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大一上学期高数期末考试
一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 )(
0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f
（ ）(0)2f '= （ ）(0)1f '=（ ）(0)0f '= （ ）()f x 不可导
）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα
（ ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （ ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（ ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （ ）()x β是比()x α高阶的无穷小 若
()()()02x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）
（ ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （ ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（ ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （ ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
)
(
)( , )(2)( )(1
0=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设
（ ）22x （ ）2
2
2x +（ ）1x - （ ）2x +
二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
=
+→x
x x sin 2
)
31(lim
,)(cos 的一个原函数是已知
x f x x =⋅⎰x x x
x f d cos )(则
lim (cos cos cos )→∞-+++=
2
2
2
21n n n n n n ππ
π
π
=
-+⎰
2
12
1
2
211
arcsin －
dx x
x x
三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .d )1(17
7
x x x x ⎰+-求
．
求，， 设⎰--⎪⎩⎪
⎨⎧≤<-≤=1 32
)(1020)(dx x f x x x x xe x f x
设函数)(x f 连续，
=⎰1
()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数 求'()g x 并讨论
'()g x 在=0x 处的连续性
求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解
四、 解答题（本大题 分）
已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点
M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的 倍
与该点纵坐标之和，求此曲线方程 五、解答题（本大题 分）
过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及 轴围成平面图形
求 的面积 ； 求 绕直线 旋转一周所得旋转体的体积
六、证明题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0
=⎰
π
x d x f ，0
cos )(0
=⎰
π
dx x x f 证
明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()(）
解答
一、单项选择题 本大题有 小题 每小题 分 共 分 、 、 、 、
二、填空题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
6
e c x x +2
)cos (21 2π
3
π
三、解答题（本大题有 小题，每小题 分，共 分）
解：方程两边求导
(1)cos()()0x y
e y xy xy y +''+++= cos()
()cos()x y x y
e y xy y x e x xy +++'=-+
0,0x y ==，(0)1y '=- 解：7
67u x x dx du ==
1(1)112()7(1)71u du du u u u u -=
=-++⎰⎰原式
1
(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712
ln ||ln |1|77x x C =-++
解：1
03
30
()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰
3
()x xd e --=-+⎰⎰
00
2
32
cos (1sin )x x
xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰
令
321
4
e π
=
--
解：由(0)0f =，知(0)0g =。
===
⎰⎰1
()()()x
xt u
f u du
g x f xt dt x
(0)x ≠
02
()()()(0)
x
xf x f u du
g x x x
-'=
≠⎰
2
0()()A
(0)lim lim
22x
x x f u du
f x
g x x →→'===⎰
02
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A
g x A x
→→-'==-
=
⎰，'()g x 在=0x 处连续。
解：2
ln dy y x
dx x +=
2
2
(ln )
dx dx
x x y e e xdx C -⎰⎰=+⎰
2
11
ln 39x x x Cx -=
-+
1
(1),0
9y C =-=，
11ln 39y x x x =- 四、 解答题（本大题 分）
解：由已知且
2d x
y y x y
'=+⎰，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
