第六讲几何计数

几何计数,数线段,直接利用公式几何计数是指利用几何方法解决计数问题的数学分支。

其中一种常见的几何计数问题是计算给定平面上点集中线段的数量。

在这篇文章中，我们将介绍如何利用公式来解决数线段的问题，具体的解题方法如下。

首先，我们考虑如何求解平面上的水平线段。

设给定平面上有n个点，我们需要求解由这n个点确定的水平线段的数量。

我们先来看一种简单的情况，假设给定的n个点中没有两个点具有相同的y坐标。

在这种情况下，由任意两个点所确定的线段都是不同的。

因此，我们只需要计算C(n, 2) = n(n-1)/2即可得到线段的数量，其中C(n, 2)表示从n个点中选择2个点的组合数。

然而，当给定的n个点中存在具有相同y坐标的点时，我们需要单独考虑这些点所确定的线段数量。

假设存在m个具有相同y坐标的点，那么我们首先可以求得这m个点所确定的线段的数量为C(m, 2) = m(m-1)/2。

然后，我们还需要将这些线段与其他n-m个点所确定的线段进行组合，因此，这种情况下线段的总数量为C(n, 2) + m(m-1)/2。

接下来，我们考虑如何求解平面上的任意方向的线段的数量。

事实上，我们可以将任意方向的线段分解为水平线段和竖直线段的组合。

假设给定的n个点中没有两个点具有相同的x坐标，那么我们可以通过先求解水平线段的数目，再求解竖直线段的数目，最后将这两个数目相乘得到线段的总数量。

水平线段的数目可以由之前的计算方法得到，而竖直线段的数目的计算方法与水平线段相同。

然而，当给定的n个点中存在具有相同x坐标的点时，我们需要单独考虑这些点所确定的线段数量。

我们可以将具有相同x 坐标的点与其他点分别进行组合，计算得到水平线段和竖直线段的数量，然后将它们相乘得到线段的总数量。

需要注意的是，在计算过程中，我们需要保证m不为0，否则计算C(m, 2)会出现问题。

此外，还要注意考虑到水平线段和竖直线段交叉的情况，需要进行适当的调整。

综上所述，通过以上公式，我们可以解决给定平面上点集中线段数量的计算问题。

探秘“几何计数”在计算几何题的过程当中，我经常会遇到需要计算一定条件的图形个数的题目，即几何计数。

由于组合图形位置关系的多样性，常产生多个符合条件的图形且易重复或遗漏。

为了探究解决问题的方法，我查阅了大量资料，结合自己的做题经验，然后归纳、探索、整理出了一系列的方式方法。

１、分类穷举：即根据对象的特征，把它分成若干类，再一个一个地数出来。

２、分解转化：即把复杂的图形分解为常见的基本图形。

３、代数计算：即依据图形的特征规律，通过列代数式、方程、递推式等代数方法计算。

４、利用加法原理、乘法原理。

加法原理：做一件事，完成它有n 类方法，在每类方法中分别有m1、m2、m3…mn 种不同的方法，那么完成这件事共有m1＋m2＋m3＋…＋mn 种不同的方法。

乘法原理：做一件，完成它需要分成几个步骤，在每步中分别有m1、m2、m3…mn 种不同的方法，那么完成这件事共有m1×m2×m3×…×mn 种不同的方法。

〔例一〕 图1中共有多少个三角形？【精析】先求出小三角形的个数，然后再求出由2个、4个、8个小三角形所组成的三角形个数，利用分类穷举的方法求解。

【全解】图中小三角形共有4×4＝16（个）；由2个小三角形组成的三角形共有4×4＝16（个）；由4个小三角形组成的三角形共有4＋4＝8（个）；由8个小三角形组成的三角形共有4（个）.所以共有三角形16+16+8+4＝44（个）.答：图中共有44个三角形。

