扬州市2014—2015学年度高三第四次调研测试数学试题及答案(WORD)

江苏省扬州中学2014-2015学年第一学期质量检测高 三 数 学 [理] 2014.12 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1.已知集合},2|{},1|{≤=->=x x B x x A 那么=⋃B A _________. 【答案】R【解析】由并集的运算律可得=⋃B A R ，故答案为R 故答案为：R【考点】集合的运算 【难度】12.函数)42cos(2)(π+-=x x f 的最小正周期为_________.【答案】π【解析】由正余弦函数的周期公式22|||2|T p p p w ===-，故答案为π 故答案为：π【考点】周期性和对称性 【难度】1 3.复数1z i =+，且)(1R a zai∈-是纯虚数，则实数a 的值为_________. 【答案】1【解析】因为复数1z i =+，1111=122ai ai a ai z i ---+=-+， 若为纯虚数，则实数a =1 故答案为：1【考点】复数综合运算 【难度】 14.已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为,21x y =则m 的值为_______.【答案】12【解析】双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为y x =?，其中一条为：,21x y =12=，解得m=12．故答案为：12． 故答案为：12【考点】双曲线 【难度】 25.在ABC ∆中，,2,105,4500===BC C A 则AC =________.【答案】1【解析】∵0045,105A C ==，∴030B =，∵BC ，∴由正弦定理sin sin BC ACA B=得：1sin 1sin 2BC BAC A==故答案为：1【考点】正弦定理 【难度】26.“N M >”是“N M 22log log >”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 【答案】必要不充分条件【解析】∵当N M >时，不确定两个数字的正负， 不一定得到N M 22log log >，即前者不一定推出后者； 当N M 22log log >时，根据对数函数的单调性知有N M >， 即后者可以推出前者，∴“N M >”是“N M 22log log >”成立的必要不充分条件 故答案为：必要不充分条件 【考点】充分条件与必要条件 【难度】27.若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为_______. 【答案】24±【解析】解析：∵n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则由等比数列的性质可得57936,13104a a =-=-．解得 574,8a a =-=-， 则5a 与7a的等比中项为??24±故答案为：24± 【考点】等比数列【难度】28.若正四棱锥的底面边长为,22cm 体积为,83cm 则它的侧面积为_______. 【答案】224【解析】∵正四棱锥的底面边长为,22cm 体积为,83cm ∴设四棱锥的高为h，∴(2183h ?，∴3h =，=则此四棱椎的侧面积142S =创故答案为：224【考点】空间几何体的表面积与体积 【难度】29.在平面直角坐标系xoy 中，记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥-06207203y x y x y 表示的平面区域为.D 若对数函数)1(log >=a x y a 的图像与D 有公共点，则a 的取值范围是__________.【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：若a ＞1，当对数函数图象经过点A 时，满足条件，此时30270y x y ì-=ïí+-=ïî，解得23x y ì=ïí=ïî，即()2,3A ，此时log 23a =，解得a =∴当1a <?∴实数a 的取值范围是1a <?故答案为： 【考点】线性规划【难度】 210.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且),()3(x f x f =+当)0,2(-∈x 时，,2)(x x f =则=++)2013()2014()2015(f f f _________.【答案】0【解析】∵),()3(x f x f =+∴f （x ）的周期T=3；∴=++)2013()2014()2015(f f f f （671×3+2）+f （671×3+1）+f （671×3+0） =f （2）+f （1）+f （0）=f （﹣1）+f （1），又∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，∴f （﹣1）+f （1）=0， 故答案为：0【考点】函数综合 【难度】 311.在边长为1的正ABC ∆中，向量,x =,y =0,0>>y x ，且,1=+y x 则⋅的最大值为________.【答案】38-【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则点1,02A 骣琪-琪桫，1,02B 骣琪琪桫，C 骣琪琪桫； 设点()1,0D x ，()22,E x y ，∵,x =∴()11,01,02x x 骣琪-=-琪桫，∴112x x =-+；∵,y =∴221,,222x y y 骣骣琪琪-=--琪琪桫桫，∴212x y =-，2y y -；∴⋅=12212211,,22x x y x x y 骣骣骣琪琪琪-?=--琪琪琪桫桫桫=111222222x y y 骣骣琪琪琪-+?---琪琪琪桫桫桫 =()2111131222228x yxy x y 骣+琪++-Ｗ-=-琪桫， 当且仅当12x y ==时取“=”；故答案为：38-． 故答案为：38-【考点】平面向量坐标运算 【难度】 312.若在给定直线t x y +=上任取一点,P 从点P 向圆8)2(22=-+y x 引一条切线，切点为.Q 若存在定点,M 恒有,PQ PM =则t 的范围是_______.【答案】),6[]2,(+∞⋃--∞∈t【解析】设),,(),,(t x x P n m M +若恒有,PQ PM = 则有,8)2()()(2222--++=-++-t x x n t x m x即有R x t nt n m x n m ∈∀=++-+--+,0)442()422(22恒成立，∴,0442042222⎩⎨⎧=++-+=-+t nt n m n m 消去,m 得.0)42()2(2=+++-t n t n ∴0)42(4)2(2≥+-+=∆t t ，∴),6[]2,(+∞⋃--∞∈t . 故答案为：),6[]2,(+∞⋃--∞∈t 【考点】直线与圆的位置关系 【难度】313.已知数列}{n a ,}{n b 中，,1a a =}{n b 是公比为32的等比数列.记),(12*N n a a b n n n∈--=若不等式1+>n n a a 对一切*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案】2a > 【解析】∵),(12*N n a a b n n n ∈--=∴.12--=n n n b b a ∴1212111-----=-+++n n n n n n b b b b a a ,0)1)(321(31)1)(1(1111111<---=---=---=+++n n nn n n n n n b b b b b b b b b解得23>n b 或.10<<n b若23>n b ，则23)32(11>-n b 对一切正整数n 成立，显然不可能； 若,10<<n b 则1)32(011<<-n b 对一切正整数n 成立，只要101<<b 即可， 即,112011<--<a a ，解得.21>=a a 故答案为：2a > 【考点】数列的递推公式 【难度】314.已知0,,≠∈b R b a ，曲线 bx ax x y --=23 和直线 b ax y +=有交点Q ()n m ,()Z n m ∈,，则b a ,满足的等量关系式为______________. (不能含其它参量) 【答案】082=+-b a【解析】由题意可得：Q ()n m ,在曲线 bx ax x y --=23 和直线 b ax y +=上，所以32331n m am bm m n m nm n m n am b ⎧=--⇒=-⇒=⎨+=+⎩ ()32111111m n m m m m +-⇒==-+-++，∵m,n ∈Z ，∴m=0或-2，当m=0时，n=0代回原方程得b=0不成立；当m= -2时，n=8代回原方程得8=-2a+b,即082=+-b a 。

江 苏 大 联 考2015届高三第四次联考·数学试卷考生注意:1。

本试卷共160分.考试时间120分钟.2。

答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚. 3。

请将各题答案填在试卷后面的答题卷上。

4。

交卷时，可根据需要在加注“"标志的夹缝处进行裁剪.5。

本试卷主要考试内容:前3次联考内容+立体几何+平面解析几何。

一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分.把答案填在答题卷中的横线上。

1.已知集合A={x ｜x 2≤2x },B={y|y>1}，则A∩B 等于 ▲ .2.若双曲线x 2—ay 2=1的离心率为√62,则正数a 的值为 ▲ .3.一圆锥的侧面展开图是一半径为2的半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .4.在下列四个图所表示的正方体中，能够得到AB⊥CD 的是 ▲ .5.若过点P （2，—1）的圆（x —1）2+y 2=25的弦AB 的长为10,则直线AB 的方程是 ▲ .6。

已知α是第二象限角,且sin α=35，则tan(α+π4)= ▲ 。

7。

已知椭圆x 2m +y 2n =1(m>n 〉0）的离心率为12,且有一个焦点与抛物线y 2=16x 的焦点重合,则椭圆的短轴长为 ▲ 。

8.设m,n∈R,若直线l ：mx+ny-1=0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B,且坐标原点O 到直线l 的距离为√3,则△AOB 的面积S 的最小值为 ▲ 。

9.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知a 2—b 2=c,且sin Acos B=2cos Asin B ，则c= ▲ .10。

已知直线y=k （x+2）（k 〉0)与抛物线C:y 2=8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若｜FA ｜=2｜FB ｜,则k 等于 ▲ . 11.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 〉0时,f(x)=52cos （π2x)+lo g 12x,则函数f(x ）的零点个数为 ▲ .12。

