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第三章作业及答案3.1 判断下列系统的能控性和能观测性。
2） []x y u x x 111,100041020122-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=解：2C 012000101Q bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，2c rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能控的2111101121o c Q cA cA -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，o 2rankQ n =<∴ 系统是状态不完全能观测的。
3.2 判断下列系统的能控性和能观测性。
1） []x y u x x 101,101300040002=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2） x y u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01011000,1110000130000200001000113） []x y u x x 101,110200020012=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=4） x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=610321,029331100050005解：由系统能控和能观测性判据：1）A 为对角标准型，且对角元素互不相同，B 阵有全零元素的行，所以系统是不完全能控；C 阵中有全零元素的列，故系统是不完全能观测的。
2）1100100100000001A B C=0020011010000311⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A 为约旦标准型，且各约旦块对角元素不相同，第一个约旦块最后一行对应到B 阵中的相应行为全零元素行，所以系统是不完全能控的；而各约旦块第一列对应到C 阵无全零元素列，所以系统是完全能观测的。
3）A =210020002⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ B =011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C =[]101A 为约旦标准型，但两个约旦块元素相同，课本上给出的由标准型判定系统能控、能观测的定理不再适用，因此要采用能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵来判断。
1-1 证明：由矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12-n 1-n n- - - -1 0 1 0 00 0 1 0a a a a A可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n1- )1(-)1(- 00 0 1- )1(-)1(- 0 00 1-1 0 1- 0 00 1-若i λ是A 的特征值，则00 0 0 1 10 1- 0 0 0 1-111n 1-n i 12-n 1-n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--ni n i n i i i i i a a a a a a a λλλλλλλλ 所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。
1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。
又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。
1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。
由于()()t 0 t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。
又因为()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，T T t u t u P u P P T T min t 0 min t t 0 t 而()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，，，T T t u T T t u P u P P P T T T min t 0 min t min t 0 min t ，故()()u P P P u P P T T T αα=，所以系统具有因果性。
6 XI 给定图P2.12)和＜b)所示两个电路，试列写出其状态方S 和输出方程。
其中, 分别指定：⑹状态变组廿二叱•勺输入变M « = ef(r):输出支量尹=/(b)状态变宣组X 严气，输入变S“y(O；输出变量丿■“CP2 1解 本题A 于由物理系统養立状态令问描述的基本题，意在训练正磧和熟塚运用电 路定律列写岀电路的状态方程和输出方程•(1)列写P2・l(a)电路的状态方程和输山方程。
首先.考虎到电容C 和电感E 为给定 电路中仅有的两个储能元件•电容端电压弋和流经电感电流了构成此电路的线性无关极 人变*组，从而透取状态变*组州=%:和巧=i 符合定义要求。
基此，利用电路元件关 系式和回路基尔《夫定律，定出电路方程为C 虬r dr L —+= e再由上述电路方程导出状态变量陀和i 的导》项，可得到状态变査方程规范形式， 血C I •—=—(tU C d/ 1 心 1 d/L c L L表%=3山和dW/dn 并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程:继而.按约定输出y = A 可直接得到此电路的输出方程:(b)列写P2.i(b)电路的状态方程和«ta 方程•类似地.考虑到电容C ］和C2为给定电 路中仅有的两个储能元件，电容端电压乜和七构成此电路的线性无关极大变fi 组，选 取状态变量组二叱和可二叱2符合定义要求，基此，利用电路元件关系式和回路基尔 霍夫定定出电路方程为dur GRpM 叱+叱之71RZ,皿6再由上述电路方程导出状态变量叱和叱的导数项，可得到状态变量方程规范形式: % 1 I 1少GR q GR 5 C,Kdr 表M 也C| /曲和 MqI方程：继而，按约定输出y =坯，可由电路导出：尸叱=%+七 将其表为向*方程，就得萸i 此电路的皴出方程，八不叱~孫"6 +丽e并将上述方程组表为向量方程，就得封此电路的状态K2.6求出下列^输入输出描述的一个状态空同描述： (i) 施)二 2^2 十 18$+40u(s)『+ 6“ +11S+6 (ii) 型十妙⑴_u(j) (g + 3)2(zl)解本®属于由传递函数型输入输出描述导出狀态空间描述的基本fi 。
