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目 录第1章 信号与系统1.1 复习笔记1.2 课后习题详解1.3 名校考研真题详解第2章 连续系统的时域分析2.1 复习笔记2.2 课后习题详解2.3 名校考研真题详解第3章 离散系统的时域分析3.1 复习笔记3.2 课后习题详解3.3 名校考研真题详解第4章 傅里叶变换和系统的频域分析4.1 复习笔记4.2 课后习题详解4.3 名校考研真题详解第5章 连续系统的s域分析5.1 复习笔记5.2 课后习题详解5.3 名校考研真题详解第6章 离散系统的z域分析6.1 复习笔记6.2 课后习题详解6.3 名校考研真题详解第7章 系统函数7.1 复习笔记7.2 课后习题详解7.3 名校考研真题详解第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记8.2 课后习题详解8.3 名校考研真题详解第1章 信号与系统1.1 复习笔记一、信号的基本概念与分类信号是载有信息的随时间变化的物理量或物理现象，其图像为信号的波形。
根据信号的不同特性，可对信号进行不同的分类：确定信号与随机信号；周期信号与非周期信号；连续时间信号与离散时间信号；实信号与复信号；能量信号与功率信号等。
二、信号的基本运算1加法和乘法f1（t）±f2（t）或f1（t）×f2（t）两信号f1（·）和f2（·）的相加、减、乘指同一时刻两信号之值对应相加、减、乘。
2．反转和平移（1）反转f（－t）f（－t）波形为f（t）波形以t＝0为轴反转。
图1-1（2）平移f（t＋t0）t0＞0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上左移t0；t0＜0，f（t＋t0）为f（t）波形在t轴上右移t0。
图1-2平移的应用：在雷达系统中，雷达接收到的目标回波信号比发射信号延迟了时间t0，利用该延迟时间t0可以计算出目标与雷达之间的距离。
这里雷达接收到的目标回波信号就是延时信号。
3．尺度变换f（at）若a＞1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上压缩为原来的；若0＜a＜1，则f（at）波形为f（t）的波形在时间轴上扩展为原来的；若a＜0，则f（at）波形为f（t）的波形反转并压缩或展宽至。
信号与线性系统分析（第四版）：探索信号处理的数学基石一、信号与线性系统的基本概念在信息技术飞速发展的今天，信号与线性系统分析已成为电子工程、通信工程等领域不可或缺的基础知识。
本版书籍旨在为您提供一个清晰、系统的学习路径，帮助您深入理解信号处理的理论与实践。
1. 信号的定义与分类（1）确定性信号与随机信号：确定性信号在任意时刻都有明确的函数值，而随机信号则具有不确定性。
（2）周期信号与非周期信号：周期信号在时间轴上呈周期性重复，而非周期信号则不具备这一特性。
（3）能量信号与功率信号：能量信号在有限时间内具有有限的能量，而功率信号则具有有限的功率。
2. 线性系统的特性（1）叠加原理：多个输入信号经过线性系统处理后，其输出信号等于各输入信号单独处理后的输出信号之和。
（2）齐次性原理：输入信号经过线性系统放大或缩小后，输出信号也会相应地放大或缩小。
二、线性时不变系统描述1. 冲激响应与卷积积分冲激响应是描述LTI系统特性的重要工具。
通过冲激响应，我们可以利用卷积积分求出系统对任意输入信号的响应。
2. 系统函数与频率响应系统函数是LTI系统在频域的描述方式，它揭示了系统对不同频率信号的响应特性。
频率响应则是对系统函数在特定频率下的直观展示。
3. 状态空间描述状态空间描述是一种更为全面的LTI系统描述方法，它将系统的内部状态与输入、输出联系起来，为分析和设计复杂系统提供了有力工具。
三、信号的傅里叶分析1. 傅里叶级数傅里叶级数将周期信号分解为一系列正弦波和余弦波，揭示了周期信号在频域的组成。
2. 傅里叶变换傅里叶变换将时间域的非周期信号转换为频域信号，为信号处理提供了强大的分析工具。
四、拉普拉斯变换与z变换的应用1. 拉普拉斯变换拉普拉斯变换将时间域的信号转换到复频域，它是分析线性时不变系统在复频域特性的关键工具。
在本版书籍中，我们将探讨：（1）拉普拉斯变换的基本性质和收敛域。
（2）利用拉普拉斯变换求解微分方程和积分方程。
思考题
1 （浙大2002年）下列表达式中正确的是____。
A. d (2t)=d (t)
B. d (2t)=d (t)
C.d (2t)=2d (t)
D. 2d (t)=d (2t)
2 （西安电子科大2006年）积分等于_________
21
21⎰
∞
∞
-+-+-2
)]1()1(')[2dt t t t d d （。
A.0
B.1
C.3
D.5
3（华中科大2006年）计算sint ·d ′(t)=? 4（哈尔滨工程大学2003年）计算下列信号值。
（1）
⎰∞
∞
--=-2
1)2()22)(dt
t t t f d （5（中国传媒大学2005年）已知信号图形如图所示，画出f(2-4t)的图形。
二、系统的数学模型
连续系统解析描述：微分方程
离散系统解析描述：差分方程
1. 连续系统的解析描述
图示RLC 电路，以u S (t )作激励，以u C (t )作为响应，由KVL 和VAR 列方程，并整理得
u S (t )u C (t )
L
R
C
2
2d d d d (0)'(0)C C
C S C
C u u LC RC
u u t t u u +⎧++=⎪⎨
⎪+⎩，二阶常系数线性微分方程
