高二数学生活中的优化问题

1.4生活中的优化问题举例1．问题导航(1)生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？ (2)解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？(3)求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？ 2．例题导读通过P 34～35例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容： (1)研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；(2)求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解； (3)解决优化问题的过程是典型的数学建模过程； (4)掌握利用导数解决优化问题的一般步骤．1．优化问题生活中经常遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等问题，通常称为优化问题，导数是求函数最大(小)值的有力工具．2．利用导数解决优化问题的基本思路优化问题――→建立数学模型用函数表示数学问题――→Ｆ解决数学模型优化问题的答案――→作 答用导数解决数学问题3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，注明定义域；(2)求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)写出答案．1．下列不属于优化问题的是( ) A ．汽油的使用效率何时最高 B ．磁盘的最大存储量问题 C ．求某长方体容器的容积D ．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 答案：C2．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( ) A ．32 m 2 B ．14 m 2 C ．16 m 2 D ．18 m 2 解析：选C.设矩形的长为x m ，则宽为(8－x )m ，矩形面积为S ＝x (8－x )(x >0)，令S ′＝8－2x ＝0，得x ＝4，此时S max ＝42＝16(m 2)．3．内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )A.233RB.33R C.63R D.32R 解析：选A.作轴截面如图所示，设圆柱高为2h ，则底面半径为R 2－h 2，圆柱体体积为V ＝π·(R 2－h 2)·2h ＝2πR 2h －2πh 3.令V ′＝2πR 2－6πh 2＝0，∴h ＝33R .即当2h ＝233R 时，圆柱体的体积最大．4．一艘船从A 地到B 地，其燃料费w 与船速v 的关系为w (v )＝1 000v 2v －8(18≤v ≤30)，则燃料费最低时的船速v ＝________．解析：w ′(v )＝2 000v （v －8）－1 000v 2（v －8）2＝1 000v （v －16）（v －8）2>0，所以w (v )在[18，30]上单调递增，所以当v ＝18时，w (v )有最小值．答案：181．解决优化问题的常用方法解决优化问题的方法很多，如：判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数的性质及导数法等．不少优化问题，可以化为求函数的最值问题．一般来说，导数方法是解决这类问题的有效工具．2．解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足f ′(x )＝0的情形．如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大(小)值．(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．几何中的最值问题(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S ，要使它的容积最大，它的高h 与底面半径R 的比应为________．[解析] 因为S ＝2πRh ＋2πR 2，所以h ＝S －2πR 22πR，所以V (R )＝S －2πR 22πRπR 2，＝12(S －2πR 2)R ＝12SR －πR 3. 由V ′(R )＝12S －3πR 2＝0，得S ＝6πR 2，所以当S ＝6πR 2时，容积最大， 此时6πR 2＝2πRh ＋2πR 2.即h ∶R ＝2∶1. [答案] 2∶1(2)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 两点在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．①某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？ ②某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)．由已知得，a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.①S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．②V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0，20)时，V ′>0；当x ∈(20，30)时，V ′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．1．(1)如图所示，等腰梯形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 分别与函数y ＝－12x 2＋2，x ∈[－2，2]的图象切于点P ，Q ，R .求梯形ABCD 面积的最小值．解：设梯形ABCD 的面积为S ，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫t ，－12t 2＋2(0<t ≤2)．由题意得，点Q的坐标为(0，2)，直线BC 的方程为y ＝2.因为y ＝－12x 2＋2，所以y ′＝－x ，所以y ′|x ＝t ＝－t ，所以直线AB 的方程为y －⎝⎛⎭⎫－12t 2＋2＝－t (x －t )， 即y ＝－tx ＋12t 2＋2，令y ＝0，得x ＝t 2＋42t ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋42t ，0. 令y ＝2，得x ＝12t ，所以B ⎝⎛⎭⎫12t ，2， 所以S ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋t 2＋42t ×2×2＝2t ＋4t ，S ′＝2－4t 2， 令S ′＝0，得t ＝ 2.故当t ＝2时，S 有最小值为4 2.所以梯形ABCD 的面积的最小值为4 2.(2)从长为32 cm ，宽为20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设剪去的正方形的边长为x cm ，则箱子的容积V (x )＝x (32－2x )(20－2x )＝4x 3－104x 2＋640x ，(0<x <10)V ′(x )＝12x 2－208x ＋640 ＝4(3x 2－52x ＋160)＝4(3x －40)(x －4)．令V ′(x )＝0，得x 1＝403(舍去)，x 2＝4.