011秋•越秀区期末）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是，方程x2+bx+c=0的解是．21．（2008•丹阳市校级模拟）已知抛物线y=x2﹣6x+5的部分图象如图，（1）当0≤x≤4时，y的取值范围是，（2）当0≤y≤5时，x的取值范围是，（3）当1≤x≤a时，﹣4≤y≤0，则a的取值范围是．。

高中数学二次函数的性质及相关题型解析二次函数是高中数学中的重要内容，它具有丰富的性质和广泛的应用。

本文将从二次函数的基本性质、图像特征、最值问题以及与实际问题的联系等方面进行详细解析，并通过具体的题目举例，说明每个题目的考点和解题技巧。

一、二次函数的基本性质1. 二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2. 二次函数的图像是抛物线，开口方向由a的正负确定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 二次函数的对称轴为直线x = -b/2a，抛物线关于对称轴对称。

4. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，即对称轴上的点。

5. 二次函数的零点即方程ax^2 + bx + c = 0的解，可以通过求根公式或配方法求得。

二、二次函数的图像特征1. 当a>0时，二次函数的图像在对称轴上有最小值，当a<0时，二次函数的图像在对称轴上有最大值。

2. 当a>0时，二次函数的图像在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数的图像在对称轴两侧递减。

3. 当二次函数的a的绝对值较大时，图像开口较为陡峭；当a的绝对值较小时，图像开口较为平缓。

三、二次函数的最值问题1. 最值问题是二次函数中常见的题型，可以通过求解最值来确定函数的最大值或最小值。

2. 当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。

3. 求解最值问题时，可以通过求对称轴上的函数值或利用二次函数的性质进行推导。

四、二次函数与实际问题的联系1. 二次函数在物理学、经济学等领域中具有广泛的应用，如抛物线的轨迹、物体的抛射运动等。

2. 实际问题中，可以通过建立二次函数模型来描述问题，并利用二次函数的性质进行求解。

3. 通过解析实际问题中的二次函数题目，可以帮助学生将数学知识与实际问题相结合，提高解题能力。

2019年深国交G1入学考试复习专题：二次函数的性质一．选择题（共16小题）1．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）3．若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y=ax2+bx4．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0）…求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称．根据现有信息，题中的二次函数5．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有（）6．已知二次函数y=2x2+bx+1（b为常数），当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），这条抛物线的解析式是（）x x7．二次函数y1=ax﹣x+1的图象与y2=﹣2x图象的形状，开口方向相同，只是位置不同，，﹣）（﹣，）（，）（，﹣）29．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2﹣y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）10．设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值11．已知二次函数y=x2﹣x+，当自变量x取m时，对应的函数值小于0，当自变量x取m12．任给一些不同的实数n，得到不同的抛物线y=2x2+n，如当n=0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，13．已知二次函数y=x2﹣m的图象与一次函数y=2x的图象有两个交点，则m的取值范围14．在y=x2□6x□9的空格中，任意填上“+”或“﹣”，可组成若干个不同的二次函数，其中其C D15．下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（）D16．已知二次函数y=x+bx+3，当x=﹣1时，y取得最小值，则这个二次函数图象的顶点二．填空题（共14小题）17．若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．18．已知二次函数y=x2﹣mx﹣1，当x＜4时，函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是．19．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=．20．若一抛物线开口方向、形状与y=﹣5x2+2相同，顶点坐标是（4，﹣2），则其解析式是．21．抛物线开口向下，则a=．22．二次函数y=x2﹣6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c=．2a≠0）中的x与y的部分对应值如表①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的结论是．24．关于x的不等式组有解，则关于x的二次函数y=ax2+（a+1）x+1的顶点所在象限是．25．已知二次函数y=x2﹣6x+9，当1≤x≤4时，y的取值范围为．26．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长=．。

