(浙江专用)2019-2020学年高中数学 课时跟踪检测(十)等比数列的概念及通项公式 新人教A版必修5

课时跟踪检测（十）等比数列的概念及通项公式层级一　学业水平达标1．如果数列{a n}是等比数列，那么( )2nA．数列{a}是等比数列B．数列{2a n}是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列解析：选A　利用等比数列的定义验证即可．2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{a n}中，当a n＝64时，项数n等于( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选D　因为a n＝a1q n－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.3．若{a n}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为( )A．0B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2解析：选C　设等比数列的公比为q，由2a4＝a6－a5得，2a4＝a4q2－a4q，∵a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.4．等比数列{a n}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若a m＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )A．9B．10C．11 D．12解析：选C　51∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，a m＝a1q m－1＝－q m－1，∴－q10＝－q m－1，∴10＝m－1，∴m＝11.5．等比数列{a n}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则a n等于( )A．(－2)n－1B．－(－2n－1)C．(－2)n D．－(－2)n解析：选A　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故a n＝(－2)n－1.26．已知{a n}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3等于________．22解析：由已知得a4＝a1q3，∴q3＝2，即q＝，2∴a3＝a1q2＝1×()2＝2.答案：27．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且a 1＋a 2＋a 3＝21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1.答案：4n －18．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)(n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是________．解析：由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1；　①当n ≥3时，a n －1＝2S n －2， ②①－②整理得＝3(n ≥3)，anan －1∴a n ＝Error!答案：a n ＝Error!9．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解：设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16.设后三个数分别为，b ，bq ，则有bq ·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20，bq ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝＝25.20216即所求的四个数分别为12,16,20,25.10．已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1＝3(n ＋1)a n ，b n ＝(n ∈N *)．ann (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由．解：(1)由题得a n ＋1＝a n ，3(n ＋1)n将n ＝1代入，得a 2＝6a 1，而a 1＝2，∴a 2＝12，将n ＝2代入，得a 3＝a 2，∴a 3＝54，92∴b 1＝＝2，b 2＝＝6，b 3＝＝18.a 11a 22a 33(2){b n }是首项为2，公比为3的等比数列．由题得＝3×，即b n ＋1＝3b n ，an ＋1n ＋1ann 又∵b 1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为3的等比数列．层级二　应试能力达标1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，则a 2 019＝( )A ．32 019＋1 B ．32 019－1C ．32 019－2D ．32 019＋2解析：选B ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．∵a 1＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是首项，公比均为3的等比数列，∴a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1，∴a 2 019＝32 019－1.故选B.2．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，a 3，a 1成等差数列，则的值为( )12a 3＋a 4a 4＋a 5A. B.5＋125－12C.D.或1－525＋121－52解析：选B 设{a n }的公比为q (q >0，q ≠1)，根据题意可知a 3＝a 2＋a 1，∴q 2－q －1＝0，解得q ＝或q ＝(舍去)，则＝＝.故选5＋121－52a 3＋a 4a 4＋a 51q 5－12B.3．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，14，1214，，3438316…记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为( )A. B.11618C.D.51654解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a 51＝＋(5－1)×＝.又1414141454因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，54公比为的等比数列，所以a 53＝×2＝.1254(12)5164．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.解析：设公比为q ，则＝q 10＝，＝q 90＝(q 10)9＝9，故a 99＋a 100＝a 19＋a 20a 9＋a 10b a a 99＋a 100a 9＋a 10(ba )9(a 9＋a 10)＝.(b a )b 9a 8答案：b 9a 85．若等比数列{a n }{a n ∈R}对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝2，那么2a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a n ＝q n .因为a 3＝q 3＝2，所以a 12＝q 12＝64.2答案：646．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________.120.51abc解析：由表格知，第一行构成以1为首项，为公差的等差数列，所以第一行第四个数12为，第五个数为3.第三列构成以2为首项，为公比的等比数列，所以a ＝.同理，521212b ＝，c ＝，所以a ＋b ＋c ＝1.516316答案：17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1.an ＋1an8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n .。

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。

