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2016_2017学年高中数学第2章变化率与导数章末高效整合课件

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高二数学课件第二章第11讲变化率及导数导数计算

高二数学课件第二章第11讲变化率及导数导数计算
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
【思路点拨】 求曲线的切线方程方法 是通过切点坐标，求出切线的斜率，再 通过点斜式得切线方程．
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
【解】 (1)∵P(2,4)在曲线 y＝13x3＋43上， 且 y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为：y′|x＝ 2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4 ＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
互动探究 1．把(1)改为：若曲线y＝x2＋ax＋b在 点(0，b)处的切线平行于x－y＋1＝0， 则a＝________. 解析：∵y′＝2x＋a.∴y′|x＝0＝a＝1,∴a ＝1. 答案：1
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点4 导数几何意义的应用
例4 已知曲线 y＝13x3＋43. (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为 1 的曲线的切线方程．
的倾斜角 α 为( )
A.π6
B.34π
C.π4
D.π3
解析：选 B.∵y′＝x2－2x，∴k＝y′|x＝
1＝12－2×1＝－1，
即 tanα＝－1, ∴α＝34π，故选 B.
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用
3．曲线C：f(x)＝sinx＋xex＋2在x＝0 处的切线方程为________． 解析：f′(x)＝cosx＋ex＋xex，∴在x ＝0处的切线斜率k＝f′(0)＝cos0＋e0 ＝ 2. 又 切 点 坐 标 为 (0,2) ， ∴ 切 线 方 程 为y＝2x＋2. 答案：y＝2x＋2
栏目 导引
第二章 基本初等函数、导数及其应用

1.1.2《变化率与导数-导数的概念》课件4(16张PPT)(人教A版选修2-2)

1.1.2《变化率与导数-导数的概念》课件4(16张PPT)(人教A版选修2-2)

(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
s
(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式，得:
v 2.005g 20.05m / s.
__
( 3)当t 0,2 t 2, 从而平均速度 v 的极限为： __ s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
s
(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式，得:
v 2.005g 20.05m / s.
__
( 3)当t 0,2 t 2, 从而平均速度 v 的极限为： __ s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
1 2 ( E mv ) 2
s 25t 3t 2 v lim lim lim (25 3t ) 25 x 0 t x 0 x 0 t 1 2 1 E mv 10 252 3125( J ) 2 2
小结：
• 1求物体运动的瞬时速度：
x 0
y x
y x
练习：
• (1)求函数y=
• (2)求函数y=
在x=1 x 处的导数.
4 的导数 . 2 x
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒 ）存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
（1）求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则课

高中数学第二章变化率与导数2.4导数的四则运算法则课
§2.4 导数的四则运算法则
学习目标
思维脉络
1.能够掌握导数的四
则运算法则,并清楚四 则运算法则的适用条
件.
2.会运用运算法则则求导.
导数的运算法则
(1)函数的和差的导数:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
(2)函数的乘积的导数:[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( × ) (2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立. ( × ) (3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( √ ) (4)[c·f(x)]'=c·f'(x). ( √ )
特别地,当g(x)=k时,有[kf(x)]'=kf'(x).
(3)函数的商的导数:
������(������) ������(������)
'=������'(������)������(������������2)-(������������()������)������'(������)(g(x)≠0).
探究一
探究二
思维辨析
解:(1)y'=(xtan x)'=x'tan x+x(tan x)'
=tan
x+x·co1s2������
=
sin������·cos������+������ cos2������

高中数学 第2章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修22

高中数学 第2章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修22

(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0＋1 Δx－x10 Δx
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0－x0＋ΔxΔx Δx
＝Δlxi→m 0 1＋x0x－0＋1Δx＝1－x120，
又∵g′(x0)＝34，∴1－x102＝34， ∴x20＝4，∴x0＝2或－2.
利用导数求切线方程
已知曲线y＝
1 3
通常分三步：
(1)计算函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值ΔΔyx；
(3)计算上述增量的比值在Δx→0时的极限，就是该函数在
x0点的导数，即f′(x0)＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0源自fx0＋Δx－fx0 Δx
.这
三步简称为：一差，二比，三极限．
1．已知函数f(x)在x＝a处可导，则 hl→ima
fh－fa h－a
等于

