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第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．。
第六章 数列 6.2 等差数列及其前n 项和1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n a 1＋a n2或S n ＝na 1＋n n －12d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数). 7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1.(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1＝. 答案 35解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －6a 1＋15d ＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9， 解得a 1＝35.2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，则这五个数的积为.答案 －3581解析 设第三个数为a ，公差为d ，则这五个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，a －2d 2＋a －d 2＋a 2＋a ＋d 2＋a ＋2d 2＝859，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23.所求5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.故它们的积为－3581.3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝. 答案 98解析 由等差数列性质，知S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98.4.设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝. 答案 28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝时，{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)(2016·)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝. (2)(2016·某某、宿迁模拟)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为.答案 (1)6 (2)179解析 (1)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2.∴S 6＝6×6＋6×6－12×(－2)＝6. (2)设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3 得5a 1＋10d3a 1＋3d＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2016·某某)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是. 答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝－4，从而a 9＝a 1＋8d ＝20.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数.所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为.(2)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，若前5项的和S 5＝5，则其公差为. 答案 (1)a n ＝1n(2)2解析 (1)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n}是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n ，即a n ＝1n.(2)因为a 4＋a 6＝10，所以2a 5＝10， 则a 5＝5，又S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3＝5，故a 3＝1，从而2d ＝a 5－a 3＝4，故d ＝2.(3)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式.①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列. ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑nk ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1 (2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·某某)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝. 答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值为.答案 (1)114 (2)－2 018解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)， 解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)， 即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)， 解得S 12＝114.(2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1， ∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝.(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝.答案 (1)88 (2)3727解析 (1)S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝。
§6.2 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2，n ∈N *)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)． (2)等差中项若三个数，a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．微思考1．等差数列的前n 项和S n 是项数n 的二次函数吗？提示 不一定．当公差d ＝0时，S n ＝na 1，不是关于n 的二次函数．2．若数列的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？ 提示 不一定．当C ＝0时是等差数列.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ )(4)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二 教材改编2．已知在等差数列{a n }中，a 2＝－3，a 3＝－5，则a 9＝________. 答案 －17解析 d ＝a 3－a 2＝－2，∴a 9＝a 3＋6d ＝－5＋6×(－2)＝－17. 3．已知在等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝20，a 7＝12，则d ＝________. 答案 2解析 ∵a 4＋a 8＝20，∴a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝20， 即a 1＋5d ＝10，① a 7＝a 1＋6d ＝12，② ②－①得d ＝2.4．已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝2，且S 6＝30，则S 9＝________. 