扬州市2014届高三上学期期末考试数学试题一、填空题（70分）1、设集合2、在复平面内，复数对应的点位于第＿＿象限3、在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，则从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是＿＿＿＿4、某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90),[90,100)后得到频率分布直方图（如图），则分数在［70,80）内的人数是＿＿＿＿5、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的i的值是＿＿＿6、已知x，y满足约束条件50x yx yy++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z＝3x＋4y的最小值是＿＿＿＿7、圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4），B（0，－2），则圆C 的方程为＿＿＿＿＿＿8、函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿9、设Sn 是等比数列的前n 项和，若的值是＿＿＿＿10、正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球（正六棱柱的顶点都在此球面上）的表面积为＿＿＿11、已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，则点M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线离心率为＿＿＿12、已知是单位向量，的最大值是＿＿＿13、已知数列的的前n项和Sn，若都是等差数列，则的最小值是＿＿＿14、已知函数f（x）＝，若函数y＝f［f（x）］＋1有4个零点，则实数t的取值范围是＿＿＿二、解答题（90分）15、（本题满分14分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，向量（1）求角B的大小；b＝7，求此三角形的周长（2）若△ABC的面积为16、（本题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点。

2014届江苏省扬州中学高三下学期4月阶段测试数学试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两卷，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2.，是不同的直线，，是不同的平面，则下列正确命题的序号是( )A.若，，则；B.若，，则；C. 若，，则；D.若，，则．3.下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行4.如图,若一个空间几何体的三视图中,正视图和侧视图都是直角三角形,其直角边均为1,则该几何体的体积为（）A． B． C． D．15．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A. B. C．8π D.6.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.a2B．2a2 C.a2 D.a27．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面（）A．必定都不是直角三角形 B．至多有一个直角三角形C．至多有两个直角三角形 D．可能都是直角三角形8．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A．1 B．2C．3 D．49．如右图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是()A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥ABEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等10．已知A、B、C、D为同一球面上的四点，且连接每点间的线段长都等于2，则球心O到平面BCD的距离等于（）A．B． C．D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为13．长方体中，，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到点的最短距离是．14.在中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一个动点,则PM的最小值为15．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是_________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成角的正切值是；④CB1与BD为异面直线．三、解答题：本大题共6个小题，共75分。

江苏省扬州中学2014届高三下学期4月文科数学试卷（带解析）1z的虚部为．【答案】1【解析】z的虚部为1.考点：复数的运算2．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为01到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，现将505组，用每组选取的号码间隔一4组抽出的号码为36，则第1组中用抽签的方法确定的号码是 .【答案】06【解析】试题分析：因为按系统抽样方法选取的编号依次构成一个等差数列，且公差为10，所以由06.考点：系统抽样3．如图是一个算法的伪代码，输出结果是．【答案】14【解析】试题分析：一共循环三次，考点：循环结构伪代码4．已知函在区随机取则使概率为．【解析】考点：几何概型概率5的取值范围是．【解析】试题分析：考点：直线斜率6的值为．【答案】－e【解析】试题分析：设切点为，则有因此.e考点：利用导数求切线7．再将图像上每一点横坐的最小正值为．【解析】试题分析：由题意得：函数n2变为考点：三角函数图像变换8．下列命题正确的序号是 ．【答案】① 【解析】的交线时，因此③错误，也能满足，.考点：直线与平面位置关系9的离心率为【解析】考点：双曲线的渐近线10 【答案】1 【解析】试题分析：设z c k=所以o g ,kk b=考点：指对数运算11M ：NM 是N 的 条件．【答案】充要 【解析】 试题分析：因为xb a b ≥⇔，所以不等式x ba b -恒成立等价于因此M 是N 的充要条件.考点：向量垂直，不等式恒成立12的最小值为 ． 【解析】 试题分析：设y n+=则而考点：基本不等式13．对任意，函数满足)]，设15．【解析】试题分析：因为[()]f x+，所以2即因此所以或，又由考点：数列求和14（1（2）在△ABC中，AB=1ABC sinA+sinB的值．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）研究三角函数性质，首先将三角函数化为基本三角函数形式，即：==再由（2）解三角形，基本方法利用正余弦定理进行边角转化. 因为△ABC的面积1余弦定理所可由正弦定理得,所以【解】（1（21因为△ABC①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.②考点：三角函数性质，正余弦定理15．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E 是PB上任意一点，△AEC面积的最小值是3．（1）求证：AC⊥DE；（2）求四棱锥P－ABCD的体积．【答案】（1）详见解析，（2【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质与判定定理进行转化. 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC．因而AC⊥平面PDB，从而AC⊥DE．（2）设AC与BD相交于点F．连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，所以AC⊥EF．所以S△ACE·EF，因此△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．由△PDB∽△FEB，解得PD PD⊥平面ABCD，所以VP—ABCD□ABCD·PD24（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又因为PD⊥平面ABCD，ABCD，所以PD⊥AC．而AC∩BD＝F，所以AC⊥平面PDB．E为PB上任意一点，PBD，所以AC⊥DE．（2）连EF．由（1），知AC⊥平面PDB，PBD，所以AC⊥EF． S△ACE·EF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB．S△ACE＝36×EF＝3，解得EF＝1．由△PDB∽△FEB EF＝1，FB＝4所以PB＝4PD PDVP—ABCD□ABCD·PD24考点：线面垂直性质与判定定理，四棱锥体积16E上、（1）求椭圆E 的离心率；（2（3【答案】（1（2）相切，（3【解析】试题分析：（1）求椭圆E 的离心率，. 因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，即4.（2圆心到直线距离与半径大小比较.,（31，所解得2．所以，圆的方程为【解】（1）设椭圆E 的焦距为2c （c>0），E（2（31考点：椭圆离心率，直线与圆位置关系，点关于直线对称点17．一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米所在直线的距离）的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．（1）若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值； （2）若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．【答案】（1）6，（2【解析】试题分析：（1）由题意得：保持其缺口宽度不变，需在A,B点处分别作抛物线的切线.以抛所以，方分米，即为所求．（2）若保持其缺口深度不变，需使两腰分别为抛物线的切线.设梯形腰此时，其与直交相交此时，梯形的面积解：（1）以抛物线顶点为原点，建立平面直角坐标系，（211分（这儿也可以用基本不等式，但是必须交代等号成立的条件）考点：利用导数研究函数最值18．（1（2（3【答案】（1（2）详见解析，（3）详见解析.【解析】试题分析：（1得，代入，得(1)+，∴1，公差为1的等差数列，.（2）n+∴2n+，（3）∵由（2）解：（11，公差为1（2n+，∴2n+，22n++11（3由（2考点：求数列通项，数列不等式 19m ∈R ． （1）若0<m ≤2，试判断函数f (x)=f 1 (x)+f 2 并证明你的结论；（2若对任意大于等于2的实数x 1，总存在唯一的小于2的实数x 2，使得g (x 1) = g (x 2) 成立，试确定实数m 的取值范围． 【答案】（1）单调减函数，（2）（0，4）. 【解析】试题分析：（1函数f(x)0<m ≤2，x ≥2f(x)为单调减函数．（2）结合图形分析，可知讨论点为当 m ≤0时，所以g (x1) = g (x2)不成立．当0＜m ＜2时，g (x1)= g (x2)恒成立．当2≤m＜4所以g (x1) = g (x2)恒成立．当m≥4.解：（1）f (x)为单调减函数．证明：由0<m≤2，x≥2，可得由且0<m≤2，x≥2f(x)为单调减函数．f(x)为单调减函数．）（2）①若m≤0，由x1≥2x2＜2所以g (x1) = g (x2)不成立．②若m＞０，由x＞2所以g(x)（a）若m≥2，由于x所以g(x)在(－∞,2)要使g (x1) = g (x2)h(4)=0，所以2≤m ＜4．（b ）若0＜m ＜2，由于x ＜2所以g(x)要使g (x1) = g (x2)由0＜m ＜2，得 故当0＜m ＜2 综上所述，m 为区间（0，4）上任意实数．考点：利用导数研究函数单调性，利用导数求参数取值范围。