高中数学课件-第二章 变化率与导数 章末归纳总结 课件(北师大版选修2-1)

高中数学课件-第二章 变化率与导数 章末归纳总结 课件(北师大版选修2-1)

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
求曲线的切线方程
①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在 点P(x0，f(x0))处切线的斜率；
②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程 为y＝y0＋f′(x0)(x－x0)；
③如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此 时导数不存在)，由切线定义可知，切线方程为x＝x0.
所以4－13a3－43＝a2(2－a)， 解之得 a＝2 或 a＝－1. 当 a＝2 时，切点为(2,4)，切线方程为 y＝4x－4. 当 a＝－1 时，切点坐标(－1,1)，切线方程 y＝x＋2.
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即时 训 练
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导数的物理意义
已知一个质量为 1 的物体的运动方程是 s(t)＝3t2 －t＋2.试求物体在 t＝10 时的：(1)瞬时速度；(2)加速度；(3) 动量；(4)动能．
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一、选择题
1．(2013·全国大纲文，10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在
点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝( )
A．9
B．6
C．－9
D．－6
[答案] D [解析] y′＝4x3＋2ax，y′|x＝－1＝－4－2a＝8， ∴a＝－6.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-2
mv2
，
所

2016_2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1导数的概念2.2.2导数的几何意义课件北师大版选修

2016_2017学年高中数学第二章变化率与导数2.2.1导数的概念2.2.2导数的几何意义课件北师大版选修

当切点为－23，4297时，有4297＝4×－23＋a， ∴a＝12271. 当切点为(2，3)时，有 3＝4×2＋a， ∴a＝－5. 因此切点坐标为－23，4297或(2，3)， a 的值为12271或－5.
【提示】 不一定.切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置， 在其他地方可能还有一个或多个公共点.
探究 3 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程与过某点(x0，y0)的曲线的切线 方程有何不同？
【提示】 曲线 f(x)在点(x0，f(x0))处的切线，点(x0，f(x0))一定是切点，只要 求出 k＝f′(x0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x0，y0)的曲线 f(x)的切线， 给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点.
求曲线在某点处切线的方程
已知曲线 C：f(x)＝13x3＋43. (1)求曲线 C 在横坐标为 2 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
【精彩点拨】 (1)先求切点坐标，再求 f′(2)，最后利用导数的几何意义写 出切线方程.
(2)将切线方程与曲线 C 的方程联立求解.
【答案】
(1)A
1 (2)2
(3)∵f(x)＝2x2＋4x， ∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3) ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx. ∴Δ Δyx＝2（Δx）Δ2x＋16Δx＝2Δx＋16. 当Δx→0 时，Δ Δyx→16，∴f′(3)＝16.
[再练一题] 1.若 f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则 x0 的值是( )
A.1 C.±1
B.－1 D.3 3

高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大选修2_2


=
������(������0
+
������)-������(������0) ������
,曲线割线的斜率就是函数的平均
(2)切线的斜率.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为
直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线
AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 切线AD的斜率.
1.导数的概念
定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到
f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
������ ������
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+ΔΔ������������)-������(������0),
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那
么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变
化率为函数y=f(x)在x0点的导数.
计算公式:f'(x)= lim
������ 1 →������ 0
f(xx11)--fx(0x0)=������������x������→������0
§2.2 导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,体会由平 均变化率过渡到瞬时变化
率的过程,了解导数概念建 立的背景. 2.理解瞬时变化率的含义, 并知道瞬时变化率就是导
数. 3.会求函数 f(x)在某一点 x0 处的导数. 4.理解导数的几何意义,并 能利用几何意义解决相关
问题. 5.会求与导数相关的切线 问题.

