普通高等学校招生统一考试数学试题 文(天津卷,含解析)(1)

1版+微信 ⎨ ⎩⎩ ⎩ 普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共 150 分. 考试用时 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 5 页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：第Ⅰ卷1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 参考公式:如果事件 A , B 互斥, 那么 P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B )棱柱的体积公式 V = Sh ，其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. 如果事件 A , B 相互独立, 那么 P ( AB ) = P ( A )P (B )球的体积公式V = 4πR 3. 3其中 R 表示球的半径一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则 A ⋂ B =(A) (-∞, 2] 【答案】D(B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【解析】因为 A = {x -2 ≤ x ≤ 2},所以 A B = {x -2 ≤ x ≤ 1}，选 D.⎧3x + y - 6 ≥ 0, (2) 设变量 x , y 满足约束条件 ⎪x - y - 2 ≤ 0, ⎪ y - 3 ≤ 0, 则目标函数 z = y - 2x的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2 【答案】A【解析】由 z = y - 2x 得 y = 2x + z 。

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷，含答案）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。

2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.1.i 是虚数单位，复数131ii--= A.2i - B. 2i + C.12i -- D. 12i -+【答案】A2.设变量,x y 满足约束条件140340x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩,则目标函数3z x y =-的最大值为A.-4B.0C.43D.4【答案】D3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x的值为-4,则输出y的值为A.0.5B.1C.2D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A.23 B.25 C.43 D. 45 【答案】B7.已知函数()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈其中0,.ωπϕπ>-<≤若()f x 的最小正周期为6π,且当2x π=时, ()f x 取得最大值,则A. ()f x 在区间[2,0]π-上是增函数B. ()f x 在区间[3,]ππ--上是增函数C. ()f x 在区间[3,5]ππ上是减函数D. ()f x 在区间[4,6]ππ上是减函数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知集合{}||1|2,A x R x Z =∈-<为整数集,则集合A Z ⋂中所有元素的和等于 . 【答案】310. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 3m . 【答案】411. 已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n N *∈.若316a =,2020S =,则10S 的值. 【答案】110三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15.（本小题满分13分） 编号分别为1216,,,A A A 的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分 1726253322123138区间 [10,20)[20,30)[30,40)人数(Ⅱ)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, (i) 用运动员编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这2人得分之和大于50的概率.16.（本小题满分13分）在ABC ∆中,内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知B=C, 23b a =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos(2)4A π+的值.17.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M为PD 的中点.(Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.(Ⅲ)取DO 点N,连接MN,AN,因为M 为PD 的中点,所以MN∥PO,且MN=12PO=1,由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD,所以MAN ∠是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt DAO ∆中,AD=1,AO=12,所以4DO =,从而124AN DO ==.在Rt ANM ∆中,tan MN MAN AN ∠===5,即直线AM 与平面ABCD【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 18.（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =.（Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.19.（本小题满分14分）已知函数322()4361,,f x x tx t x t x R =+-+-∈其中t R ∈. （Ⅰ）当1t =时,求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程; (Ⅱ)当0t ≠时,求()f x 的单调区间;(Ⅲ)证明:对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点. 【解析】（Ⅰ）当1t =时,32()436,(0)0,f x x x x f =+-=2'()1266,'(0)6f x x x f =+-=-,所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6y x =-. (Ⅱ) 22'()1266,f x x tx t =+-令'()0f x =,解得x t =-或2t,因为0t ≠,以下分两种情况讨论:(1)若0t <,则2tt <-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: x(,)2t -∞ (,)2t t -(,)t -+∞'()f x + - + ()f x所以()f x 的单调递增区间是(,)2t -∞,(,)t -+∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t t -. (2)若0t >,则2tt >-.当x 变化时, '()f x ,()f x 的变化情况如下表: 所以()f x 的单调递增区间是(,)t -∞-,(,)2t +∞;()f x 的单调递减区间是(,)2t -.所以()f x 在(,1)2t 内存在零点. 若(1,2)t ∈,37()(1)24t f t t =-+-<37104t -+<, x(,)t -∞-(,)2t t -(,)2t+∞ '()f x +- + ()f x(0)10,f t =->所以()f x 在(0,)2t内存在零点,所以,对任意(0,2)t ∈,()f x 在区间(0,1)内均在零点.综上, 对任意(0,)t ∈+∞,()f x 在区间(0,1)内均在零点.【命题意图】本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法. 20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+,13(1),2n n b n N -+-=∈*,且12a =. （Ⅰ）求23,a a 的值;(Ⅱ)设2121n n n c a a +-=-,n N ∈*,证明{}n c 是等比数列; (Ⅲ)设n S 为{}n a 的前n 项和,证明21212122121()3n n n n S S S S n n N a a a a *--++++≤-∈.- 11 -。

