高考数学专题7.1复数的概念解析版

《7.1 复数的概念》考点讲解【思维导图】【常见考法】考法一 实部虚部的辨析【例1】（1）已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．1（2）．已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ）A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（3）3-的平方根是________.【一隅三反】1． 1-的平方根为______．2．复数2（i 是虚数单位）的实部为（ ）A ．2B ．C ．22-D ．03．若复数1(1)2z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．12i - B ．12i C ．12- D ．124．以2i -2+的实部为虚部的复数是（ ）A ．2i +B ．22i + CD ．45i -考法二 复数的分类 【例2】已知复数()2262153m m z m m i m --=+--+（i 是虚数单位） （1）复数z 是实数，求实数m 的值；（2）复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）复数z 是纯虚数，求实数m 的值.【一隅三反】1．已知复数()()223183,z m m m m i m R =+-+-∈，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值.2．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．考法三 复数的几何意义--复平面【例3】（1）已知复数34z i =-+(i 虚单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （2）在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(),2-∞-C ．()2,0-D ．()3,4 【一隅三反】1．在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设复数2z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若()()11z m m i =++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．()1,-+∞考法四 复数的几何意义--模长【例4】（1）设i 虚数单位，复数12z i =+，则||z =（ ）A B ．5 C ．1 D ．2（2）已知(26)12i x yi +=+，其中x ､y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．12B ．32C ．2D ．2（3）设复数z 满足2z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A ．()2214x y ++=B ．()2212x y ++= C ．()2214x y -+=D ．()2214x y +-=【一隅三反】1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()3x i i y i +=-，则x yi +=（ ）A ．10 BC ．3D ．12．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5 BC ．2 D3．已知复数z 满足|2|1-+=z i ，则||z 的最小值为（ ）A1 B1 C1 D14．已知复数z 满足条件1z =，那么z i ++的最大值为______．《7.1 复数的概念（精讲）》考点讲解答案解析考法一 实部虚部的辨析【例1】（1）已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ）B ．2- B ．2C ．2i -D ．1（2）．已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ）A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（3）3-的平方根是________.【答案】（1）A （2）C （3）【解析】（1）复数12z i =-的虚部为2-.故选：A.（2）由题意知，321x y =⎧⎨=⎩，解得231x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故选: C. （3）由()23=-得解.【一隅三反】1．1-的平方根为______．【答案】i ±【解析】()21i ±=-，因此，1-的平方根为i ±.故答案为i ±.2．复数2（i 是虚数单位）的实部为（ ）A ．2B ．C ．2-D ．0【答案】A【解析】根据复数的基本概念，可得复数22-的实部为2．故选：A ． 3．若复数1(1)2z i =-+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．12i -B ．12iC ．12-D ．12 【答案】D 【解析】因为复数111(1)222z i i =-+=--，所以z 的共轭复数1122z i =-+，虚部是12，故选：D ．4．以2i -2+的实部为虚部的复数是（ ）A ．2i +B ．22i +CD ．45i - 【答案】B【解析】22i i =的虚部为222+=+的实部为2，则复数为22z i =+故选：B.考法二 复数的分类【例2】已知复数()2262153m m z m m i m --=+--+（i 是虚数单位） （1）复数z 是实数，求实数m 的值；（2）复数z 是虚数，求实数m 的取值范围；（3）复数z 是纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）5m =；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2.【解析】（1）复数z 是实数，则2215030m m m ⎧--=⎨+≠⎩，解得5m =； （2）复数z 是虚数，则221503m m m ⎧--≠⎨≠-⎩，解得5m ≠且3m ≠-；（3）复数是纯虚数，则226032150m m m m m ⎧--=⎪≠-⎨⎪--≠⎩，解得3m =或2．【一隅三反】1．已知复数()()223183,z m m m m i m R =+-+-∈，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是实数，求实数m 的值；（2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值.【答案】（1）0或3；（2）6-.【解析】（1）若复数z 是实数，则230m m -=所以0m =或3m =. （2）若复数z 是纯虚数，则22303180m m m m ⎧-≠⎨+-=⎩所以6m =-. 2．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．【答案】（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【解析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-．2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=， 解得12m =或2-．12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上．考法三 复数的几何意义--复平面【例3】（1）已知复数34z i =-+(i 虚单位)，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 （2）在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,3B ．(),2-∞-C ．()2,0-D ．