二次函数图像和性质习题精选一．选择题（共30小题）2．B C D2．函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．B C D4．已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（），7．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）11．如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）16．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）17．下列图中阴影部分的面积相等的是（）（）21．已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）23．在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）2x，纵坐标y的对应值如下表：抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最25．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；228．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．30．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（）二次函数图像和性质习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）2．B C D2．（2014•北海）函数y=ax2+1与y=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）B C D．．B C D4．（2014•南昌）已知反比例函数y=的图象如图，则二次函数y=2kx2﹣4x+k2的图象大致为（）．B C D的图象经过二、四象限，∴=＜2a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．=1.56．（2014•广东）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）x=，，正确，故7．（2014•盘锦）如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c 的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）xxxx2）的顶点坐标为（﹣，，二次函数＜﹣＞﹣﹣＜﹣时，时，取得最大值210．（2013•南宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）11．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（﹣2，﹣1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）213．（2009•新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（）14．（2009•丽水）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=﹣1或x=3时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）15．（2009•南昌）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）16．（2008•仙桃）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为（）17．（2007•烟台）下列图中阴影部分的面积相等的是（）18．（2007•达州）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）220．（2009•塘沽区一模）下列表格给出的是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的几组对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一21．（2010•徐汇区一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）22．（2013•沙湾区模拟）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是（）23．（2012•北辰区一模）在﹣3≤x≤0范围内，二次函数（a≠0）的图象如图所示．在这个范围内，有结论：①y1有最大值1、没有最小值；②y1有最大值1、最小值﹣3；③函数值y1随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=2无解；⑤若y2=2x+4，则y1≤y2．其中正确的个数是（）由图可知，二次函数（，解得，y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：①抛物线的对称轴是x=1；②x＞1时，y的值随着x的增大而减小：③抛物线有最轴的两个交点三点为顶点的三角形的面积为25．（2010•河北）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（）26．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜﹣1或x＞3．其中，正确的说法有（）对称轴﹣228．如图，平行于y轴的直线l被抛物线y=0.5x2+1，y=0.5x2﹣1所截，当直线l向右平移3个单位时，直线l被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为（）平方单位．29．已知直线经过点A（0，2），B（2，0），点C在抛物线y=x2的图象上，则使得S△ABC=2的点有（）个．××=．距离为，，30．如图，已知抛物线，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②使得M大于3的x值不存在；③当x＜0时，x值越大，M值越小；④使得M=1的x 值是或．其中正确的是（）分析：若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＜﹣1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当﹣1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．解答：解：∵当y1=y2时，即﹣3x2+3=3x+3时，解得：x=0或x=﹣1，∴当x＜﹣1时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当﹣1＜x＜0时，y1＞y2；当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=﹣3x2+3，直线y2=3x+3，与y轴交点坐标为：（0，3），当x=0时，M=3，抛物线y1=﹣3x2+3，最大值为3，故M大于3的x值不存在；∴使得M大于3的x值不存在，∴②正确；∵抛物线y1=﹣3x2+3，直线y2=3x+3，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴③错误；∵如图：当﹣1＜x＜0时，y1＞y2；∴使得M=1时，y2=3x+3=1，解得：x=﹣；当x＞0时，y2＞y1，使得M=1时，即y1=﹣3x2+3=1，解得：x1=，x2=﹣（舍去），∴使得M=1的x值是或．∴④正确；故选B．点评：本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．资料赠送以下资料考试知识点技巧大全一、考试中途应饮葡萄糖水大脑是记忆的场所，脑中有数亿个神经细胞在不停地进行着繁重的活动,大脑细胞活动需要大量能量。

二次函数性质应用（讲义）一、知识点睛1．图象平移解题思路①口诀：_____________________；②_______________． 图象对称、旋转可转化为______________来处理．2．方程的根可用__________求解，与两个函数图象的______相对应．3．函数值的大小、最值、需结合______求解，常利用________．4． a 、b 、c 组合判断：①判断a 、b 、c 符号，对称轴，判别式等；②找____________函数值；③等式和不等式________．二、精讲精练1.把抛物线2y x bx c =++的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的关系式为245y x x =-+，则有（ ）A ．b =-10，c =24B ．b =2，c =4C ．b =-10，c =28D ．b =2，c =02.在平面直角坐标系中，将抛物线26y x x =--向上（下）或向左（右）平移了m 个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则||m 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．63.在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++4.如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数=k y x-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程2++0k ax bx x =的解为 _____________．若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．5.已知二次函数2()1()y x m n x mn m n =-+++<的图象交x 轴于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为______________________．6.已知函数22(2) 4 (5)=(8) 4 (5)x x y x x ⎧--≤⎪⎨-->⎪⎩，且使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67.如图是二次函数2+y ax bx c =+的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集是（ ）A ．1<<5x -B ．>5xC ．<1>5x x -且D ．<1>5x x -或8.已知二次函数215y x x =-+-，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1、m +1时，对应的函数值分别为1y 、2y ，则1y 、2y 满足（ ）A ．10y >，20y >B ．10y <，20y <C ．10y <，20y >D ．10y >，20y < P Ox y -3-1432y xO 59.函数2y x x m =-+（m >0）的图象如图所示，如果x a =时0y <，那么1x a =-时，函数值（ ）A ．0y <B ．0y m <<C ．y m >D ．y m = 10.A 1(2)y -，、B 2(1)y ，、C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（ ）A ．213y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 11.已知二次函数y =x 2-4x -3，若16x -≤≤，则y 的取值范围是 ，若-3≤ x <4，则y 的取值范围是 ， 若-2<x ≤1，则y 的取值范围是__________________．12.已知二次函数2248y x mx m =-+-，若2x ≥时，函数值y 随x的增大而增大，则m 的取值范围是_____________，若x ≤1时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是_______．13.y=x 2+(1-a )x +1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围是1 ≤ x ≤ 3时，y 在x =1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a =5B ．a ≥ 5C ．a =3D ．a ≥ 314.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②2a -b =0；③b 2-4ac ＞0；④a -b +c <0；⑤9a +3b +c >0；⑥8a +c ＞0；⑦2c >3b ；⑧a +b ＜m (am +b )（m 为实数，且m ≠1）．其中正确的是______________．x 2x 1yx O y O x-1-2x =115.已知二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象与x 轴交于(-2，0)、1(0)x ，两点，且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在(02)，的下方．有下列结论：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③4a -2b +c =0；④a ＜b ＜0；⑤2a +c ＞0；⑥2a -b +1＞0．其中正确的是__________________．16.已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③a -b +c =2；④a +b ＜m (am +b )（m 为实数，且m ≠1）；⑤(a +c )2＜b 2；⑥b =1；⑦a ＞1．其中正确的是_______________．2-11O xy三、回顾与思考____________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________【参考答案】一、 知识点睛1． 左加右减，上加下减；点的坐标；点的坐标2． 数形结合；交点3． 图象；对称轴4． 特殊点；组合二、精讲精练1. B 2．B 3．C 4．143x =-； 3m ≤ 5．12m x x n <<< 6．C 7．D 8．B9．C 10．A 11．79y -≤≤；718y -≤≤；69y -≤<12．2m ≤；1m ≥ 13．B 14．①③④⑥⑧15．②③④⑤⑥ 16．①③⑦。

