惠州市2014高三第一次调研考数学(文科)答案

图1图2惠州市2024届高三第一次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1.已知集合{}*|,6U x x x =∈≤N ，{}1,2,3A =，{}3,5B =，求()U A B = ð（）团用数学软件制作“蚊香”模型，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D ，由此得到第1段圆弧 AD ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到如图2所示的“蚊香”恰好有11段圆弧时，则该“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．30πD ．44π多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且12d a =，59a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=-，求{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，//AD BE ，2AD BE =，AB BC =.（1）问：在线段CD 上是否存在点P ，使得PE ⊥平面ACD ？若存在，请指出点P 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．（2）若AB =，2AC =，2AD =，求平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为()0,1F ，O 为坐标原点，线段OA 的中点为D ，且BD DF =．（1）求C 的方程；（2）已知点M N 、均在直线2=x 上，以MN 为直径的圆经过O 点，圆心为点T ，直线AM AN 、分别交椭圆C 于另一点P Q 、，证明直线PQ 与直线OT 垂直．22．（本小题满分12分）惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分题号12345678答案BCACDBDA1.【解析】由已知可得{}1,2,3,5A B ⋃=，{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}6,4=B A C U ，故选：B ．5.【解析】由弧长公式r l ⋅=α得：r l ⋅=31，r l 232⋅=，r l 333⋅=，...，r l 11311⋅=，其中1==AB r ，()ππ44113213211321=+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=∴l l l l L 蚊香的长度故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

则 （ ）A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，则向量53-a b =( ) A. (7,16)-- B.(7,34)-- C.(7,4)-- D.(7,14)-4.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( )A. 3410x y +-=B. 3410x y ++=或3490x y +-=C. 3490x y ++=D. 3410x y +-=或3490x y ++= 5.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B.若//,a b b α⊂,则//a αC.若//,,,a b αβαγβγ== 则//a bD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是( )A.12 B. 0 C. 1 D. 327.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.98.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( ) A.10个 B.15个 C.16个 D.18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{n a },满足381,6a a ==,则此数列的前10项 的和10S = .11.已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α . 12.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =, 则(8.5)f = .13.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈ 的距离是.7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 415.（几何证明选讲选做题）如图,AD 为圆O 直径,BC 切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ ,4,1AB DC ==,则AD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()22,f x x x x R =∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2)若28f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α. 17.（本小题满分12分）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值.19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，若570s=，且2722,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<. 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；ABCEO（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A MB M =-， 求点M 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）已知二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式. (2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x ax m =--+(||1m >)存在零点,并求出零点.参考答案一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1.【解析】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ，故}3,2{=N M ，故选C. 2.【解析】1i i -(1)11222i i i +==-+，所以点（11,)22-位于第二象限.故选B. 3.【解析】∵⊥a b ,∴4-202m m ⋅==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b .故选A.4.【解析】圆2220x y y ++=的圆心为(0,1)-,半径为1r =,因为直线12//l l ,所以,设直线1l 的方程为340x y c ++=,11c =⇒=-或9c =.所以,直线1l 的方程3410x y +-=或3490x y ++=.故选D.(二）【解析】对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“若//,,,a b αβαγβγ== ,则//a b ”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为211121=⋅⋅.故选A. 7.【解析】设切点为00(,)M x y ，则03003x x y -= ①， ∵33)(200-='=x x f k ，又切线l 过A 、M 两点， ∴0016x y k -=则00201633x y x -=- ②联立①、②可解得2,200-=-=y x ，从而实数a 的值为21692a k --===-故选D. 8.