高中数学 第二章 变化率与导数 2.2.1 导数的概念 2.2.2 导数的几何意义课件 北师大版选


提示：在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lx im 0f(x0－ 或－ xf )′－ x (xf0)=x0
lim
f
x
f
x0
.
xx0 x－x0
28
【类题·通】
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率 yf(x0x)fx0.
47
(1)求直线l1，l2的方程. (2)求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积.
48
【思维·引】1.设出切点的坐标，利用导数在切点处的 导数值即为切线的斜率求解. 2.(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出 两直线的方程；(2)解方程组求出两直线的交点坐标， 利用三角形的面积公式求解.
36
【解析】将x=1代入曲线C的方程得y=1，即切点
P(1，1).
因为f′(1)=
limy＝ lim(1x)313
x x 0
x 0
x
＝ lim3x3(x)2(x)3
x 0
x
=
l
xi[m30 +3Δx+(Δx)2]=3，
37
所以切线方程为y-1=3(x-1)， 即3x-y-2=0.
38
【素养·探】 求曲线在某点处的切线方程通常应用的数学核心素养 是数学运算，一般要根据导数的定义求出函数的导数， 即所求切线的斜率，然后利用直线的点斜式方程求切 线的方程. 本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？
59
2.面积问题三类型 (1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类 问题，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计 算.

高中数学第2章变化率与导数章末高效整合课件


数学 D 选修2-2
第二章 变化率与导数
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
(3)求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系， 选好中间变量．
(4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练后， 中间步骤可省略．
3．导数的几何意义 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在x＝x0 处的切线的斜率． (2)导数的几何意义中的x0是曲线上的切点的横坐标，这一 点必须明确．
(3)已知切线斜率k＝－
1 4
，设出切点坐标
x0，x10 ，先求切
点坐标，再求切线方程．
数学 D 选修2-2
第二章 变化率与导数
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
[规范解答] ∵y＝1x，∴y′＝－x12. (1)∵点P(1,1)在y＝1x上， ∴k＝y′|x＝1＝－112＝－1. ∴在点P(1,1)处的切线方程为：y－1＝－(x－1)． ∴切线方程为：x＋y－2＝0.
数学 D 选修2-2
第二章 变化率与导数
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此 求曲线的切线关键是求函数的导数．
已知曲线y＝1x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；
数学 D 选修2-2
第二章 变化率与导数
知能整合提升
热点考点例析
阶段质量评估
(2)∵点Q(1,0)不在曲线y＝1x上，可设切点为Ax0，x10， ∴在A点处的切线方程为：y－x10＝－x102(x－x0)． ∴切线方程为：y＝－x120x＋x20. 又∵切线过点Q(1,0)， ∴－x120＋x20＝0， ∴2x0－1＝0，∴x0＝12. ∴切线方程为y＝－4x＋4.

