人教版-数学-八年级下册-18.1 勾股定理 第一课时 教案

《勾股定理》教学设计教学目标：1、知识与技能：（1）了解勾股定理的文化背景及历史，体验勾股定理的探索过程。

（2）了解和掌握拼图验证勾股定理的方法。

（3）通过例题的分析与解决让学生初步掌握勾股定理在实际生活中的应用。

2、过程和方法：（1）经过观察和探索发现三角形三边数量关系的过程，感受勾股定理（2）通过从实际问题中抽象出直角三角形模型培养学生解决实际问题的意识和能力。

3、情感态度、价值观：（1）了解勾股定理的历史，感受数学文化，激发学生的学习热情。

（2）通过对实际问题的有目的的探索和研究，体验勾股定理的探索活动充满创造性和可操作性，并敢于面对数学活动中的困难，运用已有知识和经验解决问题，激发学好数学的自信心。

一、教学重点：1、探索和验证勾股定理。

2、运用勾股定理解决实际问题。

二、教学难点：1、用拼图方法证明勾股定理。

2、勾股定理的实际应用。

三、教学方法：小组活动自主探究四、教学媒体的选择和使用：多媒体课件五、课前准备：学生准备好四个全等的直角三角形六、教学过程的设计：（一）、情境导入师：现在请大家起立来给我一起做广播操中的扩胸运动。

(师生运动)请问我们在做运动中我们的胳膊会不会成直角？你知道我国古代称我们较短的前臂什么吗？又称较长的后臂什么？生：………师：介绍古代关于勾股定理的故事。

并展示一下图片：1、纪念毕达哥拉斯发行的邮票。

2、2002年世界数学家大会的会标。

3、巴比伦时期的泥板。

师：相信同学们现在对我们的勾股定理一定是非常的感兴趣那就让我们一起来探索吧。

（二）、探究新知：1、展示网格图1：分别以等腰直角三角形的两直角边为边做正方形A和正方形B，由等腰直角三角形的斜边做正方形C ,引领学生探究S A+S B=S C2、展示网格图2：分别以一一般直角三角形的两直角边为边做正方形A和正方形B,由斜边为边做正方形C，引领学生探究S A+S B=S C3、由网格图探究请回答下列问题:你能用直角三角形的边长表示正方形的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？师生共同归纳：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方师：这就是我们伟大的勾股定理。

《勾股定理》教学设计日照市东港区教育局电教站安伯玉教学内容人教版八年级下册18.1《勾股定理》第一课时教材分析勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的。

本节课的学习在教材中起到承上启下的作用，为下面学习勾股定理的逆定理作了铺垫，为以后学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础。

勾股定理的探索和证明蕴含着丰富的数学思想和科学研究方法，是培养学生具有良好思维品质的载体，它在数学的发展过程中起着重要的作用。

勾股定理是数与形结合的优美典范。

教学目标一、了解勾股定理的文化背景，经历探索发现并验证勾股定理的过程。

二、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

三、通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。

四、通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神。

教学重点及难点重点：经历探索及验证勾股定理的过程。

难点：用拼图的方法证明勾股定理。

学具准备：方格纸、全等的直角三角形纸片。

教法与学法教法:在教学中要力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的“思维能力，动手能力，探究能力”为重点的教学思想。

尽量为学生创设“做数学、玩数学”的情境，让学生从“学会”到“会学”，使学生真正成为学习的主人。

学法:在探索勾股定理时，主要通过直观的，乐于接受的拼图法去验证勾股定理。

在本节课中，要充分体现学生的主体地位，主要采用小组合作、自主探究式学习模式。

通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。

在探究活动中，学会与人合作，并在与他人交流中获取探究结果。

教学过程一、设置悬念，引出课题师：请同学们观看大屏幕。

酷6网上曾经出现一个报道：人类一直想弄清楚其他星球上是否存在“人”，我们怎样才能与“外星人”取得联系呢？为什么我国科学家向太空发射勾股图试图与外星人沟通？这个图形蕴含怎样的秘密？师：2002年国际数学家大会在北京召开。

