【新教材】高中数学必修第一册期末复习讲义：第5章 三角函数01

第五章三角函数5.1任意角和弧度制 (2)5.1.1任意角 (2)5.1.2弧度制 (8)5.2三角函数的概念 (14)5.2.1三角函数的概念 (14)5.2.2同角三角函数的基本关系 (21)5.3诱导公式 (27)第一课时诱导公式二、三、四 (27)第二课时诱导公式五、六 (32)5.4三角函数的图象与性质 (36)5.4.1正弦函数、余弦函数的图象 (36)5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 (41)第一课时正、余弦函数的周期性与奇偶性 (41)第二课时正、余弦函数的单调性与最值 (48)5.4.3正切函数的性质与图象 (53)5.5三角恒等变换 (58)5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (58)第一课时两角差的余弦公式 (58)第二课时两角和与差的正弦、余弦公式 (62)第三课时两角和与差的正切公式 (68)第四课时二倍角的正弦、余弦、正切公式 (72)5.5.2简单的三角恒等变换 (76)5.6函数y＝A sin(ωx＋φ) (81)5.6.1匀速圆周运动的数学模型 (81)5．6.2函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象 (81)第一课时函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换 (81)第二课时函数y＝A sin(ωx＋φ)图象与性质的应用 (85)5.7三角函数的应用 (89)5.1任意角和弧度制5.1.1任意角知识点一任意角的概念1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示如图，①始边：射线的起始位置OA；②终边：射线的终止位置OB；③顶点：射线的端点O；④记法：图中的角α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．3．角的分类名称定义图形正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角1．当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．2．正角、负角、零角是根据什么区分的？提示：根据组成角的射线的旋转方向．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)小于90°的角都是锐角．()(2)终边与始边重合的角为零角．()(3)大于90°的角都是钝角．()(4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是120°.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列说法正确的是()A．最大的角是180°B．最大的角是360°C．角不可以是负的D．角可以是任意大小答案：D3．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．答案：390°－150°60°知识点二角的加法1．若两角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β．2．设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β．3．相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)．下列所示图形中，γ＝α＋β的是________；γ＝α－β的是________．解析：在①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ＝α＋β.在②中，α与γ的始边相同，α的终边为－β的始边，－β与γ的终边相同，所以γ＝α＋(－β)＝α－β.同理可知，③中γ＝α－β，④中γ＝α＋β.答案：①④②③知识点三象限角与终边相同的角1．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．2．各象限角的集合3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．对集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的理解(1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略；(2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)终边相同的角一定相等．()(2)－30°是第四象限角．()(3)第二象限角是钝角．()(4)225°是第三象限角．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．与610°角终边相同的角表示为(其中k∈Z)()A．k·360°＋230°B．k·360°＋250°C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°答案：B3．－179°角是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C[例1](A．锐角都是第一象限角B．第一象限角一定不是负角C．小于180°的角是钝角、直角或锐角D．在90°≤β＜180°范围内的角β不一定是钝角[解析]锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以A正确；－350°角是第一象限角，但它是负角，所以B错误；0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以C错误：由于在90°≤β＜180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，所以D正确．[答案]AD理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可．[例2] (1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜360°；(3)求与α终边相同的最大负角与最小正角．[解] (1)由2 021°除以360°，得商为5，余数为221°，∴取k ＝5，β＝221°，则α＝5×360°＋221°.又β＝221°是第三象限角，∴α为第三象限角．(2)与 2 021°角终边相同的角为k ·360°＋2 021°，k ∈Z .令－360°≤k ·360°＋2 021°＜360°，k ∈Z ，∴k 可取－6，－5，将k 的值代入k ·360°＋2 021°中，得角θ为－139°，221°.(3)由(2)知，与α终边相同的最大负角是－139°，最小正角是221°.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍；(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[例3] (°；③－960°；④1 530°这四个角中，是第二象限角的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 第二象限角α需满足k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，分析可知：①是第二象限角；②是第二象限角；③是第二象限角；④不是第二象限角．故选A 、B 、C.[答案] ABC(2)已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[解] ∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k 2·360°＋45°<α2<k 2·360°＋90°(k ∈Z )．当k 为偶数时，令k ＝2n (n ∈Z )，得n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z )，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．[母题探究]1．(变设问)在本例(2)的条件下，求角2α的终边的位置．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z )．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解？解：∵k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，∴k ·180°<α2<k ·180°＋45°(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°<α2<n ·360°＋45°，∴α2是第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋180°<α2<n ·360°＋225°，∴α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角．1．给定一个角判断它是第几象限角的思路判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β＋k ·360°(其中k ∈Z ，β在0°～360°范围内)的形式，观察角β的终边所在的象限即可．2．分角、倍角所在象限的判定思路(1)求解的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略；(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．5.1.2 弧度制知识点一 度量角的两种制度1．用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或 “rad ”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可．2．不管是以弧度还是以度为单位度量角的大小，都是一个与半径大小无关的定值．知识点二角度制与弧度制的换算1．弧度数的计算2．弧度与角度的换算1．一个角的度数是否对应一个弧度数？提示：是．一个给定的角，其度数和弧度数都是唯一确定的．2．在大小不同的圆中，长度为1的弧所对的圆心角相等吗？提示：不相等．这是因为长度为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同，所以圆心角也不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．()(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．()(3)1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12π.()(4)1 rad 的角比1°的角要大．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√2．(多选)下列转化结果正确的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°答案：ABD知识点三 扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR ；(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2．在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，则扇形的弧长l ＝r |α|＝1×30＝30(cm)．( )(2)圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，弧长所对的扇形的面积不变．( )答案：(1)× (2)×2．已知扇形的半径r ＝30，圆心角α＝π6，则该扇形的弧长等于________，面积等于________．答案：5π 75π[例1] ( (1)5116π；(2)－7π12；(3)10°；(4)－855°. [解] (1)5116π＝5116×180°＝15 330°. (2)－7π12＝－712×180°＝－105°. (3)10°＝10×π180＝π18.(4)－855°＝－855×π180＝－19π4.角度制与弧度制的互化原则和方法(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算；(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n °，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad.[注意] 用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．[例2] ≤α＜2π，k ∈Z )的形式，指出它是第几象限角并写出与α终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°.[解] (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，与2π3终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z. (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，它是第四象限角，与7π4终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋7π4，k ∈Z.弧度制下与角α终边相同的角的表示在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．[注意] (1)注意角度与弧度不能混用； (2)各终边相同的角需加2k π，k ∈Z .[，则扇形圆心角(正角)的弧度数为( )A.12 B.π2 C.14D.π4[解析] 设扇形的半径为r ，圆心角为α(0＜α＜2π)， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12r 2α＝4， ①2r ＋rα＝10， ②由②得，r ＝102＋α，③ 把③代入①，得2α2－17α＋8＝0. 解得α＝12或α＝8(舍去)． 故扇形圆心角的弧度数为12. [答案] A关于弧度制下扇形问题的解决方法(1)三个公式：|α|＝l r ，S ＝12lr ＝12αr 2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值；(2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解．扇形的弧长公式的应用如图，点P ，Q 从点A (4，0)同时出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6.[问题探究]1．点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？提示：设点P ，Q 第一次相遇所用的时间是t s ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4，∴第一次相遇时用了4 s.2．