第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q . (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k，…为等比数列，公比为q k . [小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1，a 2，a 3，a 4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B2．(2018·台州模拟)已知等比数列{a n }各项都是正数，且a 4－2a 2＝4，a 3＝4，则a n ＝________；S 10＝________.解析：设公比为q ，因为a 4－2a 2＝4，a 3＝4， 所以有4q －8q ＝4，解得q ＝2或q ＝－1. 因为q ＞0，所以q ＝2.所以a 1＝a 3q 2＝1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1.所以S 10＝1－2101－2＝210－1＝1 023.答案：2n －1 1 0233．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，则a 3＝______；S 5＝_________. 答案：9 1211．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)，但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16，∴a 5＝±4，又∵a 5＝a 3q 2＞0，∴a 5＝4. 2．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________. 答案：－12或1考点一 等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·绍兴模拟)等比数列{a n }的公比为2，前n 项和为S n .若1＋2a 2＝S 3，则a 1＝( ) A .17B.15C.13D ．1解析：选C 由题可得，1＋4a 1＝a 1＋2a 1＋4a 1，解得a 1＝13.2．(2018·杭二中仿真)各项都是正数的等比数列{a n }中，若a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( ) A.5＋12B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，由a 2，12a 3，a 1成等差数列可得a 3＝a 2＋a 1，所以有q 2－q －1＝0，解得q ＝5＋12(负值舍去)．所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想1．(2019·浙北联考)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：选C 因为q ＝2，所以S 4a 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2＝1＋q ＋q 2＋q 3q ＝1＋2＋4＋82＝152. 2．(2018·宁波模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＝14，a 2a 8＝4(a 5－1)，则a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8的值为( )A ．20B ．31C ．62D ．63解析：选B 因为a 2a 8＝a 25＝4(a 5－1)，解得a 5＝2.所以q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．(2018·杭州二检)设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________.解析：由题可得，设数列{a n }的公比为q (q ＞0，q ≠1)，根据题意可得a 1(1－q 4)1－q ＝80，a 1(1－q 2)1－q＝8，解得a 1＝2，q ＝3，所以a 5＝a 1q 4＝2×34＝162. 答案：3 162考点二 等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](2018·衢州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．证明：因为S n ＋1＝4a n ＋2， 所以S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，又a 1＝1，所以a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3， 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2. 所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝4a n －4a n －1. 因为b n ＝a n ＋1－2a n ， 所以当n ≥2时，b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2. 所以{b n }是以3为首项，2为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·宁波模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7. 由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2， 所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝5，则S 8S 4＝________.解析：由题可得，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4，S 8－S 6成等比数列，因为S 4S 2＝5，不妨设S 2＝1，则S 4＝5，所以S 4－S 2＝4， 所以S 8＝1＋4＋16＋64＝85，所以S 8S 4＝855＝17.答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类1．(2018·诸暨模拟)已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20.则该数列的前9项和为( )A ．50B ．70C ．80D ．90解析：选B 由等比数列的性质得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，由S 3＝40，S 6－S 3＝20，知公比为12，故S 9－S 6＝10，S 9＝70.2．(2018·浙江联盟模拟)已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝________；a 4的最大值为________．解析：因为a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25，所以a 3＋a 5＝5，所以a 3＋a 5＝5≥2a 3a 5＝2a 4，所以a 4≤52.即a 4的最大值为52.答案：552一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·舟山模拟)已知x ，y ，z ∈R ，若－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3解析：选C 因为－1，x ，y ，z ，－3成等比数列，由等比数列的性质及等比中项可知，xz ＝3，y 2＝3，且y 与－1，－3符号相同，所以y ＝－3，所以xyz ＝－3 3.2．(2019·湖州六校联考)已知等比数列的前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为( )A ．66B ．64C ．6623D ．6023解析：选D 因为等比数列中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，所以54(S 3n －60)＝36，解得S 3n ＝6023.3．(2018·金华十校联考)在等比数列{a n }中，已知a 7a 12＝5，则a 8a 9a 10a 11的值为( ) A ．10 B ．25C ．50D ．75解析：选B 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5，所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25.4．(2018·浙江名校协作体测试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n ，均有S n ＋3＝8S n ＋3，则a 1＝_________，公比q ＝________.解析：因为S n ＋3＝8S n ＋3，所以当n ≥2时，S n ＋2＝8S n －1＋3，两式相减，可得a n ＋3＝8a n ，所以q 3＝8，解得q ＝2；当n ＝1时，S 4＝8S 1＋3，即15a 1＝8a 1＋3，解得a 1＝37.答案：3725．(2018·永康适应性测试)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n ＋n ，则a 1＝______，数列{a n }的通项公式a n ＝_______.解析：因为S n ＝2a n ＋n ，所以当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1＋1，所以a 1＝－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1，即a n ＝2a n －1－1，即a n －1＝2(a n －1－1)，所以数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以a n －1＝－2n ，所以a n ＝1－2n .答案：－1 1－2n二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·浙大附中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1＝pS n ＋q (n ∈N *，p ≠－1)，则“a 1＝q ”是“{a n }为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为a n ＋1＝pS n ＋q ，所以当n ≥2时，a n ＝pS n －1＋q ，两式相减得a n ＋1－a n ＝pa n ，即当n ≥2时，a n ＋1a n ＝1＋p .当n ＝1时，a 2＝pa 1＋q .