扬州市2014—2015学年度第四次调研测试试题高 三 数 学 参 考 答 案第一部分1．已知集合{1,2,4},{2,3,4,5}A B ==，则AB =．{2，4}2．设复数z 满足()132i z i +=-+，则z ＝____________．13i -3．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ．2,10x R x ∃∈+≤ 4．已知α为第三象限角，且tan 2α=，则sin 2α= ．455．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是 ．9106．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = －1 7．锐角ABC △中角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，4,5a b ==, ABC △的面积为53, 则c = ．218．用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是 ．93π 9．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2244a S a S =，则12015S S 等于 ．1 10．若函数()cos f x k x =⋅的图象过点(,1)3P π，则该函数图象在P 点处的切线倾斜角等于 ．23π析：∵函数()cos f x k x =⋅的图象经过点(,1)3P π，∴()cos 1233f k k ππ==⇒=，∴x x f cos 2)(=，()2sin f x x '=-，()2sin 333k f ππ'==-=-．11．若直线30x y m ++=截半圆225y x =-所得的弦长为8，则m = ．310-12．平面内四点,,,O A B C 满足4,25,5,0OA OB OC OB OC ===⋅=，则ABC ∆面积的最大值为 ．1513．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率为32，过原点O 且倾斜角为3π的直线l 与椭MDCBA圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为813413+，则椭圆方程为 ．2214x y +=析：由已知2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:3l y x =代入得13||13A x a =， 由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =． 14．已知函数||()()xx f x x R e=∈，12()421()x x g x a a a a R +=-+⋅++-∈， 若{|(g())}R A x f x e =>=，则a 的取值范围是 ．[1,0]- 析：当0x ≥时，1'()x xf x e-=，得()f x 在[)0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，当1x =时有极大值1e； 当0x <时，1'()0xx f x e -=<恒成立，()f x 是减函数，且(1)f e -=． 设()g x t =，由()f t e >得1t <-，即()1g x <-对x R ∈恒成立，22()(2)21x g x a a a =--++-，当0a >时，2()21g x a a ≤+-，而2211a a +->-，不合题意；当0a ≤时，2()(,1)g x a a ∈-∞+-，∴211a a +-≤-，得10a -≤≤． 15．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABC 是等边三角形，M 是ABC ∆的中心． ⑴若DM BC ⊥，求证AD BC ⊥；⑵若AD 上存在点N ，使//MN 平面BCD ，求AN ND 的值．证⑴连AM 并延长交BC 于E ，连DE因为M 是等边ABC ∆的中心，所以E 是BC 的中点，AE BC ⊥ ……………2分又因为DM BC ⊥，AE DM M =，,AE DM ⊂平面ADE ，所以BC ⊥平面ADE ， ……………5分因为AD ⊂平面ADE ，所以AD BC ⊥； ……………7分⑵,M AE AE ∈⊂平面ADE ，所以M ∈平面ADE ， 因为AD 上存在点N ，所以N ∈平面ADE ，所以MN ⊂平面ADE ， ……………9分又//MN 平面BCD ，平面ADE平面BCD DE =，所以//MN DE ，……………12分在ADE ∆中，因为12AM ME =，所以12AN ND =． (14)分16．ABC ∆的内角,A B 满足2cossin 22A B A B a i j +-=+(单位向量,i j 互相垂直)，且6||2a =． ⑴求tan tan A B 的值； ⑵若2sin 13A =，边长2a =，求边长c ． 解⑴因为2223||2cossin 222A B A B a +-=+=， 即1cos()31cos()22A B A B --+++=， ……………3分所以cos cos sin sin cos cos sin sin 02A B A BA B A B +--=，化简整理，得13t ant a22A B -=，故ta A B =13. ……………7分(2)由(1)可知,A B 为锐角．因为2sin 13A =，所以2tan 3A =，1tan 2B =，tan tan 7tan tan()1tan tan 4A B C A B A B +=-+=-=--，7sin 65C =……………12分 因为正弦定理sin sin a cA C=，所以2271365c =，所以边长755c =． ……………14分17．一件要在展览馆展出的文物近似于圆柱形，底面直径为0.8米，高1.2米，体积约为0.6立方米．为保护文物需要设计各面是玻璃平面的正四棱柱形无底保护罩，保护罩底面边长不少于1.2米，高是底面边长的2倍．保护罩内充满保护文物的无色气体，气体每立方米500元．为防止文物发生意外，展览馆向保险公司进行了投保，保险费用与保护罩的占地面积成反比例，当占地面积为1平方米时，保险费用为48000元．⑴若保护罩的底面边长为2.5米，求气体费用与保险费用的和； ⑵为使气体费用与保险费用的和最低，保护罩应如何设计？ 解⑴2248000500(2.550.6)230052.5⨯-+=； ……………4分⑵保护罩的底面边长为x 米，底面积为S 平方米，体积为V 立方米，总费用为y 元，则 48000500(0.6)y V S=-+=2248000500(20.6)x x x ⋅-+32480001000300x x=+-，（ 1.2x ≥）……9分52339600032'30003000x y x x x -=-=，令'0y =得2x =， 当1.22x ≤<时'0y <，y 递减；当2x >时'0y >，y 递增∴当2x =时，y 有极小值即最小值．答：为了使这两项总费用最低，保护罩的底面边长应设计为2米． ……………14分18．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点．⑴求椭圆的离心率；⑵过点T 的直线与椭圆相交于,M N 两点，,M N 都在x 轴上方，并且M 在,N T 之间，且2NF MF =．①记,NFM NFA ∆∆的面积分别为12,S S ，求12S S ； ②若原点O 到直线TMN 的距离为204141，求椭圆方程． 解⑴因为F 是AT 的中点，所以22a a c c-+=，即(2)()0a c a c -+=，又a 、0c >，所以2a c =，所以12c e a ==； ……………4分 ⑵①解法一：过,M N 作直线l 的垂线，垂足分别为11,M N ，依题意，11NF MFe NN MM ==， 又2NF MF =，故112NN MM =，故M 是NT 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆= 又F 是AT 中点，∴ANF TNF S S ∆∆=，∴1212S S =；……………8分解法二：∵2a c =，∴3b c =，椭圆方程为2222143x y c c+=，(,0)F c ，(4,0)T c设11(,)M x y ，22(,)N x y ，点M 在椭圆2222143x y c c+=上，即有22211334y c x =-， ∴2222211113()()34MF x c y x c c x =-+=-+-22111111124|2|2422x cx c x c c x =-+=-=- 同理2122NF c x =-，又2NF MF =，故1224x x c -=得M 是,N T 的中点，∴12MNF TNF S S ∆∆=，又F是AT 中点，∴ANF TNFS S ∆∆=，∴1212S S =； ……………8分 ②解法一：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，不妨设00(,)M x y ，则00(24,2)N x c y -，又,M N 都在椭圆上，即有⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(24)4143x y c cx c y c c +=-+=即⎧⎪⎨⎪⎩220022220022143(2)1434x y c c x c y c c +=-+= 两式相减得：220022(2)3444x x c c c --=，解得074x c =， ……………10分可得0358y c =，故直线MN 的斜率为35587644ck c c ==--， ……………13分 直线MN 的方程为5(4)6y x c =--，即56450x y c +-= 原点O 到直线TMN 的距离为454553641c d c ==+，依题意4520414141c =，解得5c =， 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分解法二：设(,0)F c ，则椭圆方程为2222143x y c c+=，由①知M 是,N T 的中点，故1224x x c -=，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为(4)y k x c =-，与椭圆联立，并消去y 得：22222(4)143x k x c c c-+=，整理得：222222(43)3264120k x ck x k c c +-+-=，（*）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，依题意：⎧⎪⎨⎪⎩21222221223243641243ck x x k k c c x x k +=+-=+ 由⎧⎨⎩212212324324ckx x k x x c +=+-=解得：⎧⎨⎩ 2122221644316443ck c x k ck cx k +=+-=+ 所以222222221641646412434343ck c ck c k c c k k k +--⨯=+++，解之得：2536k =，即56k =-． 直线MN 的方程为5(4)6y x c =--，即56450x y c +-= 原点O 到直线TMN 的距离为454553641c cd ==+， 依题意4520414141c =，解得5c =， 故椭圆方程为2212015x y +=． ……………16分19．设m 个正数m aa a ,...,,21()*4,m m N ≥∈依次围成一个圆圈．其中1231,,,...,,k k a a a a a -*(,)k m kN <∈ 是公差为d 的等差数列，而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列． ⑴若12a d ==，8k =，求数列m a a a ,...,,21的所有项的和m S ； ⑵若12a d ==，2015m <，求m 的最大值； ⑶是否存在正整数k ，满足1211213()k k k k m m a a a a a a a a -++-++++=++++？若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．