点P ，Q 第一次相遇时各自走过的弧长是多少？提示：第一次相遇时，点P 运动到角4π3的终边与圆相交的位置，点Q 运动到角－2π3的终边与圆相交的位置，∴点P 走过的弧长为4π3·4＝16π3，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝8π3.3．若点Q 也按逆时针方向转，则点P ，Q 第一次相遇时用了多少秒？ 提示：设点P ，Q 第一次相遇的时间为t s ，则t ·π3－t ·π6＝2π，解得t ＝12 s ．所以第一次相遇时用了12 s.[迁移应用]某时针的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合．设秒针端点A 转过的路程为d cm ，所形成的扇形面积为S cm 2，分别求d 与S 关于时间t (s)的函数，其中t ∈[0，60]．解：∵秒针的旋转方向为顺时针，∴t s 后秒针端点A 转过的角α＝－πt30 rad ， ∴秒针端点A 转过的路程为d ＝|α|·r ＝πt6(cm)，∴形成的扇形面积为S＝12|α|·r2＝5πt12(cm2)，∴d＝πt6(t∈[0，60])，S＝5πt12(t∈[0，60])．5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义条件如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin_α余弦点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos_α正切点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tanα，即yx＝tan_α(x≠0)三角函数正弦函数y＝sin x，x∈R；余弦函数y＝cos x，x∈R；正切函数y＝tan x，x≠π2＋kπ，k∈Z三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数；(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin α表示sin 与α的乘积．( ) (2)如图所示，sin α＝y .( )(3)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×2．已知角α的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α＝______，cos α＝________，tan α＝________．答案：－12 －32 33 知识点二 三角函数值的符号 如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α是三角形的内角，则必有sin α>0.( ) (2)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( ) 答案：(1)√ (2)×2．若sin α<0且cos α<0，则角α为第________象限角． 答案：三知识点三 诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式：根据三角函数的诱导公式一，终边相同的角的同一三角函数值有何关系？ 提示：终边相同的角的同一三角函数值相等．诱导公式一的结构特点(1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2k π，右边角为α；(2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现；(3)此公式也可以记为：sin(α＋k ·360°)＝sin α，cos(α＋k ·360°)＝cos α，tan(α＋k ·360°)＝tan α.其中k ∈Z .[例1] 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin αcos β＝( )A ．－3665 B ．－313 C.413D.4865(2)设a <0，角α的终边与单位圆的交点为P (－3a ，4a )，那么sin α＋2cos α的值等于( )A.25 B ．－25 C.15D ．－15[解析] (1)∵角α，β的终边与单位圆分别交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，513和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，故由定义知sin α＝513，cos β＝－35， ∴sin αcos β＝513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－313.(2)∵点P 在单位圆上，则|OP |＝1. 即（－3a ）2＋（4a ）2＝1，解得a ＝±15.∵a <0，∴a ＝－15. ∴P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.∴sin α＝－45，cos α＝35. ∴sin α＋2cos α＝－45＋2×35＝25. [答案] (1)B (2)A利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：(1)若已知角α终边上一点P (x ，y )是单位圆上的点(有时此点的坐标需求出)，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)；(2)若已知角α终边上一点P (x ，y )不是单位圆上的点，则首先求r ＝ x 2＋y 2，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)；(3)终边在已知直线(射线)上，可以在直线(射线)上取两个(一个)点，再利用定义求解；(4)参数问题：若点的坐标，角的三角函数值中含有字母，则需要注意字母是否需要分类讨论．题型二三角函数值符号的判定[例2] (链接教科书第180页例3、第181页例4)(1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)sin 285°·cos(－105°)________0(填“＜”或“＞”)． [解析] (1)依题意得⎩⎨⎧tan α＜0，cos α＜0.由tan α＜0知，α是第二、四象限角．当α是第二象限角时，cos α＜0，符合题意；当α是第四象限角时，cos α＞0，不符合题意．故选B.(2)因为285°是第四象限角，所以sin 285°<0.因为－105°是第三象限角，所以cos(－105°)<0.所以sin 285°·cos(－105°)>0.[答案] (1)B (2)>正弦、余弦函数值的正负规律题型三诱导公式一的应用[例3] ((1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． [解] (1)因为cos 25π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋8π＝cos π3＝12，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝tan π4＝1， 所以cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝12＋1＝32. (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝32， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝32， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝12， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝12，所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)＝32×32＋12×12＝1.利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤三角函数在单位圆中的几何表示及应用设角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图①，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直y 轴于点N ，则点P 的坐标为(cos α，sin α)，其中cos α＝OM ，sin α＝ON ，即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．以A 为原点建立y ′轴与y 轴同向，y ′轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T (或T ′)，如图②，则tanα＝AT (或AT ′)．我们把有向线段OM ，ON 和AT (或AT ′)分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线，它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示．[问题探究]1．设角α＝x rad ，且0<x <π2 ，于是x ，sin x ，tan x 都是实数，请你给x 一个具体的值，比较三个实数的大小．提示： 我们先给x 一个具体的值来进行比较：取x ＝π6，则sin x ＝12，tan x ＝33.因为12＝36<π6，所以sin π6<π6.又tan π6＝33＝236>π6，所以tan π6>π6.从而可得sin π6<π6<tan π6.即当x ＝π6时，sin x <x <tan x .2．你在第1问中得到的大小关系是否对区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的任意x 都成立？提示：设角α的顶点与圆心O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，如图所示．过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过x 轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A 作该单位圆的切线AT ，交α的终边于点T ，连接AP ，则MP ＝sin x ，AT ＝tan x ，S △OAP <S 扇形AOP <S △OAT .因为S △OAP ＝12OA ·MP ＝12sin x ， S 扇形AOP ＝12x ·12＝12x ， S △OAT ＝12OA ·AT ＝12tan x ， 所以12sin x <12x <12tan x ，即sin x <x <tan x .因此当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，sin x <x <tan x ．这在后面的学习中会经常用到．[迁移应用]在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.解：(1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z.(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z.5.2.2 同角三角函数的基本关系知识点 同角三角函数的基本关系基本关系式的变形公式sin 2α＋cos 2α＝1⇒⎩⎨⎧sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，（sin α±cos α）2＝1±2sin αcos α.tan α＝sin αcos α⇒ ⎩⎨⎧sin α＝tan αcos α，cos α＝sin αtan α.1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对∀x ∈R ，sin 24x ＋cos 24x ＝1.( ) (2)对∀x ∈R ，tan x ＝sin xcos x .( ) (3)若cos α＝0，则sin α＝1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．化简1－sin 2π5的结果是( )A ．cos π5 B ．－cos π5 C ．sin π5 D ．－sin π5答案：A3．已知cos α＝－513，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________．答案：1254．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α等于________．答案：1题型一利用同角基本关系式求值角度一 已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值 [例1] (链接教科书第183页例6)(1)已知sin α＝15，求cos α，tan α 的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，求cos α的值．[解] (1)∵sin α＝15＞0，∴α是第一或第二象限角． 当α为第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－125＝265，tan α＝sin αcos α＝612；当α为第二象限角时，cos α＝－265，tan α＝－612. (2)由已知得⎩⎨⎧sin αcos α＝2， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ② 由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 ，∴cos α＜0，∴cos α＝－55.求三角函数值的方法(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解：(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方法求解：[注意]当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．角度二已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值[例2]已知tan α＝2.(1)求sin α－3cos αsin α＋cos α的值；(2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值. [解](1)法一(代入法)：∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝2cos α－3cos α2cos α＋cos α＝－13.法二(弦化切)：∵tan α＝2.∴sin α－3cos αsin α＋cos α＝sin αcos α－3sin αcos α＋1＝tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13.(2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α＝2sin2α－sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan2α－tan α＋1tan2α＋1＝2×4－2＋14＋1＝75.