答案 126解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝2，2a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴S 9＝9a 1＋9×82d ＝－90＋36×6＝126.题组三 易错自纠5．(多选)设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 答案 ABD解析 S 6＝S 5＋a 6>S 5，则a 6>0，S 7＝S 6＋a 7＝S 6，则a 7＝0，则d ＝a 7－a 6<0，S 8＝S 7＋a 8<S 7，a 8<0，则a 9<0，又a 6＋a 8＝a 5＋a 9＝2a 7＝0，∴S 5>S 9，由a 7＝0，a 6>0知S 6，S 7是S n 中的最大值． 从而ABD 均正确．6．在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________． 答案 5或6解析 ∵|a 3|＝|a 9|，∴|a 1＋2d |＝|a 1＋8d |， 可得a 1＝－5d ，∴a 6＝a 1＋5d ＝0，且a 1>0，∴a 5>0，故S n 取最大值时n 的值为5或6.题型一 等差数列基本量的运算1．(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则下列选项正确的是( ) A ．a 2＋a 3＝0 B ．a n ＝2n －5 C ．S n ＝n (n －4) D ．d ＝－2答案 ABC解析 S 4＝4×(a 1＋a 4)2＝0，∴a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝0，A 正确；a 5＝a 1＋4d ＝5，① a 1＋a 4＝a 1＋a 1＋3d ＝0，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝－3，∴a n ＝－3＋(n －1)×2＝2n －5，B 正确，D 错误；S n ＝－3n ＋n (n －1)2×2＝n 2－4n ，C 正确，故选ABC.2．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________. 答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2. 因为a 1＝－2，所以d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.3．(2020·上海)已知{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1＋a 10＝a 9，则a 1＋a 2＋…＋a 9a 10＝________.答案278解析 ∵a 1＋a 10＝a 9，∴a 1＋a 1＋9d ＝a 1＋8d ， 即a 1＝－d ，∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝S 9＝9a 1＋9×82d ＝27d ， a 10＝a 1＋9d ＝8d ，∴a 1＋a 2＋…＋a 9a 10＝278.4．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 答案 3n 2－2n解析 方法一 (观察归纳法)数列{2n －1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…； 数列{3n －2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋6n －5)2＝3n 2－2n .方法二 (引入参变量法)令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数． 令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1,2,3，…)． a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5. 以下同方法一．思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，d ，a n ，S n ，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .题型二 等差数列的判定与证明例1 (2020·烟台模拟)已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)． (1)记b n ＝log 2(a n ＋1)，判断{b n }是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1){b n }是等差数列，理由如下：b 1＝log 2(a 1＋1)＝log 22＝1， 当n ≥2时，b n －b n －1＝log 2(a n ＋1)－log 2(a n －1＋1)＝log 2a n ＋1a n －1＋1＝log 22a n －1＋2a n －1＋1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＋1＝2n b＝2n ，∴a n ＝2n －1.若本例中已知条件改为“a 1＝2，(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)．”试判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是否为等差数列，并说明理由． 解 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1为等差数列，理由如下：由已知得，(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n ＋2)(n ＋1)，即a nn ＋1＝a n ＋1n ＋2－2，∴a n ＋1n ＋2－a n n ＋1＝2，首项为a 11＋1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以1为首项，公差d ＝2的等差数列．思维升华 判断数列{a n }是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一常数．(2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：对任意n ∈N *，都满足a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)． (4)前n 项和公式法：对任意n ∈N *，都满足S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．跟踪训练1 记首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，且当n ≥2时，a n ·(2S n －1)＝2S 2n .(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，a n ·(2S n －1)＝2S 2n ，即(S n －S n －1)·(2S n －1)＝2S 2n ，即2S 2n －S n －2S n ·S n －1＋S n －1＝2S 2n ，故－S n ＋S n －1＝2S n ·S n －1，故1S n －1S n －1＝2，易知1S 1＝1a 1＝1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可知，1S n ＝2n －1，故S n ＝12n －1，所以a n ＝S n －S n －1＝12n －1－12n －3＝－2(2n －1)(2n －3)(n ≥2)，当n ＝1时，上式不成立， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2(2n －1)(2n －3)，n ≥2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例2 (1)(2021·淄博模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9等于( ) A ．72 B ．36 C ．18 D ．9 答案 B解析 ∵a 6＋a 4＝2a 5， ∴a 5＝4，∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝36.