函数应用4.2实际问题的函数建模4.2.1实际问题的函数刻画教案1北师大版必修1

2.1 实际问题的函数刻画-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、教学目标1.了解实际问题的函数刻画的基本概念；2.掌握常用函数的特征值与参数的关系；3.了解实际问题的函数模型的构建方法；4.提高学生对实际问题解决能力的培养。

二、教学重难点1.实际问题的函数刻画的基本概念；2.常用函数的特征值与参数的关系。

三、教学内容与方法1. 实际问题的函数刻画的基本概念1.实际问题的函数刻画是指通过数学函数对实际问题进行描述和分析，进行问题解决的一种方式。

2.实际问题的函数刻画需要考虑问题的特点，如变化趋势、阈值、生命周期等。

教学方法：通过实际问题引入，让学生了解实际问题的函数刻画的背景和意义，然后通过多个例题让学生掌握实际问题的函数刻画的方法和技巧。

2. 常用函数的特征值与参数的关系1.常见的函数有线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们的特征值和参数的关系不同。

2.线性函数的特征值为斜率和截距，参数为斜率和截距的值，用于刻画直线的特征。

3.指数函数的特征值为底数和指数，参数为底数和指数的值，用于刻画曲线的特征。

教学方法：通过对各种常见函数的特征值和参数的讲解，让学生对不同函数的刻画方法有所了解，可以通过多个例题进行巩固和练习。

四、教学过程1. 实际问题的函数刻画的基本概念1.通过实际问题引入，如生产过程中的产量变化、物品的价格变化等，让学生了解实际问题的函数刻画的背景和意义。

2.通过多组数据的表格展示和图像展示，让学生掌握实际问题的函数刻画的方法和技巧。

3.按难度递增的顺序，分别进行例题讲解和练习。

2. 常用函数的特征值与参数的关系1.通过线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型的例题，讲解函数的特征值和参数的关系。

