不等式选讲之不等式证明与数学归纳法一轮复习专题练习(三)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z ++≤++.评卷人得分 二、解答题3．2 ．（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-[必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.4．解关于x 的不等式 ()2||60x x a a a -≤> ．5．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值． 6．若2294 132y x y x +=+求，的最小值，并求相应的x 、y 的值。

7．证明：对于任意实数,x y ，有4421()2x y xy x y +≥+8．设f (x )= x 2－x + l ，实数a 满足| x －a |＜l ，求证：|f (x )－f (a )|＜2(| a | +1)．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．3147 2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分 评卷人得分 二、解答题3．D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a ())(22222b a b b a a --- ())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a ,∴0)2)()((≥--+b a b a b a∴0222233≥---b a ab b a∴b a ab b a 223322-≥-4．选修4－5：不等式选讲解：当x a ≥时，原不等式化为22,60,x a x ax a ≥⎧⎨--≤⎩解得3a x a ≤≤．……………4分 当x a <时，原不等式化为22,60,x a x ax a <⎧⎨-+-≤⎩ 解得x a <．……………8分故原不等式的解集为(],3a -∞ ． ……………10分5．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分 即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当32323a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． ………………10分 6．（D ）解：由柯西不等式()()()132119422222=+≥++y x y x 219422≥+∴x x 当且仅当 y x y x 321312=⋅=⋅即时取等号 …………………………………………8分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=+=6141 132,32y x y x y x 得 …………………………………………………………10分7．8．2()1f x x x =-+，22()()-=--+f x f a x x a a1=-⋅+-x a x a ……………………………………………………………2分 1<+-x a ， 又1()21+-=-+-x a x a a …………………………………………… 6分 21≤-+-x a a ……………………………………………8分1212(1)<++=+a a ． …………………………………10分。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1．证： 因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|． ………………………………………5分由绝对值不等式性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1．即|x ＋5y |≤1． ………………………………………10分4．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.5．已知x 、y 是正实数，求证：31132x y x y+++≥.6．设0x y <<，求证：2222()()()()x y x y x y x y +->-+.7．设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R ++≤++.8．证明：对于任意实数,x y ，有4421()2x y xy x y +≥+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．22．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．4．解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(, |20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.5．证：∵ x 、y 是正实数，∴112x y xy+≥.…………………………………(4分) ∴3322332x y x y xy xy ++≥⋅⋅⋅=.....................................(10分) 6． 2222()()()()x y x y x y x y +---+ (2)分222()[()]x y x y x y =-+-+()(2)x y xy =--， ………………8分 ∵ x y <， ∴ 0x y -<，又0x <，0y <， ∴20xy -<，∴ ()(2)0x y xy -->， ………………12分 ∴ 2222()()()()x y x y x y x y +->-+. ………………14分7．（选修4—5：不等式选讲）设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R++≤++. 证：由柯西不等式得， 111x y z ax by cz a b c ++=++111ax by cz a b c≤++++，…3分 记S 为ABC ∆的面积，则2242abc abc ax by cz S R R ++===， ……6分 122abc ab bc ca x y z ab bc ca R abc R ++++≤=++22212a b c R ≤++， 故不等式成立． 8．。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；
2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz
+=的最小值为________ 评卷人
得分 二、解答题
3．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1，求111a b c +++++的最大值．
4．1 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a ++≥.。

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人
得分 一、填空题
1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；
2．1 ．（汇编年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则(am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 评卷人
得分 二、解答题
3．选修4—5：不等式选讲
已知函数2()122f x x x a a
=++---，若函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．
4．(选修4—5：不等式证明选讲)（本小题满分10分）
已知,,a b c 均为正数,证明：2222111()63a b c a b c +++++≥．。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z ++≤++.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．若⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈32,21x ，证明2332321<-++++x x x4．已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．5．已知,x y 均为正实数，求证：1144x y +≥1x y+。

