四川省绵阳中学10-11学年高二数学下学期第一次月考【会员独享】

绵阳南山中学2024年秋季高二9月月考试题数学本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由选择题和非选择题组成，共4页，答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的班级､姓名用0.5毫米签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将准考证号准确填涂在“考号”栏目内.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.复数，则的虚部为（ ）24i1i z -=+z A.3B.C.D.3-3i -1-2.已知向量，若，则（ ）()()1,3,2,3a b λλ==+-a∥b λ=A.1B.C.2D.1-3-3.的值是（）sin20cos40cos20cos50+B. C. D.11212-4.如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图A B C ''' 2cm A C ''=2A B C S '''=形中边上的高为（）AC5.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则（ ）α,,l m n A.若，则l ∥,m m ∥,n l α⊥n α⊥B.若，则,,m n l n αα⊂⊥⊥l ∥m C.若，则l ∥,,m m n αα⊥⊥l n ⊥D.若，则,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥l α⊥6.在中.内角的对边分别为，若，则一定是（ ）ABC ,,A B C ,,a b c 2cos 12b B ac =-ABC A.直角三角形 B.钝角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（）A. B.16π320π38.在中，内角的对边分别为ABC ,,A B C ,,,60,1a b c A b ==（）sin sin sin a b cA B C ++=++A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选得0分.9.已知函数，若把函数的图像向右平移个单位长度后得到的图像关()()πsin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x π3于原点对称，则（）A.π3ϕ=B.函数的图象关于点对称()f x π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.函数在区间上单调递减()f x ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.函数在上有3个零点()f x π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.如图，某八角镂空窗的边框呈正八边形.已知正八边形的边长为，､为正八边形内ABCDEFGH 2P Q 的点（含边界），在上的投影向量为，则下列结论正确的是（ ）PQ AB AB λA.AG AB ⋅=-B.4AB AE ⋅= C.的最大值为λ2+D.4AB AP ⎡⋅∈-+⎣ 11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，四棱锥的P ABCD -四条侧棱都相等，两部分的高都是，公共面是一个边长为1的正方形，则（ ）12ABCD A.该几何体的体积为23B.直线与平面PD ABCD C.异面直线与AP 1CC D.存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.把答案直接填在答题卷中的横线上.12.若复数z 满足，则__________.1i1i z -=+||z =13.已知，则__________.π2cos 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则__________.ADAB AC λμ=+ λμ∈R 2DF AF =λμ=四､解答题：本题共5小题，第15题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知向量和，且与的夹角为，1e 2e 1211,e e e == 2e 12π3m e e λ=+ ，1232n e e =- （1）求证：()1222e e e -⊥（2）若，求的值；m n= λ16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，E 为线段的中点，P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD AB .2PA AB ==（1）求证：；BD PC ⊥（2）求点E 到平面的距离.PBD 17.（15分）函数的部分图像如图所示.π()sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭（1）求的解析式；()f x （2）若恒成立，求的取值范围.()()2ππ,,[]1044x f x mf x ⎡⎤∀∈---≤⎢⎥⎣⎦m 18.（17分）的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC()cos cos 0c A a C +=（1）求角A 的大小；（2）若，，求的面积；2a=1b c +=+ABC （3）若锐角三角形，且外接圆直径为取何值时，有最小值，并求出最小ABC B 22232b a b +值.19.（17分）如图，在平面五边形中，，，，，ABCDE AB =1BC CD==2π3BCD CDE ∠=∠=BE =.现将五边形沿向内进行翻折，得到四棱锥.ABE ABCDE BE A BCDE -（1）求线段的长度；DE （2）求四棱锥的体积的最大值；A BCDE -（3）当二面角的大小为时，求直线与平面所成的角的正切值.A BE C --135AC BCDE绵阳南山中学2024年秋季高二9月月考数学试题参考答案1.B2.B3.A4.D5.A6.C7.D8.C9.BC10.【详解】对于A 选项，正八边形的内角为，易知，()821801358-⨯=HG AB ⊥()2cos1352AB AG AB AH HG AB AH AB HG AB AH ⎛⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅=⨯ ⎝ ，A对；=-对于B 选项，连接､，则为正八边形外接圆的一条直径，则，AE BE AE AB BE ⊥所以，，B 对；()22204AB AE AB AB BE AB AB BE ⋅=⋅+=+⋅=+=对于C 选项，如下图所示：设在方向上的投影向量为，由图形可知，PQ ABMN 当､分别在线段､上时，取最大值，P Q HG CD λ且的最大值为，C 错；λ2cos 451AH AB AB+==对于D 选项，过点､分别作的垂线，垂足分别为点､，如下图所示：H C AB M N 当点在线段上时，取最小值，P HG cos ,AP AB AP此时，，2AB AP AB AM AB AM ⋅=⋅=-⋅=-=-当点在线段上时，取最大值，P CD cos ,AP AB AP此时，，()(224AB AP AB AN AB AN AB AB BN ⋅=⋅=⋅=⋅+=⨯+=+综上所述，，D 对.故选：ABD.4AB AP ⎡⋅∈-+⎣ 11.ABD 【详解】对于A ，该几何体的体积为，所以A 正确，1111121111232263⨯⨯+⨯⨯⨯=+=对于B ，连接交于，连接，由题意可知四棱锥为正四棱锥，,AC BD O PO P ABCD -所以平面，所以为直线与平面所成角，PO ⊥ABCD PDO ∠PD ABCD 因为正方形的边长为1，所以，所以，所以BABCD 12DOBD ==tan PO PDO DO ∠===正确，对于C ，设，因为，所以或其补角为异面直线与的夹角，11111A C B D O ⋂=1CC ∥1AA 1AAP ∠AP 1CC，PA ===1PA ===所以，所以异面直线与的夹角余弦值为2221111cos 2A A PA PA A AP A A PA +-∠===⋅AP 1CC ，所以C错误，对于D ，设长方体的外接球的球心为，半径为，1111ABCD A B C D -M R 则为的中点，，得，M 1OO 22119(2)12122244R ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭34R =因为，所以点长方体的外接球上，113244PM PO OM R=+=+==P 1111ABCD A B C D -所以存在一个球，使得该几何体所有顶点都在球面上，所以D 正确.12.1 13.1725-14.3【详解】不妨设，则，如图，由题可知.1AF =3AD=2π3ADB ∠=由，22212cos 912312AB AD BD AD BD ADB ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭得，所以，所以，，.AB =AC =)BC ()0,0A 又，所以，所以，sin sin BD ABBAD ADB =∠∠sin BAD∠=cos BAD ∠=所以，()cos ,sin D AD BAD AD BAD ∠∠即.所以，，，因为DAD =)AB =AC =，所以，AD AB AC λμ=+μμ=+⎪=⎪⎩解得，所以.913313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3λμ=15.【详解】（1）因为与的夹角为，所以，1211e e e ==，2e π3121212π1cos ,11cos 32e e e e e e ⋅==⨯⨯=所以，所以.()221221*********e e e e e e -⋅=⋅-=⨯-= ()1222e e e -⊥ （2）由（1）知，，因为，1212e e ⋅= 121,e e m n === 所以，即，()()22121232e e e e λ+=- 222221122112229124e e e e e e e e λλ+⋅+=-⋅+ 于是有，即，解得或222112172λλ⨯+⨯+=()()26320λλλλ+-=+-=3λ=-2λ=所以的值为.λ216.【详解】（1）证明：平面，平面，，PA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD PA BD ∴⊥又底面ABCD 为正方形，，BD AC ∴⊥又，且平面，平面PAC ，平面PAC ，.PA AC A = ,PA AC ⊂PAC BD ∴⊥PC ⊂ BD PC ∴⊥（2）E 为线段AB 的中点，若点A 到平面PBD 的距离为d ，则点E 到平面PBD 的距离为.∴2d由题易知PB PD BD ===.12PBD S ∴=⨯=△，，解得点E 到平面的距离为P ABDA PBD V V --=111(22)2323d∴⨯⨯⨯⨯=⨯d =∴PBD .2d =17.【详解】（1）由图可得，函数过点35ππ32π3π2461244T ωω=-⇒⋅=⇒= ()sin(2)f x x ϕ=+，π,112⎛⎫⎪⎝⎭所以，则，解得，又，则，πsin 2112ϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ()π2π3k k ϕ=+∈Z ||2ϕπ<π3ϕ=所以；π()sin(23f x x =+（2）因为，所以，则，令，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ5π2,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦()1,12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()1,,12t f x t ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦设，则恒成立，由二次函数的图象性质可知，2()1g t t mt =--()0g t ≤只需，111()10242(1)0g m g m ⎧-=+-≤⎪⎨⎪=-≤⎩解得，故的取值范围为.302m ≤≤m 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦18.【详解】（1）由及正弦定理得：()cos cos 0c A a C -+=，因为，()sin cos sin cos 0C B A A C -+=()()sin cossin cos sin sin πsin C A A C A C B B+=+=-=所以，又，，，故；()sin 10B A =0πB <<sin0B >cos A ∴=0πA<<π4A =（2）由余弦定理，又，所以，所以2222cos a b cbc A =+-π2,4a A ==224b c+-=，由(2()24b c bc+-+=1b c +=+bc =故的面积；ABC11sin 22S bc A ==⨯+=（3）由正弦定理可知，因为是锐角三角形，sin bB =b B =ABC所以，所以π02π0ππ242π4πB C B A A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎪⇒<<⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩，222334sin 2sin b a B b B +⎫===+⎪⎭令，由基本不等式可知，3sin ,41B t y t t t ==+<<34y t t =+==当且仅当时，t =min y =故角取时，有最小值，最小值为.B π322232b a b +19.（1）如图，延长相交于点，BC ED 、F 因为，所以，所以是边长为1的等边三角形，2π3BCD CDE ∠=∠=π3FCD FDC ∠=∠=FCD ，所以，，π3CFD ∠=1FE FD DE DE =+=+112FB FC CB =+=+=由余弦定理得，2222cos 60BE FB FE FB FE =+-⨯ 即，即，所以；()()21241221cos 60DE DE =++-⋅⋅+⋅ 29DE =3DE =（2）延长相交于点，是边长为1的等边三角形，BC ED ,F FCD 由（1），得，，222FE FB BE =+90EBF ∠= EB BF ⊥所以，11222BEF S BF BE =⋅=⨯⨯= ，故四边形的面积1sin 602CDF S CF DF =⋅= BCDE为BEF CDF S S -=-= 要向折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，A BCDE -故使平面平面，此时四棱锥的高即为边上的高，ABE ⊥BCDE ABE BE 因为，设边上的高为，解得，ABEBEh 12=⨯h =故四棱锥的体积的最大值为13=（3）作交于点，由AN BE ⊥BEN 12BE AN ⋅==AN =可得点为的中点，BN ==N BE 取的中点，连接，则，可得，所以，EF H ,,AH NH CH NH BF ∥NH BE ⊥135ANH ∠=设翻折前点为，连接，则，，，A A ',A N AA ''A N BE '⊥45ANA '∠= A N '=作交于点，连接，AM A N '⊥A N 'M CM 因为，，，平面，AN BE ⊥NH BE ⊥AN NH N ⋂=,AN NH ⊂AA H '所以平面，平面，所以，BE ⊥AA H 'AM ⊂AA H 'BE AM ⊥因为，平面，所以平面，A N BE N '=,A N BE '⊂BEF AM ⊥BEF 所以为直线与平面所成的角，由于，，ACM ∠AC BCDE 45ANA '∠= AN =1AM MN ==因为分别为的中点，所以，，,C N ,BF BE CN EF ∥122CN EF ==，由余弦定理得30,90CNB ANB HNE ∠=∠=∠= 2222cos MC CN MN CN MN MNC=+-⋅∠，，1412272⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭MC=所以tan AM ACM MC ∠===。

绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A.3个B.2个C.1个D.无穷多个2.围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）A. B. C. D.3.的定义域为（ ）A. B.C. D.4.设，，，则（ ）A. B. C. D.5.设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.6.下列选项可以使得成立的一个充分不必要条件的是（ ）A. B. C. D.R U ={}2230M x x x =--≤{}21,Z N x x k k ==-∈1919361⨯=3613M ≈8010N ≈MNlg 30.48≈9310831073105310lg(tan 1)y x =-ππππ,Z 24xk x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+>>+∈πππ,π,Z 42x x k x k k ⎭>+≠+⎧⎫⎨⎬⎩∈ππ,Z 4x x k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈ππ,Z 42k x x k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭>+∈0.30.2a =0.20.3b =0.2log 2c =c b a>>c a b >>b a c >>a b c>>3()f x x x =()()332log 3log 0f x f x +-<1,2727⎛⎫⎪⎝⎭10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,27()27,+∞1144xy -≤≤221x y +=2241x y +=1x y +=1y x=7.函数的导函数，若函数仅在有极值，则的取值范围是（ ）A. B.或 C.或 D.8.存在三个实数，，使其分别满足下述两个等式：（1）；（2）其中表示三个实数，，中的最小值，则（ ）A.的最小值是 B.的最大值是 C.的最小值是 D.的最大值是二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知定义在R 上的奇函数，其周期为4，当时，，则（ ）A. B.的值域为C.在上单调递增D.在上有9个零点10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.关于对称B.的值域为R ，当且仅当或C.的最大值为1，当且仅当D.有极值，当且仅当11.关于函数，下列说法中正确的是（ ）A.图象关于直线对称 B.为偶函数C.为的周期D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12.已知顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为，则的值为________13.