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数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析第５章线性时不变系统的变换分析[教学⽬的]1．了解LTI 系统频率响应的概念；2．掌握线性常系数差分⽅程所表征系数的系统函数的⽅法； 3．掌握有理系统频率响应分析⽅法4．理解线性相位系统、⼴义线性相位系统与因果⼴义线性相位系统的概念，⼏类线性相位系统。
[教学重点与难点] 重点：1．线性常系数差分⽅程所表征系数的系统函数的⽅法； 2．有理系统频率响应分析⽅法； 3．⼏类线性相位系统。
难点：1．有理系统频率响应分析⽅法⼏类线性相位系统5.1 LTI 系统的频率响应前⾯已经讨论过，在时域中，⼀个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应h (n )来表⽰。
对于⼀个给定的输⼊x (n )，其输出y (n )为对等式两端取Z 变换，得则 (5-1)两边做离散傅⽴叶变换有: |Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)| (5-2)|Y (e j ω)|=|H (e j ω)|·|X (e j ω)|arg ［Y (e j ω)］=arg ［H (e j ω)］+arg ［X (e j ω)］|H (e j ω)| 幅度响应 : 增益/幅频特性调整输⼊信号各频率分量的相对强度(幅度)关系Arg[H (e j ω)] 频率响应的相位响应 : 相移/相频特性调整输⼊信号各频率分量的相对位置(相位)关系H (e j ω) 调整输⼊信号各频率分量的相对⼤⼩(幅度)及位置(相∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y )()()()()()()()(z X z H z Y =)()()(z X z Y z H =位)关系5.1.1 理想低通滤波器的选择性5.1.2相位失真与延时线性相位 : 不会改变信号的相对位置,时延相同线性相位的效应 : 时延⾮线性相位：改变信号的相对位置时延不相同≤<≤=πωωωωω||,0||,1)(c c j H n n n h c F πωsin ][=?→←()()|()|j H j H j H j e ωωω= 0 : ()near Phase H j t ωω=- 0()H j tωω≠-5.2 ⽤线性常系数差分⽅程所表征系统的系统函数⼀个线性时不变系统也可以⽤常系数线性差分⽅程来表⽰，其N 阶常系数线性差分⽅程的⼀般形式为若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z 变换，利⽤Z 变换的线性特性和移位特性可得这样就得到系统函数为（5-3）由此看出系统函数分⼦、分母多项式的系数分别就是差分⽅程的系数。
三、复频域、复平面1、傅里叶变换的基本信号()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21)(其基本信号为t j e ω，它表征一个等幅余弦信号，只有一个变量ω，因此可用数轴上的一个点表示，而F(ω)则表示了某一频率信号的相对幅值和相位，频率特性可用二维平面表达。
2、拉氏变换的基本信号()s S F j t f j j t s d e 21)(⎰∞+∞-=σσπ其基本信号为t j t t s e e e ωσ=它表征一个变幅余弦信号，F （S ）物理意义不明确，只是一种数学表示而已，但有利于分析系统。
F （S ）中有两个变量，ωσj S +=只能用平面中的点表示，此平面称为复平面或S 平面，为与傅里叶变换中的频率ω相区别，S 称复频率，信号的频率特性用三维空间表示，一般不再画图。
下面讨论复平面内各点S 与基本信号t s e 的关系：如图任何实信号可用一对共轭复数表示，所以在复平面上，t s e 与t s e *必成对出现。
分析结论：拉氏变换是把信号分解为无穷多个复频率S 的复指数函数，傅里叶变换是把信号分解为无穷多个频率ω的复指数函数，可看作是拉氏变换的特例，即S=j ω情况，前提是信号满足狄里赫利条件。
3、拉氏变换的零、极点时域信号f(t)经拉氏变换后是复变量S 的多项式之比，即()011011)()(a S a S a b S b S b S D S N S F n n n n m m m m ++++++==---- 其中，a 、b 为有理数——有理性 可分解为()∏∏==--=nj jmi inmP S Z S a bS F 11)()(的形式当S=Z i ，则F(S)=0,称Z i 为信号f(t)的拉氏变换的零点微分性质在线性连续系统分析的重要基础。
例 5.2-8 求)(2)(21)(2)(3)(t f t f t y t y t y +'=+'+''的响应，已知初始条件y(0-)=1，y /(0-)=0 ()t t f ε=)(。