6．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．7．已知实数,,x y z 满足2x y z ++=，求22223x y z ++的最小值；8．已知实数,0m n >． (Ⅰ）求证：222()a b a b m n m n +++≥；（Ⅱ）求函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题 1．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z ++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z ++≤++…………10分2．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．证明：由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦…………………7分 又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以1232332x x x ++++-<.…………………10分 24．选修4—5：不等式选讲 本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分 333333a b c ⋅⋅⋅⋅⋅≥327abc =⋅27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分5．6．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分 即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当32323a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． ………………10分7．略8．（选修4—5：不等式选讲） 证明：（Ⅰ）因为,0m n >，利用柯西不等式，得222()()()a b m n a b m n+++≥， 所以22()a b a b m n m n+++≥． ……………………………………………………………………5分(Ⅱ）由（Ⅰ），函数2222923(23)25122122(12)y x x x x x x +=+=+=--+-≥， 所以函数291((0,))122y x x x =+∈-的最小值为25，当且仅当15x =时取得．……………10分。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．2 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知不等式222|2|23a x y z -++≤对满足1x y z ++= 的一切实数x ，y ，z 都成立，求实数a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．已知关于x 的不等式11ax ax a -+-≥（0a >）.（1）当1a =时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．5．设1a ，2a ，3a 均为正数，且m a a a m ，a a a 9111:321321≥++=++求证6．设d c b a ,,,都是正数，且22b a x +=，22d c y +=． 求证：))((bc ad bd ac xy ++≥．7．证明：+01nn C C +122n n C C +233n n C C 1-+n n n n C nC 2)1(+=n n ． 8．证明：对于任意实数,x y ，有4421()2x y xy x y +≥+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 评卷人得分 一、填空题1．31472．[]0,4评卷人得分 二、解答题3． 略 4．（选修4－5：不等式选讲）（1）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或, ∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ………………………………………………………5分 （2）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或 ∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． …………………………………………10分 5．6．7．8．。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分一、填空题1．若,,x y z 为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值是22.提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 2．已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.评卷人得分二、解答题3．（汇编年高考课标Ⅱ卷（文））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.4．解不等式x |x －4|－3＜0．5．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且2221,1a b c a b c ++=++=，求证：413a b <+<6．设123,,a a a 均为正数, 且123a a a m ++=, 求证: 12233111192a a a a a a m++≥+++.7．对于实数y x ,，若,12,11≤-≤-y x 求1+-y x 的最大值.8．设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R++≤++.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．2．证明:由柯西不等式得……………5分则,即…………10分 解析：证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++……………5分 则2221111113x y z x y z ⨯++≥++,即2223111111()3x y z x y z++≤++…………10分 评卷人得分二、解答题3．4． 选修4—5：不等式选讲 解原不等式等价于⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．…………………… 5分 解得⎩⎨⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x ＜2＋7或3＜x ＜4或x ＜1．综上，原不等式的解集为{x | x ＜1或3＜x ＜2＋7}． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．5．因为a ＋b ＝1－c ，ab ＝222()()2a b a b +-+＝c 2－c ， ………………………3分所以a ，b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根， 则△＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，得－13＜c ＜1， ………………………5分 而(c －a )(c －b )＝c 2－(a ＋b )c ＋ab ＞0， 即c 2－(1－c )c ＋c 2－c ＞0，得c ＜0，或c ＞23， …………………………8分又因为a b c >>，所以0c <．所以－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． (10)分6．证明: 因为122331111()a a a a a a +++++122331[()()()]a a a a a a ⋅+++++31223311113a a a a a a ≥⋅⋅+++·31223313()()()a a a a a a +⋅+⋅+=9……………………………… 6分当且仅当1233m a a a ===时等号成立, 则由122331111()a a a a a a +++++29m ⋅≥, 知12233111192a a a a a a m++≥+++………………………………………………………………… 10分(注: 此题也可以用柯西不等式证明)7．解法一：1+-y x =|)2()1(|---y x …………………………5′ 221≤-+-≤y x …………………………9′（当且仅当3,2==y x 或x=0,y=1时取等号）…………………………10′ 解法二：∵11≤-x ， ∴20≤≤x …………………………3′ ∵,12≤-y ∴31≤≤y …………………………6′ ∴13-≤-≤-y∴212≤+-≤-y x …………………………9′ ∴1+-y x 的最大值为2. …………………………10′8．（选修4—5：不等式选讲）设p 是ABC ∆内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明22212x y z a b c R++≤++. 证：由柯西不等式得，111x y z axby cz a b c ++=++111ax by cz a b c≤++++，…3分 记S 为ABC ∆的面积，则2242abc abcax by cz S R R++===， ……6分 122abc ab bc ca x y z ab bc ca R abc R++++≤=++22212a b c R ≤++， 故不等式成立．。