甲说：在上单调递减乙说：存在实数使得在成立若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是________()f x ()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-()f x 1x =a 21e a ≤-21ea <-1a =21ea ≤-1a =1a =1a 2a 3a 1232a a a =-1230a a a ++=M 1a 2a 3a M 2-M 2-M M -()f x (0,2)x ∈()22xf x =-(2024)0f =()f x (2,2)-()f x (2,2)-()f x [4,4]-()214()log 21f x x ax =-+()f x x a =()f x 1a ≥1a ≤-()f x a =()f x 1a <()cos sin 2f x x x =π4x =()f x 2π()f x αx 11,23⎛⎫⎪⎝⎭sin(2)α()2ln 23y x ax =-+(,1]-∞x 2210x ax -+>1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦a14.已知不等式对任意的实数恒成立，则的最大值为________四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知函数.（1）若，求函数的极值；（2）讨论函数的单调性.16.（15分）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在区间上有且只有两个实数解，求实数的取值范围.17.（15分）已知，，，（1）求的值（2）求角的值.18.（17分）已知函数.（1）证明：曲线是中心对称图形；（2）若，求实数m 的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；（2）在定义域内恒成立，求的值；（3）求证：，.112x aeax b -+-≥x ba3212()232a f x x x ax +=-+1a =()f x ()f x π()sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x π212()y g x =()g x x ()g x k =-π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦k ππ42α≤≤3ππ2β≤≤4sin 25α=cos()αβ+=225sin 8sincos11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭βα-3()ln2(1)2xf x x x x=++--()y f x =(21)()40f m f m -+-<()2ln(1)cos(2)g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x ()1f x ax -≤a 2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*N n ∈绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考数学试题参考答案题号1234567891011答案AAACBBABABDABCCD12.13. 14.8.【详解】由已知得，，，中必有2个正数，1个负数，设，，，则，因为，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故选：B.10.【详解】A.令，有，由于，所以，所以关于对称，故A 正确；B.当函数的值域为R ，则能取到的所有值，所以解得：或，故B 正确；C.若函数的最大值为1，则，故C 正确；D.若有极值，则在定义域内不单调，所以，则，故D 错误.故选：ABC 11.【详解】对于A ，，故A 错误；对于B ，，故B 错误对于C ，，故是的周期，故C 正确；对于D ，，令故，，利用导数求得，故D 正确.故选：CD 12132a <22ln 2-1a 2a 3a 30a <10a >20a >3M a =1230a a a ++=312a a a -=+312a a a -=+≥23124a a a ≤331234a a a a ≥1232a a a =-3324a ≤-338a ≤-32a ≤-2()21g x x ax =-+()(2)g x g a x =-14()log ()f x g x =1144(2)log (2)log ()()f a x g a x g x f x -=-==()f x x a =2()21g x x ax =-+(0,)+∞2440a ∆=-≥1a ≥1a ≤-()f x min 11()()44g x g a a =⇒=⇒=()f x 2()21g x x ax =-+2440a ∆=-<11a -<<ππcos sin(π2)sin sin 2()22f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫-=--=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos()sin(2)()f x x x f x -=--=-(2π)cos(2π)sin(24π)cos sin 2()f x x x x x f x +=++==2π()f x ()22()cos sin 22cos sin 21sin sin f x x x x x x x ===-sin x t =()2()21f x t t =-[1,1]t ∈-()f x13.甲对，则有在上单调递减，且大于零，所以有且，则.若乙对，则，，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的其对立面为甲乙说的均不对，此时或与求交集为，取其补集后的取值范围，所以14.可转化为图像恒在上方，所以必然有，现考虑刚好相切时的情况，设切点为，则，消元得到带得到，所以图像恒在上方，只需要，所以，令，所以15.【详解】（1），，所以或时，，时，，则在上递减，在递增，所以的极小值为，极大值为.（2），当时，，所以在上递增，当时，或时，；时，，所以在上递增，在上递减，当时，或时，；时，，所以在上递增；在上递减.16.【详解】（1）将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，2210x ax -+>(,1]-∞1a ≥420a ->12a ≤<1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦max 115522224x a x a a a x x ⎛⎫+>⇒+>⇒>⇒< ⎪⎝⎭{1a a <}2a ≥54a a ⎧≥⎫⎨⎬⎩⎭{}2a a ≥a {}2a a <{}2a a <11x ay e-=2y ax b =+0a >0110,x ax e-+⎛⎫ ⎪⎝⎭001111022x a x a e ae ax b-+-+⎧=⎪⎨⎪=+⎩022a b x a -=0112x a e a -+=121212ln 22422ln 22a b a ab e a a b a a a a a--+=⇒=--⇒=--11x ay e -+=2y ax b =+422ln 2b a a a ≤--242ln 2b a a a ≤--222(1)42ln 2()()a a h a h a a a-'--=⇒=max ()(1)22ln 2h a h ==-321323()2x x x f x =-+(1)(2)()x x f x =--'1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞()f x 2(2)3f =5(1)6f =()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '≥()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a <2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ()f x π2πππsin 2sin 2263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，所以.（2）因为，所以.，即在区间上有且只有两个实数解，于是函数与的图象在区间上有且只有两个交点，，，，所以.画出在区间上的图象如图所示，所以，所以，.所以实数的取值范围是.17.（1）由12πsin 223y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π()sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π5π186x-≤≤4ππ4π2933x-≤-≤()g x k =-πsin 223x k ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭2y k =--π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦44πsin sin 99π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭4πππ3πsin sin πsin sin 3339⎛⎫=+=-=-= ⎪⎝⎭3π4ππ0992<<<4π4πsin sin93⎛⎫-< ⎪⎝⎭πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦21k ≤--<23k +≤-<32k -<≤k 3,2⎛--+ ⎝222225sin 5cos 4sin 6cos 85sin 8sin cos 11cos 82222222πcos sin 2αααααααααα⎛⎫+++-++- ⎪⎝⎭=-⎛⎫- ⎪⎝⎭2254sin 6cos 84sin 6cos 34sin 3cos 22(4tan 3)cos cos cos αααααααααα++-+-+====-+---又因为，所以，可得，解得或，由于，所以.原式.（2）又由知，因则，由，又因，故.18.【详解】（1）函数，定义域为，所以曲线关于点对称.（2），因为，，所以，所以在定义域上单调递增；又关于点对称，，由（1）得恒成立，所以，所以所以，解得19.【详解】（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，4sin 25α=2sin cos 5αα=222sin cos tan 2sin cos 1tan 5αααααα==++tan 2α=1tan 2α=ππ42α≤≤tan 2α=∴11=-3ππ2β≤≤5π2π4αβ≤+≤cos()αβ+=sin()αβ+===sin()sin[()2]sin()cos 2cos()sin 2βααβααβααβα-=+-=+-+3455⎛⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎝⎭⎝π5π24βα≤-≤3π4βα-=3()ln 2(1)2xf x x x x=++--(0,2)332()(2)ln 2(1)ln 2(2)(1)2x xf x f x x x x x x x-+-=++-++-+--332ln [22(2)](1)(1)04042x x x x x x x x-⎡⎤=⋅++-+-+-=++=⎣⎦-()y f x =(1,2)22112()23(1)23(1)2(2)f x x x x x x x '=+++-=++---(0,2)x ∈20(2)x x >-22()23(1)0(2)f x x x x '=++->-()f x (0,2)()f x (1,2)(21)()4f m f m -+<()(2)4f x f x +-=()(2)4f m f m +-=(21)()4()(2)f m f m f m f m -+<=+-212021202022m mm m m -<-⎧⎪<-<⎪⎨<<⎪⎪<-<⎩112m <<()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x则，则，故，；（2）令，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，.下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，即，则，综上，，即证.()()0002y f x g x ==--()()()000022ln 1cos f x g x x x =--=++()01x >-()2ln(1)cos f x x x =++(1)x >-()()12ln(1)cos 1h x f x ax x x ax =--=++--(1)x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞(0)0h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111xx x x ϕ'=-=-++(1,0)x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ(1,0)-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ(0,)+∞()(0)0x ϕϕ≤=ln(1)x x +≤(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()12[ln(1)](cos 1)0h x f x ax x x x =--=+-+-≤2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ln(1)x x +≤(1,)-+∞ln 1x x ≤-(0,)+∞1x =(0,1)1n x n =∈+*N n ∈1ln 1111n n n n n -<-=+++11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑。

2024年10月绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学试卷命题人:李沙桐 何先俊 审题人:冯新凯 邓燕莉一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.) 1.已知集合A ={x |x 2−3x −4≤0},B ={x|−2<x <2},则A ∩∁R B =( )A. {x |−1<x <2}B. {x |−1≤x ≤2}C. {x |2<x <4}D. {x |2≤x ≤4} 2.下列函数是偶函数的是( )A. f (x )=ln(√x 2+1+x)B. f (x )=xln x+1x−1 C. f (x )=tanx D. f (x )=12x −13.由一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到经验回归方程a x b yˆˆˆ+=,那么下列说法正确的是( ) A.若相关系数r 越小,则两组变量的相关性越弱B.若b̂越大,则两组变量的相关性越强 C.经验回归方程a x b yˆˆˆ+=至少经过样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )中的一个 D.在经验回归方程a x b yˆˆˆ+=中,当解释变量x 每增加1个单位时,相应的观测值y 约增加b ̂个单位 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且acosB +bcosA =b ,则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D. 直角三角形 5.函数f (x )=Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象如下,则其解析式可能是( )A.f (x )=2cos (2x −2π3) B.f (x )=2cos (2x −π3) C. f (x )=2cos (2x +π3) D.f (x )=2cos(2x +2π3)6.研究发现一种鸟类迁徒的飞行速度v (单位:m/s )与其耗氧量Q 之间的关系式为:v 1==a +blog 3Q110(其中a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s .大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v (单位:m/s ),耗氧量单位数为Q 2,统计发现:v 2与 log 3Q2100成正比.当v 2=1 m/s 时,Q 2=900.若这种鸟类与鲑鱼的速度v 1与v 2相同时,则Q 1与Q 2的关系是( )A.Q 22=9Q 1B.Q 12=9Q 2C.Q 22=3Q 1D.Q 12=3Q 27.已知(x 1,y 1),(x 2,y 2)是函数y =log 2x 图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是( ) ①x 1+x 22<2y 1+y 22;②x 1+x 22>2y 1+y 22;③log 22x1+x 2<−y 1+y 22;④log 22x1+x 2>−y 1+y 22O xy-1A.①③B.②③C.①④D.②④8.设函数f(x)=a (x +1)2−1,g (x )=cosx +2ax ,当x ∈(−1,1)时,曲线y =f(x)与y =g(x)交点个数的情况有( )种. A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.) 9.下列叙述正确的是( )A.若等差数列{a n }的公差d >0,则数列{a n }为递增数列B.若等比数列{b n }的公比q >1,则数列{b n }为递增数列C.若b 2=ac ,则a 、b 、c 成等比数列D.若S 2n−1是等比数列{c n }的前2n -1项和,则S 2n−1=0无解10.设函数f(x)=(−x +a )ln (x +b ),若f(x)≤0,则a 2+b 2的最值情况是( ) A.有最大值 B.无最大值 C.有最小值 D.无最小值 11.定义在R 上的函数f (x )的导函数为g (x ),且满足下列条件: f (2x )+f (−2−2x )=0,g (2x )=−g(2−2x),且f (1)=1. 则下列正确的是( )A.函数y =g (x )的周期为8B.函数y =g (2x )的图象关于点(1,0)对称C.函数y =f (x )的图象关于点(−1,0)对称D.∑f(i)2024i=1=0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)12.若数列{a n }的通项公式是a n =2n ,且等比数列{b n }满足b 2=a 1,b 5=a 8,则b n =_____. 13.设函数f(x)=|sinωx |(ω>0),已知f(x 1)=1,f(x 2)=0,且|x 1−x 2|的最小值为π2,则ω=_____.14.在如下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有1个方格被选中,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分) 2021年8月,义务教育阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.,400,:(1)若从样本内喜欢奥数的人中用分层抽样方法随机抽取人则应在组、B 组各抽取多少人？ (2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附:参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.16.(15分)阅读一元二次方程韦达定理的推导过程,完成下列问题:设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a,b,c ∈R )的两根为x 1,x 2,则ax 2+bx +c =a(x −x 1)(x −x 2), 展开得: ax 2+bx +c =ax 2−a (x 1+x 2)x +ax 1x 2,比较系数得: b =−a (x 1+x 2),c = ax 1x 2, 于是x 1+x 2=−ba ,x 1x 2=ca .(1)已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0,a,b,c,d ∈R )的三个根为x 1,x 2,x 3,类比于上述推导过程,求x 1x 2x 3;(2)已知f (x )=x 3−6x 2+9x +1,若存在三个不相等的实数m,n,t,使得f (m )=f (n )=f (t ),求mnt 的取值范围.17.(15分)如图所示,l 1与l 2之间的距离为2,l 2与l 3之间的距离为1,且点A 、B 、C 分别在l 1、l 2、l 3上运动,∠CAB =π3,令∠CAF =α.(1)判断△ABC 能否为正三角形？若能,求出其边长的值;若不能,请说明理由; (2)求△ABC 面积的最小值.Fl 1l 3l 2ACBα18.(17分)已知函数f (x )=12ax 2+4x −lnx(a ∈R).(1)若函数y =f (x )在(0,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围;(2)“若函数y =f (x )在(0,1)上只有一个极值点,求实数a 取值的集合”,某同学给出了如下解法: 由f ′(x )=24ax +4−1x=24ax 2+4x−1x=0在(0,1)上只有一个实数根,所以△=16+96a =0,得a =−16,此时x =12∈(0,1).所以,实数a 取值的集合为{−16}.上述解答正确吗？若不正确,说明理由,并给出正确的解答; (3)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,证明:f (x 1)+f (x 2)>3+2ln 2.19.(17分)设函数f (x )=e x .(1)设g(x)=f (x )−ax −1,讨论g(x)的单调区间;(2)设曲线y =f (x )在点(n,f (n ))(n ≥2,n ∈N)处的切线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S n ,令c n =Snn 2,求∑lnc n n i=2;(3)若0x ∀≥,f (ax )≥sinx −cosx +2,求实数a 的取值范围.绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学参考答案一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.) D B D A A B B C二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)9.AD 10.BC 11.ACD三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.2n−113.1 14.126四、解答题(本题共5小题,共77分.)15.(1)应在A组抽取3215020240⨯=人,应在B组抽取329012240⨯=人.(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,根据列联表中的数据,经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200240160χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d= a(x−x1)(x−x2)(x−x3),展开得: ax3+bx2+cx+d=ax3−a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x−ax1x2x3,比较系数得d=−ax1x2x3,即x1x2x3=−da.(2)令f(m)=f(n)=f(t)=s,则m,n,t是方程f(x)−s=0的三根,即为x3−6x2+9x+1−s=0的三个不等根,由上知mnt=s−1.f′(x)=3x2−12x+9=3(x−3)(x−1),于是f(x)在(−∞,1)上递增,在(1,3)上递减,在(3,+∞)上递增,且f(0)=f(3)=1,f(1)=f(4)=5,函数f(x)的大致图象如下:为使得y=f(x)与y=s有三个不同的交点,则s∈(1,5),故mnt=s−1∈(0,4).17.如下图所示,过C作CD⊥l1,过B作BE⊥l1,垂足分别为D、E.因∠CAF=α,且∠CAB=π3,所以0<α<2π3,∠BAE=2π3−α.在△ACD中,AC=3sinα,在△ABE中,AB=2sin(2π3−α).(1)由△ABC是正三角形,则AC=AB,即3sinα=2sin(2π3−α),3sin(2π3−α)=2sinα,3√3 2cosα=12sinα,得tanα=3√3,于是sinα=√32√7所以边长AC=3sinα=2√213.y5s1431xOEDαBCAl2l3l1F(2)由上知,S△ABC=12AB∙AC∙sinπ3=3√32∙1sinαsin(2π3−α)=3√32√32sinαcosα+12sin.而√32sinαcosα+12sin2α=√34sin2α−14cos2α+14=12sin (2α−π6)+14.因为0<α<2π3,所以−π6<2α−π6<7π6,所以当2α−π6=π2,即α=π3时,√3 2sinαcosα+12sin2α取最大值34.从而α=π3时,S△ABC取最小值3√32∙43=2√3,故S△ABC的最小值为2√3.18.(1)f′(x)=24ax+4−1x =24ax2+4x−1x,由条件知f′(x)≤0(x>0)恒成立,即24ax2+4x−1≤0⇒24a≤(1x )2−4×1x=(1x−2)2−4,因为=(1x−2)2−4≥−4,所以24a≤−4,则a≤−16.(2)上述解答不正确.由条件知,g(x)=24ax2+4x−1在(0,1)上只有一个变号零点.当a=0时,g(x)=0得x=14∈(0,1),且f(x)在(0,14)上是减函数,在(14,1)上是增函数,符合题意;当a>0时,为使g(x)在(0,1)上只有一个变号零点,则{a>0g(1)≥0,解得a>0;当a<0时,为使g(x)在(0,1)上只有一个变号零点,则{a<0g(1)≥0,解得−18≤a<0.综上,实数a取值的集合是[−18,+∞).(3)因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以g(x)=24ax2+4x−1=0在(0,+∞)上的两个不等实根为x1,x2,于是{△=16+96a>0−112a>0⇒−16<a<0,且x1+x2=−16a,x1x2=−124a.所以f(x1)+f(x2)=12ax12+4x1−lnx1+12ax22+4x2−lnx2=12a(x12+x22)+4(x1+x2)−ln(x1x2)=12a[(x1+x2)2−2x1x2]+4(x1+x2)−lnx1x2=12a[136a2+112a]−23a−ln(−124a)=1−13a−ln(−124a).令−124a =t,则t>14,于是f(x1)+f(x2)=1+8t−ln t.令ℎ(t)=1+8t−ln t(t>14), ℎ′(t)=8−1t=8t−1t>0,所以ℎ(t)=1+8t−ln t在(14,+∞)上是增函数,所以ℎ(t)>ℎ(14)=3+2ln2,即f(x1)+f(x2)>3+2ln2.19.(1)g(x)=e x−ax−1,则g′(x)=e x−a。

绵阳南山中学校高2022级10月月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知集合{}2340A x x x =--£，{}22B x x =-<<，则A B Ç=Rð（）A. {}12x x -<< B. {}12x x -££ C. {}24x x << D. {}24x x ££【答案】D 【解析】【分析】求出集合A ，利用补集和交集的定义可求得集合A B ÇR ð.【详解】因为{}{}234014A x x x x x =--£=-££，{}22B x x =-<<，则{2B x x =£-R ð或}2x ³，故{}24A B x x Ç=££R ð.故选：D.2. 下列函数是偶函数的是（ ）A. ())lnf x x= B. ()1ln 1x f x x x +=-C. ()tan f x x = D. ()121x f x =-【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断各选项即可.【详解】对于A ，函数定义域为R ，())ln x f x =--，所以()()))lnlnln10f x f x x x +-=++-==，则()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数；对于B ，函数定义域为()(),11,-¥-È+¥，()()111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x -+-+-=-=-==--+-，所以函数()f x 为偶函数；对于C ，正切函数()tan f x x =为奇函数；对于D ，函数定义域为()(),00,-¥+¥U ，()()122112xx xf x f x --==¹--，所以()f x 不为偶函数.故选：B.3. 由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 得到经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，那么下列说法正确的是（）A. 若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱B. 若ˆb越大，则两组变量的相关性越强C. 经验回归方程ˆˆˆy bx a =+至少经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个D. 在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位【答案】D 【解析】【分析】根据相关系数的含义可判断AB ；根据回归直线的含义可判断CD ；【详解】对于A ，若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱，A 错误；对于B ，若r 越大，则两组变量的相关性越强，ˆb是回归直线的斜率，它不反应两变量的相关性强弱，B 错误；对于C ，经验回归方程ˆˆˆy bx a =+不一定经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个，C 错误；对于D ，在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，若ˆ0b>，相应的观测值y 约增加ˆb 个单位；若ˆ0b <，相应的观测值y 约增加ˆb -个单位；故当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位，正确，故选：D4. 在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A b +=，则ABC V 一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 直角三角形【答案】A 【解析】【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得sin()sin A B B +=，由πA B C ++=及诱导公式可得sin sin C B =，结合,B C 为三角形的内角可得B C =，即可得结果.【详解】cos cos a B b A b +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A B +=，则sin()sin A B B +=，又πA B C ++=，可得sin sin C B =，,B C Q 为三角形的内角，B C \=，所以ABC V 一定是等腰三角形.故选：A .5. 函数()()()cos 0,0f x A x A w j j =+>>的图象如下，则其解析式可能是（）A. ()2π2cos 23f x x æö=-ç÷èø B. ()π2cos 23f x x æö=-ç÷èøC. ()π2cos 23f x x æö=+ç÷èøD. ()2π2cos 23f x x æö=+ç÷èø【答案】A 【解析】【分析】结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，由此可判断BCD 不可能，结合函数周期说明A 中图象可能正确，即可得答案.【详解】结合题意以及各选项可知A 可为2，结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，则对于B ，()π02cos 13f æö=-=ç÷èø，由此可判断B 中解析式不可能；对于C ，()π02cos13f ==，由此可判断C 中解析式不可能；对于D ，c ππ632π2os 13f --æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，由此可判断D 中解析式不可能；对于 A ，由于π12ππ,,034646T w w >\´>\<<，即w 可取2；由2cos 1j =-，则2π2π,Z 3k k j =±+Î，由于0j >，可取4πj =3，此时()4π4π2π2cos 22cos 22π2cos 2333f x x x x æöæöæö=+=+-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，A 可能，故选：A6. 研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系式为：113log 10Q v a b =+（其中,a b 是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m /s .大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v （单位：m/s ），耗氧量单位数为2Q ，统计发现：2v 与23log 100Q 成正比.当21m/s v =时，2900Q =.若这种鸟类与鲑鱼的速度1v 与2v 相同时，则1Q 与2Q 的关系是（ ）A. 2219Q Q = B. 2129Q Q = C. 2213Q Q = D. 2123Q Q =【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出,a b ，可得1131log 10Q v =-+，设223log 100Q v k =，由题意得12k =，2231log 2100Q v =，由12v v =得131log 10Q -+231log 2100Q =，根据对数的运算性质即可求解.【详解】由题意得3330log 01090log 110a b a b ì+=ïïíï+=ïî，解得11a b =-ìí=î，1131log 10Q v \=-+，设223log 100Q v k =，由题意得3900log 1100k =，解得12k =，2231log 2100Q v \=，又12v v =，131log 10Q \-+231log 2100Q =，则13331log log log 310Q +=，即133log log 30Q =130Q \=，即2129Q Q =.故选：B .7. 已知()()1122,,,x y x y 是函数2log y x =图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）①1212222y y x x ++<；②1212222y y x x ++>；③122122log 2y y x x +<-+；④122122log 2y y x x +>-+.A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④【答案】B 【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及函数2log y x =的图象上纵坐标为122y y +的点，结合函数图象建立不等式，即可得解.【详解】如图所示，设()()1122,,A x y B x y ，，AB 的中点为点N 在函数2log y x =的图象上，且//MN x 轴，则121222,2y y y y N +æö+ç÷èø，由图知点N 在M 的左侧，即1212222y y x x ++>，故①错误，②正确；则121212222log log 222y y x x y y +++>=，即122122log 2y y x x +->+，即122122log 2y y xx +<-+，故③正确，④错误.故选：B.8. 设函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，当()1,1x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =交点个数的情况有（ ）种.A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()()()h x f x g x =-，由()0h x =，得到方程21cos a x ax -=+解的个数，进而转化为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，结合余弦函数的图象，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，设()()()2cos 1,(1,1)h x f x g x ax x a x =-=-+-Î-，可得()()22()cos()1cos 1h x a x x a ax x a h x -=---+-=-+-=，所以函数ℎ(x )为偶函数，图象关于y 轴对称，令()0h x =，可得2cos 10ax x a -+-=，即21cos a x ax -=+，则()0h x =解的个数，即为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，如图所示：当0a =时，1y =-，此时1y =-与cos y x =的图象在(1,1)-上没有公共点；当11a ->时，即2a >时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有没有公共点；当11a -=时，即2a =时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有1个公共点；当21cos1a ->且11a -<时，即cos1122a +<<时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有2个公共点；当21cos1a -£且0a >时，即cos1102a +<£时，21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点；当0a <时，此时21y ax a =+-对应的抛物线开口向下，且11a -<-，此时21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点，综上可得，曲线y =f (x )与y =g (x )交点个数的情况有3种.