一、选择题1．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点()30A -,，对称轴为1x =-，给出下面四个结论：①24b ac >；②21a b -=；③0a b c -+=；④若0y >，则()3,1x ∈-.其中正确的是（ ） A ．①④B ．②④C ．①③D ．①②③2．已知函数()31,03,0x x x f x e x ⎧<⎪=⎨⎪≥⎩，则()()232f x f x ->的解集为（ ）A ．()(),31,-∞-⋃+∞B ．()3,1-C ．()(),13,-∞-+∞D ．()1,3-3．已知,a t 为正实数，函数()22f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（ ） A ．2B ∈B ．12B ∉C ．3B ∈D ．13B ∉4．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞5．已知定义在R 上的函数()2||·x f x x e =， (5a f log =， 312b f log ⎛=⎫ ⎪⎝⎭，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>6．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12log x )的定义域为（ ）A ．[]1,4B ．[]4,16C ．[]1,2D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ） A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14， 8．若函数2()34f x x x =--的定义域为[]0m ，，值域为2544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，则m 的取值范围是（ ） A ．3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,4D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．已知函数log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ）A ．1B ．0C ．-1D ．a10．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )A ．()()2,02,∞-⋃+B ．()(),22,∞∞--⋃+C ．()(),20,2∞--⋃D ．()()2,00,2-⋃11．已知函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4x <时，1f x f x =+（）（），则22log 3f +（）=A ．124 B ．112C ．18D ．3812．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 二、填空题13．关于函数()11f x x =+-的性质描述，正确的是_________.①()f x 的定义域为[-1，0)∪(0，1]； ②()f x 的值域为R ； ③在定义域上是减函数； ④()f x 的图象关于原点对称.14．若函数()()21,f x ax bx a b =++∈R 满足:()()123f x f x x +-=+.设()f x 在[](),2t t t R +∈上的最小值为()g t ，则()g t =____.15．已知定义在 +R 上的函数 ()f x 同时满足下列三个条件：① ()31f =-；②对任意 x y +∈R ， 都有 ()()()f xy f x f y =+；③ 1x > 时 ()0f x <，则不等式 ()()612f x f x <-- 的解集为___________．16．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：()()14f x f x +=，当(]0,2x ∈时，()2x f x =，则()2019f =_____．17．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.18．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .19．已知函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.20．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________．三、解答题21．已知函数2()f x x bx c =++的图象经过坐标原点，且()1y f x =+为偶函数． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤；（3）记函数|()2|y f x x m =--在区间[]0,4的最大值为()G m ，直接写出()G m 的最小值．22．定义：满足()f x x =的实数x 为函数()f x 的“不动点”，已知二次函数()()20f x ax bx a =+≠，()1f x +为偶函数，且()f x 有且仅有一个“不动点”．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[](),m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ？若存在，请求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，且函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）已知2t <，()()213g x f x x x ⎡⎤=--⋅⎣⎦，求函数()g x 在区间[],2t 上的最大值和最小值；24．已知函数12()12x xa f x -⋅=+是R 上的奇函数(a 为常数)，()22.g x x x m m R =-∈+， （1）求实数a 的值；（2）若对任意12[]1x -∈，，总存在2]3[0x ∈，，使得12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围.25．已知函数()81f x x =- （1）求函数()f x 的定义域并求()2f -，()6f ；（2）已知()4211f a a+=+，求a 的值.26．已知函数()f x =+ （1）求()f x 的定义域和值域； （2）设()h x =231()42h x m am ≤-对于任意[1,1]x ∈-及任意[1,1]a ∈-都恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点，可判定①正确；由对称轴方程为12bx a=-=-，可判定②不正确；由()10f ->，可判定③不正确；由根据函数的对称性和(3)0f -=，可判定④正确. 【详解】由函数2y ax bx c =++的图象，可得函数的图象开口向下，与x 轴有两个交点， 所以0a <，240b ac ∆=->，所以①正确； 由对称轴方程为12bx a=-=-，可得2a b =，所以20a b -=，所以②不正确； 由()10f ->，可得0a b c -+>，所以③不正确； 由图象可得(3)0f -=，根据函数的对称性，可得()10f =， 所以0y >，可得31x -<<，所以④正确. 故选：A. 【点睛】识别二次函数的图象应用学会“三看”：一看符号：看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向； 二看对称轴：看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三看特殊点：看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点、函数图象的最高点或最低点等.2．