2005-06高数试卷

中国农业大学2005 ~2006 学年 第 二 学期 高等数学（A 、B ） 课程考试试题 (A 卷)试 题（2006/6）一、 填空题 （满分15分，每小题3分，共5道小题），请将答案写在横线上.1．函数yz x u 2=在点)1,1,1(P 处沿(2,2,1)方向的方向导数为_____________.2．函数xy z =在条件1=+y x 下的极大值=___________.3．设L 为圆周922=+y x ，取逆时针方向，则曲线积分⎰-+-L dy x x dx y xy )2()32(2=__________.4．设⎩⎨⎧<≤+<≤--=ππx x x x f 0101)(2，且以π2为周期，则)(x f 的傅里叶级数在点π=x 处收敛于_____________.5．微分方程0)(=++dx y x xdy 的通解为__________________.二、选择题 （满分15分，每小题3分，共5道小题），请将合适选项填在括号内.1. 设有直线L :21211-=+=-z y x 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏ （ ） (A) 垂直； (B) L 在∏上 ； (C) 平行； (D) 斜交.2．下列命题不正确的是（ ）(A)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点连续；(B)),(y x f 在点),(00y x 的偏导数存在，则),(y x f 在该点连续；(C)),(y x f 的偏导数在点),(00y x 连续，则),(y x f 在该点可微；(D)),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在该点的偏导数存在.3．设∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰∑ydS 的值是（ ） (A) 334 ； (B) 0； (C) 34； (D) π.4．设α为常数，则级数∑∞=-13]1sin [n nn n α（ ） (A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 敛散性与α有关； (D) 发散.5．若21,y y 是二阶齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个特解，21,C C 为两个任意常数，则2211y C y C y +=（ ）(A ) 是该方程的解； (B ) 是该方程的特解；(C ) 是该方程的通解； (D ) 不一定是该方程的解.三、（10分）求过点)2,1,3(0-P 且通过直线12354:z y x l =+=-的平面方程.四、（10分）设函数),(y x z z =由方程)(22z x yf z x -=+确定，其中f 为可微函数， 证明：x y z y x z z =∂∂+∂∂.五、（10分）计算积分：⎰⎰⎰⎰+x x x dy y x dx dy y x dx 242212sin 2sin ππ.六、（11分）设)(x f 具有二阶连续导数，1)0(',0)0(==f f ，曲线积分dy y x x f dx y x f xy y x L ])('[])([222++-+⎰与路径无关，求)(x f .解：由xQ y P ∂∂=∂∂，整理得)(x f 满足微分方程2)()(x x f x f =+''七、（12分）求幂级数∑∞=-1121n n n x n 的收敛域，并求其和函数.八、（12分）计算曲面积分⎰⎰∑++++212222)()(z y x dxdy a z axdydz ，其中∑为222y x a z ---=的上侧，a 为大于零的常数.九、（5分）设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有二阶连续导数，且0)0(,0)0(='=f f ， 证明级数∑∞=1)1(n n f 绝对收敛.。