〔例二〕如果依次用a1、a2、a3、a4分别表示图①、②、③、④中的三角图1形个数，那么a1＝3，a2＝8，a3＝15，a4＝ 。

如果按照上述规律画图，那么a9与a8之间的关系是：a9＝a8＋ 。

【全解】∵a1＝3＝2×2－1，a2＝9＝3×3－1，a3＝15＝4×4－1∴a4＝5×5－1＝24；a8＝9×9－1＝80；a9＝10×10－1＝99，则a9＝a8＋19。

几何计数法的原理与应用1. 原理几何计数法是一种用于计算几何对象数量的数学方法。

它基于对几何问题的特性进行分析和计算，通过利用几何对象之间的关系来推导出要求的数量。

几何计数法的原理主要包括以下几个方面：1.1 排列组合排列组合是几何计数法中最基本的原理之一。

排列表示从给定的对象中选择一部分，并按照一定的顺序进行排列；组合表示从给定的对象中选择一部分，并不考虑顺序。

通过排列组合的原理，可以计算出几何对象之间的排列组合数量，进而求解几何计数问题。

1.2 对称性对称性是几何计数法中常用的原理之一。

在一些特定的几何问题中，对象之间存在对称的关系，通过利用对称性，可以减少计算的复杂性。

对称性可以帮助我们找到更有效的解决方法，从而简化计算过程。

1.3 化归法化归法是几何计数法中常用的原理之一。

通过将复杂的几何问题化简为简单的几何问题，通过简化的问题求解，再推导回原问题的解。

化归法可以帮助我们理清问题的思路，从而更好地解决几何计数问题。

2. 应用几何计数法在实际应用中具有广泛的应用，尤其在组合数学、概率统计、图论等领域中有着重要的地位。

以下是一些几何计数法的具体应用场景：2.1 格点多边形计数在二维平面上存在一个由格点组成的多边形，通过对多边形的边数、顶点数等进行计数，可以应用几何计数法来求解多边形的数量。