当0<x <4时，V ′(x )>0， 当4<x <10时，V ′(x )<0， 所以V (x )在(0，4)内为增函数， 在(4，10)内为减函数．因此V (x )在(0，10)内有唯一的极大值V (4)，且该极大值即为函数V (x )的最大值，其最大值V (4)＝4×(32－8)×(20－8)＝1 152(cm 3)．故当剪去的正方形边长为4 cm 时，箱子的容积最大，最大容积为1 152 cm 3.用料、费用最省问题如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？[解] 法一：设C 点距D 点x km(0<x <50)，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x )km ， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2(km)．又设总的水管费用为y 元， 依题意，得y ＝3a (50－x )＋5ax 2＋402(0<x <50)．y ′＝－3a ＋5ax x 2＋402，令y ′＝0，解得x ＝30.当x ∈(0，30)时，y ′<0；当x ∈(30，50)时，y ′>0， ∴当x ＝30时函数取得最小值， 此时AC ＝50－x ＝20(km)．即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．法二：设∠BCD ＝θ，则BC ＝40sin θ，CD ＝40tan θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.∴AC ＝50－40tan θ.设总的水管费用为f (θ)元，依题意有f (θ)＝3a (50－40tan θ)＋5a ·40sin θ＝150a ＋40a ·5－3cos θsin θ.∴f ′(θ)＝40a ·3sin θ·sin θ－（5－3cos θ）·cos θsin 2θ＝40a ·3－5cos θsin 2θ.令f ′(θ)＝0，得cos θ＝35.根据问题的实际意义，当cos θ＝35时，函数取得最小值，此时sin θ＝45.∴tan θ＝43.∴AC ＝50－40tan θ＝20(km)．即供水站建在A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．(1)选取合适的量作为自变量(如法一取C 、D 之间的距离x 为自变量，法二取∠BCD ＝θ为自变量)，并确定其取值范围．(2)正确列出函数关系式； (3)利用导数求最值； (4)回归到原实际问题．其中，正确列出函数关系式是解题的关键．2．(1)(教材例1变式题)一报刊图文应占S cm 2，上、下边各空a cm ，左右边各空b cm ，若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？解：设图文所占区域的长为x ，则宽为Sx，报刊的面积为y ，如图所示．则y ＝(x ＋2b )⎝⎛⎭⎫S x ＋2a ＝2ax ＋2bSx ＋S ＋4ab (x >0)， 求导得y ′＝2a －2bSx2.令y ′＝0，解得x ＝bS a 或x ＝－bSa(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0， bS a ，y ′<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫ bS a ，＋∞，y ′>0， ∴当x ＝ bSa 时，y 取得最小值．即报刊长为 bS a ＋2b ，宽为 aSb＋2a 时，报刊用纸最省．(2)某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，则f (x )＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x (x ≥10，x ∈N *)，f ′(x )＝48－10 800x2，令f ′(x )＝0，得x ＝15或x ＝－15(舍去)， 当x >15时，f ′(x )>0； 当10≤x <15时，f ′(x )<0，因此当x ＝15时，f (x )取最小值f (15)＝2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2(3<x <6)． 从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )单调递增极大值42单调递减x ＝4时，函数f (x )取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．(1)经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．(2)关于利润问题常用的两个等量关系 ①利润＝收入－成本．②利润＝每件产品的利润×销售件数．3．某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与年广告费x (万元)之间的函数关系为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企业是亏损还是盈利？(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解：(1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q ＋3)万元，销售收入是(32Q ＋3)·150%＋x ·50%，所以年利润y ＝(年收入)－(年成本)－(年广告费)＝12·(32Q ＋3－x )＝12⎝⎛⎭⎪⎫32×3x ＋1x ＋1＋3－x ＝－x 2＋98x ＋352（x ＋1）(x ≥0)，所以所求的函数关系式为y ＝－x 2＋98x ＋352（x ＋1）(x ≥0)．当x ＝100时，y <0，即当年广告费投入100万元时，企业亏损． (2)由y ＝f (x )＝－x 2＋98x ＋352（x ＋1）(x ≥0)，可得f ′(x )＝（－2x ＋98）·2（x ＋1）－2（－x 2＋98x ＋35）4（x ＋1）2＝－x 2－2x ＋632（x ＋1）2. 令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －63＝0. 所以x ＝－9(舍去)或x ＝7.又x ∈(0，7)时，f ′(x )>0；x ∈(7，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )极大值＝f (7)＝42.又因为在(0，＋∞)上只有一个极值点， 所以f (x )max ＝f (x )极大值＝f (7)＝42.故当年广告费投入7万元时，企业年利润最大．易错警示因忽视讨论f ′(x 0)＝0中x 0的范围而致误甲、乙两地相距S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/时)的平方成正比，比例系数为b (b >0)；固定部分为a 元．(1)把全部运输成本y (元)表示为速度v (千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？[解] (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为S v ，全程运输成本为y ＝a ·Sv ＋b v 2·S v ＝S (av ＋b v )，所求函数及其定义域为y ＝S ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v ∈(0，c ]．