【解析】从定义出发,抓住,a b 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当,a b 同奇偶时,根据m ※n =m n +将12分拆两个同奇偶数的和,当,a b 一奇一偶时,根据m ※n =mn 将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.若,a b 同奇偶,有1211121039485766=+=+=+=+=+=+,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有25111⨯+=;若,a b 一奇一偶,有1211234=⨯=⨯,每种可以交换位置,这时有224⨯=;∴共有11415+=个.故选B二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．94.5 10．35 11．34π （或135︒） 12．1- 13．36 14．15． 59.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】1103810()10()1071035222a a a a S +⨯+⨯⨯====.11.【解析】 直线l 与直线10x y --=垂直得1tan l k α=-=，∴34απ=. 12.【解析】(8.5)(5.53)(5.5)(2.53)(2.5)(0.53)f f f f f f =+==+==-+(0.5)(0.5)20.51f f =-=-=-⨯=-.13.【解析】42402()5(34)W F x dx dx x dx ==++=⎰⎰⎰205x +42234362x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.【解析】由4sin ρθ=得圆O 为22(2)4x y +-=,圆O 的圆心(0,2)C 直线()6R πθρ=∈的直角坐标方程为0x -=，所以点(0,2)C 到直线()6R πθρ=∈的15.【解析】连接OE , BC 切圆O 于点E ,OE BC ∴⊥.又 ,AB BC DC BC ⊥⊥，O 是AD 中点，1()2OE AB DC ∴=+.25AD OE ∴==三、解答题：16.解(1)∵()2222cos sin 2sin cos 22244f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以2sin 28f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即sin α= ………………………8分又α是第二象限的角,所以cos 4α===-……10分所以sin 22sin cos 2448ααα⎛==⨯-=- ⎝⎭ ………12分 17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ=== ………8分 ∴ξ的分布列为………10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯= (12)分 18（本小题满分14分）解: (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC =⊥ 则、,AD BC ⊥.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.BC OD ===………………………3分OAOB ⊥ 、OA OC ⊥,,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥平面则AD ==在直角三角形OAD 中,有OA OD OH AD⋅===…6分（另解:由112,3633ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知(2)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥ 面又面则EFC ∠就是所求二面角的平面角. ……………9分 作EG CF ⊥于G ,则126EG OH == 在直角三角形OAB 中,OA OB OF AB ⋅== 在直角三角形OEF 中,EF ===……………12分30766sin arcsin .(arccos )1818EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为1830 ……………14分 方法二: (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z =则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =,……4分则点O 到面ABC 的距离为113n OA d n ⋅=== ……6分 (2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=-……8分设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z = 则由n AB ⊥ 知:20;n AB x z ⋅=-=由n EB ⊥ 知:20.n EB x y ⋅=-= 取(1,2,2).n =……………10分 由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n =……………11分则cos <1,n n >1118n n n n ⋅====. ……………13分结合图形可知,二面角E AB C --的正弦值是1830……………14分 19.（本题满分14分）解：（1） 数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ①…2分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分 由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分（2）证明;由（1）可得224n s n n =+， …………7分 所以211111()2442ns n n n n ==-++.…………8分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++ 111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. …………10分3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT <. …………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.………13分 ∴1368nT≤<. …………14分20解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,即2c =， ……………2分整理得22()10c c aa++=，得1c a=-(舍)或12c a =，所以12e =. ……………4分（2）由（1）知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF方程为),y x c =- ……………………………………………5分,A B两点的坐标满足方程组2223412)x y c y x c ⎧+=⎪⎨-⎪⎩,消去y 并整理得2580,x cx -=……6分解得1280,,5x x c ==得方程组的解110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2285x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩……………………8分不妨设8((0,)5A cB ,设M 的坐标为(,)x y 则8(,5AM x c y =-(,)BM x y =+， …………10分由),y x c =-得3c x y =-.于是38,),55AM x y =-()BM x = …………11分由2AM BM =-得38)(255y x x y -⋅+=-，化简得218150x --=， ………………………………13分将2y =c x y =得210516x c x+=，由0c >得0x >.