所以当a 1＝q 时，a 2a 1＝1＋p ，满足上式，故数列{a n }为等比数列，所以是充分条件；当{a n }为等比数列时，有a 2＝pa 1＋q ＝(1＋p )a 1，解得a 1＝q ，所以是必要条件，从而选C.2．(2019·乐清模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *)，则S 6＝( ) A ．44 B ．45 C.46－13D.45－13解析：选B 因为a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＝S n ＋1－S n ，所以S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝1，公比为4的等比数列，所以S 6＝45.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15解析：选A ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺，则x (1－25)1－2＝5，得x ＝531，∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n －1)≥30，得2n ≥187，则n 的最小值为8.5．(2019·金华模拟)设A n ，B n 分别为等比数列{a n }，{b n }的前n 项和．若A n B n ＝12n ＋1，则a 7b 3＝( ) A.19 B.12763 C.43D.1312解析：选C 由题意知，A n B n＝12n ＋1，令A n ＝k (2n －1)，k ≠0，则B n ＝A n ·(2n ＋1)＝k (2n－1)(2n ＋1)＝k (4n －1)．所以a 7＝A 7－A 6＝k (27－1)－k (26－1)＝64k ，b 3＝B 3－B 2＝k (43－1)－k (42－1)＝48k ，所以a 7b 3＝64k 48k ＝43.6．(2018·超级全能生模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 1，S 2,5成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，S n ＝_________.解析：由题可得，2S 2＝2(1＋q )＝1＋5＝6，所以q ＝2，所以S n ＝1－2n1－2＝2n －1.答案：2 2n －17．(2018·慈溪中学)在正项等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 1＋a 3＋a 5＝21，则q ＝________；a 3＋a 5＋a 7的值为________．解析：设公比为q .则由a 1＝1，a 1＋a 3＋a 5＝21可得q 4＋q 2－20＝0，解得q 2＝4，所以q ＝±2.因为q ＞0，所以q ＝2.所以a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝4×21＝84.答案：2 848．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2 018积数列”，且a 1＞1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为________．解析：由题可知a 1a 2a 3·…·a 2 018＝a 2 018， 故a 1a 2a 3·…·a 2 017＝1，由于{a n }是各项均为正数的等比数列且a 1＞1， 所以a 1 009＝1，公比0＜q ＜1，所以a 1 008＞1且0＜a 1 010＜1，故当数列{a n }的前n 项的乘积取最大值时n 的值为1 008或1 009.答案：1 008或1 0099．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)得a n ＝n ， ∴b n ＝2n ，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.10．(2019·舟山模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋1，n 为奇数，a 4＝52，若b n ＝a 2n －1－1(b n ≠0)．(1)求a 1；(2)求证：{b n }是等比数列；(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 2n . 解：(1)因为a 4＝52，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋1，n 为奇数，所以a 3＝a 4－1＝32，由a 3＝12a 2，得a 2＝3，所以a 1＝a 2－1＝2.(2)证明：当n ≥2时，b n b n －1＝a 2n －1－1a 2n －3－1＝12a 2n －2－1a 2n －2－2＝12，当n ＝1时，b 2b 1＝a 3－1a 1－1＝12满足上式，故数列{b n }是首项为1，公比为12的等比数列．(3)因为b n ＝a 2n －1－1， 所以a 2n －1－1＝⎝⎛⎭⎫12n －1， 所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1＋1， 所以a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝2－12n －1＋n ，又因为a 2＝a 1＋1，a 4＝a 3＋1，……，a 2n ＝a 2n －1＋1， 所以S 2n ＝2(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋n ＝4－12n －2＋3n .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知数列{a n }，{b n }，其中{a n }是首项为3，公差为整数的等差数列，且a 3＞a 1＋3，a 4＜a 2＋5，a n ＝log 2b n ，则{b n }的前n 项和S n 为( )A ．8(2n －1)B ．4(3n －1) C.83(4n －1)D.43(3n －1) 解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意可知：3＜2d ＜5，所以d ＝2.所以a n ＝2n ＋1＝log 2b n ，所以b n ＝22n ＋1，所以数列{b n }是首项为8，公比为4的等比数列，所以前n 项和S n ＝83(4n －1)．2．(2018·浙江十校联考)已知数列{a n }满足a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *. (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等比数列； (2)是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且a m －1，a s －1，a t －1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，所以1a n ＋1＝13a n ＋23， 所以1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1. 因为a 1＝35，则1a 1－1＝23. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列． (2)由(1)知，1a n －1＝23×⎝⎛⎭⎫13n －1＝23n ，所以a n ＝3n 3n ＋2. 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋t ＝2s ，(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1). 由a n ＝3n3n ＋2与(a s －1)2＝(a m －1)(a t －1)， 得⎝⎛⎭⎫3s 3s ＋2－12＝⎝⎛⎭⎫3m 3m ＋2－1⎝⎛⎭⎫3t3t ＋2－1. 即3m ＋t ＋2×3m ＋2×3t ＝32s ＋4×3s . 因为m ＋t ＝2s ，所以3m ＋3t ＝2×3s .因为3m ＋3t ≥23m ＋t ＝2×3s ，当且仅当m ＝t 时等号成立， 这与m ，s ，t 互不相等矛盾．所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．。

