八级数学培优运用公式法进行因式分解

八年数学公式法分解因式的解题方法与技巧数学公式法分解因式是一种常用且重要的解题方法。

以下是八年级数学公式法分解因式的解题方法与技巧：1. 常见因式分解公式：① (a+b)^2=a^2+2ab+b^2② (a-b)^2=a^2-2ab+b^2③ a^2-b^2=(a+b)(a-b)④ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)⑤ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)⑥ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2⑦ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2其中，(1)、(2)、(6)、(7) 属于平方公式，(3)、(4)、(5) 是关于立方的公式。

我们在解题时可以根据题目中的条件，选择合适的公式进行因式分解。

2. 把公因式提出来：对于如下式子：2a^2+4ab，我们可以先把公因式 2a 提出来，得到：2a^2+4ab=2a(a+2b)这样就完成了把公因式提出来的操作，接下来我们再根据不同的情况进行因式分解。

3. 进一步分解：有时候，我们需要进一步分解式子，来达到题目的要求。

例如，对于如下式子：9x^6-16y^4，我们可以根据公式 (5) 进行因式分解，得到：9x^6-16y^4=(3x^2)^3-(2y^2)^3=(3x^2-2y^2)(9x^4+6x^2y^2+4y^4)这个策略在解题时非常有用：先用一些基本公式进行初步因式分解，然后进一步分解，最后化简为一般式。

4. 通过多次转化得到结果：有时候，解题过程需要经过多次中间步骤，才能得出最终的结果。

这时候，我们需要耐心思考，灵活变通。

例如，对于如下式子：a^3+b^3+c^3-3abc，我们可以进行一下转化：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)这两步转化虽然看上去有些麻烦，但是却是得到正确答案所必需的。

