[精品]例谈解等差(比)数列的基本量法和性质法

（经典整理）等差、等比数列的性质第一篇：(经典整理)等差、等比数列的性质等差、等比数列的性质一：考试要求1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项二:知识归纳（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等差数列．2．等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq 3．等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am⋅an=ap⋅aq4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,ΛΛ仍为等比数列．5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an±bn}仍为等差数列．⎧an⎫⎧1⎫6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an⋅bn}、⎨⎬、⎨⎬仍为等比数⎩bn⎭⎩bn⎭列．（二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．三：例题诠释，举一反三例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=________B3A33A3例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()A．130B．170C．210D．260变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=Snn}1k,ak=1m,则该数列前mk项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m ＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则a9a11的值为()A．4B．2C．－2D．－4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1 例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．变式1已知数列{an}中，a1=35，an=2-1an-1(n≥2,n∈N+)，数列{bn}满足bn=1an-1(n∈N+)（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由变式2设等差数列{an}的前n项和为sn，已知a3=24,s11=0，求：①数列{an}的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝(n∈N*)．an-1(1)求证数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11(1)求证数列－1}是等比数列；ann(2)求数列{前n项的和an变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．变式3.在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2（1）设bn=nan2n-1,证明{bn}是等差数列;（2）求数列{an}的前n项和Sn。

数列的性质与求和计算数列是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。

它具有一定的性质和规律，并可以通过求和计算来得到具体结果。

本文将介绍数列的性质以及求解数列的和的方法。

一、数列的性质数列由一系列有序的数按照一定规律排列而成，常用字母表示，如a₁、a₂、a₃等，其中a₁表示第一个数，a₂表示第二个数，以此类推。

1. 公式数列的性质可以用公式来表示，常见的数列公式有等差数列和等比数列。

（1）等差数列：数列中每个相邻两项之差都相等。

通常用公式an=a₁+(n-1)d来表示，其中a₁为首项，d为公差。

（2）等比数列：数列中每个相邻两项之比都相等。

通常用公式an=a₁*r^(n-1)来表示，其中a₁为首项，r为公比。

2. 递推公式递推公式是数列中的每一项与前一项之间的关系式，通过递推公式可以推导数列中的任意项。

例如，斐波那契数列是一个经典的递推数列，其递推公式为an=an-1+an-2，其中a₁=1，a₂=1。

数列可以分为有界数列和无界数列。

（1）有界数列：数列中的元素存在上界（上确界）和下界（下确界），即数列中的元素在一定范围内取值。

（2）无界数列：数列中的元素无上界和下界，或者上界和下界无穷大（趋于无穷）。

二、求和计算求和计算是数列的一个重要操作，它可以得到数列的和，常用的求和方法有以下几种。

1. 部分和公式对于等差数列和等比数列，可以使用部分和公式来计算前n项的和。

（1）等差数列的部分和公式为Sn=(n/2)[2a₁+(n-1)d]，其中Sn表示前n项的和。

（2）等比数列的部分和公式为Sn=a₁(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项的和。

2. 等差数列求和对于非等差数列，可以将其转化为等差数列求和。

例如，对于数列1, 3, 5, 7, 9...，可以将其转化为等差数列1, 2, 3, 4, 5...，然后使用等差数列的求和公式进行计算。

对于非等比数列，可以将其转化为等比数列求和。

例如，对于数列2, 4, 8, 16, 32...，可以将其转化为等比数列2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5...，然后使用等比数列的求和公式进行计算。

数列的等差与等比性质数列是数学中一个有序的数的集合，其中每个数都被称为该数列的项。

数列在许多数学和实际应用中起着关键的作用。

在数列中，有两个重要的性质，即等差性质和等比性质，它们在数列的定义、特征和应用中都具有重要意义。

一、等差数列等差数列是指数列中的相邻两项之间的差值相等的数列。

设数列为{a₁, a₂, a₃, ...}，其中相邻两项之间的差值为d，则该数列为等差数列。

可以表示为：a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = ... = d等差数列的常用表示方法是使用通项公式 an = a₁ + (n - 1)d，其中a₁为首项，d为公差，n为项数。