(2)(2020·临沂质检)在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 ∵a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，又a 6＋a 8＝2a 7， ∴a 7＝12a 6＋12a 8，即a 7－12a 8＝12a 6＝8，选C.命题点2 等差数列和的性质例3 (1)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( ) A ．2 023 B ．－2 023 C ．4 046 D ．－4 046答案 C解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′，则S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1， 首项为S 11＝－2 020，∴S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2， ∴S 2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A ．3 699块B ．3 474块C ．3 402块D ．3 339块答案 C解析 设每一层有n 环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d ＝9，首项为a 1＝9的等差数列．由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，解得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块)．思维升华 一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差数列的性质是解题的重要工具．跟踪训练2 (1)等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S nT n ＝2n －13n －2，则a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9的值为________． 答案 2943解析a 11b 6＋b 10＋a 5b 7＋b 9＝a 11＋a 52b 8＝2a 82b 8＝a 8b 8，∴a 8b 8＝S 2×8－1T 2×8－1＝S 15T 15＝2×15－13×15－2＝2943. (2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________. 答案 9解析 在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1,3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，∴S 18＝9.课时精练1．已知{a n }是等差数列，且a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝48，则a 6＋a 7等于( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 答案 D解析 由等差数列的性质可得a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝2(a 6＋a 7)＝48，则a 6＋a 7＝24，故选D. 2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n (2n －1)，若k －l ＝4(k ，l ∈N *)，则a k －a l 等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析 ∵S n ＝n (2n －1)，∴数列{a n }是公差为4的等差数列， ∵k －l ＝4， ∴a k －a l ＝4×4＝16. 故选C.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝ra n ＋r (n ∈N *，r ∈R ，r ≠0)，则“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当r ＝1时，a n ＋1＝ra n ＋r ⇒a n ＋1＝a n ＋1， ∴数列{a n }为公差为1的等差数列，即充分性成立； ∵a n ＋1＝ra n ＋r ，a 1＝1，∴a 2＝2r ，a 3＝2r 2＋r ， ∴若数列{a n }为等差数列， 则4r ＝1＋2r 2＋r ，∴r ＝1或r ＝12，即必要性不成立，综上，“r ＝1”是“数列{a n }为等差数列”的充分不必要条件，故选A.4．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金( ) A ．多821斤B ．少821斤C ．多13斤D ．少13斤答案 A解析 设十等人得金从高到低依次为a 1，a 2，…，a 10， 则{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝4，a 8＋a 9＋a 10＝3，∴a 2＝43，a 9＝1，∴d ＝a 9－a 27＝－121，∴a 1－a 9＝－8d ＝821.即等级较高一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多821斤．5．(多选)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 3＋a 8＋a 13是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．a 7 B ．a 8 C ．S 15 D ．S 16 答案 BC解析 由等差中项的性质可得a 3＋a 8＋a 13＝3a 8为定值，则a 8为定值，S 15＝15()a 1＋a 152＝15a 8为定值，但S 16＝16()a 1＋a 162＝8()a 8＋a 9不是定值．故选BC.6．(多选)已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且2a 1＋3a 3＝S 6，则以下结论正确的是( ) A ．a 10＝0 B ．S 10最小 C ．S 7＝S 12 D ．S 19＝0答案 ACD解析 2a 1＋3a 3＝S 6，∴2a 1＋3a 1＋6d ＝6a 1＋15d ， ∴a 1＋9d ＝0，即a 10＝0，A 正确； 当d <0时，S n 没有最小值，B 错误；S 12－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5a 10＝0，∴S 12＝S 7，C 正确； S 19＝(a 1＋a 19)×192＝19a 10＝0，D 正确．故选ACD.7．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________. 答案 44解析 S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝20， ∴a 6＝4，∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝44.8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2 021，则m ＝________. 答案 1 011解析 ∵S 3＝3a 1＋3d ，∴3a 1＋3d ＝a 1＋4d ， 即d ＝2，a m ＝a 1＋(m －1)×2＝2m －1＝2 021， ∴m ＝1 011.9．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1，则a n ＝________. 答案 2n －1解析 ∵S n －S n －1＝1，∴{S n }为等差数列， 又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝n ，即S n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又a 1＝1满足上式，∴a n ＝2n －1.10．(2020·河北衡水中学模拟)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n ＝________；a 2n ＋143n 的最小值为________．