课时跟踪检测（五） 数列的概念与简单表示法A 级——学考水平达标1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式． 其中正确的是( )A ．①B ．①②C ．③④D ．②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1n 是递增数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋(－1)nn 是摆动数列 解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列．3．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 5．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.6．已知数列 2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7， ∴25是该数列的第7项． 答案：77．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________． 解析：a ＝a ＋b 2＋a －b2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2. 答案：a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 28．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：99．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，________，512，13，…； (2)53，________，1715，2624，3735，…； (3)2,1，________，12，…；(4)32，94，________，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ________ 512 412于是应填612，而分子恰为10减序号，故应填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填108， 通项公式为a n ＝(n ＋1)2＋1(n ＋1)2－1. (3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，________，4116，…，所以应填318，数列的通项公式为a n＝n ＋12n .10．数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，∴a 2＝2a 1＋a ，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a＝4a 1＋3a ，同理：a 4＝8a 1＋7a ，观察规律：a n ＝2n －1·a1＋(2n －1－1)a. B 级——高考能力达标1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( ) A.n n ＋2B.nn ＋3C.n ＋1n ＋2 D.n ＋1n ＋3解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝nn ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. 2．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋1n 2＋n (n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n －1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D A 项中a 1＝32，B 项中a 1＝14，C 项中a 1＝13，D 项中a 1＝1，因此首先排除A 、B 、C ，故选D.3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( ) A ．3n －1 B ．3n C ．3n ＋1D ．3(n ＋1)解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N *)，则 (1)这个数列的第4项是________；(2)65是这个数列的第________项．解析：(1)由a 4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12； (2)由a n ＝n 2－4n －12＝65，得n ＝11或n ＝－7(舍去)， ∴65是第11项． 答案：(1)－12 (2)116．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n＋q (p ，q ∈R)，且a 1＝－12，a 2＝－34.(1)求{a n }的通项公式； (2)－255256是{a n }中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵a n ＝p n＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1＝－255256，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．8．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． 解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解， 所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<1－33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。

2019-2020年高中数学 第二第9课时《等比数列的概念和通项公式》教案（学生版）苏教版必修5【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0） 注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛｝成等比数列=q （,q ≠0） ⑵ 隐含：任一项⑶______________时，{a n }为常数列. 2.等比数列的通项公式： ⑴ ______________________ ⑵ 3．既是等差又是等比数列的数列：_______． 4.等比中项的定义：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且 5．证明数列为等比数列： ⑴定义：证明=常数； ⑵中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或； 【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列： （１）１，１，１，１，１； （２）０，１，２，４，８； （３）1，，，，. 【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项： （１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，． 【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６； （２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ． 【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列． 【解】追踪训练一1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…； （2）7，，，（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5， ，，.听课随笔2. 数列m ,m ,m ,…m , ( ) A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{}na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】【例6】已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列.【证明】【点评】 若｛a n ｝是等差数列，b n ＝b an 可以证明数列｛b n ｝为等比数列，反之若｛a n ｝为等比数列且a n ＞0，则可证明｛lg a n ｝为等差数列. 追踪训练二 1．在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于( ) A.48 B.72 C.144 D.192 2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n 等于___ __.3．已知等比数列{a n }的公比q =－,则=___ ___.4．已知数列｛a n ｝为等比数列，(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25， 求a 3＋a 5.(2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .2019-2020年高中数学第二讲参数方程本讲小结新人教A版选修4-4一、基本内容简介1．参数方程．2.几种常见曲线的参数方程及相应的普通方程： (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 普通方程：y －y 0＝tan α(x －x 0)或x ＝x 0.t 的几何意义：直线l 上任一点P (不同于M 点)为终点，M 为起点的有向线段MP 的长度．(2)以原点为圆心，半径为r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2＋y 2＝r 2.(3)中心在原点，长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦点在x 轴上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．(4)中心在原点，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦点在x 轴上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(5)顶点在原点，x 轴为对称轴，开口向右且焦点到准线的距离为p 的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p ＞0，t 为参数)． 普通方程：y 2＝2px (p ＞0)． (6)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)． (7)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)． 