18第十八章勾股定理1

第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。

难点：勾股定理及其逆定理的应用。

二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。

知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

18.1勾股定理（1）年级：八年级科目：数学课型：新授执笔：姜艳审核：徐中国，薛柏双备课时间：2010.3.28 上课时间：2010.3.31教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

重点：勾股定理的内容及证明。

难点：勾股定理的证明。

课前预习导学过程阅读教材第64页至第67页的部分，完成以下问题在Rt△ABC，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c课堂活动：活动1、预习反馈多种方法证明勾股定理活动2、例习题分析例1：一个门框的尺寸如图，一块3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？CA B例2：如图，一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO ，这时AO 的距离为2.5m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5m 吗？课堂练习：1．勾股定理的具体内容是：2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；⑷三边之间的关系： 。

3．⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 。

⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 。

第十八章勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．理解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和水平。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的准确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践水平；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

进一步让学生确信勾股定理的准确性。

四、课堂引入当前世界上很多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。

我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。

这个事实能够说明勾股定理的重大意义。

尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。

让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB 的长。

以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。

”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。

对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

第十八章、勾股定理第一节、知识梳理勾股定理●学习目标1. 掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2. 能运用勾股定理解决实际问题．●重点难点重点：了解勾股定理,并能正确合理的运用.难点：勾股定理的证明.●知识概要1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c,那么a２＋b２＝c２,即直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．2. 勾股定理的应用.勾股定理是直角三角形的一个重要的性质,它是把三角形由一个直角的“形”的特征转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.3. 勾股定理的证法.●知识链接1. 勾股定理的历史背景.我国是最早了解勾股定理的国家之一,商朝数学家商高提出了“勾三、股四、弦五”,被记载于周髀算经中．在欧洲,通常把勾股定理称为毕达哥拉斯定理.2. 与直角三角形有关的问题.1 直角三角形的定义.2 直角三角形的性质：直角三角形中两个锐角互余；如果一个锐角等于30°,则它所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等.●中考视点勾股定理是几何中的一条重要定理,它揭示了直角三角形三边之间的关系,中考对于这部分的考查主要是勾股定理的运用：１运用勾股定理解直角三角形：已知三角形的两边求第三边．２利用勾股定理证明一些具有平方的关系式．３运用勾股定理在数轴上找到一些和无理数对应的点．