2.次数递增，难度递增的习题，巩固和练习学生所学的知识和技能。

五、教学反思本节课主要是让学生了解实际问题的函数刻画的基本概念，掌握常用函数的特征值和参数的关系，以及实际问题的函数模型的构建方法，并能够应用到解决实际问题中。

高中数学 4.2.1 实际问题的函数刻画学案北师大必修1（Functional description of 4.2.1 practical problems in senior high school mathematics case study of Beijing NormalUniversity compulsory 1）Describe the function of high school curriculum standard textbook [textbooks] - compulsory 1 chapter fourth Section 4.2.1 function application problems (case study)[learning objectives]1. knowledge skills:(1) cultivate students' ability of modeling from practical problems into teaching problems.(2) make students use the function and the nature of the function image to process the function, get the mathematical conclusion, and solve the practical problem according to the mathematical conclusion.(3) through the application of the basic model of learning function, the dialectical relationship between theory and practice is initially penetrated into the students.2. process and method:(1) the actual problem situation, understand the variation between the quantity and amount of the actual problem, can be used to describe the function, function to study the nature of the function is equivalent to between the volume and quantityof research in practical problems.(2) through the students' discussion and exploration, the students will abstract, generalize and turn the actual problems into functional problems, and gradually cultivate the ability to solve practical problems.3. emotions, attitudes and values:(1) to understand the law of "unity of opposites" in the development and change of things, and to cultivate students' dialectical materialism.(2) educate students to take care of the environment and maintain ecological balance.(3) general method research of function, experience from concrete to abstract thinking process, feelings of common simple important function model in practical problems, understand mathematical thinking combined with the equation and the number shape, cultivate students' sense of cooperation and generalization ability and the scientific way of thinking.Application of common simple function model.[learning difficulties] functional characterization of real problems.According to the guidance of teachers, students can communicate, cooperate, discuss, observe, analyze, generalize, summarize and conclude the teaching goal.[preview] read the textbook P137~P139, try to complete the following two questions:1. of the purchase price of a commodity shop every 80 yuan, the retail price of 100 yuan. In order to promote sales, carry out purchase a commodity as a small gift, in a certain range, the gift price per L yuan, sales increased 10%. profit for the gift price "and the relationship between.2. in the process of measurement of a physical quantity, because the error of the instrument and observation, the N measurements were al, A2,..., an, N data, we set the measurement of physical quantities of "best approximation" is such a volume: compared with other approximation, and the minimum a with the data of the square of the difference. Based on these Provisions, please use the A1, A2, an, A. said...[classroom interaction][introduction of classroom]A crowd of rabbits were drinking and playing, but the rabbits had broken the brains of Australians Why? Or start from the beginning?:In 1859, people from Europe with a few rabbits into Australia, Australia with lush grass, and the rabbit had no natural enemies, the increasing number of less than 100 years, the rabbits occupied Australia, the number reached 7 billion 500 million, the rabbit is too much, in order to survive, become hateful,7 billion 500 million rabbits, eat a in 7 billion 500 million sheep eating grass, grassland stocking rate is greatly reduced,The cattle is the main livestock Australia, which makes Australians headache, they used a variety of methods, the destruction of the rabbits, until 1950s, the scientists used a liquid carrying virus killed 90% rabbits, Australia is relieved.Question: is there a law of increase in the number of a population in nature? Can you describe it in mathematical way? How can you describe it?[activity process 1]Problem 1. When the temperature of human living environment changes, the metabolic rate of human body also has the corresponding change. Table 4-2 gives a set of experimental data, this group of data can explain what?Table 4-2Ambient temperature / (c)FourTenTwentyThirtyThirty-eightMetabolic rate / 4185J / (H. M2)SixtyForty-fourFortyForty point fiveFifty-fourAnalysis:(1) what is the amount of information reflected in the problem?(2) what kind of dependencies exist between these quantities?(3) what is the information provided by the data?Law of sample?(4) what is the realistic guiding significance of the above laws?[activity process 2]2 a factory producing a new type of products sold, to updateequipment and mould manufacture factory to spend 200000 yuan, the direct cost of production on each piece of art is 300 yuan, each piece of artwork is priced at 500 yuan, the yield of X are a function of what kind of relationship between the total cost and unit cost of P and C sales revenue and profit of R L said the actual meaning of what?,(1) what is the amount of information reflected in the problem?(2) what kind of dependencies exist between these quantities?[activity process 3]3 figure 4-7, in a bend in the river, set up six hydrological stations. Now need to build a information center in the river, from the monitoring stations along the river were not dedicated to the information center with communication cable, the total length of how to describe special communication cable?Solution:[summary] class: this class we through several cases of practical problems, realized by a function (segmented) method to describe the actual problem model to understand the combination method is to study the function of the effective methods to solve practical problemsQuestion 1: when the environmental temperature changes, the metabolic rate also has a corresponding change, through the analysis of experimental data, it can be determined by a function of ambient temperature value to the value of the rateof the body's metabolism, through analyzing the function of the study, we realize that with the function can depict (SOCIAL) metabolic rate with the temperature (NATURAL) relationship.Problem 2: total cost C, unit cost P, sales revenue R, profit L is the function of output X.Question 3: the function of the total cable length can be determined by the method of "replacing the straight line with the straight line".Through the above examples, it can be seen that the function as the mathematical model describing the dependence between variables has a wide range of applications in depicting realistic problems. To a person's growth process, to a country's population growth; to a small aircraft flight routes to track objects; small ice temperature change process, to global warming, all can be characterized and studied by function.[class practice]1. there are a and B table tennis clubs in the city, and both of them have good facilities and services,But the charge is different. A home each table 5 yuan per hour, B home monthly billing, 30 hours a month (including 30 hours), each table 90 yuan, more than 30 hours of each part, each table 2 yuan per hour. Someone is going to rent a table from one of the two families next month. The time not less than 15 hours, no more than 40 hours; in a home to rent a table to carry outactivities of X hours fee is f yuan (x) (x = 15 ~ 40), rent a table in the second home activities x hours fee for the G (x) ($15 = x no more than 40).(1) write the analytic expressions of F (x) and G (x).(2) suppose you and your partner want to go to the place for table tennis training, according to the time to calculate, how do you choose, the cost is low?Hint: (1) using f (x) =g (x) solution equation to get x;In the same coordinate system, we use the function image intersection to observe, analyze and generalize directly.[target test]In order to meet the different needs of customers, the 1. telecommunication bureau has two preferential schemes, A and B. The relationship between the two schemes and the call time (minutes) is shown in the diagram (MN//CD)(1) the function expressions f (x) and G (x) of A (B) and call time X (minutes) are calculated respectively.(2) if you were a telecom salesman, how would you help customers choose two A or B discount programs? And explain why.2.A and B are two cities apart from 100km,Between the two places from A city XKM, D build a nuclear powerplant to A, B two city power supply, in order to make the city safe, nuclear power station distance from the city shall not be less than 10km. It is known that the power supply cost is proportional to the square of the power supply distance and the product of the power supply, and the proportionality factor X = 0.25. If the A city power supply capacity is 2 billion kwh / month, the city of B is 1 billion degrees per month, the total cost of power supply y is expressed as a function of X, and find out the domain, and answer, should be station building where the month supply the lowest total cost?- 1 -Heart, love and concentration。