高中数学第二章变化率与导数2.2导数的几何意义2.2.1导数的概念课件北师大版选修2_2


D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
2已知函数f(x)=5-7x,则f'(2)为( ) A.5 B.7 C.-7 D.-9 答案:C
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
= lim
Δ������→0
-
������(������0-������)-������(������0) ������
=
lim
Δ������→0
������[������0
+
(-������)]-������(������0) -������
=
−2.
答案:-2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
位:s)的函数,且y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它
的实际意义.
解:根据导数的定义,得
������ ������
=
������(2+������)-������(2) ������
=
3(2+Δ������)-3×2 Δ������
=
3.
所以
f'(2)=
=
������(������1)-������(������0) ������1-������0
=
������(������0+������)-������(������0) ������
.
当������1 趋于������0, 即 Δ������趋于 0 时, 如果平均变化率趋于一个固定的值,
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1 1 ∴在A点处的切线方程为：y－x ＝－x2(x－x0)． 0 0 1 2 ∴切线方程为：y＝－x2x＋x . 0 0 又∵切线过点Q(1,0)， 1 2 ∴－x2＋x ＝0， 0 0 1 ∴2x0－1＝0，∴x0＝2. ∴切线方程为y＝－4x＋4.
1 (3)设切点坐标为Bx1，x ， 1
章末高效整合
知能整合提升
1．对于求导数，要熟记公式、掌握规则、灵活应用 (1)常用的导数公式有： ①c′＝0(c为常数)； ②(xα)′＝αxα－1(α是实数)； ③(sin x)′＝cos x； ④(cos x)′＝－sin x； ⑤(ex)′＝ex；
⑥(ax)′＝axln a(a＞0，且a≠1)；
答案： D
导数的几何意义
函数 y ＝f(x) 在点 x0 处的导数 f′(x0) 就是曲线 y ＝ f(x) 在点 (x0 ， f(x0))处切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此
求曲线的切线关键是求函数的导数．
1 已知曲线y＝ x. (1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； 1 (3)求满足斜率为－4的曲线的切线方程．
f f′g－fg′ 求导数，即(fg)′＝f′g＋fg′， g ′＝ .(3)可利用复 2 g
合函数的求导法则y＝f[g(x)]，u＝g(x)，y′＝f′(u)· g′(x)．
求下列函数的导数． (1)y＝(x－2)(x2＋2x＋4)； ln x (2)y＝cos x－2x； (3)y＝sin x· cos x.
所以，所围成的三角形的面积为定值2.
4 ．已知函数 f(x) 是关于 x 的二次函数， f′(x) 是 f(x) 的导函 数，又对一切x∈R都有x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1成立，求函数f(x)
的解析式．
解析： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c) ＝(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1， a－b＝0 ∴b－2c＝0， c＝1 a＝2 解得b＝2， c＝1
立关于a、b的方程组，解方程组确定a，b从而得到f(x)的解析 式． (2)设曲线上任一点坐标(x0，y0)，表示出该点的切线方 程，然后证明三角形的面积与点(x0，y0)无关 .
[规范解答]
1 (1)f′(x)＝a－ ， x＋b2
则依题意f′(2)＝0，f(2)＝3. 2a＋ 1 ＝3 2＋b 于是 a－ 1 ＝0， 2 2＋b 9 a＝4 a＝1 解得 或 b＝－1 b＝－8 3
Байду номын сангаас
2．已知曲线y＝2 x＋1，问在此曲线上哪一点处的切线与 直线y＝－2x＋3垂直？ 1 解析： y′＝ ，设所求点为P(x0,2 x0＋1)， x
1 则在点P处的切线斜率k＝ ， x0 1 由题意得 · (－2)＝－1，即x0＝4， x0 因此所求点为P(4,5)．
求函数的导数
求函数的导数的方法：(1)要熟记基本初等函数的八个导 1 数公式，特别是y＝logax，y＝cos x的导数是y′＝xln a，y′＝ －sin x．(2)要掌握和差积商的求导法则，特别是积、商的函数
[思维点击]
1 (1)点P在曲线y＝x 上，则切线斜率k＝y′|x＝1.
1 (2)点Q不在曲线y＝ x 上，则应设出切点坐标(x0，y0)．再由 x0表示出切线方程，求出x0，再求切线方程．
1 1 (3)已知切线斜率k＝－ 4 ，设出切点坐标 x0，x ，先求切 0
点坐标，再求切线方程．
1 ⑦(ln x)′＝ x(x＞0)； 1 ⑧(logax)′＝xln a(x＞0，a＞0，且a≠1)； 1 ⑨(tan x)′＝cos2x； 1 ⑩(cot x)′＝－sin2x.
(2)导数的运算法则有： ①(u± v)′＝u′± v′； ②(u· v)′＝u′· v＋u· v′；
u u′· v－u· v′ ③ v ′＝ (v≠0)． 2 v
(3)方法一：y′＝(sin x)′cos x＋sin x· (cos x)′ ＝cos2x－sin2x＝cos 2x. 1 方法二：∵y＝sin xcos x＝2sin 2x， 1 ∴y＝2sin u，u＝2x， 1 ∴y′＝2cos 2x· 2＝cos 2x.