的的故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 下列叙述正确的是（ ）A. 若等差数列{}n a 的公差0d >，则数列{}n a 为递增数列B. 若等比数列{}n b 的公比1q >，则数列{}n b 为递增数列C. 若2b ac =，则a 、b 、c 成等比数列D. 若21n S -是等比数列{}n c 的前21n -项和，则210n S -=无解【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据等差数列的定义以及递增数列的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：分1q =和1q ¹两种情况，结合等比数列求和公式分析判断.【详解】对于A ：因为10n n a a d +-=>，可知数列{a n }为递增数列，故A 正确；对于B ：例如11,20a q =-=>，则22a =-，即21a a <，可知数列{a n }不为递增数列，故B 错误；对于C ：例如0a b c ===，满足2b ac =，但a 、b 、c 不成等比数列，故C 错误；对于D ：设等比数列{}n c 公比为q ，且10a ¹，若1q =，则()211210n S n a -=-¹；若1q ¹，则()21121101n n a q S q---=¹-；综上所述：210n S -=无解，故D正确；故选：AD.的10. 设函数，若()0f x £，则22a b +的最值情况是（ ）A. 有最大值 B. 无最大值C. 有最小值D. 无最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据知()()10f a f b =-=，根据()0f x £可得1a b +=，再根据不等式性质可判断.【详解】根据，可知()()10f a f b =-=,根据()0f x £恒成立，则相同取值情况下(),ln y x a y x b =-+=+为异号或同时等于0，又y x a =-+在R 上递减，()ln y x b =+在(),b -+¥上递增，只需它们的零点重合，得1a b =-，即1a b +=，所以()2222211112222a b b b b æö+=-+=-+³ç÷èø，所以22a b +有最小值，没有最大值.故选：BC11. 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()g x ，且满足下列条件:()()()()2220,222f x f x g x g x +--==--，且()11f =.则下列正确的是（ ）A. ()y g x =周期为8B. ()2y g x =图象关于()1,0对称C. ()y f x =关于()1,0-对称D.()20241i f i ==å【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，C 根据已知等式结合对称中心定义得出判断；根据已知等式求导得出()()2g x g x =--，结合已知得出函数周期判断B ；应用导函数与原函数间关系得出f (x )周期，再根据()()150f x f x +++=，计算求解判断D.【详解】对于A,B ，因为()()222g x g x =--，则()()2g x g x =--，则()()11g x g x +=--可知()g x 的图象关于(1,0)中心对称，知(2)g x 的图象关于1(,0)2中心对称，B 错误；因为()()2220f x f x +--=，则()()2f x f x =---，两边求导数可得()()2f x f x ¢¢=--，即得()()2g x g x =--，所以()()22g x g x -=---，即得()()22g x g x +=--+，所以()()4g x g x +=-，()()()84g x g x g x +=-+=，所以函数()g x 的周期为8，A 正确；对于C ，因()()2220f x f x +--=则()()2f x f x =---，所以()()11f x f x --=--+，函数()f x 关于()1,0-对称，C 正确；对于D ，因为()g x 的图象关于(1,0)中心对称，所以f (x )关于x =1对称，所以()()11f x f x -=+,又()()2f x f x =---，所以()()()131f x f x f x +=---=-，可得()()31f x f x --+=+，所以()()()()()84f x f x f x f x +=-+=--=，所以函数f (x )周期为8，因为()()130f x f x ++-+=，所以()()150f x f x +++=，所以()()()()()()()()150,260,370,480f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()()()()()1234202425312348f f f f f f f f f f éù+++++=+++++ëûL L ()()()()()()()()253152637480f f f f f f f f éù=+++++++=ëû，D 正确.故选：ACD ．【点睛】方法点睛：函数周期性及函数的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12. 若数列{}n a 的通项公式是2n a n =，且等比数列{}n b 满足2158b a b a ==，，则n b =_____.【答案】12n -【解析】【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意结合等比数列通项公式列式求1,b q ，即可得结果.【详解】由题意可知：21582,16b a b a ====，设等比数列{}n b 的公比为q ，则21451216b b q b b q ==ìí==î，解得112b q =ìí=î，为所以11122n n n b --=´=.故答案为：12n -.13. 设函数()()sin 0f x x w w =>，已知()()121,0f x f x ==，且12x x -的最小值为π2，则w =_____.【答案】1【解析】【分析】确定()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，结合题意可得1π22T=，即可求得答案.【详解】由题意知()()sin 0f x x w w =>图象可由，()sin 0y x w w >=的图象将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，故()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，又()()121,0f x f x ==，则12x x -的最小值为函数周期的二分之一，即1π22T =,即1ππ,122w w ×=\=，故答案为：114. 在如下图的44´的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____.8273262323376362738665263966【答案】126【解析】【分析】先按列分析，可知十位数是固定的，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解.【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6，若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的个位数字，则所有的可能结果为：(8,3,8,6),(8,3,9,6),(8,7,7,6),(8,7,9,3),(8,6,7,6),(8,6,8,3)，(3,7,8,6),(3,7,9,6),(3,7,2,6),(3,7,9,2),(3,6,2,6),(3,6,8,2)，(6,7,7,6),(6,7,9,3),(6,3,2,6),(6,3,9,2),(6,6,2,3),(6,6,7,2)，(5,7,7,6),(5,7,8,3),(5,3,2,6),(5,3,8,2),(5,7,2,3),(5,7,7,2)，此时最小为532616+++=，所以选中的方格中，5,23,32,66的4个数之和最小，为5233266126+++=.故答案为：126.【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表:喜欢奥数不喜欢奥数总计已选奥数课（A 组）15050200未选奥数课（B 组）90110200总计240160400（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A 组、B 组各抽取多少人？（2）依据小概率值α0.005=的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附:()2P c a ³0.10.050.010.0050.001a2.7063.841 6.6357.87910.828参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d c -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）应在A 组抽取20人，应在B 组抽取12人.（2）能认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005【解析】【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可；（2）根据表格数据求出2c 的值，然后与临界值比较即可判断.【小问1详解】应在A 组抽取3215020240´=人，应在B 组抽取329012240´=人.【小问2详解】零假设为0H ：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，根据列联表中的数据，经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200240160c ´´-´==>´´´，根据小概率值α0.005=的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.16. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程()21200R ax bx c a a b c x x ++=¹Î，，，的两根为，，则212ax bx c a x x x x ++=--（）（），展开得:()221212ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，比较系数得:()1212b a x x c ax x =-+=，，于是1212b c a x x x x a+=-=，.（1）已知一元三次方程()3200R ax bx cx d a a b c d +++=¹Î，，，，的三个根为123x x x ，，，类比于上述推导过程，求123x x x ;（2）已知()32691f x x x x =-++，若存在三个不相等的实数()()()m n t f m f n f t ==，，，使得，求mnt 的取值范围.【答案】（1）123d x x x a=- （2）()04，【解析】【分析】（1）先把式子展开再应用待定系数法即可求值；（2）根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合()y f x =与y s =有三个交点，即可求参数范围.【小问1详解】由题意知()()()32123ax bx cx d a x x x x x x +++=---，展开得:()()3232123122331123ax bx cx d ax a x x x x a x x x x x x x ax x x +++=-+++++-，比较系数得123,d ax x x =-即123d x x x a=-.【小问2详解】令()()()f m f n f t s ===，,,m n t 是()32691f x x x x s =-++=的三个根，即为326910x x x s -++-=的三个不等根，由上知1mnt s =-.()()()23129331f x x x x x =-+=--¢，于是()()()1,3,0,x f x f x <¢Î单调递减，()()()1,0,x f x f x ¢Î-¥>，单调递增，()()()3,,0,x f x f x ¢Î+¥>单调递增，且()()()()031,145f f f f ====，函数()f x 的大致图象如下:为使得()y f x =与y s =有三个交点，则()1,5,s Î故()104.mnt s =-Î，17. 如图所示，直线12,l l 之间的距离为2，直线23,l l 之间的距离为1，且点,,A B C 分别在123,,l l l 上运动，π3CAB Ð=，令CAF a Ð=.（1）判断ABC V 能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;（2）求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）ABC V（2）.【解析】【分析】（1）过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，利用直角三角形边角关系求出,AC AB ，则等边三角形建立方程求解即得.（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值.【小问1详解】过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，垂足分别为,D E ，如图，由CAF a Ð=，π3CAB Ð=，得2π2π0,33BAE a a <<Ð=-，在ACD V 中，3sin AC a =，在ABE V 中，22πsin()3AB a =-，由ABC V 是正三角形，则AC AB =，即322π,3sin()2sin 2πsin 3sin()3a a a a =-=-，整理得cos a a =，又22sin cos 1a a +=，解得sin a =，所以3sin AC a ==【小问2详解】由（1）知，1π1sin 2π23sin sin()3ABC S AB AC a a =×==-V ，21111π1cos sin cos2sin(2)244264a a a a a a +=-+=-+，由2π03a <<，得ππ7π2666a -<-<，则当ππ262a -=，即π3a =21cos sin 2a a a +取最大值34，所以π3a =时，ABC S V43=.18. 已知函数()2124ln .f x ax x x a =+-ÎR （）（1）若函数()y f x =在()0,¥+上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）“若函数()y f x =在()0,1上只有一个极值点，求实数a 取值的集合”，某同学给出了如下解法:由()2124412440ax x f x ax x x+-=+-==¢在()0,1上只有一个实数根，所以16960a =+=V ，得16a =-，此时()10,12x =Î.所以，实数a 取值的集合为16ìü-íýîþ.上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答;（3）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>+【答案】（1）1,6¥æù--çúèû（2）上述解答不正确，理由见解析，解答见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分析可知()()00f x x ¢£>恒成立，参变分理结合二次函数最值分析求解；（2）分析可知()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，参变分类结合二次函数分析求解；（3）分析可知g (x )=0在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，利用韦达定理整理可得()()12111ln 324f x f x a a æö+=---ç÷èø，令11244t a =->，()18ln h t t t =+-，利用导数分析证明.【小问1详解】因为()212441244ax x f x ax x x=¢+-=+-，由题意可知()()00f x x ¢£>恒成立，则224410ax x +-³，可得221412424a x x x æöæö£-=--ç÷ç÷èøèø，因为21244x æö--³-ç÷èø，当且仅当12x =，即12x =时，等号成立，可得244a £-，解得16a £-，所以实数a 的取值范围为1,6¥æù--çúèû.【小问2详解】上述解答不正确，理由如下：由题意可知：()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，令g (x )=0，整理可得212424a x æö=--ç÷èø，令()11,t x¥=Î+，则()22424a t =--，令()()224,1h t t t =-->，作出其函数图象，由图象可知：243a ³-，解得18a ³-，所以实数a 取值的集合是1,8¥éö-+÷êëø.【小问3详解】因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，可知()224410g x ax x =+-=在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，则1212169601061024a x x a x x a =+>ìïï+=->íïï=->îV ，解得106a -<<，可得()()2212111222124ln 124ln f x f x ax x x ax x x +=+-++-()()()()()22212121212121212124ln 1224ln a x x x x x x a x x x x x x x x éù=+++-=+-++-ëû211211112ln 1ln 3612324324a a a a a a a æöæöæö=+---=---ç÷ç÷ç÷èøèøèø，令11244t a =->，则()()1218ln f x f x t t +=+-.