已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．[例3]已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．[解](1)由sin α＋cos α＝－13得(sinα＋cos α)2＝19，sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝19，sinαcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0.(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝17 9，所以sin α－cos α＝17 3.sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.[注意]求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．[例4](链接教科书第184页练习4题)化简sin α1＋sin α－sin α1－sin α.[解]sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的；(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的；(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．角度二 三角恒等式的证明[例5] 求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝tan α＋1tan α－1.[证明] 法一：左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2sin 2α－cos 2α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝右边．所以等式成立．法二：右边＝sin αcos α＋1sin αcos α－1＝sin α＋cos αsin α－cos α＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α） ＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝左边．所以等式成立．证明三角恒等式常用的方法(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简； (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异； (4)变更命题法，如要证明a b ＝c d ，可证ad ＝bc ，或证d b ＝ca 等； (5)比较法，即设法证明“左边—右边＝0”或“左边右边＝1”．5.3诱导公式第一课时诱导公式二、三、四知识点诱导公式二、三、四1．公式二终边关系图示角π＋α与角α的终边关于原点对称公式sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα2．公式三终边关系图示角－α与角α的终边关于x轴对称公式sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tan α3．公式四终边关系图示角π－α与角α的终边关于y轴对称公式sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα诱导公式的记忆方法与口诀(1)记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名不变，符号看象限”．“口诀”的正确理解：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)诱导公式中角α是任意角．()(2)点P(x，y)关于x轴的对称点是P′(－x，y)．()(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的．()(4)诱导公式一、二、三、四函数的名称都不变．()(5)公式tan(α－π)＝tan α中，α＝π2不成立．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．已知cos(π＋θ)＝36，则cosθ＝()A.36B．－36C.336D．－336答案：B3．已知tan α＝4，则tan(π－α)＝________． 答案：－44．cos(－30°)＝________，sin 2π3＝________． 答案：32 32题型一给角求值问题[例1] (链接教科书第189页例1)求下列各三角函数值： (1)cos 17π6；(2)tan(－855°)；(3)tan 3π4＋sin 11π6. [解] (1)cos 17π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°) ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－tan π4－sin π6＝－1－12 ＝－32.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤[例2] ((1)cos （－α）tan （7π＋α）sin （π－α）；(2)sin （1 440°＋α）·cos （α－1 080°）cos （－180°－α）·sin （－α－180°）. [解] (1)原式＝cos αtan （π＋α）sin α＝cos α·tan αsin α＝sin αsin α＝1.(2)原式＝sin （4×360°＋α）·cos （3×360°－α）cos （180°＋α）·[－sin （180°＋α）]＝sin α·cos （－α）（－cos α）·sin α＝cos α－cos α＝－1.利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．[例⎭⎪⎫α－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值．[解] 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－33－23＝－2＋33.[母题探究]1．(变设问)本例条件不变，求：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6的值．解：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－13π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－2π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33－23＝－3＋23.2．(变条件、变设问)将本例中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？解：由题意知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝ －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－33， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－33＋23＝2－33.解决条件求值问题的两技巧第二课时 诱导公式五、六知识点 诱导公式五、六 1．诱导公式五、六2．诱导公式五、六可用语言概括(1)函数值：π2±α的正弦(余弦)值，分别等于α的余弦(正弦)函数值； (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．公式五、六的记忆方法与口诀(1)记忆方法：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；(2)记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．( ) (2)sin(90°＋α)＝－cos α.( )(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α.( )答案：(1)× (2)× (3)×2．下列与sin θ的值相等的是( ) A ．sin(π＋θ) B ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θC ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θD ．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ答案：C3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，则cos α＝________．答案：124．已知sin θ＝15，则cos(450°＋θ)＝________． 答案：－15[例1] (1)已知tan α＝3，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α的值． [解] (1)sin （α－π）＋cos （π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos αcos α－sin α＝－tan α－11－tan α＝－3－11－3＝2. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12×12＝14.用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少；(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．[例2] (sin （4π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋αcos （2π－α）－tan （5π－α）sin （3π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.[解] ∵sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－cos α，tan(5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α， sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，∴原式＝sin αsin α－cos αcos α－－tan αsin αcos α＝－sin 2αcos 2α＋1cos 2α＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.用诱导公式进行化简时的注意点(1)化简后项数尽可能的少；(2)函数的种类尽可能的少； (3)分母不含三角函数的符号； (4)能求值的一定要求值；(5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．[例3] 求证：tan （2π－α）sin （－2π－α）cos （6π－α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝－tan α. [证明] 左边＝tan （－α）·sin （－α）·cos （－α）sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝（－tan α）·（－sin α）·cos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立．利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简； (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异．[例4]f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan （2π－α）tan （α＋π）sin （α＋π）.(1)化简f (α)；(2)若f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，且5π4≤α≤3π2，求f (α)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．[解] (1)f (α)＝－cos αsin α（－tan α）tan α（－sin α）＝－cos α.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α，因为f (α)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－18，所以cosα·sin α＝18，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （α）＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π22＝(sin α－cos α)2＝34，由5π4≤α≤3π2，得cos α>sin α，所以f (α)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝sin α－cos α＝－32.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系；二看函数名称：一般是弦切互化；三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．5.4 三角函数的图象与性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦函数、余弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象1．“五点法”只是画出y ＝sin x 和y ＝cos x 在[0，2π]上的图象；若x ∈R ，可先作出正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的图象，然后通过不断向左、右平移可得到y ＝sin x ，x ∈R 和y ＝cos x ，x ∈R 的图象．2．将y ＝sin x ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度得y ＝cos x ，x ∈R 的图象，因此y ＝sin x ，x ∈R 与y ＝cos x ，x ∈R 的图象形状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y ＝sin x 的图象关于y 轴对称．( ) (2)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (3)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在“五点法”中，正弦曲线最低点的横坐标与最高点的横坐标的差等于( )A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π答案：B。