4 .2 .2 函数模型的应用实例〔Ⅱ〕一、教学目标1.知识与技能：能够利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题.2.过程与方法：进一步感受运用函数概念建立函数模型的过程和方法，对给定的函数模型进行简单的分析评价.二、教学重点重点利用给定的函数模型或建立确定性质函数模型解决实际问题.难点将实际问题转化为数学模型，并对给定的函数模型进行简单的分析评价.三、学法与教法1.学法：自主学习和尝试，互动式讨论.2.教法：尝试、讨论法四、教学过程〔一〕创设情景，揭示课题.现实生活中有些实际问题所涉及的数学模型是确定的，但需我们利用问题中的数据及其蕴含的关系来建立.对于已给定数学模型的问题，我们要对所确定的数学模型进行分析评价，验证数学模型的与所提供的数据的吻合程度.〔二〕实例尝试，探求新知例1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如下图.1〕写出速度v关于时间t的函数解析式；2〕写出汽车行驶路程y关于时间t的函数关系式，并作图象；3〕求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；4〕假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象.本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式.例2.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798，英国经济家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：0rt y y e =其中t 表示经过的时间，0y 表示0t =时的人口数，r 表示人口的年均增长率. 下表是1950~1959年我国的人口数据资料：〔单位：万人〕1〕如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率〔精确到0.0001〕，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；2〕如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？ 探索以下问题：1〕本例中所涉及的数量有哪些？2〕描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？ 3〕根据表中数据如何确定函数模型？4〕对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应做出如何评价？如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？本例的题型是利用给定的指数函数模型0rty y e =解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数0y 与t . 完成数学模型的确定之后，因为计算较繁，可以借助计算器.在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图象，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定t 的近似值.课堂练习：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件，1.2万件，1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据用一个函数模拟该产品的月产量t 与月份的x 关系，模拟函数可以选用二次函数或函数(,,)x y ab c a b c =+其中为常数.4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.探索以下问题：1〕本例给出两种函数模型，如何根据数据确定它们？ 2〕如何对所确定的函数模型进行评价？本例是不同函数的比较问题，要引导学生利用待定系数法确定具体的函数模型. 引导学生认识到比较函数模型优劣的标准是4月份产量的吻合程度，这也是对函数模评价的依据.本例渗透了数学思想方法，要培养学生有意识地运用. 〔三〕. 归纳小结，发展思维.利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法；1〕根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系； 2〕利用待定系数法，确定具体函数模型； 3〕对所确定的函数模型进行适当的评价； 4〕根据实际问题对模型进行适当的修正.从以上各例体会到：根据收集到的数据，作出散点图，然后通过观察图象，判断问题适用的函数模型，借助计算器或计算机数据处理功能，利用待定系数法得出具体的函数解析式，再利用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程.图象、表格和解析式都可能是函数对应关系的表现形式. 在实际应用时，经常需要将函数对应关系的一种形式向另一种转化.〔四〕布置作业：教材P 120习题32〔A 组〕第6~9题. 五、教后反思：函数模型的应用实例〔Ⅲ〕一、教学目标1、知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