格点多边形计数是组合数学中的一个经典问题，通过排列组合和对称性等原理，可以求解出不同类型的格点多边形的数量。

2.2 走迷宫计数走迷宫计数是一个经典的几何计数问题。

在给定的迷宫中，通过排列组合的方法，计算从起点到终点的所有路径数量。

通过分析迷宫的特性和利用化归法，可以将复杂的迷宫计数问题转化为简单的几何计数问题，从而求解出路径的数量。

2.3 格点方格数量格点方格数量是几何计数法常用的一种应用场景。

在二维平面上存在一些由格点组成的方格，通过计算不同大小的方格数量，可以应用几何计数法来求解方格的总数量。

通过排列组合和对称性等原理，可以计算出不同类型的格点方格的数量。

小学数学奥数讲义计数专题几何计数小学数学奥数讲义计数专题几何计数在小学数学的教学中，奥数讲义是一本非常重要的学习资料。

其中计数专题是数学学习的基础，也是几何计数的重要内容之一。

本文将对小学数学奥数讲义中的几何计数进行详细介绍。

一、几何计数的概念几何计数是指通过观察几何形状，根据一定的规律和方法进行计数的过程。

它主要包括图形的边数、顶点数和对称性等方面的计数。

二、图形的边数的计数计算图形的边数是几何计数的重要内容之一。

对于任何一条直线，它没有边，因为它是无限长的。

对于一个封闭的图形，它的边数等于它的边界线的线段数。

例如，一个三角形有三条边，一个正方形有四条边。

三、图形的顶点数的计数计算图形的顶点数也是几何计数的重要内容之一。

顶点是指图形的两条边交汇的点。

对于一个封闭图形，它的顶点数等于它的边界线上的交点数加上中心点（如果存在的话）。

例如，一个三角形有三个顶点，一个正方形有四个顶点。

四、图形的对称性的计数计算图形的对称性也是几何计数中的重要内容。

对称性是指图形的某一部分与另一部分关于某个轴线对称，这个轴线称为对称轴。

对称轴的数量可以通过观察图形的特点来确定。

例如，一个正方形有四条对称轴，分别是两条对角线和两条垂直于边的中垂线。

五、实例演示为了更好地理解几何计数的概念和方法，我们举一个实例来演示。

假设有一个五角星形的图形，我们来计算它的边数、顶点数和对称性。

首先，观察图形，我们可以看到它有五条边，所以边数为5。

接下来，我们继续观察图形，可以看到它有五个顶点，所以顶点数为5。

最后，我们观察图形的对称性。

五角星形图形有五条对称轴，分别是五条连结顶点的线段。

六、总结通过以上的介绍和实例演示，我们了解了几何计数在小学数学奥数讲义中的重要性。

几何计数包括图形的边数、顶点数和对称性等内容，通过观察和计数，我们可以更深入地理解图形的特点和性质。

在小学数学教学中，几何计数是培养学生观察、分析和计算能力的一种重要方法。

华杯赛计数专题：6几何计数基础知识：1.几何计数,从类型上看,可分为数线段、数三角形、数正方形、数长方形、数平行四边形等几类.2.几何计数的基本方法和思想：分类枚举与对应.3.分类的标准：按大小,按包含的图形等.4.常见对应方法：线段对应到端点,三角形对应到端点或边,长方形对应到对边等.5.特殊方法：去点法与去线法,本质是分类.方法铺垫：1）加法原理,乘法原理；2）容斥原理；3）排列数,组合数；4）对应法.例题：例1.如图,数一数图中有多少条线段？【答案】28（条）【解答】分类：1个单位长的线段有7条；2个单位长的线段有6条；3个单位长的线段有5条；……7个单位长的线段有1条；故共有线段7＋6＋5＋……＋1=28（条）.例2.数一数,图中共有多少个三角形？【答案】13（个）【解答】分类：含有1块的三角形有4个；含有2块的三角形有5个；含有3块的三角形有2个；含有4块的三角形有1个；含有6块的三角形有1个；故共有三角形4＋5＋2＋1＋1=13（个）.例3.如图,数一数,图中有多少个三角形？【答案】48（个）.【解答】分类：包含1个小三角形的三角形有1＋3＋5＋7＋9=25个；包含4个小三角形的三角形有1＋2＋3＋4＋3=13个；包含9个小三角形的三角形有1＋2＋3=6个包含16个小三角形的三角形有1＋2=3个；包含25个小三角形的三角形有1个；故共有三角形25＋13＋6＋3＋1=48（个）.例4.数一数,图中共有多少个三角形？【答案】35（个）【解答】分类：含有1块的三角形有10个；含有2块的三角形有10个；含有3块的三角形有10个；含有5块的三角形有5个；故共有三角形10＋10＋10＋5=35（个）.例5.图中有多少个正方形？