解⑴依题意16k a =，故数列m a a a ,...,,21即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时10m =，84m S =， ……………4分⑵由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是首项为2、公差为2的等差数列知，2k a k =， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是首项为2、公比为2的等比数列知，22m k k a +-=， 故有222m kk +-=，12m kk +-=，即k 必是2的整数次幂，由122km k +⋅=知，要使m 最大，k 必须最大，又2015k m <<，故k 的最大值102，从而1010241222m +⋅=，m 的最大值是1033． ……………9分⑶由数列1231,,,...,,k k a a a a a -是公差为d 的等差数列知，1(1)k a a k d =+-， 而111,,,...,,m m k k a a a a a -+是公比为2的等比数列112m kk a a +-=⋅，故1(1)a k d +-112m ka +-=⋅，11(1)(21)m kk d a +--=-又121113()k k k k m m a a a a a a a a -+-+++=++++，12m a a =则11112(1)32212m k ka k k d a --+-=⨯⨯-，即11111[(21)]32(21)2m k m k ka k a a +--+-=⨯-，则11126(21)22m k m k k k +--⋅+=-，即1126212m k m k k k +-+-⋅+=⨯-， 显然6k ≠，则112182166m k k k k +-+==-+-- 所以6k <，将12345k =，，，，一一代入验证知， 当4k =时，上式右端为8，等式成立，此时6m =， 综上可得：当且仅当6m =时，存在4k =满足等式． (16)分20．设函数1()1f x x =-，()1x g x ax =+(其中a R ∈，e 是自然对数的底数）． ⑴若函数()()()F x f x g x =-没有零点，求实数a 的取值范围；⑵若函数(),()f x g x 的图象有公共点P ，且在点P 有相同的切线，求实数a 的值；⑶若()()x f e g x ≤在x ∈[0,)+∞恒成立，求实数a 的取值范围． 解⑴由()()()0F x f x g x =-=得2(1)(1)10a x a x ----=，显然0x =，1x a=-都不是此方程的根，当1a =时，没有实根，则1a ≠，由2(1)4(1)0a a -+-<得：31a -<<， 故当(3a ∈-时，函数()()()F x f x g x =-没有零点； ……………3分⑵21'()f x x=，21'()(1)g x ax =+，设它们的公共点为(,)P P P x y ，则有⎧⎪⎨⎪⎩()()'()'()P P P P P P y f x y g x f x g x ===即⎧⎨⎩()()'()'()P P P P f x g x f x g x ==也就是⎧⎪⎨⎪⎩2211111()(1)P P P P P x x ax x ax -=+=+当1P P ax x +=时111P x -=，无解；当1P P ax x +=-时111P x -=-，12P x =，3a =-；…………8分⑶由题得111x x e ax -≤+在[0,)+∞上恒成立，因为0x ≥，故1[0,1)xe --∈，所以110x e -≥在[0,)+∞上恒成立，故01xax ≥+在[0,)+∞上恒成立，所以，0a ≥. ……………10分 解法一：不等式11x xe ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x ax e x -+--≤在[0,)+∞上恒成立， 令1()(1)(1)1x x ax h x ax e x ax x e -+=+--=-+--，则1'()1x ax a h x a e -+=+-，再设()'()m x h x =，则21'()xax a m x e -+-=，同时，'(0)21m a =-，'(0)0h =，(0)0h =，①当0a =时，1'()0,xm x e =-<，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴ '()'(0)=0h x h ≤，∴()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，②当102a <≤时，21()'()xa a x a m x e ---=，因为210a a-->，所以'()0m x <，则()'()m x h x =在[0,)+∞上单调递减，∴'()'(0)=0h x h ≤，∴ ()h x 在[0,)+∞上单减，∴()(0)=0h x h ≤，即()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立，③当12a >时，21()'()xa a x a m x e ---=，210a a->若210a x a -<<，则'()0m x >，即()'()m x h x =在21(0,)a a-上单调递增，所以'()'(0)0h x h >=即()h x 在21(0,)a a-上也单调递增，∴()(0)=0h x h >，即()()x f e g x ≥，不满足条件. 综上，()()xf eg x ≤在[0,)+∞上恒成立时，实数a 的取值范围是1[0,]2. ……………16分解法二：不等式11x x e ax --≤+恒成立等价于(1)(1)0x xax e e x +--≤在[0,)+∞上恒成立，设()(1)(1)=(1)(1)xxxh x ax e e x e ax x ax =+---+-+，则'()()xh x e a x x a a =-+-，再设()'()()xm x h x e ax x a a ==-+-，则'()[(1)(21)]xm x e a x a =-+-同时，'(0)21m a =-，(0)'(0)0m h ==，(0)0h =，①当1a ≥时，'(0)21m a =->，故函数'()h x 是(0,)+∞上的增函数所以'()'(0)h x h >=，所以函数()h x 是(0,)+∞上的增函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h >=，即()()x f e g x ≤，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符， ②当102a ≤≤时2101a a -≥-，21'()(1)()01x a m x a e x a -=-+<-，故函数'()h x 是(0,)+∞上的减函数所以'()'(0)0h x h <=，函数()h x 是(0,)+∞上的减函数，所以当(0,)x ∈+∞时，()(0)0h x h ≤=，即()()f x g x ≤在[0,)+∞上恒成立， ③当112a <<时，2101a a -<-，21'()(1)()1x a m x a e x a -=-+-当21(0,)1a x a -∈--时，'()0m x >，故函数'()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数所以在21(0,)1a x a -∈--上，'()'(0)0h x h >=， 所以函数()h x 是21(0,)1a a ---上的增函数，所以当21(0,)1a x a -∈--时，()(0)0h x h >=， 即()()x f e g x ≥，与()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立不符，综上可得，使()()x f e g x ≤在[0,)+∞上恒成立实数a 的取值范围是1[0,]2． 第二部分21B ．已知矩阵213,125M β ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦，计算2M β． 解法一：矩阵M 的特征多项式为221()4312f λλλλλ- -==-+- -，令()0f λ=， 解得1,λλ==，对应的一个特征向量分别为1211,11αα⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ……………5分令12m n βαα=+，得1,4m n =-=，22221212(4)()4()M M M M βαααα=-+=-+22113511431137⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分解法二：因为221211212M 5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ……………5分所以2335537M β5 4⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥4 5⎣⎦⎣⎦⎣⎦． ……………10分21C ．已知圆C 的极坐标方程是4sin ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，直线l 的参数方程是32(12x t t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数）．若直线l 与圆C 相切，求正数m 的值． 解：由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，所以2240x y y +-=，即圆C 方程为22(2)4x y +-= ……………4分 又由3212x t y t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消t 得330x y m -+=， ……………8分因为直线l 与圆C 相切，所以|233|22m -+=得4323m =±， 又0m >，所以4323m =+． ……………10分 22．如图，平行四边形ABCD 所在平面与直角梯形ABEF 所在平面互相垂直， 且11,//2AB BE AF BE AF ===，,,2,3AB AF CBA BC P π⊥∠==为DF 中点．⑴求异面直线DA 与PE 所成的角；⑵求平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的余弦值．解：在ABC ∆中，1,,23AB CBA BC π=∠==，所以2222cos 3AC BA BC BA BC CBA =+-⨯∠=所以222AC BA BC +=，所以AB AC ⊥又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD 平面A B E F AB =， AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF如图，建立空间直角坐标系{,,}AB AF AC ，则13(0,0,0),(1,0,0),(0,0,3),(1,0,3),(1,1,0),(0,2,0),(,1,)22A B C D E F P -- ⑴33(1,0,3),(,0,)22DA PE =-=- 设异面直线DA 与PE 所成的角为α，则33cos ||||2||||23DA PE DA PE α⋅===⨯⨯ 所以异面直线DA 与PE 所成的角为6π； ……………5分 ⑵(0,2,0)AF =是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的一个法向量(,,)n x y z =，(2,1,3),(1,2,3)DE DF =-=-则(,,)(2,1,3)230(,,)(1,2,3)230n DE x y z x y z n DF x y z x y z ⎧⋅=⋅-=+-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 得33z x y ==，取1x =，则1,3y z ==，故(1,1,3)n =是平面DEF 的一个法向量，设平面DEF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）为β，则25cos ||||5||||25AF n AF n β⋅===⨯⨯． ……………10分 23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈=，，， 集合n A 中满足条件“121||||||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为n m S ． ⑴求22S 和42S 的值；⑵当m n <时，求证：n m S 111322n m n +++<+-．解⑴228S =，4232S =； ……………3分 ⑵设集合{0}P =，{1,1}Q =-．若12||||||1n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ，故共有112n n C -种可能，即为112n C ，同理，12||||||2n x x x +++=，即123,,n x x x x ，，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ，故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++=，即123,,n x x x x ，，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ， 故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m mm n n n S C C C =++⋅⋅⋅+，因为当0k n ≤≤时，1k n C ≥，故10k n C -≥ 所以1122222n m m m n n n S C C C =+++001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． ……………10分。