B解析：B 【分析】先分析分段函数的单调性，然后根据单调性将关于函数值的不等式转化为关于自变量的不等式，从而求解出解集. 【详解】 因为313y x =在R 上单调递增，所以313y x =在(),0-∞上单调递增， 又因为xy e =在R 上单调递增，所以xy e =在[)0,+∞上单调递增，且0311003e =>=⋅，所以()f x 在R 上单调递增， 又因为()()232f x f x ->，所以232xx ->，解得()3,1x ∈-，故选：B. 【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解求解关于函数值的不等式的思路： （1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域； （3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.3．A解析：A 【分析】根据函数的特征，要对t 进行分类讨论，求出t 的最大值，再根据a 是正实数，求出()g a 的值域即可判断答案． 【详解】 解：2()2f x x x a =-+∴函数()f x 的图象开口向上，对称轴为1x =①01t <时，()f x 在[0，]t 上为减函数，()(0)max f x f a ==，2()()2min f x f t t t a ==-+ 对任意的[0x ∈，]t ，都有()[f x a ∈-，]a ． 22a t t a ∴-≤-+，即2220t t a -+≥，当()()22424120a a ∆=--⨯=-≤，即12a ≥时，01t <，当()()22424120a a ∆=--⨯=->，即102a <<时，11t ≤ ②1t >时，()f x 在[0，1]上为减函数，在[1，]t 上为增函数，则()()11min f x f a a ==-≥-，2(){(0),()}{,2}max f x max f f t max a t t a a ==-+≤，12a ∴≥，且22t t a a -+，即12t < t 的最大值为()g a综上可得，当12a ≥时(]0,2t ∈ 当102a <<时，()0,1t ∈ ∴函数()g a 的值域为(]0,2故选：A ． 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．4．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞） 故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.5．A解析：A 【分析】可看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，且得出3(log 2)b f =，并且可得出33ln 3log 5log 2>，根据增函数的定义即可得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】0x >时，2()x f x x e =是增函数，且()()f x f x -=，33(log 2)(log 2)b f f ∴=-=，33330log 1log 2log 5log 31=<<<=，ln3ln 1e >=，∴33ln 3log 5log 2>>，∴33(ln 3)(log (log 2)f f f >>，c a b ∴>>． 故选：A ． 【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．D解析：D 【分析】根据复合含定义域的求法，令121log 2x ≤≤，求函数的定义域.【详解】函数()y f x =的定义域为[]1,2，12log y f x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭的定义域，令121log 2x ≤≤，解得：1142x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.7．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-，解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.8．B解析：B 【分析】求出(0)4f =-，再计算出最小值为32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后求出()4f m =-的值后可得m 的范围． 【详解】2325()24f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()f x 在3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， (0)4f =-，又32524f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以32m ≥，由2()344f m m m =--=-解得0m =或3m =，因此332m ≤≤． 故选：B ． 【点睛】方程点睛：本题考查二次函数的性质，掌握其对称轴、单调性是解题关键．由此可得二次函数2()f x ax bx c =++在区间[,]m n 上的最值求法： 设0a >，函数的对称轴0x x =（02bx a=-）， 当0x m <时，min ()()f x f m =，0m x n ≤≤时，min 0()()f x f x =，0x n >时，min ()()f x f n =，当02m n x +≤时，max ()()f x f n =，当02m nx +>时，max ()()f x f m =． 0a <类似讨论．9．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】因为log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩，所以11(1)f aa--==， 所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.10．A解析：A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．11．A解析：A 【分析】根据232log 34<+<，()()222log 33log 3f f +=+可得，又有23log 34+> 知，符合4?x >时的解析式，代入即得结果. 【详解】因为函数f x （）满足当4x ≥时，f x （）=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4x <时，1f x f x =+（）（），所()()()()22222log 3log 121log 12log 24f f f f +==+=以=21log 242=124，故选A ． 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、对数的运算法则，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.12．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；二、填空题13．①②④【分析】求出函数的定义域值域判断①②根据单调性的定义判断③根据奇偶性的定义与性质判断④【详解】函数满足解得或故函数的定义域为故①正确当时当时所以函数值域为故②正确③虽然时函数单调递减当时函数单解析：①②④ 【分析】求出函数的定义域，值域判断①②，根据单调性的定义判断③，根据奇偶性的定义与性质判断④． 