第十七章勾股定理17．1勾股定理第1课时勾股定理教学设计课题二次根式的混合运算授课人素养目标1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理．2.述勾股定理，并能应用它进行简单的计算．3.过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.教学重点运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算．教学难点“数形结合”思想方法的理解和应用.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，导入新课设计意图介绍我国古代数学成就，激发学生的学习兴趣.【情境导入】国际数学家大会是全球性的数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.2002年在北京召开过第24届国际数学家大会，如图是该届大会会徽的图案．你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基本图形组成？这个图案有什么特别的意义？【教学建议】简单介绍“赵爽弦图”的背景与组成图形.活动二：问题引入，自主探究设计意图引导学生探索、发现、证明勾股定理.探究点勾股定理的认识与证明1．特殊直角三角形中勾股定理的探究毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，如图①所示．(1)你能说出图①中正方形A ，B ，C 的面积之间的关系吗？答：正方形A ，B 的面积之和等于正方形C 的面积．(S A ＋S B ＝S C )(2)正方形A ，B ，C 所围成的等腰直角三角形的三边之间有什么特殊关系？答：等腰直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．2．一般直角三角形中勾股定理的探究等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也满足“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？观察图②，其中每个小方格的面积均为1.(1)请你分别计算出图②中正方形A ，B ，C ，A′，B′，C′的面积．答：A 的面积＝4，B 的面积＝9，C 的面积＝13，A′的面积＝9，B′的【教学建议】(1)可提示学生通过数等腰直角三角形的个数得到图①中正方形A，B，C 的面积的数量关系，再引导学生由正方形的面积等于边长的平方得出等腰直角三角形的三边之间的关系；(2)可提示学生利用割补法计算图②中正方形C，C′的面积教学步骤师生活动面积＝25，C′的面积＝34.(2)正方形A，B，C的面积之间有什么关系？正方形A′，B′，C′的面积之间有什么关系？答：A的面积＋B的面积＝C的面积，A′的面积＋B′的面积＝C′的面积．(S A＋S B＝S C，S A′＋S B′＝S C′)(3)直角三角形三边之间的关系用命题形式怎么表述？答：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.3．勾股定理的证明阅读教材P23，24，了解赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述命题的，我国把这个命题称为勾股定理，感兴趣的同学可以自己用拼图试一试．(等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积)，再引导学生得到命题；(3)可以让学生拿一张长方活动三：知识运用，典例讲练设计意图帮助学生巩固对勾股定理的认识.例1请你补全下列证明勾股定理的一种方法．已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c.求证：a2＋b2＝c2.证明：整个图形可以看作是边长为c的大正方形，它的面积为c2；也可以看作由四个全等的直角三角形和一个边长为b－a的小正方形组成，其面积为4×12ab＋(b－a)2.所以可以得到等式：4×12ab＋(b－a)2＝c2.化简，得a2＋b2＝c2.例2在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，∠C＝90°.(1)已知a＝3，b＝4，求c；(2)已知c＝17，b＝15，求a；(3)已知c＝14，a＝6，求b.解：(1)c＝a2＋b2＝32＋42＝25＝5.(2)a＝c2－b2＝172－152＝64＝8.(3)b＝c2－a2＝142－62＝160＝410.【对应训练】1～2.教材P24练习．3．如图是传说中毕达哥拉斯的证法，利用这两个图形证明勾股定理．提示：图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等．证明：从图上可以看到，这两个大正方形的边长都是a＋b，所以面积相等．所以a2＋b2＋4×12ab＝c2＋4×12ab，化简整理得a2＋b2＝c2.【教学建议】(1)告诉学生用拼图方法证明勾股定理通常有两种情况：①一个图形就利用它的两种不同面积表示方法列等式；②两个图形就利用它们的面积相等列等式．(2)提醒学生牢记直角所对的边是斜边，并要掌握勾股定理公式的其他变形(直角边为a，b，斜边为c时的情况)：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2，c＝a2＋b2，a＝c2－b2，b＝c2－a2.教学步骤师生活动活动四：随堂训练，课堂总结【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是勾股定理？你知道几种证明它的方法？1．勾股定理的证明方法例1以a ，b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积都等于12ab ，把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A ，E ，B 三点在一条直线上．求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：∵Rt △EAD ≌Rt △CBE ，∴∠ADE ＝∠BEC.∵∠AED ＋∠ADE ＝90°，∴∠AED ＋∠BEC ＝90°.∴∠DEC ＝180°－90°＝90°.∴△DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于12c 2.又∠DAE ＋∠EBC ＝90°＋90°＝180°，∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于12(a ＋b)2.∴12(a ＋b)2＝2×12ab ＋12c 2.∴a 2＋b 2＝c 2.【知识结构】【作业布置】1．教材P 28习题17.1第1，3，7，13，14题．2．相应课时训练．板书设计17.1勾股定理第1课时勾股定理1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.2．勾股定理的证明：“赵爽弦图”“毕达哥拉斯拼图”等.教学反思本节课以“情境导入－从特殊到一般－假设猜想－拼图验证”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，达到更好的学习效果．勾股定理的证明是本节课的难点，可以设计一些拼图活动，让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究，从而突破这一难点.