Read x If x≤5 Theny←10x Elsey←2.5x +5 End If Print y高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）2016．5注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，则AZ = ▲ ．2．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定 ▲ ． 4．已知ABC ∆中，21,2,3a b C π===，则边c 的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是20， 则输入的x 值是 ▲ ．6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．8．已知tan 2α=且α为锐角，则cos2α= ▲ ．（第5题图）9．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．10．已知等边ABC ∆中，若1()3AP AB AC =+，AQ AP t AB =+，且AP AQ ⊥，则实数t 的值为▲ ．11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ． 12．设函数2log ()(0)()2(0)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且21n n a S -=（n *∈Ν）．若不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处取得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线2sin ([,])33y x x x ππ=∈上，则曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(s i n (),1)2a x ωϕ=+，(1,cos())2b x ωϕ=+(0,0)4πωϕ><<，记函数()()(f x a b a b =+⋅-．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值．16．（本小题满分14分）在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===P A ⊥BC ． （1）求证：平面PSB ⊥平面ABCD ；（2）若平面P AD 平面PBC l =，求证：//l BC ．PSDCBA17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m 为常数，且36m ≤≤）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支（3540x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支． （1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m 最多为多少元？（精确到0.1元） 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，椭圆的离心率为32．设点M 是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足13AM AB =． （1）求证：线段AB 的长是一定值；（2）若点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点（如图），求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．（第16题图）19．（本小题满分16分）数列{}n a 是公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前n 项和记为n A ，数列{}n b 是公比为q (1)q ≠的等比数列，它的前n 项和记为n B ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =． （1）若11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．（2）若11a =，2d =，试比较2k A 与2m B 的大小，并说明理由；（3）若2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，若存在，求出,m k 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数()f x =1ln ,a x a x+∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当[]1,2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点(02)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．扬州市2015-2016学年度高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）2016．521（B ）．（本小题满分10分）已知矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求该矩阵的另一个特征值．21（C ）．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合）中，圆C 的方程为4cos ρθ=．若直线l 被圆C 截得的弦长为11，求实数a 的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下：甲班 10 12 15 18 24 36 乙班121622262838如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率； （2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分） 已知*0()()nkk n nk f x Cx n N ==∈∑．（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+．2015-2016学年度高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案2016．5一、填空题1．{0,1} 2．1i - 3．“2,10x R x x ∀∈++≠” 4．7 5．2或6 6．23 7．1 8．35- 9．1[0,]2 10．23- 11．2 12．[1,)+∞ 13．12017 14．32二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．解：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+………………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=……………………6分（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． ……………………10分 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ……………………14分16．证：（1） A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且8BC = //AD BC ∴且4AD = 3,AB SA ==5CD SD == 222SA AD SD ∴+=90SAD ∴∠=︒即SA AD ⊥BC SB ∴⊥ ……………………3分 PA BC ⊥，PA SB A =，PA 、SB ⊂平面PSB BC ∴⊥平面PSBBC ⊂平面ABCD ∴平面PSB ⊥平面ABCD ……………………7分 （2）//AD BC ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD//BC ∴平面PAD ……………………10分 BC ⊂平面PBC ，平面P AD 平面PBC l =//l BC ∴ ……………………14分17．解：（1）设日销量为x k e ，则401000ke=401000k e ∴=．则日售量为401000x e e ∴日利润401000(30)xe y x m e =--⋅． 即 401000(30)xe x m y e --=，其中3540x ≤≤． ………………3分 令'0y =得31x m =+．① 当34m ≤<时，343135m ≤+< ∴当3540x ≤≤时，'0y ≤．∴当35x =时，y 取最大值，最大值为51000(5)m e -． ………………5分 ② 当46m ≤≤时，353137m ≤+≤，函数y 在[35,31]m +上单调递增，在[31,40]m +上单调递减． ∴ 当31x m =+时，y 取最大值91000m e -． ………………7分 ∴当34m ≤<时，35x =时，日利润最大值为51000(5)m e -元当46m ≤≤时，31x m =+时，日利润最大值为91000m e -元． ………………8分（2）由题意得：401000(30)1000xe x m e --≥对[35,40]x ∀∈恒成立 ………………10分则4030xe m x e≤--对[35,40]x ∀∈恒成立设40()30x e h x x e =--，[35,40]x ∈ 404040'()1x xe e e h x e e-∴=-= 则()h x 在[35,40]上单调增，则min 51()(35)5h x h e ==-，即515m e≤- 5.0≈∴每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元答：每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元． ………………14分18．解：（1）由题意得：2432a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩，则23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 1b ∴= ∴椭圆方程为：2214x y += ……………………3分设00(,)M x y ，则220014x y +=13AM AB =且A 、B 分别在x 轴、y 轴上 003(,0),(0,3)2A xB y ∴222220000999()944x AB x y y ∴=+=+= 3AB ∴=为定值 ……………………7分（2）方法（一）设11(,)P x y //AB PQ 02P Q A B y k k x ∴==-，220044x y += 则直线PQ 的方程为：02y y x x =-…………………9分 ∵0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22012200220122004161616x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪+⎩2222002222000041664441616x y PQ OP x y x y +∴==⋅=++ 点M 到直线00:20PQ y x x y +=的距离：0000002200|2||3|24x y x y x y d y x +==+ ………12分22220000002222220000003||(44)182212122216441616四边形MPQMPNQ x y x y y y S S PQ d x y y y x y ∆-∴==⨯⋅=⋅==+-++ 4200201231y y y -+=+，令2031,1t y t =+≥，则242002011()14133(5)3199t t y yt y t t ---+-+==-+-≤+ 当且仅当2t =时，取等号；即20312y +=时，max ()4四边形MPNQ S =，此时220018,33y x ==24MN k ∴=±………16分 方法（二）设直线MN 的斜率为k ，则003232PQ AB y k k k x -===-，则直线MN 方程为y kx =， 直线PQ 方程为2y kx =-， …………………9分解方程组22,1,4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 2214M x k =±+，用2k -代k 得，22116P x k =±+，由椭圆的对称性知222002221||M MN OM x y k x ==+=+， 点P 到直线MN 的距离222|||(2)|3||111p p p p p kx y kx kx kx d k k k ---===+++， ………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ 的面积1226||||2PMN M P S S MN d x kx ∆==⋅⋅=⋅＝ 22222222224||2424244,114116(14)(116)1642026420k k kk k k k kk k==≤=+⋅+++++⨯+当且仅当22164k k=，即24k =±时取等号， 所以，四边形MPNQ 的面积的最大值为4，此时直线MN 的斜率24k =±． ………16分 19．解：（1）34327k a b ===，即2127k -=，14k =，14196A =． ………3分 （2）依题意，224k A k =，且121m q k -=-，显然1q >． 又222211[(21)1]11m mq B k q q q -==----， 所以222221[(21)1]41m k B A k q k q -=----22221[(21)4(41)]1k q k q k q =--+--， ………6分 设2222()(21)4(41)f x k x k x k =--+-，2(1)(21)10f k =--> 它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程22412(21)k x k =<-，故()f x 是(1,)+∞上的增函数，所以当1x >时()(1)0f x f >>，即220m k B A ->，所以22k m A B <． ………9分 （3）依题意：112m k m a b a -==⋅， 由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k --+⋅⨯=⨯-， 4862128622486486m k k k⨯+⨯==-⨯-⨯-， ………12分所以151634421m k --=+， 因为92512=，故19m -≤，且51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数则其中121129m -+=时，151621m -+是整数，故17m -=，8m =且340k =． ………16分 20．解：（1）2211'()a ax f x x x x-=-+=， 0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间(0,)+∞， 0a >时，令10ax -<则1x a <，即10x a<<时，'()0f x <，则()f x 的单调递减区间1(0,)a． ………3分 （2）①12a ≤，()f x 在[1,2]上单调递减，min 1()(2)ln 202f x f a ∴==+=，解得：112ln 22a =-≤，适合题意；②1a ≥，()f x 在[1,2]上单调递增，min ()(1)10f x f ∴==≠，无解； ③112a <<，()f x 在1[1,]a 上单调递减，1[,2]a 上单调递增，min 11()()ln 0f x f a a a a ∴==+=，解得：a e =，舍去；综上可得：12ln 2a =-． ………8分 （3）0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线．设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=-即00011ln 2a x a x x +-=-，化简得：002ln 20a x a x +--= 设2()ln 2F x a x a x=+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分2222'()a ax F x x x x -=-+=①当0a =时，2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ………11分 ③ 当0a <时，22'()0ax F x x -=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e=-< 故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时，()F x 在(0,)+∞上恰有一个零点； ………12分③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a+∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞上至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-<又函数ln y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞， 故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02ln a x a+>，此时 00000222()ln 2(ln )0a F x a x a a x x x a+=+--=+-> 由于21a a+>， 即函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； ………14分111(1)1121()2(1)22(23)a a a aaa F eea a a e a a a -++++++=-++--=-++先证明当0a >时，112(2)a ae a ++≥+，即证112ln(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而2ln(2)2ln 4a +≤，由于2ln 4ln163=< 若[2,)a ∈+∞，构建函数1()12ln(2)x x x xϕ=++-+，32222122(1)2'()102(2)(2)x x x x x x x x x x x ϕ----=--==>+++()x ϕ在[2,)+∞为增函数，1()(2)32ln 402a ϕϕ≥=+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以11222222(2)23(25)23a aea a a a a a a ++≥+=+++++>++，故1(1)()0a aF e-++>又1(1)(1)0,1a aF e -++<<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点．∴当0a >时，()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线． ………16分数 学 试 题Ⅱ参考答案21（B ）．解：因为2113111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则2313a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ …5分 由212()(1)4021f λλλλ--==--=--，所以(1)(3)0λλ+-= 211,3λλ=-= 1λ=-所以另一个特征值是． ………………………………10分 21（C ）．解：直线l 的参数方程为12x ty a t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）所以直线的直角坐标系方程是：220x y a +--= ………………………………2分圆的直角坐标系方程是：2224x y -+=（），圆心（2，0），半径2r =……………………4分设圆心到直线的距离为d ，221142d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以52d = ……………………………7分 又4225255a a d ---===所以9122a =-或 ………………………………10分 22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A ，则213124()()339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则224222666(0)225C C P X C C === 112112422244226656(1)225C C C C C C P X C C +===11112222424244222266101(2)225C C C C C C C C P X C C ++===211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 222422666(4)225C C P X C C === ……………8分X0 1 2 3 4P6225 56225 101225 56225 622556101566()2342225225225225E X ∴=+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为2 …………………………10分 23．解：（1）00110()(1)nk k n nn n n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑…………………………1分456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； …………………………3分 （2）012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++ ① 则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++ ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+ ②11(1)1(1)()(1)1(1)m nm n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+所以012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+………………10分。