【详解】函数()f x =21011x x ⎧-⎪⎨+≠⎪⎩，解得10x -<或01x <，故函数的定义域为[1-，0)(0⋃，1]．故①正确．当[1x ∈-，0)时(][)(]2211,(),00,1x f x x ∈+∞⇒===-∞∈⇒， 当(0x ∈，1]时，(][)220,,111x x ∈∈⇒+∞⇒()[0f x ===，)+∞，所以函数值域为R ，故②正确．③虽然[1x ∈-，0)时，函数单调递减，当(0x ∈，1]时，函数单调递减，但在定义域上不是减函数，故③错误．④由于定义域为[1-，0)(0⋃，1]，()11f x x x==+-，则()()f x f x -=-，()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故④正确．故答案为：①②④． 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、值域、函数的定义域与对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.14．【分析】根据题意求得ab 的值可得的解析式分别讨论三种情况结合二次函数图像与性质即可求得结果【详解】由题意得：所以所以解得所以为开口向上对称轴为的抛物线当即时在上单调递减所以当即时在上单调递减在上单调解析：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【分析】根据题意，求得a ，b 的值，可得()f x 的解析式，分别讨论3t <-，31t -≤≤-，1t >-三种情况，结合二次函数图像与性质，即可求得结果. 【详解】由题意得：22(1)(1)(1)121f x a x b x ax a ax bx b +=++++=+++++，所以()()222111223ax a ax bx b ax bx ax a f b x x x f +++++---=++=-=++，所以223ax x a b =⎧⎨+=⎩，解得1,2a b ==，所以22()21(1)f x x x x =++=+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线， 当21t +<-，即3t <-时，()f x 在[],2t t +上单调递减，所以2()(2)(3)g t f t t =+=+，当12t t ≤-≤+，即31t -≤≤-时，()f x 在[,1)t -上单调递减，在[1,2]t -+上单调递增，所以()(1)0g t f =-=；当1t >-时，()f x 在[],2t t +上单调递增，所以2()()(1)g t f t t ==+，综上：22(3),3()0,31(1),1t t g t t t t ⎧+<-⎪=-≤≤-⎨⎪+>-⎩故答案为：22(3),30,31(1),1t t t t t ⎧+<-⎪-≤≤-⎨⎪+>-⎩【点睛】求二次函数在区间[,]a b 上最值时，一般用分类讨论的方法求解，讨论对称轴位于区间的左右两侧，位于区间内，再根据二次函数图像与性质，求解即可，考查分析求解的能力，属中档题.15．【分析】用赋值法由已知得到把转化为即再用定义法证明在上为减函数利用单调性可得答案【详解】因为对任意有令得所以令则所以可等价转化为即设当时则所以所以在上为减函数故由得得又所以原不等式的解集为故答案为：解析：()13， 【分析】用赋值法由已知得到()()()9332f f f =+=-，把()()612f x f x <--转化为()()61(9)f x f x f <-+，即()()699f x f x <-，再用定义法证明()f x 在(0,)+∞上为减函数，利用单调性可得答案. 【详解】因为对任意12,(0,)x x ∈+∞，有()()()f xy f x f y =+，令x y ==fff=+，得()231ff ==-，所以12f =-，令3x y ==，则()()()9332f f f =+=-，所以()()612f x f x <--可等价转化为()()61(9)f x f x f <-+， 即()()699f x f x <-，设120x x <<，12,(0,)x x ∈+∞，当1x > 时 ()0f x <，则()()()22211111·x x f x f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫==+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12()f x f x >，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，故由()()699f x f x <-， 得699x x >-，得3x <，又1x >，所以原不等式的解集为(1,3). 故答案为：（1,3） 【点睛】 思路点睛：确定抽象函数单调性解函数不等式的基本思路： 第一步(定性)确定函数在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步(转化)将函数不等式转化为不等式类似()()f M f N <等形式；第三步(去)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号f “”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步(求解)解不等式或不等式组确定解集.16．【分析】根据条件判断函数的周期性利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化求解即可【详解】得即函数是周期为8的周期函数故答案为【点睛】本题主要考查函数值的计算结合条件求出函数的周期是解决本题的关键形如或的解析：12【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化求解即可． 【详解】()()14f x f x +=得()()()184f x f x f x +==+，即函数()f x 是周期为8的周期函数，()()()()()()111201925283314112f f f f f f =⨯+==-+===-， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合条件求出函数的周期是解决本题的关键．形如()()f a x f a x +=-，或()()2f x f x a -=+的条件，说明的都是函数()f x 图像关于x a =对称.形如()()f x a f x a +=-，或()()f x a f x +=-的条件，说明的是函数()f x 是周期为2a 的周期函数.17．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三解析：7 【分析】根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案． 【详解】由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况； 若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况； 若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况． 综上知，函数的值域的不同情况有7种． 故答案为7． 【点睛】本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．18．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析：7 【解析】由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =, 从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=,从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.19．