例2作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使H ，C ，B 三点在一条直线上，连接BF ，CD.求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：如图，过点C 作CL ⊥DE 于点L ，交AB 于点M.∵∠FAC ＝∠BAD ＝90°，∴∠FAC ＋∠CAB ＝∠BAD ＋∠CAB ，即∠FAB ＝∠CAD.又AF ＝AC ，AB ＝AD ，∴△FAB ≌△CAD(SAS )，∴S △FAB ＝S △CAD .∵△FAB 的面积等于12AF·AC ＝12a 2，△CAD 的面积等于12AD·DL(即长方形ADLM 面积的一半)，∴长方形ADLM 的面积＝a 2.如图，连接AK ，CE ，同理易证△ABK ≌△EBC ，∴易得长方形MLEB 的面积＝b 2.∵正方形ADEB 的面积＝长方形ADLM 的面积＋长方形MLEB 的面积，∴c 2＝a 2＋b 2，即a 2＋b 2＝c 2.2．利用勾股定理求边长应用勾股定理求直角三角形的边长时，经常利用a 2＋b 2＝c 2和其变式：a 2＝c 2－b 2，b 2＝c 2－a 2，c ＝a 2＋b 2，a ＝c 2－b 2，b ＝c 2－a 2.例3在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210，BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于(C )A ．10B ．8C ．10或6D ．10或8分析：本题要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD 和CD ，从而可求出BC 的长．解析：如图①，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10.如图②，由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8，CD ＝AC 2－AD 2＝（210）2－62＝2，∴BC ＝BD －CD ＝8－2＝6.综上所述，BC 的长为10或6.故选C .例4已知直角三角形的两边长x ，y 满足|x 2－4|＋（y －2）2－1＝0，则第三边长为(D )A .3B .13C .5或13D .3，5或13解析：∵|x 2－4|＋（y －2）2－1＝0，∴x 2－4＝0，(y －2)2－1＝0.∴x ＝2或－2(舍去)，y ＝3或1.①当直角三角形的两边长为2和3时，若两直角边的长分别是2，3，则第三边的长为22＋32＝13；若3为斜边长，则第三边的长为32－22＝ 5.②当直角三角形的两边长为2和1时，若两直角边的长分别是2，1，则第三边的长为22＋12＝5；若2为斜边长，则第三边的长为22－12＝ 3.综上所述，第三边的长为3，5或13.故选D .注意：解题时注意分类讨论思想的应用，考虑问题不全面就会导致漏解．例1如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，E 为AC 上一点，连接BE ，DE ，延长DE 交AB 于点F ，已知DE ＝AB ，∠CAD ＝45°.(1)求证：DF ⊥AB ；(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，求证：a 2＋b 2＝c 2.证明：(1)∵AC ⊥BD ，∠CAD ＝45°，∴AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°.在Rt △ABC 和Rt △DEC 中，＝DE ，＝DC ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEC(HL ),∴∠BAC ＝∠EDC.∵∠BAC ＋∠ABC ＝90°，∴∠EDC ＋∠ABC ＝90°.∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB.(2)由(1)知Rt △ABC ≌Rt △DEC ，DF ⊥AB ，∴EC ＝BC ＝a ，DC ＝AC ＝b ，DE ＝AB ＝c.由阴影部分面积，得S △BCE ＋S △ACD ＝S △AED ＋S △BED .又AC ⊥BD ，DF ⊥AB ，∴12a 2＋12b 2＝12c·AF ＋12c·BF ＝12c·(AF ＋BF)＝12c·AB ＝12c·c ＝12c 2，∴a 2＋b 2＝c 2.例2勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．勾股定理具体内容为：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.(1)关于勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从图①②③中任选一种来证明该定理．(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)(2)解答下列各题：①如图④⑤⑥，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有3个．②在如图⑦所示的“勾股树”中，设大正方形M 的边长为m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，则a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝m 2.(结果用含m 的代数式表示)(3)如图⑧，分别以直角三角形的三边a ，b ，c 为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S 1，S 2，直角三角形面积为S 3，请判断S 1，S 2，S 3的关系并证明．解：(1)在图①中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即c 2＝12ab·4＋(b －a)2，化简得a 2＋b 2＝c 2；在图②中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即(a ＋b)2＝c 2＋12ab·4，化简得a 2＋b 2＝c 2；在图③中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab·2＋12c 2，化简得a 2＋b 2＝c 2.(2)①解析：在图④中，S 1＋S 2＝a 2＋b 2，S 3＝c 2，∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3；在图⑤中，S 1＋S 2＝12π·(12a)2＋12π·(12b)2＝18π(a 2＋b 2)，S 3＝12π·(12c)2＝18πc 2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3；在图⑥中，易得S 1＋S 2＝34(a 2＋b 2)，S 3＝34c 2.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3.∴图④⑤⑥中面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的有3个．故答案为3.(3)结论：S 1＋S 2＝S 3.证明如下：∵S 1＋S 2＝12π·(a 2)2＋12π·(b 2)2＋S 3－12π·(c2)2，∴S 1＋S 2＝18π(a 2＋b 2－c 2)＋S 3.∵a 2＋b 2＝c 2，∴S 1＋S 2＝S 3.。