()3,4【答案】（1）B （2）D【解析】（1）由复数的几何意义知，复数34z i =-+在复平面内对应的点为()3,4-，即在第二象限，故选：B（2）∵在复平面内，若复数()()2246z m m m m i =-+--所对应的点在第二象限， ∴224060m m m m ⎧-<⎨-->⎩解得34x <<∴实数m 的取值范围是()3,4故选：D. 【一隅三反】1．在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D 【解析】复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.2．设复数2z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】复数2z i =+的共轭复数2z i =-，则对应点的坐标为()2,1-，该点位于第四象限，故选：D.3．若()()11z m m i =++-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,1-D ．()1,-+∞【答案】C 【解析】()()11z m m i =++-对应的点为()1,1m m +-，因为对应的点位于第四象限，得1010m m +>⎧⎨-<⎩，解得11m -<<.故选：C.考法四 复数的几何意义--模长【例4】（1）（设i 虚数单位，复数12z i =+，则||z =（ ）A B ．5 C ．1 D ．2（2）已知(26)12i x yi +=+，其中x ､y 是实数，则||x yi +=（ ）A ．12B ．32C ．2D ．2（3）设复数z 满足2z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A ．()2214x y ++=B ．()2212x y ++=C ．()2214x y -+=D ．()2214x y +-= 【答案】（1）A （2）C （3）D【解析】（1）||z == A（2）因为2612x xi yi +=+，所以21x =，62x y =，解得12x =，332y x ==，所以x yi +==，故选：C. （3）z 在复平面内对应的点为(),x y ，则复数()=,z x yi x y R +∈, 则()=12z i x y i -=+-，由复数的模长公式可得()22+1=4x y -，故选：D 【一隅三反】1．已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足()3x i i y i +=-，则x yi +=（ ）A ．10BC ．3D ．1【答案】B【解析】由(3)x i i y i +=-，得3xi y i -+=-，1x ∴=-，3y =-．则||x yi +故选：B ．2．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5B C ．2 D 【答案】B【解析】因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B .3．已知复数z 满足|2|1-+=z i ，则||z 的最小值为（ ）A 1B 1C 1D 1 【答案】A【解析】设z a bi =+，则()2211a bi i a b i +-+=-++==， 由()()22211x y -++=，表示为以()2,1-为圆心，1为半径的圆，1，因为z =1，故选:A.4．已知复数z 满足条件1z =，那么z i ++的最大值为______．【答案】4【解析】因为1z =，所以复数z 对应的点在单位圆上，z i +表示复数z 对应的点与复数i -对应的点()1M --之间的距离，而3OM ==．所以z i +的最大值为14OM r OM +=+=.故答案为：4《7.1 复数的概念（精练）》同步练习【题组一 实部虚部辨析】1．若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ）A ．1B ．iC ．2-D ．2i -2．设i 为虚数单位，则复数55z i =-的实部为（ ）A ．5-B ．5i -C ．5D ．5i3．复数3z i =-的虚部是（ ）A ．1B ．iC ．-1D ．i -4．数24i z =--的虚部是（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．45．已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ）A ．iB ．i -C ．1-D ．1【题组二 复数的分类】1．已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数，则实数m =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 2． i 为虚数单位，已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数，则a 等于（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．03．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知a 为实数，若复数()24(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ）A ．2B ．4iC ．2±D ．4 5．已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-2或26．若复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则m =______ 7．已知复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则实数m =_____________8．实数m 取怎样的值时，复数()22153m m z i m --=-+是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？9．已知复数()()11z m m i m R =++-∈. （1）m 取什么值时，z 为实数； （2）m 取什么值时，z 为纯虚数.10．已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围.【题组三 复数的几何意义--复平面】1．在复平面内，复数1i -+所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若,a b ∈R ，则复数()()224526a a b b i -++-+-表示的点在（ ） A ．在第一象限 B ．在第二象限 C ．在第三象限D ．在第四象限3．复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12z i =+，则2z =（ ） A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i --5．已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是____.6．已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =_____；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.7.在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________．【题组四 复数的几何意义--模长】1．已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1B ．2-C ．2±D ．±12．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ，y 满足的关系式为______.3．已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______. 4．