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分 参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． •如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径． •圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =−==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A. {}0B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}2. 已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件3. 函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A. B.C. D.4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、、[]94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A. 20B. 40C. 64D. 805. 设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π7. 若2510a b ==，则11a b+=（ ） A. 1−B. lg7C. 1D. 7log 108. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若2|CD AB =．则双曲线的离心率为（ ） A.2 B.3 C. 2 D. 39. 设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x aππ−<⎧=⎨−+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A. 95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B. 5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 11 ,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 11. 在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．12. y 轴交于点A ，与圆()2211x y +−=相切于点B ，则AB =____________．13. 若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．15. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16. 在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin A B C =b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛⎫−⎪⎝⎭的值．17. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值． （III ）求二面角11A AC E −−的正弦值．18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B 25，且5BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．19. 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =−=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈， （i ）证明{}22n n c c −是等比数列；（ii ）证明)*12222nk k kk k a n N c a c +=∈− 20. 已知0a >，函数()x f x ax xe =−．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分 参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()⋃=+P A B P A P B ． •如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．•球的体积公式313V R π=，其中R 表示球的半径． •圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =−==，，则()A B C ⋂⋃=（ ） A. {}0 B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =−==，，{}1A B ∴⋂=，{}()0,1,2,4A B C ⋂⋃=∴.故选：C.2. 已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立； 若236a >，则6a >或6a <−，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A. B.C. D.【答案】B【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解. 【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x −−==−+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln ||0,10x x <+> ，所以()0f x <，排除D. 故选：B.4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、、[]94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（ ）A. 20B. 40C. 64D. 80【答案】D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480⨯⨯=. 故选：D.5. 设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解. 【详解】22log 0.3log 10<=，0a ∴<，122225log 0.4log 0.4log log 212=−=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ， 设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD=，3CD AD BD ∴=⋅= 因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=.故选：B.7. 若2510a b ==，则11a b+=（ ） A. 1− B. lg7C. 1D. 7log 10【答案】C【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求. 【详解】2510a b ==，25log 10,log 10a b ∴==，251111lg 2lg5lg101log 10log 10a b ∴+=+=+==. 故选：C.8. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D. 3【答案】A【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =−，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =−，令x c =−，则22221c y a b −=，解得2by a =±，所以22b AB a=, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bc CD a=，所以2bc a =c =，所以222212a cbc =−=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.9. 设a ∈R ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ−<⎧=⎨−+++≥⎩，若()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A. 95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦B. 5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 11 ,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】A【分析】由()222150x a x a −+++=最多有2个根，可得()cos 220x a ππ−=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出. 【详解】()222150x a x a −+++=最多有2个根，所以()cos 220x a ππ−=至少有4个根，由22,2x a k k Z ππππ−=+∈可得1,24k x a k Z =++∈，由1024k a a <++<可得11222a k −−<<−，（1）x a <时，当15242a −≤−−<−时，()f x 有4个零点，即7944a <≤；当16252a −≤−−<−，()f x 有5个零点，即91144a <≤； 当17262a −≤−−<−，()f x 有6个零点，即111344a <≤；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =−+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+−+=−，当2a <时，∆<0，()f x 无零点； 当2a =时，0∆=，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =−+++=−+≥，则522a <≤，此时()f x 有2个零点； 所以若52a >时，()f x 有1个零点. 综上，要使()f x 在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则应满足7944522a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩或91144522a a a ⎧<≤⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩或或1113442a a ⎧<≤⎪⎨⎪<⎩， 则可解得a 的取值范围是95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________． 【答案】4i −【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+−+−===−++−. 故答案为：4i −.11. 在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为()636184166122rrrr rr r T C x C x x −−−+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 令1846r −=，解得3r =， 所以6x 的系数是3362160C =. 故答案为：160.12. y 轴交于点A ，与圆()2211x y +−=相切于点B ，则AB =____________．【分析】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +−=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +−=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b −=，解得1b =−或3b =，所以2AC =，因为1BC =，故AB ==13. 若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【答案】【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，212a b b a b b b ∴++≥=+≥=，当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为故答案为：14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________． 【答案】 ①.23 ②. 2027【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253⨯=； 则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：23；2027. 15. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________． 【答案】 ①. 1 ②.1120【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+⋅+可求出；将()DE DF DA +⋅化为关于x 的关系式即可求出最值. 【详解】设BE x =，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ABC 为边长为1的等边三角形，DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====−，//DF AB ，DFC ∴为边长为12x −的等边三角形，DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+−⨯+−=，|2|1BE DF +∴=，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +⋅=+⋅+=+⋅222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+−⨯−=−+=−+⎪⎝⎭，所以当310x =时，()DE DF DA +⋅的最小值为1120. 故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 16. 在ABC ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =2b =（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛⎫−⎪⎝⎭的值． 【答案】（I ）22（II ）34；（III ）321116【分析】（I ）由正弦定理可得::2a b c =，即可求出； （II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出. 【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =，2b =，22,2a c ∴==；（II ）由余弦定理可得2223cos 242222a b c C ab +−===⨯⨯； （III ）3cos 4C =，27sin 1cos C C ∴=−=， 7337sin 22sin cos 2448C C C ∴==⨯⨯=，291cos 22cos 121168C C =−=⨯−=， 所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭373113211828216=⨯−⨯=.17. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值． （III ）求二面角11A AC E −−的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）39；（III ）13.【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F 及平面11A EC 的一个法向量m ，证明1m D F ⊥，即可得证； （II ）求出1AC ，由1sin cos ,A m C θ=运算即可得解； （III ）求得平面11AA C 的一个法向量DB ，由cos ,DB m DB m DB m⋅=⋅结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系， 则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ， 所以()11,0,2D F =−,()112,2,0AC =,()12,1,2A E =−, 设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+−=⎩=⎪=，令12x =，则()2,2,1m =−，因为1220m D F =⋅−=，所以1m D F ⊥， 因为1D F ⊄平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ； （II ）由（1）得，()12,2,2AC =， 设直线1AC 与平面11A EC 所成角为θ，则11123sin cos ,9323m A C AC m m C A θ⋅====⨯⋅；（III ）由正方体的特征可得，平面11AA C 的一个法向量为()2,2,0DB =−， 则822cos ,3322DB m DB m DB m⋅===⨯⋅，所以二面角11A AC E −−的正弦值为211cos,3DB m −=.18. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）60x y −+=. 【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程； （2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =−=，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x −+=，2200440x x ∆=−=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BFb kc =−=−，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =−，即点01,02P y ⎛⎫−⎪⎝⎭， 因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==−++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =−，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故0y =，0x =， 所以，直线l的方程为166x y −+=，即0x y −=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切. 19. 已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =−=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈， （i ）证明{}22n n c c −是等比数列；（ii）证明)*nk n N =∈【答案】（I ）21,n a n n N *=−∈，4,n n N b n *=∈；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =⋅−，结合等比数列的定义即可得证； （ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<−⋅，进而可得112n n k k k k −==，结合错位相减法即可得证. 【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=，所以11a =， 所以()12121,n n n n N a a *=+−=−∈； 设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==−=−−，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b −*==∈； （II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b =++=， 所以22224211442444n n n n n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+−+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−，所以220nn c c ≠−，且212222124424n n n n nn c c c c +++⋅==⋅−−， 所以数列{}22n n c c −是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n nn n n n n n n a n n c c a +−+−==<−⋅⋅⋅，12n n −==，所以112nn k k k k −==， 设10121112322222nn k n k k nT −−===+++⋅⋅⋅+∑，则123112322222n n n T =+++⋅⋅⋅+， 两式相减得21111111122121222222212n n n n n n n nn T −⎛⎫⋅− ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+−=−=−−，所以1242n n n T −+=−，所以1112422nn k n k k k n −−==+⎫=−<⎪⎭【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =可得证.20. 已知0a >，函数()x f x ax xe =−．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程： （II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（I ）(1),(0)y a x a =−>；（II ）证明见解析；（III ）[),e −+∞【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x '=，可得(1)xa x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =−−>−，题目等价于存在(1,)x ∈−+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =−+'，则(0)1f a '=−，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =−>；（II ）令()(1)0x f x a x e =−+='，则(1)xa x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)xg x x e =+'，当(,2)x ∈−∞−时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈−+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当x →−∞时，()0g x <，()10g −=，当x →+∞时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >−，且()()0f m a g m '=−=， 当(,)x m ∈−∞时，()a g x >，则()0f x '>，()f x 单调递增， 当(),x m ∈+∞时，()a g x <，则()0f x '<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,ma m e m +>−=，所以()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m −=−=−−>−， 令()2()1,(1)xh x x x e x =−−>−，若存在a ，使得()f x a b ≤+对任意x ∈R 成立，等价于存在(1,)x ∈−+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+−=+'−，1x >−，当(1,1)x ∈−时，()0h x '<，()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以min ()(1)h x h e ==−，故b e ≥−， 所以实数b 的取值范围[),e −+∞.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x ∈−+∞，使得()h x b ≤，即min ()b h x ≥.。