课题：18．1勾股定理（第一课时）授课教师：刘健芬教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册（人民教育出版社）一、教学目标：【知识与能力目标】1、理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够运用勾股定理进行简单的计算；2、培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。

【过程与方法目标】让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想的形成过程，并体会数形结合和从特殊到一般的数学思想方法。

【情感态度与价值观】激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。

二、教学重点和难点：【教学重点】勾股定理的发现、验证和简单应用。

【教学难点】用面积法、拼图法证明勾股定理。

三、教学方法与手段：【教学方法】引导探索法（让学生分小组讨论）【学法指导】自主探索、合作交流的研讨式学习方式【教具准备】多媒体课件，三角尺【学具准备】三角尺、剪刀和边长分别为a、b的两个连体正方形纸片四、教学过程教学过程设计活动1 创设情境→激发兴趣2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”.这就是本届大会会徽的图案. 它象一个转动的风车，挥舞着手臂，欢迎来自世界各国的数学家们.（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？会徽教师出示照片及图片.学生观察图片发表见解.教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲.教师应重点关注：（1）学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣；（2）学生对勾股定理的了解程度.通过欣赏图片，了解历史，介绍与勾股定理有关的背景知识，激发学生学习兴趣，自然引出本节课的课题.（板书课题）活动2 观察特例→发现新知毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家.相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系.（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？地面图18.1-1（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?教师展示图片，提出问题.学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律.学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将正方形A、B中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A、B的面积之和等于大正方形C的面积.教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.通过讲传说故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态.通过层层设问，引导学生发现新知.并且让学生参与探索，感受数学学习的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想。