4.2 实际问题的函数建模[核心必知]1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．2．用函数模型解决实际问题(1)数据拟合：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．(2)常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx＋b(k≠0)，图像增长特点是直线式上升(x的系数k＞0)，通过图像可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx(k＞0)．②反比例函数模型：y＝kx(k＞0)型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a·b x＋c(b＞0，且b≠1，a≠0)，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b ＞1，a＞0)，常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1，m≠0)型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢(底数a＞1，m ＞0)．⑤幂函数模型，即y＝a·x n＋b(a≠0)型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大(a＞0)．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图像的直观运用，分析图像特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．3．函数建模(1)定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．(2)过程：如下图所示．[问题思考]①u ＝log 2t ；②u ＝2t－2；③u ＝t 2－12；④u ＝2t －2.提示：③可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示，由散点图可知，图像不是直线，排除④项；图像不符合对数函数的图像特征，排除①项；当t ＝3时，2t －2＝23－2＝6，t 2－12＝32－12＝4， 由表格知当t ＝3时，u ＝4.04，模型u ＝t 2－12能较好地体现这些数据关系．讲一讲 1.某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (t ∈N ＋)(天)的函数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (t ∈N ＋)(天)之间的关系如下表：销售价格P 与时间t 的函数关系式；(2)根据表中提供的数据，确定日销售量Q 与时间t 的一个函数关系式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．[尝试解答] (1)由已知可得：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ＋，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ＋.(2)日销售量Q 与时间t 的一个函数式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N ＋)．(3)由题意y ＝错误!＝错误!当0＜t ＜25，t ＝10时，y max ＝900， 当25≤t ≤30，t ＝25时，y max ＝(25－70)2－900＝1 125，故当t ＝25时，日销售金额最大且最大值为1 125元．在用函数刻画实际问题的过程中，除了用函数解析式刻画外，函数图像也能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力．另外，本例题涉及到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型．练一练1．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？解：(1)由图可知，直线y 甲＝kx ＋b 经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8.∴y 甲＝0.2(x ＋4)． 同理可得y 乙＝4⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋172.故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)；(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．函数图像对称轴为x ＝－ 3.6－＝214， 因为x ∈N ＋，∴当x ＝2时，y 甲·y 乙＝31.2， 即第二年规模最大，为31.2万只．讲一讲2．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？[尝试解答] (1)由题知，当燕子静止时，它的速度v ＝0，可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10，即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q ＝80代入所给公式，得 v ＝5log 28010＝5log 28＝15(m/s)．即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：(1)解函数关系已知的应用题①确定函数关系式y ＝f (x )中的参数，求出具体的函数解析式y ＝f (x )；②讨论x 与y 的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．(2)解函数关系未知的应用题 ①阅读理解题意看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；②抽象函数模型在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；③研究函数模型的性质根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；④得出问题的结论根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．练一练2．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销售量就增加10个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？解：设此商品每个售价为x元时，每日利润为y元，当18<x<30(当提价12元时销售量为零，故x＜30)时，有y＝[60－5(x－18)](x－10)＝－5(x－20)2＋500.即在商品提价时，当x＝20时，每日利润y最大，最大利润是500元．当10<x≤18时，有y＝[60＋10(18－x)](x－10)＝－10(x－17)2＋490，即在商品降价时，当x＝17时，每日利润y最大，最大利润是 490元．∵500>490，∴此商品的售价应定为每个20元．讲一讲3．18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？[尝试解答] 由数值对应表作散点图如图．由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·b x＋c.代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得：⎩⎪⎨⎪⎧ab＋c＝0.7，①ab2＋c＝1.0，②ab3＋c＝1.6，③(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2a＋c＝0.7，4a＋c＝1.0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝320，c＝25，∴f(x)＝320·2x＋25.∵f(5)＝265＝5.2，f(6)＝10，∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面是天王星，它与太阳的距离大约是19.6天文单位．对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．练一练3．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见下表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y 与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解：(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为y＝kx＋b，∴⎩⎪⎨⎪⎧50k＋b＝0，45k＋b＝15⇔⎩⎪⎨⎪⎧k＝－3，b＝150.∴y＝－3x＋150(x∈N)，经检验点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y＝－3x＋150(x∈N)．