因此,点M的轨迹方程是218150(0)x x --=>. …14分21解：∵()2f x x <的解集为(12)-，, ∴220ax b x c +-+<（）的解集为(12)-，, ……………………1分 ∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和 即202a 4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x ax a x a a =+--> ……2分 （1）∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0ax a x a +-+=有两个相等的实根∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=, ∴2a =-或23a =…………3分 ∵0a >,∴23a =, ∴2244()333f x x x =+- …………4分（2）222228(2)()(2)224a a a f x ax a x a a x aa----=+--=++（） ∵0a >,∴()f x 的最小值为228(2)4a a a---, ……………………5分则228(2)34a a a a---≤-,23440a a +-≤,解得223a -≤≤, …………7分∵0a >,∴203a <≤………………………………8分11 （3）由2()()0,(0,1)y f x x ax m a m =--+=>>,得2(1)2(2)0a x x a m -+-+= (※)①当1a =时,方程(※) 有一解12m x =+, 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点12m x =+； ……………………9分 ②当1a ≠时, 242(2)(1)a m a m ⎡⎤∆=+-+-⎣⎦方程(※)有一解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+-=⎣⎦, 令214440m m ∆=+-≥得22m m ≥≤-或, ||1m > 11m m ><-即或，∴ i)当1m >，aa 2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-. ……………10分 ii)当2m ≤-时，a 的两根都为正数，∴当aa =2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-.11分 ⅲ)当21m -<<-时，214440m m ∆=+-<，0∴∆>③方程(※)有二解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+->⎣⎦,i) 若1m >,214440m m ∆=+->，a ,（a ），函数2()()y f x x ax m =--+ 有两个零点1,2x …12分 ii)当2m <-时，214440m m ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当a >0a < 函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x ……13分ⅲ)当21m -≤<-时，214440m m ∆=+-≤，0∴∆>恒成立， ∴a 取大于0(1a ≠)的任意数，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x …14分。

2014惠州一模数学D20至40岁 11 16 27 大于40岁 15 8 23 总计262450(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥O ABC-的侧棱,,OA OB OC两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值. 19.（本小题满分14分）已知等差数列{}na 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，若570s=，且2722,,a a a 成等比数列.（1） 求数列{}na 的通项公式；（2）设数列1ns ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤<.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b +=的左右焦BO xy F FP A M A BCEO点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A MB M =-， 求点M 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）已知二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式.(2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x ax m =--+(||1m >)存在零点,并求出零点.惠州市2014届高三第一次调研考试数学 (理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答C B AD CA D B案1.【解析】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ，故}3,2{=N M ，故选C.2.【解析】1i i -(1)11222i i i +==-+，所以点（11,)22-位于第二象限.故选B.3.【解析】∵⊥a b ,∴4-202m m ⋅==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b .故选A.4.【解析】圆2220xy y ++=的圆心为(0,1)-,半径为1r =,因为直线12//l l ,所以,设直线1l 的方程为340x y c ++=,由题意得221134c =⇒=-+或9c =.所以,直线1l 的方程3410x y +-=或3490x y ++=.故选D.(二）【解析】对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“若//,,,a b αβαγβγ==,则//a b ”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为211121=⋅⋅.故选A.7.【解析】设切点为0(,)M x y ，则03003x x y -= ①，∵33)(20-='=xx f k ，又切线l 过A 、M 两点，∴016x y k -=则00201633x y x-=- ②联立①、②可解得2,200-=-=y x，从而实数a 的值为21692a k --===-故选D. 8.【解析】从定义出发,抓住,ab 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当,a b 同奇偶时,根据m ※n =m n +将12分拆两个同奇偶数的和,当,a b一奇一偶时,根据m ※n =mn 将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可. 若,a b 同奇偶,有1211121039485766=+=+=+=+=+=+,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有25111⨯+=;若,a b 一奇一偶,有1211234=⨯=⨯,每种可以交换位置,这时有224⨯=; ∴共有11415+=个.故选B二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．94.5 10．35 11．34π （或135︒） 12．1- 13．36 14．3 15． 59.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 .10.【解析】1103810()10()1071035222a a a a S+⨯+⨯⨯====.11.【解析】直线l 与直线10x y --=垂直得1tan lkα=-=，∴34απ=.12.【解析】(8.5)(5.53)(5.5)(2.53)(2.5)(0.53)f f f f f f =+==+==-+(0.5)(0.5)20.51f f =-=-=-⨯=-.13.【解析】42402()5(34)W F x dx dx x dx ==++=⎰⎰⎰205x +42234362x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.【解析】由4sin ρθ=得圆O 为22(2)4xy +-=,圆O 的圆心(0,2)C 直线()6R πθρ=∈的直角坐标方程为30x -=，所以点(0,2)C 到直线()6R πθρ=∈的距离是3.15.【解析】连接OE ,BC切圆O 于点E ,OE BC ∴⊥.