(2)令y ′＝S ⎝⎛⎭⎫－a v 2＋b ＝0，得v ＝ab ，①若a b ≤c ，则当v ＝ab 时，全程运输成本y 最小；②若ab>c ，则v ∈(0，c ]时y ′<0，即y 在(0，c ]上为减函数．所以当v ＝c 时，y 最小．综上可知，为使全程运输成本y 最小， 当a b ≤c 时，行驶速度v ＝a b ； 当a b>c 时，行驶速度v ＝c .[错因与防范] (1)一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解错误；另一方面由于忽视了对v ＝ab是否在区间(0，c ]内的讨论，致使答案错误． (2)在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且注意自变量的取值范围．根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内，易因忽视定义域而出错．4．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )．解：(1)分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式为：L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)由(1)知L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]， 则L ′＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0解得x ＝6＋23a 或x ＝12(舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧L ′的值由正变负，∴①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )． ②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L (6＋23a )＝(6＋23a －3－a )[12－(6＋23a )]2＝4(3－13a )3，∴Q (a )＝⎩⎨⎧9（6－a ），3≤a <924（3－13a ）3，92≤a ≤5.即若3≤a <92，则当每件销售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件销售价为(6＋23a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4(3－13a )3(万元)．1．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是产品x (千台)的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( )A ．9千台B ．8千台C ．6千台D ．3千台 解析：选C.构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，求导得y ′＝36x －6x 2＝0⇒x ＝6(x ＝0舍去)．2．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．5B ．6C ．3D ．2解析：选C.设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R2.要使用料最省，只需使水桶的表面积最小， 而S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋54πR，令S ′表＝2πR －54πR2＝0，解得R ＝3，即当R ＝3时，S 表最小．故选C.3．如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积S 最大值是________．解析：设CD ＝x (0<x <2)，则点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，0，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x2，1－⎝⎛⎭⎫x 22. ∴矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0，2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23，∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，当x ∈⎝⎛⎭⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取得最大值439.答案：439[A.基础达标]1．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对解析：选B.设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3，0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2，令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0；当4<x ≤8时，y ′>0.∴当x ＝4时，y 最小．2．设函数h t (x )＝3tx －2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，则x 0＝( )A ．5 B. 5 C ．3 D.7解析：选D.∵h 7(x 0)≥h t (x 0)对任意的正数t 都成立，∴h 7(x 0)≥h t (x 0)max .记g (t )＝h t (x 0)＝3tx 0－2t 32，则g ′(t )＝3x 0－3t 12，令g ′(t )＝0，得t ＝x 20，易得h t (x 0)max ＝g (x 20)＝x 30，∴21x 0－147≥x 30，将选项代入检验可知选D.3．要建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的无盖长方体蓄水池，已知池壁的造价为100元/m 2，池底的造价为300元/m 2，则总造价最低为( )A ．400元B ．1 200元C ．1 600元D ．2 800元 解析：选D.设总造价为y 元，池底的一边长为x m ．由题意知池底的面积为4 m 2，则池底的另一边长为4xm ，池壁的面积为4⎝⎛⎭⎫x ＋4x m 2，有y ＝1 200＋100×4⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＝400⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＋1 200(x >0)．y ′＝400⎝⎛⎭⎫1－4x 2，令y ′＝0，得x ＝2，由y ′>0，得x >2，由y ′<0，得0<x <2，所以当x ＝2时，y 取得最小值，且y min ＝2 800，故选D.4.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，点P 从顶点A 沿着A →B 的方向向顶点B 运动，速度为2，同时，点Q 从顶点B 沿着B →C 的方向向顶点C 运动，速度为1，则|PQ |的最小值为( )A ．0 B.55C.22D ．1解析：选B.设点P ，点Q 运动的时间为t ，则|PQ |＝|BP |2＋|BQ |2＝（1－2t ）2＋t 2(0≤t ≤12)，令f (t )＝|PQ |2＝(1－2t )2＋t 2＝5t 2－4t ＋1，则f ′(t )＝10t －4，令f ′(t )＝0，得t ＝25.