惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学(教师版)

2019-2020学年广东省惠州市高三（上）第一次调研数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,1，2，3，4}，N={x|(x−2)(x−5)<0}，则M∩N=()．A. {3,4}B. {2,3,4，5}C. {2,3,4}D. {3,4,5}2.若a1−i=1−bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|=()A. 2−iB. 2+iC. 5D. √53.某学校随机抽取100名学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则每周使用时间在[20,25)内的学生的人数为()A. 10B. 12C. 15D. 144.6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有()A. A44A32种B. A44C52种C. A44A52种D. 44A52种5.如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1 2(BC⃗⃗⃗⃗⃗ −BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )等于()A. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. FA⃗⃗⃗⃗⃗ C. AF⃗⃗⃗⃗⃗ D. EF⃗⃗⃗⃗⃗6.已知等比数列{a n}的公比为3，a1=2，前n项和S n=242，则n=()A. 3B. 4C. 5D. 67.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，双曲线C的一条渐近线方程为√3x+y=0，则双曲线C的方程为()A. x23−y2=1 B. x2−y23=1 C. x24−y212=1 D. x212−y24=18.将函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π8个单位长度，所得图象对应的函数()A. 在区间[π16,5π16]上单调递增 B. 在区间[π2,3π4]上单调递减 C. 在区间[3π4,π]上单调递减D. 在区间[3π4,5π4]上单调递增9. 平面α与平面β平行的条件可以是( )A. α内有无数条直线都与β平行B. 直线a ⊂α，b ⊂β，且a//β，b//αC. 直线a//α，a//β，且直线a 不在α内，也不在β内D. 一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β10. 设抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A. 34B. −34C. 3D. −311. 在区间[0,1]上随机取两个数x 和y ，则y ≥|x −12|的概率为( )A. 16B. 25 C. 34D. 1412. 已知偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，a =0.63，b =log 0.63，c =30.6，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是( )A. f(a)<f(c)<f(b)B. f(a)<f(b)<f(c)C. f(b)<f(c)<f(a)D. f(c)<f(a)<f(b)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数y =x +1x−3(x >3)的最小值为______________．14. 在△ABC 中，AC =1，AB =√2，D 为BC 的中点，∠CAD =2∠BAD ，则BC 的长为______．15. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 32=a 1⋅a 4 ，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3−S 2S5−S 3的值为____________．16. 已知棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是BC 的中点，点P 是侧面DCC 1D 1内(包括边界)的一个动点，且满足∠APD =∠MPC.则当三棱锥P −BCD 的体积最大时，三棱锥P −BCD 的外接球的表面积为____________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 满足sinA−sinB+sinCsinC=sinBsinA+sinB−sinC ．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．18.如图，三棱锥S−ABC中，D是线段AC的中点，AB⊥BC，AS⊥SC，BC=2，CS=2√2，∠BCS=45°．(Ⅰ)求证：AS⊥BS；(Ⅱ)若∠ABS=60°，求二面角C−BS−D的大小．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，短轴长为2√2．(1)求C的方程；(2)过点(4,0)，且斜率不为零的直线l与C交于两点M、N，在x轴上是否存在定点T，使得直线MT与NT的斜率之积为常数？若存在，求出定点T的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由．20. 设函数．⑴求函数f(x)的单调区间；⑴若关于x 的方程f(x)=x 2+x +a 在[0,2]上恰有两个相异实根，求实数a 的取值范围．21. 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13． (1)若出现故障的机器台数为X ，求X 的分布列；(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润，若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+ty =t +1(t 为参数)，曲线P 在以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2−4ρcosθ+3=0． (1)求曲线C 的普通方程和曲线P 的直角坐标方程；(2)设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．23.已知f(x)=|x+1|+|ax−1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≤4的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)<x+2恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析： 【分析】本题考查描述法、列举法表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算． 可求出集合N ，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：∵N ={x|2<x <5}， ∴M ∩N ={3,4}． 故选A ．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，两个复数相等的条件，求复数的模，属于基础题． 由条件可得a =1−b −(b +1)i ，根据两个复数相等的条件求出a 、b 的值，可得|a +bi|=√a 2+b 2 的值． 【解答】解：∵a ，b ∈R ，且a1−i =1−bi ， 则a =(1−bi)(1−i)=(1−b)−(1+b)i ，∴{a =1−b,0=1+b,∴{a =2,b =−1, ∴|a +bi|=|2−i|=√22+(−1)2=√5．3.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了频率分布直方图，考查学生的观察能力和理解能力，属于基础题．解：由频率分布直方图可知：5×(0.01+0.02+a +0.04+0.04+0.06)=1， 解得a =0.03，即在[20,25)内的学生数为0.03×5×100=15， 故选C ．4.答案：C解析： 【分析】本题主要考查排列与组合的应用，属于基础题．先排其余四人，有A 44种方法，然后对甲乙二人进行插空即可． 【解答】解：由题意可知：利用插空法不同排法共有A 44A 52种，故选C ．5.答案：C解析：解：连接AF ，E ，F 分别是BC ，CD 的中点， 则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出．本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：根据题意，等比数列{a n }的公比为3，a 1=2， 则其前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q=2(1−3n )1−3=242，解可得n =5， 故选：C ．根据题意，由等比数列的前n 项和公式可得S n =a 1(1−q n )1−q=2(1−3n )1−3=242，解可得n 的值，即可得答案．