勾股定理的逆定理●学习目标１. 掌握勾股定理的逆定理,并会用它判定一个三角形是不是直角三角形.２. 理解并初步掌握利用三角形全等及代数计算来证明直角三角形的方法.●重点难点重点：勾股定理的逆定理及其应用.难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.●知识概要勾股定理是将直角三角形的形的特征转化为数的特征,而勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要依据,是由数定形．1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形．２. 如果两个命题的题设结论正好相反,我们把这样的两个命题叫作互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题,那么另一个叫作它的逆命题．３. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理．４. 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数组．●知识链接1勾股定理与勾股定理的逆定理是两个互逆的命题.2勾股数：满足条件a2＋b2＝c2的三个正整数,称为勾股数.常见的勾股数组有：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25；20,21,29；9,40,41；…这些勾股数组的整数倍数仍然是勾股数组.●中考考点勾股定理的逆定理是证明一个三角形是直角三角形的重要定理,中考中经常利用它来求角,证明线段的垂直关系以及确定三角形的形状．第二节、教材解读一、勾股定理的内容勾股定理的内容是：如果直角三角形两直角边分别是a、b,斜边是c,那么a2+b2＝c2.因此,在运用勾股定理计算三角形的边长时,一要注意勾股定理的适用条件是在直角三角形中；二要注意表达式的灵活变形,即两条直角边的平方和等于斜边的平方.在直角三角形中,已知任意两条边长,可求出第三条边的长.二、正确判定一个三角形是否是直角三角形如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2,那么这个三角形就是直角三角形.这一识别方法与勾股定理的条件和结论正好相反,即为勾股定理的逆定理.有了直角三角形的这一判别方法可以通过计算判断一个三角形是否为直角三角形.要判断一个三角形是不是直角三角形,一是确定最大边,即斜边c；二是验证c2与a2+b2是否相等.若c2＝a2+b2,则△ABC是直角三角形,且∠C＝90°；若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.三、熟练掌握勾股定理在实际生活中的应用勾股定理有着广泛的应用.如求线段的长、求角度的大小、说明线段的平方关系问题、求作长为的线段等等.以求作长为的线段为例,利用勾股定理作出长为…的线段,如下左图所示．用同样的方法我们可以在数轴上画出表示…的点,如下右图所示.四、勾股定理逆定理的推导勾股定理告诉我们,如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么a２＋b２＝c２,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反之如果我们已知一个三角形的三条边长分别为a、b、c,边长之间满足关系a２＋b２＝c２,那么我们是否能够据此确定三角形的形状呢下面是３组三角形边长的数据以及根据各组数据画出的三角形,１a＝６,b＝８,c＝１０；２a＝５,b＝１２,c＝１３；３a＝１５,b＝２０,c＝２５．我们观察上面给出的三组三角形的边长就会发现,上面三个三角形的边长都满足关系a２＋b２＝c２,我们再观察上面三个根据已知边长画出的三角形,我们发现三个三角形都是直角三角形．根据我们现在所掌握的这些个例的情况,我们可以先进行大胆的猜测：如果一个三角形的三边长a、b、c满足a２＋b２＝c２,那么这个三角形是直角三角形．我们的猜测是否正确呢要确定我们根据几个特殊情况猜测得出的结论是否正确,我们必须要在一般情况中对其加以证明．例题已知△ＡＢＣ的三边ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c且满足条件a２＋b２＝c２,试判断△ＡＢＣ是否为直角三角形．思考与分析根据前面学习的勾股定理,我们知道如果一个直角三角形以a、b为直角边,那么它的斜边c必满足c２＝a２+b２,那么这个直角三角形的三边就与△ＡＢＣ的三边分别对应相等,所以说如果△ＡＢＣ是直角三角形,那么它必与以a、b为直角边的直角三角形全等．解：我们作Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′,∠Ｃ′＝９０°,Ａ′Ｃ′＝b,Ｂ′Ｃ′＝a．根据勾股定理：Ａ′Ｂ′２＝a２＋b２．又∵△ＡＢＣ的三边a、b、c满足条件a２+b２＝c２,∴ＡＢ＝c＝Ａ′Ｂ′．又∵在△ＡＢＣ中ＢＣ＝a、ＡＣ＝b、ＡＢ＝c,∴△ＡＢＣ≌Ｒt△Ａ′Ｂ′Ｃ′ＳＳＳ．∴△ＡＢＣ是直角三角形,∠Ｃ＝９０°．小结探索勾股定理的逆定理的过程遵循了从特殊到一般这样一条认识事物的规律,首先我们是通过已掌握的几个有限个例来归纳猜想出结论,然后就其成立与否再在一般情况下进行证明.