当0≤t <25时，f ′(t )<0，f (t )单调递减；当25<t ≤12时，f ′(t )>0，f (t )单调递增．所以当t ＝25时，f (t )取得极小值，也是最小值，此时|PQ |也取得最小值，即有|PQ |min ＝f （t ）min ＝55，故选B.5．某商品的进价为3元/件，根据以往经验，当售价为8元/件时，可卖出30件，市场调查表明，每当售价下降1元时，销量可增加10件，且售价下降x 元时，获得的利润为L (x )元，则L (x )的最大值为( )A ．220元B ．200元C ．180元D ．160元解析：选D.当售价下降x 元时，每件的利润为(5－x )元，此时销量为(30＋10x )件，∴L (x )＝(5－x )(30＋10x )＝10(5－x )(3＋x )＝10(－x 2＋2x ＋15)(0≤x ≤5)，∴L ′(x )＝10(－2x ＋2)＝20(－x ＋1)，令L ′(x )＝0，得x ＝1；令L ′(x )>0，得0≤x <1，∴L (x )在区间[0，1]上单调递增；令L ′(x )<0，得1<x ≤5，∴L (x )在区间(1，5]上单调递减，∴当x ＝1时，L (x )取得极大值，也是最大值，最大值为160.故选D.6．某厂生产x 件产品的总成本为C 万元，产品单价为P 万元，且满足C ＝1 200＋275x 3，P ＝500x，则当x ＝________时，总利润最高．解析：设总利润为L (x )万元，则由题意得L (x )＝x ·500x－1 200－275x 3＝－275x 3＋500x －1 200(x >0)．由L ′(x )＝－225x 2＋250x＝0，得x ＝25.令L ′(x )>0，得0<x <25；令L ′(x )<0，得x >25，得L (x )在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x ＝25时，总利润最高．答案：257．某工厂要围建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，其中一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．当砌墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．解析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设堆料场地宽为x m ，则长为512xm ，因此新墙总长为L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2，令L ′＝0，得x ＝±16，又x >0，∴x ＝16，则当x ＝16时，L min ＝64，长为51216＝32 (m)．答案：32 m ，16 m8．已知正三角形ABC 的边长为2，点D 是边BC 上一动点，点D 到AB ，AC 的距离分别为x ，y ，则xy 的最大值为________．解析：由S △ABD ＋S △ACD ＝S △ABC 且△ABC 是边长为2的正三角形，得12×2x ＋12×2y ＝12×2×3，即x ＋y ＝3，令f (x )＝xy ＝x (3－x )＝－x 2＋3x (0≤x ≤3)，f ′(x )＝－2x ＋3，由f ′(x )＝0，得x ＝32.令f ′(x )>0，得0≤x <32，f (x )在区间⎣⎡⎭⎫0，32上递增；令f ′(x )<0，得32<x ≤3，f (x )在区间⎝⎛⎦⎤32，3上递减，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝34.答案：349．甲、乙两地相距400 km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 km/h ，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (km/h)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v .(1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．解：(1)Q ＝P ·400v ＝⎝⎛⎭⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80 km/h 时，全程运输成本取得极小值，即最小值．从而Q min ＝Q (80)＝2 0003(元)．10．假如你是一名糖果设计师，现需要设计一种体积为π3的圆锥形巧克力，那么将巧克力的底面半径设计为多少时，可使其侧面积最小？解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，底面圆周长为c ，母线长为l ，体积为V ，则V ＝13πr 2h ＝π3，得h ＝1r2.记圆锥的侧面积为S ，则S ＝12cl ＝12×2πr ×r 2＋h 2＝πrr 2＋1r 4＝πr 4＋1r2，r >0.令f (r )＝r 4＋1r 2，则f ′(r )＝4r 3－2r －3＝2（2r 6－1）r 3，令f ′(r )＝0，得r ＝162，由f ′(r )>0，得r >162，由f ′(r )<0，得0<r <162，∴f (r )在(0，162)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫162，＋∞上单调递增，∴当r ＝162时，f (r )取得最小值，此时S 也取得最小值．即将巧克力的底面半径设计为162时，可使其侧面积最小．[B.能力提升]1.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，其断面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为( )A.d 3B.d 2C.33d D.22d 解析：选C.设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度为f (x )，则f (x )＝k ·xh 2＝k ·x (d 2－x 2)(0<x <d )．令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝33d (x ＝－33d 舍去)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，33d 上单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )在区间⎝⎛⎭⎫33d ，d 上单调递减．所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以当x ＝33d 时，f (x )有最大值，故选C.2．某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙建造一个平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：①建1 m 新墙的费用为a 元；②修1 m 旧墙的费用为a4元；③拆去1 m 旧墙，用可得的建材建1 m 新墙的费用为a2元．若利用旧墙中长为x m 的一段(0<x ≤14)为矩形的一边，则建墙总费用最少为( )A ．35a 元B ．35元C ．12a 元D ．12元 解析：选A.