人教版：八年级数学下册18.1勾股定理教学教案教学过程(一)、创设情景，导入新课。

人类一直想弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系，那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号。

人们一直在想：浩瀚无边的宇宙中，不会只有地球上有高级生物——人吧？如果在别的星球上也有“人”，那么怎么互相沟通呢？我国著名的数学家华罗庚教授，在他生前写的文章中这样说：“……如果我们宇宙航船到了一个星球上，那儿也有如我们人类一样高级的生物存在．我们用什么东西作为我们之间的媒介．带幅画去吧，那边风景殊，不了解．带一段录音去吧，也不能沟通．我看最好带两个图形去．一个…数‟，一个…数形关系‟（勾股定理）．为了使那里较高级的生物知道我们会几何证明，还可送去下面的图形，即…青朱出入图‟．这些都是我国古代数学史上的成就．”很多国家出版有关勾股定理的邮票用以纪念人类的这一伟大发现和有关数学家。

2002年在北京召开了第24届国际数学大会，曾被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案（展示图案）。

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。

你见过这图案吗？勾股定理有着悠久的历史。

古巴比伦人和古代中国人看出了这个关系；古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了这个关系，很多具有古老文化的民族和国家都会说：我们首先认识的数学定理是勾股定理。

（二）实验操作，探求新知相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形的某种数量关系。

a b情境：毕达哥拉斯从朋友家的地砖中发现了什么？问题1：你能发现图中等腰直角三角形ABC三边有什么关系吗？问题2：等腰直角三角形都有上述性质吗？观察a图，并回答问题：(1)观察图1。

正方形A中含有＿＿＿个小方格，即A的面积是＿＿＿个单位面积；正方形B中含有＿＿＿个小方格，即B的面积是＿＿＿个单位面积；正方形C中含有＿＿＿个小方格，即C的面积是＿＿＿个单位面积；(2)在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到结果的？与同伴交流。

《勾股定理》第一课时教学设计张华江西省信丰县铁石口中学邮编341605一、教学目标1、知识技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2、数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。

3、解决问题：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

4、情感态度：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、教学重点：了解勾股定理的由来及其证明，并能用它来解决一些简单的问题。

三、教学难点：用面积法（拼图法）发现勾股定理。

四、教学思路针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课可选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。

基本教学流程是：情境导入、激发兴趣——实践交流，探求新知——勾股定理的证明——动手剪纸、深入探究——归纳小结，形成技能——课后作业六部分。

在教师的组织引导下，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。

五、教学内容人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》八年级下册第18章勾股定理第1节勾股定理第1课时。

六、教学方法教师的组织引导下，学生自主探索、合作交流的探讨式学习，课件演示。

七、教具准备准备四个全等的直角三角形，两个大小不一的正方形硬纸片，多媒体课件。

八、教学过程设计1、情境导入、激发兴趣（用课件投影会徽图案）2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案。

（1）你见过图中的图案，它有什么意义?（2）为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？（3）你听说过“勾股定理”吗？2、实践交流，探求新知观察课本第72页的图18.1-1,第73页图18.1-2,看看能得出什么结论？猜一猜:任意直角三角形两直角边的平方和都等于斜边的平方吗?想一想:如果用a 、 b 、 c分别表示直角三角形的两直角边和斜边的长, 怎样证明: a2 ＋ b2 = c2 。

《18.1勾股定理第一课时》教学设计一、教材分析这节课是九年制义务教育课程标准实验教科书，人教版八年级下册第十八章第一节第一课时。

勾股定理是直角三角形一条非常重要的性质，它是在掌握了直角三角形的角的基础上进行学习的，进一步揭示了直角三角形三边的数量关系，为以后学习解直角三角形中的边与角的关系奠定了基础。