(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)＝－3(x－40)2＋300，∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁砍伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到5%.(1)若经过x 年后，该林区的木材蓄积量为y 万立方米，求y ＝f (x )的表达式，并求此函数的定义域；(2)作出函数y ＝f (x )的图像，并应用图像求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米．[错解] (1)现有木材蓄积量为200万立方米，经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%)；经过2年后木材蓄积量为200(1＋5%×2)；经过x 年后木材蓄积量为200(1＋5%·x )．所以y ＝f (x )＝200(1＋5%·x )(x ∈N ＋)； (2)函数图像如图所示．设x 年后木材蓄积量为300万立方米． 则200·(1＋5%x )＝300，所以x ·5%＝32－1，x ＝125100＝12×1005＝10.所以，经过10年，木材蓄积量达到300所以经过x 年后木材蓄积量为＝f (x )＝200(1＋5%)x(x ∈作函数y ＝f (x )＝200(1＋5%)图像，如图所示：1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图像如图所示，那么图像所对应的函数模型是( )A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数D ．对数函数 解析：选 A 根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数．2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2000年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是( )A ．y ＝0.95x50·m B ．y ＝(1－0.05x50)·mC ．y ＝0.9550－x·m D ．y ＝(1－0.0550－x)·m解析：选 A 根据已知得：y ＝m (1－5%)x50.3.(江西高考)如右图，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π6，以A 为圆心，AB 为半径作圆弧BDC 与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧BDC 行至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图像大致是()解析：选A 由余弦定理知，cos ∠AOB＝OA 2＋OB 2－AB 22OA ·OB ＝32，求得AB ＝5－2 3.由已知可知：当t ≤1时，所围成的图形为与三角形ABO 相似的三角形，S (t )＝12t ·2t sinπ6＝12t 2，对应的函数图像为开口向上的抛物线的一部分；存在t 0，使得当1<t ≤t 0时，所围成的图形为三角形ABO 与一部分扇形，扇形的弧长为3(t －1)，此时所围成图形面积S (t )＝12＋12×3(t －1)×AB ＝12－35－232＋35－232t ，对应的函数图像为过一、三、四象限的直线的一部分；当t >t 0时，甲乙两质点停止运动，S (t )的值恒定不变，对应图像为平行于x 轴的直线．4.如图表示某人的体重与年龄的关系： ①体重随年龄的增长而增加； ②25岁之后体重不变；③体重增加最快的是15岁至25岁； ④体重增加最快的是15岁之前． 上述判断正确的是________(填序号)． 解析：由图像易知①在50岁之后体重在减轻；②25岁之后体重变化不大，但也有改变； 在0至15间的线段斜率明显大于在15至25间的线段斜率，故体重增加最快的是15岁之前，④正确．答案：④5．某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)(a 为初始量)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只．解析：由题意知，x ＝1时，y ＝100，即a log 22＝100，∴a ＝100，∴y ＝100log 2(x ＋1)， ∴当x ＝7时，y ＝100×log 28＝300. 答案：3006．某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；……，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售．现某茶社要购买这种茶壶x 个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y 2元．(1)分别求出y 1，y 2与x 之间的函数关系式；(2)该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？解：(1)对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为80－2x 元，则y 1与x 之间的函数关系式为：y 1＝错误!对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x每个售价为80×75%＝60元， 则y 2与x 之间的函数关系式为：y 2＝60x (x ≥0，x ∈N ＋)．(2)y 1－y 2＝－2x 2＋80x －60x ＝－2x 2＋20x ≥0⇒0≤x ≤10.答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少．一、选择题1．某产品的利润y (元)关于产量x (件)的函数关系式为y ＝3x＋4，则当产量为4时，利润y 等于( )A ．4元B ．16元C ．85元D ．不确定解析：选C 当x ＝4时，y ＝34＋4＝85. 2．某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t 为出发后的某一时刻，s 为汽艇与码头在时刻t 时的距离，下列图像中能大致表示s ＝f (t )的函数关系的为( )解析：选C 由题中所述，只有C 符合题意．3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y 的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a ，b 为待定系数)( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x解析：选B 在坐标系中描出表中各点，知拟合函数为y ＝a ＋b x.4．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60t ＋50t (0≤t ≤6.5)B ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t t ，＜t ，150－50t＜tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t t ，150－50t t ＞D ．x＝⎩⎪⎨⎪⎧60t t，＜t，150－t －＜t解析：选 D 根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．二、填空题5．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t (单位：天)的函数．日销售量为f (t )＝2t ＋100，价格为g (t )＝t ＋4，则该种商品的日销售额S (单位：元)与时间t 的函数关系式为S (t )＝________.解析：日销售额S ＝f (t )g (t )＝(2t ＋100)(t ＋4)．答案：(2t ＋100)(t ＋4)6．一个高中研究性学习小组对本地区2013年至2015年快餐公司发展情况进行了调查，制成该地区快餐公司个数的函数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均情况条形图(如下图)．根据图中提供的信息，可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．解析：根据题意知，三年内共销售盒饭为：30＋45×1.5＋90×2＝277.5，∴平均每年销售盒饭92.5万盒．答案：92.57．在一场足球比赛中，一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6 m时，球到达最高点，此时球高3 m，已知球门高2.44 m，________踢进球门(填“能”或“否”)．解析：建立如图所示的坐标系，拋物线经过点(0,0)，顶点为(6,3)．设拋物线解析式为y＝a(x－6)2＋3，把x＝0，y＝0代入得a＝－112，∴y＝－112(x－6)2＋3.当x＝10时，y＝－112(10－6)2＋3＝53＜2.44.∴球能射进球门．答案：能8．某工厂生产某种产品固定成本为 2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________．