通过这个公式，我们可以方便地求得等差数列的任意一项。

例如，对于等差数列{2, 5, 8, 11, ...}，首项a₁=2，公差d=3，第n项可以通过an = 2 + (n - 1)3来计算。

等差数列在数学和实际生活中都有广泛的应用。

例如，在几何学中，等差数列可以用于定义等差数列的基本概念，如等差中项、等差均分、等差数列的前n项和等等。

在经济学中，等差数列可以用于描述某种现象的增长或减少规律，如某种商品的价格随时间的变化等。

二、等比数列等比数列是指数列中的相邻两项之间的比值相等的数列。

设数列为{b₁, b₂, b₃, ...}，其中相邻两项之间的比值为r，则该数列为等比数列。

可以表示为：b₂ / b₁ = b₃ / b₂ = b₄ / b₃ = ... = r等比数列的常用表示方法是使用通项公式 bn = b₁ * r^(n - 1)，其中b₁为首项，r为公比，n为项数。

通过这个公式，我们可以方便地求得等比数列的任意一项。

例如，对于等比数列{3, 6, 12, 24, ...}，首项b₁=3，公比r=2，第n项可以通过bn = 3 * 2^(n - 1)来计算。

等比数列也在数学和实际生活中扮演着重要角色。

在几何学中，等比数列可以用于定义等比数列的基本概念，如等比中项、等比比例、等比数列的前n项和等等。

数列和等差数列的概念和性质数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。

在数学中，数列是一种重要的概念，它在解决各种数学问题中起着重要的作用。

一、数列的概念数列由无穷个数按照一定的顺序排列而成。

数列可以使用公式或者递归关系来定义。

其中，公式定义是通过一个通项公式来表示数列的每一项，递归定义则是通过前一项和递归关系来表示数列的每一项。

例如，下面是通过公式定义和递归定义的两个数列示例：1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。

我们可以使用通项公式来表示等差数列的每一项。

假设等差数列的第一项是a_1，公差是d，则等差数列的通项公式可以写成：a_n = a_1 + (n - 1) * d其中，a_n表示等差数列的第n项。

2. 数列和数列和指的是数列中所有项的和。

数列和对于了解数列的性质和特点非常重要。

对于等差数列来说，数列和可以通过以下公式来计算：S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n)其中，S_n表示等差数列的前n项和。

二、等差数列的性质等差数列有如下几个重要的性质：1. 公差性质：等差数列的每一项与其前一项之差相等，这个差值称为公差。

等差数列的通项公式中的差值就是公差。

2. 递推性质：等差数列的每一项都可以通过前一项和公差来计算得到。

这个性质使得我们可以根据已知条件来求解等差数列中的任意一项。

3. 数列和性质：等差数列的前n项和可以通过数列和公式来计算。

这个性质在解决实际问题时非常有用，可以帮助我们计算等差数列的总和。

4. 通项性质：等差数列的通项公式可以用来表示等差数列中的任意一项。

通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的某个位置上的数。

以上是等差数列的一些基本性质，掌握了这些性质，我们就能更好地理解等差数列的特点，运用到实际问题中。

总结：数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的集合。

等差数列是一种特殊的数列，其每一项与前一项之差都相等。

我们可以通过公差和通项公式来定义等差数列，并通过数列和公式计算等差数列的前n 项和。

初中数学点知识归纳数列的等差和等比性质和应用数列是数学中一个非常重要的概念，在初中数学的学习中经常会遇到。

而其中最常见且重要的两种数列就是等差数列和等比数列。

在本文中，我们将归纳总结这两种数列的性质，并介绍它们在实际问题中的应用。

一、等差数列等差数列是指一个数列中后一项与前一项之差都相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差。

等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d。

其中，an表示第n项。

1. 等差数列的性质（1）首项与公差确定了一个等差数列，即任意一个等差数列都可以由它的首项和公差唯一确定。

（2）等差数列的前n项和Sn可以通过求和公式得到，即Sn = n * (a + an) / 2。

（3）等差中项的个数为n的数列的和为Sn = (n+1) * a/2。

2. 等差数列的应用等差数列在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在时间、距离和速度的计算中。