答案 2n －1 44解析 na n －(n －1)a n ＋1＝1， 所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1， 两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0， 所以a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1， 所以数列{a n }为等差数列．当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1， 由a 6＝11，得公差d ＝2， 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a 2n ＋143n ＝(2n －1)2＋143n ＝4n ＋144n－4≥24n ·144n－4＝44，当且仅当4n ＝144n，即n ＝6时等号成立．11．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，∵a 1＝8，a 4＝2，∴d ＝a 4－a 14－1＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n ，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，则由(1)可得，S n ＝8n ＋n (n －1)2×(－2)＝9n －n 2，n ∈N *. 由(1)知a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5，∴当n >5时，a n <0，则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n＝2×(9×5－25)－(9n －n 2)＝n 2－9n ＋40；当n ≤5时，a n ≥0，则T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧9n －n 2，n ≤5，n ∈N *，n 2－9n ＋40，n ≥6，n ∈N *. 12．(2020·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵S 2＝2，S 3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6， ∴a n ＝4＋(n －1)×(－6)＝－6n ＋10，∴S n ＝4n ＋n (n －1)2×(－6)＝－3n 2＋7n . (2)假设存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则2(S n ＋2＋2n )＝S n ＋S n ＋3，∴2[－3(n ＋2)2＋7(n ＋2)＋2n ]＝－3n 2＋7n ＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2，解得n ＝5.13．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．21答案 C解析 因为a 9＋3a 11<0，所以a 9＋a 11＋2a 11＝a 9＋a 11＋a 10＋a 12＝2(a 11＋a 10)<0 ，所以a 10＋a 11<0.因为a 10·a 11<0，所以由等差数列的性质和求和公式可得a 10>0，a 11<0，又可得S 19＝19a 10>0，而S 20＝10(a 10＋a 11)<0，进而可得S n 取得最小正值时n ＝19.故选C.14．已知数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则该数列的前9项之和为________．答案 34解析 ∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，∴当n 为奇数时，a 2n ＋1－a 2n －1＝0，则数列{a 2n －1}是常数列，a 2n －1＝a 1＝2；当n 为偶数时，a 2n ＋2－a 2n ＝2，则数列{a 2n }是以a 2＝3为首项，2为公差的等差数列，∴a 1＋a 2＋…＋a 9＝(a 1＋a 3＋…＋a 9)＋(a 2＋a 4＋…＋a 8)＝2×5＋⎝⎛⎭⎫3×4＋4×32×2＝34.15．(多选)设正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，则( )A ．a 2a 9的最大值为10B ．a 2＋a 9的最大值为210 C.1a 22＋1a 29的最大值为15D ．a 42＋a 49的最小值为200答案 ABD解析 因为正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，所以(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20.①a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时成立，故A 选项正确； ②由于⎝⎛⎭⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时成立，故B 选项正确；③1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝⎛⎭⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时成立，所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 选项错误； ④结合①的结论，有a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时成立，故D 选项正确．16．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得a 1＝1，d ＝25， 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35， 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.。
6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1。
等差数列（1）定义：一般地,如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。
数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +），d 为常数。
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫作a ，b 的 .(3)等差数列{a n ｝的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +（n —m ）d.（4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (n1+n n )2=na 1+n (n -1)2d.2。
等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 （1）a n =a 1+（n-1）d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。
当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d 〉0时，数列为递增数列；当d 〈0时，数列为递减数列。
（2)数列｛a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数）。
1.已知｛a n ｝为等差数列，d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1）在等差数列{a n }中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N+)。
特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n（m，n,p∈N+）。
（2)a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md（k,m∈N+)。