知i 是虚数单位，若1z i =+，则22z z -=________. 5．若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________． 【题组五 复数综合应用】1．（多选）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限2．若复数12z i =+（i 为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）A ．z 是纯虚数B ．z 的实部为2C ．z 的共轭复数为12i -+D ．z 3．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则（ ） A ．z i +是实数（i 为虚数单位） B ．z i +是纯虚数（i 为虚数单位） C ．1z +是实数 D ．1z +是纯虚数4．关于复数3－4i 的说法正确的是（ ）①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A ．①③ B ．①②④C ．①②③④D ．①③④《7.1 复数的概念（精练）》同步练习答案解析【题组一 实部虚部辨析】1．若(2)x i i y i +=+，其中,x y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1 B ．iC ．2-D ．2i -【答案】C【解析】由于(2)x i i y i +=+，则1x=且2y =-，所以12z x yi i =+=-，所以复数z 的虚部为2-.故选：C.2．设i 为虚数单位，则复数55z i =-的实部为（ ） A ．5- B ．5i -C ．5D ．5i【答案】C【解析】复数55z i =-的实部为5.故选：C. 3．复数3z i =-的虚部是（ ） A ．1 B ．iC ．-1D ．i -【答案】C【解析】由复数虚部的定义得复数3z i =-的虚部是1-.故选：C 4．复数24i z =--的虚部是（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】C【解析】因为24i z =--，所以由复数定义可知虚部是4-，故选：C. 5．已知复数1z i =-，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．i B ．i -C ．1-D ．1【答案】C【解析】因为1z i =-，则虚部为1-.故选：C.【题组二 复数的分类】1．已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数，则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D【解析】()()()1i 1i 11i z m m m =--+=--+，因为z 为纯虚数且m 为实数，故1010m m -=⎧⎨+≠⎩，故1m =， 故选：D2． i 为虚数单位，已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数，则a 等于（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．0【答案】C【解析】复数21(1)a a i -+-是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-.故选：C.3．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠， 则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B.4．已知a 为实数，若复数()24(2)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．4iC ．2±D ．4【答案】D【解析】2(4)(2)z a a i =-++为纯虚数，∴24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，即2a =．∴复数z 的虚部为4．故选：D ．5．已知i 为虚数单位，a R ∈，复数()242a a i -+-是纯虚数，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．4D ．-2或2【答案】B【解析】因为复数()242a a i -+-是纯虚数，所以240,202a a a -=-≠∴=-故选：B6．若复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则m =______ 【答案】-1【解析】复数(1)(2)z m m i =++-（m ∈R ）是纯虚数，则1020m m +=⎧⎨-≠⎩，所以1m =-. 故答案为：-17．已知复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则实数m =_____________【答案】1-【解析】由题意，复数223(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则满足223030m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得1m =-，即实数m 的值为1-.故答案为：1-.8．实数m 取怎样的值时，复数()22153m m z i m --=-+是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？【答案】（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =. 【解析】（1）若22150m m --=，则z 为实数，此时3m =-或者5m =. （2）若22150m m --≠，则z 为虚数，此时3m ≠-且5m ≠.（3）若2302150m m m -=⎧⎨--≠⎩ ，则z 为纯虚数，此时3m =.9．已知复数()()11z m m i m R =++-∈.（1）m 取什么值时，z 为实数； （2）m 取什么值时，z 为纯虚数. 【答案】（1）1m =（2）1m =-【解析】（1）复数()()11z m m i m R =++-∈，若z 为实数，则10m -=，即1m =（2）若z 为纯虚数，则1010m m +=⎧⎨-≠⎩，解得1m =-10．已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-. （1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）(4,4)-.【解析】（1）由题意得：225602530m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-；（2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-， 直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>， 所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>， 解得44m -<<，所以m 的取值范围为(4,4)-. 【题组三 复数的几何意义--复平面】1．在复平面内，复数1i -+所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】由题,1i -+在复平面内对应的点为()1,1-,在第二象限,故选:B 2．若,a b ∈R ，则复数()()224526a a b b i -++-+-表示的点在（ ） A ．在第一象限 B ．在第二象限 C ．在第三象限 D ．在第四象限【答案】D【解析】因为()2245210a a a -+=-+>，()2226150b b b -+-=---<， 所以由复数的几何意义知该复数表示的点在第四象限.故选：D3．复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】复数()()2lg 2221()x xz x i x R -=-+-+-∈的实部()2lg 2a x -=+、虚部()221x x b -=-+-.