例如，一个物体从静止开始做匀加速直线运动，其速度等差数列，时间为等差数列。

我们可以通过等差数列的概念和公式来计算物体在不同时间下的速度、位移等信息。

二、等比数列等比数列是指一个数列中后一项与前一项之比都相等的数列。

通常用字母a表示首项，r表示公比。

等比数列的通项公式为：an = ar^(n-1)。

其中，an表示第n项。

1. 等比数列的性质（1）首项与公比确定了一个等比数列，即任意一个等比数列都可以由它的首项和公比唯一确定。

（2）等比数列的前n项和Sn可以通过求和公式得到，即Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)。

（3）等比数列的无穷项和S∞可以通过求和公式得到，即S∞ = a /(1 - r)。

其中，r的绝对值小于1时等比数列的和才存在。

2. 等比数列的应用等比数列在实际问题中的应用也非常广泛，特别是在人口增长、财富增长、利润增长等方面。

例如，一个城市的人口增长率为1.1，而起始人口为10000人。

我们可以通过等比数列的概念和公式来计算在不同年份下该城市的人口数量。

数学如何解决等差数列和等比数列的问题数学中，等差数列和等比数列是常见的数列类型。

在解决等差数列和等比数列的问题时，我们可以运用一些数学方法和技巧来求解。

本文将介绍如何使用数学知识解决等差数列和等比数列的问题。

等差数列是指数列中任意两个相邻项之差都相等的数列。

我们可以通过以下步骤来解决等差数列的问题：1. 首先，我们需要确定等差数列的公差，公差记为d。

公差可以通过数列中的任意两个相邻项求得，假设这两项分别为a和b，则公差为d = b - a。

2. 接下来，我们可以通过已知项的个数n来确定数列中的第n项，记为an。

第n项的求解公式为an = a + (n -1)d，其中a为数列的首项。

3. 同理，我们也可以通过已知项的个数n来求解等差数列的和Sn。

等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a + an)。

举个例子来说明。

假设我们有一个等差数列，已知首项为3，公差为4，我们需要求解数列的第10项和前10项的和。

首先，根据公差的定义，我们可以计算出数列中的任意项。

第10项的计算公式为a10 = a + (10 - 1)d = 3 + (10 - 1)4 = 3 + 9 * 4 = 3 + 36 = 39。

接着，我们可以使用求和公式计算前10项的和。

前10项的和的计算公式为S10 = (10/2)(a + a10) = (10/2)(3 + 39) = 5 * 42 = 210。

因此，该等差数列的第10项为39，前10项的和为210。

接下来，我们来看如何解决等比数列的问题。

等比数列是指数列中任意两个相邻项之比都相等的数列。

解决等比数列的问题时，我们可采用以下步骤：1. 首先，我们需要确定等比数列的公比，公比记为q。

公比可以通过数列中的任意两个相邻项求得，假设这两项分别为a和b，则公比为q = b/a。

2. 接着，我们可以通过已知项的个数n来确定数列中的第n项，记为an。

第n项的求解公式为an = a * q^(n-1)，其中a为数列的首项。

数列与数列的通项公式等差数列与等比数列的性质与求和公式数列与数列的通项公式——等差数列与等比数列的性质与求和公式数列是数学中的重要概念，它是由一些按照特定规律排列的数字组成的序列。

本文将重点介绍两种常见的数列：等差数列和等比数列，包括它们的性质和求和公式。

一、等差数列等差数列是指一个数列中的每一项与其前一项之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d (1)其中，aₙ表示第n项，n表示项数。

1.1 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：性质1：首项与末项的和等于中间各项的和。

对于等差数列 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ，其中a₁为首项，aₙ为末项，n为项数，其和Sₙ可以表示为：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2 (2)性质2：等差数列项数的求解。

设Sₙ为等差数列的和，首项为a₁，公差为d，则项数n可以通过如下公式求解：n = (aₙ - a₁) / d + 1 (3)1.2 等差数列的求和公式对于等差数列的求和，我们可以利用公式(2)来进行求解。