2【分析】由函数是幂函数求得或结合幂函数的性质即可求解【详解】由题意函数是幂函数可得即解得或当时函数此时在上单调递增符合题意；当时函数此时在上单调递减不符合题意故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数解析：2 【分析】由函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，求得2m =或1m =-，结合幂函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数()2(1)mf x m m x =--是幂函数，可得211m m --=，即220m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，函数()2f x x =，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增，符合题意；当1m =-时，函数()1f x x -=，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及图像与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的定义，结合幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键，着重考查运算能力.20．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③解析：②③ 【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】命题①：对于函数4()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可能相等，也可能互为相反数，即4()f x x =不是单函数，故①错误；命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,a a ，则()()12f a f a ==，根据单函数定义，可得12a a ==，又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确； 命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.三、解答题21．（1）2()2f x x x =-；（2）证明见解析；（3）,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩，()G m 的最小值为2． 【分析】（1）由题意得，(0)0f =，再由偶函数的图象关于y 轴对称，求得,b c ，可得出函数的解析式；（2）原问题等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，求得()2f x x -的范围，即可得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，讨论m 的大小并结合二次函数的图象进行分析； 【详解】（1）由题意得，(0)0f =，即0c，所以2()f x x bx =+，()22+2+++(+1)(+1)(1+1)f x x b x x b x b =+=，因为()1y f x =+为偶函数，所以202b+-=，即2b =-， 所以2()2f x x x =-；（2）对于任意的[0,4]x ∈，总有24()2x f x x -≤≤等价于对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，令222()224(2)4g x x x x x x x =--=-=--，则当[][]0,4,()4,0x g x ∈∈-，即对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，故得证；（3）2|(2)4||()2|y f x x x m m =----=-，当4m ≤-时，由（2），因为对于任意的[0,4]x ∈，总有4()20f x x -≤-≤，则此时2(2)40x m ---≥，即有2(2)4,y x m =---，故0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-；当42m -<<-时，如图，由图，可得此时在0x =或4时，y 有最大值，即()G m m =-； 当2m ≥-时，如图或，由图，可得此时在2x =时，y 有最大值，即()4G m m =--，综上,2()4,2m m G m m m -<-⎧=⎨--≥-⎩；当2m <-时，()2G m >，当2m ≥-时，()2G m ≥，故()G m 的最小值为2． 【点睛】方法点睛：解决关于二次函数在某区间上的值域时，注意讨论二次函数的对称轴与区间的位置关系，再根据二次函数的单调性得出最值. 22．（1）21()2f x x x =-+（2）3,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）4,0m n =-=，证明见解析 【分析】（1）根据二次函数的对称性求出2b a =-，再将()f x 有且仅有一个“不动点转化为方程()f x x =有且仅有一个解，从而得出()f x 的解析式；（2）当102k -=时，由一次含函数的性质得出12k =满足题意，当102k -≠时，讨论二次函数()g x 的开口方向，根据单调性确定112x k=-与区间()0,4端点的大小关系得出实数k 的取值范围； （3）由2111()(1)222f x x =--+得出16m n <，结合二次函数的单调性确定()f x 在区间[],m n 上是增函数，从而得出()3()3f m m f n n=⎧⎨=⎩，再解方程2132x x x -+=得出m ，n 的值. 【详解】 （1）22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++为偶函数20,22a bb a a+∴=∴=-- 2()2f x ax ax ∴=-f x 有且仅有一个“不动点”∴方程()f x x =有且仅有一个解，即[](21)0ax x a -+=有且仅有一个解211210,,()22a a f x x x ∴+==-=-+（2）221()()2g x f x kx k x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，其对称轴为112x k=- 函数()()2g x f x kx =+在()0,4上单调递增∴当12k <时，1412k -，解得3182k < 当12k =时，()g x x =符合题意 当12k >时，1012k<-恒成立 综上，3,8k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（3）221111()(1)2222f x x x x =-+=--+ f x 在区间[],m n 上的值域为[]3,3m n ，113,26nn ∴，故16m n < ()f x ∴在区间[],m n 上是增函数()3()3f m m f n n =⎧∴⎨=⎩，即22132132m m m n n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩∴,m n 是方程2132x x x -+=的两根，解得0x =或4x =-4,0m n ∴=-=【点睛】关键点睛：已知函数21()2g x k x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在具体区间上的单调性求参数k 的范围时，关键是讨论二次项系数的值，结合二次函数的单调性确定参数k 的范围. 23．