解析：总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－20(Q－300)2＋2 500，故当Q＝300时，总利润最大值为2 500万元．答案：2 500万元三、解答题9．某企业根据企业现状实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的条件下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34.设该企业裁员x人后纯收益为y万元．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？解：(1)裁员x 人后，企业员工数为(200－x )人，每人每年创纯利润(1＋0.01x )万元，企业每年需付给下岗工人0.4x 万元，则y ＝(200－x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－0.01x 2＋0.6x ＋200.∵200－x ≥34×200⇒x ≤50，∴x 的取值范围为0＜x ≤50，且x ∈N ； (2)y ＝－0.01(x －30)2＋209， ∵0＜x ≤50，且x ∈N ，∴当x ＝30时，y 取得最大值209. ∴该企业应裁员30人，可获得年最大纯收益209万元．10．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y .现有连续10年的实测资料，如下表所示.(1)描点画出灌溉面积y 随最大积雪深度x 变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y ＝f (x )，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm ，则可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点作图如下：(2)从图①中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝a ＋bx .取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y ＝a＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧21.1＝a ＋10.4b ，45.8＝a ＋24.0b .用计算器可算得a ≈2.4，b ≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y ＝2.4＋1.8x .作出函数图像如图②，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y ＝2.4＋1.8×25，求得y ＝47.4， 即当积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4公倾．1.函数的零点(1)函数y ＝f (x )的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)确定函数y ＝f (x )的零点，就是求方程f (x )＝0的实数根．(3)一般地，如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f (a )·f (b )＜0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在x 0∈(a ，b )，使得f (x 0)＝0，这个x 0也就是方程f (x )＝0的根．(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f (x )＝0来说，我们可以将它与函数y ＝f (x )联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．(5)判断函数在某区间有零点的依据： 对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f (x )＝0与函数y ＝f (x )联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根．对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.2．实际问题的函数建模 解决应用问题的一般程序是： (1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；(3)求模：求解数学模型，得到数学结论； (4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型――→数学推演数学结果――→ 反 译实际结果――→ 答[典例1] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2 D．3 [解析] 法一：当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1(舍去)，x 2＝－3；当x ＞0时，由f (x )＝－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2，所以函数f (x )的零点个数为2.法二：在坐标系中作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－4，x ≤0，－2＋ln x ，x ＞0的图像，由图像知，有两个零点．[答案] C[借题发挥] 函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法．[对点训练]1．在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 解析：选C 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14＋4×14－3＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋4×12－3＝e 12－1>0，所以f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12. 2．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜0B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞0C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜0D ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞0解析：选B 函数f (x )在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数．又∵x 0是f (x )的一个零点，且x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，∴f (x 1)＜0，f (x 2)＞0.[典例2] 已知二次函数f (x )＝x 2－(m －1)x ＋2，在[0,1]上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围．[解] (1)当方程x 2－(m －1)x ＋2＝0，在[0,1]上有两个相等的实根时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m －2－8＝0，0≤m －12≤1，解得m ＝1±22，1≤m ≤3，∴此种情况不存在．(2)当方程x 2－(m －1)x ＋2＝0有两个不相等实根时，有且只有一根在[0,1]上，有⎩⎪⎨⎪⎧f f ，Δ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－m ，m －2－8＞0，∴m ≥4.综上所述，实数m 的取值范围m ≥4. [借题发挥] (1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件．(2)函数问题与方程问题可以相互转化，结合使用数形结合的方法解决问题．[对点训练]3．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋1(a ＜b )，且m ，n 是方程f (x )＝0的两个根(m ＜n )，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系可能是________．解析：由函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋1，我们可以看到a ，b 为g (x )＝(x －a )(x －b )的零点，且f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图，则应有a ＜m ＜n ＜b .答案：a ＜m ＜n ＜b4．已知函数f (x )＝x 2－x ＋m 的两个零点都在区间(0,2)内，求实数m 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2－x ＋m 的对称轴为直线x ＝12.