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）2022.06.一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集 2,1,0,1,2U ，集合 0,1,2,1,2A B ，则A B （）2．“x 为整数”是“21x 为整数”的()条件A.充分不必要 B.必要而不充分C.分要D.既不充分也不必要3．函数21()xf x x的图像为（）4.()5.10.70.73212,(),log 3a bc,比较,,a b c 的大小.()6．化简33224839(2log log )(log log ) 的值为()7．抛物线245y x ，双曲线221xyab，抛物线的准线过双由线的左焦点，准线与渐近线交于点12,4A F F A，求双曲线的标准方程()A.22110xy B.22116yxC.2214yxD.2214xy 8.如图是两个直三棱柱重叠后的景象，已知03,12C H B H C H B ，重叠后的底面为正方形，该几何体的体积为（）9．已知1()si n 22f x x，关于该函数有下面四个说法：①()f x 的最小正周期为2 ；②()f x 在[,]44上单调递增；③当[,]63x时，()f x 的取值范围为33[,]44x；④()f x 的图象可由1g()si n(2)24x x向左平移8个单位长度得到.以上四个说法中，正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．已知i 是虚数单位，化简11312i i的结果为____________11.523()x x展开式中的常数项为____________12．直线0(0)x y m m 与圆22(1)(1)3x y 相交所得的弦长为m ，则m _____13.52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为____________；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽到A 的概率为____________14.A B C 中，,,C A a C A b D 是A C 的中点；2C B B E ；试用,a b 表示,D E；若A B D E，求C 的最小值为____________15．定义函数()f x 代表2x 与235x ax a 中较小的数，若()f x 至少有3个零点，求a 的取值范围____________三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．A B C 中，16,2,cos 4a bc C（1）求c 的大小；（2）求si n B 的值；（3）求si n(2)A B 的值17．直三棱柱111A B C A B C 中，112,,A A A BA CA A AB D为1A B 中点，E 为1A A 中点，F 为C D 中点.（1）求证：//E F A B C 平面；（2）求直线B E 与平面1C C D 夹角的正弦值；（3）求平面1A C D 与平面1C C D 夹角的余弦值.18．设 n a 是等差数列； n b 是等比数列，1122331a b a b a b ．（1）求 n a 与 n b 的通项公式；（2）设 n a 的前n 项和为n S ，求证：1111()n n n n n n n S a b S b S b ；（3）求211((1))nk n k k k aa b .19．已知椭圆方程221,xyF ab为右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，32B F A B（1）求椭圆的离心率e ；（2）已知直线l 与椭圆有唯一交点M ，直线l 交y 轴于点N ，O M O N ，O M N 的面积为3，求椭圆的标准方程.20.()si n ,()xf x e a xg x b x（1）求函数()y f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()y f x 和()y g x 有公共点，(i)当0a 时，求b 的取值范围；(ii)求证：22a b e ．2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）2022.06.一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集 2,1,0,1,2U ，集合 0,1,2,1,2A B ，则A B （）【答案】0,2A B 2．“x 为整数”是“21x 为整数”的()条件A.充分不必要B.必要而不充分C.分要D.既不充分也不必要【答案】A 3．函数21()xf x x的图像为（）4.()5.10.70.73212,(),log 3a bc,比较,,a b c 的大小.()【答案】a b c6．化简33224839(2log log )(log log ) 的值为()【答案】27．抛物线245y x ，双曲线221xyab，抛物线的准线过双由线的左焦点，准线与渐近线交于点12,4A F F A，求双曲线的标准方程()A.22110xy B.22116yxC.2214yxD.2214xy 【答案】C8.如图是两个直三棱柱重叠后的景象，已知03,12C HB HC H B ，重叠后的底面为正方形，该几何体的体积为（）【答案】27【解析】作0,3,120H M C B C B C H C H B 333,H M22C M B M重叠后的上底面与F H 求交点为,I132713813333,=3333=322224I B C D AV V柱重叠后的几何体的体积为08127222742I B C D A V V V柱9．已知1()si n 22f x x，关于该函数有下面四个说法：①()f x 的最小正周期为2 ；②()f x 在[,]44上单调递增；③当[,]63x时，()f x 的取值范围为33[,]44x；④()f x 的图象可由1g()si n(2)24x x向左平移8个单位长度得到.以上四个说法中，正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4【答案】A.②正确，其它的都是错误的二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．已知i 是虚数单位，化简11312i i的结果为____________【答案】15i 11.523()x x展开式中的常数项为____________【答案】15【解析】521152555()3()0,1,31522rrrrr T C x xrr a C12．直线0(0)x y m m 与圆22(1)(1)3x y 相交所得的弦长为m ，则m _____【答案】2m 【解析】222()()34,222m m m m 13.52张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为____________；已知第一次抽到的是A ，则第二次抽到A 的概率为____________【答案】11,22117【解析】143141()1221(),(),()15252215213()1713p A B p A B p A p B A p A14.A B C 中，,,C A a C A b D 是A C 的中点；2C B B E ；试用,a b 表示,D E；若A B D E，求C 的最小值为____________【答案】31=,226D E ba【解析】方法一：31=22D E C E C D ba,(3)()0A B C B C A b a A B D E b a b a22344cos b a b a a b A C B222333cos (0,]2644a b b a A C B A C B a ba b方法二：如图所示，建立坐标系(0,0),(1,0),(3,0),(,0)E B C A x 3(,),(1,)22xy D EA Bx y23()(1)022xyD EA Bx22(1)4x yA 的轨迹为以(1,0)M 为圆心，以2r为半径的圆，当且仅当C A 与圆M 相切时，C 最大，此时21si n ,426r C C C M15．定义函数()f x 代表2x 与235x ax a 中较小的数，若()f x 至少有3个零点，求a 的取值范围____________【答案】[10,)a 【解析】2()m i n 2,35f x x x ax a 设2()35,g x x ax a ()g x 在(,2)(2,) 上的零点才会成为()f x 的零点，2 只有在(2)0g 时才会成为()f x 的零点，()f x 至少有个零点有以下三种情况：①(2)0,(2)0()g g g x 且()g x 在(,2)(2,) 上有两个零点，转化为253xy x与y a 的交点105101105a a a a此或情况无解②(2)0,(2)0g g 且()g x 在(,2)(2,) 上有两个零点105101105a a a a此或情况无解③(2)0,(2)0g g 且()g x 在(,2)(2,) 上至少有一个零点，1051010110a a a a a或综上所述：a 的取值范围是[10,)a 三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．A B C 中，16,2,cos 4a bc C（1）求c 的大小；（2）求si n B 的值；（3）求si n(2)A B 的值【答案】（1）1c ；（2）10si n 4B；（3）求10si n(2)8A B17．直三棱柱111A B C A B C 中，112,,A A A B A C A A A B D 为1A B 中点，E 为1A A 中点，F 为C D 中点.（1）求证：//E F A B C 平面；（2）求直线B E 与平面1C C D 夹角的正弦值；（3）求平面1A C D 与平面1C C D 夹角的余弦值.【答案】(1)1c ；（2）10si n 4B；（3）10si n(2)8A B18．设 n a 是等差数列； n b 是等比数列，1122331a b a b a b ．（1）求 n a 与 n b 的通项公式；（2）设 n a 的前n 项和为n S ，求证：1111()n n n n n n n S a b S b S b ；（3）求211((1))nk n k k k aa b .【答案】（1）121,2n n n a n a ；（2）见解析；（3）2211(3)416((1))9n nkn k kk n a a b【解析】（1）设 n a 公差为d ， n b 公比为q ，11(1),n n n a n d b q 由22331a b a b 可得2112(0121d q dq d q d q舍去）121,2n nn a n b （2）证明：（分析法）120,n n b b 1111111()2n n n n n n n n n n nS a b S b S b S a S S 11(n n n a S S 显然成立）(3)212221212122((1))((1))k k k k k k k ka ab a a b 2121(4143)2[41(43)]24k k k k k k k k 211((1))nk n k kk aa b 2122212121221[((1))((1))]n k k k k k kk k k a a b a a b14nk nk k S 23411424344n nS n 345240142434(1)4n nS n 2234224(14)34444414nn n nS n n2(3n 1)4169n nS211((1))nkn k kk a a b2(3n 1)4169n 19．