3．求下列函数的导数． (1)y＝ ax2＋bx＋c； (2)y＝e－ax2＋bx； (3)y＝ 1＋ln2x. 3
Δx－2Δx＋1＋2 ＝Δlim x→0 Δx1＋Δx Δx2－Δx ＝Δlim x→0 Δx1＋Δx Δx－1 ＝Δlim x→0 1＋Δx＝－1. ∴f′(1)＝－1.
2 方法二：∵f(x)＝x＋x ， 2 ∴f′(x)＝1－x2. ∴f′(1)＝1－2＝－1. 后者是我们求函数在某一点x0处导数的常用方法．
x0 ＋1 令x＝1，得y＝ ， x0 －1
x0＋1 即切线与直线x＝1的交点为1， ； x － 1 0
令y＝x，得y＝2x0－1， 即切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)； 又直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为
1 1 x0＋1 2 －1|2x0－1－1|＝ x －1|2x0－2|＝2. 2 2 0 x － 1 0
[规范解答]
1 1 ∵y＝x ，∴y′＝－x2.
1 (1)∵点P(1,1)在y＝x 上， 1 ∴k＝y′|x＝1＝－12＝－1. ∴在点P(1,1)处的切线方程为：y－1＝－(x－1)． ∴切线方程为：x＋y－2＝0.
1 1 (2)∵点Q(1,0)不在曲线y＝ x上，可设切点为Ax0，x ， 0
2．复合函数的求导法则 设y＝f(u)，u＝g(x)，则y′＝f′(u)·g′(x)． 运用复合函数的求导法则y′x＝y′u·u′x，应注意以下几 点： (1)利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变 量的函数，层层剥皮． (2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能
混淆，一直计算到最后，常出现如下错误，如(cos 2x)′＝－
[思维点击] 导公式．
根据函数形式，运用导数运算法则，选择求
[规范解答]
(1)方法一：y′＝(x－2)′(x2＋2x＋4)＋(x－
2)(x2＋2x＋4)′＝x2＋2x＋4＋(x－2)(2x＋2)＝3x2. 方法二：∵y＝(x－2)(x2＋2x＋4)＝x3－8，∴y′＝3x2. ln x′· cos x－ln x· cos x′ x (2)y′＝ －2 · ln 2 cos2x 1 ln x x cos x＋sin x· x ＝ － 2 · ln 2 2 cos x 1 sin x ＝xcos x＋cos2xln x－2xln 2.
.
1 因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋ . x－1
1 (2)证明：在曲线上任取一点x0，x0＋x －1 ， 0
1 由f′(x0)＝1－ ，知在此点处的切线方程为 x0－12
1 x2 0－x0＋1 y－ ＝1－x －12 (x－x0)． x0 －1 0
∴f(x)的解析式为f(x)＝2x2＋2x＋1.
1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围 成的三角形的面积为( 1 A.3 2 C.3 ) 1 B.2 D．1
解析：
∵y′＝－2e
－2x
，∴k＝f′(0)＝－2.
∴切线方程为y＝－2x＋2. 2 x＝3 y ＝ x 由 ，得 y＝－2x＋2 y＝2 3 1 2 1 ∴S＝2×1×3＝3，故选A.
解析：
1 (1)y＝u3
，u＝ax2＋bx＋c.
1 －2 y′＝yu′· ux′＝3u 3 · (2ax＋b) 1 2 ＝3(ax ＋bx＋c) 3
－
2 3
· (2ax＋b)
2ax＋b ax2＋bx＋c ＝ . 3ax2＋bx＋c (2)y＝eu，u＝－ax2＋bx. y′＝yu′· ux′＝eu· (－ax2＋bx)′ ＝eu· (－2ax＋b)＝e－ax2＋bx(－2ax＋b)．
sin 2x，实际上应是－2sin 2x.
(3)求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系， 选好中间变量． (4)开始学习求复合函数的导数要一步步写清楚，熟练后， 中间步骤可省略． 3．导数的几何意义 (1) 函数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处的导数，就是曲线 y ＝ f(x) 在x ＝ x0 处的切线的斜率．
fx0＋Δx－fx0－2Δx 1．设f(x)在点x0处可导，则 Δlim ＝ x→0 Δx ( ) A．f′(x0) C．－2f′(x0) B．－f′(x0) D．3f′(x0)
解析：
∵导数的求法是求变化率的极限，而函数值的差
f(x0＋Δx)－f(x0－2Δx)是函数y＝f(x)在区间[x0－2Δx，x0＋Δx]上 的函数值的改变量，而相应自变量的改变量为x0＋Δx－(x0－ 2Δx)＝3Δx. fx0＋Δx－fx0－2Δx ∴f′(x0)＝Δlim x→0 x0＋Δx－x0－2Δx fx0＋Δx－fx0－2Δx ＝Δlim . x→0 3Δx fx0＋Δx－fx0－2Δx ∴Δlim ＝3f′(x0)． x→0 Δx
1 则切线的斜率为k＝－x2. 1 1 1 又∵－x2＝－4，∴x2 1＝4， 1 ∴x1＝2或－2，
1 1 ∴切点为B12，2或B2－2，－2，
1 1 ∴切线方程为：y－2＝－4(x－2)， 1 1 或y＋2＝－4(x＋2)， 1 1 ∴切线方程为：y＝－4x＋1或y＝－4x－1.
观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关 系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分 析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析 数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解