第五章三角函数章末总结体系构建题型整合题型1 同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用例1 已知f(α)=sin2(π−α)⋅cos(2 π−α)⋅tan(−π+α)sin(−π+α)⋅tan(−α+3 π).（1）化简f(α);（2）若f(α)=18,且π4＜α＜π2,求cosα−sinα的值;（3）若α=−47 π4,求f(α)的值.答案：（1）f(α)=sin 2α⋅cosα⋅tanα(−sinα)(−tanα)=sinα⋅cosα.（2）由f(α)=sinα⋅cosα=18可知,(cosα−sinα)2=cos2α−2 sinα⋅cosα+sin2α=1−2 sinα⋅cosα=1−2×18=34,因为π4＜α＜π2,所以cosα＜sinα,即cosα−sinα＜0,所以cosα−sinα=−√32.（3）因为α=−47 π4=−6×2 π+π4,所以f(−47 π4)=cos(−47 π4)⋅sin(−47 π4)=cos(−6×2 π+π4)⋅sin(−6×2 π+π4)=cosπ4⋅sinπ4=√22×√22=12.方法归纳1.牢记两个基本关系式sin2α+cos2α=1及sinαcosα=tanα，并能应用这两个关系式进行三角函数的化简、求值、证明．2．诱导公式可概括为k⋅π2±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是“奇变偶不变,符号看象限”.迁移应用1.（2021湖南长沙雅礼中学高一月考）已知sin(−π+θ)+2 cos(3 π−θ)=0 ,则sinθ+cosθsinθ−cosθ= .答案： 13解析： 因为sin(−π+θ)+2 cos(3 π−θ)=0 , 所以−sinθ−2 cosθ=0 , 所以tanθ=−2 ,所以sinθ+cosθsinθ−cosθ=tanθ+1tanθ−1=−2+1−2−1=13 .题型2 三角函数的图象与性质例2（1）函数y =cos(2x +π3) 图象的对称轴方程可能是( ) A.x =−π6B.x =−π12C.x =π6D.x =π12（2）函数f(x)=(1−cos x)sin x 在[−π,π] 上的图象大致为( )A. B.C.D.（3）若0＜α＜π2,g(x)=sin(2x +π4+α) 是偶函数,则α 的值为 . 答案：（1）A （2）C （3）π4解析： （1）令2x +π3=kπ(k ∈Z) ,得x =kπ2−π6(k ∈Z) ,令k =0 ,得该函数图象的一条对称轴为直线x =−π6 .（2）因为函数f(x)=(1−cos x)sin x 为奇函数,所以其图象关于原点对称,所以排除B. 当0＜x ＜π2 时,f(x)＞0 ,所以排除A . f(π2)=(1−cos π2)sin π2=1 ,所以排除D , 故选C.（3）若g(x)=sin(2x +π4+α) 为偶函数, 则π4+α=kπ+π2,k ∈Z ,所以α=kπ+π4,k ∈Z . 因为0＜α＜π2 ,所以α=π4 . 方法归纳正弦、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形,应熟记它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. 迁移应用2.设函数f(x)=√2sin(2x −π4),x ∈R .（1）求函数f(x) 的最小正周期和单调递增区间; （2）求函数f(x) 在区间[π8,3 π4] 上的最小值和最大值,并求出取得最值时x 的值.答案：（1）函数f(x) 的最小正周期T =2 π2=π ,由2kπ−π2≤2x −π4≤2kπ+π2(k ∈Z) 得,kπ−π8≤x ≤kπ+3 π8(k ∈Z) ,所以函数f(x) 的单调递增区间是[kπ−π8,kπ+3 π8](k ∈Z) .（2）令t =2x −π4 ,则由π8≤x ≤3 π4可得0≤t ≤5 π4,所以当t =5 π4,即x =3 π4时,ymin=√2×(−√22)=−1 ,当t =π2, 即x =3 π8时,y max =√2×1=√2 .题型3 两角和与差的正弦、余弦与正切公式、二倍角公式的应用例3 （2021辽宁沈阳铁路实验中学高一月考）若tan(α−β)=13,tanβ=14,则tan 2α= . 答案： 7736解析： 由已知得tanα=tan[(α−β)+β]=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=13+141−13×14=711 ,所以tan 2α=2 tanα1−tan 2α=2×7111−(711)2=7736 .例4 求证：cos 2α1tan α2−tan α2=14sin 2α .答案：证明 左边=cos 2αtanα21−tan 2α2=12cos 2α⋅2 tanα21−tan 2α2=12cos 2α⋅tanα=12cosα⋅sinα=14sin 2α= 右边, 所以原等式成立. 方法归纳1.对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“目标角”变成“已知角”．2.三角恒等式证明的常用方法：（1）执因索果法：证明的形式一般为化繁为简; （2）左右归一法：证明左、右两边都等于同一个式子;（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异,有针对性地变形,以消除它们之间的差异,即化异求同;（4）比较法：设法证明“左边－ 右边＝0 ”或“左边/右边＝1 ”;（5）分析法：从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的条件,直到得到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立. 迁移应用3.已知sin(π4+α)sin(π4−α)=16,α∈(π2,π) ,则sin 4α1+cos 2α 的值为 . 答案： −4√215解析：因为sin(π4+α)sin(π4−α)=16 ,所以sin(π4+α)⋅cos(π4+α)=16 ,因为2 sin(π4+α)⋅cos(π4+α)=sin(π2+2α) ,所以sin(π2+2α)=13 ,即cos 2α=13 .又α∈(π2,π) ,所以2α∈(π,2 π) ,所以sin 2α=−√1−cos 22α=−√1−(13)2=−2√23,所以sin 4α1+cos 2α=2 sin 2α⋅cos 2α1+1+cos 2α2=2×(−2√23)×131+1+132=−4√215.4.(sin 2α+cos 2α−1)(sin 2α−cos 2α+1)sin 4α= .答案： tanα 解析： 原式=sin 22α−(cos 2α−1)22 sin 2α⋅cos 2α=sin 22α−cos 22α+2 cos 2α−12 sin 2α⋅cos 2α=−2 cos 22α+2 cos 2α2 sin 2α⋅cos 2α=1−cos 2αsin 2α=2 sin 2α2 sinαcosα=sinαcosα=tanα .题型4 三角恒等变换的综合应用例5 （2021吉林辽源高一月考）已知函数f(x)=2√3sin xcos x +2 cos 2x −1 . （1）求函数f(x) 的单调递增区间;（2）当x ∈[0,π2] 时,求函数f(x) 的最大值及相应的x 的值. 答案： （1）f(x)=2√3sin xcos x +2 cos 2x −1=√3sin 2x +cos 2x =2 sin(2x +π6) ,令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z) , 得kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z) ,所以f(x) 的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z) . （2）由x ∈[0,π2] 可得π6≤2x +π6≤7 π6,所以当2x +π6=π2,即x =π6时,f(x) 取得最大值,最大值为2. 方法归纳利用二倍角公式降幂,利用两角和与差的正弦（余弦）公式化函数为f （x ）=Asin （ωx +φ）+B(f(x)=Acos(ωx +φ)+B) 的形式,然后把ωx +φ 看作一个整体,利用正弦（余弦）函数的性质求解. 迁移应用5.（2021贵州铜仁高一月考）已知函数f(x)=sin 2x +2√3⋅sin xcos x −12cos 2x,x ∈R .（1）求f(x) 的最小正周期和单调递减区间;（2）若x 0(0≤x 0≤π2) 为f(x) 的一个零点,求sin 2x 0 的值.答案： （1）f(x)=sin 2x +2√3sin xcos x −12cos 2x =12(1−cos 2x)+√3sin 2x −12cos 2x =√3sin 2x −cos 2x +12 =2 sin(2x −π6)+12 则f(x) 的最小正周期T =2 π2=π .令π2+2kπ≤2x −π6≤3 π2+2kπ,k ∈Z 得,π3+kπ≤x ≤5 π6+kπ,k ∈Z ,所以函数f(x) 的单调递减区间为[π3+kπ,5 π6+kπ],k ∈Z .（2）若f(x0)=0,则2 sin(2x0−π6)+12=0,即sin(2x0−π6)=−14,因为0≤x0≤π2,所以2x0−π6∈[−π6,5 π6],所以cos(2x0−π6)=√154,所以sin 2x0=sin[(2x0−π6)+π6]=sin(2x0−π6)cosπ6+cos(2x0−π6)sinπ6=−14×√32+√154×12=√15−√38题型5 函数y=Asin（ω x+φ）性质的应用例6 （2021四川泸县第四中学高一月考）函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜π2)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)在区间(−π2,0)上单调递增B.函数f(x)的最小正周期为2 πC.函数f(x)的图象关于点(π6,0)对称D.函数f(x)的图象可以由y=√2sinωx的图象向右平移5 π6个单位长度得到答案：D解析：由题图可得T4=7 π12−π3=π4,所以T=π,由2 πT=ω,得ω=2,因为f(x)的图象过(π3,0),(7 π12,−√2)两点,所以√2sin(π3×2+φ)=0⇒sin(π3×2+φ)=0⇒π3×2+φ=kπ(k∈Z),φ=kπ−2 π3(k∈Z),又|φ|＜π2,所以当k=1时,φ=π3,所以函数f(x)=√2sin(2x+π3).由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z),解得kπ−5 π12≤x≤kπ+π12(k∈Z),当k=0时,f(x)的单调递增区间为(−5 π12,π12),所以A中说法错误;函数f(x)的最小正周期T=π,所以B中说法错误;由2x+π3=kπ(k∈Z)得,x=kπ2−π6(k∈Z),当k=1时,x=π3,所以f(x)图象的一个对称中心为(π3,0),所以C中说法错误;因为f(x)=√2sin(2x+π3)=√2sin[2(x+π6)],所以函数f(x)的图象可以由y=√2sin 2x的图象向右平移5 π6个单位长度得到,所以D中说法正确.故选D. 方法归纳根据函数的图象求解析式,先由图象的最高点、最低点确定A的值,根据函数的周期确定ω的值,再根据函数图象上的一个特殊点确定φ的值．进行函数图象平移变换时,应注意“左加右减”.迁移应用6.