(3）S n,S2n-S n，S3n-S2n,…也成等差数列，公差为n2d. (4)若{a n},｛b n}是等差数列,则｛pa n+qb n｝也是等差数列.(5)若项数为偶数2n,则S2n=n（a1+a2n)=n（a n+a n+1）；S偶—S奇=nd;S奇S偶=a na n+1。
(6）若项数为奇数2n—1,则S2n-1=（2n—1）a n；S奇-S偶=a n;S奇S偶=nn-1。
第二节等差数列及其前n项和1理解等差数列的概念．项和公式．3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题．4了解等差数列与一次函数的关系．突破点一等差数列的基本运算1．等差数列的有关概念1定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝dn∈N*，d为常数．2等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式1通项公式：a n＝a1＋n－1d2前n项和公式：S n＝na1＋d＝一、判断题对的打“√”，错的打“×”1若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．2数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a na n＋a n＋2＋1＝3等差数列{a n}的单调性是由公差d决定的．4数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．答案：1×2√3√4√二、填空题1．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m 与n的等差中项是________．答案：32．在等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为________．答案：143．已知{a n}是等差数列，且a3＋a9＝4a5，a2＝－8，则该数列的公差是________．答案：44．在等差数列{a n}中，已知d＝2，S100＝10000，则S n＝________答案：n21．2022·全国卷Ⅰ记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝A．－12 B．－10C．10 D．12解析：选B 设等差数列{a n}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得33a1＋3d＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋5－1d＝2＋4×－3＝－102．2022·山东五校联考已知等差数列{a n}为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为81求数列{a n}的通项公式；2求数列{a n}的前n项和S n解：1设等差数列{a n}的公差为d，d>0，∵等差数列{a n}的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴∴或∵d>0，∴a1＝－4，d＝3，∴a n＝3n－72∵a n＝3n－7，∴a1＝3－7＝－4，∴S n＝＝解决等差数列基本量计算问题的思路1在等差数列{a n}中，a1与d是最基本的两个量，一般可设出a1和d，利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程组求解即可．2与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a1＋n－1d和前n项和公式S n＝＝na1＋d，在两个公式中共涉及五个量：a1，d，n，a n，S n，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程组可求出剩余的两个量．1．已知数列是等差数列，且a3＝2，a9＝12，则a15＝A．10 B．30C．40 D．20解析：选B 法一：设数列是公差为d的等差数列，∵a3＝2，a9＝12，∴6d＝－＝－＝，∴d＝，＝＋12d＝15＝30法二：由于数列是等差数列，故2×＝＋，即＝2×－＝2，故a15＝302．2022·信阳二模《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱”“钱”是古代一种质量单位，在这个问题中，甲得________钱．B．D．解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，设公差为d，由题意知a1＋a2＝a3＋a4＋a5＝，即解得故甲得钱，故选C3．2022·菏泽二模已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，满足a1＋a2＝10，S5＝401求数列{a n}的通项公式；2设b n＝|13－a n|，求数列{b n}的前n项和T n解：1设等差数列{a n}的公差为d，由题意知，a1＋a2＝2a1＋d＝10，S5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d＝8，所以所以a n＝4＋n－1·2＝2n＋22令c n＝13－a n＝11－2n，b n＝|c n|＝|11－2n|＝设数列{c n}的前n项和为Q n，则Q n＝－n2＋10n当n≤5时，T n＝b1＋b2＋…＋b n＝Q n＝－n2＋10n当n≥6时，T n＝b1＋b2＋…＋b n＝c1＋c2＋…＋c5－c6＋c7＋…＋c n＝－Q n＋2Q5＝n2－10n＋2－52＋10×5＝n2－10n＋50突破点二等差数列的性质及应用等差数列的常用性质1通项公式的推广：a n＝a m＋n－mdn，m∈N*．2若{a n}为等差数列，且m＋n＝＋a n＝a，n，，a＋2m，…，m ∈N*是公差为md的等差数列．4数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…m∈N*也是等差数列，公差为m2d5S2n－1＝2n－1a n，S2n＝na1＋a2n＝na n＋a n＋1，遇见S奇，S偶时可分别运用性质及有关公式求解．6若{a n}，{b n}均为等差数列且其前n项和为S n，T n，则＝7若{a n}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{a n}的首项相同，公差是{a n}的公差的8若等差数列{a n}的项数为偶数2n，则①S2n＝na1＋a2n＝…＝na n＋a n＋1；②S偶－S奇＝nd，＝9若等差数列{a n}的项数为奇数2n＋1，则①S2n＋1＝2n＋1a n＋1；②＝1．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________解析：依题意，得a2＋a4＋a6＋a8＝a2＋a8＋a4＋a6＝2a3＋a7＝74答案：742．设{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________．答案：23．在等差数列{a n}中，3a3＋a5＋2a7＋a10＋a13＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26考法一等差数列的性质[例1] 12022·武汉模拟若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，且a1＝2a3－3，则S9＝A．25 B．27C．50 D．5422022·莆田九校联考在等差数列{a n}中，若a1，a2022为方程2－10＋16＝0的两根，则aa1010＋a2022＝2＋A．10 B．15C．20 D．40[解析] 1设等差数列{a n}的公差为d，a1＝2a3－3＝2a1＋4d －3，∴a5＝a1＋4d＝3，S9＝9a5＝272因为a1，a2022为方程2－10＋16＝0的两根，所以a1＋a2022＝10由等差数列的性质可知，a1010＝＝5，a2＋a2022＝a1＋a2022＝10，所以a2＋a1010＋a2022＝10＋5＝[答案] 1B 2B[方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点1如果{a n}为等差数列，m＋n＝＋a n＝a，n，－n，a m，a m＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m或其他项有关的条件；若求a m项，可由a m＝a m－n＋a m＋n转化为求a m－n，a m＋n或a m＋n ＋a m－n的值．