（1）()211f x x x =++；（2）见详解.【分析】（1）根据二次函数过点()1,13，得到12b c +=，根据函数奇偶性，得到()y f x =关于直线12x =-对称，求出b ，得出c ，即可得出函数解析式；（2）先由（1）得到()222,02,0x x x g x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩，分别讨论12t ≤<，01t ≤<，10t ≤<，1t <四种情况，结合二次函数的性质，即可求出最值. 【详解】（1）因为二次函数()2f x x bx c =++的图象经过点()1,13，所以131b c =++，即12b c +=①； 又函数12y f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭是偶函数，所以12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭关于y 轴对称，因此()y f x =关于直线12x =-对称；所以122b -=-，即1b =，代入①式可得11c =， 所以()211f x x x =++； （2）由（1）()211f x x x =++，所以()()()22222,0111322,0x x x g x x x x x x x x x x ⎧-≥=++--⋅=-⋅=⎨-+<⎩，因为()11g =-，当0x <时，由221x x -+=-解得1x = 因为[],2x t ∈，所以当12t ≤<时，()22g x x x =-在[],2t 上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-；当01t ≤<时，()22g x x x =-在(),1t 上单调递减，在()1,2上单调递增；所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当10t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，则(()()()1100g g t g x g -=≤≤<=； []0,2x ∈时，()22g x x x =-在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递增，所以()()()[]1,21,0g x g g ∈=-⎡⎤⎣⎦，所以()()max 20g x g ==，()()min 11g x g ==-；当1t <时，因为0x <时，()22g x x x =-+在[),0t 上单调递增，所以()(()()1100g t g g x g <-=-≤<<；[]0,2x ∈时，()[]221,0g x x x =-∈-， 所以()()max 20g x g ==，()()2min 2g x g t t t ==-+； 综上，函数()g x 在区间[],2t 上的最大值()()max 20g x g ==，最小值为()2min 22,11,112,12t t t g x t t t t ⎧-+<⎪⎪=--≤<⎨⎪-≤<⎪⎩. 【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：（1）轴定区间定；（2）轴动区间定；（3）轴定区间动；不论哪种类型，解题时，都是讨论对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.24．（1）1；（2）82[,]35-.【分析】（1）()f x 为R 上的奇函数，由()00f =得解；（2）由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立”得到等价命题是 “()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集”，分别求出两个函数的值域得解.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，即102a -=，解得1a = （2）因为[]20,3x ∈，且()g x 在[]0,1上是减函数，在[]1,3上为增函数所以()g x 在[]0,3上的取值集合为[]1,3m m -+. 由122()11221x x x f x -==-+++得()f x 是减函数， 所以()f x 在[]1,2-上是减函数所以()f x 在[]1,2-上的取值集合为31[,]53-.由“任意[]11,2x ∈-，总存在[]20,3x ∈，使得()()12f x g x =成立”()f x 在[]1,2-上的取值集合是()g x 在[]0,3上的取值集合的子集， 即[]31[,]1,353m m -⊆-+. 则有315m -≤-，且133m +≥，解得：8235m -≤≤. 即实数m 的取值范围是82[,]35-.【点睛】探讨方程()()0f x g m -=解的存在性，通常可将方程转化为()()f x g m =，通过确认函数()f x 或()g m 的值域，从而确定参数或变量的范围；类似的，对于不等式()()0(0)f x g m -≥≤，也可仿效此法．25．（1）{|3x x ≥-且}1x ≠，()523f -=-，()2365f =；（2）23-. 【分析】 （1）要使解析式有意义可得1030x x -≠⎧⎨+≥⎩，解不等式组，即可得答案；（2）求出()21f a +的表达式，进而得到方程441a a=+，即可得答案； 【详解】 （1）由1030x x -≠⎧⎨+≥⎩解得13x x ≠⎧⎨≥-⎩， ∴函数()f x 的定义域为{|3x x ≥-且}1x ≠，∴()523f -=-，()2365f =.（2）()4211f a a +=+，∴441a a+=+， 23a ∴=-. 【点睛】函数的定义域是指使得解析式有意义的自变量的取值的集合，注意要写成集合或区间的形式.26．（1）定义域为[1,1]-，值域为2]（2）1m ≤-或1m ≥【分析】（1）由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩可得定义域，先求出2()f x 的值域，再开方求出()f x 的值域；（2）换元，令t =2]∈，根据对勾函数的单调性求出2()()4t h x g t t ==+的最大值，则不等式转化为21310244am m -+-≥对任意[1,1]a ∈-都恒成立，利用一次函数的图象列式可解得结果.【详解】 （1）由函数有意义得1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤， 所以函数()f x 的定义域为[1,1]-，因为22()2f x ==+[2,4]∈，又()0f x ≥，所以()2]f x ∈.（2）()h x ==令t =2]∈，则22t =-， 所以2()()4t h x g t t ==+14t t=+， 因为()g t在2]上递增，所以当2t =时，()g t 取得最大值221(2)244g ==+，即max 1()4h x =， 所以不等式231()42h x m am ≤-对于任意[1,1]x ∈-恒成立，转化为2311424m am -≥对任意[1,1]a ∈-都恒成立，即21310244am m -+-≥对任意[1,1]a ∈-都恒成立， 所以2213102441310244m m m m ⎧+-≥⎪⎪⎨⎪-+-≥⎪⎩，即2232103210m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩，解得113113m m m m ⎧≤-≥⎪⎪⎨⎪≤-≥⎪⎩或或， 所以1m ≤-或1m ≥.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；。