已知椭圆方程221,xyF ab为右焦点，A 为右顶点，B 为上顶点，32B F A B（1）求椭圆的离心率e ；（2）已知直线l 与椭圆有唯一交点M ，直线l 交y 轴于点N ，O M O N ，O M N 的面积为3，求椭圆的标准方程.【答案】（1）63e ；（2）22162xy【解析】（1）22222222222343()32B F b c aa b a a b A B ba b a离心22263c ab e aa（2）由（1）可知椭图方程为2223x y a ，设:l y kx m联立2223y kx m x y a得2222(13)6(3)0k x kmx m a 由22222222364(13)(3)03(13)k m k m a m a k ..........①223,1313mmkmm x y kk由O M O N 且3O M N S 的面积为3得222223()()1313km m mk k ...................②且2133213kmmk......................................③由②得21,3k21,3k代入③得24m，再由①得226,2a b ．故椭圆方程为22162xy．20.()si n ,()xf x e a xg x b x（1）求函数()y f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若()y f x 和()y g x 有公共点，(i)当0a 时，求b 的取值范围；(ii)求证：22a b e ．【答案】（1）切线方程(1)1y a x ；（2）(i)[2,)b e 的取值范围；(ii)见解析【解析】（1）''(0)1,()cos ,(0)1x f f x e a x f a 切线方程(1)1y a x ；（2）(i)由题意得k ()xx e b x 有解，'k (),2xb x e xb且22xx be在(0,) 上有解，设22(),0xx h x m m eb，则'()(1)xh x x e，当01x 时，'()0,()xx h x h x m e单调递增；当1x 时'()0h x ，()xx hx me单调递减，要使得()xx h x m e有零点，必须满足m ax 1()0h x m e即1m e；另一方面，当10m e时，1(0)0,(1)0,h m h m e()h x 在(0,1]上存在实数解，10m e符合题意；22102b ebe实数b 的取值范围是：[2,)b e (ii)【解法1】柯西不等式：令交点横坐标为0x ，则si nx ea x bx ，由柯西不等式：022222000(si n )()(si n )x e a x bx a b x x 即证：220si n x ee x x 因为：220022200000(1)si n (1)x x x xex x ee ee e x x x x x x x x.原命题得证.【解法2】基本不等式令交点横坐标为0x ，则00si nx e a x bx ，则由基本不等式0222220000(si n)2(si n )x ea x bx a x b x ，因此有：02222222si n 22x x x eea b abe x x x原命题得证.【解法3】线性规划法，假设22a b e ，下证明：si n xe a x a xa x bx令t x，欲证上述不等式，即证明：2tea tbt令2()(0)teh t tt，先研究()h x 的单调性和凹凸性：22'2(21)()tte h x t当22t时()h x 取最小值2e ，且()h t 在2(0,)2递减，在2(,)2 递增，2222242''244(21)(21)(2311)()[]220tttte te tt e h t t t ttt；()h t 是定义域内的凹函数.，注意到'(1)h e 且(1)h e ，综合以上信息可知2y e和yet 为曲线()y h t 的两条切线.又根据()h t 的凹凸性可知()h t et 欲证明2tea tb t成立，只需证明：y a t b 直线在两条切线和y 轴围成的区域（包含函数图像）下方，,[,]a b e e ，只需两条切线的交点2(,2)e e以及(0,2)e 在直钱之上，分别代20,t t e得到不等式：2y b ee2222()2yababab e e成立，原命题得证.。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,3,1,2,4UA B ===，则U B A = （ ）A. {}1,3,5B. {}1,3C. {}1,2,4D.{}1,2,4,5【答案】A 【解析】【分析】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；【详解】由{3,5}U B = ，而{1,3}A =， 所以{1,3,5}U B A = . 故选：A2. “22a b =”是“222a b ab +=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由22a b =，则a b =±，当0a b =−≠时222a b ab +=不成立，充分性不成立；由222a b ab +=，则2()0a b −=，即a b =，显然22a b =成立，必要性成立； 所以22a b =是222a b ab +=的必要不充分条件. 故选：B 3. 若0.50.60.51.01, 1.01,0.6ab c ==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c a b >> B. c b a >> C. a b c >> D. b a c >>【答案】D 【解析】【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=， 由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>. 故选：D4. 函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A.()25e e 2x xx −−+ B.25sin 1xx + C.()25e e 2x xx −++D.25cos 1xx + 【答案】D 【解析】【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A 、C 中函数在(0,)+∞上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f −=<，由225sin()5sin ()11x xx x −=−−++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除； 当0x >时25(e e )02x x x −−>+、25(e e )02x x x −+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除； 故选：D5. 已知函数()f x 的一条对称轴为直线2x =，一个周期为4，则()f x 的解析式可能为（ ） A. sin 2x πB. cos 2x πC. sin 4x πD. cos 4x π【答案】B【解析】【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在2x =处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A 选项中242Tππ==，B 选项中242Tππ==，C 选项中284T ππ==，D 选项中284T ππ==，排除选项CD ，对于A 选项，当2x =时，函数值sin 202π ×=，故()2,0是函数的一个对称中心，排除选项A ，对于B 选项，当2x =时，函数值cos 212π ×=−，故2x =是函数的一条对称轴， 故选：B.6. 已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则4a 的值为（ ） A. 3 B. 18C. 54D. 152【答案】C 【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a 的值.【详解】由题意可得：当1n =时，2122a a +，即1122a qa =+， ① 当2n =时，()31222a a a ++，即()211122a q a a q =++， ②联立①②可得12,3a q ==，则34154a a q==. 故选：C.7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数0.8245r =，下列说法正确的是（ ）A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245 【答案】C 【解析】【分析】根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ABC 选项，根据相关系数的定义可以判断D 选项.【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A 选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B 选项错误，C 选项正确；由于0.8245r =是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D 选项错误 故选：C8. 在三棱锥−P ABC 中，线段PC 上的点M 满足13PM PC =，线段PB 上的点N 满足23PN PB =，则三棱锥P AMN −和三棱锥−P ABC 的体积之比为（ ） A.19B.29C.13D.49【答案】B 【解析】【分析】分别过,M C 作,MM PA CC PA ′′⊥⊥,垂足分别为,M C ′′.过B 作BB ′⊥平面PAC ，垂足为B ′，连接PB ′,过N 作NN PB ′′⊥,垂足为N ′.先证NN ′⊥平面PAC ，则可得到//BB NN ′′，再证//MM CC ′′ .由三角形相似得到13MM CC ′′=，'2'3NN BB =，再由P AMN N PAMP ABC B PACV V V V −−−−=即可求出体积比.【详解】如图，分别过,M C 作,MM PA CC PA ′′⊥⊥,垂足分别为,M C ′′.过B 作BB ′⊥平面PAC ，垂足为B ′，连接PB ′,过N 作NN PB ′′⊥,垂足为N ′.因为BB ′⊥平面PAC ，BB ′⊂平面PBB ′，所以平面PBB ′⊥平面PAC .又因为平面PBB ′ 平面PAC PB ′=，NN PB ′′⊥，NN ′⊂平面PBB ′，所以NN ′⊥平面PAC ，且//BB NN ′′.在PCC ′△中，因为,MM PA CC PA ′′⊥⊥，所以//MM CC ′′，所以13PM MM PC CC ′==′，在PBB ′△中，因为//BB NN ′′，所以23PN NN PB BB ′==′，所以11123231119332PAM P AMN N PAM P ABC B PAC PAC PA MM NN S NNV V V V S BB PA CC BB −−−− ′′′⋅⋅⋅⋅ ==== ′′′⋅⋅⋅⋅. 故选：B9. 双曲线2222(0,0)x y a b a b−>>的左、右焦点分别为12F F 、．过2F 作其中一条渐近线的垂线，垂足为P ．