例如，对于等差数列1，4，7，10，13，其首项a₁为1，公差d为3，项数n为5，可以使用公式(2)来计算其和S₅：S₅ = (1 + 13) * 5 / 2 = 35二、等比数列等比数列是指一个数列中的每一项与其前一项之比都相等的数列。

设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式可以表示为：aₙ = a₁ * q^(n - 1) (4)其中，aₙ表示第n项，n表示项数。

2.1 等比数列的性质等比数列具有以下一些重要的性质：性质1：首项与末项的比等于中间各项的比。

对于等比数列 Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ，其中a₁为首项，aₙ为末项，n为项数，其和Sₙ可以表示为：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q) (5)性质2：等比数列项数的求解。

比较全面的等差等比数列的性质总结
等差等比数列是一种重要的数列，它在数学、物理和经济学中都有重要的应用。

它的性质可以用以下几点来总结：
一．概念：等差等比数列是指数列中各项之差和各项之比都是相同的数列。

二．公式：设等差等比数列{an}的首项a1、公差d、公比q都为实数（q≠1）。

通常记作an=a1qn-1（n>1）。

三．通项公式：设a1和q都是实数，n是正整数，an=a1qn-1，如果p也是实数，则Sn=a1(qn-1-1)/(q-1)。

四．性质：
（1）等差等比数列{an}的各项之差都是一个相同的实数d，即有an+1 – an = d。

（2）等差等比数列{an}的各项之比都是一个相同的实数q，即有an/an-1=q。

（3）等差等比数列{an}的各项之和 (Sn) 可以由下式：Sn = a1(qn-1-1)/(q-1) 求出。

五．特殊情况：
（1）等差数列：若系数q=1，则该等差数列是以实数d为公差的等差数列，公式为：an = a1 + (n-1)d。

（2）等比数列：若系数d=0，则该等比数列是以实数q为公比的等比数列，公式为：an = a1qn-1。

以上就是等差等比数列的基本性质，它具有比较完整的总结和解法，可以为我们省去不少繁琐的推导。

使用这种方法可以大大提高我们在分析数学中等差等比数列问题时的效率。

等差等比数列的性质总结(一)等差数列的公式及性质1.等差数列的定义: （d 为常数）（ ）；2．等差数列通项公式: , 首项: , 公差:d, 末项:推广: . 从而 ；3. 等差数列的判定方法（1）定义法: 若 或 (常数 ) 是等差数列.（2）等差中项法：数列 是等差数列 .（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列 是等差数列 ,（其中A.B 是常数）。

4.等差数列的性质:（1）当公差 时, 等差数列的通项公式 是关于 的一次函数, 且斜率为公差 ；前 和 是关于 的二次函数且常数项为0.（2）若公差 , 则为递增等差数列, 若公差 , 则为递减等差数列, 若公差 , 则为常数列。

（3）当 时,则有 , 特别地, 当 时, 则有 .注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅。

（4）若 、 为等差数列, 则 都为等差数列。

（5） 在等差数列中, 等距离取出若干项也构成一个等差数列, 即an,an+m,an+2m,…,为等差数列, 公差为md 。

（6） 是公差为d 的等差数列, 是前n 项和, 那么数列 ,…成公差为k2d 的等差数列。

（7）设数列 是等差数列, d 为公差, 是奇数项的和, 是偶数项项的和, 是前n 项的和1）当项数为偶数 时, ,()121135212n n n na a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶2）当项数为奇数2n-1, 则n 偶奇偶奇1-2a )12(=--=+=S S a n S S S n n 偶奇1)a -n （na S ==S n1偶奇-=n nS S (9) 若a1>0, d<0, Sn 有最大值, 可由不等式组 来确定n 。