江苏省扬州中学2015届高三4月双周测数学试题一、选择题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0}=>，{1012}A x xB=-，，，，则A B等于▲ ．【答案】{}1,2【解析】试题分析：{1,2}A B=考点：集合的运算.2.已知虚数z满足216i-=+，则||z=▲ ．z z【解析】试题分析：设(,)a bi a bi i+--=+，整理得316 z a bi a b R=+∈，则2()()16+=+，a bi i所以，即，=+=.学科网12z i考点：复数的运算.3.抛物线22=的准线方程为▲ ．y x【答案】【解析】试题分析：标准方程为，，，所以其准线方程为.考点：抛物线的性质.4.函数()2ln f x x x =-的单调递减区间为 ▲ ． 【答案】(0,2) 【解析】试题分析：，由于0x >，所以的解集为02x <<，即减区间为(0,2). 考点：导数及单调性.5.某射击运动员在四次射击中分别打出了10，x ，10，8环的成绩，已知这组数据的平均数为9，则这组数据的标准差是 ▲ ． 【答案】1 【解析】试题分析：由，得8x =，22221[(109)(89)(109)(89)]4s =-+-+-+-1= 考点：方差及标准差.6.已知直线3430x y +-=及直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ▲ ． 【答案】2 【解析】试题分析：由题意，8m =，所以直线方程为68140x y ++=，即3470x y ++=，.学科网考点：两直线平行，平行线间的距离.7.角α的顶点在坐标原点，始边及x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)cos(απ-的值是 ▲ 【答案】【解析】试题分析：由已知，5cos()cos 5παα-=-=-. 考点：三角函数的定义，诱导公式.8.若一个正四棱锥的底面边长为2cm ，侧棱长为3cm ，则它的体积为 ▲ cm 3. 【答案】374 【解析】试题分析：由题意正四棱锥的高为223(2)7h =-=224S ==，因此考点：棱锥的体积，9.若实数,a b 满足，则22a b a b++的最大值为_____▲____.【答案】75【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），，(1,1)C ，设(,)P a b 是可行域内任一点，则的最大值为，最小值为，23322222a b a b a b a b a+=-=-+++，可见当b a 取最大值3时，也取最大值为75.考点：线性规划的应用.10.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6）先后抛掷两次得到的点数m 、n 分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 不．在．直线5x y +=下方的概率为 ▲ . 【答案】56【解析】试题分析：由题意点(,)P x y 共有6636⨯=个，由于满足5x y +<的点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2), (3,1)共6个，因此题意要求5x y +≥的点有30个，因此所求概率为.考点：古典概型.11.已知函数2()21f x x ax =-+，若存在，使(sin )(cos )f f ϕϕ=，则实数a 的取值范围____▲_____. 【答案】(2,2)【解析】试题分析：由题意，2(sin cos )22)4a πϕϕϕ=+=+，因为，所以，，从而(2,2)a ∈. 考点：二次函数的对称性，三角函数的值域.12.已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =____▲____. 【答案】0 【解析】试题分析：设(,)P x y ，，则，整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=，又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 考点：圆的方程.13.在正项等比数列{}n a 中，43215a a a a +--=，则56a a +的最小值为____▲___. 【答案】20 【解析】试题分析：设34a a x +=，则1250a a x +=->，由于{}n a 是等比数列，所以123456,,a a a a a a +++也成等比数列，因此22345612()25555a a x a a x a a x x ++===+++-- 20=，当且仅当，即10x =时等号成立，故56a a +的最小值为20.考点：等比数列的性质，基本不等式.14.已知函数()sin f x x x =+，不等式()cos f x ax x ≥在上恒成立，则实数a 的取值范围为_____▲______. 【答案】2a ≤考点：不等式恒成立，函数的单调性.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题满分14分)如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形. （1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.【答案】证明见解析. 【解析】A BCDEF试题分析：（1）要证面面垂直，一般要证线面垂直，本题中有,CF AE AB AE ⊥⊥，其中AB AE ⊥可得CD AE ⊥，从而有AE ⊥平面CDEF ，由此可得结论；（2）由AE ⊥平面CDEF 得AE EF ⊥，又AE AB ⊥，故得//EF AB ，从而有线面平行，也可由//AB CD 得//AB 平面CDEF ，再得//EF AB .试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB//CD，又∵AB⊥AE， ∴AE⊥CD 又∵AE⊥CF，CD∩CF=C，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE⊥平面CDEF ，又∵AE ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE⊥平面CDEF………7分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB//CD又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF[来源:学科网] 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.………14分 考点：面面垂直，线面平行. 16.本小题满分14分)已知函数()2cos()(05)63f x x x ππ=+≤≤，点B A ,分别是函数)(x f y =图象上的最高点和最低点．（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求的值． 【答案】（1）2-；（2）7210. 【解析】试题分析：（1）从题意可看出，首先由余弦函数的性质求得最大值和最小值，即相应的,A B 的坐标，然后应用向量的坐标运算求得数量积；（2）由（1）根据三角函数的定义可知，又能求得sin ,cos ββ，然后应用二倍角公式和两角差的正弦公式得出结论.试题解析：（1）∵05x ≤≤，∴，∴， 当时，即0x =时，()f x 取得最大值1， 当时，即4x =时，()f x 取得最小值－2， 因此，所求的坐标为(0,1),(4,2)A B -， 即(0,1),(4,2),OA OB ==-∴2OA OB ⋅=-.（2）∵点(0,1),(4,2)A B -分别在角,(,(0,2))αβαπ∈的终边上， 则525,sin ,cos 255πα==-=， 即5254sin 22sin cos 2()555βββ==⨯-⨯=-， 22253cos 22cos 12()155ββ=-=⨯-=， ∴23472sin(2)sin(2)()2425510απββ-=-=+=. 考点：三角函数的最值，向量的数量积，三角函数的定义，两角差的正弦公式.17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：的离心率为21，右焦点F （1,0），点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 及圆O ：222b y x =+相切于点M.（1）求椭圆C 的方程；（2）求|PM|·|PF|的取值范围；（3）若OP⊥OQ，求点Q 的纵坐标t 的值.【答案】（1）；（2）（0,1）；（3）32±=t【解析】试题分析：（1）根据椭圆的性质可得，又1c =，这样有2,3a b ==，椭圆方程可得；（2）PM 是切线，因此我们设00(,)P x y ，则22003PM x y =+-，2200(1)PF x y =-+，再利用，可以把PM PF 化为关于0x 的函数，由022x -≤≤求得其范围；（3）可以先讨论特殊情况下的值，当PQ x ⊥轴时，得23t =±，然后讨论当PQ 及x 轴不垂直时的情形，设PQ 方程为00()y y k x x -=-，由PQ 是圆C 的切线（应用圆心到切线距离等于圆的半径）得33)(2200+=-k y kx ，即002y kx 33220202--+=k y x k ，又由PQ 的方程可得Q 坐标为，再由0=⋅OQ OP 得，把刚才的关系及00(,)P x y 是椭圆的点的关系代入可化简得23t =±.试题解析：（1）…………2分 ∴c =1，a =2，∴3=b ，∴椭圆方程为 (4)分（2）设),(00y x P ，则)20(13402020<<=+x yxPM=0202020202134333x x x y x =--+=-+，………………6分PF=…………8分∴PM·PF=1)2(41)4(412000+--=-x x x ， OP MQFxy∵200<<x ，∴|PM|.|PF |的取值范围是（0,1） (10)分（3）法一：①当PM⊥x 轴时，P ，Q ),3(t 或),3(t -，由0=⋅OQ OP 解得32±=t ……………………12分②当PM 不垂直于x 轴时，设),(00y x P ，PQ 方程为)(00x x k y y -=-，即000=+--y kx y kx∵PQ 及圆O 相切，∴，∴33)(2200+=-k y kx∴002y kx 33220202--+=k y x k ………………13分 又，所以由0=⋅OQ OP 得……14分 ∴=++-0020220200202)(y kx y k x y kx x33)33(22020220220220--++++k y x k y k x k x =33)433)(1()1()33(220222220---++++k x k x k k x =12，∴32±=t ……16分法二：设),(00y x P ，则直线OQ ：，∴， ∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ ∴20200222202020)()(3t y t x y x t t x y y x -++⋅=+⋅+………12分∴)(33)(22022202202220202020222020t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅=+++⋅=+⋅+∴)(3)(22022020t x t y x +=+，∴………………14分 ∵，∴，∴，∴32±=t (16)分考点：椭圆的标准方程，直线和圆的位置关系，直线及椭圆的位置关系.18.(本小题满分16分)如图（1），有一块形状为等腰直角三角形的薄板，腰AC 的长为a 米（a 为常数），现在斜边AB 上选一点D ，将△ACD 沿CD 折起，翻扣在地面上，做成一个遮阳棚，如图（2）. 设△BCD 的面积为S ，点A 到直线CD 的距离为d. 实践证明，遮阳效果y 及S 、d 的乘积Sd 成正比，比例系数为k （k 为常数，且k >0）.（1）设∠ACD=θ，试将S 表示为θ的函数；（2）当点D 在何处时，遮阳效果最佳（即y 取得最大值）？【答案】（1）S ，090θ︒<<︒；（2）D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.试题解析：（1）△BCD 中， ∴，∴…………4分 ∴BCD CD BC S ∠⋅⋅=sin 21， 900<<θ……6分（其中范围1分）（2）θsin a d =…………8分kSd y = (10)分令t =+θθcos sin ，则]2,1(∈t ，∴)1(44)1(323tt ka t t ka y -=-=在区间]2,1(上单调递增，…………13分∴当2=t 时y 取得最大值，此时，即D 在AB 的中点时，遮阳效果最佳.………………16分考点：应用题，正弦定理，换元法，同角间的三角函数关系，函数的最值. 19.（本小题满分16分）对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.