2要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用，如a n＝a m＋n－md，d＝，S2n－1＝2n－1a n，S n＝＝n，m∈N*等．[提醒] 一般地，a m＋a n≠a m＋n，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m－n＋a m＋n＝2a m考法二等差数列前n项和最值问题等差数列的通项a n及前n项和S n均为n的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n项和S n的最值问题．[例2] 2022·全国卷Ⅱ记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－151求{a n}的通项公式；2求S n，并求S n的最小值．[解] 1设{a n}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15又a1＝－7，所以d＝2所以{a n}的通项公式为a n＝2n－92法一：二次函数法由1得S n＝＝n2－8n＝n－42－16，所以当n＝4时，S n取得最小值，最小值为－16法二：通项变号法由1知a n＝2n－9，则S n＝＝n2－8n由S n最小⇔即∴≤n≤，又n∈N*，∴n＝4，此时S n的最小值为S4＝－16[方法技巧]求等差数列前n项和S n最值的2种方法1二次函数法利用等差数列前n项和的函数表达式S n＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．2通项变号法①a1>0，d<0时，满足的项数m使得S n取得最大值为S m；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得S n取得最小值为S m设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9＝3a8，则等于A．15 B．17C．19 D．21解析：选A 因为S9＝a1＋a2＋…＋a9＝9a5＝3a8，即3a5＝a8又S15＝a1＋a2＋…＋a15＝15a8，所以＝＝15在项数为2n＋1的等差数列{a n}中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于A．9 B．10C．11 D．12解析：选B ∵等差数列有2n＋1项，∴S奇＝，S偶＝又a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝＝，∴n＝10等差数列{a n}中，S n为前n项和，且a1＝25，S17＝S9，请问：数列前多少项和最大解：法一：∵a1＝25，S17＝S9，∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2∵a1＝25>0，由得∴当n＝13时，S n有最大值．法二：∵a1＝25，S17＝S9，∴17a1＋d＝9a1＋d，解得d＝－2从而S n＝25n＋－2＝－n2＋26n＝－n－132＋169故前13项之和最大．突破点三等差数列的判定与证明[典例] 2022·济南一中检测各项均不为0的数列{a n}满足＝a n＋2a n，且a3＝2a8＝1证明数列是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；2若数列{b n}的通项公式为b n＝，求数列{b n}的前n项和S n [解] 1证明：依题意，a n＋1a n＋a n＋2a n＋1＝2a n＋2a n，两边同时除以a n a n＋1a n＋2，可得＋＝，故数列是等差数列，设数列3＝2a8＝，所以＝5，＝10，所以－＝5＝5d，即d＝1，所以＝＋n－3d ＝5＋n－3×1＝n＋2，故a n＝2由1可知b n＝＝·＝－，故S n＝－＋－＋…＋－＝[方法技巧]等差数列的判定与证明方法n解析：设等差数列{a n}的公差为dd≠0，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a＝a2a11，所以a1＋4d2＝a1＋da1＋10d，解得a1＝2d，又a11＝2S m－S n m>n>0，m，n∈N*，所以2ma1＋mm－1d－2na1－nn－1d＝a1＋10d，化简得m＋n＋3m－n＝12，因为m>n>0，m，n∈N*，所以或解得或舍去，所以m＋n＝9答案：915．2022·江西三校联考已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝45，S6＝601求数列{a n}的通项公式；2若数列{b n}满足b n＋1－b n＝a n n∈N*，且b1＝3，求的前n项和T n解：1设等差数列{a n}的公差为d，则a6＝S6－S5＝15，所以解得a1＝5，d＝2，所以a n＝2n＋32b n＝b n－b n－1＋b n－1－b n－2＋…＋b2－b1＋b1＝a n－1＋a n－2＋…＋a1＋3＝n2＋2n，所以＝＝，所以T n＝＝16．2022·辽宁五校协作体模考已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2a1<a2分别为方程2－6＋5＝0的两个实根．1求数列{a n}的前n项和S n；2在1中，设b n＝，求证：当c＝－时，数列{b n}是等差数列．解：1∵a1，a2a1<a2分别为方程2－6＋5＝0的两个实根，∴a1＝1，a2＝5，∴等差数列{a n}的公差为4，∴S n＝n·1＋·4＝2n2－n2证明：当c＝－时，b n＝＝＝2n，∴b n＋1－b n＝2n＋1－2n＝2，b1＝2∴数列{b n}是以2为首项，2为公差的等差数列。
其次节等差数列及其前n项和突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通抓主干学问的“源”与“流”1．等差数列的有关概念(1)定义：假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n＋1－a n＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋n(n－1)2d＝n(a1＋a n)2.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则a k＋a l＝a m＋a n .(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(5)若数列{a n}，{b n}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pa n}，{a n＋p}，{pa n＋qb n}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.考点贯穿抓高考命题的“形”与“神”等差数列的基本运算[例1](1)(2022·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为() A．1 B．2C．3 D．4(2)(2022·惠州调研)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于()A．1 B.53C．－2 D．3[解析](1)∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.(2)由S3＝3(a1＋a3)2＝6，且a1＝4，得a3＝0，则d＝a3－a13－1＝－2，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．等差数列的性质[例2](1)在等差数列{a n}396n n S11＝()A．18 B．99C．198 D．297(2)已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.[解析](1)由于a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)由于{a n}，{b n}都是等差数列，本节主要包括3个学问点：1.等差数列的性质及基本量的计算；2.等差数列前n项和及性质的应用；3.等差数列的判定与证明.所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6， 所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)， 即2×15＝9＋(a 5＋b 6)， 解得a 5＋b 6＝21. [答案] (1)B (2)211.