第三节、错解剖析一、勾股定理只能在直角三角形中运用例1 在△ABC中,AC=3,BC=4,则AB的长为.A. 5B. 10C. 4D. 大于1且小于7常见错误： A.错误分析：题意是已知三角形的两边求第三边,解题者错误地用直角三角形代替了任意三角形进行求解,没有注意题目中并没有给出直角三角形的前提条件,所以不能用勾股定理,只能用“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”判断出AB的范围.正确答案： D.二、运用勾股定理时要分清斜边和直角边例2 在Ｒt△ABC中,AC=9,BC=12,则AB2= .常见错误：在Ｒt△ABC中,利用勾股定理,得AB2＝AC2＋BC2=225.错误分析：没有区分要求的AB是直角边还是斜边,只是模糊地记住了勾股定理的原形,而没有注意到题目中并没有给出明确的条件,对此我们应该分情况讨论,如果AB是斜边,则利用勾股定理,得AB2＝AC2＋BC2=225；如果AB是直角边,因为BC>AC,所以BC为斜边,则利用勾股定理,得AB2＝BC2－AC2＝63.∴AB2为225或63.正确答案：225或63.三、给定三角形要分形状运用勾股定理例3 在△ＡＢＣ中,ＡＢ=13,ＡＣ=15,高ＡＤ=12,求△ＡＢＣ的周长．常见错误：根据勾股定理,ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2＝１３2－１２2＝２５,ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１,∴ＢＤ＝５,ＣＤ＝９, ＢＣ＝ＢＤ＋ＣＤ＝５＋９＝１４．此时,△ＡＢＣ的周长为ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋１４＋１５＝４２．错误分析：△ＡＢＣ可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.错误答案是只讨论了△ＡＢＣ是锐角三角形而忽视了它还可能为钝角三角形的情况.正确答案：应该分情况讨论,当△ＡＢＣ是锐角三角形时,解法如上.当△ＡＢＣ是钝角三角形时,其图如下,根据勾股定理,ＢＤ2＝ＡＢ2-ＡＤ2＝１３2－１２2＝２５,ＣＤ2＝ＡＣ2-ＡＤ2＝１５2－１２2＝８１,∴ＢＤ＝５,ＣＤ＝９,ＢＣ＝ＣＤ－ＢＤ＝９－５＝４.此时,△ＡＢＣ的周长为：ＡＢ＋ＢＣ＋ＡＣ＝１３＋４＋１５＝３２．故△ＡＢＣ的周长为42或32.四、不能正确区分直角边和斜边例4 已知一个三角形的三边长a=5,b=13,c=12,这个三角形是直角三角形吗错解：不是.在三角形中,利用勾股定理,a2＋b2＝194,c2＝144. a2＋b2≠c2,故此三角形不是直角三角形.错解分析：本题中虽然a2＋b2≠c2,但我们不能因此就认定这个三角形不是直角三角形,我们应该首先分析一下这三个边,边长最长的应为斜边,即b为斜边,b2＝169,a2＋c2＝25＋144＝169,即a2＋c2＝b2,故这个三角形为直角三角形.因此我们在做题时,先找到最长边,即确定斜边,可以让我们少走弯路.正确答案：是.反思勾股定理的逆定理是利用三角形的三边之间的数量关系来判定一个三角形是否为直角三角形的定理,我们在做题的时候一定要正确区分哪条为直角边哪条为斜边.五、考虑不全面造成漏解例5已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2－b2c2＝a4－b4,试判断△ABC的形状.错解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4 1∴c2 a2－b2＝a2＋b2 a2－b22∴c2＝a2＋b2 3∴△ABC是直角三角形.错解分析：本题在由第2步到第3步的化简过程中没有考虑到a2－b2＝0的情况就直接在等式两边除以一个可能为0的数,从而导致了错误．正解：∵a2c2－b2c2＝a4－b4∴c2 a2－b2＝a2＋b2 a2－b21当a2－b2≠0时,化简后得c2＝a2＋b2∴△ABC是直角三角形.2当a2－b2＝0时,a＝b∴△ABC是等腰三角形.反思本题结合因式分解的知识,综合考查了提公因式法、公式分解法以及勾股定理的逆定理,同时还考查了等式的性质2：在等式两边不能同时除以一个可能为0的数,这往往是我们最容易忽视的地方,应引起大家的注意.六、不能仅凭模糊记忆例6在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,且a＋ba－b＝c2,则A.∠A为直角B.∠C为直角C.∠B为直角D.不是直角三角形错解：选B错解分析：在解这道题的时候导致错误的原因在于对已知条件粗略地分析得出存在平方关系之后就习惯性地认为边c的对角∠C一定表示直角.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2,即a2＝b2＋c2,应根据这一关系进行判断.正解：∵a2－b2＝c2,∴a2＝b2＋c2.∴a边所对的角∠Ａ为直角. 故选A.反思我们在判断直角三角形哪一个角是直角的时候不能因为思维定势看到数量的平方关系就得到某个角是直角的结论.七、考虑不全造成漏解例7已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长.错解：第三边长为错解剖析：因习惯了“勾三股四弦五”的说法,即意味着两直角边为3和4时,斜边长为5.