3．直线参数方程的一般形式及应用：过定点M (x 0，y 0)的直线l 的一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，其中t 为参数，a 、b 为常数且满足a 2＋b 2≠0.当a 2＋b 2＝1时，t 才具有几何意义．①求直线l 被二次曲线f (x ，y )＝0截得的弦长|PQ |. 将直线l 的参数方程代入曲线方程得到关于t 的二次方程：At 2＋Bt ＋C ＝0(A ≠0)， 则|PQ |＝a 2＋b 2·B 2－4AC|A |.②普通方程：当a ＝0时，x ＝x 0； 当a ≠0时，y －y 0＝b a(x －x 0)． 二、学习参数方程重点注意的几点1．关于参数方程的学习，首先要正确理解曲线的参数方程的概念，注意掌握课本中讲到的曲线的参数方程、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程(这三个内容新教材中也有)、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程．2．由于同学们对曲线的普通方程有着较深刻的理解和掌握，因此要善于消去参数，把参数方程化为普通方程，进而可以再研究曲线的几何性质．消去参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用消参的手段．3．参数方程的一个优点是曲线上的动点坐标(x，y)中的x和y分别用第三个变量t来表示，因此在利用参数方程解答数学问题时就可以消去x和y，转化为t的方程或t的函数问题了．4．参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参．5．参数既是刻画变化状态的工具，又是揭示问题中内在联系的媒介，确立参数思想是提高数学能力的重要环节，一些解析几何问题，适当地引进参数后，问题的难度明显降低．但参数方程只是曲线方程多种形式的一种，利用参数方程研究曲线或建立轨迹参数方程有它的简便之处，但也不是任何问题参数法就比其他解法优越，因此，复习中应要求恰当，既不能简单处理，也不宜要求过高．在求动点轨迹方程的综合问题中，常用参数法．其步骤为：(1)选参数并确定参数的取值范围；(2)建立参数与x、y的函数关系；(3)消参数并整理得普通方程．6．在选择参数时，要注意以下几点：(1)参数应与动点坐标x、y有直接关系，且x、y便于用参数表示．(2)选择的参数要便于使问题中的条件解析化．(3)对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x、y取值范围的制约．(4)若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消去参数得普通方程．7．提高利用转化解题的意识．建立曲线方程时，可先引入参数，建立起参数方程，再化为普通方程；同样地，在根据参数方程确定曲线的形状和研究性质时，又往往化为普通方程来求解．这一转化过程能降低解题难度，是一个有效的过程，在解题时应善于应用．。

课时跟踪检测（十）等比数列的概念及通项公式层级一学业水平达标1．2＋3和2－3的等比中项是( )A．1 B．－1C．±1 D．2解析：选C 设2＋3和2－3的等比中项为G，则G2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G＝±1.2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{a n}中，当a n＝64时，项数n等于( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选D 因为a n＝a1q n－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.3．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1＝9d，若a k是a1与a2k的等比中项，则k等于( ) A．2 B．4C．6 D．8解析：选B ∵a n＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.4．等比数列{a n}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若a m＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )A．9 B．10C．11 D．12解析：选 C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a51·q10＝－q10，a m＝a1q m －1＝－q m－1，∴－q10＝－q m－1，∴10＝m－1，∴m＝11.5．等比数列{a n}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则a n等于( )A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)C．(－2)n D．－(－2)n解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故a n＝(－2)n－1.6．等比数列{a n}中，a1＝－2，a3＝－8，则a n＝________.解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2.当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n；当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝－2×2n －1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝________.解析：由题设a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 1＋2a 2＝a 3，即q 2－2q －1＝0，所以q ＝2＋1，a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 81＋q a 61＋q＝q 2＝3＋2 2. 答案：3＋2 28．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．解析：依题意设原来的三个数依次为a q，a ，aq . ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4. ∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， ∴原来的三个数的和等于28. 答案：289．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解：设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为b q，b ，bq ，则有b q·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.10．已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，求a n .解：设等比数列{a n }的公比为q .依题意，知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＋4＝28， ∴a 3＝8，a 2＋a 4＝20，∴8q ＋8q ＝20，解得q ＝2或q ＝12(舍去)． 又a 1＝a 3q2＝2，∴a n ＝2n.层级二 应试能力达标1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14 B.12 C.18D ．1解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 22a 1＋a 2＝1q 2＝14.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＝13，a 5＝3，则a 3＝( )A ．1B ．3C ．±1D ．±3解析：选A 由a 5＝a 1·q 4＝3，所以q 4＝9，得q 2＝3，a 3＝a 1·q 2＝13×3＝1.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．607.5 B ．608 C ．607D ．159 解析：选C ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n －1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，14 12，14 34，38，316…记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为( ) A.116 B.18 C.516D.54解析：选C 第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以a 51＝14＋(5－1)×14＝54.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为54，公比为12的等比数列，所以a 53＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516. 5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －16．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，所求的数为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 3＝a 1＋2d ＝6，∴d ＝2，∴a 4＝8，a 5＝10，∵a 1＋m ，a 4＋m ，a 5＋m 成等比数列，∴(a 4＋m )2＝(a 1＋m )(a 5＋m )，即(8＋m )2＝(2＋m )(10＋m )，解得m ＝－11.答案：－117．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴数列{a n }是等比数列．8．已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，且a 2＝9，a 4＝81. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝log 3a n ，求证：数列{b n }是等差数列． 解：(1)求数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝9，a 4＝81.则q 2＝a 4a 2＝819＝9，又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3， 故通项公式a n ＝a 2qn －2＝9×3n －2＝3n ，n ∈N *.(2)证明：由(1) 知a n ＝3n，∴b n ＝log 3a n ＝log 33n＝n ，∴b n ＋1－b n ＝(n ＋1)－n ＝1(常数)，n ∈N *，故数列{b n }是一个公差等于1的等差数列．。

