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2.2.2 圆的一般方程[学业水平训练]1.方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示的图形是( )A ．以(1，－2)为圆心，11为半径的圆B ．以(1，2)为圆心，11为半径的圆C ．以(－1，－2)为圆心，11为半径的圆D ．以(－1，2)为圆心，11为半径的圆解析：选D.由x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0，得 (x ＋1)2＋(y －2)2＝11.所以方程x 2＋y 2＋2x －4y －6＝0表示圆心为(－1，2)，11为半径的圆．2.圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，则圆心坐标为( )A ．(1，－1)B ．(12，－1) C ．(－1，2) D ．(－12，－1) 解析：选D.由(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，化简得x 2＋y 2＋x ＋2y －10＝0，圆心为(－12，－1)． 3.已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1，0)D ．(－1，1)解析：选A.由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，得圆的半径r ＝12k 2＋4－4k 2 ＝124－3k 2. 所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－k 2，－22)，即(0，－1)，故选A.4.已知圆x 2＋y 2－2ax －2y ＋(a －1)2＝0(0<a <1)，则原点O 在( )A ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外解析：选B.把原点(0，0)的坐标代入圆的方程得，(a －1)2>0(0<a <1)，所以点(0，0)在圆外．5.若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选B.化圆为标准形式：(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，所以圆心为(－1，2)，代入直线3x ＋y ＋a ＝0中，得a ＝1.6.点A (1，0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，则a 的值为________．解析：因为点A (1，0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋3a －3＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋a 2＋3a －3＝0，（－2a ）2＋02－4（a 2＋3a －3）＞0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2或a ＝1，a ＜1，所以a ＝－2.答案：－27.动圆x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0的半径的取值范围是________．解析：因为x 2＋y 2－2x －k 2＋2k －2＝0可化为(x －1)2＋y 2＝k 2－2k ＋3， 所以半径r ＝k 2－2k ＋3＝（k －1）2＋2≥ 2.答案：[2，＋∞)8.若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a ＝________．解析：若方程x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0的曲线关于直线y ＝x 的对称曲线仍是其本身，则它是一个圆心在此直线上的圆，而圆心坐标是(－a 22，－1－a 22)， 则－a 22＝－1－a 22，解得a ＝±22. 答案：±229.求经过两点A (4，2)，B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2，所以D ＋E ＝－2.①又A (4，2)，B (－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D ＋3E ＋F ＝0，③由①②③可得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12，故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0.10.设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，(1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，求直线AB 的方程．解：(1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9，所以圆心坐标为C (2，0)，半径r ＝3.(2)由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－1(x －3)，即x ＋y －4＝0.[高考水平训练]1.如果过A (2，1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝0解析：选A.由x 2＋y 2－2x －4y ＝0配方得，(x －1)2＋(y －2)2＝5.因为所求直线l 将圆平分，故直线过圆心(1，2)，则直线l 的方程为y －12－1＝x －21－2，即x ＋y －3＝0.2．已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，则x 2＋y 2的最大值是________．解析：由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝1，则圆心为(2，0)，所以(x 2＋y 2)max ＝(22＋0＋1)2＝9.答案：93.设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a ＞0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由．解：(1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，所以⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a ，所以圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3.所以圆M 过定点(0，－3)．4．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，及点Q (－2，3)．(1)P (a ，a ＋1)在圆上，求线段PQ 的长及直线PQ 的斜率；(2)若M 为圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值．解：(1)因为点P (a ，a ＋1)在圆上，所以a 2＋(a ＋1)2－4a －14(a ＋1)＋45＝0，所以a ＝4，P (4，5)，所以|PQ |＝（4＋2）2＋（5－3）2＝210，k PQ ＝3－5－2－4＝13.(2)因为圆心C 坐标为(2，7)，所以|QC |＝（2＋2）2＋（7－3）2＝4 2.因为圆的半径是22，所以点Q 在圆外，所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.。