2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new output so that the system in Fig 2.19(b) is linear?Figure 2.19Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。
其中u 表示输入，y 表示输出。
下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性的吗？Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as:u a y *=Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system. The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as:b u a y +=*Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let: b u a y +=11*b u a y +=22*then:b u u a y y *2)(*)(2121++=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.But we can introduce a new output so that it is linear. Let:b y z -=u a z *=z is the new output introduced. Easy to testify that it is a linear system.The input-output relation in Fig 2.1(c) can be described as:u u a y *)(=a(u) is a function of input u . Choose two different input, get the outputs:111*u a y =222*u a y =Assure:21a a ≠then:221121**)(u a u a y y +=+So it does not has the property of additivity, therefore, is not a linear system.2.2 The impulse response of an ideal lowpass filter is given by)(2)(2sin 2)(00t t t t t g --=ωωω for all t , where w and to are constants. Is the ideal lowpass filter causal? Is is possible to built the filter in the real world?Translation: 理想低通滤波器的冲激响应如式所示。
2-17 证明：①首先证明()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现（该题有问题，不是()TT TCB A，，）。
由于()s G 是对称传递函数阵，故有()()T T T C sI B B A sI C 1-1-A --=，所以()TT TBC A，，是()s G 的实现。
又因为()[]n CA CA Crank CA C A C rank n Tn TT T T =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1-1- ，其可控； 同理可证其可观，故系统()T T T B C A ，，是可控可观的。
所以其是()s G 的不可简约实现。
②证明P 的对称性。
由题设易知，由于()T T T B C A ，，是()s G 的不可简约实现，则存在非奇异阵P ，使得TT T BCPC PB A PAP===--11，，。
由T T T T T T P P I P P P CP P B C C PB =⇒=⇒==⇒=--11 所以P 是非奇异对称阵。
③证明P 的唯一性。
由T C PB =，很容易知道1-=B C P T ，故知P 是唯一的。
综上可知，命题得证。
2-18 解：[]1 1 3- 4 2301 4 0 2- 3-0 3 2- 6-0 02 0 0 0 0 1 -=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=C B A 。
a.① ><B A |由[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==65 17 5 2 3 3 3 3 00 0 0 1 1 1 1 32B A B A AB B U 所以)53012301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<，span B A 。
② η()⇔⋂=kCAker η064 27 118- 145-16 9 34- 43-4 3 10- 13-1 1 3- 4 032=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⇔=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x CACA CA C故)12101301(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，span η ③ ><⋂B A |η即任意>⇔<⋂∈B A x |η2153012301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=，同时有4312101301x x x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=故0--1 1 5 22 3 3 31 0 0 00 1 1 14321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x ，有)1301(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂span B A η ④ ⊥><⋂B A |η 易知，⇔>∈<⊥B A x |[]065 17 5 2 3 3 3 3 0 0 0 0 1 1 1 1 32=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T TxB A B A AB B x，即 065 3 0 117 3 0 15 3 0 12 3 0 1=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x 所以)0103-0010(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⊥，span B A 同③，可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=><⋂⊥0000|B A η⑤ ><⋂⊥B A |η)101-1-0123(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⊥，span η同③可知⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡>=<⋂⊥0000|B A η⑥ ⊥⊥><⋂B A |η易知)0123(|⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=><⋂⊥⊥span B A η 综上可知，上述空间的维数加起来不等于4，故在上述空间的直和空间中不能取到状态空间的基底。