本题考查等比数列的性质与前n 项的计算，关键是掌握等比数列前n 项和的计算公式．7.答案：B解析：本题考查双曲线的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和准线，以及双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．首先根据抛物线性质可得c=2，即a2+b2=4，然后通过渐近线求出结果．【解答】解：设双曲线的右焦点为(c,0)，抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，∴c=2，即a2+b2=4，∵双曲线的渐近线方程为√3x+y=0，即b=√3a，解得a=1，b=√3，则双曲线的方程为x2−y23=1．故选B．8.答案：D解析：【分析】本题考查函数图象的平移及正弦函数的性质，属于基础题．直接由函数图象平移法则得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=1即可得到函数在区间[3π4,5π4]上单调递增，则答案可求．【解答】解：把函数y=sin(2x−π4)的图象向左平移π8个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π8)−π4].即y=sin2x．当函数递增时，−π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ，k∈Z，得−π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z．取k=1，得3π4≤x≤5π4．∴所得图象对应的函数在区间[3π4,5π4]上单调递增．故选D．9.答案：D解析：【分析】根据平面与平面平行的判定定理可得．本题考查了平面与平面平行，属基础题．【解答】解：只有平面内两条相交的线都平行于另外一个平面，则两平面平行，A .α内有无数条直线都与β平行，则这无数条直线可能相互平行，不相交，故A 错；B .直线a ⊂α，b ⊂β，且a//β，b//α，若a 、β相交，且a 、b 平行于两平面的交线，满足题目条件，但两平面相交；故B 错C .直线a//α，a//β，且直线a 不在α内，也不在β内，若a 、β相交，且平行于两平面的交线，满足题目条件，但两平面相交；故C 错一个平面内两条不平行的直线必相交，根据平面与平面平行的判定定理可知选D 正确． 故选：D ．10.答案：B解析： 【分析】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式，通过给变量取特殊值，检验所给的选项，是一种简单有效的方法． 【解答】解：抛物线y 2=2x 的焦点F(12,0)，当AB 的斜率不存在时，可得A(12,1)，B(12,−1)， ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1)⋅(12,−1)=14−1=−34，结合所给的选项可知应选B ， 故选B ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查几何概型的概率求法，利用面积比求概率，明确几何测度是解答的关键．由题意，求出两个变量对应的区域面积，利用面积比求概率． 【解答】解：在区间[0,1]上随机选取两个数x 和y ，对应的区间为边长为1的正方形，面积为1，如图所示．在此条件下满足y ≥|x −12|的区域面积为1−2×12×12×12=34， 故所求概率为34． 故选C ．12.答案：A解析： 【分析】本题考查偶函数的定义，指数的运算及性质，对数的运算及性质，是基础题．根据f(x)为偶函数即可得出f(b)=f(log 0.613)，可以得出0<0．63<30.6<log 0.613，而f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而得出f(a)，f(b)，f(c)的大小关系． 【解答】解：∵f(x)为偶函数；∴f(b)=f(log 0.63)=f(−log 0.63)=f(log 0.613)；∵0<0.63<1,log 0.613>log 0.60.62=2，1<30.6=335=√275<√325=2；∴0<0．63<30.6<log 0.613； 又f(x)在(0,+∞)上单调递增； ∴f(a)<f(c)<f(b)． 故选：A ．13.答案：5解析： 【分析】根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．【解答】 解：∵x >3， ∴x −3>0，∴y =x +1x−3=x −3+1x−3+3≥2√(x −3)·1x−3+3=5， 当且仅当x −3=1，即x =4时取等号， ∴y =x +1x−3(x >3)的最小值为5． 故答案为5．14.答案：√5解析： 【分析】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题． 在△ABD 中和在△ADC 中，利用正弦定理分别求出sin∠ADB 和sin∠ADC ，再结合条件求出∠BAC ，最后在△ABC 中，利用余弦定理求出BC ． 【解答】解：在△ABD 中，由正弦定理，有BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ，∴sin∠ADB =√2sin∠BAD BD，在△ADC 中，由正弦定理，有ACsin∠ADC =DCsin∠CAD ，∴sin∠ADC =sin∠CADDC．∵D 为BC 的中点，∠CAD =2∠BAD ，∴√2sin∠BAD =sin2∠BAD =2sin∠BADcos∠BAD ， ∴cos∠BAD =√22，∴∠BAD =π4，∠CAD =π2，∴∠BAC =3π4，∴由余弦定理，有BC 2=AB 2+AC 2−2AB ⋅ACcos∠BAC =2+1−2√2⋅(−√22)=5，∴BC =√5． 故答案为：√5．15.答案：2解析：【分析】本题考查等差数列与等比数列知识的综合应用，属于中档题目． 由题意求得a 1=−4d 是解题的关键． 【解答】解：由已知设公差为d(d ≠0)， 则(a 1+2d)2=a 1(a 1+3d)， 所以a 1=−4d ， 所以S 3−S 2S5−S 3=a 3a4+a 5=a 1+2d 2a 1+7d=−2d −d=2．故答案为2．16.答案：21π解析： 【分析】本题考查了三棱锥及其外接球的体积，轨迹问题，二次函数的最值，属于较难题． 作，垂足为O ，设DO =x ，PO =ℎ，先求得体积最大时x 和h 的值，再球外接球半径即可得解． 【解答】解：∵在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， M 是BC 的中点，点P 是面DCC 1D 1所在的平面内的动点， 且满足，∴Rt △ADP ∼Rt △MCP ， ∴ADMC =PD PC=2，即PD =2PC ，作，垂足为O ，设DO =x ，PO =ℎ，∴√x 2+ℎ2=2√(3−x)2+ℎ2 ，化简得：3ℎ2=−3x 2+24x −36，(0⩽x ⩽3)，根据函数单调性判断：x =3时，3ℎ2最大值为9，ℎmax =√3， 此时三棱锥的体积最大，设三棱锥P −BCD 的外接球的球心距平面BCD 为m ，半径为r ， 则r 2=m 2+(32)2+(32)2=(√3−m)2+(32)2+(3−32)2，解得r =√212，所以外接球表面积为4πr²=21π，故答案为21π．17.答案：解：(1)设内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，根据，可得a−b+c c=ba+b−c ，∴a 2=b 2+c 2−bc ， ∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc2bc =12，又0<A <π，；(2)由正弦定理得， ，由余弦定理得3=b 2+c 2−bc ≥2bc −bc =bc ， ∴ΔABC 的面积为S =12bcsinA ≤12×3×√32=3√34，(当且仅当b =c 时取等号)， ∴△ABC 面积S 的最大值为3√34.解析：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式与基本不等式的应用问题，是中档题．(1)根据题意，利用正弦、余弦定理，即可求出角A 的值；(2)由正弦、余弦定理，利用三角形面积公式与基本不等式，即可求得ΔABC 面积的最大值．18.答案：(Ⅰ)证明：在△BCS 中，由余弦定理可知，BS 2=BC 2+CS 2−2BC ·CS ·cos∠BCS =4， 故B S =2，则BC 2+BS 2=CS 2，∴BS ⊥BC ． 又AB ⊥BC ，BS ∩AB =B ，∴BC ⊥平面ABS ， 又AS ⊂平面ABS ，故BC ⊥AS ，又AS ⊥SC ，BC ∩SC =C ，故A S ⊥平面SBC ， 又BS ⊂平面SBC ，故A S ⊥BS ． (Ⅱ)在Rt △ABS 中，AB =2BS =4，由(Ⅰ)中BC ⊥平面ABS ，得平面ABC ⊥平面ABS ．