（多选）（2021江苏苏州星海中学高一调研）把函数y=sin 2x的图象沿x轴向左平移π6个单位长度,纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x)有以下四个判断,其中正确的有( )A.f(x)=2 sin(2x+π6)B.函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称C.函数f(x)在[0,π6]上是增函数D.若函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为√3,则a=2√3答案：B; D解析：将函数y=sin 2x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin[2(x+π6)]=sin(2x+π3)的图象,再将纵坐标伸长到原来的2倍得到y=2 sin(2x+π3)的}图象,所以A不正确;y=f(π3)=2 sin(2×π3+π3)=2 sinπ=0,所以函数f(x)的图象关于点(π3,0)对称,所以B正确;由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得−5 π12+kπ≤x≤π12+kπ,k∈Z,即函数f(x)的单调增区间为[−5 π12+kπ,π12+kπ],k∈Z,当k=0时,f(x)的增区间为[−5 π12,π12],所以C不正确;y=f(x)+a=2 sin(2x+π3)+a,当0≤x≤π2时,π3≤2x+π3≤4 π3,故−√32≤sin(2x+π3)≤1,所以当2x+π3=4 π3,即x=π2时,函数f(x)取得最小值−√3,所以y min=−√3+a=√3,所以a=2√3,所以D正确.故选BD.题型6 三角函数的实际应用例7 如图所示,一条直角走廊宽2米.现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1米.直线EF分别交直线AC、BC于M、N两点,过墙角D作DP⊥AC于点P,DQ⊥BC于点Q,且∠CAB=θ.（1）若平板车卡在直角走廊内,试求平板面EF的长（用θ表示）;（2）若平板车想顺利通过直角走廊,其长度（设为l）不能超过多少米?答案： （1）由直角三角形中三角函数的定义得, DM =2sinθ,DN =2cosθ,MF =1tanθ,EN =tanθ ,所以EF =DM +DN −MF −EN =2sinθ+2cosθ−1tanθ−tanθ=2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ(0≤θ≤π2) .（2）若平板车想顺利通过直角走廊,则对任意角θ(0≤θ≤π2) ,平板车的长度不能超过l 的最小值. 设sinθ+cosθ=t,1≤t ≤√2 ,则sinθcosθ=t 2−12,所以l =2(sinθ+cosθ)−1sinθcosθ=4t−2t −1=4(t−1)+2t −1=4t+1+2t −1 ,因为y =4t+1,y =2t 2−1都是减函数,所以当t =√2 时,l 取得最小值4√2−2 .故若平板车想顺利通过直角走廊,则其长度不能超过(4√2−2) 米. 方法归纳在三角函数的实际应用中,要根据题干信息构造三角函数式,在一个三角函数式中同时含有sinθ+cosθ、sinθcosθ 时,需要用换元法求解,应注意新元的取值范围 迁移应用7.如图,某动物种群数量在某年1月1日低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间呈正弦型曲线变化．（1）求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式;（其中t 以年初以来的月为计量单位） （2）估计当年3月1日该动物种群数量.答案： （1）设种群数量y 关于时间t 的解析式为y =Asin(ωt +φ)+B(A ＞0,ω＞0,|φ|≤π2) ,则{−A +B =700,A +B =900, 解得A =100,B =800 .又T =2×(6−0)=12 ,所以ω=2 πT=π6 ,所以y =100 sin(π6t +φ)+800 . 又当t =6 时,y =900 ,所以900=100 sin(π6×6+φ)+800, 即sin(π+φ)=1,解得sinφ=−1,因为|φ|≤π2,所以φ=−π2,所以y=100 sin(π6t−π2)+800.（2）当t=2时,y=100 sin(π6×2−π2)+800=750,即当年3月1日该动物种群数量约是750.高考链接1.（2020课标Ⅱ,2,5分）若α为第四象限角,则( )A.cos 2α＞0B.cos 2α＜0C.sin 2α＞0D.sin 2α＜0答案：D解析：由α为第四象限角可得,3 π2+2kπ＜α＜2 π+2kπ,k∈Z,所以3 π+4kπ＜2α＜4 π+4kπ,k∈Z,此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin 2α＜0,cos 2α的值可正、可负、可为零,故选D.2.（2020课标Ⅰ,7,5分）设函数f(x)=cos(ωx+π6)在[−π,π]的图象大致如图,则f(x)的最小正周期为( )A.10 π9B.7 π6C.4 π3D.3 π2答案：C解析：由题图可得,函数f(x)的图象过点(−4 π9,0),代入函数f(x)的解析式可得,cos(−4 π9ω+π6)=0,又(−4 π9,0)是函数f(x)的图象与x轴负半轴的第一个交点,所以−4 π9ω+π6=−π2,解得ω=32,所以函数f(x)的最小正周期T=2 πω=2 π32=4 π3,故选C.3.（2020课标Ⅰ,9,5分）已知α∈(0,π),且3 cos 2α−8 cosα=5,则sinα=( )A.√53B.23C.13D.√59答案：A解析：由3 cos 2α−8 cosα=5得,6 cos2α−8 cosα−8=0,即3 cos2α−4 cosα−4=0,解得cosα=−23或cosα=2（舍去）,∵α∈(0,π),∴sinα=√1−cos2α=√53.故选A.4.（多选）（2020新高考Ⅰ,10,5分）如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=( )A.sin(x +π3)B.sin(π3−2x) C.cos(2x +π6) D.cos(5 π6−2x) 答案： B ; C 解析：由题图可知T2=2 π3−π6=π2 ,所以T =π ,则|ω|=2 πT=2 ππ=2 ,所以A 错误.不妨取ω=2 ,则y =sin(2x +φ) ,当x =2 π3+π62=5 π12时,y =−1 ,所以2×5 π12+φ=3 π2+2kπ(k ∈Z) ,解得φ=2kπ+2 π3(k ∈Z) ,则函数的解析式为y =sin(2x +2 π3+2kπ)=sin(2x +π6+π2)=cos(2x +π6)=sin(π3−2x) ,故B 、C 正确.又cos(2x +π6)=−cos(5 π6−2x) ,故D 错误.故选BC.5.（2020天津,8,5分）已知函数f(x)=sin(x +π3) .给出下列结论： ①f(x) 的最小正周期为2 π ; ②f(π2) 是f(x) 的最大值;③把函数y =sin x 的图象上所有点向左平移π3 个单位长度,可得到函数y =f(x) 的图象.其中所有正确结论的序号是( ) A.①B.①③C.②③D.①②③ 答案： B解析：因为f(x)=sin(x +π3) ,所以T =2 π|ω|=2 π ,故①中结论正确; f(π2)=sin(π2+π3)=sin5 π6=12≠1 ,故②中结论不正确;将函数y =sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度,得到y =sin(x +π3) 的图象,故③中结论正确.故选B.6.（2018天津,6,5分）将函数y =sin(2x +π5) 的图象向右平移π10 个单位长度,所得图象对应的函数( ) A.在区间[3 π4,5 π4] 上单调递增B.在区间[3 π4,π] 上单调递减C.在区间[5 π4,3 π2] 上单调递增D.在区间[3 π2,2 π] 上单调递减答案： A解析：将y =sin(2x +π5) 的图象向右平移π10 个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y =sin[2(x −π10)+π5]=sin 2x ,当2kπ−π2≤2x ≤2kπ+π2(k ∈Z) ,即kπ−π4≤x ≤kπ+π4(k ∈Z) 时,y =sin 2x 单调递增,令k =1 ,则x ∈[3 π4,5 π4] ,所以y =sin 2x 在[3 π4,5 π4] 上单调递增,故选A.7.（2019课标Ⅱ,9,5分）下列函数中,以π2 为周期且在区间(π4,π2) 单调递增的是( ) A.f(x)=|cos 2x| B.f(x)=|sin 2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 答案： A解析：对于选项A,作出f(x)=|cos 2x| 的部分图象,如图1所示,则f(x) 在(π4,π2) 上单调递增,且最小正周期T =π2 ,故A 正确.对于选项B,作出f(x)=|sin 2x| 的部分图象,如图2所示,则f(x) 在(π4,π2) 上单调递减,故B 不正确. 对于选项C,因为f(x)=cos|x|=cos x ,所以其最小正周期T =2 π ,故C 不正确.对于选项D,作出f(x)=sin|x| 的部分图象,如图3所示,显然f(x) 不是周期函数,故D 不正确.故选A.图1图2图38.（2019课标Ⅰ,5,5分）函数f(x)=sin x+xcos x+x2在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.答案：D解析：因为f(−x)=sin(−x)−xcos(−x)+(−x)2=−sin x+xcos x+x2=−f(x),所以f(x)是奇函数.又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2＞0 ,故选D.9.（2019天津,7,5分）已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0,|φ|＜π) 是奇函数,将y =f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,所得图象对应的函数为g(x) .若g(x) 的最小正周期为2 π ,且g(π4)=√2 ,则f(3 π8)= ( )A.-2B.−√2C.√2D.2答案： C解析：因为f(x)=Asin(ωx +φ) 为奇函数,所以φ=kπ,k ∈Z ,又|φ|＜π ,所以φ=0 ,所以f(x)=Asinωx ,则g(x)=Asin ωx 2 .由g(x) 的最小正周期T =2 π 得,ω2=2 πT =1 ,所以ω=2 . 又g(π4)=Asin π4=√22A =√2 ,所以A =2 , 所以f(x)=2 sin 2x , 所以f(3 π8)=2 sin 3 π4=√2 ,故选C.10.（2020北京,14,5分）若函数f(x)=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2,则常数φ 的一个取值为 .答案： π2解析： ∵f(x)=sin(x +φ)+cos x 的最大值为2,∴cos x =1 ,解得x =2 kπ,k ∈Z ,且sin(x +φ)=sin(2kπ+φ)=sinφ=1 ,∴φ=π2+2nπ,n ∈Z , ∴φ 可取π2 .。