《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。
第二章作业及答案2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A ；解：（1）用定义计算At e22332323232323112!3!1006-6 -30 30 114110115 5 19-19 -6523!135615195191965152626AteI At A t A t t t t t t t t t t t t t t t =++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-++-++⎢⎥=⎢⎥-+-+-+++⎢⎥⎣⎦＋ （2）拉氏变换法计算At e （注意 求逆 伴随矩阵 计算能力）11111112323[()]6155656(s 3)(2)(s 3)(2)111s (5)6(s 3)(2)(s 3)(2)32662323113232323266Att tt teL sI A s L s s s s s LL s s s s s s s s s L ss s s e e e e-----------=--⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤⎢⎥+++++⎡⎤⎢⎥==⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦⎢⎥++++⎣⎦⎡⎤--⎢⎥++++=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥++++⎣⎦--=323232tttt e eee ----⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（3）待定系数法（凯莱－哈密尔顿Cayley-Hamilton 法）计算Ate256I A λλλ-=++ ∴123,2λλ=-=-112210)()()()(--++++=n n AtAt A t A t I t eαααα ，根据凯莱－哈密尔顿定理，有112i 2i 10)()()()(i --++++=n n tt t t t eλαλαλααλ （注意：书上p42-43错！0α后不应乘以I ）01201()()(3)()()(2)t te t t et t αααα--=+-=+-解之得 232301()32()t t ttt e e t ee αα----=-=-，0123233232()()326632Att t t ttttt et I t A e e e ee eee αα--------=+⎡⎤--=⎢⎥--⎣⎦ （4）非奇异变换法（对角、约旦标准形法）计算At e11n t AtPAP11t ePePP P e e λλ---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦256I A λλλ-=++ ∴123,2λλ=-=-当31-=λ时，求A 的特征向量11112p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1111111112126p p 36(I A)p 0015p p 12λλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112111123p 6p 02p p 2p 01--=-⎧⎡⎤∴⇒=⎨⎢⎥+=⎣⎦⎩（注意，p 1不唯一，但最终求得的A P P 1-唯一）当2-=λ时，求A 的特征向量21222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2212122222226p p 26(I A)p 0015p p 13λλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⇒==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112211122p 6p 03p p 3p 01--=-⎧⎡⎤∴⇒=⎨⎢⎥+=⎣⎦⎩（同样，p 2不唯一）[]1223P p p 11--⎡⎤∴==⎢⎥⎣⎦ 113-13P-121-2--⎡⎤⎡⎤∴=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112tAtPAP11t 3t23232t 32320ePePP P 023-1303266111-2032ttt tt ttt e e e e e e ee e e ee λλ-------------⎡⎤==⎢⎥⎣⎦--⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（注意：P 中一列对应的特征向量应与1n t t e e λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相对应）2.3 已知系统方程如下，[]xy ux x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= ，求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
1-1 证明：由矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12-n 1-n n- - - -1 01 0 00 0 1 0a a a a A可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n 1- )1(-)1(- 0 00 1- )1(-)1(- 0 0 0 1-1 0 1- 0 00 1- 若i λ是A 的特征值，则00 0 01 1 01- 0 0 0 1- 111n 1-n i 12-n 1-n n =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--ni n i n i i i i i a a a a a a a λλλλλλλλ所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。