若a1<0, d>0, Sn 有最小值, 可由不等式组 来确定n 。

基本量——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望]等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大.解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质.常考题型精析题型一等差、等比数列的基本运算例1已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m.求数列{b m}的前m项和S m.点评等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素.(2)解题思路：①设基本量a1和公差d(公比q)；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量.变式训练1(1)(2014·安徽)数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于()A.21B.42C.63D.84题型二等差数列、等比数列的性质及应用例2(1)(2015·广东)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.(2)设各项都是正数的等比数列{a n}，S n为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A.150B.－200C.150或－200D.400或－50点评等差(比)数列的性质盘点变式训练2(1)已知正数组成的等差数列{a n}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是________.(2)在等差数列{a n}中，a1＝－2 016，其前n项和为S n，若S1212－S1010＝2，则S2 016的值为________.题型三 等差、等比数列的综合应用例3 (2015·陕西)设f n (x )是等比数列1，x ，x 2，…，x n 的各项和，其中x ＞0，n ∈N ，n ≥2. (1)证明：函数F n (x )＝f n (x )－2在⎝⎛⎭⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x n ＋1n ； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g n (x )，比较f n (x )与g n (x )的大小，并加以证明.点评 (1)对数列{a n }，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定a n 、S n .(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法. 变式训练3 (2015·北京)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？高考题型精练1.(2014·重庆)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A.a 1，a 3，a 9成等比数列 B.a 2，a 3，a 6成等比数列 C.a 2，a 4，a 8成等比数列 D.a 3，a 6，a 9成等比数列2.(2014·天津)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和.若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1等于( ) A.2 B.－2 C.12D.－123.已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A.－110 B.－90 C.90D.1104.(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4D.35.(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞06.(2015·临沂模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3C.4D.57.(2015·北京东城区模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.8.(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大.9.(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零.若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.10.(2015·苏州模拟)公差不为0的等差数列{a n }的部分项ak 1，ak 2，ak 3，…构成等比数列，且k 1＝1，k 2＝2，k 3＝6，则k 4＝________.11.已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *). (1) 证明：1≤a n a n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *).12.(2015·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－ 12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式.答案精析专题5 数列第22练 基本量——破解等差、等比数列的法宝常考题型精析例1 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ， 由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎨⎧5a 1＋5×(5－1)2d ＝105，a 1＋9d ＝2(a 1＋4d )，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *). (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m ，则n ≤72m －1. 因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列， 故S m ＝b 1(1－q m )1－q ＝7×(1－49m )1－49＝7×(72m －1)48＝72m ＋1－748.变式训练1 (1)1 (2)B解析 (1)设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ， a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1， ∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 例2 (1)10 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，则S 40＝S 30＋(S 30－S 20)2S 20－S 10＝70＋40220＝150.变式训练2 (1)25 (2)－2 016解析 (1)∵S 20＝a 1＋a 202×20＝100，∴a 1＋a 20＝10.∵a 1＋a 20＝a 7＋a 14，∴a 7＋a 14＝10. ∵a n >0，∴a 7·a 14≤⎝⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25.当且仅当a 7＝a 14时取等号. 故a 7·a 14的最大值为25.(2)根据等差数列的性质，得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，根据已知可得这个数列的首项S 11＝a 1＝－2 016，公差d ＝1，故S 2 0162 016＝－2 016＋(2 016－1)×1＝－1，所以S 2 016＝－2 016.例3 (1)证明 F n (x )＝f n (x )－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2， 则F n (1)＝n －1＞0，F n ⎝⎛⎭⎫12＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －2 ＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＋11－12－2＝－12n ＜0，所以F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内至少存在一个零点.又F ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0(x ＞0)， 故F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内单调递增，所以F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内有且仅有一个零点x n ， 因为x n 是F n (x )的零点，所以F n (x n )＝0， 即1－x n ＋1n1－x n－2＝0，故x n ＝12＋12x n ＋1n. (2)解 方法一 由题设，g n (x )＝(n ＋1)(1＋x n )2，设h (x )＝f n (x )－g n (x )＝1＋x ＋x 2＋…＋x n－(n ＋1)(1＋x n )2，x ＞0.