2005年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷题号 一 二 三 四 五 六 总分 核分人 分数一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题 干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为 （ ）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是 （ ） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是 （ ）A. xB.2xC. x 2D. 22x解： ⇒-x e x~12~12x ex -,应选B.4.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→121lim n n n （ ） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则 常数=a （ ） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 得分 评卷人6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （ ）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D. 7.由方程y x e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为 （ ）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx ey y x yx )()(-=-++,dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （ ）A. 1)]([+n x f nB. 1)]([!+n x f nC. 1)]()[1(++n x f nD. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='',⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x f C.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( ) A.增加,曲线)(x f y =为凹的 B.减少,曲线)(x f y =为凹的 C.增加,曲线)(x f y =为凸的 D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B. 11.曲线xe y 1-= （ ） A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C. 12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （ ） A.t a b 2sin B.ta b32sin -C.t a b 2cos D.t t a b22cos sin - 解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22ta b t a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx ex f xx11)(，则=)(x f （ ）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （ ）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （ ）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aadx x f )( （ ）A.0B.⎰adx x f 0)(2 C.⎰--aadx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaa aa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （ ）A.C x x +-2sin 2121 B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21 解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是 （ ）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰a x dt t f )(是)(x f -的一个原函数D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰ba dx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是 （ ） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行 解：n s n s⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz ∂∂存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln= ，则=)2,1(dz （ ） A.dx x y 2 B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+ 解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln-=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是 （ ） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰22),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是 （ ） A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dyC.⎰⎰422),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A. 25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（ ）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (ardr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θc o s 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，则=+⎰Ldy x xydx 22（ ）A. -1B.1C. 2D. -1 解：L ：,2⎩⎨⎧==xy x x x 从0变到1 ,14222104131332===+=+⎰⎰⎰xdx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n nnC ．∑∞=-121)1(n n n D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B. 28. 下列命题正确的是 （ ） A ．若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛B ． 若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数)(212n n n v u+∑∞=收敛C ． 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛，则级数21)(n n nv u+∑∞=收敛D ． 若级数∑∞=1n nn vu 收敛，则级数∑∞=1n nu与∑∞=1n n v都收敛解：正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv收敛⇒∑∞=12n nu与∑∞=12n nv收敛，而)(2)(222n n n n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛 ，应选C 。

广州大学2005-2006学年第二学期考试卷高等数学（90学时）参考解答与评分标准一．填空题（每空2分，本大题满分20分）1. 设y x xy z sin -=, 则=∂∂x zy x y cos -，=∂∂∂y x z 22cos 1yx +. 2. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的法向量=n)2,4,2(,切平面方程为62=++z y x . 3. =⎰⎰x dy y x dx 02110=⎰145dx x 1.4. 幂级数∑∞=+0)1(2n n nn x 的收敛半径=R 2, 收敛域∈x )2,2[-.5. 微分方程065=+'-''y y y 的通解为=y x xe C eC 3221+，微分方程xxe y y y 265=+'-''的待定特解形式为=*y xeb ax x 2)(+.学院专业 班级姓名二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)1. ),(y x f 在点),(00y x 连续是偏导数),(00y x f x 和),(00y x f y 存在的( D ). (A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件.2. =→→x xyy x sin lim20( B ).(A) 1; (B) 2; (C) 21; (D) ∞.3. 设L 为曲线2x y =上从点)0,0(到点)1,1(的一段弧, 则⎰=Lds y ( C ).(A) ⎰+10241dx x; (B)⎰+141dy y ; (C) ⎰+1241dx x x ; (D)⎰+11dy y ;4. 下列级数条件收敛的是( A ). (A)∑∞=-1)1(n nn ; (B) ∑∞=-12)1(n n n; (C) ∑∞=-12)1(n nn ; (D) ∑∞=-1)2(n nn .5. 方程0)(223=++dy x y xydx 是( D ).(A) 可分离变量的微分方程; (B) 一阶齐次微分方程; (C) 一阶线性微分方程; (D) 全微分方程.三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 求)2,(2y x xy f z +=的偏导数和全微分(其中(,)f u v 具有连续偏导数).解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f f y '+'=.............................................................3分 yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂212f y f x '+'=……………………………………...5分 dy f y f x dx f f y dy yzdx x z dz )2()2(2121'+'+'+'=∂∂+∂∂=……………….…7分2. 已知),(y x f z =是由方程y x z e z2sin =+确定的隐函数, 求x z ∂∂和22x z∂∂.解 记y x z e F z 2sin -+=，则xy F x 2-=，z e F zz cos +=……………2分ze xy F F x z z z x cos 2+=-=∂∂…………………………………………………….4分 22x z ∂∂2)c o s ()s i n (2)c o s(2z e z z e xy z e y z x z z +--+=…………………………….…6分 3222)cos ()sin (4)cos (2z e z e y x z e y z z z +--+=……………………………...7分3. 求2(,)32ln 2y f x y x xy x =+--的极值. 解 令 2300xy f y xf y x ⎧=--=⎪⎨⎪=-=⎩， 得驻点 (1,1),(2,2)……………………………………………………………...3分 22xx A f x==，1xy B f ==-，1yy C f ==1222-=-=xB ACD ……………………………………………………4分在点(1,1)处，01>=D ，且20A =>，5(1,1)2f =为极小值………………6分在点(2,2)处，021<-=D ，(2,2)f 不是极值………………………………..7分四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）1. 设二次积分⎰⎰-=22021),(x x dy y x f dx I . 1) 画出二次积分I 中的积分区域D ;2) 改换二次积分I 的积分次序; 3) 将二次积分I 化为极坐标形式的二次积分. 解 1）作图从略…………………………………………………………………2分 2） ⎰⎰-+=21111),(y dx y x f dy I ………………………………………………..4分 3） ⎰⎰=θθπρρθρθρθcos 2sec 4)sin ,cos (d f d I ………………………………..7分2. 计算22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的有界闭区域. 解22()x y dxdydz Ω+⎰⎰⎰=⎰⎰⎰Ωθρρdz d d 3……………………………………..2分⎰⎰⎰=22320202ρπρρθdz d d ………………………………………………………4分⎰-=253)22(2ρρρπd …………………………………………………….….6分π316=………………………………………………………………………….7分3. 计算曲线积分=I ⎰+-Ldy x dx y xy 22)2(, 其中L 是由曲线21x y -=与x轴所围区域D 的正向边界曲线. 解 由格林公式得 ⎰⎰=D ydxdy I 2………………………………………………………………..3分⎰⎰--=210112x y d ydx …………………………………………………………5分 ⎰--=112)1(dx x ……………………………………………………………..6分34=…………………………………………………………………………..7分五．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分)1）判别级数∑∞=12n nn的敛散性； 2）判别级数∑∞=12cos 2n n nn 是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散?解 1） 记n n nu 2=，因 121l i m 1<=+∞→nn n u u …………………………………...2分所以级数∑∞=1n nu收敛……………………………………………………………….3分2） 因n nn u nn v ≤=|2cos 2|……………………………………………………....4分 而级数∑∞=1n nu收敛，由比较审敛法知级数∑∞=1n nv收敛…………………………...5分原级数绝对收敛……………………………………..…………………………......6分2. (本题8分)将函数x xx f -+=11ln )(展开成x 的幂级数, 并求级数∑∞=-1)12(41n n n 的和.解 +-+++-=+-nn x n x x x x 132)1(32)1l n (，（11≤<-x ）………..2分------=-n x n x x x x 132)1l n (32，（11<≤-x ）…………….3分xxx f -+=11ln )()1l n ()1l n (x x --+=…………………………………….4分)1213(2123 +-+++=-n x n x x ，（11<<-x ）…………..…5分∑∞=-1)12(41n nn 12121)12(121-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑n n n ……………………………………………………..6分 3ln 41)21(41==f ……………………………………………………………8分六．解答下列各题（本大题满分14分）1. (本题6分) 求微分方程2)2(221-=--x y x dx dy 的通解. 解 通解为⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=C dx dx x x dx x y )21exp()2(2)21exp(2……………...3分 ⎰+--=])2(2)[2(C dx x x ……………………………………………...5分 )2()2(3-+-=x C x …………………………………………………….6分2. (本题8分)设L 是一条平面曲线, 其上任意一点)0)(,(>x y x P 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距, 且L 过点)0,21(. 求曲线L 的方程. 解 设曲线L 上点),(y x P 处的切线方程为)(x X y y Y -'=-.................................................1分令0=X 得该切线在y 轴上的截距为y x y '-………………………………….2分由题设知 y x y y x '-=+22……………………………..3分令x yu =, 方程化为 xdxu du -=+21…………………………………..4分 解得 C y x y =++22………………………………6分由L 过点)0,21(, 求得21=C ……………………………………………………7分 于是曲线L 的方程为 2122=++y x y即 y x -=41………………………………………..8分。