1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。
又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。
1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。
由于()()t 0 t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。
又因为()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，T T t u t u P u P P T T min t 0 min t t 0 t 而()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，，，T T t u T T t u P u P P P T T T min t 0 min t mint 0 min t ，故()()u P P P u P P T T T αα=，所以系统具有因果性。
1-1 证明：由矩阵 可知A 的特征多项式为nn n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ++++++=+++++=+++=++=+=-+λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ1-3-32-21-11-3-3122-2-1-n 13-n 2-n 21-1n 12-n 1-n 12-n 1-n n1- )1(-)1(- 00 0 1- )1(-)1(- 0 00 1-1 0 1- 0 0 0 1-若i λ是A 的特征值，则所以[]Ti i 1-n i 2 1 λλλ 是属于i λ的特征向量。
1-7 解：由于()ττ--t e t g =，，可知当τ<t 时，()0≠τ，t g ，所以系统不具有因果性。
又由于()()0 ，，ττ-=t g t g ，所以系统是时不变的。
1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。
由于()()t 0t ⎩⎨⎧>≤-=-=ααββαβαt u t u P u Q P 而()()⎩⎨⎧+>+≤-=⎩⎨⎧>≤=βαβαβααβαβ t 0 t t 0 t t u t u Q u P Q ，故u P Q u Q P αββα≠，所以系统是时变的。
又因为()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，T T t u t u P u P P T T min t 0 min t t 0 t 而()()()()()()()⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=ααααα，，，，T T t u T T t u P u P P P T T T min t 0 min t min t 0 min t ，故()()u P P P u P P T T T αα=，所以系统具有因果性。
1-11 解：由题设可知，()τ-t g 随τ变化的图如下所示。
()τu 随τ变化的图如下所示。
从上述两图及所描述的系统，分析如下： 当2≥t ，21>-t 且22≤-t 即43≤<t 时，有()()()⎰⎰--+-=+--=-=22284212t tt t d t d u t g y τττττ； 当4>t 时，0=y ； 当32≤<t 时，有()()()10823222121121+-=+--++--++-=⎰⎰⎰---t t d t d t d t y t t t ττττττ； 当21≤<t 时，有()()()2423221111-+-=-++-++-=⎰⎰⎰--t t d t d t d t y tt t ττττττ； 当10≤<t 时，有()221t d t y t=+-=⎰ττ； 综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为： 1-15 解：由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：⎩⎨⎧==-02111x e x t ，⎪⎩⎪⎨⎧==-t t e x e x 221221 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-t t te e e x 021 即其基本矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-tt te ee 021 ψ；状态转移矩阵为：1-17 证明：由题设我们可知 故()[]()()[]()t T t T dtdt T t T dt d 111----=，得证。
1-19 证明：由题设可知：由上式可推出 ()()()()**⋅=t A t t t t 0101-，，φφ又由()()()00t t t A t t ，，φφ=⋅及习题1-17的结论可推出由以上两个结论，我们可得到()()()()10001-**==t t t t t t ，，，φφφ所以()()I t t t t =*001，，φφ得证。
即()()()()()()I t t t t t t t t t t t t ===***001010001，，，，，，φφφφφφ得证。
1-20 解：设其等价变换为Px x =-，则可知:由于P 是非奇异矩阵，所以⎰=⇒=+-⋅Adte P P PA 0。
1-24 解：易知()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=2s 9- 153s 1 115 00 100s s s G s G s G ，其中，其中()s G 0为严格真有理函数矩阵，进行下列计算：()()()()611632123+++=+++=s s s s s s s g ，则6g 11g 6g 3210====，，，r所以。
，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9- 51136- 253 527- 302 6210G G G 因此，可得()s G 一个实现如下： 其模拟图如下所示。
1-25 证明：由题设知 同理可知()()()()()τδττδττ-+-=-+=-----∞=-----∑-t D B A C t k t D B eC t G k kk t A 0!1若要使得两系统零状态等价，则要满足()()ττ-=--t G t G ，即满足()-210 D D k B A C B CA k k===⇔--- ，，，得证。