等比数列的定义（一）一．知识梳理1.等比数列的定义（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项都与它的前一项的_____都等于________.那么这个数列就叫做等比数列，这个_______叫做等差数列的_______,公比用字母_____表示.（2）等比数列的符号语言：在等比数列{}n a 中，如果_______________（*∈N n ）（或者q a a n n =-1,*∈≥N n n ,2） 2.等比数列的通项公式如果等比数列{}n a 的首项1a ，公比为q ，那么它的通项公式是________________.3.等比中项（1） 如果三个数b G a ,,成等比数列，那么_____叫做a 与b 的等比中项.且=G _________.（2）若11,,+-n n n a a a 成等比数列，则=⋅+-11n n a a _________.4.等比数列的性质：若数列{}{}n n b a ,分别是以21,q q 为公比的等比数列：（1）数列{}n a c ⋅是以公比为______的等比数列..（2）数列{}n a 2是以公比为______的等比数列.（3）数列{}n n b a ⋅是以公比为______的等比数列.二．预习自测1.下面四个数列：（1）;64,32,16,8,4,2,1,1 （2）在数列{}n a 中，已知;2,22312==a a a a （3）常数列;,,,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅a a a a （4）在数列{}n a 中，)0(1≠=+q q a a nn 其中一定是等比数列的是________.2.等比数列{}n a 满足0852=+a a ，则公比=q _________. A.2 B.2- C.2± D.33.已知等比数列{}n a 的公比为0>n a 2且，若16113=⋅a a ，则=5a _________.A.1B.2C.8D.44.在等比数列⋅⋅⋅++,66,33,x x x 的第四项为__________.A.24-B.0C.12D.245.已知等差数列{}n a 的公差为2,若842,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前n 项和=n S ____.A.)1(+n nB.)1(-n nC.2)1(+n nD.2)1(-n n 6.82是等比数列⋅⋅⋅,22,4,24的第_____项 A.10 B.11 C.12 D.137.在等比数列{}n a 中，.8,3253==a a（1）求n a ； （2）若,21=n a 求n .三．典例解析例一：在等差数列{}n a 中，公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，求1042931a a a a a a ++++的值.例二：若数列{}n a 为等比数列：（1）求证：),(*-∈=N m n q a a m n m n ； （2）,1,9,186352==+=+n a a a a a 求.n例三：有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数和第四个数的和为16，第二个数和第三个数和为12，求这四个数.例四：已知数列{}n a 的前n 项和为).1(31,-=n n n a S S 求证：数列{}n a 是等比数列并求.n a例五：已知数列{}n a 中，).2(12,111≥+==-n a a a n n（1）证明：数列{}1+n a 是等比数列; （2）求.n a。

4.3　等比数列4.3.1　等比数列的概念基础过关练题组一　等比数列的概念及其应用1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有( )①数列1,2,6,18,…;②数列{a n }中,已知a 2a 1=2,a 3a 2=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{a n }中,a n +1a n =q(q ≠0),其中n ∈N *.A.1个B.2个C.3个D.4个2.有下列四个说法:①等比数列中的某一项可以为0;②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;④若b 2=ac,则a,b,c 成等比数列.其中说法正确的个数为( )A.0B.1C.2D.33.(1)已知数列{a n }满足a 1=78,且a n+1=12a n +13.求证:a n -;(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =13(a n -1)(n ∈N *).证明:数列{a n }是等比数列.题组二　等比中项4.2-3与2+3的等比中项是( )A.1B.-1C.2D.-1或15.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{a n}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于( )A.6B.4C.3D.-16.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于( )A.6B.-6C.±6D.±127.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥曲线x2+y2a=1的离心率为( )A.22B.32C.62D.3题组三　等比数列的通项公式8.在等比数列{a n}中,a1=32,公比q=-12,则a6=( )A.1B.-1C.2D.129.在等比数列{a n}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于( )A.2B.1或-2C.1D.-1或210.(2020山东济宁实验中学高二上期中)在等比数列{a n}中,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a5=( )A.24B.48C.96D.-4811.(2019陕西西安一中高二上月考)现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用一年期自动转存业务,则第十年末的本利和为( )A.8×1.0258万元B.8×1.0259万元C.8×1.02510万元D.8×1.02511万元12.已知某等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-27是此数列的2( )A.第2项B.第4项C.第6项D.第8项13.已知等比数列{a n},若a3=2,a2+a4=20,求数列{a n}的通项公式.314.(2020江西九江一中高二上期中)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n+1=4a n+1,设b n=a n+1-2a n.(1)证明数列{b n}是等比数列;(2)数列{c n}满足c n=1(n∈N*),设T n=c1c2+c2c3+c3c4+…+c n c n+1,求log2b n+3T20.题组四　等比数列的性质及其综合运用15.(2019湖南怀化三中高二上期中)等比数列{a n }满足a 1=3,a 3=6,则a 3+a 5+a 7=( )A.21B.42C.63D.8416.在等比数列{a n }中,若a 7+a 8+a 9+a 10=158,a 8a 9=-98,则1a 7+1a 8+1a 9+1a 10=( )A.-56B.-53C.-83D.-10317.已知数列{a n }是等比数列,则下列说法正确的个数是( )①数列{a 2n }是等比数列;②数列{2+a n }是等比数列;③数列{lg a n }是等比数列;④数列{na n }是等比数列;;⑥数列{a n +a n+1}是等比数列.A.2 B.3C.4D.518.(2020福建福州八县一中高二上期中)已知等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 8a 13=64,则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 20=( )A.60B.50C.40D.20+log 2519.(1)已知等比数列{a n }满足a 1=14,a 3a 5=4(a 4-1),求a 2的值;(2)已知等比数列{a n }为递增数列.