（1）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （2）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；（3）设0a >，点P 的坐标为，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切？若点P 的坐标为2(e ,2)呢？（结论不要求证明） 【答案】(1)不相切；（2）(1,0)；（3）当点P 的坐标为时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切；当点P 的坐标为2(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. 【解析】试题分析：（1）由于2()f x x =-，'()2f x x =-，而，因此当0x >时，'()0f x <，'()0g x >，即方程'()'()f x g x =无解，故两函数不存在相同的切线，不相切；（2）2()f x ax ax =-，'()2f x ax a =-，设切点为(,)P s t (0)s >，则，消法a 得，要注意，故，因此下面我们要讨论方程 在上的解，这个方程的解借助函数的单调性来完成，设，由'()F x 可得()F x 在1x =时取得最大值，且(1)0F =，因此此方程只有一解1s =，从而ln10t ==，即有(1,0)P ；（3）这类问题，都是假设它存在，然后由P 公共点，及两函数在P 点的切线一样即斜率相等，联立方程组，解出,a b ，如能解出，说明存在，如不能解出，说明不存在.试题解析：（1）结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切.…1分理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >， 又因为 ()2f x x '=-，，所以当0x >时，()20f x x '=-<，，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠. 当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切.…3分（2）若a b =，则()2f x ax a '=-，，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得2ln as as s -=①，② ，由②得 ，代入①得.（*） 因为 0>，且0s >，所以. 设函数 ，，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-.令()0F x '= ，解得1x =或(舍). …8分当x 变化时，()F x '及()F x 的变化情况如下表所示，x1 (1,)+∞()F x ' +-()F x↗↘所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且 当时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …12分（3）当点P 的坐标为时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …14分当点P 的坐标为2(e ,2)时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …16分考点：导数及切线，导数及函数的单调性和最值. 20.（本小题满分16分）设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>，数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值. （1）若，求3b ;（2）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式;（3）是否存在p 和q ，使得32m b m =+()m N *∈？如果存在，求p 和q 的取值范围？如果不存在，请说明理由.【答案】（1）37b =；（2）22m m +；（3）. 【解析】试题分析：(1)已知说明，要求3b ，只要求得不等式的最小整数解即可；（2）同样21n a n =-，为了求m b ，我们要解不等式21n m -≥，即，因此按m 的奇偶分类讨论：当21m k =-时，()m b k k N *=∈，当2m k =时，1()m b k k N *=+∈，这样在求数列{}m b 的前2m 项和2m S 时也要分组求和，奇数项一起，偶数项一起分别求和；（3）存在性命题，都是假设存在，然后计算，本题假设存在的意思就是说不等式pn q m +≥的最小整数解为32m +，由于0p >，因此，则3132m qm m p-+<≤+，即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 310p -=，，代入上式又得.故结论为存在.学科网试题解析：（1）由题意，得，解，则，所以成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =.（2）由题意，得21n a n =-，对于正整数由n a m ≥，得, 根据m b 的定义可知，当21m k =-时，()m b k k N *=∈ 当2m k =时，1()m b k k N *=+∈ ∴1221321()m m b b b b b b -+++=+++242()m b b b ++++=2(123)[234(1)]2m m m m ++++++++++=+（3）假设存在p 和q 满足条件，由不等式pn q m +≥及0p >得 ∵32()m b m m N *=+∈，根据m b 的定义可知，对于任意正整数的都有3132m qm m p-+<≤+即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->（或310p -<）时，得22()31313131p q p q p q p qm m p p p p ++++-≥≥--≤≤-----或 这及上述结论矛盾. 当310p -=即时，，∴∴所以存在p 和q ，使得满足条件的p ，q ，且p ，q 的取值范围分别是： .考点：不等式的整数解，分类讨论，分组求和，存在性命题.附加题部分21B .选修4—2：矩阵及变换 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 3 cd ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．【答案】A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 3 2 4， A的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－12－1312． 【解析】试题分析：本题考查矩阵及其特征值及特征向量的关系，矩阵A 的属于特征值λ的特征向量为m n⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则，由此可求得,c d ，逆矩阵1A -满足1AA E -=，可列方程组求解.试题解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11可得，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 cd ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝6⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，即c ＋d ＝6，由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－2，可得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3 3 cd ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3 3 2 4，所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23－12－1312． 考点：特征值及特征向量.21C .选修4—4：极坐标及参数方程已知圆的极坐标方程为：()2πcos 604ρθ--+=．（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．【答案】（1）224460+--+=；（2）最大值为6，最小值为2．x y x y考点：极坐标方程及直角坐标方程的互化，圆的参数方程，三角函数的最值.22.(本题满分10分)为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45．（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[)35,40岁的人数；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人，记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）150；（2）X 的分布列为：X0 1 23 P285149528 9544 5711[来源:学,科,网Z,X,X,K].【解析】试题分析：（1）在频率分布直方图中，各个小矩形的面积就是相应的频率，而所有小矩形的面积（频率）之和为1，由此可求得0.06x =，这样所求人数为0.065500150⨯⨯=；（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．从中任取3人，则X 的可能值分别为0,1,2,3，各个概率分别为()28514032038===C C X P ，()9528132028112===C C C X P ， ()9544232018212===C C C X P ，,结论即得.试题解析：（1）因为小矩形的面积等于频率，所以除[)40,35外的频率和为0.70，所以10.700.065x -==，所以500名志愿者中，年龄在[)40,35岁的人数为0.065500150⨯⨯=(人)； (3)分（2）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X 的可能取值为0,1,2,3，()28514032038===C C X P ，()9528132028112===C C C X P ， ()9544232018212===C C C X P ，,故X 的分布列为：X0 1 23 P285149528 9544 5711[来源:学,科,网Z,X,X,K]所以1428441117190123285959557955EX =⨯+⨯+⨯+⨯==．…………10分 考点：频率分布直方图，分层抽样，随机变量的分布列及数学期望. 23.(本题满分10分) 若一个正实数能写成1(*)n n n N ++∈的形式，则称其为“兄弟数”.求证：（1）若x 为“兄弟数”，则2x 也为“兄弟数”；（2）若x 为“兄弟数”，k 是给定的正奇数，则kx 也为“兄弟数”.【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：首先要理解新定义“兄弟数”，即x =这种形式，相邻两个正整数的算术根的和.因此第（1）小题较简单，设x =，则221x n =++=（2）这一题有一定的难度，关键是在设x =后，引入y =1xy =，借助y 完成证明，而00,(kkkik iikik i ik k i i x C y C --====∑∑，故(k kkkik iiik i i kk i i xy C C --==+=+∑∑ 1022442122[]k kk k k kkkkC C n C n Cn n----=+⋅+⋅++，其中每一项都有个因式， 故可记：2*kk x y a N +=∈，同理：由0(k kk k i k i i ik i ik k i i x y C C --==-=-∑∑，记：2*k k x y b N -=∈，进而，2k x =，即kx=又22224(1)4()()44k k k k k k a n b n x y x y x y +-=+--==，故22(1)1a nb n +=+，这样就得k x 为“兄弟数”.试题解析：（1）设*)x n N =∈，则221xn =++（2）设*)x y n N ==∈，则1xy =而00,(kkkik iikik i i k k i i x C y C --====∑∑故(k kkk i k i i ik i i k k i i xy C C --==+=+∑∑122442122[]k k k k k k k k k C C n C n C n n ----=+⋅+⋅++，不妨记：2*k k xy a N +=∈ 同理：由00(k k kk i k i ii k i i k k i i x y C C --==-=-∑∑，不妨记：2*k k x y b N -=∈进而，2k x，即k x = 又22224(1)4()()44k k k k k k a n b n xy x y x y +-=+--==，故22(1)1a n b n +=+ 因此k x 亦为“兄弟数”. 考点：新定义，二项式定理的应用.。