令()118ln 4h t t t t æö=+->ç÷èø，则()18180t h t t t -=-=>¢，可知()h t 在1,4¥æö+ç÷èø内单调递增，则()132ln 24h t h æö>=+ç÷èø，所以()()1232ln 2f x f x +>+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎ(x )；（3）利用导数研究ℎ(x )的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 设函数()e xf x =.（1）设()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）设曲线y =f (x )在点()()(),2,N n f n n n ³Î处的切线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S n ，令2n n S c n =，求2ln i n n c å=；（3）若0x "³，()sin cos 2f ax x x ³-+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()222ln 1ln22n n n n +----. （3）[1,)+¥【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的单调性即可 ；（2）先求出切线方程得出截距，再表示面积结合求出公式定义应用对数运算化简求解；（3）先构造函数()e sin cos 2axh x x x =-+-，再求导函数分1,1a a ³<两种情况讨论计算求参.【小问1详解】()e 1x g x ax =--,则()e x g x a ¢=-.①若0a £，则()()0g x g x ¢>，在(),¥¥-+上单调递增;②若a >0，令()0g x ¢=，解得ln x a=当(),ln x a Î-¥时，()()0g x g x ¢<，单调递减，当()ln ,x a Î+¥时，()()0g x g x ¢>，单调递增.综上，当0a £时，()g x 的单调递增区间为(),¥¥-+;当a >0时，()g x 的单调递减区间为(),ln a -¥，单调递增区间为()ln ,a +¥.【小问2详解】由题意易得曲线y =f (x )在点()(),n f n 处的切线方程为()e e n n y x n -=-.设切线与x 轴、y 轴相交所得的横截距与纵截距分别为,n n a b .则令0y =，解得1n a n =-，令x =0，解得()e1n n b n =--.则所围成的三角形面积为()2111e 22nn n n S a b n ==-则()()22222221e 11e 11ln ln ln ln lne 2ln ln2222n n n n n n n n S n n c c n n n n n n----====++=+-（），，2222211ln 2ln ln22ln ln2i i i i i n n n n n n n n c n n n n ååååå=====--æö=+-=+-ç÷èø()()()()221122ln 1ln22ln 1ln222n n n n n n n n +-+-=+--=---.小问3详解】()sin cos 2f ax x x ³-+即e sin cos 2ax x x ³-+，令()e sin cos 2ax h x x x =-+-，则()e cos sin axh x a x x =-¢-，①当1a ³时，因为0x ³，所以e e ax x ³，()e cos sin xh x x x ³-¢-，令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x =¢-³，则函数()u x 单调递增，且()(0)0u x u ³=，即sin x x ³;由（1）可知当1a =时，()()00g x g ³=，【即()1f x x ³+，所以e 1sin 1x x x ³+³+，则()e cos sin 1cos 0x h x x x x ³-¢³--³，所以函数()h x 在[0,)+¥上单调递增，且()(0)0h x h ³=，即e sin cos 2ax x x ³-+恒成立.②当1a <时，(0)10h a ¢=-<，存在实数00x >，使得0(0,)x x "Î均有()0h x ¢<，则函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，所以当1a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围为[1,)+¥.【点睛】关键点点睛：解题的关键是当1a <时，得出函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，得出矛盾不成立.。

南充高中高2023级上期第一次月考数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.4.考试结束后将答题卡交回.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“2sin 2θ=”是“π4θ=”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】判断“sin 2θ=”和“π4θ=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当2sin 2θ=时，π2π,Z 4k k θ=+∈或3π2π,Z 4k k θ=+∈，推不出π4θ=；当π4θ=时，必有2sin 2θ=，故“sin 2θ=”是“π4θ=”的必要不充分条件，故选：C2.设l ，m 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若//l α，//l β，则//αβC.若l α⊥，m α⊥，则//l mD.若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C【分析】根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可.【详解】对选项A ，若//l α，//m α，则l 与m 的位置关系是平行，相交和异面，故A 错误.对选项B ，若//l α，//l β，则α与β的位置关系是平行和相交，故B 错误.对选项C ，若l α⊥，m α⊥，则根据线面垂直的性质得l 与m 的位置关系是平行，故C 正确.对选项D ，若αγ⊥，βγ⊥，则α与β的位置关系是平行和相交，故D 错误.故选：C3.若sin 2αα-+=，则tan(π)α-=（）A. B.C.3D.3-【答案】C 【解析】【分析】由sin 2αα-+=两边同时平方，从而利用sin tan cos =aa a可以实现角α的弦切互化，【详解】由sin 2αα-+=两边同时平方，可得22sin cos 3cos 4αααα-+=，∴222222sin cos 3cos tan 34sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++，解得tan 3α=-.()tan tan 3παα∴-=-=.故选：C.4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB A C 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A.23B.33C.23D.13【解析】【分析】以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量夹角的余弦公式求解即可．【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()1(2,0,2),(1,1,0),(2,2,0),1,1,2A M B N ，所以()1(1,1,2),1,1,2MA BN =-=--设向量1MA 与BN的夹角为θ，则1142cos 63MA BN MA BNθ⋅===⋅，所以直线1A M 和BN 夹角的余弦值为23，故选：C ．5.在三棱锥S ABC -中，()()20SC SA BS SC SA ++⋅-=，则ABC V 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由向量的线性运算得到2,SC SA BS BC BA SC SA BC BA ++=+-=- ，从而说明22BC BA = ，即可求解.【详解】()()22,SC SA BS SC SA SB SC SB SA SB BC BA SC SA AC BC BA ++=+-=-+-=+-==- ，()()()()2220SC SA SB SC SA BC BA BC BA BC BA ∴+-⋅-=+⋅-=-= ，BC BA ∴=，即BC BA =，所以ABC V 是等腰三角形.故选：C6.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图，现将三张分别印有“琮踪”“宸宸”“莲莲”图案的卡片（卡片的形状､大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）A.38B.29C.59D.34【答案】B 【解析】【分析】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，用列举法即可求解.【详解】记印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片分别为,,A B C ，(),x y 代表依次摸出的卡片，{},,,x y A B C ∈，则基本事件分别为：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A C B A B B B C C A C B C C ，其中一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的共有两种情况：()(),,,A B B A ，所以从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是29.故选：B.7.已知函数()3f x x =，若正实数a ，b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得49a b +=，再结合基本不等式“1”的代换可得解.【详解】由已知()3f x x =，定义域为R ，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，则()f x 是R 上的奇函数，且函数()3f x x =在R 上单调递增，又()()490f a f b +-=，即()()()499f a f b f b =--=-，则49a b =-，即49a b +=，且0a >，0b >，所以()1111114144415999a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又44a b b a +≥=，即()11141554199a b a b b a ⎛⎫+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即32a =，3b =时，等号成立，即11a b+的最小值为1.故选：A.8.已知正三棱锥P ABC -的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈=，则集合T 所表示的曲线长度为（）A.5πB.2πC.3D.π【答案】B 【解析】【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后即可求解.【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23632BO =⨯⨯=，故PO ==因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，集合T 所表示的曲线长度为2π故选：B二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部份分分，有选错的得0分.）9.函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π6ϕ=C.()f x 的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称D.()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据三角函数的图象，先求得ω，然后求得ϕ，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】()()5ππ2ππ,π,2,sin 22632T T f x x ωϕω=-=∴==∴==+，π2sin π133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ2π7π,22636ϕϕ-<<<+<，所以2πππ,326ϕϕ+==-，所以A 选项正确，B 选项错误.()ππππsin 2,2π,,66122k f x x x k x k ⎛⎫=--==+∈ ⎪⎝⎭Z ，当0k =时，得π12x =，所以()f x 关于π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确，11111πππππ2π22π,ππ,26263k x k k x k k -+<-<+-+<<+∈Z ，当11k =时，得()f x 在54π,π63⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，则()f x 在区间5ππ,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以D 选项正确.故选：ACD10.对于随机事件A 和事件B ，()0.3P A =，()0.4P B =，则下列说法正确的是（）A.若A 与B 互斥，则()0.3P AB =B.若A 与B 互斥，则()0.7P A B ⋃=C.若A 与B 相互独立，则()0.12P AB =D.若A 与B 相互独立，则()0.7P A B ⋃=【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算可得.【详解】对于A ：若A 与B 互斥，则()0P AB =，故A 错误；对于B ：若A 与B 互斥，则()()()0.7P A B P A P B =+= ，故B 正确；对于C ：若A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，故C 正确；对于D ：若A 与B 相互独立，则()()()()0.30.40.30.40.58P A B P A P B P AB ⋃=+-=+-⨯=，故D 错误.故选：BC11.如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 在平面互相垂直，动点,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<，则下列结论中正确的有（）A.(a ∃∈，使12MN CE=B.线段MN 存在最小值，最小值为23C.直线MN 与平面ABEF 所成的角恒为45°D.(a ∀∈，都存在过MN 且与平面BEC 平行的平面【分析】利用向量的线性运算可得()1MN a BC aBE =-+，结合向量的模的计算可判断B 的正误，结合向量夹角的计算可判断C 的正误，结合共面向量可判断D 的正误.【详解】因为四边形ABCD 正方形，故CB AB ⊥，而平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面ABEF AB =，CB ⊂平面ABCD ，故CB ⊥平面ABEF ，而BE ⊂平面ABEF ，故CB BE ⊥.设MC AC λ=，则= BN BF λ，其中()0,1λ=，由题设可得MN MC CB BN AC CB BF λλ=++=++，()()()1BC BA CB BA BE BC BE λλλλ=-+++=-+，对于A ，当12λ=即2a =时，111222MN BC BE CE =-+= ，故A 正确；对于B ，()22222111221222MN λλλλλ⎛⎫=-+=-+=-+ ⎪⎝⎭ ，故22MN ≥，当且仅当12λ=即2a =时等号成立，故min 22MN =，故B 错误；对于C ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+，而平面ABEF 的法向量为BC 且()211MN BC BC λλ⋅=-=-，故cos ,MN BC =，此值不是常数，故直线MN 与平面ABEF 所成的角不恒为定值，故C 错误；对于D ，由B 的分析可得()1MN BC BE λλ=-+ ，故,,MN BC BE为共面向量，而MN ⊄平面BCE ，故//MN 平面BCE ，故D 正确；故选：AD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.复数2i12iz +=-的共轭复数z =______．【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念可求解.【详解】因为2i 12i z +=-()()()()2i 12i 12i 12i ++=-+5i i 5==，所以z =i -.故答案为：i-13.已知向量()2,1,1a =- ，()1,,1b x = ，()1,2,1c =-- ，当a b ⊥ 时，向量b 在向量c上的投影向量为________．（用坐标表示）【答案】()1,2,1-【解析】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出3x =，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为a b ⊥ ，所以210a b x ⋅=-+=，所以3x =．因为()1,3,1b = ，所以b 在c 上的投影向量为()1,2,1||||b c cc c c ⋅⋅=-=-．故答案为：()1,2,1-14.已知在ABC V 中，满足)34AB AC AB ACAB AC AB AC++=+,点M 为线段AB 上的一个动点，若MA MC ⋅ 取最小值3-时，则BC 边的中线长为______．【答案】1112【解析】【分析】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，根据题意可推得||3,||4AD AN == ，2π3ADE ∠=，进一步根据MA MC ⋅ 取最小值3-时，求得对应的AC =AB =，由此即可得解.【详解】设)34,,AB AC AB AC AD AN AE ABAC AB AC+===+，则//,//AD EN AN DE ，四边形ADEN为平行四边形，||||3||3,||4,||4||||AB AD AD AN AE AC AN =====，22343712πcos 23423ADE ADE +-∴∠==-⇒∠=⨯⨯，又四边形ADEN 为平行四边形，3πBAC ∴∠=，设,,0,0MA AD AC AN λμλμ==≤≥，()()296MA MC MA MA AC AD AD AN λλμλλμ⋅=⋅+=⋅+=+，由题意2963λλμ+≥-即29630λλμ++≥恒成立，且存在,R λμ∈使得29630λλμ++=成立，其次29630λλμ++=当且仅当2296303Δ361080λλλμμμ⎧⎧=-++=⎪⇔⎨⎨=-=⎩⎪=⎩，此时AC ==AB ==所以BC边的中线长为122AB AC +===.