若a 1>0,且2(a 4+a 6)=5a 5,求数列{a n }的公比q.20.在等比数列{a n}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设b n=log2a n,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.(1)求证:数列{b n}是等差数列;(2)求{b n}的前n项和S n及{a n}的通项公式.能力提升练题组一　等比数列的概念及其应用1.(2020天津耀华中学高二上期中,)若b≠0,则“a,b,c成等比数列”是“b=ac”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高二上期中,)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a 升,b 升,c 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )A.a,b,c 成公比为2的等比数列,且a=507B.a,b,c 成公比为2的等比数列,且c=507C.a,b,c 成公比为12的等比数列,且a=507D.a,b,c 成公比为12的等比数列,且c=5073.()已知a,b,c 均为正数,若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c 成等比数列,且公比为q,则q 3+q 2+q=( )A.0 B.1C.3D.不确定4.(2020江西九江一中高二上期中,)已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q 的取值范围是 . 题组二　等比数列的通项公式5.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)等比数列{a n }满足a 4+a 7=4,a 5·a 6=3,则a 1+a 10=( )A.-283 B.-13C.13D.2836.()已知数列{an }满足a 1=1,a n+1=a na n +2(n ∈N *).若b n =log +1,则数列{b n }的通项公式b n =( )A.12nB.n-1C.nD.2n7.(2020北京石景山高二上期末,)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.设数列{a n-n}的前n项和为S n,那么S4 S5(填“>”“<”或“=”).8.()已知数列{an}的前n项和为S n,数列{b n}中,b1=a1,b n=a n-a n-1(n≥2),且a n+S n=n.(1)设c n=a n-1,求证:{c n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.9.(2020河南郑州高二期中,)在数列{a n}中,S n为数列{a n}的前n项和,2S n+2n=3a n(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1+a na n·a n+1,数列{b n}的前n项和为T n,证明T n<14.题组三　等比数列的性质及其综合运用10.(2020湖南长沙高二上期中,)在等比数列{a n}中,a2=2,a4=8,a n>0,则数列{log2a n}的前n项和为( )A.n(n+1)2B.(n-1)22C.n(n-1)2D.(n+1)2211.(2020山东聊城高二上期末,)已知数列{a n}满足a n≠0,则“a1a4=a2a3”是“{a n}为等比数列”的( )A.充分不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件12.(2019广东湛江一中高二月考,)已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a1a6a11=-33,b1+b6+b11=7π,则tan b3+b91―a4a8的值是( )A.-3B.22C.-22D.313.(2020山东聊城高二上期末,)各项互不相等的等比数列{a n}满足a5·a7=a m·a n,则1m +4n的最小值为 .14.()已知等差数列{an}的前n项和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,公比是q,且满足a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设c n=3b n-λ·2a n3,若数列{c n}是递增数列,求实数λ的取值范围.15.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)黄河被称为我国的母亲河,它的得名据说来自于河水的颜色,黄河因携带大量泥沙所以河水呈现黄色,黄河的水源来自青海高原,从源头开始1000千米的河水是非常清澈的.只是在刘家峡水库附近,清澈的黄河和携带大量泥沙的洮河汇合,在两条河流的交汇处,水的颜色一清一浊,互不交融,形成了一条奇特的水中分界线,设黄河和洮河在汛期的水流量均为2000m3/s,黄河水的含沙量为2kg/m3,洮河水的含沙量为20kg/m3,假设从交汇处开始沿岸设有若干个观测点,两股河水在流经相邻的观测点的过程中,其混合效果相当于两股河水在1秒内交换1000m3的水量,即从洮河流入黄河1000m3的水混合后,又从黄河流入1000m3的水到洮河再混合.(1)求经过第二个观测点时,两股河水的含沙量;(2)从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3?(不考虑泥沙沉淀)答案全解全析基础过关练1.A ①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.2.B 对于①,因为等比数列中的各项都不为0,所以①不正确;对于②,因为等比数列的公比不为0,所以②不正确;对于③,若一个常数列是等比数列,则这个常数不为0,根据等比数列的定义知此数列的公比为1,所以③正确;对于④,只有当a,b,c 都不为0时,a,b,c 才成等比数列,所以④不正确.因此,正确的说法只有1个,故选B.3.证明　(1)∵a n+1=12a n +13,∴a n+1-23=12a n +13-23=n -又a 1-23=78-23=524≠0,∴a n -是首项为524,公比为12的等比数列.(2)∵S n =13(a n -1),∴S n+1=13(a n+1-1),两式相减得,a n+1=13a n+1-13a n ,即a n+1=-12a n ,又当n=1时,a 1=S 1=13(a 1-1),∴a 1=-12.∴数列{a n }是首项为-12,公比为-12的等比数列.4.D 由题意可设2-3与2+3的等比中项是m,则m 2=(2-3)(2+3)=1,解得m=-1或m=1.故选D.5.B 依题意得,a 23=a 1a 7,∴(a 1+4)2=a 1(a 1+12),解得a 1=4.故选B.6.C 由题意可得,a=1+22=32,b 2=(-1)×(-16)=16,解得b=±4,∴ab=±6.7.AD 由三个数1,a,4成等比数列,得a=±2.当a=2时,曲线x 2+y22=1为焦点在y 轴上的椭圆,此时离心率e=2―12=22.当a=-2时,曲线x 2-y22=1为焦点在x 轴上的双曲线,此时离心率e=2+11=3.故选AD.8.B 由题知a 6=a 1·q 5=32×-=-1.9.B 设等比数列{a n }的首项为a 1,根据题意,得a 1q 2+a 1q 3=4,a 1q =2,解得a 1=2,q =1或a 1=―1,q =―2.故选B.10.B 设等比数列{a n }的公比为q,依题意得,4a 2=4a 1+a 3,即4a 1q=4a 1+a 1q 2.又a 1=3≠0,∴q 2-4q+4=0,解得q=2,则a 5=a 1q 4=3×24=48,故选B.11.C 由题意得,每年末的本利和依次构成以1+2.50%=1.025为公比,8×1.025为首项的等比数列,所以第十年末的本利和为8×1.025×1.02510-1=8×1.02510万元.故选C.12.B 由题意得,(2x+2)2=x(3x+3),解得x=-1或x=-4.当x=-1时,2x+2=3x+3=0,不符合题意,舍去,∴x=-4.此时2x+2=-6,3x+3=-9,∴该等比数列的首项为-4,公比为32.设-272为此数列的第n 项,则-1=-272,解得n=4.故选B.13.解析　设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则q ≠0.由题意得,a 2=a 3q =2q ,a 4=a 3q=2q,∴2q +2q=203,解得q=13或q=3.当q=13时,a 1=18,∴a n-1=2×33-n .当q=3时,a 1=29,∴a n =29×3n-1=2×3n-3.综上,当q=13时,a n =2×33-n ,n ∈N *;当q=3时,a n =2×3n-3,n ∈N *.14.解析　(1)证明:由S n+1=4a n +1, ①得当n ≥2时,S n =4a n-1+1,②①-②得,a n+1=4a n -4a n-1,所以a n+1-2a n =2(a n -2a n-1),又b n =a n+1-2a n ,所以b n =2b n-1(n ≥2).当n=1时,由S n+1=4a n +1得,a 1+a 2=4a 1+1,又a 1=1,所以a 2=3a 1+1=4.所以b 1=a 2-2a 1=2.所以数列{b n }是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)可知b n =2n ,则c n =1log 2b n +3=1n +3(n ∈N *).所以T n =c 1c 2+c 2c 3+c 3c 4+…+c n c n+1=14×5+15×6+16×7+…+1(n +3)(n +4)--…+1n +3-1n +4=14-1n +4=n 4(n +4).