修旧墙的费用为ax4元，拆旧墙造新墙的费用为a （14－x ）2元，其余新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×126x －14a 元，记总费用为y 元，则y ＝7a ⎝⎛⎭⎫x 4＋36x －1(0<x ≤14)，y ′＝7a ⎝⎛⎭⎫14－36x 2，令y ′＝0，得x ＝12，令y ′>0，得12<x ≤14，令y ′<0，得0<x <12，所以当x ＝12时，y min ＝35a ，即建墙总费用最少为35a 元，故选A.3.如图，已知点A (1，1)，B (2，0)，O 为坐标原点，设△OAB 被直线x ＝t 与x ＝t ＋1所夹部分的面积为S ，则当34≤t ≤1时，S 的最大值为________．解析：由题意得S ＝12×2×1－12t 2－12[2－(t ＋1)]2＝－t 2＋t ＋12，S ′＝－2t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t －12，当34≤t ≤1时，S ′<0，S ＝－t 2＋t ＋12单调递减，所以当t ＝34时，S 取得最大值，且S max ＝1116. 答案：11164．(2015·银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要库存费40元，并假设该书均匀投放市场，则此书店分________次进货、每次进________册，可使所付的手续费与库存费之和最少． 解析：设每次进书x 千册(0<x <150)，手续费与库存费之和为y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量之半，即x 2，故有y ＝150x ×30＋x 2×40，y ′＝－4 500x 2＋20＝20（x ＋15）（x －15）x 2，令y ′＝0，得x x (0，15) 15 (15，150)y ′ － 0 ＋ y↘极小值↗所以当x ＝15时，y 取得极小值，故当x ＝15时，y 取得最小值，此时进货次数为15015＝10(次)．即该书店分10次进货，每次进15 000册书，所付手续费与库存费之和最少． 答案：10 15 0005．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m 2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m 2，中间两道隔墙建造单价为248元/m 2，池底建造单价为80元/m 2，水池所有墙的厚度忽略不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m ．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，再设总造价为y 元，则有y ＝2x ×400＋200x ×2×400＋248×2×200x ＋80×200＝800x ＋259 200x＋16 000≥2 800x ·259 200x＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800，当且仅当800x ＝259 200x ，即x ＝18 m 时，y 取得最小值．∴当污水池的长为18 m ，宽为1009m 时总造价最低，为44 800元．(2)∵0<x ≤16，0<200x ≤16，∴12.5≤x ≤16，x ≠18，y ′＝φ′(x )＝800⎝⎛⎭⎫1－324x 2， 当12.5≤x ≤16时， y ′＝800·x 2－324x2<0，∴φ(x )在[12.5，16]上为减函数． 从而φ(x )≥φ(16)＝45 000.所以，当该池的长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价最低，最低总造价为45 000元． 6.某园林公司计划在一块以O 为圆心，R (R 为常数)为半径的半圆形(如图所示)地上种植花草树木，其中弓形CMD 区域用于观察样板地，△OCD 区域用于种植花木出售．其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木地的利润是每平方米8元，草皮地的利润是每平方米3元．(1)设∠COD ＝θ，弧CMD 的长为l ，分别用θ，l 表示弓形CMD 的面积S 弓＝f (θ)，S 弓＝g (l )；(2)园林公司应该怎样规划这块土地，才能使总利润最大？(参考公式：扇形面积公式S ＝12R 2θ＝12Rl ) 解：(1)S 扇形OCD ＝12R 2θ，S △OCD ＝12R 2sin θ，S 弓＝f (θ)＝12R 2(θ－sin θ)．又∵S 扇形OCD ＝12Rl ，∴θ＝l R ，S △OCD ＝12R 2sin l R ，∴S 弓＝g (l )＝12R ⎝⎛⎭⎫l －R sin l R . (2)设总利润为y 元，草皮地的利润为y 1元，花木地的利润为y 2元，观察样板地成本为y 3元，y 1＝3⎝⎛⎭⎫12πR 2－12R 2θ，y 2＝12R 2sin θ·8，y 3＝12R 2(θ－sin θ)·2，∴y ＝y 1＋y 2－y 3＝3⎝⎛⎭⎫12πR 2－12R 2θ＋12R 2sin θ·8－12R 2(θ－sin θ)·2＝12R 2[3π－(5θ－10sin θ)]． 设g (θ)＝5θ－10sin θ，θ∈(0，π)，则g ′(θ)＝5－10cos θ，令g ′(θ)<0，得cos θ>12，∴g (θ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上为减函数；令g ′(θ)>0，得cos θ<12，∴g (θ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π上为增函数．∴当θ＝π3时，g (θ)取到最小值，此时总利润最大，∴当园林公司把扇形的圆心角θ设计成π3时，总利润最大．。

1.4生活中的优化问题举例预习案一新知导学1. 问题导航⑴生活中经常遇到的优化问题主要包括哪些问题？ (2) 解决一些生活中的优化问题的基本思路是什么？(3) 求解优化问题的方法有多种多样，但较简捷的方法是什么？ 2. 例题导读通过P 34〜35例1、例2、例3的学习，应体会以下几方面的内容: (1) 研究优化问题的实质就是研究函数的最值问题；(2) 求解优化问题最简捷的方法就是利用导数作为工具进行求解； (3) 解决优化问题的过程是典型的数学建模过程； (4) 掌握利用导数解决优化问题的一般步骤.1. 优化问题生活中经常遇到的求利润最大、 用料最省、效率最高等问题， 通常称为优化问题， 导数是求函数最大(小)值的有力工具.2. 利用导数解决优化问题的基本思路建立数学模型---- >解决数学模型作答-- >3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1) 分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，即写出实际问题中变 量之间的函数关系 y= f(x),注明定义域;(2) 求函数的导数f'刈，解方程f'x) = 0;(3) 比较函数在区间端点和使 f' x)= 0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值; (4) 写出答案.1•下列不属于优化问题的是 ( )A •汽油的使用效率何时最高B .磁盘的最大存储量问题 C.求某长方体容器的容积D .饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 答案：C2. 有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为A . 32 m 2 B. 14 m 2C. 16 m 2D. 18 m 2解析：选C.