但这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明,因而所求的第三边可能为斜边,也可能为直角边.正解：1当两直角边为3和4时,第三边长为2当斜边为4,一直角边为3时,第三边长为.八、理解流于形式,造成思维定势例8已知三角形的三边为,c=1,这个三角形是直角三角形吗错解：∵a2＝,b2＝,c2＝1,而a2＋b2≠c2,∴该三角形不是直角三角形.错解剖析：虽然a2＋b2≠c2,但不能急于否定这个三角形就不是直角三角形,因为我们发现有a2＋c2＝b2,所以这个三角形是直角三角形.正解：这个三角形是直角三角形．九、混淆勾股定理与逆定理例9 在B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东６0°方向以每小时8海里的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进,2小时后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34海里,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗错解:甲船航行的距离为BM=8×2＝16海里,乙船航行的距离为BP=15×2＝30海里.∵＝34 海里且MP=34海里∴△MBP为直角三角形．∴∠MBP＝90°.∴乙船是沿着南偏东30°方向航行.错解剖析：虽然最终判断的结果也是对的,但忽略了对使用勾股定理的前提条件的证明,犯了运用上的错误. 正解：甲船航行的距离为BM=8×2＝16海里,乙船航行的距离为BP=15×2＝30海里.∵162＋302＝1156,342＝1156,∴BM2＋BP 2＝MP2.∴△MBP为直角三角形.∴∠MBP＝90°.∴乙船是沿着南偏东30°的方向航行的.第四节、思维点拨一、方程思想例1 如图,在长方形ABCD中,DC=5cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把△AED折叠,使点D恰好落在BC 边上,设此点为F,若△ABF的面积为30cm2,那么△AED的面积为______.分析与解由△ABF的面积为30cm2,可得BF=12cm.则在Rt△ABF中,AB=5cm,BF=12cm,根据勾股定理可知AF=13cm.再由折叠的性质可知AD=AF=13cm.所以FC=1cm.可设DE=EF=x,则EC=5-x.在Rt△EFC中,可得：12+5-x2=x2.解这个方程,得x=.所以S△AED =××13=cm2.二、化归思想例2 如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,动点P从A点出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为分析与解求几何体表面的最短距离,可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图,化“曲面”为“平面”,再寻找解题的途径.如上右图,可得展开图中的AB′的长为4π÷2＝2π,B′S′的长为4÷2＝2.在Rt△AB′S′中,根据勾股定理,得AS′=.所以动点P从A点出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S 的最短路径长为.故选A.三、分类讨论思想例3 在△ABC中,AB=15,AC=20,AD是BC边上的高,AD=12,试求出BC边的长.分析与解此题没有给出图示,又由于三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形外部,所以其高的位置应分两种情况来求.如下图所示,△ABC有两种情况.当BC边上的高AD在△ABC的内部时,如图1.由勾股定理,分别在Rt△ABD和Rt△ADC中,得BD2=AB2-AD2=152-122=81,则BD=9.CD2=AC2-AD2=202-122=256,则CD=16.所以BC=9+16=25.当BC边上的高AD在△ABC的外部时,如图2.同样由勾股定理可得BD=9,CD=16.这时BC=16-9=7.综上可得BC边的长为25或7.例4 如图所示,在△ＡＢＣ中,ＡＢ＝１５,BC＝１4,ＡＣ＝１３．求△ＡＢＣ的面积.思考与分析要求△ＡＢＣ的面积,现在已经知道三边的长,我们只要再知道一边上的高就可以了,这就需要作一边的垂线．构造直角三角形ＡＢＤ和直角三角形ＡＣＤ,然后利用勾股定理求出高ＡＤ,进而求出△ＡＢＣ的面积.解法一：过点A作ＡＤ⊥ＢＣ于D,则∠ADB=∠ADC=90°．设DC=x,则ＢＤ＝14－x．在Ｒt△ＡＢＤ中,由勾股定理得：ＡＤ２＝ＡＢ２-ＢＤ２＝１５２-14－x２．①在Ｒt△ＡＤＣ中,由勾股定理得：ＡＤ２＝１３２－x２.②由①＝②,解得x=5.所以ＡＤ２＝１３２－x２＝169－25＝144,故ＡＤ＝１２．所以Ｓ△ＡＢＣ＝ＢＣ·ＡＤ＝×１２×１４＝８４．解法二：设AD＝x,则在Ｒt△ＡＢＤ中,由勾股定理得：BＤ２＝ＡＢ２-AＤ２＝１５２-x２．在Ｒt△ＡＤＣ中,由勾股定理得：CＤ２＝１３２－x２,再根据题意,知BC=BD+DC,四、勾股定理是直角三角形的一个重要性质,这个定理反映了直角三角形三条边之间的关系,它是把三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范．下面就让我们通过一道例题来体会一下.