因此,T 20 =204×(20+4)=524.15.B 设等比数列{a n }的公比为q,易知a 1,a 3,a 5,a 7构成等比数列,且a 3=a 1q 2=3q 2=6,得q 2=2.所以a 3+a 5+a 7=a 3+a 3q 2+a 3q 4=6+12+24=42.故选B.16.B ∵数列{a n }是等比数列,∴a 7a 10=a 8a 9.∴1a 7+1a 8+1a 9+1a 10++=a 7+a 10a 7a 10+a 8+a 9a 8a 9=a 7+a 10a 8a 9+a 8+a 9a 8a 9=a 7+a 8+a 9+a 10a 8a 9=158-98=-53.17.A 设等比数列{a n }的公比为q,b n =a 2n ,则b n+1b n =a2n+1a2n==q2,∴{a2n}为等比数列,①正确;当a n=3n时,2+a n+12+a n≠常数,②错误;当a n<0时,lg a n无意义,③错误;设c n=na n,则c n+1c n=(n+1)a n+1na n =(n+1)qn≠常数,④错误是以1a1为首项,1q为公比的等比数列,⑤正确;当数列{a n}的公比为-1时,a n+a n+1=0,而等比数列的各项均不为0,∴⑥错误.故选A.18.B　由等比数列的性质可得,a10a11+a8a13=2a10a11=64,∴a10a11=32,∴a1a20=a2a19=a3a18=…=a10a11=32.结合对数的运算法则可得,log2a1+log2a2+…+log2a20=log2(a1a2…a20)=log23210=50.故选B.19.解析　(1)设等比数列{a n}的公比为q,由a3a5=4(a4-1),得a24=4(a4-1),解得a4=2,∴q3=a4a1=8,∴q=2,∴a2=a1q=12.(2)由2(a4+a6)=5a5,得2(a4+a4q2)=5a4q,易知a4≠0,所以2+2q2=5q,即(2q-1)(q-2)=0,解得q=2或q=12.因为等比数列{a n}为递增数列,且a1>0,所以q>1,所以q=2.20.解析　(1)证明:因为b n=log2a n,所以b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2a n+1a n=log2q(q>0)为常数,所以数列{b n}是公差为log2q的等差数列.(2)设等差数列{b n}的公差为d,因为b1+b3+b5=6,所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,所以b3=2.因为a1>1,所以b1=log2a1>0,又因为b1b3b5=0,所以b5=0,即b3=2,b5=0,即b1+2d=2,b1+4d=0,解得b1=4,d=―1,因此S n =4n+n (n -1)2×(-1)=9n -n 22,所以d=log 2q=-1,解得q=12,b 1=log 2a 1=4,解得a 1=16,所以a n =a 1q n-1=25―n (n ∈N *).能力提升练1.B ∵b ≠0,且b=ac ,∴b 2=ac,且a,b,c 均不为0,∴a,b,c 成等比数列,因此必要性成立;由a,b,c 成等比数列得,b 2=ac,从而b=±ac ,因此充分性不成立.故选B.2.D 依题意得,a,b,c 成等比数列,且公比为12,∴b=12a,c=12b=14a,∴a+12a+14a=5×10,解得a=2007,∴c=14a=507,故选D.3.B 依题意,有q 3+q 2+q=a +b -ca +b +c +c +a -ba +b +c +b +c -aa +b +c =1.4.答案,解析　由题意可设三角形的三边分别为aq ,a,aq,a>0,q>0,因为三角形中任意两边之和大于第三边,+a >aq,+aq >a,+aq >aq,解得-1+52<q<1+52.5.D ∵{a n }是等比数列,∴a 5a 6=a 4a 7=3,又a 4+a 7=4,∴a 4,a 7是一元二次方程x 2-4x+3=0的两根,解此方程得x=1或x=3.当a 4=1,a 7=3时,a 1=a 24a 7=13,a 10=a 27a 4=9,∴a 1+a 10=283.当a 4=3,a 7=1时,同理可得a 1=9,a 10=13,∴a 1+a 10=283.故选D.6.C 由a n+1=a n a n +2,得1a n +1=1+2a n ,所以1a n +1+1=2+1,又1a 1+1=2,+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以1a n+1=2·2n-1=2n ,所以b n =log+1=log 22n =n.故选C.7.答案　<解析　设正项等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则q>0,所以a 2=a 1q =1,a 3+a 4=a 1q 2+a 1q 3=6,解得a 1=12,q =2或a 1=―13,q =―3(舍去).所以a n =a 1q n-1=2n-2,所以S 5-S 4=a 5-5=23-5=3>0,故S 5>S 4.8.解析　(1)证明:∵a n +S n =n,①∴a n+1+S n+1=n+1,②②-①得a n+1-a n +a n+1=1.∴2a n+1=a n +1,∴2(a n+1-1)=a n -1,∴a n+1-1=12(a n -1),即c n+1=12c n .又a 1+a 1=1,∴a 1=12,∴c 1=a 1-1=-12≠0,∴{c n }是以-12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)可知,c n=--1,∴a n =c n.当n ≥2时,b n =a n -a n-1-1―-1-1.又当n=1时,b1=a1=12,符合上式,∴b n(n∈N*).9.解析　(1)∵2S n+2n=3a n,∴2S n+1+2(n+1)=3a n+1,两式相减得a n+1=3a n+2,∴a n+1+1=3(a n+1).又2S1+2=3a1,∴2a1+2=3a1,∴a1=2.∴a1+1=3≠0,∴数列{a n+1}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n+1=3n,∴a n=3n-1.(2)证明:由(1)可得,b n=1+a na n·a n+1=3n(3n-1)(3n+1-1)-∴T n=1213―1-132-1+132-1-133-1+…+13n-1-13n+1-1 -=14-12·13n+1-1<14.10.C　设等比数列{a n}的公比为q,则a1>0,q>0.∵a4=a2q2,即8=2q2,∴q=±2.又q>0,∴q=2.∴a n=a2·q n-2=2×2n-2=2n-1,∴log 2a n =log 22n-1=n-1.∴数列{log 2a n }的前n 项和为0+1+2+…+(n-1)=n (n -1)2.故选C.11.C 如果a 1=1,a 2=2,a 3=8,a 4=16,满足a 1a 4=a 2a 3,但{a n }不是等比数列;反之,若{a n }为等比数列,则根据等比数列的性质可知a 1a 4=a 2a 3,所以“a 1a 4=a 2a 3”是“{a n }为等比数列”的必要不充分条件,故选C.12.A 因为{a n }是等比数列,所以a 1a 6a 11=a 36=-33,所以a 6=-3,所以a 4a 8=a 26=3.因为{b n }是等差数列,所以b 1+b 6+b 11=3b 6=7π,所以b 6=7π3,所以b 3+b 9=2b 6=14π3.所以b 3+b 91―a 4a 8=-7π3,所以tan b 3+b 91―a 4a 8=tan-=-tan π3=-3.13.答案　34解析　由题意知m+n=5+7=12,即m 12+n12=1(m,n ∈N *),则1m +4n =++=512+n 12m +m 3n ≥512+2n 12m ·m 3n =34,当且仅当4m 2=n 2时等号成立,此时m=4,n=8,所以1m +4n 的最小值为34.14.解析　(1)由已知得,b 2=b 1q=q(q>0),S 2=a 1+a 2=3+a 2,∴b 2+S 2=q +3+a 2=12,S 2=3+a 2=q 2,解得q =3,a 2=6或q =―4,a 2=13(舍去),∴a 2-a 1=3,a n =3+(n-1)×3=3n,b n =b 1q n-1=3n-1.(2)由(1)知,c n =3b n -λ·2a n3=3n -λ·2n .由题意知c n+1>c n 对任意n ∈N *恒成立,即3n+1-λ·2n+1>3n -λ·2n 恒成立,即λ·2n <2·3n 恒成立,即λ<2恒成立,只需λ<2·n min即可.∵函数是增函数,∴2·n min=2×32=3,∴λ<3,∴实数λ的取值范围为(-∞,3).15.解析　(1)在第二个观测点时,洮河流入黄河1 000 m 3的水混合后,黄河的含沙量为2×2 000+20×1 0003 000=8 kg/m 3,又从黄河流入1 000 m 3的水到洮河再混合后,洮河的含沙量为8×1 000+20×1 0002 000=14 kg/m 3.(2)设在第n 个观测点时黄河的含沙量为a n kg/m 3,洮河的含沙量为b n kg/m 3,由题意有a 1=2,b 1=20,且a n+1=1 000b n +2 000a n 3 000=2a n +b n3,b n+1=1 000b n +1 000a n +12 000=a n +1+b n 2=a n +2b n3,所以b n+1-a n+1=13(b n -a n ),又b 1-a 1=18≠0,所以{b n -a n }是首项为18,公比为13的等比数列,∴b n -a n-1.根据题意,有-1<0.01,即3n-1>1800,n ∈N *,解得n>7,所以从第8个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于0.01 kg/m 3.。