武汉大学2005—2006学年第二学期 备用《高等数学》（总学时72）考试试题一、试解下列各题（每小题5分，共50分）：1、在曲线t x =, 2t y =, 3t z =上求一点, 使得在该点的切线平行于平面42=++z y x 2、设函数)(x f 在]1,0[上连续，并且⎰=1)(A dx x f ，求⎰⎰101)()(xdy y f x f dx3、找出下列级数中绝对收敛的级数并说明理由。

(A) ∑∞=+-111)1(n nn 、(B) ∑∞=+-1211)1(n n n (C) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211)1(n n n n 、(D) ∑∞=++-122261)1(n n n n 4、设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，求(1,0)dz5、 求幂级数∑∞=---112)12(2)1(n n n n n x 的收敛域。

6、交换积分次序21(,)xe dxf x y dy ⎰⎰7、求解微分方程x e y y y =+'-''22 8、设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，试比较123,,I I I 的大小。

9、求级数∑∞=+1)2(n nxn n 在收敛区间内的和函数。

10、设，zyy x x z 1=++求,x y z z 二、（8分）设),(),(y x y x y x f ϕ-=, 其中),(y x ϕ在点)0,0(的邻域内连续,(1) ),(y x ϕ满足什么条件, 偏导数)0,0(x f ', )0,0(y f '存在?(2) ),(y x ϕ满足什么条件, ),(y x f 在点)0,0(可微? 三、（8分）某饼干厂生产梳打饼及甜饼，梳打饼每斤纯利6角，甜饼每斤纯利4角，制造x 斤梳打饼及y 斤甜饼的成本函数为y x x y x C +++=600010000),(2，而该厂每月的制造预算是20000元, 问应如何分配梳打饼及甜饼的生产, 才能使利润最大? 四、（8分）计算⎰⎰+Dny x dxdy 222)(，其中n 为正整数，}.),{(2222b y x a y x D ≤+≤=五、（8分）设)(22y x f u +=在第一象限内有二阶连续的偏导数，且02222=∂∂+∂∂yux u ，21)(lim 1=-→x x f x ，试求()f x 的表达式。