因为()22221lg 20x x +≥>⇒+>,所以0a <. 因为21122202x x x x --≥-+⇒≥>+,所以0b <. 所以复数z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C4．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且12z i =+，则2z =（ ） A ．2i + B ．2i -+C ．2i -D ．2i --【答案】B 【解析】12z i =+，1z ∴在复平面内对应点的坐标为(2,1)，由复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知2z 在复平面内对应的点的坐标为(2,1)-，22z i ∴=-+，故选：B ．5．已知()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是____.【答案】(),2-∞-【解析】()()214Z m m i =++-在复平面内对应的点()21,4m m +-在第二象限，所以21040m m +<⎧⎨->⎩，解得2m <-，即实数m 的取值范围是(),2-∞-.故答案为：(),2-∞-6．已知复数()()22lg 223z m m m m i =-++-若复数z 是实数，则实数m =________；若复数z 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为________.【答案】3- 21m <<【解析】z 为实数，则2230m m +-=，解得1m =或3-，又220m m ->，所以3m =-．z对应点在第二象限，则22lg(2)0230m m m m ⎧-<⎨+->⎩，解得21m <<+．故答案为：3-；21m <<．7.在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________．【答案】()()2,12,--+∞【解析】根据题意得出22020m m m +>⎧⎨-->⎩，解得21m -<<-或>2m ，所以实数m 的取值范围是()()2,12,--+∞．故答案为：()()2,12,--+∞．【题组四 复数的几何意义--模长】1．已知a R ∈，若有a i -=i 为虚数单位），则a =（ ） A ．1 B ．2-C ．2±D ．±1【答案】C【解析】因为a R ∈所以a i -==，即215a +=，解得2a =±，故选：C2．设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(),x y 则x ，y 满足的关系式为______.【答案】22(1)1y x +-=【解析】由题意，设复数(,)z x yi x y R =+∈，因为1z i -=1=，整理得22(1)1y x +-=，即复数z 在复平面内对应的点为(),x y 则,x y 满足的关系式为22(1)1y x +-=.故答案为：22(1)1y x +-=.3．已知a ，b R ∈，()123ai b a i +=++，则a =______，3a bi +=______.【答案】3-【解析】∵()123ai b a i +=++∴123ba a =⎧⎨=+⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，则333a bi i +=-+===故答案为：（1）3-；（2）4．已知i 是虚数单位，若1z i =+，则22z z -=________. 【答案】2【解析】根据复数模的计算公式得：22212+222z z i i i -=+--=.故答案为：2 5．若z C ∈且342z i ++≤，则z 的取值范围为__________． 【答案】[]3,7【解析】342z i ++≤的几何意义为复平面内动点Z 到定点()3,4A --的距离小于等于2的点的集合，z 表示复平面内动点Z 到原点的距离，∵||5OA ==，5252z ∴-≤≤+.∴z 的取值范围为[]3,7． 故答案为：[]3,7． 【题组五 复数综合应用】1．（多选）已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =- D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【解析】因为复数1z i =+， 所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确. 故选：BCD.2．若复数12z i =+（i 为虚数单位），则下列命题正确的是（ ）A ．z 是纯虚数B ．z 的实部为2C ．z 的共轭复数为12i -+D ．z 【答案】D【解析】复数12z i =+（i 为虚数单位）显然不是纯虚数，12z i =+的实部是1，z 的共轭复数为12i -，z =D 正确，故选：D.3．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，则（ ） A ．z i +是实数（i 为虚数单位） B ．z i +是纯虚数（i 为虚数单位） C ．1z +是实数 D ．1z +是纯虚数 【答案】D【解析】由题意可得，1z i =-+，则1z i +=为纯虚数，12z i i +=-+是虚数，但不是纯虚数，故选：D ．4．关于复数3－4i 的说法正确的是（ ） ①实部和虚部分别为3和-4；②复数模为5③在复平面内对应的点在第四象限；④共轭复数为3+4i A ．①③ B ．①②④C ．①②③④D ．①③④【答案】C【解析】复数3－4i 的实部和虚部分别为3和-4，①正确；复数模为5，②正确； 在复平面内对应的点为(3,4)-在第四象限，③正确；复数3－4i 的共轭复数为3+4i ，④正确.故选：C.。

7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念新课程标准新学法解读1.通过方程的解，认识复数．2.理解复数的代数表示，理解两个复数相等的含义．1.了解数系扩充的过程，明确引入复数的必要性．2.本节新概念较多，理解相关概念是学好复数的关键.[思考发现]1．已知复数z ＝1＋i ，则下列结论中正确的个数是( ) ①z 的实部为1；②z >0；③z 的虚部为i . A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：选A 易知①正确，②③错误，故选A.2．在2＋7，27i ,8＋5i ，(1－3)i ,0.68这几个数中，纯虚数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 由纯虚数的定义可知27i , (1－3)i 是纯虚数．故选C.3．若a －2i ＝b i ＋1，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝________. 解析：由两个复数相等可知，a ＝1，－2＝b ，所以a 2＋b 2＝5. 答案：54．3i 2＋7i 的实部为________，虚部为________． 解析：3i 2＋7i ＝－3＋7i ，实部为－3，虚部为7. 答案：－3 75．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.解析：∵z <0，∴z 为实数且小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，解得m ＝－1. 答案：－1[系统归纳]1．数系扩充的脉络自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集． 2．复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是． 3．两个复数相等的条件(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．复数的有关概念[例1] 给出下列三个命题：①若z ∈C ，则z 2≥0；②2i －1虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部是2，不是2i ，②为假命题；对于③，2i ＝0＋2i ，其实部是0，③为真命题．