【答案】30（个）【解答】包含1个正方形的正方形有4×4=16个；包含4个正方形的正方形有3×3=9个；包含9个正方形的正方形有2×2=4个；包含16个正方形的正方形有1个；故共有三角形16＋9＋4＋1=30（个）.例6.如图,数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？【答案】70（条）; 60个【解答】线段：横线,共有4×条；竖线：5×,故共有线段40＋30=70条；矩形：竖线中选出两条,共有条,横线中选出两条,共有,根据乘法原理,共有矩形10矩形原60个.例7.如图,这是一个长为9,宽为4的网格,每一个小格都是一个正方形.请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）从中可以数出包含红点的长方形有多少个？【答案】450（个）；144个【解答】（1）竖线中选出两条,共有条,横线中选出两条,共有,根据乘法原理,共有矩形45×10=450个.（2）竖线中选出两条,共有6竖线中选出条,横线中选出两条,共有2×3=6条,根据乘法原理,共有矩形24×6=144个.例8.如图,数一数,图中共有多少个长方形？【答案】135个【解答】横向看：共有矩形个,竖向看：共有矩形个,这样重复计算了个,所以共有矩形90＋63－18=135个.例9.如图,木板上钉着12枚钉子,排成三行四列的长方阵.用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200（个）【解答】共有三角形个.例10.下图由相同的正方形和相同的等腰直角三角形构成, 则正方形的个数为多少？（17届华杯赛笔试初赛小高组第6题）【答案】83（个）【解答】包含1小个正方形的正方形有2＋4＋6＋8＋8＋6＋4＋2=40个；包含4小个正方形的正方形有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1=25个；包含9小个正方形的正方形有2＋4＋4＋2=12个；包含16小个正方形的正方形有1＋3＋1=5个；共有正方形40＋25＋12＋5＋1=83个.例11. 求图中一共有多少条线段？求图中一共有多少个矩形？【答案】70条线段,60个矩形【解答】每一条线段由同一行或同一列的两个顶点确定,因此共有条线段.每个矩形由长和宽上的各一条线段对应形成,如下图：因此共有个矩形.例12. 数一数,图中有多少个三角形？【答案】78个【解答】只包含1个基本图形的有36个（朝上的21个,朝下的15个）；包含4个基本图形的有21个（朝上的15个,朝下的6个）；包含9个基本图形的有11个（朝上的10个,朝下的1个）；包含16个基本图形的有6个；包含25个基本图形的有3个；包含36个基本图形的有1个.所以共有36＋21＋11＋6＋3＋1=78个.例13. 下图是一个长为9,宽为4的长方形网格,每一个小格都是一个正方形,那么：1）从中可以数出多少个矩形？2）从中可以数出多少个正方形？3）从中可以数出包含黑点的矩形有多少个？【答案】1）450个；2）80个；3）144个【解答】1）图中共有个矩形；2）包含1个基本图形的正方形共有4×9=36个；包含4个基本图形的正方形共有3×8=24个；包含9个基本图形的正方形共有2×7=14个；包含16个基本图形的正方形共有1×6=6个.则共有36＋24＋14＋6=80个.3）黑点左下方的顶点共有18个,黑点右上方的顶点共有8个,所以包含黑点的矩形共有18×8=144个.例14. 图中一共包含多少个矩形？【答案】135个【解答】第（1）部分和第（3）部分合并起来是一个3×5的大矩形（如下图所示）,其中一共包含矩形个；第（2）部分和第（3）部分合并起来是一个6×2的大矩形（如下图所示）,其中一共包含矩形个；第（3）部分中的矩形被重复计算了,其中共有矩形个.所以图中一共包含矩形90＋63－18=135个.例15. 图中的木板上钉着12枚钉子,排成三行四列的长方阵. 那么用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？【答案】200个【解答】从12枚钉子中选择3枚钉子的组合总数是.而图中共有3条直线上各有4个点（如下图实线所示）,另外还有8条直线上各有3个点（如下图虚线所示）.因此用橡皮筋一共可以套出个不同的三角形.例16. 求图中所有矩形的面积和以及周长的总和.【答案】周长总和：1364；面积总和：1800【解答】矩形的10种长的总长是3＋+4＋+2＋+6＋+7＋+6＋+8＋+9＋+12＋+15=72。