已知22PF =，直线1PF，则双曲线的方程为（ ） A. 22184x y −=B. 22148x y −=C. 22142x y −=D. 22124x y −=【答案】D 【解析】【分析】先由点到直线的距离公式求出b ，设2POF θ∠=，由tan b bOP aθ==得到OP a =，2OF c =.再由三角形的面积公式得到P y ，从而得到P x，则可得到22a a =+，解出a ，代入双曲线的方程即可得到答案.【详解】如图，因为()2,0F c ，不妨设渐近线方程为by x a=，即0bx ay −=，所以2bcPF b c==， 所以2b =设2POF θ∠=,则2tan PF b bOP OP aθ===，所以OP a =，所以2OF c =. 因为1122P ab c y =⋅,所以P ab y c =，所以tan P P P ab y b c x x a θ===，所以2P a x c =， 所以2,a ab P c c， 因为()1,0F c −，所以1222222242PF abab a a c k a a c a a a c c=====+++++)224a a +=，解得a =，所以双曲线的方程为22124x y −=故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为_________．【答案】4i +##i 4+ 【解析】.【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以23i −，然后计算其运算结果即可.【详解】由题意可得()()()()514i 23i 514i5213i4i 23i23i 23i 13+−++===+++−. 故答案为：4i +.11. 在6312x x −的展开式中，2x 项的系数为_________． 【答案】60 【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式()61841612kk k k k T C x −−+=−×××，令1842k −=确定k 的值，然后计算2x 项的系数即可.【详解】展开式的通项公式()()6361841661C 212C kkk kk k kk T x x x −−−+ =−=−×××， 令1842k −=可得，4k =，则2x 项的系数为()4644612C 41560−−××=×=.故答案为：60.12. 过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________．【答案】6 【解析】【分析】根据圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆()2223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，0k >，=k=22y y px = = 解得：00x y = =或23p xy= =， 所以483p OP ===，解得：6p ．当k = 故答案为：6．13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________． 【答案】 ①. 0.05 ②. 35##0.6 【解析】【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ×=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数25%4n n ×=，白球个数为3n ； 甲盒中黑球个数为50%63n n ×=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =××=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ， 黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个，所以，()93155n P B n ==． 故答案为：0.05；35． 14. 在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b 表示为_________；若13BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为_________．【答案】 ①. 1142a b + ②. 1324 【解析】【分析】空1：根据向量的线性运算，结合E 为CD 的中点进行求解；空2：用,a b表示出AF ，结合上一空答案，于是AE AF ⋅ 可由,a b表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.【详解】空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD AE EC AC +=+=， 两式相加，可得到2AE AD AC =+，为即122AEa b =+ ，则1142AE a b =+ ； 空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC AF FB AB +=+=， 得到()22AF FC AF FB AC AB +++=+，即32AF a b =+，即2133AFa b =+ . 于是()2211211252423312a b a F b a AE A a b b +⋅+=+⋅+ ⋅=. 记,AB x AC y ==， 则()()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF +⋅+=++=++ ⋅= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+−=+−= ，于是1519222122122AE xy x xy AF y++=+ =⋅ ， 由221+−=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +−=≥−=，故1xy ≤，当且仅当1xy ==取得等号， 则1xy ==时，AE AF ⋅有最大值1324. 故答案为：1142a b + ；1324.15. 若函数()2221f x ax x x ax =−−−+有且仅有两个零点，则a 的取值范围为_________．【答案】()()(),00,11,∞∞−∪∪+ 【解析】【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断a的取值范围．【详解】（1）当210x ax −+≥时，()0f x =⇔()()21210a x a x −+−−=， 即()()1110a x x −−+=， 若1a =时，=1x −，此时210x ax −+≥成立； 若1a ≠时，11x a =−或=1x −， 若方程有一根为=1x −，则110a ++≥，即2a ≥−且1a ≠；若方程有一根为11x a =−，则2111011a a a −×+≥ −−，解得：2a ≤且1a ≠； 若111x a ==−−时，0a =，此时110a ++≥成立． （2）当210x ax −+<时，()0f x =⇔()()21210a x a x +−++=， 即()()1110a x x +−−=， 若1a =−时，1x =，显然210x ax −+<不成立； 若1a ≠−时，1x =或11x a =+， 若方程有一根为1x =，则110a −+<，即2a >；若方程有一根为11x a =+，则21101a a −×+<+，解得：2a <−； 若111xa ==+时，0a =，显然210x ax −+<不成立； 综上，当2a <−时，零点为11a +，11a −； 当20a −≤<时，零点为11a −，1−； 当0a =时，只有一个零点1−； 当01a <<时，零点为11a −，1−； 当1a =时，只有一个零点1−； 当12a <≤时，零点为11a −，1−； 当2a >时，零点为1,1−．所以，当函数有两个零点时，0a ≠且1a ≠． 故答案：()()(),00,11,∞∞−∪∪+．【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分別是,,a b c．已知2,120a b A ==∠= ．（1）求sin B 的值； （2）求c 的值； （3）求()sin B C −． 【答案】（1（2）5 （3） 【解析】【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出；（3）由正弦定理求出sin C cos ,cos B C ，即可由两角差的正弦公式求出．【小问1详解】 由正弦定理可得，sin sin a b A B =2sin B=，解得：sin B =； 【小问2详解】由余弦定理可得，2222sin a b c bc A =+−，即21394222c c=+−×××−， 解得：5c =或7c =−（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，sin sin a c A C =，5sin C=，解得：sin C =，而120A = ， 所以,B C都为锐角，因此cos C，cos B 为故()sin sin cos cos sin B C B C B C −=− 17. 三棱台111ABC A B C 中，若1A A ⊥面111,,2,1ABC AB AC AB AC AA AC ⊥====，,M N 分别是,BC BA 中点.（1）求证：1A N //平面1C MA ；（2）求平面1C MA 与平面11ACC A 所成夹角的余弦值； （3）求点C 到平面1C MA 的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）23（3）43【解析】【分析】（1）先证明四边形11MNAC 是平行四边形，然后用线面平行的判定解决； （2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解 【小问1详解】连接1,MN C A .由,M N 分别是,BC BA 的中点，根据中位线性质，MN //AC ，且12ACMN ==， 由棱台性质，11A C //AC ，于是MN //11A C ，由111MN A C ==可知，四边形11MNAC 是平行四边形，则1A N //1MC ，又1A N ⊄平面1C MA ，1MC ⊂平面1C MA ，于是1A N //平面1C MA . 【小问2详解】过M 作ME AC ⊥，垂足为E ，过E 作1EF AC ⊥，垂足为F ,连接1,MF C E . 由ME ⊂面ABC ，1A A ⊥面ABC ，故1AA ME ⊥，又ME AC ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11ACC A ，则⊥平面11ACC A .由1AC ⊂平面11ACC A ，故1ME AC ⊥，又1EF AC ⊥，ME EF E ∩=，,ME EF ⊂平面MEF ，于是1AC ⊥平面MEF ，由MF ⊂平面MEF ，故1AC MF ⊥.于是平面1C MA 与平面11ACC A 所成角即MFE ∠.又12ABME==，1cos CAC ∠，则1sin CAC ∠，故11sin EF CAC =×∠Rt MEF 中，90MEF ∠= ，则MF ==于是2cos 3EF MFE MF ∠==【小问3详解】[方法一：几何法]过1C 作1C P AC ⊥，垂足为P ，作1C Q AM ⊥，垂足为Q ，连接,PQ PM ，过P 作1PR C Q ⊥，垂足为R .