又,AB BC DC BC⊥⊥，O是AD中点，1()2OE AB DC ∴=+.25AD OE ∴==三、解答题： 16.解(1)∵22()2222cos sin 2sin cos 22244f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以32sin 282f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即3sin 4α=………………………8分又α是第二象限的角,所以22313cos 1sin 14αα⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪⎝⎭10分所以31339sin 22sin cos 2ααα⎛=== ⎝⎭………12分17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ,∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间,∴ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分 则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ===………8分 ∴ξ的分布列为ξ 0 12P25815115……10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=………12分18（本小题满分14分）解: (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC=⊥则、,AD BC ⊥.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.2222, 2.BC OD OC CD ==-= ………………………3分OA OB⊥、OA OC ⊥,,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥平面则223AD OA OD =+=,在直角三角形OAD中,有26.3OA OD OH AD ⋅===…6分（另解:由1126,.)3633ABCV S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知(2)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面则EFC∠就是所求二面角的平面角. ……………9分作EG CF ⊥于G ,则16.26EG OH ==在直角三角形OAB 中,,5OA OBOF AB⋅==在直角三角形OEF中,2241,55EF OE OF =+=+=……………12分63030766sin ,arcsin .(arccos )31818185EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为,故所求的正弦值是1830 ……………14分方法二: (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z轴建立空间直角坐标系.则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =,……4分则点O 到面ABC 的距离为116114n OA d n ⋅===++ (6)分(2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=- ……8分 设平面EAB的法向量为(,,),n x y z =则由n AB⊥知:20;n AB x z ⋅=-=由n EB⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n = ……………10分由(1)知平面ABC的法向量为1(1,1,2).n = ……………11分则cos <1,n n >1176189636n nn n ⋅====⋅. ……………13分结合图形可知,二面角E AB C--的正弦值是1830……………14分19.（本题满分14分）解：（1）数列{}na 是等差数列且570s=，∴151070a d +=. ①…2分 2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分 由①，②解得16,4ad ==或114,0(ad ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分（2）证明;由（1）可得224nsn n=+， (7)分 所以211111()2442ns n n n n ==-++. …………8分所以123111111nn nTs s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++3111()8412n n =-+++.…………10分3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT<. …………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.………13分∴1368nT≤<. …………14分20解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,即22()2a c b c-+=， ……………2分整理得22()10c ca a++=，得1ca=-(舍)或12c a =，所以12e =. ……………4分（2）由（1）知2,3a c b c==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF 方程为3(),y x c =- ……………………………………………5分,A B两点的坐标满足方程组22234123()x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理得2580,xcx -=……6分 解得1280,,5xx c ==得方程组的解1103,x y c =⎧⎪⎨=-⎪⎩228533x c c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………8分不妨设833(),(0,3)5c A c B c ,设M 的坐标为(,)x y 则 833(,),5cAM x c y =-(,3)BM x y c =+， (10)分 由3(),y x c =-得3c x y =-.于是833833(,),55AM x y =-(3)BM x x = …………11分由2AM BM =-得833833()()3255x y x x y x -⋅+=-，化简得218163150x xy --=， ………………………………13分将2163y x代入3c x y =得210516x c x+=， 由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是2183150(0)x xy x --=>. …14分 21解：∵()2f x x <的解集为(12)-，, ∴220axb xc +-+<（）的解集为(12)-，, ……………………1分∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和 即202a 4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x axa x a a =+--> (2)分 （1）∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0axa x a +-+=有两个相等的实根∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=, ∴2a =-或23a = …………3分 ∵0a >,∴23a =, ∴2244()333f x x x =+- …………4分 （2）222228(2)()(2)224a a a f x ax a x a a x a a----=+--=++（）∵0a >,∴()f x 的最小值为228(2)4a a a---, ……………………5分则228(2)34a a a a---≤-,23440aa +-≤,解得223a -≤≤, …………7分∵0a >,∴203a <≤ ………………………………8分（3）由2()()0,(0,1)y f x x ax m a m =--+=>>,得2(1)2(2)0a xx a m -+-+=(※)①当1a =时,方程(※) 有一解12m x =+, 函数2()()y