新教材人教A版高一数学必修一知识点与题型方法总结第五章三角函数【考纲要求】序号考点课标要求1角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性。

了解2三角函数的概念和性质①借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值。

借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）。

理解②借助图象理解正弦函数、余弦函数在上，正切函数在上的性质。

理解③结合具体实例，了解的实际意义，能借助图象理解的意义，了解参数的变化对函数图象的影响。

理解3同角三角函数的基本关系理解同角三角函数的基本关系：理解4三角恒等变换①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦的意义理解②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

理解③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）掌握5三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型掌握5.1 任意角和弧度制知识点总结5.1 任意角和弧度制1.角的有关概念（1）定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

（2）角的表示：如图射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可以记为“角”或“”，也可以简记为“”。

（3）角的分类提示：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向②旋转角的大小③射线未作任何旋转时的位置。

（2）角的范围不再限于2.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

3.角的单位制4.弧长公式及扇形面积公式5.常用角之间的换算6.象限角和轴线角（1）象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。

最新课程标准：能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式.知识点一两角和的余弦公式cos（α＋β）＝cos_αcos_β—sin_αsin_β，简记为C（α＋β），使用的条件为α，β为任意角．知识点二两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S（α＋β）sin（α＋β）＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S（α—β）sin（α—β）＝sin_αcos_β—cos_αsin_βα，β∈R错误!公式的记忆方法（１）理顺公式间的联系．C（α＋β）错误!C（α—β）错误!S（α—β）错误!S（α＋β）（２）注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C（α—β），C（α＋β），可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S（α—β），S（α＋β），可记为“异名相乘，符号同”．公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin（α＋β），sinαcosβ—cosαsinβ＝sin（α—β），cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos（α—β），cosαcosβ—sinαsinβ＝cos（α＋β）．知识点三两角和与差的正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的正切tan（α＋β）＝错误!T（α＋β）α，β，α＋β≠kπ＋错误!（k∈Z）两角差的正切tan（α—β）＝错误!T（α—β）α，β，α—β≠kπ＋错误!（k∈Z）错误!公式T（α±β）（１）公式T（α±β）的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为１与tanαtanβ的差或和．（２）符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．[教材解难]１．教材P２１7思考能．例如把—β代入β由C（α—β）可求出C（α＋β）．２．教材P２１9思考成立．方法一：sin错误!＝sin错误!＝cos错误!或cos错误!＝cos错误!＝sin错误!.方法二：由于sin错误!＝sin错误!cos α—cos错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），cos错误!＝cos错误!cos α—sin错误!sin α＝错误!（cos α—sin α），故sin错误!＝cos错误!.[基础自测]１．sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin１0５°等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin １0５°＝sin １５°cos 7５°＋cos １５°sin 7５°＝sin（１５°＋7５°）＝sin 90°＝１．答案：D２．设α∈错误!，若sin α＝错误!，则错误!cos错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!解析：易得cos α＝错误!，则错误!cos错误!＝错误!错误!＝错误!.答案：B３．已知tan α＝４，tan β＝３，则tan（α＋β）＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：B４．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：由sin α＋cos β＝１与cos α＋sin β＝0分别平方相加得sin２α＋２sin αcos β＋cos２β＋cos２α＋２cos αsin β＋sin２β＝１，即２＋２sin αcos β＋２cos αsin β＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!题型一给角求值[教材P２１9例４]例１利用和（差）角公式计算下列各式的值：（１）sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°；（２）cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°；（３）错误!.【解析】（１）由公式S（α—β），得sin 7２°cos ４２°—cos 7２°sin ４２°＝sin（7２°—４２°）＝sin ３0°＝错误!.（２）由公式C（α＋β），得cos ２0°cos 70°—sin ２0°sin 70°＝cos（２0°＋70°）＝cos 90°＝0．（３）由公式T（α＋β）及tan ４５°＝１，得错误!＝错误!＝tan（４５°＋１５°）＝tan 60°＝错误!.和、差角公式把α±β的三角函数式转化成了α，β的三角函数式．如果反过来，从右到左使用公式，就可以将上述三角函数式化简．教材反思解决给角求值问题的方法（１）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．（２）一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．跟踪训练１求值：（１）cos １0５°；（２）错误!；（３）错误!.解析：（１）cos １0５°＝cos（60°＋４５°）＝cos 60°cos ４５°—sin 60°sin ４５°＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.（２）错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.（３）错误!＝错误!＝tan ４５°＝１．（１）１0５°＝60 °＋４５°（２）找到３１°、9１°、２9 °之间的联系利用公式化简求值．题型二给值求值例２已知错误!<β<α<错误!，cos（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求cos ２α与cos ２β的值．【解析】因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!.所以sin（α—β）＝错误!＝错误!＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!＝—错误!＝—错误!.所以cos ２α＝cos[（α＋β）＋（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）—sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝—错误!，cos ２β＝cos[（α＋β）—（α—β）]＝cos（α＋β）cos（α—β）＋sin（α＋β）sin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.１．正确判断α—β，α＋β的范围是求解前提．２．巧妙利用角的变换方法，是求解此类题目常用方法．方法归纳给值（式）求值的策略（１）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．（２）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．跟踪训练２本例条件变为：错误!<β<α<错误!，sin（α—β）＝错误!，sin（α＋β）＝—错误!，求sin ２β的值．解析：因为错误!<β<α<错误!，所以0<α—β<错误!，π<α＋β<错误!π.所以cos（α—β）＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!，sin ２β＝sin[（α＋β）—（α—β）]＝sin（α＋β）cos（α—β）—cos（α＋β）sin （α—β）＝错误!×错误!—错误!×错误!＝0．（１）由已知求出α—β、α＋β的范围．（２）２β＝（α＋β）—（α—β）．（３）利用公式求值．题型三给值求角例３已知cos α＝错误!，sin（α＋β）＝错误!，0<α<错误!，0<β<错误!，求角β的值．【解析】因为0<α<错误!，cos α＝错误!，所以sin α＝错误!.又因为0<β<错误!，所以0<α＋β<π.因为sin（α＋β）＝错误!<sin α，所以cos（α＋β）＝—错误!，所以sin β＝sin[（α＋β）—α]＝sin（α＋β）cos α—cos（α＋β）sin α＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.又因为0<β<错误!，所以β＝错误!.（１）已知α的范围及cosα，求sinα.（２）求α＋β的范围及sin（α＋β），求cos（α＋β）．（３）利用sinβ＝sin[（α＋β）—α]，求值．方法归纳解决给值（式）求角问题的方法解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，２π）时，选取求余弦值，当所求角范围是错误!或错误!时，选取求正弦值．跟踪训练３已知tan（α—β）＝错误!，tan β＝—错误!，α，β∈（0，π），求２α—β的值．解析：tan α＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!.又因为α∈（0，π），而tan α>0，所以α∈错误!.tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]＝错误!＝错误!＝１．因为tan β＝—错误!，β∈（0，π），所以β∈错误!，所以α—β∈（—π，0）．由tan（α—β）＝错误!>0，得α—β∈错误!，所以２α—β∈（—π，0）．又tan（２α—β）＝１，所以２α—β＝—错误!.（１）先求tanα＝tan[（α—β）＋β]（２）再求tan（２α—β）＝tan[α＋（α—β）]（３）由已知求２α—β的范围，最后求值易错易误忽略条件中隐含的角的范围而致错例已知tan２α＋6tan α＋7＝0，tan２β＋6tan β＋7＝0，α，β∈（0，π），且α≠β，求α＋β的值．【错解】由题意知tan α，tan β是方程x２＋6x＋7＝0的两根，由根与系数的关系得：错误!∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝１．∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<２π，∴α＋β＝错误!或α＋β＝错误!π.【错因分析】由１２知tan α<0，tan β<0．角α，β都是钝角，上述解法忽视了这一隐含条件．【正解】由错误!易知tan α<0，tan β<0．∵α，β∈（0，π）∴错误!<α<π，错误!<β<π.∴π<α＋β<２π.又∵tan（α＋β）＝１，∴α＋β＝错误!π.【点评】在给值求角或给式求角时，由于三角函数知识间及与其他知识间都有较为密切的联系，一些隐含的制约条件不易被发现，容易导致角的范围扩大．解答此类问题时一定要仔细挖掘题目中的隐含条件才能有效地避免失误．课时作业３8一、选择题１．sin １0５°的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：sin １0５°＝sin（４５°＋60°）＝sin ４５°cos 60°＋cos ４５°sin 60°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.答案：D２．sin ２0°cos １0°—cos １60°sin １0°＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：原式＝sin ２0°cos １0°＋cos ２0°sin １0°＝sin（２0°＋１0°）＝错误!.答案：D３．若cos α＝—错误!，α是第三象限的角，则sin错误!＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为cos α＝—错误!，α是第三象限的角，所以sin α＝—错误!，由两角和的正弦公式可得sin错误!＝sin αcos错误!＋cos αsin错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝—错误!.答案：A４．若错误!＝错误!，则tan错误!＝（）Ａ．—２Ｂ．２Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：因为错误!＝错误!，所以错误!＝错误!，因为错误!＝错误!＝—tan错误!＝错误!，所以tan错误!＝—错误!.答案：C二、填空题５．已知cos错误!＝错误!错误!，则cos α＝________.解析：由于0<α—错误!<错误!，cos错误!＝错误!，所以sin错误!＝错误!.所以cos α＝cos错误!＝cos错误!cos错误!—sin错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答案：错误!6．若tan α＝３，则tan错误!＝________.解析：因为tan α＝３，所以tan错误!＝错误!＝错误!＝—２．答案：—２7．已知sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，则sin（α＋β）＝________.解析：∵sin α＋cos β＝１，cos α＋sin β＝0，∴sin２α＋cos２β＋２sin αcos β＝１１，cos２α＋sin２β＋２cos αsin β＝0 ２，１２两式相加可得sin２α＋cos２α＋sin２β＋cos２β＋２（sin αcos β＋cos αsin β）＝１，∴sin（α＋β）＝—错误!.答案：—错误!三、解答题8．求下列各式的值．（１）sin ３４7°cos １４8°＋sin 77°cos ５8°；（２）错误!sin错误!＋cos错误!；（３）tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°.解析：（１）原式＝sin（３60°—１３°）·cos（１80°—３２°）＋sin（90°—１３°）cos（90°—３２°）＝sin １３°cos３２°＋cos １３°sin ３２°＝sin（１３°＋３２°）＝sin ４５°＝错误!.（２）原式＝２错误!＝２错误!＝２sin错误!＝２sin错误!＝错误!.（３）∵tan 60°＝错误!＝错误!，∴tan ２３°＋tan ３7°＝错误!—错误!tan ２３°tan ３7°，∴tan ２３°＋tan ３7°＋错误!tan ２３°tan ３7°＝错误!.9．已知△ABC，若sin（A＋B）＝错误!，cos B＝—错误!，求cos A的值．解析：∵cos B＝—错误!，∴错误!<B<π，错误!<A＋B<π，∴sin B＝错误!＝错误!，cos（A＋B）＝—错误!＝—错误!，∴cos A＝cos[（A＋B）—B]＝cos（A＋B）cos B＋sin（A＋B）sin B＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.[尖子生题库]１0．已知tan α＝错误!，sin β＝错误!，且α，β为锐角，求α＋２β的值．解析：∵tan α＝错误!<１且α为锐角，∴0<α<错误!.又∵sin β＝错误!<错误!＝错误!且β为锐角．∴0<β<错误!，∴0<α＋２β<错误!.１由sin β＝错误!，β为锐角，得cos β＝错误!，∴tan β＝错误!.∴tan（α＋β）＝错误!＝错误!＝错误!.∴tan（α＋２β）＝错误!＝错误!＝１．２由１２可得α＋２β＝错误!.。