由题干数据可得，11C A C C==，1C M ==1C Q ， 由1C P ⊥平面AMC ，AM ⊂平面AMC ，则1C P AM ⊥，又1C Q AM ⊥，111C Q C P C = ，11,C Q C P ⊂平面1C PQ ，于是AM ⊥平面1C PQ .又PR ⊂平面1C PQ ，则PR AM ⊥，又1PR C Q ⊥，1C Q AM Q = ，1,C Q AM ⊂平面1C MA ，故PR ⊥平面1C MA .在1Rt C PQ中，1123PC PQ PR QC ⋅==， 又2CA PA =，故点C 到平面1C MA 的距离是P 到平面1C MA 的距离的两倍， 即点C 到平面1C MA 的距离是43. [方法二：等体积法]辅助线同方法一.设点C 到平面1C MA 的距离为h .121111223323C AMC AMC V C P S −=××=×××=，111113322C C MA AMC h V h S h −=××=××= . 由11223C AMCC C MA hV V −−=⇔=，即43h =.18. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ，右焦点为F ，已知123,1A F A F ==．（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若三角形1A PQ 的面积是三角形2A FP 面积的二倍，求直线2A P 的方程．【答案】（1）椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12e =.（2）)2y x −. 【解析】【分析】（1）由31a c a c +=−=解得2,1a c ==，从而求出b =，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公式即求离心率.（2）先设直线2A P 的方程，与椭圆方程联立，消去y ，再由韦达定理可得2A P x x ⋅，从而得到P 点和Q 点坐标.由211122122A QA A PQ A A P A PF A A P S S S S S =+=+ 得23Q P y y =，即可得到关于k 的方程，解出k ，代入直线2A P 的方程即可得到答案. 【小问1详解】 如图，由题意得31a c a c +=−=，解得2,1a c ==，所以b =，所以椭圆的方程为22143x y +=，离心率为12c ea ==. 【小问2详解】由题意得，直线2A P 斜率存在，由椭圆的方程为22143x y +=可得()22,0A ，设直线2A P 的方程为()2y k x =−，联立方程组()221432x y y k x += =−，消去y 整理得：()2222341616120k x k x k +−+−=， 由韦达定理得222161234A P k x x k −⋅=+，所以228634P k x k−=+， 所以2228612,3434k k P kk−−− ++ ，()0,2Q k −. 所以21142A QA Q S y =×× ,2112A PF P S y =×× ,12142A A P P S y =×× ，所以211122122A QA A PQ A A P A PF A A P S S S S S =+=+ ，所以23Q P y y =，即21222334kk k −=−+，解得k =2A P的方程为)2y x −. 19. 已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=−=． （1）求{}n a 的通项公式和1212n n ii a −−=∑．（2）已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n −≤≤−，则1k n k b a b +<<， （Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk kb −<<+； （Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．【答案】（1）21na n =+，12121232n n n ii a −−−==×∑；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2nn b =，前n 项和为122n +−.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得13,2a d ==，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n 项和公式计算可得12121232n n n ii a −−−==×∑.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当1221k k n −≤≤−时，k n b a <，取12k n −=，当21221k k n −−≤≤−时，nk a b <，取121k n−=−，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论猜想2nn b =，然后分别排除2q >和2q <两种情况即可确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n 项和. 【小问1详解】 由题意可得2515325624a a a d a a d +=+=−== ，解得132a d = = ，则数列{}n a 的通项公式为()1121n a a n d n =+−=+， 注意到11222121n n n a −−=×+=+，从12n a −到21n a −共有1121212n n n −−−−+=项，故()()11121121122121222122122222322n n n n n n n n n n n ii a−−−−−−−−−−=−=×++×=++−=×∑【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当1221k k n −≤≤−时，k n b a <，取12k n −=，则11222121k k k kb a −−<=×+=+，即21k k b <+，当21221k k n −−≤≤−时，n k a b <，取121k n −=−，此时()1121221121k k kn a a −−−==−+=−，据此可得21kk b −<，综上可得：2121kk kb −<<+. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：123413,39,1517b b b b <<<<<<<<，据此猜测2nn b =，否则，若数列的公比2q >，则1111122n n n n b b q b −−−=>×>，注意到()1122112n n n −−−−=−，则()12210n n −−−>不恒成立，即1221n n −>−不恒成立，此时无法保证21nn b −<，若数列的公比2q <，则11111232n n n n b b q b −−−=<×<×，注意到()11322121n n n −−×−+=−，则1210n −−<不恒成立，即13221n n −×<+不恒成立，此时无法保证21n nb <+，综上，数列的公比为2，则数列的通项公式为2nn b =，其前n 项和为：()12122212n n n S +×−==−−..【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前n 项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益. 20. 已知函数()()11ln 12f x x x=++． （1）求曲线()y f x =在2x =处切线的斜率； （2）当0x >时，证明：()1f x >； （3）证明：()()51ln !ln 162n n n n<−++≤ ． 【答案】（1）1ln 334−（2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为0x >时()2ln 12xx x +>+，构造()2()ln 12x g x x x =+−+，利用导数研究单调性，即可证结论；（3）构造()()1()ln !ln 2h nn n n n =−++，*N n ∈，作差法研究函数单调性可得()(1)1h n h ≤=，再构造(5)(1)()42x x x x x ϕ+−=−+且0x >，应用导数研究其单调性得到(5)(1)ln 42x x x x +−≤+恒成立，对()(1)h n h n −+作放缩处理，结合累加得到311(1)()ln 212126h h n −<−+<，即可证结论. 【小问1详解】ln(1)ln(1)()2x x f x x ++=+，则211ln(1)()(1)2(1)x f x x x x x +′=+−++， 所以1ln 3(2)34f ′=−，故2x =处的切线斜率为1ln 334−；【小问2详解】 要证0x >时()()11ln 112f x x x=++>，即证()2ln 12x x x +>+，令()2()ln 12x g x x x =+−+且0x >，则22214()01(2)(1)(2)x g x x x x x ′=−=>++++， 所以()g x 在(0,)+∞上递增，则()(0)0g x g >=，即()2ln 12xx x +>+. 所以0x >时()1f x >.小问3详解】设()()1()ln !ln 2h n n n n n =−++，*N n ∈， 则()()1111(1)()1()ln ()ln 11()ln(1)222h n h n n n n n n n+−=++−++=−++， 由（2）知：1x n =(0,1]∈，则111()()ln(1)12f n n n=++>， 所以(1)()0h n h n +−<，故()h n 在*N n ∈上递减，故()(1)1h n h ≤=； 下证15ln(!)()ln()26n n n n −++>， 令(5)(1)()ln 42x x x x x ϕ+−=−+且0x >，则22(1)(1)()(21)x x x x x ϕ−−′=+， 当01x <<时()0x ϕ′>，()ϕx 递增，当1x >时()0x ϕ′<，()ϕx 递减，所以()(1)0x ϕϕ≤=，故在()0,x ∞∈+上(5)(1)ln 42x x x x +−≤+恒成立，则11(6)()1111111()(1)()ln(1)1()1()2224(32)1212(3)n n h n h n n n n n n n nn+−+++−≤+⋅−<−+−+，所以11(2)(3)(1)122h h −<−，111(3)(4)()1223h h −<−，…，111(1)()()121h n h n n n −−<−−，累加得：11(2)()(1)12h h n n −<−，而3(2)2ln 22h =−，则113()(1)2ln 2122h n n −<−−+，所以311311(1)()ln 21(1)ln 212122126h h n n−<−+−<−+<，故5()6h n >；综上，5()16h n <≤，即()()51ln !ln 162n n n n<−++≤. 【【点睛】关键点点睛：第三问，作差法研究()()1()ln !ln 2h nn n n n =−++ 单调性证右侧不等关系，再构造(5)(1)()ln 42x x x x x ϕ+−=−+且0x >，导数研究其函数符号得(5)(1)ln 42x x x x +−≤+恒成立，结合放缩、累加得到311(1)()ln 21(1)212h h n n −<−+−为关键.。

