归纳法证明不等式

归纳法证明不等式

数学归纳法证明不等式的本质

数学归纳法证明不等式的典型类型是与数列或数列求和有关的问题，凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成f(n)?g(n)(n?n?)的形式或近似于上述形式。

这种形式的关键步骤是由n?k时，命题成立推导n?k?1时，命题也成立。为了表示的方便，我们记?左n?f(k?1)?f(k)，?右n?g(k?1)?g(k)分别叫做左增量，右增量。那么，上述证明的步骤可表述为

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1) 例1．已知an?2n?1，求证：

本题要证后半节的关键是证 an1a1a2n????n?(n?n?) 23a2a3an?12

2k?1?11?中k??右k即证k?2? 2?12

而此式显然成立，所以可以用数学归纳法证明。

而要证前半节的关键是证

12k?1?1?左k??中k即证?k?2 22?1

而此式显然不成立，所以不能用数学归纳法证明。如果不进行判断就用数学归纳法证前半节，忙乎半天，只会徒劳。

有时，f(n)?g(n)(n?n?)中f(n),g(n)是以乘积形式出现，且f(n)?0,g(n)?0是显然成立的。此时，可记

?左k?f(k?1)g(k?1)，?右k? f(k)g(k)

分别叫做左增倍，右增倍。那么，用数学归结法证明由n?k时，成立推导

n?k?1成立，可表述为

f(k?1)?f(k)??左k?g(k)??左k?g(k)??右k?g(k?1)

和前面所讲相似，上述四步中，两个“=”和“<”都显然成立，而“≤”是否成立，就需要判断和证明了，既“?左k??右k”若成立，既可用数学归纳法证明；若不成立，则不能用数学归纳法证明。因此，可以这样说，此时，数学归纳法证明不等式的本质是证“左增倍≤右增倍”，而判断能否用数学归纳法证明不等式的标准就是看“左增倍≤右增倍”是否成立。

第二篇：归纳法证明不等式

归纳法证明不等式

由于lnx>0则x>1

设f(x)=x-lnxf'(x)=1-1/x>0

则f(x)为增函数f(x)>f(1)=1

则x>lnx

则可知道等式成立。。。。。。。。。(运用的是定理，f(x),g(x)>0.且连续又f(x)>=g(x).则在相同积分区间上的积分也是>=)

追问

请问这个“定理”是什么定理?

我是学数学分析的，书上能找到么?

回答

能你在书里认真找找，不是定理就是推论埃。。。。

叫做积分不等式性

数学归纳法不等式的做题思路：1、n等于最小的满足条件的值，说明一下这时候成立，一般我们写显然成立，无须证明

2、假设n=k的时候成立，证明n=k+1的时候也是成立的，难度在这一步。(含分母的一般用放缩法，含根号的常用分母有理化。)

3、总结，结论成立，一般只要写显然成立。这题大于号应该为小于号。当

n=1,1

1+1/√2+1/√3+......+1/√(k-1)+1/√k2√n

已知f(n)=1+1/2+1/3+...+1/n(n属于正整数),求证:当n>1时,f(2^n)>n+2/2

(1)n=2时代入成立

(2)假设n=a时候成立

则n=a+1时

f(2^(a+1))=f(2^a)+1/(2^a+1)+1/(2^a+2)+1/(2^a+3)+……1/(2^(a+1))>

f(2^a)+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+1/(2^(a+1))+……1/(2^(a+1))

后面相同项一共有2^a个

所以上面又=f(2^a)+2^a/(2^(a+1))=f(2^a)+1/2

因为f(2^a)>(a+2)/2故上面大于/2

因此n=a时上式成立的话n=a+1也成立

1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2

“1/2^2”指2的平方分之1

证明：数学归纳法：

1、∵当n=2时有1/2^2=1/4

∴符合原命题。

2、假设当n=k时1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2

则当n=k+1时有1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/k^2+1/(k+1)^2

综上可得1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2

第三篇：用数学归纳法证明不等式

人教版选修4—5不等式选讲

课题：用数学归纳法证明不等式

教学目标：

1、牢固掌握数学归纳法(请您继续关注麦档网：)的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明的过程。

2、通过事例，学生掌握运用数学归纳法，证明不等式的思想方法。

3、培养学生的逻辑思维能力，运算能力和分析问题，解决问题的能力。

重点、难点：

1、巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握用数学归纳法证明不等式的基本思路。

2、应用数学归纳法证明的不同方法的选择和解题技巧。

教学过程：

一、复习导入：

1、上节课学习了数学归纳法及运用数学归纳法解题的步骤，请同学们回顾，说出数学归纳法的步骤？

（1）数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法。

（2）步骤：1）归纳奠基;

2）归纳递推。

2、作业讲评：（出示小黑板）

习题：用数学归纳法证明：2+4+6+8+……+2n=n(n+1)

如采用下面的证法，对吗？

证明：①当n=1时，左边=2=右边，则等式成立。

②假设n=k时，（k∈n，k≥1）等式成立，

即2+4+6+8+……+2k=k(k+1)

当n=k+1时，

2+4+6+8+……+2k+2(k+1)

∴ n=k+1时，等式成立。

由①②可知，对于任意自然数n，原等式都成立。

（1）学生思考讨论。

（2）师生总结： 1）不正确

2）因为在证明n=k+1时，未用到归纳假设，直接用等差数列求和公式，

违背了数学归纳法本质：递推性。二、新知探究

明确了数学归纳法本质，我们共同讨论如何用数学归纳法证明不等式。 (出示小黑板)

例1观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。

｛an=n｝:1,4,9,16,25,36,49,64,81, ……