例5 已知：在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.则△ABC是等腰三角形吗思考与分析先画出图形,如图,求出BD=5cm,利用直角三角形的判定方法,说明AD⊥BC,然后在△ADC 中,利用勾股定理求出AC,从而得到AB=AC.解：由AD是BC边上的中线,得BD=CD=BC=×10=5cm.由形到数在△ABD中,有AD2+DB2=122+52=132 =AB2,所以△ABD是直角三角形,其中∠ADB=90°,∠ADC=90°. 由数到形在Rt△ADC中,AC2=AD2+DC2=122+52=169,又因为AC>0,所以AC=13cm.由形到数即AB=AC. 故△ABC是等腰三角形.由数到形反思此题综合运用了勾股定理及直角三角形的判定方法,充分体现了由“形”到“数”,再由“数”到“形”的数形结合的思想,从中你可以体会到数形结合的奥妙.例6小刚准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为A. 2mB. 2.5mC. 2.25mD. 3m思考与分析为了顺利解决此题,我们首先要根据题中叙述的条件画出草图如上,则有BD=1.5m,AF=CE=0.5m,AD=BF=BE=水深,在Rt△ABD中,设河水的深度BF=xm,则有AB=+xm,AD=xm,BD=1.5m,根据勾股定理,列方程+x2=+x2,解之即可.解：如上图所示,在Rt△ABD中,设河水的深度BF=xm,则有AB=+xm,AD=xm,BD=1.5m．根据勾股定理,列方程：+x2=+x2,解得x=2.所以河水的深度为2m.故答案选A.小结本题是数学问题在生活中的实际应用,我们首先要通过分析,画出草图,把实际问题转化成数学问题,运用我们所学的数学知识来求解.这种通过分析题意,画出图形,将实际问题抽象成纯数学问题来求解的数学思想方法,我们一般称为建模的数学思想方法.本题在画出草图,把题意抽象成纯数学问题后,实际上就是建立起“解直角三角形的数学模型如上图”,在此基础上,借助勾股定理来进行求解.解这种实际应用题的一般策略为：另外,在此题中还运用了方程的数学思想,勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长度时,可通过设未知数,建立方程进行求解,运用方程思想,有时可大大简化求解过程.第五节、竞赛数学例１等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ,Ｄ为ＢＣ上任一点,求证：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ思考与分析本题要证明的等式中含有线段的平方,故可以考虑运用勾股定理,但我们知道运用勾股定理的先决条件是具有直角三角形,那么就需要我们首先构造直角三角形．根据等腰三角形的性质,我们作ＡＰ⊥ＢＣ,则ＢＰ＝ＰＣ,那么ＢＤ·ＤＣ＝ＢＰ＋ＰＤＰＣ－ＰＤ＝ＢＰ２－ＰＤ２,又因为Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ有公共边ＡＰ,由勾股定理得ＡＢ２－ＢＰ２＝ＡＤ２－ＰＤ２,所以ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．证明：１若Ｄ不是ＢＣ的中点时,作ＡＰ⊥ＢＣ于点Ｐ,如图1．∵等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ,∴ＢＰ＝ＰＣ．在Ｒt△ＡＰＢ和Ｒt△ＡＰＤ中,由勾股定理得：两式相减得：ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＰ２－ＰＤ２＝ＢＰ＋ＰＤＢＰ－ＰＤ＝ＢＰ＋ＰＤＰＣ－ＰＤ＝ＢＤ·ＤＣ,即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．２若Ｄ是ＢＣ的中点,如图2．∵等腰△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ,∴ＡＤ⊥ＢＣ,ＢＤ＝ＤＣ．在Ｒt△ＡＤＢ中ＡＢ２＝ＡＤ２＋ＢＤ２,∴ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ２＝ＢＤ·ＢＤ＝ＢＤ·ＤＣ, 即ＡＢ２－ＡＤ２＝ＢＤ·ＤＣ．例２如图3,在△ＡＢＣ中,若ＡＢ＞ＡＣ,ＡＥ为ＢＣ边上的中线,ＡＦ为ＢＣ边上的高.求证：ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.思考与分析等式左边＝ＡＢ２－ＡＣ２,根据题中给出的条件ＡＦ为ＢＣ边上的高,而Ｒt△ＡＢＦ和Ｒt△ＡＣＦ中包含这三边,我们可以得到ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２,ＡＣ２－ＣＦ２＝ＡＦ２这两个等式,这时我们就可以发现两式相减得到ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝ＢＦ＋ＣＦＢＦ－ＣＦ,再根据ＡＥ为ＢＣ边上的中线,继续化简可证得结论．证明：∵ＡＦ为ＢＣ边上的高,∴根据勾股定理有ＡＢ２－ＢＦ２＝ＡＦ２＝ＡＣ２－ＣＦ２,∴ＡＢ２－ＡＣ２＝ＢＦ２－ＣＦ２＝ＢＦ＋ＣＦＢＦ－ＣＦ＝ＢＣ·ＢＦ－ＣＦ又∵ＡＥ为ＢＣ边上的中线,∴ＢＥ＝ＥＣ∴ＢＦ－ＣＦ＝ＢＥ＋ＥＦ－ＥＣ－ＥＦ＝２ＥＦ∴ＡＢ２－ＡＣ２＝２ＢＣ·ＥＦ.