最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin２x＋cos２x＝１，错误!＝tan x.知识点同角三角函数的基本关系式错误!（１）利用sin２α＋cos２α＝１可实现α的正弦、余弦的互化，利用错误!＝tan α可以实现角α的弦切互化．（２）关系式的逆用及变形用：１＝sin２α＋cos２α，sin２α＝１—cos２α，cos２α＝１—sin２α.[教材解难]同角三角函数的基本关系（１）同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下），关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin２３α＋cos２３a＝１．（２）sin２α是（sin α）２的简写，不能写成sin α２.（３）在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan 90°＝错误!不成立．再如：sin２α＋cos２β＝１就不一定恒成立．[基础自测]１．若α为第二象限角，且sin α＝错误!，则cos α＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝—错误!＝—错误!.答案：A２．已知tan α＝错误!，且α∈错误!，则sin α的值是（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：∵α∈（π，错误!），∴sin α<0．由tan α＝错误!＝错误!，sin２α＋cos２α＝１，得sin α＝—错误!.答案：A３．化简：（１＋tan２α）·cos２α等于（）Ａ．—１Ｂ．0Ｃ．１Ｄ．２解析：原式＝错误!·cos２α＝cos２α＋sin２α＝１．答案：C４．已知tan α＝—错误!，则错误!的值是________．解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!题型一利用同角基本关系式求值[经典例题]例１（１）已知sin α＝错误!，求cos α，tan α；（２）已知tan α＝３，求错误!.【解析】（１）因为sin α＝错误!>0，且sin α≠１，所以α是第一或第二象限角．１当α为第一象限角时，cos α＝错误!＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!；２当α为第二象限角时，cos α＝—错误!＝—错误!，tan α＝—错误!.（２）分子、分母同除以cos２α，得错误!＝错误!.又tan α＝３，所以错误!＝错误!＝错误!.错误!（１）已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．（２）利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos２α，把正弦、余弦化成正切．方法归纳求同角三角函数值的一般步骤（１）根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．（２）根据（１）中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．（３）利用两个基本公式求出其余三角函数值．跟踪训练１（１）本例（２）条件变为错误!＝２，求错误!的值．（２）本例（２）条件不变，求４sin２α—３sin α·cos α—５cos２α的值．解析：（１）法一：由错误!＝２，化简得sin α＝３cos α，原式＝错误!＝错误!＝错误!.法二：由错误!＝２得tan α＝３，原式＝错误!＝错误!＝错误!.（２）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.形如（２）式的求解，应灵活利用“１”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．题型二化简三角函数式[经典例题]例２化简：（１）错误!—错误!；（２）错误! .【解析】（１）错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—２tan２α.（２）错误!＝错误!＝错误!＝１．（１）利用同角基本关系化简．（２）注意１的活用．例如１＋２sin１0 °cos１0 °＝sin２１0 °＋cos２１0 °＋２sin２１0 °cos１0 °＝（cos１0 ° ＋sin１0 ° ）２方法归纳三角函数式的化简技巧（１）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．（２）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．（３）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin２α＋cos２α＝１，以降低次数，达到化简的目的．跟踪训练２（１）化简：错误!；（２）化简：sin２αtan α＋２sin αcos α＋错误!.解析：（１）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝１．（２）原式＝sin２α·错误!＋２sin αcos α＋cos２α·错误!＝错误!＝错误!＝错误!.（１）１—sin２１３0 °＝cos２１３0 °，１—２sin１３0 °cos１３0 °＝（sin１３0 °—cos１３0 °）２.（２）式子中的tanα应化为错误!，如果出现分式，一般应通分．题型三利用同角三角函数关系证明[教材P１8３例7]例３求证错误!＝错误!.【证明】证明１：由cos x≠0，知sin x≠—１，所以１＋sin x≠0，于是左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝右边．所以，原式成立．证明２：因为（１—sin x）（１＋sin x）＝１—sin２x＝cos２x＝cos x cos x，且１—sin x≠0，cos x≠0，所以错误!＝错误!.教材反思证明简单三角恒等式的思路（１）从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．（２）证明左右两边等于同一个式子．（３）证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于１．（４）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．跟踪训练３求证：错误!＝错误!.解析：证明：因为左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝右边，所以等式成立．左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．题型四sin α±cos α型求值[经典例题]sinα＋cosα＝13两边平方→求出２sinαcosα的值→求sinα—cosα的值例４已知sin α＋cos α＝错误!，其中0<α<π，求sin α—cos α的值．【解析】因为sin α＋cos α＝错误!，所以（sin α＋cos α）２＝错误!，可得：sin α·cos α＝—错误!.因为0<α<π，且sin α·cos α<0，所以sin α>0，cos α<0．所以sin α—cos α>0，又（sin α—cos α）２＝１—２sin αcos α＝错误!，所以sin α—cos α＝错误!.方法归纳已知sin α±cos α的求值问题的方法对于已知sin α±cos α的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：（１）用sin α表示cos α（或用cos α表示sin α），代入sin２α＋cos２α＝１，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sin α的值（或cos α的值），再求其他，如tan α（体现方程思想）．（２）利用sin α±cos α的平方及sin２α＋cos２α＝１，先求出sin αcos α的值，然后求出sin α∓cos α的值（要注意结合角的范围确定符号）从而求解sin α，cos α的值，再求其他.跟踪训练４已知x是第三象限角，且cos x—sin x＝错误!.（１）求cos x＋sin x的值；（２）求２sin２x—sin x cos x＋cos２x的值．解析：（１）（cos x—sin x）２＝１—２sin x cos x＝错误!，所以２sin x cos x＝错误!，所以（cos x＋sin x）２＝１＋２sin x cos x＝错误!，因为x是第三象限角，所以cos x＋sin x<0，所以cos x＋sin x＝—错误!.（２）由错误!解得cos x＝—错误!，sin x＝—错误!，所以２sin２x—sin x cos x＋cos２x＝２×错误!—错误!＋错误!＝错误!.１．把cos x—sin x＝错误!平方２．注意x的范围３．分别求出sin x、cos x课时作业３0一、选择题１．已知α是第二象限角，且cos α＝—错误!，则tan α的值是（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：∵α为第二象限角，∴sin α＝错误!＝错误!＝错误!，∴tan α＝错误!＝错误!＝—错误!.答案：D２．已知cos α—sin α＝—错误!，则sin αcos α的值为（）Ａ．错误!Ｂ．±错误!Ｃ．—错误!Ｄ．±错误!解析：由已知得（cos α—sin α）２＝sin２α＋cos２α—２sin αcos α＝１—２sin αcos α＝错误!，所以sin αcos α＝错误!.答案：A３．化简错误!（１—cos α）的结果是（）Ａ．sin αＢ．cos αＣ．１＋sin αＤ．１＋cos α解析：错误!（１—cos α）＝错误!（１—cos α）＝错误!＝错误!＝sin α.答案：A４．已知|sin θ|＝错误!，且错误!<θ<５π，则tan θ的值是（）Ａ．错误!Ｂ．—２错误!Ｃ．—错误!Ｄ．２错误!解析：因为错误!<θ<５π，所以θ为第二象限角，所以sin θ＝错误!，所以cos θ＝—错误!，所以tan θ＝—错误!.答案：C二、填空题５．若sin θ＝—错误!，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝—错误!＝—错误!＝—错误!.答案：—错误!6．已知sin αcos α＝错误!，则sin α—cos α＝________.解析：因为（sin α—cos α）２＝１—２sin αcos α＝１—２×错误!＝0，所以sin α—cos α＝0．答案：07．已知错误!＝２，则sin αcos α的值为________．解析：由错误!＝２，得错误!＝２，∴tan α＝３，∴sin αcos α＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!三、解答题8．已知tan α＝３，求下列各式的值：（１）错误!；（２）错误!；（３）错误!sin２α＋错误!cos２α.解析：（１）∵tan α＝３，∴cos α≠0．原式的分子、分母同除以cos α，得原式＝错误!＝错误!＝错误!.（２）原式的分子、分母同除以cos２α，得原式＝错误!＝错误!＝—错误!.（３）原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.9．证明：错误!·错误!＝１．解析：证明：错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!＝错误!＝１．[尖子生题库]１0．已知—错误!<x<0，sin x＋cos x＝错误!，求下列各式的值．（１）sin x—cos x；（２）错误!.解析：（１）∵sin x＋cos x＝错误!，∴（sin x＋cos x）２＝错误!２，即１＋２sin x cos x＝错误!，∴２sin x cos x＝—错误!.∵（sin x—cos x）２＝sin２x—２sin x cos x＋cos２x＝１—２sin x cos x＝１＋错误!＝错误!，又—错误!<x<0，∴sin x<0，cos x>0，∴sin x—cos x<0，∴sin x—cos x＝—错误!.（２）由已知条件及（１），可知错误!，解得错误!，∴错误!＝错误!＝错误!.。