5. 注意符号：在进行因式分解时，特别要注意符号的处理。

因式分解——运用公式法因式分解是一种将多项式表达式表示为若干个更简单的乘积形式的方法。

这种分解有许多不同的方法，其中之一是公式法。

公式法是一种将多项式分解为两个不可约的因子的方法，其中一个因子为公因式，另一个则为多项式的剩余因子。

本文将详细介绍使用公式法进行因式分解的步骤和技巧。

首先，我们需要明确所给多项式的形式，并找出其中的特征和模式。

一般来说，多项式可以表达为如下形式之一：$ax^2 + bx + c$，$ax^3 + bx^2 + cx + d$，或者其它类似形式。

接下来，我们需要寻找多项式的因子。

寻找因子的方法主要有以下几种：1.公因式法：如果多项式的各项都有一个或多个公因子，那么我们可以先将这些公因子提取出来，然后再对剩余的部分进行进一步的分解。

例如，对于多项式$2x^2+4x$，我们可以先提取出公因子2，得到$2(x^2+2x)$，然后再对括号中的部分进行分解。

2.模式法：有些多项式具有特定的模式，我们可以利用这些模式进行因式分解。

例如，多项式$x^2-y^2$具有差平方模式，我们可以将其分解为$(x+y)(x-y)$。

3.公式法：一些多项式可以通过特定的公式直接进行因式分解。

例如，二次三项式可以使用二次公式进行因式分解，三次三项式可以使用三次公式进行因式分解。

下面以一些例子来进一步说明公式法的具体步骤和技巧。

例子1：分解多项式$a^2-b^2$。

这个多项式具有差平方模式，我们可以根据差平方公式进行分解。

差平方公式表示为$(a+b)(a-b)$，其中$a$是一个数，$b$是一个数。

将这个公式应用于我们的多项式，我们可以得到$(a+b)(a-b)$。

所以，多项式$a^2-b^2$可以分解为$(a+b)(a-b)$。

例子2：分解多项式$4x^2-9y^2$。

这个多项式还是具有差平方模式，我们可以将其分解为$(2x)^2-(3y)^2$，再根据差平方公式进行因式分解。

根据差平方公式，我们可以将其分解为$(2x+3y)(2x-3y)$。

公式法配方法因式分解法1. 引言在数学中，因式分解是一种将多项式表达式表示为多个乘积的形式的方法。

分解多项式的目的是为了简化计算、化简表达式、寻找方程的解等。

公式法配方法因式分解法是一种基于公式和配方法相结合的因式分解方法，它能够有效地分解各种类型的多项式。

2. 回顾因式分解基础知识在介绍公式法配方法因式分解法之前，我们先回顾一些因式分解的基础知识。

2.1 因式分解的概念因式分解是将一个多项式表达式表示为多个乘积的形式。

例如，将多项式表达式x^2 + 2x + 1进行因式分解，可以得到(x + 1)(x + 1)。

2.2 因式分解的要求进行因式分解时，我们希望得到的乘积形式具有以下几个要求：•乘积形式的各个项之间没有公因子；•乘积形式的各个项的次数和与原多项式相同。

3. 公式法公式法是一种通过使用预先给定的公式来寻找因式分解的方法。

使用公式法时，我们需要熟记一些常见的因式分解公式，例如二次方差式、差二次方平方差式等。

通过将多项式与这些公式进行匹配，并运用一些变换和推导，就可以得到因式分解的结果。

3.1 二次方差式二次方差式是具有形式a^2 - b^2的多项式。

我们可以使用二次方差的公式进行因式分解，公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)例如，将多项式表达式x^2 - 9进行因式分解，可以使用二次方差式的公式得到(x + 3)(x - 3)。

3.2 差二次方平方差式差二次方平方差式是具有形式a^2 - b2c2的多项式。

我们可以使用差二次方平方差的公式进行因式分解，公式为：a^2 - b2c2 = (a - bc)(a + bc)例如，将多项式表达式x^2 - 4y^2进行因式分解，可以使用差二次方平方差式的公式得到(x - 2y)(x + 2y)。

4. 配方法配方法是一种通过将多项式进行合并、分配、变换等运算，再进行因式分解的方法。

使用配方法时，我们需要将多项式进行一系列变形，使得其中某些项能够进行合并或分配运算，从而方便进行因式分解。

八 年级数学 科辅导讲义(第11讲)学生姓名： _________ 授课教师： ____________ 授课时间： _________专 题 因式分解-公式法 目标利用公式分解因式 重难点 利用公式分解因式 常考点利用公式分解因式第一部分：知识点回顾把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

平方差公式 a 2 -b 2= (a + b)(a 一 b)a 3土b' = (a ±/?)•(/ + ab-^-b 2)|第二部分：例题解析|一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。

例1、分解因式：(1) X 2-9；(2) 9X 2-6X +1O二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

例2、分解因式：(1) xY^x'y”； (2) 4x 3y+4x 2y 2+xy\三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式，往往需要调整系数，转换为符合公 式的形式，然后再利用公式法分解. 例3、分解因式：(l)4x 2-25y 2;(2) 4x 2-12xy 2+9y 1.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式，然后利公式法分解因式，应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、分解因式：(l)x 4-81y 4;(2) 16x 1-72x 2y 2+81y ,.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位完全平方公式a 2±2ah + h 2= {a ±h)2立方和、立方差公式置，重新排列，然后再利用公式。

例5、分解因式：(1) -x"+(2x~3)2; (2) (x+y)'+4-4 (x+y).六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。

公式法进行因式分解公式法是一种常用于因式分解的方法。

它通过利用特定公式对给定的表达式进行变形，从而找到其因式分解形式。

公式法涉及的公式主要有"二次差平方公式"、"三角恒等式"、"立方差公式"等等。

下面将详细介绍这些公式及如何应用它们进行因式分解。

一、二次差平方公式：二次差平方公式是因式分解中经常使用的一种公式，它可以将二次多项式分解成两个一次多项式的乘积。

该公式的形式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)例如，给定一个二次多项式x^2-4，我们可以将其因式分解为：x^2-4=(x+2)(x-2)二、三角恒等式：三角恒等式也是一种常用的公式法，它适用于因式分解中出现三角函数的情况。