∵平面ABC ∩平面ABS =AB ，在平面ABS 内，过点B 作一条直线垂直AB ， 则此直线垂直平面ABC ，以B 为原点，分别以射线BA ，BC 为x 轴、y 轴正方向，所作直线为z 轴， 建立空间直角坐标系B −xyz ，则B(0,0，0)，A(4,0，0)，C(0,2，0)，D(2,1，0)， 由∠ABS =60°，得x s =1，z s =√3，故S(1,0,√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)，BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)， AS⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,0,√3)， 设平面BSD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅BS ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +√3z =0,m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y =0,取z =1，解得{x =−√3,y =2√3,∴m ⃗⃗⃗ =(−√3,2√3,1)是平面BSD 的一个法向量． ∵AS ⊥平面CBS ，∴AS⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面CBS 的一个法向量． 设二面角C −BS −D 的大小为θ，易知θ为锐角， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅AS ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||AS⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，故二面角C −BS −D 的大小为60°．解析：本题考查线面垂直的判定和性质、向量法求二面角．(Ⅰ)将线线垂直转化为线面垂直，先证明AS ⊥平面SBC ，进而得到AS ⊥BS ；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，分别求出平面CBS 和平面BSD 的法向量，进而求得二面角的大小．19.答案：解：(1)由题知b =√2，c a =√32，∵a 2=b 2+c 2， ∴a =2√2，c =√6， 故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1；(2)由题意设直线ι的方程为x =my +4，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{x =my +4x 28+y 22=1得(m 2+4)y 2+8my +8=0，所以{y 1+y 2=−8mm 2+4y 1y 2=8m 2+4△=64m 2−32(m 2+4)>0, 故x 1+x 2=m(y 1+y 2)+8=32m 2+4， x 1x 2=m 2y 1y 2+4m(y 1+y 2)+16=64−8m 2m 2+4．假设存在定点T(t,0)，使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数，则 k MT ·k NT =y 1y 2(x 1−t)(x 2−t)=y 1y 2x 1x 2−t x 1+x 2+t =8t −8m +4(t−4)，当t 2−8=0，且t −4≠0时，k MT ·k NT 为常数，解得t =±2√2． 显然当t =2√2时，常数为3+2√24；当t =−2√2时，常数为3−2√24． 所以存在两个定点T 1(2√2,0)，T 2(−2√2,0)， 使得直线MT 与NT 的斜率之积为常数， 当定点为T 1(2√2,0)时，常数为3+2√24；当定点为T 2(−2√2,0)时，常数为3−2√24．解析：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，以及圆锥曲线的定值问题，属于较难题． (1)由题知b =√2，ca=√32，∵a 2=b 2+c 2，得到方程；(2)由{x =my +4x 28+y 22=1得(m 2+4)y 2+8my +8=0，则k MT ·k NT =y 1y 2(x1−t)(x 2−t)=y 1y 2x 1x 2−t (x 1+x 2)+t2=8(t 2−8)m 2+4(t−4)2，得到定值．20.答案：解：(1)函数的定义域为(−1,+∞)，∵f(x)=(1+x)2−2ln(1+x)， ∴f′(x)=2(x +1−1x+1)，由f′(x)>0，得x >0， 由f′(x)<0，得−1<x <0，∴f(x)的递增区间是(0,+∞)，递减区间是(−1,0)； (2)方程f(x)=x 2+x +a ， 即x −a +1−2ln(1+x)=0，记g(x)=x −a +1−2ln(1+x)(x >−1)， 则g′(x)=1−21+x =x−1x+1，由g′(x)>0，得x >1；由g′(x)<0，得−1<x <1， ∴g(x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增， 为使f(x)=x 2+x +a 在[0,2]上恰有两个相异的实根， 只须g(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根， 于是有{g(0)≥0g(1)<0g(2)≥0，即{−a +1≥02−a −2ln2<03−a −2ln3≥0，解得2−2ln2<a ≤3−2ln3，故实数a 的取值范围是(2−2ln2,3−2ln3]．解析：本题考查了函数的单调性，函数的零点与方程的根的关系，导数的应用，是一道综合题． (1)先求出函数的导数，从而求出单调区间；(2)构造新函数g(x)，由零点存在性定理列不等式组，从而求出a 的范围．21.答案：解：(1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为A ，则事件A 的概率为13，该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X ，故X ～B(4,13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681，P(X =1)=C 41(13)(23)3=3281，P(X =2)=C 42(13)2(23)2=2481， P(X =3)=C 43(13)3(23)=881， P(X =4)=C 44(13)4=181．∴X 的分布列为： X 01234P168132812481881181(2)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18，13，8， P(Y =18)=P(X =0)+P(X =1)+P(X =2)=7281，P(Y =13)=P(X =3)=881， P(Y =8)=P(X =4)=181， 即Y 的分布列为： Y 18138P7281881181则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881，故该厂获利的均值为140881．解析：(1)利用二项分布列的性质与计算公式即可得出．(2)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有可能取值为：18，13，8，利用(1)的分布列及其互斥事件的概率计算公式即可得出．本题考查二项分布列的概率计算公式及其数学期望、互斥事件的概率计算公式，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是中档题．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程为{x =2+ty =t +1(t 为参数)，消去参数t 得到曲线C 的普通方程为x −y −1=0； 因为曲线P 在极坐标系下的方程为，所以曲线P 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x +3=0； 即(x −2)2+y 2=1；(2)曲线P 为(x −2)2+y 2=1，表示圆心在(2,0)，半径r =1的圆，则圆心到直线C的距离为d=√1+1=√22，故|AB|=2√r2−d2=√2．解析：此题考查直角坐标系与极坐标、参数方程之间的互化，熟练掌握极坐标、参数方程与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=2√r2−d2是解题的关键．(1)消去参数t，得到曲线C的普通方程为x−y−1=0，利用，，即可得出P 的直角坐标方程；(2)利用点到直线的距离公式，可求出圆心到直线的距离d和弦长l=2√r2−d2，即可得出．23.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=|x+1|+|x−1|即f(x)={−2x,x⩽−1, 2,−1<x<1, 2x,x⩾1.故不等式f(x)≤4的解集为{x|−2≤x≤2}．(2)若x∈(0,1)时，不等式f(x)<x+2恒成立，即|x+1|+|ax−1|<x+2恒成立，等价于当x∈(0,1)时|ax−1|<1恒成立．若a⩽0，则当x∈(0,1)时|ax−1|⩾1，不满足条件；若a>0，|ax−1|<1的解集为0<x<2a ，所以2a⩾1，故0<a⩽2．综上，a的取值范围为(0,2]．解析：本题考查了不等式和绝对值不等式，是中档题．(1)分段去绝对值，分别在每一段内解不等式，然后求并集；(2)不等式等价于当x∈(0,1)时|ax−1|<1恒成立，由分类讨论思想，再由不等式恒成立求得a的范围．。