f x xax m =--+有一零点12mx =+； ……………………9分②当1a ≠时, 242(2)(1)am a m ⎡⎤∆=+-+-⎣⎦方程(※)有一解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+-=⎣⎦, 令214440m m ∆=+-≥ 得222222m m ≥≤-或,||1m >11m m ><-即或，∴i)当1m >，22444m m m a -++-22444m m m a --+-根舍去）），函数2()()y f x xax m =--+有一零点11x a=-. ……………10分ii) 当222m ≤-时，a 的两根都为正数，∴当22444m m m a -++-22444m m m a --+-函数2()()y f x xax m =--+有一零点11x a=-.11分 ⅲ) 当2221m -<<-时，214440mm ∆=+-<，0∴∆>③方程(※)有二解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+->⎣⎦, i) 若1m >,214440mm ∆=+->，22444m m m a -++-,（22444m m m a --+-），函数2()()y f x xax m =--+有两个零点()221,2242(2)(1)12(2)(1)a m a m a m a m x ⎡⎤-±+-+--±+-+-⎣⎦ (12)分 ii) 当222m <-时，214440mm ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当22444m m m a -++-224440m m m a --+-<时，函数2()()y f x xax m =--+有两个零点21,212(2)(1)a m a m x-±+-+-13分ⅲ) 当2221m -≤<-时，214440m m ∆=+-≤，0∴∆>恒成立，∴a取大于0(1a ≠)的任意数，函数2()()y f x xax m =--+有两个零点21,212(2)(1)a m a m x -±+-+-…14分。

惠州市2014届高三第二次调研考试试题答案数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项2．【解析】特称命题的否定为：对任意实数x ，都有210x x +-≥，选A ；3．【解析】由221169x y -=可知2216,9a b ==，22216925c a b =+=+= 所以5,4c a ==，离心率54c e a ==，选B 4．【解析】圆心()2,1-到直线4y =-的距离为()413---= ，而圆的半径为3， 距离等于半径，所以直线与圆相切，选A ；5．【解析】由a b ⊥得110x +⋅=，解得x = 选D ；6．【解析】要使解析式有意义，必须满足310x->，解得0x >，选D ；7．【解析】()()341295a a a a +-+=-，即44,1d d ==，得12a =，据等差数列前n 项和公式()112n n n S a n d -=+得()1010101210652S ⨯-=⨯+=，选C8．【解析】据五点法可得5122113122ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2ω=，3πϕ=-，选A ；9．【解析】若,//,m n αα⊂则m 与n 的位置关系不能确定，所以命题①错误， 若,//,m n m n αα⊥⊥则，命题②正确，若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题③正确，两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题④正确，综上所述，选B ； 10．【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心，重心为中线 的一个三等分点，如图所示，图中六边形A B C D E F P P P P P P 区域为集合S 所表示的平面区域，选D 。

二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，共20分） 11．2- 12．111213．6 14 15．4 11．【解析】由()212i i -=-，可得虚部为2-； 12．【解析】第一次循环：1,42s n ==； 第二次循环：3,64s n ==；； 第三次循环：1112s =，8n =；跳出循环，输出1112s =；13．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点()3,0时；2z x y =+的值最大，即max 6z =；14．【解析】2ρ=化为普通方程为2222x y +=，可知圆心坐标为()0,0，sin 2cos 1ρθρθ+=化为普通方程为210x y +-=，d ==15．【解析】据切割线定理可得()23BD BD CD +=，即()(23BD BD +=，解得4BD =或7-，舍去7-，所以4BD =。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标I 文科卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则M B =I （ ） A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21B. 22C. 23D. 2（4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25 D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数， 则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A. B.21 C. 21D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3， 则输出的M =( ) A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点，zxxk x F A 045=，则=x 0（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8（11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7， 则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值 范围是（A ）()2,+∞ （B ）()1,+∞ （C ）(),2-∞- （D ）(),1-∞- 第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 （13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测 得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

惠州市2014届高三第一次调研考试数学试题(理科）（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

则 （ ）A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知平面向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，则向量53-a b =( ) A. (7,16)-- B.(7,34)-- C.(7,4)-- D.(7,14)-4.已知直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,则直线1l 的方程是( )A. 3410x y +-=B. 3410x y ++=或3490x y +-=C. 3490x y ++=D. 3410x y +-=或3490x y ++= 5.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( ) A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥ B.若//,a b b α⊂,则//a α C.若//,,,a b αβαγβγ==则//a b D.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα6.