)()(d )(d d )(d 012
2
2t f t y a t t y a t
t y a =++抽去具有的物理含义，微分方程写成
2. 离散系统的解析描述
某地区第k年的人口为y(k), 人口的正常出生率和死亡率分别为a和b，第k年从外地迁入的人口为f(k)，那么第k年的人口总数为：y(k)= y(k-1)+ a y(k-1) )-b y(k-1)+f(k)
差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。
未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。
由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。
三．系统的框图描述
用框图表示系统的激励与响应之间的数学运算关系。
一个方框表示一个某种功能的部件或一个子系统。
f 1(t)
∑
f 2(t)
f 1(t) -f2(t)
f (t)∫
⎰∞-t x x f d)(
a
f (t)
或a
a f (t)
()t f()T t f-
T
()t f
1
()t
f2
()()t
f
t
f2
1
延
时
器
加法器积分器
数乘器乘法器
f 1(k )
∑
f 2(k )
f 1(k ) - f 2(k )
a
f (k )
或
a
a f (k )加法器
迟延单元
数乘器
f (k )
D f (k -1)
由微分方程画框图
例1：已知y ”(t)+ay ’(t)+by(t)=f(t)，画框图。
解：将方程写为y ”(t)=f(t)–ay ’(t)–by(t)
∫
∫
y"(t)
y'(t)
y(t)
∑
a
b
f(t)
由框图写微分方程
例2：已知框图，写出系统的微分方程。
y (t )
∑∑
∫
∫
3
4
2
3
f (t )
设辅助变量x (t)如图
x (t)
x’(t)
x”(t)
x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x (t),即x”(t)+2x’(t)+3x (t)=f(t)y(t)= 4x’(t)+ 3x (t)
y”(t) + 2y’(t) + 3y (t) = 4f ’(t)+ 3f(t)
由框图写差分方程
例3：已知框图，写出系统的差分方程。
y (k )
∑
∑D D 542
3f (k )
解：设辅助变量x (k)如图x (k)
x (k-1)x (k-2)即x (k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)
y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)
消去x (k) ，得
x (k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)
一、系统的特性
•线性性质•时不变性•因果性•稳定性本课程重点：讨论线性时不变系统。
(Linear Time-Invariant)，简称LTI 系统。
系统
T f (·)y (·)
f(t):系统的激励
y(t):系统的响应
y (·)= T[f (·)]§1.6 系统的特性与分析方法
1. 线性
⑴线性性质：齐次性和可加性
可加性：
齐次性：
f (·) →y (·)af (·)→ay (·)
f 1(·)→y 1(·)
f 2(·)→y 2(·)f 1(·)+f 2(·)→y 1(·)+y 2(·)
af 1(·)+bf 2(·)→ay 1(·)+by 2(·)综合，线性性质：
线性系统的条件
⑴
动态系统响应不仅与激励{ f (·) }有关，而且与系统的初始状态{x (0)}有关, 初始状态也称“内部激励”。
可分解性零状态线性
y (·) = T [{x (0)},{f (·)}]
y zi (·)= T [{x (0)}，{0}]
y zs (·)= T [{0},{f (·)}]
零输入线性
⑵动态系统是线性系统，要满足下面3个条件：
y (·)=y zi (·)+y zs (·)
②零状态线性：
T[{0},{af 1(t )+bf 2(t )}]=a T[{0},{f 1(·)}]+b T[{0},{f 2(·)}]③零输入线性：
T[{ax 1(0) +bx 2(0)},{0} ]= a T[{x 1(0)},{0}]+b T[{x 2(0)},{0}]线性连续系统（离散）线性微分（差分）方程
判断线性系统举例
判断下列系统是否为线性系统？
（1）y(t)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1
（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|
（3）y(t)=x2(0)+2f(t)
解：（1）y
zs (t)=2f(t)+1，y
zi
(t)=3x(0)+1
显然，y(t) ≠ y
zs (t) ＋y
zi
(t)
不满足可分解性，故为非线性
（2）y(t)=2x(0)+|f(t)|
（3）y(t)=x2(0)+2f(t)解：
（2）y
zs (t)=|f(t)|，y
zi
(t)=2x(0)
y(t)=y
zs (t)+y
zi
(t) 满足可分解性；
由于T[{0},{a f(t)}]=|a f(t)|≠a y
zs (t)
不满足零状态线性。
故为非线性系统。
（3）y
zi (t)=x2(0)，
T[{a x(0)},{0}]=[a x(0)]2≠a y
zi (t)
不满足零输入线性。
故为非线性系统。