惠州市2020届高三第一次调研考试 理科数学参考答案及评分细则一、选择题：1．【解析】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即()02M =，，{}1M N ∴=，故选B ．2．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是()3200020072572⨯+⨯=．．．人．故选B ． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，故选A.5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选C ． 6．【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得()()631111911a q a q qq--=⨯--，∴319q +=，∴2q =．又()515112316212a S a -===-，∴12a =．故选B ．7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以22212c b a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，双曲线方程为225514y x -=.故选C. 8．【解析】函数sin y x =的图象向左平移2π个单位后，得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象，()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ；因为()cos=022f ππ=，所以()f x 的图象不关于直线2x π=对称，排除C. 故选D ．9．【解析】对于A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件。

广东省惠州市2020届高三数学第一次调研考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合{}2|20M x x x =-<，{2,1,0,1,2}N =--，则M N =I （ ） A. ∅ B. {}1C. {0}1，D. {101}-，， 【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合M ，然后进行交集的运算即可．【详解】由M 中不等式得()20x x -<，解得02x <<，即(0,2)M =，{}1M N ∴⋂=，故选B ．【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算．2.设()()63235x x i y i ++-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则x yi +等于（ ） A. 5C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算以及复数相等的条件，列出方程组求解即可得x ，y 的值，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由6(32)i 3(5)i x x y ++-=++，得．63325x x y +=⎧∴⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，345x yi i ∴+=-+=﹒故选A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，考查了复数模的求法，是基础题．3.平面向量a r 与b r的夹角为3π，()2,0a =r ，1b =r ，则2a b -=r r ( )A.C. 0D. 2【答案】D 【解析】 【分析】先由()2,0a =r ，求出a r ，再求出a b r n r ，进而可求出2a b -r r【详解】因为()2,0a =r ，所以2a =r ，所以13a b a b cos r rr r n π==，所以22a b -===r r .故选D【点睛】本题主要考查向量模的运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.不透明的箱子中有形状、大小都相同的5个球，其中2个白球，3个黄球．现从该箱子中随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为（ ） A.310B.25C.35D.710【答案】C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数2510n C ==,这2个球颜色不同包含的基本事件个数11236M C C ==，由此能求出这2个球颜色不同的概率．【详解】设2只白球分别为1A 2A ，3只红球分别为1B ，2B ，3B ，从5只球中随机摸两只球，其可能结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10个．两只球颜色不同包含的基本事件有{}{}{}{}{}{}111213212223,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B 共6个，所以所求概率为：60.610P ==，故选C ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 点到y 轴的距离是（ ） A. 6 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义转化求解即可．【详解】抛物线24y x =的焦点()10F ，，准线为1x =-，由M 到焦点的距离为10， 可知M 到准线的距离也为10，故到M 到的距离是9，故选C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．6.已知函数()cos(2)0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图像向右平移6π个单位后得函数()2g x cos x =的图像，则ϕ的值为（ ） A.3πB.6π C. 3π-D. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦函数的周期公式可求ω，可得函数解析式()cos(2)f x x ϕ=+，根据三角函数的图象变换及各个选项的值即可求解． 【详解】由题意得22ππω=，故1ω=，()cos(2)f x x ϕ∴=+． ()cos 2cos 2cos 263g x x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，||2πϕ<Q ，3πϕ∴=．故选A .【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）B. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q =，又由()5151131621a q Saq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q=，则2q =，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．8.已知函数()()e xf x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】因为'()(1)xf x x a e =++ ，所以1'(1)(2)'(1)af a e f aee，-=+-==，由题意有(1)'(1)1f f -=- ，所以1a =-，选A.9.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，11AA =，,E F 分别为棱11A B ，11C D的中点，则异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为（ ） A. 0 B.5 C.3 D.25【答案】A 【解析】 【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，连接CF 、AC 、EF ，则BE//CF ，把异面直线AF 与BE 所成的角，转化为相交直线AF 与CF 所成的角，在ACF ∆中，利用余弦定理求解，即可得到答案。

惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{}220M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ）A ．5B C ．D ．23．某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17530．，，样本数据分组为[]17520．，，(]20225，．，(]22525．，，(]25275，．，(]27530．，．根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是（ ） A ．68 B ．72C ．76D ．804．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．3600种 B ．1440种 C ．4820种 D ．4800种 5．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（ ）A ．11+22AB AD B ．1122AB AD --C ．1122AB AD - D ．1122AB AD -+6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） AB ．2CD ．37．设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为2y x =，且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514x y -= D ．225514y x -= 8．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f (x )是奇函数；B ．y ＝f (x )的周期为π；C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称．9．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 则α∥β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β.B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β.C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.10．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）A ．B ．C ．38D ．111．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每F 2:2C y x =N x FN C M 2FM MN =FN =5812人随机写下一个,x y 都小于1的正实数对(,)x y ，再统计其中,x y 能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计结果是=34m ，那么可以估计π的值为（ ）A ．237B ．4715C ．1715D ．531712．已知函数()|)|f x x =，设()3log 0.2a f =，()023b f -=．，()113c f =-．，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知54x >，则函数1445y x x =+-的最小值为________．14．在ABC ∆中，4B π=，AB =，3BC =，则sin A ＝________.15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．已知124,,S S S 成等比数列，且35a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．16．在三棱锥A BCD -中，底面BCD 是直角三角形且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -体积的最大值为__________．三．解答题：共70分。

图1图2惠州市2024届高三第一次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。

1.已知集合{}*|,6U x x x =∈≤N ，{}1,2,3A =，{}3,5B =，求()U A B = ð（）团用数学软件制作“蚊香”模型，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB ，作一个等边三角形ABC ，然后以点B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段CB 的延长线于点D ，由此得到第1段圆弧 AD ，再以点C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段AC 的延长线于点E ，再以点A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到如图2所示的“蚊香”恰好有11段圆弧时，则该“蚊香”的长度为（）A ．14πB ．18πC ．30πD ．44π多项符合题目要求。

全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。

四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，且12d a =，59a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=-，求{}n b 的前n 项和n S ．19．（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，AD ⊥平面ABC ，//AD BE ，2AD BE =，AB BC =.（1）问：在线段CD 上是否存在点P ，使得PE ⊥平面ACD ？若存在，请指出点P 的位置，并证明；若不存在，请说明理由．（2）若AB =，2AC =，2AD =，求平面ECD 与平面ABC 夹角的余弦值．21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为()0,1F ，O 为坐标原点，线段OA 的中点为D ，且BD DF =．（1）求C 的方程；（2）已知点M N 、均在直线2=x 上，以MN 为直径的圆经过O 点，圆心为点T ，直线AM AN 、分别交椭圆C 于另一点P Q 、，证明直线PQ 与直线OT 垂直．22．（本小题满分12分）惠州市2024届高三第一次调研考试数学试题参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分题号12345678答案BCACDBDA1.【解析】由已知可得{}1,2,3,5A B ⋃=，{}1,2,3,4,5,6U =，所以(){}6,4=B A C U ，故选：B ．5.【解析】由弧长公式r l ⋅=α得：r l ⋅=31，r l 232⋅=，r l 333⋅=，...，r l 11311⋅=，其中1==AB r ，()ππ44113213211321=+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=∴l l l l L 蚊香的长度故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。

惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学2019.07全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分12分） 已知的内角、、满足． （1）求角；（2）若的外接圆半径为1，求的面积的最大值．ABC △A B C sin sinsin sin sin sin sin sin A B C B C A B C−+=+−A ABC △ABC △S如图所示，在三棱锥P ABC −中，PC ⊥平面ABC ,3PC =，2ACB π∠=，,D E 分别为线段,AB BC上的点，且CD DE ==22CE EB ==．（1）证明：ED ⊥平面PCD ；（2）求二面角A PD C −−的余弦值．19．（本小题满分12分）已知定点、，直线、相交于点，且它们的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于、两点，是否存在定点0(,0)S x ，使得直线与斜率之积为定值，若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知函数2()2ln(1)(1)f x x x =−−−.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若关于x 的方程2()30f x x x a +−−=在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．P E D C B A某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。

惠州市2020届高三第一次调研考试惠州市2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题：题号123456789101112答案B A B A C B C D D A B C1．【解析】由中不等式得，解得，即，，故选B ．M ()20x x -<02x <<()02M =，{}1M N ∴= 2．【解析】由，得，()()()2i 3i 35i x y +-=++()()632i 35i x x y ++-=++∴，解得，∴．故选A ．63325x x y +=-=+⎧⎨⎩34x y =-=⎧⎨⎩i 34i 5x y +=-+=3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足小时的人数225． 是人．故选B ．()3200020072572⨯+⨯=．．．4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种55A 26A 数是种，故选A.52563600A A =5．【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，E CD 12EC AB = F BC 1122CF CB AD ==- 所以，故选C ．1122EF EC CF AB AD =+=- 6．【解析】由题意得．由得，1q ≠±639S S =()()631111911a q a q q q --=⨯--∴，∴．又，∴．故选B ．319q +=2q =()515112316212a S a -===-12a =7.【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以解得 ，双曲线方程为.故选C.22212c b a c a b =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩221545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩225514y x -=8．【解析】函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，sin y x =2π()sin()cos 2f x x x π=+=为偶函数，排除A ；的周期为，排除B ；()cos f x x =()cos f x x =2π因为，所以的图象不关于直线对称，排除C. 故选D ．()cos =022f ππ=()f x 2x π=9．【解析】对于A ，若存在一条直线，∥，∥，则∥或与相交，若∥，则存在一a a αa βαβαβαβ条直线，使得∥，∥β，所以选项A 的内容是∥的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内a a αa αβ容也是∥的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平αβ面中，成为相交直线，则有∥，所以选项D 的内容是∥的一个充分条件。