第6讲几何计数【例1】导引拓展篇第1题如图，数一数，图中有多少个三角形？包含1个小三角形的有25个包含4个小三角形的有13个包含9个小三角形的有6个包含16个小三角形的有3个包含25个小三角形的有1个++++=所以共有个251363148按照顺序数出图形个数【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？包含1块的三角形有5个；包含2块的三角形有4个；包含3块的三角形有1个；包含4块的三角形有1个；没有5块和6块的三角形；包含7块的大三角形1个；因此所有三角形一共有++++=5411112【例2】导引拓展篇第2题数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 共有12个三角形 增加10个三角形 增加10个三角形因此原图中共有个三角形． B C BA DEF12101032++=【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．整个五边形被分成了11块由1块构成的三角形有10个；由2块构成的三角形是10个；由3块构成的三角形共10个；由5块构成的三角形有5个．共有10＋10＋10＋5＝35个三角形。

【例3】导引拓展篇第3题数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．加上虚线就加上6个三角形变成35个三角形原图共有35－6＝29个三角形【例3】导引拓展篇第3题AB C增加了一条线段AC以AB为边增加三角形有4个，以BC为边增加三角形有2个，以AC为边增加三角形有6个，共增加12个共有35＋12＝47个三角形数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形．【例4】导引拓展篇第4题数一数，图中有多少个三角形？两个部分中各有35个三角形第一种有10个第二种有5个原图中共有35×2＋10＋5＝85个三角形【例5】导引拓展篇第5题数一数图中共有多少个长方形？（正方形是特殊长方形）由1块组成的长方形共有7个由2块组成的长方形共有4个由3块组成的长方形共有2个由4块组成的长方形有1个由5块组成的长方形有1个由6块组成的长方形有1个由7块组成的长方形有1个图中共有长方形7＋4＋2＋1＋1＋1＋1＝17个【例6】导引拓展篇第5题如图所示的一个大菱形，那么图中共能数出多少个菱形？设最小的菱形边长为1边长为1的菱形共有4×4=16个边长为2的菱形共有3×3=9个边长为3的菱形共有2×2=4个边长为4的菱形有1×1=1个菱形共有16+9+4+1=30个2212＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅）1-nn＋＋【例7】导引拓展篇第7题这是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形．请问：（1）从中可以数出多少个长方形？（2）包含黑点的长方形有多少个？(1)从5条横线中取2条横线共有种方法从10条竖线中取2条竖线共有中方法图中共有长方形 22510450C C ⨯=(2)黑点上面有2条横线，下面有3条横线所以有2×3=6种取法左边有6条竖线，右边有4条竖线 所以又4×6=24种取法 共有6×24=144个含黑点的长方形 21n 21m C C ++⨯m ×n 个网格中有 个长方形【例8】导引拓展篇第8题数一数，图中共有多少个长方形？左边阴影一共有长方形个 右方阴影一共有长方形个 被重复计算有个 图中一共包含长方形90+63-18=135个224690C C ⨯=227363C C ⨯=224318C C ⨯=【例9】导引拓展篇第9题图中共有多少个平行四边形？尖朝右、尖朝左和尖朝上三种最小的平行四边形有6个两个小平行四边形拼成的有6个三个小平行四边形拼成的有2个四个小平行四边形拼成的有1个共15个有15×3=45个平行四边形【例10】导引拓展篇第10题18个大小相同的小正三角形拼成了一个平行四边形．数一数，图中共有多少个梯形？左上右下的斜线、左下右上的斜线和竖线三种左上右下：6×3+4=22个梯形左下右上： 6×3+4=22个梯形竖线梯形：5×2+2=12个所以共有22+22+12=56个梯形【例11】导引拓展篇第11题木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？三角形由不在同一直线的三点组的 从12个点中任意选择3个点有 共线三点组共有12+8=20个 所以共有220-20=200个三角形220C 312【例12】导引拓展篇第12题方格纸上放了20枚棋子，以棋子为顶点，可以连出多少正方形？最小方格有9个小正方形小正方形个数有4个小正方形个数有2个小正方形个数有4个小正方形个数有2个一共有9+4+2+4+2=21个【例13】导引拓展篇第13题图中，共有多少个不同的曲边形？中间是1个五角星，边上是5个小块1个小块：5+5=10个曲边型2个小块： 3个小块: 4个小块: 5个小块:1个共有10+10+10+5+1=36个曲边型10C 25=10C 35=5C 45=【例14】导引拓展篇第14题一个2×3的网格中，每个小正方形的面积都是1．那么以格点为顶点，可以连成多少个面积为1的三角形？底是2高是1、底是1高是2底是2高是1： 底是1高是2： 底是1高是2又是底是2高是1：直角三角形重复 重复直角三角形为1×2直角三角形1×2的长方形中由4个这样的直角三角形 重复共有4×7=28种面积为1的三角形共有：50+48-28=70种4×2 +4×2×2 +4×2 +9×2 =50种 3×4×2 +2×3×4 =48种本讲知识点汇总一、按照顺序数出图形个数二、m ×n 的方格中长方形的个数为 三、正方形以及菱形的个数为 四、可以通过对称或者图形相似简化计数过程21n 21m C C ++⨯22211-n n ＋＋）＋（⋅⋅⋅⋅⋅⋅下节课见！。