单元测试五 圆与圆的方程班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分100分，考试时间90分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．过点A (1,2)，且与两坐标轴相切的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1或(x －5)2＋(y －5)2＝25B ．(x －1)2＋(y －3)2＝2C ．(x －5)2＋(y －5)2＝25D ．(x －1)2＋(y －1)2＝1答案：A解析：由图形易知满足此条件的圆有两个．2．两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切答案：B解析：4－3<5<4＋3.3．过圆x 2＋y 2＝25上一点P (－4，－3)的圆的切线方程为( )A ．4x －3y －25＝0B ．4x ＋3y ＋25＝0C ．3x ＋4y －25＝0D ．3x －4y －25＝0答案：B解析：k ＝＝，则切线的斜率为－，且经过(－4，－3)这一点，直线方程为－3－0－4－034434x ＋3y ＋25＝0.4．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋1＝0对称，则a ＋b 等于( )A ．1B ．－1 C. D ．－1212答案：C解析：∵圆心(－1,2)，∴－2a －2b ＋1＝0，∴a ＋b ＝.125．以A (－1,2)，B (5，－6)为直径两端点的圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝25B ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝25C ．(x －2)2＋(y －2)2＝25D ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝25答案：A解析：A (－1,2)，B (5，－6)两点连线的中点为圆心，其圆心坐标为(2，－2)，可知选A.6．若直线ax ＋by －1＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，则点P (a ，b )的位置是( )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上皆有可能答案：A解析：∵直线与圆相切，∴＝1，1a 2＋b 2P (a ，b )到圆心的距离d ＝＝1，a 2＋b 2∴点P 在圆上．7．圆心为A (1，－2)且与直线x －3y ＋3＝0相切的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝10B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝10C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝10D ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝10答案：B解析：圆半径r ＝＝，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝10.|1＋6＋3||1＋9|108．直线x ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长等于2 ，则a 的值等于( )3A ．1或3 B.或－ 22C. D ．－1或33答案：A解析：由题意|a －2|2＋()2＝22，解得a ＝1或3.39．若直线－2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的周长，则＋的最小值是( )1a 1b A ．4 B ．2 C. D.1412答案：A解析：由题意可知，直线过圆心得a ＋b ＝1.∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4.1a 1b a ＋b a a ＋b b b a a b ba ×ab 10．直线y ＝－x ＋b 与曲线y ＝有且只有两个公共点，则b 的取值范围是( )4－x 2A ．2＜b ＜2 B ．2≤b ＜222C ．2≤b ≤2D ．2＜b ≤222答案：B解析：由图可知，2≤b <2.2二、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．把答案填在题中横线上．11．以点C (－3,4)为圆心，2 为半径的圆的方程是________．3答案：(x ＋3)2＋(y －4)2＝12.12．点P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＝4上，则|PQ |的最小值是________．答案：3 －65解析：P 在圆x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心O 1(4,2)，半径为3.Q 在圆x 2＋y 2＋4x ＋2y ＝4上，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝9，圆心O 2(－2，－1)，半径为3，∴|O 1O 2|＝[4－(－2)]2＋[2－(－1)]2＝＝3 .36＋95∴|PQ |min ＝|O 1O 2|－R 1－R 2＝3 －6.513．直线mx ＋ny ＝1与圆x 2＋y 2＝4的交点为整点(横纵坐标均为整数的点)，这样的直线的条数是________条．答案：8解析：圆上的点为整点的有四个(±2,0)，(0，±2)，显然直线mx ＋ny ＝1不能过原点．若直线与圆有两个交点，则这样的直线有4条；若直线与圆相切，则这样的直线也有4条，故8条直线．三、解答题：本大题共5小题，共48分，其中第14小题8分，第15～18小题各10分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．求过点A (1,6)和B (5,6)且与直线2x －3y ＋16＝0相切的圆的方程．解：显然圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上设圆心为(3，b )，半径为r ，则(x －3)2＋(y －b )2＝r 2，得(1－3)2＋(6－b )2＝r 2，而r ＝，|6－3b ＋16|13∴b ＝3，r ＝，13∴(x －3)4＋(y －3)4＝13.15．已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.