扬州中学2013—2014学年高三开学检测数 学 试 卷一．填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．在复平面内，复数12ii+-（其中i 为虚数单位）对应的点位于第 ▲ 象限． 2．已知集合{},0M a =，{}2230,N x x x x =-<∈Z ，如果MN ≠∅，则a = ▲ ．3．已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ▲ ． 4．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =___▲___． 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．①.若 n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则β//n ； ③.若α//m ，β//m ，则βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则βα⊥．6．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ．7．已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ .8．已知Ω＝{(,)|6,0,0}x y x y x y +<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ▲ ．9．函数)2||,0,0)(sin()(πφωφω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个 单位后，得到的图像解析式为____▲____．10．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___▲___． 11．求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55x xf x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程623(2)2x x x x +=+++的解集为 ▲ ．12．已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则ABCD的值为 ▲ ． 13．设函数22(0)()log (0)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．14．设实数12345,,,,x x x x x 均不小于1，且12345729x x x x x ⋅⋅⋅⋅=，则1223max{,,x x x x3445,}x x x x 的最小值是 ▲ ．（max{,,,}a b c d 是指a 、b 、c 、d 四个数中最大的一个）二．解答题：（本大题共6小题，计90分） 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2cossin()22A Af A π=- 22sin cos 22A A+-． （Ⅰ）求函数()f A 的最大值； （Ⅱ）若()0f A =，512C π=，a =b 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA 丄底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ．（I ）若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ； （II ）求三棱锥P ﹣ACE 的体积． 17．（本小题满分15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率＝商品的标价实际付款额．设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ．（Ⅰ）写出当x ∈(]1000,0时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于32？P 18．（本小题满分15分）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，（Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．19．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，函数3()f x x ax =+，2()g x x bx =+，/()f x 和/()g x 分别是()f x ，()g x 的导函数，若//()()0f x g x ≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性一致．（Ⅰ）设0a >，若函数()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上单调性一致，求实数b 的取值范围； （Ⅱ）设0a <且a b ≠，若函数()f x 和()g x 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值．________ 姓名_____________ 学……………内……………不……………要……………答……………题………………20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足*1112()n n n n n a b a b na n N ++++=∈． （Ⅰ）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且112b =时，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定；（Ⅲ）设2*12()1n n n n a a a n N a ++=∈+，21nn i i S b ==∑，求证：226n S n <<．高三数学开学检测答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12． 13． 14．二、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解：16．解：17．解：18．解：19．解：高三___________ 姓名_____________ 学号…………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………（20题做在反面）数学附加题1．（本小题满分10分） 求261()x x展开式中的常数项．2．（本小题满分10分）某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X 为选取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．3．（本小题满分10分）如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置（如图（2））． （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE 长．4．（本小题满分10分）数列{21}n-的前n 项组成集合*{1,3,7,,21}()n n A n N =⋅⋅⋅-∈，从集合n A 中任取k （1k =，2，3，…，n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+．例如：当1n =时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n=2时，A 2={1，3}，T 1=1+3，T 2=1×3，S 2=1+3+1×3=7． （Ⅰ）求3S ；（Ⅱ）猜想n S ，并用数学归纳法证明．高三数学开学检测参考答案 2013.81．一 2．1 3．71- 4．6 5．① 6．145 7．1 8．29 9．)62sin(π-=x y10．π11．{﹣1，2} 12．1 13．2 14．9（Ⅰ），所以．则所以当，即）取得最大值，且最大值为，所以，所以，则．因为，所以，则．16．（I ）若F 为PE 的中点，由于底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ，故E 、F 都是线段PD 的三等分点．设AC 与BD 的交点为O ，则OE 是△BDF 的中位线，故有BF ∥OE ，而OE在平面ACE 内，BF 不在平面ACE 内，故BF ∥平面ACE ．（II ）由于侧棱PA 丄底面ABCD ，且ABCD 为矩形，故有CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAE ． 三棱锥P ﹣ACE 的体积V P ﹣ACE =V C ﹣PAE =S △PAE •CD=•（•S △PAD ）•AB=（••PA•PD ）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．17．（Ⅰ）∵500÷0.8＝625 ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=.1000625,1008.0,6250,8.0x x x x y当x ＝1000时，y ＝100010010008.0-⨯＝0.7即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7． （Ⅱ）当x ∈［2500,3500］时，0.8x ∈［2000,2800］①当0.8x ∈[)2500,2000即x ∈[)3125,2500时，324008.0<-x x 解得x <3000 ∴2500≤x <3000; …10分②当0.8x ∈[]2800,2500即x ∈[]3500,3125时，325008.0<-x x 解得x <3750 ∴3125≤x ≤3500; ……13分综上，2500≤x <3000或3125≤x ≤3500 即顾客购买标价在[)[]2500,30003125,3500间的商品，可得到的实际折扣率低于32． 18．解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ， ∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=，又点P 在椭圆上，所以142020=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。