故答案为：2.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图,四边形ABCD 为矩形,且2AD =,1AB =,PA ⊥平面ABCD ,1PA =,E 为BC 的中点．（1）求证：PE DE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的外接球体积．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接AE ，由线面垂直得到PA DE ⊥，再由线面垂直的判定定理得到DE ⊥平面PAE ，即可证明；（2）由底面为矩形利用长方体的性质可得四棱锥外接球的半径，再由体积公式计算体积.【小问1详解】连结,AE E 为BC 的中点,1EC CD ==，∴DCE △为等腰直角三角形,则45DEC ∠=︒，同理可得45AEB ∠=︒，∴90AED ∠=︒，∴DE AE ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥，又∵AE PA A = ，,AE PA ⊂平面PAE ，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥．【小问2详解】∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，∴P ABCD -的外接球直径2R =∴2R =，故：3344ππ332V R ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，∴四棱锥P ABCD -．16.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos a B b A b c -=+.（1）求角A 的值；（2）若a ABC = ，求,b c .【答案】（1）2π3（2）2，2【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.【小问1详解】cos cos a B b A b c -=+ ，由正弦定理可得：sin cos sin cos sin sin A B B A B C -=+，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ ，sin cos sin cos sin sin cos cos sin A B B A B A B A B ∴-=++，即2sin cos sin B A B -=，sin 0B ≠ ，1cos 2A ∴=-，(0,π)A ∈ ，2π3A ∴=.【小问2详解】由题意，1sin 24ABC S bc A bc ===△，所以4bc =，由222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，得()2216b c a bc +=+=，所以4b c +=，解得：2b c ==.17.全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实践技能考试中“合格”的概率依次为12，23，23，所有考试是否合格互不影响.（1）求甲没有获得执业医师证书的概率；（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.【答案】（1）35（2）13【解析】【分析】（1）先根据对立事件的概率公式结合独立事件概率乘积公式计算；（2）先应用对立事件的概率公式及独立事件概率乘积公式应用互斥事件求和计算；【小问1详解】记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件1A ，1B ，1C ，在实践考试中合格依次为2A ，2B ，2C ，设甲没有获得执业医师证书的概率为P124131()1525P P A A =-=-⨯=.【小问2详解】甲、乙、丙获得执业医师证书依次为12A A ，12B B ，12C C ，并且1A 与2A ，1B 与2B ，1C 与2C 相互独立，则()12412525P A A =⨯=，()12321432P B B =⨯=，()12224339P C C =⨯=,由于事件12A A ，12B B ，12C C 彼此相互独立，“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：()()()()()()()()()121212121212121212A A B B C C A A B B C C A A B B C C ++，概率为212142141(1)(1)(1)52952952934P =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=.18.为深入学习贯彻习近平总书记关于禁毒工作重要指示精神，切实落实国家禁毒委员会《关于加强新时代全民禁毒宣传教育工作的指导意见》，巩固青少年毒品预防教育成果，大力推进防范青少年滥用涉麻精药品等成瘾性物质宣传教育活动，进一步增强青少年学生识毒防毒拒毒意识和能力，某市每年定期组织同学们进行禁毒知识竞赛活动，为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：40,50，50,60，…，90,100得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）求样本成绩的第75百分位数；（3）已知落在50,60的平均成绩是56，方差是7，落在60,70的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】（1）0.030（2）84（3）平均数为62；方差为23【解析】【分析】（1）根据频率之和为1即可求解，（2）根据百分位数的计算公式即可求解，（3）根据平均数的计算公式可求得两组成绩的总平均数；再由样本方差计算总体方差公式可求得两组成绩的总方差，即可求解.【小问1详解】由每组小矩形的面积之和为1得，0.050.10.2100.250.11a +++++=，解得0.030a =．【小问2详解】成绩落在[)40,80内的频率为0.050.10.20.30.65+++=，落在[)40,90内的频率为0.050.10.20.30.250.9++++=，显然第75百分位数[)80,90m ∈，由()0.65800.0250.75m +-⨯=，解得84m =，所以第75百分位数为84；【小问3详解】由频率分布直方图知，成绩在[)50,60的市民人数为1000.110⨯=，成绩在[)60,70的市民人数为1000.220⨯=，所以10562065621020z ⨯+⨯==+；由样本方差计算总体方差公式，得总方差为()(){}222110756622046562231020s ⎡⎤⎡⎤=+-++-=⎣⎦⎣⎦+.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，且ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB AA B ∠=∠=．（1）若1A BC 为等边三角形，证明：平面1AAB ⊥平面ABC ；（2）若二面角1A AB C --的平面角为π3，求以下各值：①求点1B 到平面1A CB 的距离；②求平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）①2217，②277【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形及等边三角形的性质可得各边长，再根据勾股定理证明线线垂直，根据线线垂直可证线面垂直，进而可证面面垂直；（2）根据二面角的定义可值1CEA 为等边三角形，①利用等体积转化法可得点到平面距离；②根据二面角的定义可得两平面夹角.【小问1详解】设AB 的中点为E ，连接CE ，1A E ，如图所示，因为ABC V 与1ABA △均为等腰直角三角形，1π2ACB A AB ∠=∠=，故1cos 452BC A B AB ==⋅︒=CE AB ⊥，且112CE AB ==，1112A E AB ==，因为1A BC 为等边三角形，故12==AC BC ，故22211A C CE A E =+，即1CE A E ⊥，又AB ，1A E ⊂平面1AA B ，1A E AB E ⋂=，故CE ⊥平面1AA B ，且CE ⊂平面ABC ，故平面1AA B ⊥平面ABC ；【小问2详解】①由（1）知，CE AB ⊥，1A E AB ⊥，且平面1AA B ⋂平面ABC AB =，故1CEA ∠即二面角1A AB C --的平面角，即1π3CEA ∠=，故1CEA 为等边三角形，则111CA CE A E ===，因为CE AB ⊥，1A E AB ⊥，1A E CE E ⋂=，且CE ，1A E ⊂平面1CEA ，所以AB ⊥平面1CEA ，设线段1A E 中点为F ，则1CF A E ⊥，AB CF ⊥，又AB ，1A E ⊂平面11ABB A ，1AB A E E = ，CF ∴⊥平面11ABB A ，又在三角形1CEA中易知：2CF =，∴11111112133226C A BB A BB V CF S -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，又在三角形1A BC 中，由11AC =，1BC A B ==则22211113cos 24BC A B A CA BC BC AB +-∠==⋅，1sin 4A BC ∠=，则11117sin 24A BC S AB BC A BC =⋅⋅∠= ，设点1B 到平面1A CB 的距离为d ，又由1111113C A BB B A BC A BC V V S d --==⋅⋅△，可得7d =，即求点1B 到平面1A CB 的距离为2217；②由①知，AB ⊥平面1CEA ，而11//AB A B ，故11A B ⊥平面1CEA ，且1A C ⊂平面1CEA ，故111A B AC ⊥，则2211115B C A B AC =+=，设1AC 和1B C 的中点分别为M ，N ，连接MN ，BN ，BM，则11//MN A B ，11112MN A B ==，1MN AC ⊥，又因为12BC A B ==1BM A C ⊥，且MN ⊂平面11A B C ，BM ⊂平面1A BC ，故BMN ∠即二面角11B A C B --的平面角，且222211722BM BC CM BC A C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，因为112BB AA BC ===，故1BN B C ⊥，则222211322BN BC CN BC B C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，所以222731744cos 277212BM MN BN BMN BM MN +-+-∠==⋅⨯⨯，故平面11B A C 与平面1A CB 所成角的余弦值为277．。

四川省绵阳市2024-2025学年高一上学期11月学生学业发展指导（文化学科）测评数学试题一、单选题1．已知集合{}{}2,3A x x B x x =>=≤，则A B = （）A ．()2,+∞B ．()2,3C ．(]2,3D ．∅2．若,0a b c <>，则下列选项正确的是（）A ．11a b <B ．c c a b >C ．a c b c ->-D ．ac bc<3．设函数()()2,10,5,10,x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩则()7f =（）A ．12B ．10C ．5D ．24．已知命题()2:,110p x x a x ∃∈+-+=R ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．13a -<<B ．31a -≤≤C ．3a ≤-或1a ≥D ．13a -≤≤5．下列函数中，是偶函数，且在(),0-∞上单调递增的是（）A ．2y x -=B ．13y x =C ．2y x =D ．1y x -=6．函数()()R a f x x a x=+∈的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．7．某公园有如图所示一块直角三角形空地，直角边8m,6m AB AC ==．现欲建一个如图的内接矩形花园ADEF ，点E 在斜边BC 上（不包括端点），则花园ADEF 的面积的最大值为（）A ．2B ．212m C ．216m D ．224m 8．已知函数()f x x x =，对任意[],1x t t ∈+，使得关于x 的不等式()()2229f x t f x +>成立，则实数t 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,0,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．(]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．已知函数()4f x x x=-，下面有关结论正确的有（）A ．定义域为()(),00,-∞+∞ B ．函数()f x 在[]1,4上的值域为[]3,3-C ．在()()2,00,2-⋃上单调递增D ．函数()f x 的图象关于y 轴对称10．下列叙述中正确的是（）A ．“1x ≥”是“11x≤”的充分不必要条件B ．命题“2x ∃>>”的否定是“2x ∀>≤”C ．“220x x -<”的一个必要不充分条件是“2x <”D ．集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素的充要条件是14a =11．高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[]2.53-=-，[]0.10=．已知函数()[]f x x x =-，下列说法中正确的是（）A ．若,a b ∈R ，则()()1f a f b -<B ．方程()12f x =在区间[]22-,上有4个实数根C ．函数()f x 在()0,∞+上单调递增D ．x ∀∈R ，都有()0f x ⎡⎤=⎣⎦三、填空题12．函数()12f x x =-的定义域为．13．已知()()2g x f x =+是定义在R 上的奇函数，若()56f =，则()5f -=．14．若关于x 的方程()2230ax a x -++=有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．设集合{}{},14,233U A x x B x m x m ==≤≤=-≤<+R ．(1)若1m =-，求()U A B ⋃ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求m 的取值范围．16．已知幂函数()()24m m f x x m -=∈Z 的图象关于y 轴对称，且()f x 在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若()()121f a f a -≥+，求实数a 的取值范围．17．已知0,0a b >>，且4,ab a b m m =++∈R ．(1)若5m =，求ab 的最小值及此时相应,a b 的值；(2)若0m =，求224416a a b b +++的最小值，并求出此时a b +的值．18．某文旅公司设计文创作品，批量生产并在旅游景区进行售卖．经市场调研发现，若在旅游季在文创作品的原材料上多投入x 万元()115x ≤≤，文创作品的销售量可增加m 千个，其中14.4,18,120.8,815,x x m x x x ⎧≤<⎪=+⎨⎪-≤≤⎩每千个的销售价格为38m m -万元，另外每生产1千个产品还需要投入其他成本0.5万元．(1)求该文旅公司在旅游季增加的利润y 与x （单位：万元）之间的函数关系；(2)当x 为多少万元时，该公司在旅游季增加的利润最大？最大为多少万元？19．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意[)1,x k ∈+∞，都存在唯一()2,x k ∈-∞，使得()()12f x f x =，则称函数()f x 是“()V k 型函数”（其中R k ∈）．(1)判断()22f x x x =-是否为“()0V 型函数”？并说明理由；(2)是否存在实数k ，使得函数()g x =“()V k 型函数”，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由；(3)若函数()1,1,2,1,a x x h x x x a x ⎧++≥⎪=⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”，求实数a 的取值范围．。

绵阳中学高2022级高三上期第一学月月考英语试题第一部分：听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the woman doing?A. Repairing a computer.B. Making a payment.C. Requesting a refund.2. Why does the man come to the woman?A. To invite her to dinner.B. To give her a present.C. To seek some advice.3. What is the man going to do first?A. Make reservations.B. Check with his wife.C. Work out a plan.4. What is the woman's opinion on the new building?A. Unattractive.B. Pretty.C. Unique.5. What is the probable relationship between the speakers?A. Salesman and customer.B. Householder and renter.C. Colleagues.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