设矩形的长为x m,则宽为(8-x)m ，矩形面积为S= x(8 — x)(x>0)，令S'= 8 —2x = 0,得 x= 4，此时 S max = 42= 16(m 2).用函数表示数学问题优化问题优化问题的答案 用导数解决数学问题3. 内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为()A.233RC.^R解析：选A.作轴截面如图所示，设圆柱高为2h,则底面半径为R 2- h 2,圆柱体体积为 V =n (R 2—h 2) 2h = 2 TtR 2h- 2冗h 3•令V = 2 %R 2-6冗h 2 = 0,「・h =中只即当2h=2J^R 时，圆柱体的体 积最大.1 OOOv 24. 一艘船从A 地到B 地，其燃料费 w 与船速v 的关系为w(v)= (18W v W 30), v — 8则燃料费最低时的船速 v = _________ .2 000v (v — 8)— 1 000v 21 000v (v — 16)解析：w 'v(= 2 = 2一 >0,所以 w(v)在［18, 30］上(v — 8) 2 (v — 8) 2单调递增，所以当 v= 18时，w(v)有最小值.答案：181.解决优化问题的常用方法 解决优化问题的方法很多，如： 判别式法，基本不等式法，线性规划法及利用二次函数 的性质及导数法等. 不少优化问题，可以化为求函数的最值问题. 一般来说，导数方法是解 决这类问题的有效工具.2.解决生活中的优化问题应当注意的问题几何中的最值问题卩越(1)圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S,要使它的容积最大，它的高h 与底面半径R 的比应为 __________ .… S — 2 冗 R 2［解析］因为S= 2冗Rh+ 2冗R 2，所以h =2冗R(1)在求实际问题的最大 (小)值时, 定要考虑实际问题的意义, 不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点满足 在这点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大f'x) = 0的情形.如果函数 (小)值.(3)在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还 应确定出函数关系式中自变量的定义区间.探究案一讲练用动S— 2 TtR2所以 V(R)= TT R2,2冗R=2(S- 2 TT R2)R=1SR-n R3.1由 V'R)= 2S- 3%R2= 0,得S= 6冗R2,所以当S= 6冗R2时，容积最大，此时6冗R2= 2冗Rh+ 2冗R2即 h : R= 2 : 1.［答案］2 : 1⑵请你设计一个包装盒. 如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE= FB = x(cm).①某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？②某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.［解］设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm).由已知得, (30 —X)，0<X<30.①S= 4ah = 8X(30—X)=—8(X— 15)2 + 1 800，所以当X= 15时，S取得最大值.② V= a2h= 2也(一X3+ 30X2)，V '=6>/2x(20 —X). 由V'= 0，得X= 0(舍去)或X= 20.当X€ (0，20)时，V'>0;当 x€ (20，30)时，V'<0.所以当X= 20时，V取得极大值，也是最大值.h 1 一 1此时匚=亍，即包装盒的高与底面边长的比值为a 2 2r-(.方怙用：r解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.11. (1)如图所示，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y= —^X2 + 2, x€ ［—a = 2x，h =60-22X=.；22，2］的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值.1的坐标为(0, 2)，直线BC 的方程为y = 2•因为y =—空/+ 2,所以y'=— x ,所以y'x 斗t =— t , 1 2所以直线 AB 的方程为y —— 2t 2 + 2 = — t(x — t),1 即 y = — tx + 尹+ 2,令 y = 0,得x =于，所以At 2 + 4 2t ，1 1 令 y = 2,得 x = 1，所以 B ^t ，2 , 1 1 t 2 + 4 4 4所以 S = 2X 尹+ - x 2 x 2= 2t +4, S'=2 —12,令S = 0，得t = '2故当t = ..'2时，S 有最小值为4,：2. 所以梯形ABCD 的面积的最小值为 4J2.(2)从长为32 cm ,宽为20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形， 做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解：设剪去的正方形的边长为 x cm ，则箱子的容积 V(x)= x(32 — 2x)(20 — 2x)= 4x 3— 104*+ 640x , (0<x<10)V'(x) = 12x 2— 208x + 640 =4(3x 2— 52x + 160)=4(3x — 40)(x — 4). 40 令 V 'x)= 0，得 X 1= §(舍去),x 2= 4.当 4<x<10 时，V ((x)<0 , 所以V(x)在(0, 4)内为增函数, 在(4,用料、费用最省问题忖巴如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a元和5a ［解］法一：设 C 点距 D 点 x km(0<x<50)，贝U BD = 40 km , AC= (50 — x)km , ••BC = 'BD2+ CD2= 402+ x2(km).又设总的水管费用为 y元，A处，乙厂与甲厂在元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省?依题意，得 y= 3a(50 — x) + 5a x2+ 402(0<x<50).当 x € (0, 30)时，y'<0 ; 当 x € (30, 50)时，y'>0. •••当x= 30时函数取得最小值， 此时 AC = 50- x= 20(km).即供水站建在 A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 40法二：设/ BCD = 0,贝U BC=」^,sin 0设总的水管费用为f( 0元,40 40依题意有 f( 0) = 3a(50 — ) + 5a •tan 0 sin 05— 3cos 0 =150a+ 40a • sin 03sin 0sin 0—( 5 — 3cos 0) c os 00) = 40a -—sin 23— 5cos 0=40a • sin 23 令 f' 0 = 0，得 cos 0= 5.3 根据问题的实际意义，当 cos 0= 3时，函数取得最小值， 4 4此时 sin 0= .•••tan 0=.5 3 40.•AC = 50 — = 20(km).tan 0即供水站建在 A 、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省.r［盘哇用佛］(1)选取合适的量作为自变量 (如法一取C 、D 之间的距离x 为自变量， 为自变量)，并确定其取值范围.