2005年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式2cos2sin2sin sin βαβαβα−+=+ 2sin2cos2sin sin βαβαβα−+=−2cos2cos2cos cos βαβαβα−+=+ 2sin2sin2cos cos βαβαβα−+−=−若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概 率P n （k ）=kn kkn p p C −−)1(一组数据n x x x ,,,21 的方差])()()[(1222212x x x x x x nS n −++−+−= 其中x 为这组数据的平均值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}则=C B A )( （ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，4}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4} 2．函数)(31R x x y x∈+=−的反函数的解析表达式为（ ）A ．32log 2−=x y B ．23log 2−=x yC ．23log 2xy −= D ．xy −=32log 23．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894．在正三棱柱中ABC —A 1B 1C 1，若AB=2，AA 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ）A ．43B ．23 C ．433 D ．35．ABC BC A ABC ∆==∆则中,3,3,π的周长为（ ）A ．3)3sin(34++πB B ．3)6sin(34++πBC ．3)3sin(6++πB D ．3)6sin(6++πB6．抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 （ ）A ．1617B ．1615 C ．87 D ．07．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．9.4，0.484B ．9.4，0.016C ．9.5，0.04D ．9.5，0.0168．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若βαγβγα//,,则⊥⊥；②若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂； ③若βαβα//,,//l l 则⊂；④若.//,//,,,n m l n m l 则γαγγββα=== 其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．设5)2(,5,4,3,2,1+=x k 则的展开式中kx 的系数不可能是 （ ）A ．10B ．40C ．50D ．80 10．若=+=−)232cos(,31)6sin(απαπ则（ ）A ．97− B ．31−C ．31D ．97 11．点P （－3，1）在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上. 过点P 且方向为a =（2，－5）的光线，经直线2−=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．33B ．31 C ．22 D ．21 12．四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打 算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法 种数为 （ ）A ．96B ．48C ．24D ．0第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在答题卡相应位置. 13．命题“若122,−>>bab a 则”的否命题为 . 14．曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是 . 15．函数)34(log 25.0x x y −=的定义域为 .16．函数=+∈=k k k a a则),1,[,618.03 .17．已知a ，b 为常数，若=−++=+++=b a x x b ax f x x x f 5,2410)(,34)(22则 . 18．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则OA （OB +OC ）的最小值是 .三、解答题：本大小题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程.20．(本小题满分12分，每小问满分4分)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是4332和.假设两人射击是否击中目 标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?21． (本小题满分14分，第一小问满分6分,第二、第三小问满分各4分) 如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，120.SA=AB=AE=2，BC=DE=3，∠BAE=∠BCD=∠CDE=(Ⅰ)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示);(Ⅱ)证明BC⊥平面SAB(Ⅲ)用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小(本小问不必写出解答过程)22． (本小题满分14分，第一小问满分4分,第二小问满分10分)已知R a ∈，函数.||)(2a x x x f −=(Ⅰ)当a =2时,求f(x)=x 使成立的x 的集合; (Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.23． (本小题满分14分，第一小问满分2分, 第二、第三小问满分各6分)设数列｛a n ｝的前n 项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且n n S n S n )25()85(1+−−+,,3,2,1, =+=n B An 其中A ，B 为常数.(Ⅰ)求A 与B 的值;(Ⅱ)证明数列｛a n ｝为等差数列;(Ⅲ)证明不等式15>−n m mn a a a 对任何正整数m 、n 都成立.数学试题参考答案一、选择题：本题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分。

2005-2006(1)高等数学（B 卷）（72学时）参考解答及评分标准一．填空题（每小题3分，本大题满分15分）1．无穷小量. 2．定义域；值域. 3．x 2sec . 4．C x F +)( 5．概率.二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)1. ╳2. √ 3．╳ 4. ╳ 5. ╳三．解答下列各题（每小题5分，共25分）1．解: 由 ⎩⎨⎧≥-≠0160sin 2x x 。

2分 得 ⎩⎨⎧≤≤-∈≠44,x Z k k x π。

4分 定义域为 ]4,(),0()0,(),4[ππππ ---。

5分2．解: )1(1122'++++='x x x x y 。

2分 )21211(1122x x x x ⋅++++=。

4分 112+=x 。

5分3．解: )2(3632-=-='x x x x y ,。

1分 令0='y 得驻点01=x 、22=x 。

2分 在区间)0,(-∞、),2(∞+内，0>'y ，)0,(-∞、),2(∞+为函数的单调增加区间;。

4分 在区间)2,0(内，0<'y ，)2,0(为函数的单调减少区间.。

5分 4．解: 原式)25(5sin 52)2sin(lim 0-⋅⋅--=→x x x x x 。

3分 25-=。

5分5．解: 原式2203111lim x x x +-=→。

3分 )1(31l i m 20x x +=→。

4分 31=。

5分四．解答下列各题（每小题5分，共30分）1．解: 原积分⎰=x d xln ln 1。

2分 C x +=ln ln 。

5分2．解: 令1-=x t ，则12+=t x 原积分⎰+=202212dt t t 。

2分 ⎰+-=202)111(2dt t 。

3分 20]arctan [2t t -=。

4分 2arctan 24-=。

5分3．解: 原积分⎰-=20cos πx d x⎰+-=2020cos |cos ππxdx x x 。