(1)求圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线的方程；(2)求它们的公共弦长．解：(1)x 2＋y 2－10x －10y ＝0，①；x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，②；②－①得：2x ＋y －5＝0为公共弦所在直线的方程；(2)弦长的一半为＝，公共弦长为2.50－20303016．求以两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －5＝0的交点为直径的圆的方程．解：设过C 1、C 2交点的圆的方程为：x 2＋y 2＋2x －3＋λ(x 2＋y 2－4x －5)＝0，整理即得圆心为(－，0)．1－2λ1＋λ又∵两圆公共弦为3x ＋1＝0，圆心在公共弦上，∴－3×＋1＝0，∴λ＝.1－2λ1＋λ27∴所求圆的方程为9x 2＋9y 2＋6x －31＝0.即x 2＋y 2＋x －＝0.2331917．已知曲线C ：x ＝与直线y ＝k (x －1)＋3只有一个交点，求实数k 的取值范4－y 2围．解：曲线C 的方程可化为x 2＋y 2＝4，x ≥0，∴曲线C 表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆的右半部分，直线过定点M (1,3)．如图所示．由图可得k AM ＝1，k BM ＝5，∴1≤k ＜5.又＝2，化简得3k 2＋6k －5＝0，|－k ＋3|1＋k 2解得k ＝－1±(舍去正根)．2 63综上，实数k 的取值范围是1≤k ＜5或k ＝－1－.2 6318．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴、y 轴上的截距相等，求切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的点P 的坐标．解：(1)由方程x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0知，圆心为(－1,2)，半径为.2当切线过原点时，设切线方程为y ＝kx ，则＝.|k ＋2|k 2＋12所以k ＝2±，即切线方程为y ＝(2±)x .66当切线不过原点时，设切线方程为x ＋y ＝a ，则＝.所以a ＝－1或a ＝3，|－1＋2－a |22即切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.所以切线方程为y ＝(2＋)x 或y ＝(2－)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.66(2)设P (x 1，y 1)．∵|PO |2＋r 2＝|PC |2，∴x ＋y ＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，2121即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标(－，)．31035。
课时分层作业(二十) 圆的一般方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为()A．(1，－1) B.⎝⎛⎭⎫12，－1C．(－1,2) D.⎝⎛⎭⎫－12，－1D[将圆的方程化为标准方程，得⎝⎛⎭⎫x＋122＋(y＋1)2＝454，所以圆心为⎝⎛⎭⎫－12，－1.] 2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长等于()A.2πB．2πC．22πD．4πC[圆的方程配方后可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的半径r＝2，∴周长＝2πr＝22π.]3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为()A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0A[由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－21－2，即x＋y－3＝0.] 4．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最小值是()A．2 B.2－1C．2＋22D．1＋2 2B[圆的方程变为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，∴所求的最小值为2－1.]5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为()A．x2＋y2＝25(y≠0) B．x2＋y2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25C [线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．] 二、填空题6．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的一般方程为______．x 2＋y 2－4x －6＝0 [由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10， ∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10，化为一般方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.]7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．(－∞，1) [由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a <5，由此，得a －b <1.]8．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．x 2＋y 2＝4 [设M (x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 02，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.]三、解答题9．若点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a 2＋1－7a －3＋2＝0，∴a ＝0或a ＝7.10．等腰三角形的顶点A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解] 设底边另一个端点C 的坐标是(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10， 这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆．又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合且不能为圆A 的一条直径的两个端点，所以点C 不能为(3,5)且x ＋32≠4，y ＋52≠2，即点C 也不能为(5，－1)，故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．