在探索勾股定理的过程中，蕴涵了数形结合，转化的数学思想；先探求特殊直角三角形三边的数量关系，再探求一般直角三角形的三边的数量关系，渗透由特殊到一般的思维方式。

本节课内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

二、学情分析八年级学生已经具备了一定的探索新知的能力，“操作+思考”的方式符合学生的认知水平及心理特征，让学生在活动中思考，在探索中体会学习的乐趣，从而培养学生良好的思维品质。

三、教学目标设计1.知识与技能：使学生通过探索勾股定理，初步掌握三角形三边之间的关系，并会运用勾股定理解决简单问题。

2.过程与方法：经历用面积法、拼图法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、猜想、归纳、验证的数学方法。

3.情感与态度：培养学生独立思考、合作交流的习惯；树立学习信心，获得成功的体验。

重点：探索和验证勾股定理；难点：用拼图的方法验证勾股定理.四、教学方法设计学生操作------自主探索的方法体现以学生发展为本的精神，把参与认知过程的主动权交给学生，运用多媒体辅助教学，考虑学生个体差异，各个环节分层施教。

五、教学过程设计遵循“教为主导，学为主体，练为主线”的教学思想，以促进学生核心素养发展为出发点和归宿。

本节课从下面几个方面进行设计。

1.活动一：创设情境，激发兴趣兴趣是最好的老师。

首先利用多媒体播放天文小视频，学生心潮澎湃，教师点拨：如果真的有外星人，地球人尝试与外星人进行文明沟通，曾有人说可以尝试运用一个数学定理也许可以达到效果，是什么样的数学定理如此重要呢？?@就是本节课我们要研究的《勾股定理》。

17.1 勾股定理第1课时一、教学目标【知识与技能】1.了解勾股定理的文化背景,了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【过程与方法】1.在勾股定理的探索过程中,经历观察——猜想——归纳——验证的数学发现过程.2.发展合情推理的能力,体会数形结合思想、由特殊到一般的数学思想、分类讨论思想.【情感态度与价值观】通过对勾股定理历史的了解和实例应用,体会勾股定理的文化价值;通过获得成功的经验和克服困难的经历,增强学习数学的信心,激发学生的民族自豪感和爱国情怀.二、课型新授课三、课时第1课时共3课时四、教学重难点【教学重点】探索和验证勾股定理,并能应用其进行简单的计算.【教学难点】用拼图的方法验证勾股定理.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺、方格纸、三角模型等.学生：三角尺、铅笔、练习本、方格纸、三角模型.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）引导学生观察勾股定理相关图片，引出本节要学知识（二）探索新知1.出示课件4-10，探究勾股定理的认识与证明相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家做客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？学生1回答：直角三角形的两条直角边和斜边都是正方形的边长.学生2回答：斜边正方形的边长最大.教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？教师依次展示下列问题：看图完成下面的题目：（1） A中含有____个小方格，即A的面积是______个单位面积．（2）B的面积是_______个单位面积．（3）C的面积是________个单位面积．学生1回答：（1）A中含有9个小方格，即A的面积是9个单位面积．学生2回答：(2) B的面积是9个单位面积．学生3回答：(3) C的面积是18个单位面积．教师问：三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？学生回答：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是: S A+S B=S C教师问：S A+S B=S C在图2中还成立吗？学生讨论后回答：仍然成立.教师问：你是如何得到结果的呢？学生回答：A的面积是16个单位面积．B的面积是9个单位面积．C 的面积是25个单位面积．教师问：你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流交流．学生回答：如下图所示：教师问：至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即S A+S B=S C. 去掉网格结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：式子S A+S B=S C能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?师生一起解答：如图所示：a2 + b2 = c2教师问：去掉正方形结论会改变吗？学生回答：不会.教师问：那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是什么呢？学生回答：a2 + b2 = c2教师：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.如何利用拼图证明呢？师生一起看数学家的证明：是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚.这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的．教师依次展示各种证明方法：（1）赵爽拼图证明法：以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方形，拼成一个新的正方形.剪、拼过程展示：（出示课件11）教师问：如何进行证明呢？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形＝c2，S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，ab+（b-a）2=a2+b2∴c2=4×12(2) 毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.(出示课件13)教师问：观看拼图过程演示后，你能证明吗？师生共同讨论后解答如下：证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2a b,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形a b+c2=4×12=c2+2a b，∴a2+b2+2a b=c2+2a b，∴a 2+b 2=c 2.（3）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a 2 + b 2 = c 2.教师问：你能证明上边的问题吗？ 学生讨论后回答： 证明：∵S 梯形=12（a +b ）（a +b ）,S 梯形=12a b+12a b+12c 2,∴a 2 + b 2 = c 2.教师总结归纳;(出示课件16) 勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b,斜边为c ，那么a 2 + b 2 = c 2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.表示为：Rt△ABC中，∠C=90°, 则a2 + b2 = c2.总结点拨：（出示课件17）公式变形勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.出示课件18，学生口答，教师订正。