几何中的计数问题公式几何中计数问题是许多研究者和学生们持续关注的一个重要领域。

这种类型的问题不仅困难，而且提供了令人兴奋的机会来解决一些基本的几何问题。

几何中计数问题的解决方法往往会涉及到一些公式，这些公式可以帮助我们解决特定的几何问题。

其中一种最经典的公式就是欧几里得的算数公式。

欧几里得的算数公式非常简单而实用，是一个通项公式，可以应用于任何正整数的数学问题。

该公式通过涉及到四个项目“n+1”，“n-1”，“n+2”和“n-2”，可以表达一个数字连续增加或减少的量。

公式如下：F(n)=F(n-1) + [2F(n-2)-F(n+1)]欧几里得的算数公式可以被用来解决几何中的计数问题。

例如，在一个二维平面上，欧几里得的算数公式可以用来计算边缘图形的内角总角度的总和。

另外，欧几里得的算数公式还可以用来解决几何中复杂情况的计数问题。

比如，假如存在一个多维地理位置的空间，欧几里得的算数公式可以用来计算该空间位置上任何点到其他离散点的距离平均值。

此外，几何中的计数问题还可以用另一个通项公式来解决，这就是帕累托的领数公式。

该公式用于解决具有两个参数的几何计数问题，其中，一个参数表示位置，另一个参数表示指数。

公式如下：F(k,n)= 2^(k-1)*(n-1)!帕累托的领数公式可以用来解决几何中的多项式计数问题。

例如，可以用它来计算一个多面体所有面的总数，或者找到一个多面体的体积。

此外，几何中的计数问题也可以用另一种非常常见的公式来解决，即伽马函数。

伽马函数可以用来表示一个几何形状内任意两点之间的距离。

其公式如下：F(n,m)= 2^(-n/2)*sqrt(n)*sqrt(m)伽马函数可以用来计算一个几何体内部任何两点之间的距离，它还可以用来计算该几何体的表面积。

因此，可以看出，几何中的计数问题是可以通过使用不同的公式来解决的。

欧几里得的算数公式、帕累托的领数公式和伽马函数都可以为我们提供帮助，在解决一些几何中的计数问题时可以使用它们。

几何计数知识点总结几何计数是离散数学中的一个重要分支，主要研究平面或空间中的点、线、面、体等几何体的组合、排列和计数方法。

在解决实际问题和进行数学证明时，往往需要运用几何计数的方法。

本文将就几何计数的基本概念、常用方法和应用领域进行总结，以便读者更好地理解和运用几何计数知识。

一、基本概念1.1 点、线、面和体在几何计数中，点、线、面和体是最基本的几何构件。

点是没有长度、宽度和高度的，线是由一系列相邻的点组成的，面是由一系列相邻的线组成的，而体则是由一系列相邻的面组成的。

这些几何构件在计数问题中经常出现，需要根据其特性进行排列和组合的计算。

1.2 排列和组合排列和组合是解决几何计数问题的基本方法。

排列是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行排列，计算排列的种类数；组合是指从给定的元素中取出若干个不同的元素进行组合，计算组合的种类数。