2022年10月绵阳南山中学高2021届2022年秋10月月考 数 学 试 题命题人：文媛 审题人：王怀修1.本试卷分第Ⅰ卷(客观题)和第Ⅱ卷(主观题)两部分,全卷共100分,考试时间100分钟.2.全部试题均答在答题卡上,答在题卷上无效． 第Ⅰ卷(客观题,共48分)一. 选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.集合},{b a 的子集有( ). A.2个B.3个C.4个D.5个2.设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则AB =( ).A.(4,3)-B.(4,2]-C.(,2]-∞D.(,3)-∞3.已知函数1,0,(),0,x x f x ax x -≤⎧=⎨>⎩，若(1)(1)f f =-，则实数a 的值等于( ).A.1B.2C.3D.44.已知集合{04}P x x =≤≤，{02}Q y y =≤≤，下列从P 到Q 的各个对应关系f 不是．．映射的是( ). A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →= C.21:8f x y x →= D.2:3f x y x →=5.已知偶函数()f x 的定义域是R ，且()f x 在(0,)+∞是增函数，则(2),a f =-(),b f π=c (3)f =-的大小关系是( ).A.a c b <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<6.若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ). A.3a ≤ B.3a ≤- C.3a ≥- D.5a ≤ 7.函数()f x 的图象如图所示，则()f xA.()1f x x =--B.()1f x x =-C.()1f x x =-+D. ()1f x x =+8.已知函数(21)32f x x +=+，且()2f a =A.8 B.1 C.5 D.1- 9.若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ). A.04m <<B.04m ≤≤C.4m ≥D.04m <≤10.已知二次函数()f x 图象的对称轴是直线2x =，且(0)3,(2)1,f f ==若在[0,]m 有最大值3，最小值1，则实数m 的取值范围是( ).A.(0,)+∞B.[2,)+∞C.(0,2]D.[2,4]11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为2y x =-，值域为{1,9}--的“同族函数”共有( ).A.9种B.8种C.5种D.4种12.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()2f x x =，若对任意[,2]x t t ∈+，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是( ).A.)+∞B.[2,)+∞C.(0,2]D.[1]-⋃第Ⅱ卷(主观题,共52分)二. 填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.)13.设集合{}1,2,3A =，{}2,4B =，全集{}0,1,2,3,4U =则()U C A B ⋃= . 14.若函数 f (x )= (k -2)x 2+(k -1)x +3是偶函数,则f (x )的递减区间是 .15.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =-，则当0x <时，()f x = .16.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是 .三.解答题(本大题共4小题,每小题10分，共40分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)17.已知集合U R =,函数xx x f ---=713)(的定义域为集合A ，集合{}=210B x x ≤<，集合{}=C x x a >.(1)求A ，()U C A B ⋂；(2)若(C )U B C R ⋃=，求实数a 的取值范围.18.已知集合{}2=230A x x x -+=，{}=10B x ax -=. (1)若{1}A B ⋂=-，求实数a 的值；(2)若A B B ⋂=，求实数a 的值.19.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤ 20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元. (年利润＝年销售总收入－年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大?最大年利润是多少？20.已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若对任意的,[1,1]x y ∈-，且0x y +≠，都有()[()()]0x y f x f y +⋅+>.(1)推断()f x 的单调性，并加以证明； (2)解不等式()12102f x f x ⎛⎫++-< ⎪⎝⎭； (3)若2()22f x m am ≤-+对任意的[1,1],[1,2]x m ∈-∈恒成立，求实数a 的取值范围.2022年10月绵阳南山中学高2021届2022年秋10月月考 数 学 试 题 答 案三. 选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 题号12345678 9 10 11 12 答案 C B B D A C C BBDAA四. 填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分.) 13. {}0,2,4；14. (0,)+∞15. 22x x +16. －2≤k ＜1解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图象，由图象可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜1.三.解答题(本大题共4小题,每小题10分，共40分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)17.解:(1)由30,70,x x -≥⎧⎨->⎩得：37x ≤<，{}=37A x x ∴≤<.{}=3,7U C A x x x <≥或，{}(C )=23,710U A B x x x ∴⋂≤<≤<或.(2)C {2,10}U B x x x =<≥或，∴由(C )U B C R ⋃=，得2a ≥.18.解: {}{}2=2301,3A x x x -+==-，(1) {1}A B ⋂=-，1B ∴-∈，10a ∴--=即1a ∴=- (2),A B B B A ⋂=∴⊆当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；当B ≠∅时，则1=B a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.若11a =-，即1a =-；若13a =，则13a =.综上所述，a 的值为0，1-或13.19. 解: (1)当0＜x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20(x ∈N *)．(2)当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润，最大年利润为156万元. 答：当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元. 20.解：(1)()f x 在[1,1]-上为增函数.证明：任取12,[1,1]x x ∈-，且12x x <，则210x x ->， 由题意知2121()[()()]0x x f x f x -⋅+->，又()f x 为奇函数，2121()[()()]0x x f x f x ∴-⋅->，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >()f x ∴在[1,1]-上为增函数.(2)由题意及(1)知，111,21121,112,2x x x x ⎧-≤+≤⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪+<-⎩解得：106x ≤<.故所求不等式的解集为：1{|0}6x x ≤<.(3)由()f x 在[1,1]-上为增函数，知max ()(1)1f x f ==.由题意，得2122m am ≤-+，即2210m am -+≥对任意[1,2]m ∈恒成立， 法一：即12m a m +≥对任意[1,2]m ∈恒成立，则只需min 12m a m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，[1,2]m ∈即可.令1()g m m m=+，[1,2]m ∈，易证()g m 在[1,2]上是增函数，所以min ()g(1)2g m ==. 故22a ≥，即1a ≤.法二：则只需()2min210m am -+≥，[1,2]m ∈即可.令2()21h m m am =-+，[1,2]m ∈，其函数图象的对称轴为m a = ① 当1a ≤时，()h m 在[1,2]上是增函数，则min ()(1)22h m h a ==-.∴由220a -≥得：1a ≤，从而1a ≤；② 当12a <<时，2min ()()1h m h a a ==-+∴由210a -+≥得：11a -<<，从而a 无解；③ 当2a ≥时，()h m 在[1,2]上是减函数，则min ()(2)54h m h a ==-.∴由540a -≥得：54a ≤，从而a 无解. 综上所述，a 的取值范围为1a ≤.。

四川省绵阳中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．．有两个等差数列2，6，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（）．15B．17D．18二、多选题9．下列 求导运算正确的是（ ）A ．若()()sin 21f x x =-，则()()2cos 21f x x ¢=-四、多选题11．过点(),0P a 作曲线x y xe =的切线，若切线有且仅有两条，则实数a 的值可以是（ ）A ．2B ．0C ．4-D ．6-12．1202年，斐波那契在《算盘全书》中从兔子问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21L 该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，人们把这样的一列数组成的数列{}na 称为斐波那契数列，19世纪以前并没有人认真研究它，但在19世纪末和20世纪，这一问题派生出广泛的应用，从而活跃起来，成为热门的研究课题，记n S 为该数列的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．1189a =B ．2023a为偶数C ．135********a a a a a++++=L D ．24620242023a a a a S++++=L所以使0n S >成立的n 的最大值为32，故D 错误.故选：AC 11．AD【分析】设切点为000(,)x x x e ，求得切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，将切线过点(,0)P a ，代入切线方程，得到2000x ax a --=有两个解，结合0D >，即可求解．【详解】由题意，函数x y xe =，可得(1)x y x e ¢=+设切点为000(,)x x x e ，则000|(1)x x x y x e =¢=+，所以切线方程为：()()000001x x y x e x e x x -=+-，切线过点(,0)P a ，代入得()()000001x x x e x e a x -=+-，即方程2000x ax a --=有两个不同解，则有240a a D =+>，解得0a >或4a <-．故选：AD.12．ACD【分析】根据递推关系计算出11a 的值可判断选项A ；根据数列中项的特点可判断选项B ；由()112n n n aa a n -++=³可得()112n n n a a a n +-=-³，再化简可判断选项C ；由21a a =，()112n n n a a a n -++=³化简整理可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由题意知：11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，821a =，978132134a a a =+=+=，1089213455a a a =+=+=，11910345589a a a =+=+=，故选项A 正确；对于B ：因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和，此答案第161页，共22页。

绵阳南山2023年秋季高2022级半期考试数学试题（答案在最后）考试时间:120分钟总分:150分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10x +-=的倾斜角是（）A.π6B.π3 C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为θ，0πθ≤<，直线10x +-=可化为y =，所以直线的斜率tan k θ==5π6θ∴=，故选：D ．2.已知空间向量()1,,2a m m =+- ，()2,1,4b =- ，且a b ⊥，则m 的值为（）A.103-B.10-C.10D.103【答案】B 【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=，即可求出m 的值.【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-.故选：B.3.已知直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，则1l 、2l 之间的距离为（）A.10B.5C.5D.2【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行得到关于a 的方程，求出a 的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为直线1:20l x ay ++=，2:2430l x y ++=相互平行，所以240a -=，解得2a =，所以1:220l x y ++=，即2440x y ++=，所以1l 、2l之间的距离510d ==.故选：A.4.已知某地A 、B 、C 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，当地政府为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，决定采用分层随机抽样的方法抽取20%的户数进行调查，则样本容量和抽取C 村贫困户的户数分别是（）A.150，15B.150，20C.200，15D.200，20【答案】D 【解析】【分析】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量，得出C 村抽取的户数，再乘以50%可得出C 村贫困户的抽取的户数.【详解】将饼图中的A 、B 、C 三个村的人口户数全部相加，再将所得结果乘以20%得出样本容量为()35020045020%100020%200++⨯=⨯=，C 村抽取的户数为20020040350200450++⨯=户，则抽取C 村贫困户的户数为400.520⨯=户．故选：D.5.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为10，则椭圆C 的离心率e 为（）A.32B.3C.23D.13【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的定义与焦距的性质即可求解.【详解】依题意知，焦距：24c =，由椭圆的定义得△PF 1F 2的周长为：2210a c +=，解得：2,3c a ==，所以离心率23c e a ==.故选：C.6.若圆C 经过点()2,5A ，()4,3B ，且圆心在直线l ：330x y --=上，则圆C 的方程为（）A.()()22234x y -+-= B.()()22238x y -+-=C.()()22362x y -+-= D.()()223610x y -+-=【答案】A 【解析】【分析】求解AB 的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程.【详解】圆C 经过点()2,5A，()4,3B ，可得线段AB 的中点为()3,4，又53124AB k -==--，所以线段AB 的中垂线的方程为43y x -=-，即10x y -+=，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得23x y =⎧⎨=⎩，即()2,3C ，圆C 的半径2r ==，所以圆C 的方程为()()22234x y -+-=.故选：A.7.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A =“两次掷出的点数之和是6”，事件B =“第一次掷出的点数是奇数”，事件C =“两次掷出的点数相同”，则（）A.A 与B 互斥B.B 与C 相互独立C.()16P A = D.A 与C 互斥【答案】B 【解析】【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解.【详解】对于选项A ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件B ,因此A 与B 能够同时发生，所以A 与B 不互斥，故选项A 错误；对于选项B ：31()62P B ==，61()366P C ==，31()3612P BC ==，所以()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 相互独立，即选项B 正确；对于选项C ：()51366=≠P A ，故选项C 错误；对于选项D ：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A ，也满足事件C ,因此A 与C 能够同时发生，所以A 与C 不互斥，故选项D 错误；故选：B .8.若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）A.4B.5C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点，则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=”)故选：B ．【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t+=-<<++，则下列说法错误的是（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【答案】ABC 【解析】【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中，4a =，3b =，c ==则该椭圆的长轴长为28a =，短轴长为26b =，离心率为4c e a ==，焦距为2c =；椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中，焦点在x轴上，a =b =，c ==这两个椭圆只有焦距相等.故选：ABC .10.已知空间中三点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，则下列结论错误的是（）A.AB 与AC是共线向量B.与AB同向的单位向量是255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.AB 与BC夹角的余弦值是11D.