课时训练(十四)二次函数的图象与性质(一)(限时:50分钟)|考场过关|1.抛物线y=x2,y=x2,y=-x2的共同性质是:①都是开口向上;②都以点(0,0)为顶点;③都以y轴为对称轴;④都关于x轴对称.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.点P1(-1,y1),P2(3,y2),P3(5,y3)均在二次函数y=-x2+2x+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y3>y2>y1B.y3>y1=y2C.y1>y2>y3D.y1=y2>y33.[2018·山西]用配方法将二次函数y=x2-8x-9化为y=a(x-h)2+k的形式为()A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2-254.[2018·岳阳]在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=(x>0)的图象如图K14-1所示,若两个函数图象上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令ω=x1+x2+x3,则ω的值为()图K14-1A.1B.mC.m2D.5.[2017·枣庄]已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是()A.当a=1时,函数图象经过点(-1,0)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a<0,函数图象的顶点始终在x轴的下方D.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大6.[2018·黄冈]当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或27.[2018·乐山]二次函数y=x2+(a-2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点,则实数a的取值范围是()A.a=3±2B.-1≤a<2C.a=3±2或-≤a<2D.a=3-2或-1≤a<-8.若二次函数y=x2+mx+1图象的对称轴是直线x=1,则m=.9.已知抛物线y=ax(x+4)经过点A(5,9)和点B(m,9),那么m=.10.[2018·镇江]已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是.11.如图K14-2,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中点A(-1,0),点C(0,5),点D(1,8)都在抛物线上,M为抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数解析式;(2)求直线CM的解析式;(3)连接MB,求△MCB的面积.图K14-2|能力提升|12.已知:如图K14-3,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出A,B,C三点的坐标,并求抛物线的解析式;(3)若点P在抛物线对称轴上,且P A=PB,求P点的坐标.图K14-3|思维拓展|13.如图K14-4,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且A(-1,0).(1)求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标;(2)判断△ABC的形状,并证明你的结论;(3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当CM+DM取得最小值时,求m的值.图K14-4参考答案1.B2.D3.B[解析] y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25.4.D[解析] 根据题意可得A,B,C三点有两个在二次函数图象上,一个在反比例函数图象上,不妨设A,B两点在二次函数图象上,点C在反比例函数图象上,∵二次函数y=x2图象的对称轴是y轴,∴x1+x2=0.∵点C在反比例函数y=(x>0)图象上,∴x3=,∴ω=x1+x2+x3=.故选D.5.D[解析] A.当a=1时,函数解析式为y=x2-2x-1,当x=-1时,y=1+2-1=2,∴当a=1时,函数图象经过点(-1,2),∴A选项不符合题意;B.当a=-2时,函数解析式为y=-2x2+4x-1,令y=-2x2+4x-1=0,则Δ=42-4×(-2)×(-1)=8>0,∴当a=-2时,函数图象与x轴有两个不同的交点,∴B选项不符合题意; C.∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,∴二次函数图象的顶点坐标为(1,-1-a),当-1-a<0时,有a>-1,∴C选项不符合题意;D.∵y=ax2-2ax-1=a(x-1)2-1-a,∴二次函数图象的对称轴为直线x=1.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而增大,∴D选项符合题意.故选D.6.D[解析] y=x2-2x+1=(x-1)2,该函数在实数范围内最小值为0,但题中说当a≤x≤a+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,因此,当x=a或x=a+1时,函数值为1,令y=1,可得x1=0,x2=2,再由该函数的增减性可知a+1=0,或a=2,即a=-1或2,故选D.7.D[解析]∵二次函数y=x2+(a-2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点,∴有两种可能:其一是抛物线与直线正好相切(说明:抛物线在直线上方,且有且仅有一个交点,记为切点),且切点在1≤x≤2之间,故联立,得∴x2+(a-3)x+3=0,∵直线与抛物线相切,∴Δ=0,∴(a-3)2-12=0,解得a=3±2,又当a=3+2时,x=-,不在1≤x≤2这个范围内,故舍去,故此时a=3-2(经验证,符合);其二是抛物线与直线y=x相交,则它们有两个交点,但仅有一个交点的横坐标在1≤x≤2内,故我们可以用放缩法来确定范围,当x=1时,y=1;当x=2时,y=2,我们不妨让二次函数y=x2+(a-2)x+3的图象过(1,1)和(2,2)这两个点,则可计算出a=-1和a=-,当a=-1时,交点为(1,1)和(3,3),符合题意.当a=-时,交点为(2,2)和(,),不符合题意.故当-1≤a<-时,二次函数y=x2+(a-2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点.故答案为D.8.-29.-910.k<4[解析] ∵二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,∴二次函数y=x2-4x+k的图象与x轴有两个公共点.∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0.解得k<4.11.解:(1)根据题意,得解得∴二次函数解析式为y=-x2+4x+5.(2)y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,则M点坐标为(2,9),设直线MC的解析式为y=mx+n, 把M(2,9)和C(0,5)代入,得解得∴直线CM的解析式为y=2x+5.(3)把y=0代入y=2x+5,得2x+5=0,解得x=-,∴直线CM与x轴的交点E的坐标为-,0,把y=0代入y=-x2+4x+5得-x2+4x+5=0,解得x1=-1,x2=5,∴B(5,0),∴S△MCB=S△MBE-S△CBE=××9-××5=15.12.解:(1)∵对称轴为直线x=-=2.5,∴抛物线的对称轴是直线x=2.5.(2)令x=0,则y=4,∴点C的坐标为(0,4),又BC∥x轴,点B,C关于对称轴对称,∴点B的坐标为(5,4),由AC=BC=5,点A在x轴上,OA=3(易求),∴点A的坐标为(-3,0),∵抛物线过点A,∴9a+15a+4=0,a=-,∴抛物线的解析式是y=-x2+x+4.(3)设P点坐标为(2.5,m),由P A=PB,∴P A2=PB2,∴5.52+m2=2.52+(4-m)2,∴m=-1,∴P点坐标为(2.5,-1).13.解:(1)∵点A(-1,0)在抛物线y=x2+bx-2上,∴×(-1)2+b×(-1)-2=0,解得b=-,∴抛物线的函数表达式为y=x2-x-2.∵y=x2-x-2=(x2-3x-4)=x-2-,∴顶点D的坐标为,-.(2)△ABC是直角三角形.证明:当x=0时,y=-2,∴C(0,-2),OC=2.当y=0时,x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=4,∴B(4,0),∴OA=1,OB=4,AB=5.∵AB2=25,AC2=OA2+OC2=5,BC2=OC2+OB2=20,∴AC2+B C2=AB2,∴△ABC是直角三角形.(3)作点C关于x轴的对称点C',则C'(0,2),OC'=2,连接C'D交x轴于点M,根据对称性及两点之间线段最短可知,此时CM+DM的值最小.解法一:设抛物线的对称轴交x轴于点E.∵ED∥y轴,∴∠OC'M=∠EDM,又∠C'OM=∠DEM=90°,∴△C'OM∽△DEM,∴=,即=,∴m=.解法二:设直线C'D的函数表达式为y=kx+n,则解得∴直线C'D的函数表达式为y=-x+2.当y=0时,-x+2=0,解得x=.∴m=.。