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是( )A.12 B. 0 C. 1 D. 327.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，则实数a 的值是( )A.3-B.3C.6D.98.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( ) A.10个 B.15个 C.16个 D.18个二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.已知等差数列{n a },满足381,6a a ==,则此数列的前10项 的和10S = .11.已知直线l 与直线01=--y x 垂直，则直线l 的倾斜角=α . 12.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =, 则(8.5)f = .13.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x = (单位：m )处,则力()F x 做的功为 焦. 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是.7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 415.（几何证明选讲选做题）如图,AD 为圆O 直径,BC 切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ ,4,1AB DC ==,则AD 等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()2,f x x x x R ∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2)若282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α. 17.（本小题满分12分）某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示：(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.（本小题满分14分）如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值.19.（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，若570s=，且2722,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<. 20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F P F 为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率e ；ABCEO（2）设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A M B M =-， 求点M 的轨迹方程．21.（本小题满分14分）已知二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式. (2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x ax m =--+(||1m >)存在零点,并求出零点.参考答案一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1.【解析】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ，故}3,2{=N M ，故选C. 2.【解析】1i i -(1)11222i i i +==-+，所以点（11,)22-位于第二象限.故选B. 3.【解析】∵⊥a b ,∴4-202m m ⋅==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b .故选A.4.【解析】圆2220x y y ++=的圆心为(0,1)-,半径为1r =,因为直线12//l l ,所以,设直线1l 的方程为340x y c ++=,11c =⇒=-或9c =.所以,直线1l 的方程3410x y +-=或3490x y ++=.故选D. (二）【解析】对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“若//,,,a b αβαγβγ==,则//a b ”.故选C6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示， 故面积为211121=⋅⋅.故选A. 7.【解析】设切点为00(,)M x y ，则03003x x y -= ①， ∵33)(200-='=x x f k ，又切线l 过A 、M 两点， ∴0016x y k -=则00201633x y x -=- ② 联立①、②可解得2,200-=-=y x ，从而实数a 的值为21692a k --===-故选D. 8.【解析】从定义出发,抓住,a b 的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当,a b 同奇偶时,根据m ※n =m n +将12分拆两个同奇偶数的和,当,a b 一奇一偶时,根据m ※n =mn 将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.若,a b 同奇偶,有1211121039485766=+=+=+=+=+=+,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有25111⨯+=;若,a b 一奇一偶,有1211234=⨯=⨯,每种可以交换位置,这时有224⨯=;∴共有11415+=个.故选B二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．94.5 10．35 11．34π （或135︒） 12．1- 13．36 14．15． 59.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】1103810()10()1071035222a a a a S +⨯+⨯⨯====.11.【解析】直线l 与直线10x y --=垂直得1tan l k α=-=，∴34απ=. 12.【解析】(8.5)(5.53)(5.5)(2.53)(2.5)(0.53)f f f f f f =+==+==-+(0.5)(0.5)20.51f f =-=-=-⨯=-.13.【解析】42402()5(34)W F x dx dx x dx ==++=⎰⎰⎰205x +42234362x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.【解析】由4sin ρθ=得圆O 为22(2)4x y +-=,圆O 的圆心(0,2)C 直线()6R πθρ=∈的直角坐标方程为0x =，所以点(0,2)C 到直线()6R πθρ=∈的15.【解析】连接OE,BC 切圆O 于点E ,OE BC ∴⊥.又,AB BC DC BC ⊥⊥，O 是AD 中点，1()2OE AB DC ∴=+.25AD OE ∴== 三、解答题：16.解(1)∵()2222cos sin 2sin cos 244f x x x x x ππ⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以2sin 28f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即sin α= ………………………8分 又α是第二象限的角,所以cos α===……10分所以sin 22sin cos 2448ααα⎛==⨯-=- ⎝⎭ ………12分 17解：(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分则0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ=== ………8分 ∴ξ的分布列为………10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯=………12分 18（本小题满分14分）解: (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC ⊥.