故选B.[答案] B复数概念的几个关注点(1)复数的代数形式：若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．[变式训练]1．若复数z ＝a 2－3＋2a i 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为______． 解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，∴a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－32．下列命题正确的是________． ①复数－i ＋1的虚部为－1.②若z 1，z 2∈C 且z 1－z 2>0，则z 1>z 2. ③任意两个复数都不能比较大小．解析：①复数－i ＋1＝1－i ，虚部为－1，正确；②若z 1，z 2不全为实数，则z 1，z 2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．答案：①复数的分类[例2] 当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数．[解] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数． (2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数．复数分类解题策略判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．[变式训练]1．[变设问]本例中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解：当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数．2．[变设问]本例中条件不变，当m 为何值时，z >0.解：因为z >0，所以z 为实数，需满足 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3>0，m 2－2m －15＝0，解得m ＝5. 3．[变条件]已知z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )，若z 是虚数，求m 的取值范围．解：∵z 是虚数，∴log 12(3－m )≠0，且1＋m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，∴－1<m <2或2<m <3.∴m 的取值范围为(－1,2)∪(2,3)．复数相等及其应用[例3] (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值；(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值．[解] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ， 则3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．[变式训练]1．满足x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0解析：选A 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.故选A. 2．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值． 解：由题意，得(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－3a －1＝3，解得a ＝－1.A 级——学考合格性考试达标练1．复数⎝⎛⎭⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2 B ．－32C ．2－32D ．0解析：选C 由复数定义知C 正确．故选C.2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，即b ＝2.故选D.3．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝B C ．A ∩(∁SB )＝∅D ．(∁SA )∪(∁S B )＝C解析：选D 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁SA )∪(∁S B )＝C 正确．故选D.4．已知复数z 1＝1＋3i 的实部与复数z 2＝－1－a i 的虚部相等，则实数a 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－1D ．1解析：选C 易知1＋3i 的实部为1，－1－a i 的虚部为－a ，则a ＝－1.故选C. 5．已知复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，a ∈R ，若z 1＝z 2，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－3D ．9解析：选B 因为z 1＝a ＋2i ，z 2＝3＋(a 2－7)i ，且z 1＝z 2，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2－7＝2，解得a ＝3.故选B.6．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析：易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案：－47．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2.答案：28．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为______． 解析：因为复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.答案：29．分别求满足下列条件的实数x ，y 的值． (1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ； (2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0.解：(1)∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.(2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3. 10．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(m ∈R )，试求m 取何值时？ (1)z 是实数； (2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．解：(1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2>0，解得m ＝－1或m ＝－2，故当m ＝－1或m ＝－2时，复数表示实数．(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0，求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 是纯虚数． (3)由lg(m 2－2m －2)>0，且m 2＋3m ＋2>0，解得m <－2或m >3，故当m <－2或m >3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．B 级——面向全国卷高考高分练1．复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，则实数a 的值为( )A ．