例 3 如图所示,已知△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ＝９０°,ＡＣ＝ＢＣ,Ｐ是△ＡＢＣ内一点,且ＰＡ＝３,ＰＢ＝１,ＰＣ＝２,求∠ＢＰＣ的度数．思考与分析１∠ＢＰＣ在△ＰBＣ中,虽然我们已经知道ＰＢ、ＰＣ的长,但可以发现直接利用条件求它还是比较困难．既然直接求解比较困难,那么我们是否可以考虑将∠ＢＰＣ进行分割,转化成特殊角后再进行求解呢我们作ＣE⊥PＣ,并截取ＣE=PＣ,连结BE、PE,就可以把∠ＢＰＣ分割为∠ＣＰE和∠EＰB两个角．根据我们做辅助线的过程可知∠ＣＰE＝４５°,要求∠ＢＰＣ,问题就转化到求∠EＰB,这个问题可以在△EＰB中得到解决．方法１：过Ｃ作ＣE⊥PＣ,并截取ＣE=PＣ=2,连结BE、PE．则∠BＣE+∠PＣB=∠PＣＡ+∠PＣB=90°,∴∠BＣE=∠PＣＡ．又∵ＣE=ＣP,ＡＣ＝ＢＣ,∴△ＣBE≌△ＣＡPＳＡＳ,∴BE＝PＡ＝３．∵在Ｒt△ＰＣE中,∠ＣＰE＝４５°,且ＰE２＝ＰＣ２＋ＣE２＝２ＰＣ２＝８,∴在△ＰBE中,ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２．∴△EＰB为直角三角形,∠EＰB＝９０°．∴∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE＝９０°＋４５°＝１３５°．思考与分析２如果我们在△ＡＢＣ外取点Ｅ,使ＣＥ＝ＣＰ,ＢＥ＝ＡＰ,连结ＰＥ,则构造了△ＣBE和△ＣＡP全等,再利用它们之间的数量关系和勾股定理及其逆定理就可以解决问题．方法２：在△ＡＢＣ外取点Ｅ,使ＣＥ＝ＣＰ,ＢＥ＝ＡＰ,连结ＰＥ.∵ＣE=ＣP,ＢＥ＝ＡＰ,ＡＣ＝ＢＣ,∴△ＣBE≌△ＣＡPＳＳＳ．∴∠BＣE=∠PＣＡ．又∵∠ＡＣＢ＝９０°,即∠PＣＡ+∠PＣB=90°,∴∠BＣE+∠PＣB=90°,即∠PＣE=90°．又∵ＣE=ＣP＝２,∴ＰE２＝ＣE２＋ＣP２＝２２＋２２＝８,∠ＣPE=４５°．∴在△ＰBE中,ＰB２＋ＰE２＝１＋８＝９＝BE２.∴∠BPE=90°,∠ＢＰＣ＝∠BPE＋∠ＣPE＝９０°＋４５°＝１３５°．反思本题主要运用化归转化的数学思想方法,将比较难求的角通过分割转化成为比较好求的特殊角,在这里怎样分角存在一定的技巧,通常我们都是把所求的角分成３０°,４５°,６０°,９０°这样的一些特殊角．例4李老师设计了这样一道探究题：如图11,有一个圆柱,它高为12厘米,底面半径为3厘米,在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面与A点相对的B点处的食物,则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少π 的取值为3．思考与分析这是一道蚂蚁怎么走最近的问题,同学们可以这样思考：1 自己做一个圆柱,尝试从A点到B 点沿圆柱侧面画出几条路线,你认为哪条路线最短2 如图12所示,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从A到B的最短路线是什么你画对了吗3 蚂蚁从A点,想吃到B点上的食物,它需要爬行的最短路线是多少由A到B,有无数条路线,如果将圆柱侧面从A点蚂蚁爬行路径的起始点垂直向上剪开,则剪开的侧面展开图的形状是长方形.最短路线是线段AB,因为两点之间线段最短.这个最短距离就是AB的长.解：圆柱的底面周长为2πr＝2×3×3＝18,展开图中CB的长是底面周长的一半,为×18＝9,圆柱的高为12,即AC＝12,在Rt△ABC中,根据勾股定理有：AB2＝AC2＋BC2＝92＋122,所以AB=15厘米．反思这个有趣的问题是勾股定理的典型应用,此问题看上去是一个曲面上的路线问题,但实际上通过圆柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题,值得注意的是,在剪开圆柱侧面时,要从A点开始并垂直于A点剪开,这样展开的侧面才是个矩形,得到直角,才能用勾股定理解决问题．本题的设计与应用不止如此,我们在弄清此题的基础上,就可以进一步地引导学生进行变式训练,进一步地演变成如下的问题．演变一：“变圆柱为圆锥”例5如图21,圆锥的母线长是3,底面半径是1,A是底面圆周上一点,从点A出发绕侧面一周,再回到点A 的最短的路线长是．开,在其侧面展开图如图22所示的扇形中求出AB的长即可.由扇形的弧长公式可知：＝2π,∴∠ACB=120°．∴∠ACD=60°．∴在Rt△ACD中,∠CAD＝30°．∴CD ＝AC,根据勾股定理有CD2＋AD2＝AC2,即AC2＋AD2＝AC2,又∵AC=3,∴AD=．∴AB=3．故答案选Ｃ．反思本例是旋转体的问题,也是把立体图形转化为平面图形的问题,即将原图形的侧面展开转化为平面图形问题--即“展曲为平”问题,特别要注意圆柱、圆锥的侧面展开问题．第六节、本章训练基础训练题1. 等腰三角形的两边长分别为41cm和18cm,则此三角形的面积是.2. 已知直角三角形两直角边之比为3：4,斜边长为30,则此三角形的面积为.３.已知△ABC中,AB＝10,AC＝17,BC边上的高为AD＝8,则BC的长.４. 如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可以是A. 1：2：4B. 1：3：5C. 3：4：7D. 5：12：13５. 