1．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)关于直线y ＝x 对称，则有( )A ．D ＋E ＝0B ．D ＝EC ．D ＝F D ．E ＝F B [由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D 2，即D ＝E .] 2．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)D [由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ －a <0，2a >0，|－a |>2，解得a >2，故选D.]3．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．(－∞，1) [∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，(－2a )2－4×(－4)>0， 即2a <2，a <1.]4．已知M (0,4)，N (－6,0)，若动点P 满足PM ⊥PN ，则动点P 的轨迹方程是________． (x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6) [由于PM ⊥PN ，所以动点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆(不包括端点M ，N )，其圆心为线段MN 的中点(－3,2)，直径|MN |＝36＋16＝213，于是半径等于13，故轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6)．]5．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论．[解] (1)令x ＝0，得抛物线与y 轴交点是(0，b )；令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意b ≠0且Δ＞0，解得b ＜1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b . 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0可化为x 2＋y 2＋2x －y ＋b (1－y )＝0，因为过定点，则与b 无关，即y ＝1代入上式，可得x ＝0或x ＝－2，所以圆C 必过定点(0,1)，(－2,1)．。
课时作业(四十四)B [第44讲 圆的方程](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝02．过A (1，－1)，B (－1，1) ，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝43．已知A (－2，0)，B (0，2)，点M 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上的动点，则点M 到直线AB 的最大距离是( ) A.322－1 B.322 C.322＋1 D ．2 2 4．已知实数x ，y 满足(x －1)2＋y 2＝4，则x －2y 的最小值与最大值分别为________，________．能力提升5．方程x 2＋y 2－4kx －2y －k ＝0表示圆的充要条件是( )A.14<k <1 B ．k <14或k >1 C ．k ∈R D ．k ＝14或k ＝1 6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是( )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝07．已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A ．2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 8．实数x ，y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为( )A ．30＋226B ．30＋426C ．30＋213D ．30＋4139．已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝1上的动点，点N (2，0)，则MN 的中点P 的轨迹方程是________________________________________________________________________．10．点P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点，若点P 的坐标满足不等式x ＋y ＋m ≥0，则实数m 的取值范围是________________．11．在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，0≤y ≤2，内有一个最大的圆，则这个最大圆的一般方程是________________________________________________________________________．12．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＝4相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A ，B 两点，圆内的动点P 使|P A |，|PO |，|PB |成等比数列，求P A →·PB→的取值范围．难点突破13．(1)(6分)若圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆心为________．(2)(6分)圆心在抛物线y 2＝2x (y >0)上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－x －2y －14＝0 B ．x 2＋y 2＋x －2y ＋1＝0C ．x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0D ．x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0课时作业(四十四)B【基础热身】1．A [解析] 因为过圆心和点P 的直线垂直于弦AB 所在的直线，圆心C (1，0)，设直线CP ，AB 的斜率分别为k CP ，k AB ，则k CP ·k AB ＝－1，即0－（－1）1－2·k AB ＝－1，所以k AB ＝1.故选A.2．C [解析] 由题意得线AB 的中点C 的坐标为(0，0)，直线AB 的斜率为k AB ＝－1， 则过点C 且垂直于AB 的直线方程为y ＝x ，圆心坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得y ＝x ＝1. 