惠州市届高三第一次调研考试数学试题(理科〕〔本试卷共4页，21小题，总分值150分。

考试用时120分钟〕本卷须知：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分. 在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，那么 〔 〕A.N M ⊆B.N M =C.}3,2{=N MD.)4,1(=N M 2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 〔 〕 A.第一象限3.平面向量a ()1,2=-，b ()4,m =，且⊥a b ，那么向量53-a b =( ) A. (7,16)-- B.(7,34)-- C.(7,4)-- D.(7,14)-4.直线1l 与直线2:l 3460x y +-=平行且与圆：2220x y y ++=相切,那么直线1l 的方程是( )A. 3410x y +-=B. 3410x y ++=或3490x y +-=C. 3490x y ++=D. 3410x y +-=或3490x y ++= 5.对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,以下命题中真命题是( ),,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,那么a α⊥//,a b b α⊂,那么//a α//,,,a b αβαγβγ==那么//a b ,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,那么//βα6.不等式组201x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤-⎩表示的平面区域的面积是( )A.12 B. 0 C. 1 D. 327.函数x x x f 3)(3-=，假设过点()0,16A 且与曲线()y f x =相切的切线方程为16y ax =+，那么实数a 的值是( )A.3-B.38.对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※〞如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn .那么在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是( )二、填空题：本大题共7小题，每题5分，总分值30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．〔一〕必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.右图是某高三学生进入高中三年来第1次到14次的数学考试成绩 茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 . 10.等差数列{n a },满足381,6a a ==,那么此数列的前10项 的和10S = .11.直线l 与直线01=--y x 垂直，那么直线l 的倾斜角=α .12.设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =, 那么(8.5)f = .13.一物体在力5, 02,()34, 2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩(单位：N )的作用下沿与力F 相同的方向,从0x =处运动到4x = (单位：m )处,那么力()F x 做的功为 焦. 14.〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是 .15.〔几何证明选讲选做题〕如图,AD 为圆O 直径,BC 切圆O 于点E ,,AB BC DC BC ⊥⊥ , 4,1AB DC ==,那么AD 等于 .7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.〔本小题总分值12分〕函数()2,f x x x x R =∈.(1)求()f x 的最大值和最小正周期；(2)假设28f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α. 17.〔本小题总分值12分〕某社团组织50名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是：1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风；2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活开工程,相关的数据如下表所示：(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名? (2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的数学期望.18.〔本小题总分值14分〕如图,三棱锥O ABC -的侧棱,,OA OB OC 两两垂直,且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点.(1)求O 点到面ABC 的距离；(2)求二面角E AB C --的正弦值. 19.〔本小题总分值14分〕等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为ns ，假设570s=，且2722,,a a a 成等比数列.〔1〕 求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<. 20.〔本小题总分值14分〕在平面直角坐标系x o y 中，点(,)(0)P a b a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．△12F P F 为等腰三角形．〔1〕求椭圆的离心率e ；〔2〕设直线2P F 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2P F 上的点，满足2A MB M =-， ABCEO求点M 的轨迹方程．21.〔本小题总分值14分〕二次函数2(),(0)f x ax bx c a =++≠,且不等式()2f x x <的解集为(12)-，.(1) 方程()30f x a +=有两个相等的实根,求()f x 的解析式. (2) ()f x 的最小值不大于3a -,求实数a 的取值范围.(3) a 如何取值时,函数2()()y f x x ax m =--+(||1m >)存在零点,并求出零点.惠州市届高三第一次调研考试 数学 (理科〕参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每题5分，总分值40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBADCADB1.【解析】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ，故}3,2{=N M ，应选C. 2.【解析】1i i -(1)11222i i i +==-+，所以点〔11,)22-. 3.【解析】∵⊥a b ,∴4-202m m ⋅==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b .应选A. 4.【解析】圆2220x y y ++=的圆心为(0,1)-,半径为1r =,因为直线12//l l ,所以,设直线1l 的方程为340x y c ++=,由题意得221134c =⇒=-+或9c =.所以,直线1l 的方程3410x y +-=或3490x y ++=.应选D.(二）【解析】对于平面α、β、γ和直线a 、b ,真命题是“假设//,,,a b αβαγβγ==,那么//a b 〞.应选C6.【解析】不等式组表示的可行域如以以下图， 故面积为211121=⋅⋅.应选A. 7.【解析】设切点为00(,)M x y ，那么03003x x y -= ①，∵33)(200-='=x x f k ，又切线l 过A 、M 两点，∴0016x y k -=那么00201633x y x -=- ②联立①、②可解得2,200-=-=y x ，从而实数a 的值为21692a k --===-应选D. 8.【解析】从定义出发,抓住,a b 的奇偶性对12实行分拆是解决此题的关键,当,a b 同奇偶时,根据m ※n =m n +将12分拆两个同奇偶数的和,当,a b 一奇一偶时,根据m ※n =mn 将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.假设,a b 同奇偶,有1211121039485766=+=+=+=+=+=+,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点(6,6),这时有25111⨯+=;假设,a b 一奇一偶,有1211234=⨯=⨯,每种可以交换位置,这时有224⨯=; ∴共有11415+=个.应选B二．填空题：共7小题，每题5分，总分值30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．94.5 10．35 11．34π 〔或135︒〕 12．1- 13．36 14． 3 15． 5 9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 . 10.【解析】1103810()10()1071035222a a a a S +⨯+⨯⨯====.11.【解析】直线l 与直线10x y --=垂直得1tan l k α=-=，∴34απ=. 12.【解析】(8.5)(5.53)(5.5)(2.53)(2.5)(0.53)f f f f f f =+==+==-+(0.5)(0.5)20.51f f =-=-=-⨯=-.13.【解析】42402()5(34)W F x dx dx x dx ==++=⎰⎰⎰205x +42234362x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.【解析】由4sin ρθ=得圆O 为22(2)4x y +-=,圆O 的圆心(0,2)C 直线()6R πθρ=∈的直角坐标方程为30x y =，所以点(0,2)C 到直线()6R πθρ=∈的315.【解析】连接OE ,BC 切圆O 于点E ,OE BC ∴⊥.又,AB BC DC BC ⊥⊥，O是AD 中点，1()2OE AB DC ∴=+.25AD OE ∴== 三、解答题：16.解(1)∵()2222cos sin 2sin cos 244f x x x x x ππ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ………………………4分∴()f x 的最大值为2,……5分，最小正周期为22T ππ== ………6分 (2)由(1)知,()2sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭所以2sin 282f απα⎛⎫-==⎪⎝⎭,即sin α=………………………8分 又α是第二象限的角,所以cos 4α===-……10分所以sin 22sin cos 2ααα⎛=== ⎝⎭ ………12分 17解：(1)假设在做义工的志愿者中随机抽取6名,那么抽取比例为61244=……………2分 ∴ 年龄大于40岁的应该抽取1824⨯=人. ………………………4分 (2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为ξ, ∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间, ∴ ξ可能的取值为0,1,2. ………………………5分那么0224262(0)5C C p C ξ===,1124268(1)15C C p C ξ===,22261(2)15C p C ξ=== ………8分 ∴ξ的分布列为………10分∴ ξ的数学期望为2812012515153E ξ=⨯+⨯+⨯= ………12分 18〔本小题总分值14分〕解: (1)取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC ⊥.,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于那么OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.2222, 2.BC OD OC CD ==-= ………………………3分OA OB ⊥、OA OC ⊥,,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥平面则223AD OA OD =+=,在直角三角形OAD 中,有26.3OA OD OH AD⋅===…6分〔另解:由1126,.)363ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知(2)连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥面又面那么EFC ∠就是所求二面角的平面角. ……………9分 作EG CF ⊥于G ,那么16.26EG OH == 在直角三角形OAB 中,,5OA OB OF AB ⋅== 在直角三角形OEF 中,2241,55EF OE OF =+=+=……………12分 63030766sin ,arcsin .(arccos )318185EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为故所求的正弦值是1830 ……………14分 方法二: (1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 那么有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……2分 设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 那么由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n =,……4分 那么点O 到面ABC的距离为111n OA d n ⋅===……6分 (2) (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2,0,0)(0,0,1)(2,0,1)EB AB =-=-=-=- ……8分 设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z =那么由n AB ⊥知:20;n AB x z ⋅=-= 由n EB ⊥知:20.n EB x y ⋅=-=取(1,2,2).n =……………10分 由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n = ……………11分 那么cos <1,n n >119n n n n ⋅====⋅. ……………13分 结合图形可知,二面角E ABC --的正弦值是1830……………14分 19.〔此题总分值14分〕解：〔1〕数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ①…2分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………4分由①，②解得16,4a d ==或114,0(a d ==舍去）…………5分∴42n a n =+ ………6分〔2〕证明;由〔1〕可得224n s n n =+， …………7分 所以211111()2442ns n n n n ==-++. …………8分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n=-+++. …………10分 3111()08412n T n n -=-+<++，∴38nT <. …………11分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=.………13分∴1368nT≤<. …………14分20解：〔1〕设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意,可得212PF F F =,2c =， ……………2分 整理得22()10c c aa++=，得1ca=-(舍)或12c a =，所以12e =. ……………4分〔2〕由〔1〕知2,a c b ==,可得椭圆方程为2223412x y c +=.直线2PF方程为),y x c =- ……………………………………………5分,A B两点的坐标满足方程组2223412)x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 并整理得2580,x cx -=……6分解得1280,,5x x c ==得方程组的解110,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2285x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩……………………8分不妨设8((0,)5A cB ,设M 的坐标为(,)x y 那么8(,5AM x c y =-(,)BM x y =， …………10分由),y x c =-得3c x y =-.于是8338(,),55AM x y =-()BM x= …………11分由2AM BM =-得38)(255y x x y -⋅+=-，化简得218150x --=， ………………………………13分将2y =c x y =得210516x c x+=，由0c >得0x >.因此,点M 的轨迹方程是218150(0)x x --=>. …14分21解：∵()2f x x <的解集为(12)-，, ∴220ax b x c +-+<（）的解集为(12)-，, ……………………1分 ∴0a >,且方程220ax b x c +-+=（）的两根为12-和 即202a 4402a b c b a b c c a-++==-⎧⎧⇒⎨⎨+-+==-⎩⎩2，∴2()(2)2,(0)f x ax a x a a =+--> ……2分 〔1〕∵方程()30f x a +=有两个相等的实根,即2(2)0ax a x a +-+=有两个相等的实根∴222(2)403440a a a a ∆=--=⇒+-=, ∴2a =-或23a =…………3分 ∵0a >,∴23a =, ∴2244()333f x x x =+- …………4分〔2〕222228(2)()(2)224a a a f x ax a x a a x aa----=+--=++（） ∵0a >,∴()f x 的最小值为228(2)4a a a ---, ……………………5分那么228(2)34a a a a---≤-,23440a a +-≤,解得223a -≤≤, …………7分∵0a >,∴203a <≤………………………………8分 〔3〕由2()()0,(0,1)y f x x ax m a m =--+=>>,得2(1)2(2)0a x x a m -+-+= (※)①当1a =时,方程(※) 有一解12mx =+, 函数2()()y f x x ax m =--+有一零点12mx =+； ……………………9分 ②当1a ≠时, 242(2)(1)a m a m ⎡⎤∆=+-+-⎣⎦方程(※)有一解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+-=⎣⎦, 令214440m m ∆=+-≥得22m m ≥≤-或, ||1m >11m m ><-即或，∴ i)当1m >，a a 2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-. ……………10分ii) 当2m ≤-时，a 的两根都为正数，∴当aa 2()()y f x x ax m =--+有一零点11x a=-.11分ⅲ) 当21m -<<-时，214440m m ∆=+-<，0∴∆> ③方程(※)有二解242(2)(1)0a m a m ⎡⎤⇔∆=+-+->⎣⎦,i)假设1m >,214440m m ∆=+->，a ,〔a 〕，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x …12分ii) 当2m <-时，214440m m ∆=+->，a 的两根都为正数，∴当a 0a <时，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x 13分ⅲ) 当21m -≤<-时，214440m m ∆=+-≤，0∴∆>恒成立， ∴a 取大于0(1a ≠)的任意数，函数2()()y f x x ax m =--+有两个零点1,2x…14分。