若使两个零点都在区间(0,2)内，需满足⎩⎪⎨⎪⎧f＞0，f12＜0，f＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，122－12＋2＋m ＞0解得0＜m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. [典例3] 设备40套，10元，就少租出实际月租金为x 元(用)．(1)求y 与x (2)当x 是多少？[解] (1)元(x ≥270元)出的设备为⎝⎛40为⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫40－x －27010所以y ＝⎝⎛40＝－0.1x 2＋(2)由(1)得0.1(x －325)2＋取最大值为售的企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图②中的拋物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图③中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国内市场的日销售量f (t )，国外市场的日销售量g (t )，每件产品的销售利润q (t )与第一批产品的上市时间t 的函数关系式；(2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2tt ，－6t ＋＜tg (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．q (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3tt，＜t，t ∈N .(2)日销售利润h (t )＝q (t )·[f (t )＋g (t )]＝⎩⎪⎨⎪⎧－920t 3＋24t 2t，－9t 2＋480t ＜t ，－9t 2＋＜t①当0≤t ≤20时，易知h (t )在区间[0,20]上递增．∴h (t )max ＝h (20)＝6 000.②当20＜t ≤30时，h (t )＝－9⎝⎛⎭⎪⎫t －8032＋6 400.∴当t ＝27时，h (t )max ＝h (27)＝6 399. ③当30＜t ≤40时，h (t )＜h (30)＝6 300. 综上h (t )max ＝h (27)＝6 399.所以第27天这家公司的日销售利润最大，最大为6 399万元．（时间：90分钟 满分120分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在区间(0,1)上有零点的一个函数为( )A ．f (x )＝x 2＋1 B ．f (x )＝x 3－2x ＋3C ．f (x )＝x 3＋2x －2 D ．f (x )＝x 2＋2x－3解析：选C ∵f (0)·f (1)＜0验证知只有C 符合此条件．2．函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)解析：选B 逐个验证知：f (－1)＝12－3＝－52＜0，f (0)＝20＋0＝1＞0，∴f (－1)·f (0)＜0.3．方程log 12x ＝2x－1的实数根的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定解析：选B 令y 1＝log 12x ，y 2＝2x－1，作出图像，由图像可知，两函数的图像只有一个公共点，所以方程log 12x ＝2x－1有一个实数根．4．用二分法求函数f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点时，初始区间大致可选为( )A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,4)解析：选 B ∵f (0)＝－4＜0，f (1)＝－1＜0，f (2)＝7＞0，f (3)＞0，f (4)＞0，则有f (1)·f (2)＜0.5．某水果市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x 千克，小王付款后剩余现金y 元，则y 与x 之间的函数关系为( )A ．y ＝3 000－2.5x (100≤x ≤1 200)B ．y ＝3 000－2.5x (100＜x ＜1 200)C ．y ＝3 000－100x (100＜x ＜1 200)D ．y ＝3 000－100x (100≤x ≤1 200) 解析：选A y ＝3000－2.5x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥100，y ≥0，得100≤x ≤1 200.6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝lg x 的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )A ．1.3B ．1.4C ．1.5D ．1.6解析：选D 设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，经计算f (1)＝－12＜0，f (2)＝lg 2－14＞0，所以方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D 符合要求．7．若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在(－1,1)上存在零点，则a 的取值范围是( )A ．－1＜a ＜15B ．a ＞15C ．a ＜－1D ．a ＜－1或a ＞15解析：选 D 由题意知：f (－1)·f (1)＜0，而(1－5a )(a ＋1)＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－5a ＜0a ＋1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－5a ＞0a ＋1＜0得a ＜－1或a ＞15.8．若函数f (x )是偶函数，定义域为{x ∈R |x ≠0}且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．唯一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断解析：选B 由已知条件，得f (－2)＝0，画出函数f (x )的大致图像如下图所示，可知f (x )有两个零点．9．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析：选 C 令f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －x 13，f (1)＝12－1＝－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212－⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313＞0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＜0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12内有零点． 10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )A ．月初售出好B ．月末售出好C ．月初或月末售出一样D ．由成本费的大小确定解析：选D 设这批货物成本费为x 元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x ＋100)×2.4%；若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)；比较100＋(x ＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x －525)．∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．函数y ＝x 2－ax －b 的零点为2和3，则函数f (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．解析：由2＋3＝a,2×3＝－b 得a ＝5，b ＝－6，∴f (x )＝－6x 2－5x －1，令f (x )＝0，得6x 2＋5x ＋1＝0，x 1＝－13，x 2＝－12.答案：－13、－1212．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．解析：设f (x )＝x 3－6x 2＋4，显然f (0)＞0，f (1)＜0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－6x ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4＞0，∴下一步可断定方程的根所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，113．已知关于x 的方程x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0的两实根一个比3小，一个比3大，则m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14，则所求转化为f (x )与x 轴的交点分别在点(3,0)的两侧时m 的取值范围．借助f (x )的。