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.BC OD ===………………………3分OAOB ⊥、OA OC ⊥,,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥平面则AD ==在直角三角形OAD 中,有OA OD OH AD⋅===…6分（另解:由112,3633ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知(2)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面则EFC ∠就是所求二面角的平面角. ……………9分 作EG CF ⊥于G ,则12EG OH == 在直角三角形OAB 中,OA OB OF AB ⋅== 在直角三角形OEF 中,EF ===……………12分30766sin arcsin .(arccos )1818EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为1830 ……………14分 方法二: (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分 设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =,……4分 则点O 到面ABC 的距离为111n OA d n ⋅===……6分 (2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=- ……8分 设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =则由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-= 由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n = ……………10分 由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n = ……………11分则cos <1,n n >11189n n n n ⋅====⋅. ……………13分结合图形可知,二面角E AB C --的正弦值是1830……………14分 19.（本题满分14分）解：（1）数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ①…2分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分（2）证明;由（1）可得224n s n n =+， …………7分 所以211111()2442ns n n n n ==-++. …………8分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. (10)分3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT <. …………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.………13分∴1368nT≤<.…………14分20解：（1）设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,即2c ， ……………2分 整理得22()10c c aa++=，得1ca=-(舍)或12c a =，所以12e =.……………4分（2）由（1）知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF 方程为),y x c =- ……………………………………………5分,A B 两点的坐标满足方程组2223412)x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理得2580,x cx -=……6分解得1280,,5x x c ==得方程组的解110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2285x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩……………………8分不妨设8((0,)5A cB ,设M 的坐标为(,)x y 则8(,5AM x c y =-(,)BM x y =， …………10分由),y x c =-得3c x y =-.于是8338(,),55AM x y =-()BM x =…………11分由2AM BM =-得38)(255y x x y -⋅+=-，化简得218150x --=，………………………………13分将2y =c x y =得210516x c x+=，由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218150(0)x x --=>. …14分21解：∵()2f x x <的解集为(12)-，, ∴220ax b x c +-+<（）的解集为(12)-，, ……………………1分 ∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和 即202a 4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x ax a x a a =+--> ……2分 （1）∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0ax a x a +-+=有两个相等的实根∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=, ∴2a =-或23a =…………3分 ∵0a >,∴23a =, ∴2244()333f x x x =+- …………4分（2）222228(2)()(2)224a a a f x ax a x a a x aa----=+--=++（） ∵0a >,∴()f x 的最小值为228(2)4a a a ---, ……………………5分则228(2)34a a a a---≤-,23440a a +-≤,解得223a -≤≤, …………7分∵0a >,∴203a <≤………………………………8分（3）由2()()0,(0,1)y f x x ax m a m =--+=>>,得2(1)2(2)0a x x a m -+-+= (※)①当1a =时,方程(※) 有一解12m x =+, 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点12m x =+； ……………………9分 ②当1a ≠时, 242(2)(1)a m a m ⎡⎤∆=+-+-⎣⎦方程(※)有一解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+-=⎣⎦, 令214440m m ∆=+-≥得22m m ≥≤-或, ||1m >11m m ><-即或，∴ i)当1m >，a a 2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-. ……………10分ii) 当2m ≤-时，a 的两根都为正数，∴当a =a 2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-.11分ⅲ) 当21m -<<-时，214440m m ∆=+-<，0∴∆>③方程(※)有二解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+->⎣⎦,i) 若1m >,214440m m ∆=+->，a >,（a ），函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x …12分ii) 当2m <-时，214440m m ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当a 0a <时，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x ……13分ⅲ) 当21m -≤<-时，214440m m ∆=+-≤，0∴∆>恒成立，∴a 取大于0(1a ≠)的任意数，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x …14分。