⑵正确列出函数关系式； (3)利用导数求最值； ⑷回归到原实际问题.其中，正确列出函数关系式是解题的关键.2. (1)(教材例1变式题)一报刊图文应占S cm 2, 上、下边各空a cm ， 若只注意节约用纸，问这种报刊的长、宽各为多少？解：设图文所占区域的长为 X ，则宽为S，报刊的面积为y ，如图所示x= -3a+5ax,x 2+ 402，令 y'= 0，解得 x= 30.CD =40tan 0 n0< 0<2 .•'AC = 50 —40tan 0法二取 / BCD = 0 左右边各空 b cm ，小 Sc 2bS则 y = (x + 2b) x+ 2a = 2ax+ + S+ 4ab(x>0),x x 求导得y = 2a-2bS. x学或x —罟(舍去)•冒,+ ^ , y '>0,•••当x=.乎时，y 取得最小值.即报刊长为 bS+ 2b ，宽为2a 时，报刊用纸最省.(2)某单位用2 160万元购得一块空地， 计划在该地块上建造一栋至少 10层、每层2 000 平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为 x(x> 10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560 + 48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？购地总费用、 建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则f(x)= (560 + 48x) +1 2 3 160爲00 000厶 UUUA.10 800 *=560+ 48x+ (x> 10, x € N ),x10 800 f'(x)= 48-旷, 令 f' x) = 0，得 x = 15 或 x=- 15(舍去), 当 x>15 时，f '(x)>0 ; 当 10W x<15 时，f'(x)<0,因此当x= 15时，f(x)取最小值f(15)= 2 000.故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为利润最大问题忖心；某商场销售某种商品的经验表明， 该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格ax(单位：元/千克)满足关系式y = -—3 + 10(x - 6)2，其中3<x<6, a 为常数，已知销售价格为x 3 5元/千克时，每日可售出该商品11千克.2 求a 的值；3 若该商品的成本为 3元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.［解］(1)因为 x = 5 时，y = 11, 所以|+ 10= 11,所以a = 2.2(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 丫=亠 + 10(x - 6)2,所以商场每日销售该商品所获x - 3得的利润令y'= 0,解得x = (注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用= 15层.当 x € 0, ,y'<0，当 x €2 2f (x)= (x — 3) + 10( x — 6)X 3=2+ 10(x — 3)(x — 6)2(3<X <6).从而 f'x) = 10[(x — 6)2+ 2(x — 3)(x — 6)] =30(x — 4)(x — 6).于是，当x 变化时，f'(x), f(x)的变化情况如下表:由上表可得，x= 4是函数f(x)在区间3, 6)内的极大值点，也是最大值点•所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，最大值为42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.尸[分徒用(*[r(1) 经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢， 以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.(2) 关于利润问题常用的两个等量关系 ① 利润=收入—成本.② 利润=每件产品的利润 X 销售件数.区眼踪训拣3•某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销， 在一年内，预计年销量Q(万3x+ 1件)与年广告费x(万元)之间的函数关系为 Q = ------- (x>0),已知生产此产品的年固定投入为x+ 1 3万元，每生产 1万件此产品需再投入 32万元.若每件产品售价为“年平均每件成本的 150% ”与“年平均每件所占广告费的 50% ”之和.(1) 试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数，如果年广告费投入100万元，企 业是亏损还是盈利？(2) 当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？解: (1)由题意，每年销售Q 万件，共计成本为(32Q + 3)万元，销售收入是(32Q + 3) 150% + x 50%,11 3x+1所以年利润y=(年收入)—(年成本)—(年广告费)=(32Q+ 3— x) =32X + 3— x 2 2 x+1—x + 98x+ 35(x > 0)，当x = 100时，y<0,即当年广告费投入 100万元时，企业亏损.—x + 98x+ 35 ⑵由 y= f(x) = (x> 0)，可得 :(x+ 1)所以所求的函数关系式为—x 2 + 98x + 35 y =2( x +1) (x >0).(-2x+ 98) • (x+ 1)— 2 (- x 2+ 98x+ 35) 令 f'x) = 0，则 x 2+ 2x — 63= 0.所以x= — 9(舍去)或x= 7.又 x € (0, 7)时，f'(x)>0; x € (7,+^)时，f'(x)<0, 所以f(x)极大值=f(7) = 42. 又因为在(0, + g )上只有一个极值点， 所以 f(X)max = f(x)极大值=f(7) = 42.故当年广告费投入 7万元时，企业年利润最大..... 事靈粼提)开丿*易错警示因忽视讨论f'x 0)= 0中X 0的范围而致误侧④1甲、乙两地相距 S 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c 千米/时, 已知汽车每小时的运输成本 (元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正比，比例系数为 b(b>0)；固定部分为a 元.(1) 把全部运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域； (2) 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？S S［解］(1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 V ，全程运输成本为 y= a ； + 2 S abv 2v= S(v+ bv),所求函数及其定义域为 y = Sa + bv ，v € (0， ⑵令 y'= S —》+ b= 0，得 v= : b ， y 最小; ②若，a>c ，则 v € (0，c ］时 y( <,0 即 y 在(0， 所以当v = c 时，y 最小.