2-2 解：a,x y u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•1 2 1 1- 1 0 1 1-1 0 01 3- 4- 2- 1 0 0 0 1 0 由题设可知：[]315 1 7- 1 1 1-7- 1 1 1- 1 0 1 1- 10 0 1 B A AB B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rank rank ，所以系统可控；30 2 2 8- 14- 8-1- 3- 2-4 4 2 1 2 1 1- 10 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rank CA CA C rank ，所以系统可观。
b,[]x c c c y u x x 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•由题设可知：[]30 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 A B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==rank B rank rankB ，所以系统可控； （1）若0321===c c c ，则系统不可观； （2）若321c c c ，，中至少有一个不等于零，则3 2 CA CA C 321132113212≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c c c c c rank rank ，所以系统不可观； 总之，该系统不可观。
d,[]x e y u e e x x ttt 1 2- 0 0 1- 2---•=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 由题设知由于()()t B t t ，0φ的两行不是线性无关的，所以系统不可控； 又()[]()()()()[]3e - 1- 1-001-0t t t N dtdt A t N t N e t N =+==， 则()()23- 1- 1 --10=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t e e rank t N t N rank ，所以系统可观。
2-3 证明：若线性系统可控，则存在01t t >使得()10t t W ，非奇异。
构造输入()()()()()()[]1100101-0-x t t t x t t W t t t B t u ，，，φφ**-=，其能在1t 时刻将状态()0t x 转移到()11x t x =。
我们将上式代入()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰tt d u B t t x t t t x 0000ττττφφ，，，此时 ()()()()()()()()()()[]()()()()()()[]()()()1110011100101-100011100101-000011 -- --10x x t t t t x t t t x t t W t t W t x t t x t t t x t t W d t B B t t x t t t x t t ===⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎰**，，，，，，，，，，，φφφφφττφτττφφ命题得证。
对离散线性系统不一定成立。
对()()()n Bu n Ax n x +=+1，由递推可知： 要使所控状态任意，则必须满足若()0=n x ，而A 不满秩，则x 只在n A 值域中选取，否则x 属于[]BA AB B 1-n 的值域。
故对离散系统，任意状态控向任意状态的条件一般强于从任意状态控向原点的条件。
若A 满秩时，两者等价。
2-4 证明：若线性动态方程在0t 可控，则存在01t t >，使()()ττφB t ，0在[]10t t ，上行线性无关。
当0t t <时()()()()()ττφφττφB t t t B t ，，，00=，由于()τφ，t 为可逆阵，故不改变其线性无关性。
取t t t >>01，使得()()ττφB t ，0在[]10t t ，上行线性无关，而[][]110t t t t ，，⊂，所以()()ττφB t ，0在[]1t t ，上行线性无关，从而()()ττφB t ，在[]1t t ，上行线性无关，即对任意的0t t <，动态方程也可控。
在0t t >时，系统未必可控。
因为不能保证使()()ττφB t ，的行线性无关的区间存在。
2-7 证明： 必要性：反证法，当系统可控时，若[]n B A rank ≠ ，则存在0≠α，满足：[]000 ==⇒=B A B A ααα，，即这说明矩阵[]B A AB B n 1- 行线性相关，与线性时不变系统可控条件[]n B A AB B rank n =1- 矛盾，即命题得证。
充分性：对⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111 00 1B A ，，我们可知[]21 1 010 1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rank B A rank ，但此时[]211 111 ≠=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rank AB B rank ，此时系统不可控，故不是充分条件。
2-8 解： 由题设易知：则()()()()()τττφφd Bu t x t t x t⎰+=000，，故()()()()()()ττπφττπφττπφπφππππππd Bu d Bu d Bu x x 3234234321322220022⎰⎰⎰+++=，，，，即()()()()()()()πτττττττττπππππ2 -cos -sin -cos -sin -cos -sin sin -cos 002343343221320=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰t d u t t d u t t d u t t t t ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇔02-in -34-sin 34-in -32-sin 32-sin -sin sin -034-cos -2-cos 32-cos -34-cos cos -32-cos cos 321321ππππππππππt s t u t s t u t t u t t t u t t u t t u t 令π2=t 可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-02332302323132131u u u u u ，此方程组有解，例如311=u ，02=u ，313-=u ，满足条件，所以存在常数1u 、2u 、3u ，是系统状态能完全由()()Tx 0 10=向()()Tx 0 02=π转换。