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱 D.43钱 解析：选D 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，解得⎩⎨⎧a 1＝43，d ＝－16，即甲得43钱，故选D.2.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8解析：选D 由题意知S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 3.[考点二]已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 7＋a 13＝π，则cos(a 2＋a 12)的值为( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－12解析：选D 在等差数列{a n }中，由于a 1＋a 7＋a 13＝π，所以a 7＝π3，所以a 2＋a 12＝2π3，所以cos(a 2＋a 12)＝－12.故选D.4.[考点一]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1.所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最终6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.解：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216，∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. ∵a 1＋a n ＝36，n ＝18， ∴a 1＋a18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用等差数列前n 项和的性质(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d . (2)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)． (4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(5)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.等差数列前n 项和的性质[例1] 已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________. [解析] 法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. [答案] 20等差数列前n 项和的最值[例2] 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？ [解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0.法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝na 1＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1， 由于a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法三：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线， 由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的三种方法 (1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则： ①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．力量练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．2.[考点二]设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，(n ＋1)S n ＜nS n ＋1(n ∈N *)．若a 8a 7＜－1，则( )A ．S n 的最大值是S 8B ．S n 的最小值是S 8C ．S n 的最大值是S 7D ．S n 的最小值是S 7解析：选D 由(n ＋1)S n ＜nS n ＋1得(n ＋1)n (a 1＋a n )2＜n (n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2，整理得a n ＜a n ＋1，所以等差数列{a n }是递增数列，又a 8a 7＜－1，所以a 8＞0，a 7＜0，所以数列{a n }的前7项为负值，即S n 的最小值是S 7.3.[考点一]已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20，∴S 30－30＝20×2－10＝30，∴S 30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由等差数列前n 项和的性质知，a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1，故当n ＝1,2,3,5,11时，a nb n 为整数，故使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是5.答案：55.[考点一]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d ＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案：5突破点(三) 等差数列的判定与证明基础联通 抓主干学问的“源”与“流” 等差数列的判定与证明方法方法 解读适合题型定义法 对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题中的判定问题前n 项和公式法 验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列考点贯穿 抓高考命题的“形”与“神”等差数列的判定与证明[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，推断{a n }是否为等差数列，并说明你的理由．[解] 由于a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1S n＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，所以a n ＋1＝－12n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．1．若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列 D ．公差为9的等差数列解析：选C 令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，故b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.即{a 2n －1＋2a 2n }是公差为6的等差数列．2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1，∴a n ＋1＝2－1a n .∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n －1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1，∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．3．已知公差大于零的等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{}b n 满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列{}a n 为等差数列，∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d ＞0，∴a 3＜a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，其中c ≠0.