综上可知，为使全程运输成本 y 最小，a 三c 时，行驶速度v =,b ； 当b >c 时，行驶速度v= c. ［错因与防范］(1) 一方面在运用导数解决实际问题的过程中，忽略实际问题中函数的定义域造成求解 b 是否在区间(0, c ］内的讨论，致使答案错误.⑵在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题， 并且注意自变量的取值范围. 根据定义域，观察取最值的点是否在定义域内， 易因忽视定义域而出错.f'(x)= ---------------—x 2— 2x + 63 2 (x + 1) 24 (x +1)c]. c ］上为减函数.错误；另一方面由于忽视了对 v =，全程运输成本 ①若：琴三c ，则当v =4•某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3< a< 5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9< x w 11)时，一年的销售量为(12 —x)2万件.(1) 求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式；(2) 当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大，并求出L的最大值Q(a).解：(1)分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x的函数关系式为：L = (x— 3 — a)(12 —x)2, x€ [9, 11] •(2)由(1)知 L = (x— 3— a)(12 — x)2, x€ [9 , 11],贝U L= (12 — x)2— 2(x— 3— a)(12 — x)=(12 — x)(18 + 2a— 3x) •2令L'= 0解得x= 6 + 或x= 12(舍去)•2 28'•3w a w 5,.°.8w 6 + 3aw —.2在x = 6+ 两侧L的值由正变负，2 9•①当8w6+尹<9，即3w a<-时，L max = L(9) = (9 — 3— a)(12 — 9)2 = 9(6 — a) •2 28 9②当9W 6+ |a w詈，即2w a w 5时，2 2 2 2 L max = L(6 + 尹)=(6 + 3a— 3— a)[12 — (6+ ?a)]21 3=4(3 —§a)3,9(6 —a) , 3 w a<21 39(3 — 3a) 3, 2w aw 59即若3w av》，则当每件销售价为 9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= 9(69 2—a)(万元)；若|w a w 5，则当每件销售价为(6 + |a)元时，分公司一年的利润L最大，最大1值 Q(a)= 4(3 — 3*)3(万元)•一当)电.................. ……―1. 某产品的销售收入 y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1= 17x2;生产总成本 y2(万元)也是产品x(千台)的函数，y2= 2x3— x2(x>0)，为使利润最大，应生产() A• 9千台 B • 8千台C. 6千台 D • 3千台解析：选 C.构造利润函数 y= y1— y2= 18/— 2x3(x>0)，求导得 y'= 36x — 6x2= 0? x= 6(x=0舍去)•2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27 n且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A • 5 C. 3 B•D62母线长为I,解析：选C.设圆柱的底面半径为则 V=n R2l = 27n,/l = RL要使用料最省，只需使水桶的表面积最小, 2254 n而S 表=冗氏+ 2冗Rl =n R +54 n令 Sbl= 2 冗R —眉=0,3. 如图，内接于抛物线 x 轴上运动，则此矩形的面积x 2•矩形 ABCD 的面积 S= f(x)= x •I — 23x厂=—4 + x ,x € (0, 2). 由 f' x)=—孑/ + 1= 0,一 2 ..3273 时，f'(x)>0, f(x)是递增的,2时，f'(x)<0, f(x)是递减的, ,f(x)取得最大值誓.答案：骨训练案仙能提升[A.基础达标]1.将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A . 2 和 6 B. 4 和 4 C. 3和5D .以上都不对解析：选B.设一个数为x,则另一个数为8— x,贝U y = x 3+ (8 — x)3, 0< x< 8, y'=3x 2—3(8 — x)2,令 y'= 0,即 3/— 3(8 — x)2= 0，解得 x= 4•当 0W x<4 时，y'<0;当 4<x W 8 时，y'>0. •••当x= 4时，y 最小.解得R = 3，即当R = 3时，S 表最小.故选C.2 2 得 x1=—3(舍去)，x2= .3, •••当 x € 0,解析: y = 1 — x 2的矩形ABCD ，其中A , B 在抛物线上运动，C , D 在 S 最大值是.2x x 2, 1— 2当x =32. 设函数h t(x)= 3tx— 2t2，若有且仅有一个正实数x°,使得h7(x。

1．4生活中的优化问题举例［目标］1。

学会解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。

2.学会利用导数解决生活中简单实际问题，并体会导数在解决实际问题中的作用.3.提高将实际问题转化为数学问题的能力．［重点] 用导数解决实际生活中的最优化问题．［难点］将实际问题转化为数学问题．知识点生活中的优化问题［填一填］1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的基本思路［答一答］利用导数解决生活中的优化问题时应注意什么问题？提示：（1）在求实际问题的最大(小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去;(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间；（3）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小）值,那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小)值．1．利用导数解决优化问题，往往归结为求函数的最大值或最小值问题．2．利用导数解决优化问题时，要注意以下几点：(1）当问题中涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,找出变量间的关系式;(2）确定函数关系式中自变量的取值范围；(3）所得的结果要符合问题的实际意义．3．要注意方法的灵活运用，如配方法、基本不等式法、导数法．类型一利润最高问题【例1】某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．(1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解】（1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f（x）,则有f(x）＝（30－x－9)（432＋kx2）＝(21－x)(432＋kx2），又由已知条件得24＝k×22，于是有k＝6。