1或－1B ．1C ．－1D ．0或－1解析：选C 因为复数z ＝1a －1＋(a 2－1)i 是实数，且a 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a －1≠0，解得a＝－1.故选C.2．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( ) A.12 B ．2 C ．0D ．1解析：选D 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.故选D.3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i.故选B. 4．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－7，916B.⎣⎡⎦⎤916，7 C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－916，7 解析：选D 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，消去m 得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916.由于－1≤sin θ≤1，故－916≤λ≤7.故选D. 5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则a 的取值范围是________．解析：若复数为纯虚数，则有⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－1≠0，a 2－a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0且a ≠2，a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1. 故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案：(－∞，－1)∪(－1，＋∞)6．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹方程是__________．解析：由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1，求实数x ，y 的值．解：由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y 1＝3x ＋2y ＋y i ， 故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2. C 级——拓展探索性题目应用练已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，求实数m 的值． 解：设a 为方程的一个实数根，则有 a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎨⎧m ＝112，a ＝－12.故实数m 的值为112.7．1.2复数的几何意义新课程标准新学法解读1.理解复平面的实轴、虚轴、复数的模、共轭复数的概念．2.理解复数的代数表示及其几何意义. 从“数”和“形”两个角度认识理解复数，由于复平面的建立，使得复数和复平面内的点和以原点为起点的向量具有一一对应关系，为研究复数问题提供了更加有力的工具.[思考发现]1．已知复数z ＝－i ，复平面内对应点Z 的坐标为( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(0,0)D ．(－1，－1)解析：选A 复数z ＝－i 的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z 的坐标为(0，－1)．故选A.2．若OZ ―→＝(0，－3)，则OZ ―→对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3iD ．3解析：选C 由复数的几何意义可知OZ ―→对应的复数为－3i.故选C. 3．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1B ．a ≠2或a ≠－1C ．a ＝2或a ＝0D ．a ＝0解析：选C 由题意知a 2－2a ＝0，解得a ＝0或2.故选C.4．若复数a ＋1＋(1－a )i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选B 因为z ＝a ＋1＋(1－a )i ， 所以它在复平面内对应的点为(a ＋1,1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1.故选B.5．已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，∴|z |＝ 12＋22＝ 5.答案：5[系统归纳]1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可用点Z (a ，b )表示．(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．2．复数几何意义的两个注意点(1)复数与复平面上的点：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)复数与向量的对应：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ ―→相等的向量有无数个．3．对复数模的三点说明(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小．(2)数的角度理解：复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模|a ＋b i|＝a 2＋b 2，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．(3)几何角度理解：表示复数的点Z 到原点的距离．|z 1－z 2|表示复数z 1, z 2对应的点之间的距离．复数与复平面内点的关系[例1] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R )对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x 轴上方．[解] (1)点Z 在复平面的第二象限内， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3. (2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0， 即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．特别提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．[变式训练]1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z 表示的点在x 轴上时，实数a 的值． 解：点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0， 所以a ＝5.故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． 解：因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0， 所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上.复数的模[例2] 已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z |＝|z 1|的复数z 对应的点Z 的轨迹是什么图形？ [解] (1)|z 1|＝|3＋i|＝ 32＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|>|z 2|. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则点Z 的坐标为(x ，y )． 由|z |＝|z 1|＝2得x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4.所以点Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 法二：由|z |＝|z 1|＝2知|OZ ―→|＝2(O 为坐标原点)， 所以Z 到原点的距离为2.所以Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．[变式训练]1．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R )，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是________． 解析：由|z |＝ 1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，32 2．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝ 62＋82＝10，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋－22＝32.∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.复数与复平面内向量的关系[例3] (1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋80iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. ①求向量AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数； ②判定△ABC 的形状．[解析] (1)两个复数对应的点分别为A (6,5)，B (－2，3)，则C (2,4)．故其对应的复数为2＋4i.[答案] C(2)①由复数的几何意义知：OA ―→＝(1,0)，OB ―→＝(2,1)，OC ―→＝(－1,2)，所以AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(1,1)，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝(－2,2)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(－3,1)，所以AB ―→，AC ―→，BC ―→对应的复数分别为1＋i ，－2＋2i ，－3＋i.②因为|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝22，|BC ―→|＝10， 所以|AB ―→|2＋|AC ―→|2＝|BC ―→|2，所以△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形．复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[变式训练]1．在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( )A ．2 3B ．－23iC.3－3i D ．3＋3i解析：选B 复数对应的点为(3，－3)，对应的向量按顺时针方向旋转π3，则对应的点为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23i.故选B.2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知，OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→， 即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ，由复数相等可得⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 答案：5A 级——学考合格性考试达标练1．复数z ＝－1－2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选C z ＝－1－2i 在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．故选C. 2．向量a ＝(－2,1)所对应的复数是( ) A ．z ＝1＋2i B ．z ＝1－2i C ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i解析：选D 向量a ＝(－2,1)所对应的复数是z ＝－2＋i.故选D. 3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A ．(1，3) B ．(1，5) C ．(1,3)D ．(1,5)解析：选B |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．故选B. 4．设O 为原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2＋3i ，－3－2i ，那么向量BA ―→对应的复数为( )A ．－1＋iB ．1－iC ．－5－5iD ．5＋5i解析：选D 因为由已知OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(－3，－2)，所以BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以BA ―→对应的复数为5＋5i.故选D.5．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两点D ．两个圆解析：选A ∵|z |2－2|z |－3＝0，∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆．故选A. 6．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)7．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5. 答案：58．i 是虚数单位，设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则xy ＝________，|x ＋y i|＝________. 解析：由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ，∴x ＝y ＝1，∴xy ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝ 2. 答案：129．在复平面内指出与复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝2－i ，z 3＝－i ，z 4＝3＋3i 对应的点Z 1，Z 2，Z 3，Z 4，然后在复平面内画出这4个复数对应的向量．解：由题意知Z 1(－1，2)，Z 2(2，－1)，Z 3(0，－1)，Z 4(3，3)．如图所示，在复平面内，复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量分别为OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→，OZ 4―→.10．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z ：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． 解：因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．