∵数列{}b n 是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.即存在一个非零实数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2022·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97解析：选C ∵{a n }是等差数列，设其公差为d ，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C. 2．(2021·新课标全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192C ．10D ．12 解析：选B ∵数列{a n }的公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.3．(2021·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5，选C. 4．(2021·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：由已知⎩⎨⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，则nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得微小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49<6S 6，所以当n ＝7时，nS n 取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2022·全国甲卷)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由已知得7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)由于b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ＜10，1，10≤n ＜100，2，100≤n ＜1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1， a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1.两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考 [练基础小题——强化运算力量]1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 由S 5＝(a 2＋a 4)·52，得25＝(3＋a 4)·52，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，即d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( ) A ．37B ．36C ．20D ．19解析：选A a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37，即m ＝37.3．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0 C.14D.12解析：选B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又∵a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，∴a 2＝12，a 4＝32.∴公差d ＝a 4－a 22＝12.∴a 1＝a 2－d ＝0. 4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．9 B ．8 C ．7D ．6解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d .由于a 3＋a 7＝－6，所以a 5＝－3，d ＝2，则S n ＝n 2－12n ，故当n 等于6时S n 取得最小值．5．已知等差数列{a n }中，a n ≠0，若n ≥2且a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，S 2n －1＝38，则n 等于________．解析：∵{a n }是等差数列，∴2a n ＝a n －1＋a n ＋1，又∵a n －1＋a n ＋1－a 2n ＝0，∴2a n －a 2n ＝0，即a n (2－a n )＝0.∵a n ≠0，∴a n ＝2.∴S 2n －1＝(2n －1)a n ＝2(2n －1)＝38，解得n ＝10.答案：10[练常考题点——检验高考力量] 一、选择题1．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.2．(2021·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝72[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉利数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉利数列”，则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S n S 2n ＝k ，由于b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.由于对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n＝2n －1.6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，由于a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10a 2n 的最大值为121. 二、填空题7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是________．解析：由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.答案：28．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________．解析：由于S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.依据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.答案：39．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于________．解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝12(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，所以S 11＝11×12＝132.答案：13210．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n ，∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又∵b 1＝1a 1＝1，∴数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，∴a n ＝1b n ＝12n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1. 12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，解得292≤n ≤312，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)2＝－225，∴数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。