从而圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2，因此，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4，故答案为C.3．C [解析] 依题意得知，直线AB 的方程是x －2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0；圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心坐标是(1，0)，半径是1，圆心到直线AB 的距离等于|1＋2|2＝322，因此结合图形可知，点M 到直线AB 的最大距离是322＋1，选C. 4．1－25 1＋25 [解析] 设z ＝x －2y ，因为x ，y 满足(x －1)2＋y 2＝4，所以圆心到该直线的距离不大于圆的半径2，即|1－z |12＋（－2）2≤2，解得1－25≤z ≤1＋25， ∴(x －2y )min ＝1－25，(x －2y )max ＝1＋2 5.【能力提升】5．C [解析] 此方程表示圆的充要条件是(－4k )2＋(－2)2＋4k >0，即4k 2＋k ＋1>0. (*) ∵Δ＝12－4×4×1<0，∴(*)式恒成立，∴k ∈R .6．B [解析] 由圆的几何性质知，弦PQ 的中点与圆心的连线垂直于弦PQ ，所以直线PQ 的斜率为－12，所以方程为y －2＝－12·(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选B. 7．B [解析] 圆心(1，0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.故选B. 8．B [解析] (x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到点(1，1)距离d 的平方，因为26－2≤d ≤26＋2，所以最大值为(26＋2)2＝30＋426，故选B.9．(x －1)2＋y 2＝14[解析] 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则x 0＝2x －2，y 0＝2y ， ∵x 20＋y 20＝1，∴点P 的轨迹方程是(x －1)2＋y 2＝14. 10．[2－1，＋∞) [解析] 令x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，则m ≥－x －y ＝－1－(sin θ＋cosθ)＝－1－2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4对任意θ∈R 恒成立，所以m ≥2－1. 11．x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0 [解析] 作图知，区域为正方形，最大圆即正方形的内切圆，圆心是(3，1)，半径为1，得圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0.12．解：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，即r ＝|4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知A (－2，0)，B (2，0)．设P (x ，y )，由|P A |，|PO |，|PB |成等比数列得，（x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)，由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4，x 2－y 2＝2.由此得0≤y 2<1，所以P A →·PB →的取值范围为[－2，0)．【难点突破】 13．(1)(0，－1) (2)D [解析] (1)将圆的方程化为标准方程为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－3k 24，因为r 2＝1－3k 24≤1，所以k ＝0时r 最大，此时圆心为(0，－1)． (2)抛物线y 2＝2x (y >0)的准线为x ＝－12，圆与抛物线的准线及x 轴都相切，则圆心满足y ＝x ＋12(y >0)，与y 2＝2x (y >0)联立可得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，半径为1，则方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1，化简得x 2＋y 2－x －2y ＋14＝0，故选D.。
课时作业圆的标准方程基础巩固(分钟，分)一、选择题(每小题分，共分)．圆(－)＋(＋)＝的周长是( )π．π．π．π解析：由圆的标准方程可知，其半径为，周长为π，故选.答案：．点()与圆＋＝的位置关系是( )．在圆外．在圆内．在圆上．不确定解析：把()代入＋＝，得＋>.所以点在圆外，故选.答案：．以(，－)为圆心，为半径的圆的标准方程为( )．(＋)＋(－)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(＋)＝．(－)＋(＋)＝解析：由圆心为(，)，半径为的圆的标准方程为(－)＋(－)＝，易知答案为.答案：．圆：(－)＋(＋)＝的面积等于( )．π．π．π．π解析：由圆的方程为(－)＋(＋)＝，知半径＝＝，则圆的面积＝π＝π.故选.答案：．圆心为(，－)，一条直径的两端点分别在轴、轴上，则此圆的方程是( ) ．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝解析：利用平面几何知识得＝＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．与圆(－)＋(＋)＝同圆心且过点(－)的圆的方程为．解析：因为已知圆的圆心为(，－)，所以所求圆的圆心为(，－)．又＝＝，所以所求圆的方程为(－)＋(＋)＝.答案：(－)＋(＋)＝．若直线＝＋通过第一、二、四象限，则圆(＋)＋(＋)＝的圆心位于第象限．解析：(－，－)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到<，>，即－>，－<，故圆心位于第四象限．答案：四．已知圆的方程为(－)＋(－)＝，则点()到圆上的点的距离的最大值为．解析：由题意，知点在圆内，的延长线与圆的交点到点()的距离最大，最大距离为＋＝＋.答案：＋三、解答题(每小题分，共分)．已知圆的标准方程为(－)＋(－)＝(>)．()若点()在圆上，求半径；()若点()与()有一点在圆内，另一点在圆外，求的范围．解析：()因为点()在圆上，所以(－)＋(－)＝，即＝，又>，所以＝.()因为＝＝，＝＝，>，故点在圆外，点在圆内，所以<<.．求圆心在直线－－＝上，且过点()，(，－)的圆的标准方程．解析：有两种方法．方法一：设圆的标准方程为(－)＋(－)＝，则(\\(－－＝，,－＋－＝，,－＋－－＝，))解得(\\(＝，＝，＝().))所以圆的标准方程为(－)＋(－)＝.方法二：因为圆过，两点，所以圆心一定在的垂直平分线上，线段的垂直平分线方程为＝－(－)，则(\\(＝－()－，－－＝，))解得(\\(＝，＝，))即圆心为()，＝＝.。