平面ABC 的一个法向量是()1,2,5-【答案】AC 【解析】【分析】A ：利用共线向量定义进行判断；B ：与AB同向的单位向量AB AB；C ：利用向量夹角余弦公式判断；D ：设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r ，则0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由此能求出结果．【详解】对于A ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-，12,21AB -≠∴与AC 不是共线向量，故A 错误；对于B ：()2,1,0AB = ，则与AB同向的单位向量是)2,1,0,55AB AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ：()()2,1,0,3,1,1AB BC ==-，∴55cos ,11AB BCAB BC AB BC⋅⋅==-，故C 错误；对于D ：()()2,1,0,1,2,1AB AC ==- ，设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =r，则2020n AB x y n AC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ ，取1x =，得()1,2,5n =- ，故D 正确．故选：AC ．11.光线自点()4,2射入，经倾斜角为45︒的直线:1l y kx =+反射后经过点()3,0，则反射光线经过的点为（）A.914,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()9,15-C.()3,15- D.()13,2【答案】BC 【解析】【分析】先求点()4,2关于直线l 的对称点，得出反射后的直线，再对选项逐一检验【详解】由题意知，tan415k =︒=，设点()4,2关于直线1y x =+的对称点为m n （，），则21424122n m n m -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩，解得15m n =⎧⎨=⎩，所以反射光线所在的直线方程为()()05333251y x x -=--=--，所以当9x ＝时，15y -＝；当3x -＝时，15y ＝，故选：BC12.对于平面直角坐标系内任意两点()()1122,,,A x y B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：()2121,d A B x x y y =-+-，则下列命题正确的是（）A.若()()1,3,1,0A B -，则(),5d A B =B.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆C.若A 为定点，B 为动点，且满足(),1d A B =，则B 点的轨迹是一个椭圆D.若点C 在线段AB 上，则()()(),,,d A C d C B d A B +=【答案】AD 【解析】【分析】由新定义直接计算可判断A ，设()0,0A ，(),B x y ，结合新定义可判断BC ，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，结合新定义可判断D【详解】由题意可得：当()1,3A -，()1,0B ，时()2121,11305d A B x x y y =-+-=--+-=，所以A 正确；不妨设()0,0A ，(),B x y ，由题意可得1x y +=，此时表示的几何图形是正方形，所以BC 错误；设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y 且,A C B A C B x x x y y y <<<<，所以()(),,d A C d C B +=C A C A B C B Cx x y y x x y y -+-+-+-C A C A B C B C B A B Ax x y y x x y y x x y y =-+-+-+-=-+-(),B A B A x x y y d A B =-+-=，所以D 正确．故选：AD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）13.已知直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，则它们的交点坐标为_________.【答案】75,66⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】利用互相垂直求出m ，然后两直线联立即可求出交点坐标.【详解】因为直线1l ：310++=mx y 与直线2l ：()2540x m y ++-=互相垂直，所以()2350m m ++=，解得3m =-，联立33102240x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得直线1l 和2l 的交点坐标为75,66⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：75,66⎛⎫⎪⎝⎭14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AA a AB b AD c ===，N 是BC 的中点，则向量1A N = _________．（用,,a b c表示）【答案】12a b c→→→-++【解析】【分析】根据向量的加减法运算法则及数乘运算求解即可.【详解】由向量的减法及加法运算可得，111A N =AN AA =AB BN AA →→→→→-+-11122AB AD AA b c a →→→→→→=+-=+-，故答案为：12a b c→→→-++15.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：党史学习时间（小时）7891011党员人数610987则该单位党员一周学习党史时间的第60百分位数是______．【答案】9【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求出结果．【详解】党员人数一共有61098740++++=，4060%24⨯=，那么第60百分位数是第24和25个数的平均数，第24和25个数分别为9，9，所以第60百分位数是9992+=，故答案为：9．16.已知点P 在直线2y x =-上运动，点E 是圆221x y +=上的动点，点F 是圆22(6)(2)9x y -++=上的动点，则PF PE -的最大值为________．【答案】8【解析】【分析】根据圆的性质可得4PF PE PA PO -≤-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，再根据点关于线对称的性质，数形结合从而得解.【详解】如图所示，圆22(6)(2)9x y -++=的圆心为()6,2A -，半径为3，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，可知33,11PA PF PA PO PE PO -≤≤+-≤≤+，所以()()314PF PE PA PO PA PO -≤+--=-+，若求PF PE -的最大值，转化为求PA PO -的最大值，设()0,0O 关于直线2y x =-的对称点为B ，设B 坐标为(),m n ，则1222nm n m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22m n =⎧⎨=-⎩，故B ()2,2-，因为PO PB =，可得4PA PO PA PB AB -=-≤=，当P ，B ，A 三点共线，即P 点为()10,2P -时，等号成立，所以PF PE -的最大值为448+=.故答案为：8.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴在x 轴上，长轴的长为12，离心率为23；（2）经过点()6,0P -和()0,8Q .【答案】（1）2213620x y +=；（2）2216436y x +=.【解析】【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a 、c ，进而求参数b ，即可写出椭圆方程.（2）由题设知P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a 、b ，结合顶点坐标特征写出椭圆方程.【小问1详解】由已知,212a =，23c e a ==，得：6a =，4c =，从而22220b a c =-=.所以椭圆的标准方程为2213620x y +=.【小问2详解】由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点P ，Q 分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有6b =，8a =.又短轴、长轴分别在x 轴和y 轴上，所以椭圆的标准方程为2216436y x +=.18.已知()1,2A -，以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为（1）求圆A 的方程；（2）若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22124x y ++-=（2）1x =或3450x y ++=【解析】【分析】（1）根据垂径定理，可直接计算出圆的半径；（2）根据直线l 的斜率是否存在分类讨论，斜率不存在时，可得到直线方程为1x =的直线满足题意，斜率存在时，利用直线l 与圆相切，即()1,2A -到直线l 的距离等于半径，然后解出关于斜率的方程即可.【小问1详解】不妨设圆的半径为R，根据垂径定理，可得：2221R =+解得：2R =则圆的方程为：()()22124x y ++-=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，则有：1x =故此时直线l 与圆相切，满足题意当直线l 的斜率存在时，不妨设直线l 的斜率为k ，点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为：()12y k x =--则有：2d ==解得：34k =-，此时直线l 的方程为：3450x y ++=综上可得，直线l 的方程为：1x =或3450x y ++=19.南山实验高二年级的同学们学习完《统计与概率》章节后，统一进行了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照[)[)[]50,60,60,70,,90,100⋅⋅⋅进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中3b a =．（1）求出a b ，;（2）估计测试成绩的平均分；（3）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在[]80,100内的学生中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在[)80,90内的概率．【答案】（1）0.01a =，0.03b =（2）76.5；（3）12【解析】【分析】（1）根据频率之和即可求解，（2）根据平均数的计算公式即可求解，（3）由列举法列举所有基本事件，即可由古典概型概率公式求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(0.0150.035)101a b a ++++⨯=，即20.05b a +=，又3b a =，所以0.01a =，0.03b =．【小问2详解】测试成绩的平均分为：550.1650.15750.35850.3950.176.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】成绩在[80,90)和[90,100]内的人数之比为3:1，故抽取的4人中成绩在[80,90)内的有3人，设为a ，b ，c ，成绩在[90,100]内的有1人，设为D ，再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为(,)a b ，(,)a c ，(,)a D ，(,)b c ，(,)b D ，(,)c D ，共6种，这2人成绩均在[80,90)内的情况有(,)a b ，(,)a c ，(,)b c ，共3种，故这2人成绩都在[80,90)内的概率为3162P ==20.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O 的北偏西45°方向km 处设立观测点A ，在平台O 的正东方向12km 处设立观测点B ，规定经过O 、A 、B 三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系．（1）试写出A ，B 的坐标，并求两个观测点A ，B 之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台O 正南10km C 处，有一艘轮船正以每小时km 的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？【答案】（1）(2,2),(12,0)A B -；||AB =（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出A ，B 的坐标，再由距离公式得出A ，B 之间的距离；（2）由,,A O B 三点的坐标列出方程组得出经过,,O A B 三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为l ，再由几何法得出直线l 与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.【小问1详解】由题意得(2,2),(12,0)A B -，∴AB ==；【小问2详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为该圆经过,,O A B 三点，∴022********F D y D =⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，得到12160D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以该圆的方程为：2212160x y x y +--=，化成标准方程为：()()2268100x y -+-=.设轮船航线所在的直线为l ，则直线l 的方程为：10y x =-，圆心（6，8）到直线:100l x y --=的距离10d r ==<=，所以直线l 与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线l 与圆截得的弦长为L ==km，行驶时长0.5L t v ===小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.21.甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为23，乙每轮猜对的概率为34．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．【答案】（1）89（2）512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.【小问1详解】设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F ，()212212448C 333999P F ⎛⎫=⋅⨯+=+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】设事A ＝“甲第一轮猜对”，B ＝“乙第一轮猜对”，C ＝“甲第二轮猜对”，D ＝“乙第二轮猜对”，E ＝““九章队”猜对三个数学名词”，所以()()()()23,34P A P C P B P D ====，()()()()11,34P A P C P B P D ====则E ABCD ABCD ABCD ABCD =⋃⋃⋃，由事件的独立性与互斥性，得()()()()()P E P ABCD P ABCD P ABCD P ABCD =+++()()()()()()()()()()()()P A P B P C P D P A P B P C P D P A P B P C P D =++()()()()P A P B P C P D +13232123231323215343434343434343412=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为512．22.如图，等腰梯形ABCD 中，1//,22AD BC AB BC CD AD ====，现以AC 为折痕把ABC 折起，使点B 到达点P 的位置，且PA CD ⊥.（1）证明：面PAC ⊥面ACD ；（2）若M 为PD 上的一点，点P 到面ACM ，求PM PD的值及平面MAC 和平面DAC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）12，5【解析】【分析】（1）先证AC CD ⊥，利用线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质可判定面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离及二面角即可.【小问1详解】如图所示，在梯形ABCD 中，取AD 中点N ，连接CN ，易知四边形ABCN 为平行四边形，可得CN AN DN ==，即AC CD ⊥，又PA CD ⊥，,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ，因为CD ⊂平面DAC ，所以面PAC ⊥面ACD ；【小问2详解】取AC 的中点O ，则//ON CD ON AC ⇒⊥，因为PA PC =，所以PO AC ⊥，结合（1）的结论，可以以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则)()()()(),,0,1,0,0,0,1,AC N P D，()()(),2,1,CA PD AP ==-= ，设(],0,1PMPD λλ=∈，即()(),2,,2,1PM PD AM AP PM λλλλλ==-=+=-，设面ACM的一个法向量为(),,m x y z =，则有(()0210CA m AM m x y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，令10,2y x z λλ=-⇒==，即()0,1,2m λλ=-，则点P 到面ACM 的距离为152m PM d m λ⋅===，即12PM PD =；易知平面ACD 的一个法向量可为()0,0,1n =，设平面MAC 和平面DAC 夹角为α，易知10,,12m ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ,所以25 cos cos,5m nm nm nα⋅===⋅.。