下列命题,正确的是Ａ. 直角三角形中,任意两边的平方和等于第三边的平方B. 如果一个三角形中两边的平方差等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形C. △ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若a2＋b2＝c2,则∠A＝90°D. △ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,若a2＋b2＝c2,则∠Ｂ＝90°提高训练题1. 在△ABC中,AC=6,AB=10,则BC的长为.A. 8B. 16C. 4D. 大于4且小于162. 如图所示,在△ＡＢＣ中,ＡＢ＝17,ＡＣ＝10,AD＝8．求△ＡＢＣ的面积.3. 在Ｒt△ABC中,AC=3,AB=5,求BC2的长.4. 已知△ABC的三边长为a、b、c,且满足a－22＋b－2＋c－2＝0,则此三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形5. 若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c,试判断△ABC的形状.6. 如图在四边形ABCD中,AB＝2,BC ＝,CD＝5,DA＝4,∠B＝90°,求四边形ABCD的面积.7. 一个三角形三边之比为5:12:13,且周长为60,则它的面积是.8.在Rt△ABC中,斜边AB上的高为CD,若AC＝9,BC＝40,则CD＝.9.在解答“判断由长为的线段组成的三角形是不是直角三角形”一题中,小明是这样做的：所以由a、b、c组成的三角形不是直角三角形.你认为小明的解答正确吗请说明理由.强化训练题1. 如果线段a、b、c能组成直角三角形,则它们的比可能是.A. 1∶2∶4B. 1∶3∶5C. 3∶5∶7D. 8∶15∶172. 在Rt△ABC中,斜边BC＝1,则AB2+BC2+AC2的值是.A. 2B. 4C. 6D. 83. 已知一个等腰直角三角形的斜边长为8cm,那么这个三角形的面积为多少4. 甲、乙两人从同一地点出发,已知甲向东行走了8km,乙向北走了6km,此时甲、乙两人相距多少千米5.如下图所示,在一单位为1cm的方格纸上,依图所示的规律,设定点A1,A2,A3,A4,…,An,…连结点A1,A2,A3组成三角形,记为,连结点A2,A3,A4组成三角形,记为,…,连结点An,An＋1,An＋2组成三角形,记为n为正整数.请你推断,当的面积为100cm2时,n ＝.6. 如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,以△ＡＢＣ的三条边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1、S2、S3表示,S1＝81,S3=225,求S2. 综合训练题一、选择题每小题7分,共35分1．如图1,已知正方形ABCD的边长为1,如果将对角线BD绕着B旋转后,点D落在CB的延长线上点E处,则AE的长为．A．B．C．D． 22．如图2,分别以Ｒt△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆,设直线AB左边阴影部分面积为S1,右边阴影部分面积为S2,则．A．S1＝S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定3．△ABC的三边a、b、c满足关系式｜a－5｜+4－c2+b2－6b+9=0．那么这个三角形一定是．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定4．如图3所示,一个圆柱高8cm,底面半径为2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处,则在表面经过的最短路径π取3是．A．20cm B．14cm C．10cm D．无法计算5．如图4所示,在一个正方形网格中,有三个格点A、B、C,顺次连结三点形成一个三角形,则可以判定这个三角形是．A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上答案都不对二、填空题每小题7分,共21分6．如图5是一个人字形屋架,为等腰三角形ABC,跨度AB=24m,上弦AC=13m,则中柱CD=m．7．图6是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图,小明沿图中所示的折线从A走到C所走的路程为m．结果保留根号.8．如图７,直角坐标系中,△ABC的顶点都在网格点上．其中,A点坐标为2,－1,则△ABC的面积为平方单位．三、解答题共44分9．13分一群探宝队员到某个海岛上去探宝,他们从A地出发,先向东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走3千米,再折向北走6千米,往东一拐,又走1千米到达B地找到宝藏如图８,则出发点A与宝藏埋藏点B 的直线距离是多少千米10.14分如图９是一个4×4的正方形网格,任意连结其中的两个格点可以得到一些线段,请在图中准确地找出长为的三条线段,并说明你这样找的理由．11.17分如图１０所示有两棵树在河的两岸隔河相对,一棵树高30m,另一棵树高20m,两棵树底部相距50m．现。