例如，当出现sin^2(x)时，我们可以利用三角恒等式将其转化为更容易处理的形式。

常用的三角恒等式有：1.三角平方和公式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)2.三角和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cos AcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)例如，考虑一个包含sin^2(x)的表达式sin^2(x) - 1，我们可以通过应用三角平方和公式将其因式分解为：sin^2(x) - 1 = (sin(x) + 1)(sin(x) - 1)三、立方差公式：立方差公式适用于因式分解中出现立方的情况，它可以将两个立方数的差分解为一次多项式乘以二次多项式。

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)例如，给定一个立方差表达式x^3-1，我们可以利用立方差公式将其因式分解为：x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)除了上述列举的公式，还有很多其他的公式可以用于因式分解，如求和公式、差积公式、分式分解公式等。

因式分解小结一、常用公式因式分解中常用的公式，如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c) /2【（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2】；(7)a3 +3a2b+3ab2 +b3 =（a+b）3；(8)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(9)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(10)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数。

二、常用方法1.提公因式法。

a.公式要提尽；b.将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正；c.因式分解的结果，单项式要写在多项式的前面，相同的因式要写成幂的形式。

2.运用公式法。

3.十字相乘法。

4.双十字相乘法。

双十字相乘法用于对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解。

双十字相乘法进行因式分解的步骤是：a.用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；b.把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

5.拆项、添项法。

例如：因式分解x３-9x+8 （四种方法）a.将常数项8拆成-1+9;b. 将一次项-9x拆成-x-8x;c. 添加两项-x2+x2;d. 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3;拆项、添项法 的 难点在于：不易想到添加项。

因式分解培优题(超全面、详细分类)因式分解专题培优将一个多项式变形成几个整式的积的形式，这个变形过程称为因式分解。

初中阶段常用的因式分解方法如下：1.基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法。

2.常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、待定系数法。

3.考虑顺序：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)十字相乘法；(4)分组分解法。

一、运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现在可以反向使用它们来进行因式分解，例如：1) a^2 - b^2 = (a + b) (a - b)2) a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^23) a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)4) a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)以下是几个常用的公式：5) a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^26) a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)7) an - bn = (a - b) (an-1 + an-2b + an-3b^2 + … + abn-2 + bn-1)，其中n为正整数；8) an - bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … + abn-2 - bn-1)，其中n为偶数；9) an + bn = (a + b) (an-1 - an-2b + an-3b^2 - … - abn-2 + bn-1)，其中n为奇数。

在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。

例如：例题1：分解因式：-2x^5n-1yn+4x^3n-1yn+2-2xn-1yn+4；例题2：分解因式：a^3 + b^3 + c^3 - 3abc。

用公式法进行因式分解因式分解是数学中的重要概念之一，它可以将一个多项式分解成若干个乘积的形式，方便我们进行进一步的运算和简化。

下面我们将通过公式法来学习因式分解的方法，帮助大家更好地掌握这一知识点。

一、什么是因式分解因式分解是指将一个多项式化为由若干个因子相乘的形式。

这些因子可以是一次式、二次式、甚至高次式。

因式分解是解决方程、求导、求极值等问题的基础之一，是数学中必不可少的知识点。

二、如何用公式法进行因式分解通过观察多项式中各项的项数、次数以及系数的情况，我们可以尝试使用公式法进行因式分解。

以下是一些常见的公式：1、平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$2、配方法公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$3、三次方差公式：$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$4、四次方差公式：$a^4-b^4=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$5、完全平方公式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$使用这些公式可以大大简化因式分解的过程，但是不同的多项式使用的公式可能不同，需要根据具体情况进行分析。

三、实例演示下面我们通过一个实例来演示如何用公式法进行因式分解。

将多项式$x^3-4x^2+3x+18$分解因式。

首先我们观察多项式中各项的项数、次数以及系数的情况，可以发现它们之间并没有特别明显的关系。

因此我们可以尝试使用配方法公式进行因式分解。

将$x^3-4x^2+3x+18$按照$x^3$和$-4x^2$为一组，$3x$和$18$为一组，得到：$x^3-4x^2+3x+18=(x^3-4x^2)+(3x+18)=x^2(x-4)+3(x+6)$这里使用了$x^2$作为公因式，然后将剩余部分分别提取，得到最终的因式分解形式。