当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，h ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1－n (n ＋1)xn －12，若0＜x ＜1，h ′(x )＞x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n (n ＋1)2x n －1＝n (n ＋1)2x n －1－n (n ＋1)2x n －1＝0， 若x ＞1，h ′(x )＜x n －1＋2x n －1＋…＋nx n －1－n (n ＋1)2x n －1＝n (n ＋1)2x n －1－n (n ＋1)2x n －1＝0， 所以h (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减， 所以h (x )＜h (1)＝0，即f n (x )＜g n (x )， 综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )； 当x ≠1时，f n (x )＜g n (x ).方法二 由已知，记等差数列为{a k }，等比数列为{b k }，k ＝1,2，…，n ＋1， 则a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋1＝x n ， 所以a k ＝1＋(k －1)·x n －1n (2≤k ≤n )，b k ＝x k －1(2≤k ≤n )，令m k (x )＝a k －b k ＝1＋(k －1)(x n －1)n －x k －1，x ＞0(2≤k ≤n )，当x ＝1时，a k ＝b k ，所以f n (x )＝g n (x )， 当x ≠1时，m ′k (x )＝k －1n ·nx n －1－(k －1)x k －2＝(k －1)x k －2(x x －k ＋1－1)，而2≤k ≤n ，所以k －1＞0，n －k ＋1≥1， 若0＜x ＜1，x x －k ＋1＜1，m ′k (x )＜0； 若x ＞1，x x －k ＋1＞1，m ′k (x )＞0，从而m k (x )在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增， 所以m k (x )＞m k (1)＝0，所以当x ＞0且x ≠1时，a k ＞b k (2≤k ≤n )， 又a 1＝b 1，a n ＋1＝b n ＋1， 故f n (x )＜g n (x )，综上所述，当x ＝1时，f n (x )＝g n (x )；当x ≠1时，f n (x )＜g n (x ). 变式训练3 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…). (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4. 所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63， 所以b 6与数列{a n }的第63项相等. 高考题型精练1.D [设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列.故选D.]2.D [因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1,2a 1－1,4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6).解得a 1＝－12.] 3.D [∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16， 又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.] 4.C [数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.]5.C [设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C 正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错.]6.D [由等差数列的前n 项和及等差中项，可得a n b n ＝12(a 1＋a 2n －1)12(b 1＋b 2n －1) ＝12(2n －1)(a 1＋a 2n －1)12(2n －1)(b 1＋b 2n －1)＝A 2n －1B 2n －1 ＝7(2n －1)＋45(2n －1)＋3＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1(n ∈N *)， 故n ＝1,2,3,5,11时，a n b n为整数. 即正整数n 的个数是5.]7.－9解析 由题意知，数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{a n }中连续四项至少有一项为负，∴q <0，又∵|q |>1，∴{a n }的连续四项为－24,36，－54，81，∴q ＝36－24＝－32，∴6q ＝－9. 8.8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0.∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0.∴数列的前8项和最大，即n ＝8.9.23－1 解析 因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )， ∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1. 10.22解析 根据题意可知等差数列的a 1，a 2，a 6项成等比数列，设等差数列的公差为d ，则有(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋5d )，解得d ＝3a 1，故a 2＝4a 1，a 6＝16a 1⇒ak 4＝a 1＋(n －1)·(3a 1)＝64a 1，解得n ＝22，即k 4＝22.11.证明 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ，故a n ≤12. 由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1＞0.由0＜a n ≤12得 a na n ＋1＝a na n －a 2n ＝11－a n ∈(1,2]，即1≤a n a n ＋1≤2成立. (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1，所以S n ＝a 1－a n ＋1，①由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得 1≤1a n ＋1－1a n≤2， 所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ， 因此12(n ＋1)≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *).② 由①②得12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *). 12.(1)解 当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1，解得：a 4＝78. (2)证明 因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)，因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，因为a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n ＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列. (3)解 由(2)知：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列， 所以a n ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，即a n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫12n ＝4， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 112＝2为首项，公差为4的等差数列，所以a n ⎝⎛⎭⎫12n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2， 即a n ＝(4n －2)×⎝⎛⎭⎫12n ＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1， 所以数列{a n }的通项公式是a n ＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫12n －1.。