第十八章勾股定理18.1 勾股定理课时安排: 4课时第1课时 18.1 .1 勾股定理(1)三维目标一、知识与技能让学生通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论．二、过程与方法1．在学生充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．在探索上述结论的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．三、情感态度与价值观1．培养学生积极参与、合作交流的意识，2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气．教学重点探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。

从而发现勾股定理．教学难点以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．教具准备学生准备若干张方格纸。

教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题1：在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗?问题2：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?问题3：我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么童义?为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽?二．实际操作，探索直角三角形的三边关系活动2问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么?是否也和大哲学家有同样的发现呢?问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗?问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗?观察下图，并回答问题：(1)观察图1正方形A中含有________个小方格，即A的面积是________个单位面积；正方形B中含有________个小方格，即B的面积是________个单位面积；正方形C中含有________个小方格，即C的面积是________个单位面积．(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格?它们的面积各是多少?你是如何得到上述结果的?与同伴交流．(3)?活动3问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗?如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A'、B'、C'的面积，看看能得出什么结论．(提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．)问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗?我们通过对A、B、C，A'、B'、C'几个正方形面积关系的分析可知：一般的以整数为边长的直角三角形两直角边的平方和也等于斜边的平方，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论?我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0,5，1.2的直角三角形来进行验证．生：也有上述结论．这一结论，在国外就叫做“毕达哥拉斯定理”，而在中国则叫做“勾股定理”．而活动1中的问题1提到的“勾三，股四，弦五”正是直角三角形三边关系的重要体现．勾股定理到底是谁最先发现的呢?我们可以自豪地说：是我们中国人最早发现的．证据就是《周髀算经》，不仅如此，我们汉代的赵爽曾用2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标的图案证明了此结论，也正因为为了纪念这一伟大的发现而采用了此图案作徽标．下节课我们将要做更深入的研究．大哲学家毕达哥拉斯发现这一结论后，就已认识到，他的这个发现太重要了．所以，按照当时的传统，他高兴地杀了整整一百头牛来庆贺．三、例题剖析活动4问题：(1)如下图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?(2)求斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积．解：(1)解：由勾股定理可求得旗杆断裂处到杆顶的长度是：92＋122＝15(m)；15＋9＝24(m)，所以旗杆折断之前高为24m．(2)解：另一直角边的长为172－152＝8(cm)，所以此直角三角形的面积为12×8×15＝60(cm2)．师：你能用直角三角形的三边关系解答活动1中的问题2．请同学们在小组内讨论完成．四、课时小结1．掌握勾股定理及其应用；2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．五.布置作业六．板书设计18．1．1勾股定理（1）第2课时勾股定理（2）三维目标一、知识与技能1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法．2．运用勾股定理解决一些实际问题．二、过程与方法1．经历用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力．2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．三、情感态度与价值观1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，借助此过程对学生进行爱国主义的教育．2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．教学重点经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．教学难点经历用不同的拼图方法证明勾股定理．教具准备每个学生准备一张硬纸板．教学过程一、创设问题情境，引入新课活动1问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式(a＋b(a－b)＝a2－b2，完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2是非常重要的内容．谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导．如下：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；所以(a±b)2＝a2±2ab＋b2；生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如：图(1)中，阴影部分的面积为a2－b2，用剪刀将(1)中的长和宽分别为(a－b)和b的长方形剪下来拼接成图(2)的形式便可得图(2)中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．而这两部分面积是相等的，因此(a＋b)(a－b)＝a2－b2成立．生：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图(3)我们用两个边长分别a和b的正方形，两个长和宽分别a和b的长方形拼成一个边长为(a＋b)的正方形，因此这个正方形的面积为(a＋b)2，也可以表示为a2＋2ab＋b2，所以可得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．师：你能用类似的方法证明上一节猜想出的命题吗?二、探索研究活动2我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：(1)在一张纸上画4个与图(4)全等的直角三角形，并把它们剪下来．(2)用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗?(3)有人利用图(4)这4个直角三角形拼出了图(5)，你能用两种方法表示大正方形的面积吗?大正方形的面积可以表示为：_______________，又可以表示为________________．对比两种衷示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗?生：我也拼出了图(5)，而且图(5)用两种方法表示大正方形的面积分别为(a＋b)2或4× ab＋c2．由此可得(a＋b)2＝4×12 ab＋c2．化简得a2＋b2＝c2．由于图(4)的直角三角形是任意的，因此a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。