4.2.1 实际问题的函数刻画【教学目标】１．知识技能：（１）培养学生由实际问题转化为教学问题的建模能力。

（２）使学生会利用函数图象的和性质，对函数进行处理，得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题。

（３）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。

2．过程与方法：（１）通过实际问题情境，使学生了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。

（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养学生解决实际问题的能力。

３．情感、态度与价值观：（１）体会事物发展变化的“对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。

（２）教育学生爱护环境，维护生态平衡。

（３）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用，领悟方程与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。

【教学重点】常用简单函数模型的应用。

【教学难点】实际问题的函数刻画化归。

【教学方法】利用多媒体教学手段，教师引导启发，学生交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。

【课前准备】①多媒体课件；②坐标纸【教学设计】【课前预习】阅读教科书P137~P139，尝试完成以下两题：1．商店的一种商品每个进价80元，零售价100元．为了促进销售，开展购一件商品赠送一个小礼品的活动，在一定的范围内，礼品价格每增加l元，销售量增加10％．求利润与礼品价格”之间的函数关系．2．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到al，a2，…，an，共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值”“是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据差的平方和最小．依此规定，请用a1，a2，…，an表示出a．[课堂引入]有一大群兔子在喝水嬉戏，但这群兔子曾使澳大利亚人伤透了脑筋？为什么？还是从头说起：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且兔子没有天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了澳大利亚，数量达75亿只，兔子太多，为了生存，变得可恶起来，75亿只兔子，吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲畜，这些使澳大利亚人头痛不已，他们采用了各种方法，消灭兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液病毒杀死了90%的兔子，澳大利亚人才算松了一口气。

教学设计教材分析：函数的应用体现在两个方面：一是函数在数学内部的应用；二是函数在实际中的应用。

就函数应用而言，既要考虑到初中已有的基础，又要为整个高中阶段数学应用的学习做好必要的准备。

所以，本节内容对学生的数学学习有承上启下的作用。

数学建模是课程标准特别强调和突出的内容，教师要力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。

学情分析：学生学习本章时，所学高中知识还不多，这一阶段主要是提高学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，让学生体会到数学的价值，享受到数学学习的兴趣，增强学生学好数学建模的信心。

教材中选取的三个例子，贴近学生认知水平，贴近学生生活实际，涉及的专业知识不是太多，且易于理解培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

教学目标知识与技能会用函数刻画现实世界中变量间的依赖关系会用函数刻画实际问题中，体会数学的广泛应用价值情感态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，体会数学与现实生活的密切联系重难点用函数观点刻画实际问题难点准确理解题意，理清变量间的关系教学过程一.探究新知1.指导学生阅读教材120页的问题1，并提出思考：(1) 该问题中反映的信息中有哪些量?(2) 这几个量之间存在怎样的依赖关系?这种关系能否用函数来表示？（3）怎样表示更为直观？引导学生用图像画出在这个问题中，通过对实验数据分析，可以确定由{4，10，20，30，38}到{60，44，40，40，40.5，54}的一个函数，通过描点,并用折线连接得到一个新函数，定义域扩大到区间[4,38]。

这是个环境温度与人体代谢的近似函数,它的函数图像可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢的关系2.指导学生阅读教材121页的问题2，并提出思考：某厂生产一种畅销的新型工艺品,为此更新专用设备和制作模具花去x了200 000元,生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元,产量对总成本C.单位成本P.销售收入R以及利润L 之间存在什么样的函数关系?表示了什么实际含义?（1) 该问题中反映的信息中有哪些量?如何用数学表达式（2）如何借助于图像来刻画？图像法在用函数刻画实际问题的作用怎样？教师出示题目，组织引导学生独立完成，然后启发学生思考并回答各函数关系表示什么含义；教师作适时点评。