第5章 三角函数同角三角函数根本关系和诱导公式的应用【例1】 (1)sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，那么sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.(2)f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π).①化简f (α)；②假设f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；③假设α＝－47π4，求f (α)的值．[思路点拨] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数根本关系求值．(1)13 [由得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 那么sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.](2)[解] ①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32. ③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.1．将本例(2)中“18〞改为“－18〞“π4＜α＜π2〞改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sinα.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32.2．将本例(2)中的用tan α表示1f (α)＋cos 2α.[解]1f (α)＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1.1．牢记两个根本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进展三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比方：sin α±cos α的值，可求cos αsin α.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．三角函数的图象变换问题【例2】 (1)曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，那么下面结论正确的选项是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2(2)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，那么φ的一个可能取值为( )A.π2B.π4C ．0D ．－π4(1)D (2)B [(1)因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 应选D.(2)y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ.假设该函数为偶函数，那么π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故φ＝k π＋π4.当k ＝0时φ＝π4.应选B.]1．函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 图象的两种方法2．对称变换(1)y ＝f (x )的图象――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象．(2)y ＝f (x )的图象――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象．(3)y ＝f (x )的图象――――→关于(0，0)对称y ＝－f (－x )的图象．1．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 D [函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，应选D.]三角函数的性质【例3】 (1)假设函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，那么f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π(2)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． ①求f (x )的单调区间；②假设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值．[思路点拨] (1)先根据函数f (x )是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．(2)①由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 求增区间，由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z 求减区间．②先求f (x )的最大值，得关于a 的方程，再求a 的值． (1)B [因为函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)(0＜θ＜π)是偶函数，所以θ＝π2，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝3cos 2x ， 令2k π－π≤2x ≤2k π，得k π－π2≤x ≤k π，可得函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ， 所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π.](2)[解] ①由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．②∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，∴a ＝1.1．求本例(2)中函数y ＝f (x )，x ∈R 取最大值时x 的取值集合． [解] 当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π2＋2k π，∴2x ＝π3＋2k π，∴x ＝π6＋k π，k ∈Z .∴当f (x )取最大值时，x 的取值集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝π6＋k π，k ∈Z. 2．在本例(2)的条件下，求不等式f (x )＜1的解集． [解] 由f (x )＜1得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2＜1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜－12所以2k π－5π6＜2x ＋π6＜2k π－π6，k ∈Z .解得k π－π2＜x ＜k π－π6，k ∈Z .所以不等式f (x )＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2＜x ＜k π－π6，k ∈Z.三角恒等变换的综合应用【例4】 函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性． [解] (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 或y ＝A cos (ωx ＋φ)＋k 等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数根本性质和相关原理进展求解.(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.2．函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x .(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．[解] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin 2x －cos 2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．三角函数的平面几何中的应用【例5】 直角走廊的示意图如下图，其两边走廊的宽度均为2米，过点P 的一直线与走廊的外侧两边交于A ，B 两点，且与走廊的一边的夹角为θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.(1)将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)[思路点拨] (1)长度l 可分成PA ，PB 两段分别用θ表示．(2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比拟铁棒长度与AB 长度的最小值． [解] (1)由题意可知：l ＝2sin θ＋2cos θ＝2(sin θ＋cos θ)sin θ·cos θ， 其中0＜θ＜π2.(2)l ＝2(sin θ＋cos θ)sin θ·cos θ，设t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， 因为0＜θ＜π2，所以π4＜θ＋π4＜3π4，所以t ∈(1，2]， 所以l ＝4t t 2－1＝4t －1t. 因为t －1t在(1，2]上是增函数，所以t －1t 的最大值为22，所以l ＝4t －1t的最小值为4 2.因为42＞5，所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下： (1)审读题意，合理地选取“角〞为自变量，建立三角函数关系式.(2)利用和、差、倍、半角公式进展化简整理，通常要整理为y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的形式. (3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如下图，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝π3，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ 上裁下一块平行四边形钢板ABOC ，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A 的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？[解] 连接OA ，设∠AOP ＝α，过A 作AH ⊥OP ，垂足为点H ，在Rt△AOH 中，OH ＝cos α，AH ＝sin α，所以BH ＝AHtan 60°＝33sin α，所以OB＝OH －BH ＝cos α－33sin α，设平行四边形ABOC 的面积为S ，那么S ＝OB ·AH ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－33sin α·sin α＝sin αcos α－33sin 2α＝12sin 2α－36(1－cos2α)＝12sin 2α＋36cos 2α－36＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2α＋12cos 2α－36＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－36. 由于0＜α＜π3，所以π6＜2α＋π6＜56π，当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S max ＝13－36＝36，所以当A 是PQ 的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为36平方米．。

5.1。

1 任意角学习目标核心素养1.理解任意角的概念．2．掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点）3．掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易混点）1.通过终边相同角的计算，培养数学运算素养．2．借助任意角的终边位置的确定，提升逻辑推理素养。

1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的表示如图，(1)始边:射线的起始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．任意角的分类(1）按旋转方向分（2)按角的终边位置分①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．②分类:4．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考:终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示：终边相同的角不一定相等,它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．1．下列说法正确的是（）A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是负角C．60°角与600°角是终边相同的角D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°D[A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；B错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；C错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数；D正确,分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°,将分针拨慢是逆时针旋转,拨慢10分钟转过的角为360°×错误!＝60°.]2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．－670°［由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.］3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．240°三［因为600°＝360°＋240°,所以240°角与600°角终边相同,且0°≤240°＜360°,故α＝240°，它是第三象限角．］角的有关概念的判断【例1】（1)给出下列说法:①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上）．（2）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角,并指出它们是第几象限角．①420°。