根据排列和组合的公式和性质，可以准确地解决各种几何计数问题。

1.3 简单计数原理简单计数原理是指根据事件的性质和求解目标，将复杂的事件分解成若干个简单事件，然后根据简单事件的计数规律，求解复杂事件的计数问题。

简单计数原理在几何计数中经常被使用，尤其是在求解复杂的几何排列和组合问题时，可以大大简化计算。

1.4 对称性对称性是几何计数中广泛存在的重要性质。

在计算几何排列和组合时，通常可以利用几何体的对称性质，简化计算或得出结论。

对称性可以分为点对称、轴对称和面对称等不同类型，每种对称性质都有其特定的计数规律。

二、常用方法2.1 放回和不放回放回和不放回是几何计数中常用的计数方法。

放回是指在一定条件下，将选取的元素放回原处，继续进行下一次选取；不放回是指在一定条件下，将选取的元素不放回原处，继续进行下一次选取。

这两种方法在计算排列和组合时有不同的计数规律，需要根据具体的问题选择合适的方法。

2.2 递推关系递推关系是指根据已知的计数结果和规律，求解未知的计数问题。

在几何计数中，经常可以通过观察已知的排列和组合规律，得出递推公式或递推关系，从而求解更复杂的计数问题。

第六讲几何图形的计数趣谈一、常用的几个简单几何图形的计数公式1．数线段、三角形、（锐）角的公式数出图6－1中各条线段上线段的总条数。

图6－1(a)中只有两个点A、B、只有一条线段。

图6－1(b)中有A、B、C三个点，这三个点将线段AC分割成AB、BC两条小线段，这两条小线段连起来组成一条新线段AC，所以图6－1(b)中有三条线段算式为2＋1＝3。

图6－1(c)中有A、B、C、D四个点，这四个点将线段AD分割成AB、BC、CD三条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成两条新线段AC、BD，然后相邻的三条小线段连起来组成一条新线段AD，所以图6－1(c)中共有6条线段，算式为3＋2＋1＝6。

图6－1(d)中在有A、B、C、D、E五个点，这五个点将线段AE分割成AB、BC、CD、DE四条小线段；把相邻的两条小线段连起来组成三条新线段AC、BD、CE；再将相邻的三条小线段连起来又组成两条新线段AD、BE；最后相邻的四条小线段连起来又组成一条新线段AE。

所以图6－1(d)中共有10条线段。

算式为4＋3＋2＋1＝10。

图6－1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点，这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段；这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF；然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF；再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF；最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。

所以图6－1（e）中共有15条线段。

算式为5＋4＋3＋2＋1＝15。

将上述几种情况一般化，如果某条线段上共有n个点（包括两个端点），那么这n个点将线段分割成n－1条小线段，这n－1条小线段中，任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－2条。

另外，这n－1条小线段中，任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段，这样的新线段共有n－3条。

第六讲 几何计数和图形剪拼例 1 下列各图中，分别有几条线段？ 解：例 2、右图中各有多少个三角形？ 答：例 3、右图中有多少个锐角？ 答：例 4、数数右上图中有多少个长方形。

答：例 5、左图中有多少个平行四边形？右图中有多少个梯形？ 解：平行四边形： 梯形：例 6、数数右图中有多少个正方形。

答：总结：    数线段、三角形、角的公式： n＋(n-1)+(n-2)+……+2+1 数长方形、平行四边形、梯形的公式：(1+2+……＋n)×(1+2+……+m) 数正方形的公式：1×1+2×2+3×3+……+n×n= n ( n  1)( 2 n  1)6要明确公式中的 m，n 分别是什么含义，培养举一反三的能力，但切忌不管适用范围， ．．．．．．．． ． 乱用公式。

能利用公式的应用公式进行解决，不能应用公式的，要具体情况具体对待。

．．．．第 1 页 共 11 页 第六讲 几何计数和图形剪拼例 7、图中有多少个三角形？ 分析：右图中到底有多少个三角形，采用上面的办法不好解决， 为了计数的时候“不漏”，我们采用分类的办法解决。

解：例 8、下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形。

它们一共有 16 个顶点( 共同的顶点算一个)， 以其中不在同一条直线上的三个点为顶点， 可以构成三角形。

在这些三角形中，与阴影部分面积相等的有多少个？ 分析：为了方便起见，在图中标上字母，并假定每个小正方形的边 长为 1。

这样一来图中的阴影部分的面积是 3。

图中面积为 3 的三角形， 可以分两大类。

一类为底长为 2，高为 3；另一类为底长 3，高为 2。

先看底为 2， 高为 3 的三角形的个数是多少。

如果把底边选在 AD 上， 而在 AD 上有两条线段 AC、BD 的长为 2。

点 J、I、H、G 到线段 AD 的 距离为 3。

所以这时与阴影三角形面积相等的有三角形有 4× 个。