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、（2008•湖南）复数（﹣）等于（）A、8B、﹣8C、8iD、﹣8i2、（2008•江西）定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A、0B、2C、3D、63、（2008•陕西）已知{a n}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A、64B、100C、110D、1204、（2009•浙江）在二项式（﹣）的展开式中，含x4的项的系数是（）A、﹣10B、10C、﹣5D、55、为得到函数（）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位C、向左平移个长度单位D、向右平移个长度单位6、（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（）A、B、C、D、7、（2008•辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A、B、C、D、8、已知﹣，则=（）A、﹣2008B、2008C、2010D、﹣2010二、填空题（共7小题，满分30分）9、设向量a=（1，2），b=（2，3），若向量λa+b与向量c=（﹣4，﹣7）共线，则λ=_________．10、设曲线y=e ax在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=_________．11、（2009•北京）若实数x，y满足﹣则s=y﹣x的最小值为_________．12、（2008•山东）执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=_________．13、某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为5的等腰三角形．则该儿何体的体积为_________．14、已知圆的极坐标方程为ρ=2cosθ，则该圆的圆心到直线ρsinθ+2ρcosθ=1的距离是_________．15、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径为6，sinB=，则线段AC的长是_________．三、解答题（共6小题，满分80分）16、（2006•辽宁）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R，求：（1）函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；（2）函数f（x）的单调增区间．17、（2008•辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：周销售量 2 3 4频数20 50 30（1）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元），若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．18、（2010•重庆）如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．19、设函数f（x）=2ln（x﹣1）﹣（x﹣1）2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若关于x的方程f（x）+x2﹣3x﹣a=0在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．20、已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆：（＞＞）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AB，BS与直线：分别交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN的长度的最小值．21、（2007•四川）已知函数f（x）=x2﹣4，设曲线y=f（x）在点（x n，f（x n））处的切线与x 轴的交点为（x n+1，0）（n∈N*），其中x1为正实数．（Ⅰ）用x n表示x n+1；（Ⅱ）若x1=4，记﹣，证明数列{a n}成等比数列，并求数列{x n}的通项公式；（Ⅲ）若x1=4，b n=x n﹣2，T n是数列{b n}的前n项和，证明T n＜3．答案与评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1、（2008•湖南）复数（﹣）等于（）A、8B、﹣8C、8iD、﹣8i考点：复数代数形式的混合运算。

惠州市2020届高三模拟考试 理科数学 2020.6全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设集合{}|0A x x =>，集合{|B x y ==，则A B =（ ）A ．{}|0x x >B ．{}|01x x <≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|1x x ≥2．已知i 为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．(1)i i +B ．2(1)i i -C ．22(1)i i +D ．234i i i i +++ 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5950a a +=，413a =，则10S =（ ） A ．170 B. 180 C. 189 D. 1904．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，其始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝（ ） A ．1225-B ．2425-C ．85D ．65- 5．函数||xx y xπ=的图象大致形状是（ ）A B C D6．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩（单位：分）对应如下表，对应散点图如右图所示：学生编号12345678数学成绩6065707580859095物理成绩7277808488909395①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则可以判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；④从全班随机抽取2名同学（记为甲、乙），若甲同学的数学成绩为80分，乙同学的数学成绩为60分，则不能判断出甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高；其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在空间中， m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m//α，n//α，则m//n B．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n C．若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥βD．若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β8．“学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台。