联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 1 页 共 4 页§17.1.1勾股定理（课时1）【学习目标】1．探索勾股定理，并会运用此定理由直角三角形的已知两边求第三边.2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神 ．【学习重点】经历观察、实验、猜想、论证的过程探索勾股定理；掌握直角三角形三边的数量关系，并进行计算.【学习难点】在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.【学前准备】认真阅读课本P63---P671. 思考：你能发现图18.1-1的等腰直角三角形有什么性质吗？答：两个小正方形的面积=一个大正方形的面积=归纳：等腰直角三角形的三边的特殊关系：2.思考：其他的三角形是不是也有上述的性质呢？每个小方格的面积均为1，请分别算出图中各部分的面积：（1）正方形A 的面积=正方形B 的面积=正方形C 的面积=这三个三角形的面积S A ，S B ，S C 之间有什么关系？（2）正方形D 的面积=正方形E 的面积=正方形F 的面积=这三个三角形的面积有什么关系？由方格图中正方形A 、B 、C 和正方形D 、E 、F 面积的关系是否能得到与上述相同的直角三角形的三边关系？猜想：如果直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 .【课堂探究】例1 下列图（1）是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，请用不同方法求出大正方形的面积，由此，你能得出什么结论？教师二次备课备课教师：+例2 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是BC上的一点，且BE=CD=a，AB=CE=b，连结AE，DE．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）若AE=c，请用不同方法求出梯形ABCD的面积，由此，你能得出什么结论？AD 联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司邮编450002 电话400-688-1789第 2 页共4 页B C联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 3 页 共 4 页归纳总结：如果直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 .例3 求出下列直角三角形中未知边的长度.想一想：已知直角三角形的两边，如何求第三边？（要注意什么） 【课堂检测】4．在Ｒt △ABC 中，∠C ＝90°，BC 、AC 、AB 所对的边分别为a 、b 、c （画出草图）（1）3=a ，4=b ，则=c ．（2）5=a ，13=c ，则=b ．（3）2=c ，1=b ，则=a ．（4）6=a ，8=b ，则=c ．5．在Ｒt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝26，BC ＝10，求AC 的长．（画出示意图）课后作业16011．直角三角形的两条直角边长分别为7和9，则与斜边长最接近的整数为 （ ）A ． 11B ．12C ．13D ．142．直角三角形的两条边长分别为3和4，则第三边长为 （ ）A ．5B ．7C ． 5或7 D ． 4二、填空题3．在Ｒt △ABC 中，∠C ＝90°，BC 、AC 、AB 所对的边分别为a 、b 、c（1）6=a ，8=b ，则=c ．（2）24=a ，26=c ，则=b ．画出草图（3）29=c ，21=b ，则=a ．（4）2=a ，4=b ，则=c ．画出草图三、解答题4．在Ｒt △ABC 中，∠C ＝90°，AB=15，BC=9，求AC 的长．（画出示意图）5．如图，每个小正方形网格的边长为1，求△ABC 的周长和面积．610CA B 815C AB A B C联系地址：郑州市经五路66号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 4 页 共 4 页6．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝16．求△ABC 的面积．7．如下图（1），（2）都是用四个相同的直角三角形（两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ）和一个小正方形拼成一个大正方形.①根据上图（1）、（2）按不同方法求大正方形面积可以得到a 、b 、c 三边有什么关系？请写出说明过程；②若右图（2）中，大正方形的边长为13，每个直角三角形两直角边的和是17，求中间小正方形的面积．【教学反思】CB A。