百度文库 - 让每个人平等地提升自我普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分. 参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V = Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1] 【答案】D【解析】因为{22}A x x =-≤≤,所以{21}B Ax x =-≤≤，选D.(2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数2z y x =-的最小值为(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 2【答案】A【解析】由2z y x =-得2y x z =+。

作出可行域如图，平移直线2y x z =+，由图象可知当直线2y x z =+经过点D 时，直线2y x z =+的截距最小，此时z最小，由2030x y y --=-=⎧⎨⎩，得53x y ==⎧⎨⎩，即(5,3)D 代入2z y x =-得3257z =-⨯=-，选A.(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序,则输出n 的值为(A) 7(B) 6(C) 5 (D) 4【答案】D【解析】第一次循环，1,2S n =-=；第二次循环，21(1)21,3S n =-+-⨯==；第三次循环，31(1)32,4S n =+-⨯=-=；第四次循环，42(1)42S =-+-⨯=，满足条件输出4n =，选D.(4) 设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若2()0a b a -<，则0a b -<，即a b <。

绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I卷1至2页，第II卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：如果事件A，B互斥，那么.如果事件A，B相互独立，那么.棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，联立直线方程：，可得点A的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：.本题选择C选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：，，结果为整数，执行，，此时不满足；，结果不为整数，执行，此时不满足；，结果为整数，执行，，此时满足；跳出循环，输出.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．4. 设，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不重复条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系.详解：绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后求解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为：，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.8. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意建立平面直角坐标系，然后结合点的坐标得到数量积的坐标表示，最后结合二次函数的性质整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，点在上，则，设，则：，即，据此可得：，且：，，由数量积的坐标运算法则可得：，整理可得：，结合二次函数的性质可知，当时，取得最小值.本题选择A选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第Ⅱ卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