2020年广东省惠州市高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={2,−3},B={1,2,5,9}，则A∪B=()A. {2}B. {2,−3}C. {1,2,5,9}D. {−3,1,2,5,9}2.已知i为虚数单位，下列各式的运算结果为纯虚数的是()A. i(1+i)B. i(1−i)2C. i2(1+i)2D. i+i2+i3+i43.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5+a7=14，则S11=()A. 140B. 70C. 154D. 774.已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边过点P(2,−1)，则cos2α等于()A. −35B. −45C. 35D. 455.函数y=xa x|x|(a>1)的图象的大致形状是()A. B.C. D.6.下列命题：①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．其中正确的命题个数为()A. 2B. 3C. 4D. 57.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥βB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nC. 若m ⊥n ，n ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD. 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n8. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有A. 192种B. 240种C. 432种D. 528种 9. 设F 是双曲线C:x 216−y 29=1的右焦点，P 是双曲线C 左支上的点，已知A(1,3)，则△PAF 周长的最小值是( ) A. 3√5B. 3√5+13C. 2√5+13D. 2√5 10. 已知函数的最小正周期为6π，且其图象向右平移2π3个单位后得到函数的图象，则φ等于( )A. 4π9B. 2π9C. π6D. π3 11. 已知△ABC 中，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−8，△ABC 所在平面上一动点P 满足|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A. [−11,−3] B. [−11,1] C. [−12,− 3] D. [−12,1]12. 若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，且x ∈[0,1]时，f(x)=x ，则函数ℎ(x)=f(x)−log 5|x|的零点个数是( )A. 6个B. 8个C. 2个D. 4个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若直线y =3x −2是曲线y =x 3−2a 的一条切线，则实数a 的值为______ ．14. 如果数据x 1,x 2...x n 的方差为8，则的方差为______．15. 已知数列{a n }满足a 1=3且a n+1=4a n +3(n ∈N +)，则数列{a n }的通项公式为______ ．16. 在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA||PB|=λ，当λ>0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点．动点P满足|PA||PB|=2.△PAB面积最大值为163，△PCD面积最小值为23，则椭圆离心率为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知：△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且√3b=2asinB．(Ⅰ)求：角A的大小；(Ⅱ)若a=7，b2+c2=89，求△ABC的面积．18.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E为线段AD的中点，如图1，沿BE将△ABE折起至△PBE，使BP⊥CE，如图2所示．(1)求证：平面PBE⊥平面BCDE；(2)求二面角C−PD−E的余弦值．19.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．方案1：不分类卖出，单价为20元/kg ．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X 表示抽取的是精品果的数量，求X 的分布列及数学期望E(X)．20. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2=4x 相交于不同的A,B 两点．(1)如果直线l 的方程为y =x −1，求弦AB 的长；(2)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．21.已知函数f(x)=xe x+x2−x．(1)求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥ln x+x2+(a−2)x+1恒成立，求实数a的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3cosα,y=√3sinα(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ，射线l：θ=π4(ρ≥0)与曲线C1交于点A．(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若点B在曲线C2上，且OA⊥OB，求|AB|．23.已知f(x)=|x−3|．(1)求不等式f(x)−f(3x)<1的解集；(2)已知a>0，b>0，函数g(x)=f(x)+f(x+4)的最小值为t，a+2b=tab，求2a+b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了集合的并集运算，根据条件中集合A，B，即可得到其并集的结果．解：∵A={2,−3},B={1,2,5,9}，∴A∪B={1,2,−3,5,9}．故选D．2.答案：C解析：本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘法运算化简逐一化简四个选项得答案．解：对于A，i(1+i)=−1+i，不是纯虚数；对于B，i(1−i)2=−2i2=2，不是纯虚数；对于C，i2(1+i)2=−2i，是纯虚数；对于D，i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，不是纯虚数．故选：C．3.答案：D解析：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．由等差数列的性质可得a1+a11=a5+a7=14，代入求和公式可得答案．解：由等差数列的性质可得a1+a11=a5+a7=14，由求和公式可得S11=11(a1+a11)2=11×142=77，故选D．4.答案：C解析：由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，可得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．解：已知角α的顶点在坐标原点，始边为x 轴非负半轴，终边过点P (2,−1)，则x =2，y =−1，r =|OP|=√5，cosα=x r =√5，故选：C ．5.答案：C解析：本题考查了分段函数，指数函数的图象与性质的应用.根据题意，得到f(x)是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，结合指数函数的性质，得到函数图象．解：f(x)是分段函数，根据x 的正负写出分段函数的解析式，f(x)={a x (x >0)−a x (x <0)，(a >1)， ∴x >0时，图象与y =a x 在第一象限的图象一样，x <0时，图象与y =a x 的图象关于x 轴对称．故选C ．6.答案：B解析：两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确．故选B .7.答案：A解析：本题考查空间直线与直线、直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．对四个选项分别进行判断，即可得出结论．解：A ，若m ⊥α，m//n ，则n ⊥α，因为n//β，所以 α⊥β，正确；B ，α//β，m ⊂α，n ⊂β，m ，n 共面时，m//n ，不正确；。

广东省2020年上学期惠州市高三数学第一次调研考试试题答案一、单项选择题：本题共10小题，每小题满分5分，共50分。

1.【解析】由题意可得{}32<<=x x M ，{}0>=x x N ，所以=N M {}0x x >，故选A ． 2.【解析】11i z i i-+==+，故选C ．3.【解析】91)32(21sin 212cos )2cos(22=⨯-=-==-ααα，故选A ．4.【解析】由已知得120431-=∴=⨯+⨯=⋅k k b a ，，故选B ． 5.【解析】连接1CB ，则11//DA CB ，可知1ACB ∆是正三角形，213cos ,cos 1=>=<∴πAC DA ，故选C ．6.【解析】 由题知双曲线的一条渐近线方程为12y x =-，则21-=-ab ，411222222=-=-=∴e aa c ab ，25=∴e ，故选D ．7.【解析】由题意可知该女子每日织布数呈等差数列，设为{}n a ，首项51=a ，39030=S ，可得39022930305=⨯+⨯d ，解之得2916=d ，故选B ．8.【解析】由)(cos )cos()(x f x x x x x f -=-=--=-，所以()f x 为奇函数，排除A ，C ；因为()f x 的大于0的零点中，最小值为2π；又因为06cos6)6(>=πππf ，故选D ．9.【解析】先从4个专家中选2个出来，看成1个专家有624=C 种选法，再将捆绑后的专家分别派到3 个县区，共有633=A 种分法，故总共有3666=⨯种派法。

其中甲、乙两位专家派遣至同一县区有633=A 种，其概率为61366=. 故选A ．10.【解析】 由“局部奇函数”可得： 22422342230x x x x m m m m ---⋅+-+-⋅+-=，整理可得：()()244222260x x x xm m --+-++-=，考虑到()244222x xx x--+=+-，从而可将22x x-+视为整体，方程转化为：()()2222222280xxxxm m--+-++-=，利用换元设22xxt -=+（2t ≥），则问题转化为只需让方程222280t m t m -+-=存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。

惠州市2020届高三第一次调研考试 理科数学 2019.07全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{}220M x x x =−<，{}2,1,0,1,2N =−−，则M N =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}0,1D ．{}1,0,1−2．设()()()2i 3i 35i x y +−=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ）A ．5B ．13C ．22D ．23．某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位：小时），制成了下图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17530．，，样本数据分组为[]17520．，，(]20225，．，(]22525．，，(]25275，．，(]27530．，．根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是（ ） A ．68 B ．72C ．76D ．804．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A ．3600种 B ．1440种 C ．4820种 D ．4800种 5．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（ ）A ．11+22AB AD B ．1122AB AD −−C ．1122AB AD − D ．1122AB AD −+6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ） AB ．2CD ．37．设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的一条渐近线为2y x =，且一个焦点与抛物线24y x =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y −= B ．225514y x −= C ．225514x y −= D ．225514y x −= 8．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f (x )是奇函数；B ．y ＝f (x )的周期为π；C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称．9．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 则α∥β的一个充分条件是（ ）A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β.B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β.C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α.10．已知是抛物线的焦点，是轴上一点，线段与抛物线相交于点，若，则（ ）A ．B ．C ．38D ．111．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个,x y 都小于1的正实数对(,)x y ，再统计其中,x y 能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ，最后根据统计个数m 估计π的值．如果统计F 2:2C y x =N x FN C M 2FM MN =FN =5812结果是=34m ，那么可以估计π的值为（ ） A ．237B ．4715C ．1715D ．531712．已知函数()|)|f x x =，设()3log 0.2a f =，()023b f −=．，()113c f =−．，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为________． 14．在ABC ∆中，4B π=，AB =3BC =，则sin A ＝________.15．设{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．已知124,,S S S 成等比数列，且35a =，则数列{}n a 的通项公式为 ．16．在三棱锥A BCD −中，底面BCD 是直角三角形且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD −的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．三．解答题：共70分。