18.1.1勾股定理（第一课时）章节名称18.1.1勾股定理（第一课时）计划学时1课时课堂改革设计理念以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识的主动建构。

学习内容分析（可附加知识导图）勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。

学习者分析一般特征八年级的学生思维比较活跃，具有了一定的归纳、总结能力及合作意识。

初始能力已经学习过平方和开平方的知识，具有一定的解决实际问题的能力，但技能和方法有待提高。

教学目标课程标准让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法。

知识与让学生在经历探索定理的过程中，理解技能并掌握勾股定理；介绍勾股定理的几个著名证法及相关史料；学生能对勾股定理进行简单计算和应用。

过程与方法自主探究与合作交流。

情感、态度与价值观在探索勾股定理的过程中，让学生体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神；在数学活动中使学生了解勾股定理的历史，感受数学文化，激发学习热情。

教学重点、难点及解决措施勾股定理的探索过程；在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理及用拼图的方法证明勾股定理。

教学策略的选择与设计探究性学习方式，通过小组的合作交流，充分发挥学生的主体作用，并借助电子白板辅助教学。

教学环境教师机+投影机+交互式电子白板资源与媒体应用分析知识点媒体内容使用方式与使用目的资源与与形式时机媒体来源等腰直角三角形三边关系图片教师叙述毕达哥拉斯的故事时，同时指着图片。

从毕达哥拉斯观察地砖得到的偶然发现入手，使学生能够在不知不觉中进入最佳的学习状态，同时也为探索勾股定理提供了背景材料。

教参一般直角三角形三边关系图片先展示图片，然后让学生在白板上讲解。

利用课件的动态功能达到了其他教学手段所不能达到的效果，使直角三角形数与网络形的关系展示得更为直观，更易被学生接受，从而顺利地突破难点。

18.1勾股定理（第一课时）一，教学目标（1）知识与技能探索直角三角形三边的关系，了解勾股定理的发现过程。

掌握勾股定理的内容，并运用勾股定理进行简单的计算。

（2）数学思考在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察，猜想，归纳”的能力，并体会数形结合和由特殊到一般的思想方法。

（3）问题解决通过画图，计算面积，探究勾股定理的内容。

（4）情感态度通过探索直角三角形三边之间的关系，培养学生积极参与，合作交流的意识，体验获得成功的喜悦。

通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生的民族自豪感。

二，教学重难点重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其简单的计算。

难点：理解勾股定理的演绎和推导过程。

三，教学方法探讨法，发现法四，教学过程（一）故事导入1955年希腊发行了一张邮票，这张邮票的背后有一段奇妙的故事，你想知道吗？相传2500年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。

下面我们也来一起探究一下，这到底是什么关系呢？（二）新课讲解1，探究一：等腰直角三角形的三边的关系2，直角三角形的三边有怎样的关系？2，探究二：一般直角三角形的三边关系学生同桌合作在网格纸上画一个一般直角三角形，并向三角形三边外分别以三边长度做正方形。

计算三个正方形的面积，找一找三个三角形面积之间的关系并推出一般直角三角形三边的关系。

3，教师几何画板演示：无论如何改变直角三角形的三边的大小，都始终存在着这种关系。

4，勾股定理（毕达哥拉斯定理）文字语言：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

符号语言：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ， 斜边为c ，那么(三）巩固练习思考：使用勾股定理有哪些需要注意的呢？a b c2、在Rt △ABC 中，如果两条直角边的长分别为3和4，求第三边的长？ 变式：Rt △ABC 中，已知两条边长分别为3和4，求第三边的长？1，适用范围（条件）：直角三角形。