绝密★启用前2024年天津市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={1,2,3,4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =( ) A. {1,2,3,4}B. {2,3,4}C. {2,4}D. {1}2.设a ，b ∈R ，则“a 3=b 3”是“3a =3b ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列图中，相关性系数最大的是( )A. B.C. D.4.下列函数是偶函数的是( )A. e x −x 2x 2+1B. cosx+x 2x 2+1C. e x −x x+1D.sinx+4xe |x|5.若a =4.2−0.3，b =4.20.3，c =log 4.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. b >a >cC. c >a >bD. b >c >a6.若m ，n 为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是( ) A. 若m//α，n ⊂α，则m//n B. 若m//α，n//α，则m//n C. 若m//α，n ⊥α，则m ⊥nD. 若m//α，n ⊥α，则m 与n 相交7.已知函数f(x)=sin3(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π.则函数在[−π12,π6]的最小值是( ) A. −√ 32B. −32C. 0D. 328.双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.P 是双曲线右支上一点，且直线PF 2的斜率为2，△PF 1F 2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( ) A.x 22−y 28=1 B.x 24−y 28=1 C.y 24−x 28=1 D.x 22−y 24=19.一个五面体ABC −DEF.已知AD//BE//CF ，且两两之间距离为1.并已知AD =1，BE =2，CF =3.则该五面体的体积为( ) A.√ 36B. 3√ 34+12 C. √ 32 D. 3√ 34−12第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2021年高考真题—普通高等学校统一考试—文科数学（天津卷）—解析版20XX年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分共40分。

参考公式：·如果事A，B互斥，那么.·圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合，，，则 A.{2}B.{2，3}C.{-1，2，3}D.{1，2，3，4}【答案】D 【解析】【分析】先求，再求。

【详解】因为，所以.故选D。

【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设变量满足约束条，则目标函数的最大值为A.2B.3C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。

【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。

目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值。

由，得，所以。

故选C。

【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.设，则“”是“”的A.充分而不必要条B.必要而不充分条C.充要条D.既不充分也不必要条【答案】B 【解析】【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】等价于，故推不出；由能推出。