B 级——面向全国卷高考高分练1．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．故选A. 2．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i解析：选A 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3＝4，a <0，解得a ＝－1.故z ＝－1＋3i.故选A.3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i解析：选D 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.故选D.4．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 由题意知，“ab >0”可推出⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0.当a >0，b >0时，a －b i 对应的点位于复平面上第四象限，当a <0，b <0时，a －b i 对应的点位于复平面上第二象限，反之成立．所以“ab >0”是“复数a －b i 对应的点位于复平面上第二象限”的必要不充分条件．故选B.5．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 解析：由模的计算公式得x －22＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案：(x －2)2＋y 2＝86．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：因为z 1＝2－3i 对应的点的坐标为(2，－3)，且复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z 2在复平面内对应点的坐标为(－2,3)，对应的复数为z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i7．已知复平面内的点A ，B 对应的复数分别是z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设AB ―→对应的复数是z .(1)求复数z ；(2)若复数z 对应的点P 在直线y ＝12x 上，求θ的值．解：(1)因为点A ，B 对应的复数分别是 z 1＝sin 2θ＋i ，z 2＝－cos 2θ＋icos 2θ，所以点A ，B 的坐标分别是A (sin 2θ，1)，B (－cos 2θ，cos 2θ)，所以AB ―→＝(－cos 2θ，cos 2θ)－(sin 2θ，1)＝(－cos 2θ－sin 2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin 2θ)， 所以AB ―→对应的复数z ＝－1＋(－2sin 2θ)i.(2)由(1)知点P 的坐标是(－1，－2sin 2θ)，代入y ＝12x ，得－2sin 2θ＝－12，即sin 2θ＝14，所以sin θ＝±12.又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝12，所以θ＝π6或5π6.C 级——拓展探索性题目应用练设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)，m ∈R 对应的向量为OZ ―→. (1)若OZ ―→的终点Z 在虚轴上，求实数m 的值及|OZ ―→|； (2)若OZ ―→的终点Z 在第二象限内，求m 的取值范围．解：(1)因为OZ ―→的终点Z 在虚轴上，所以复数Z 的实部为0，则有log 2(m 2－3m －3)＝0，所以m 2－3m －3＝1.所以m ＝4或m ＝－1；因为⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ＝4，此时z ＝i ，OZ ―→＝(0,1)，|OZ ―→|＝1， (2)因为OZ ―→的终点Z 在第二象限内，则有⎩⎪⎨⎪⎧log 2m 2－3m －3<0，log 2m －2>0，m 2－3m －3>0，m －2>0，所以m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋212，4.。

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

§7.1.1 数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析内容：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书必修第二册》（人教A版）第七章第1节的内容．本节内容是数系的扩充和复数的概念，基于之前所学的数系的发展历程，由一元二次方程的根的问题导入，将数学扩充到复数范围，并研究复数的概念，为复数的运算打好基础。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.二、目标和目标解析目标：（1）了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．（2）理解复数的概念、表示法及相关概念．（3）掌握复数的分类及复数相等的充要条件．目标解析：（1）能够通过方程的解，感受引入复数的必要性，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用．（2）学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中，归纳出数系扩充的一般“规则"，体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用．（3）学生能说明虚数i的由来，能够明晰复数代数表示式的基本结构，会对复数进行分类，会用Venn 图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系；知道两个复数相等的含义，能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题．基于上述分析，本节课的教学重点定为：复数的分类及复数相等的充要条件．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：因为现实生活中没有任何事物支持虚数，学生可能会怀疑引入复数的必要性，在教学中，如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味，学生不易接受．解决方案：适当介绍数的发展简史，增强学生学习的生动性．2．教学问题二：由于知识储备和认知能力的限制，学生对数系扩充的一般规则并不熟悉，对虚数单位的引入，以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难．解决方案：通过解方程问题引导，借助已有的数系扩充的经验，特别是从有理数系扩充到实数系的经验，从特殊到一般，帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”，进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充，感受引入复数的必要性和合理性．3．教学问题三：学生以前学习过的数都是单纯的一个数，而复数的代数形式是两项和的形式，学生比较陌生，因此理解上会存在一定困难．解决方案：引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数，并归纳总结出复数的一般表示方法，经历复数形式化的过程．基于上述情况，本节课的教学难点定为：理解复数的概念、表示法及相关概念．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生类比得到复数的概念，应该为学生创造积极探究的平台，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视复数概念的理解和表示，让学生体会数系扩充的基本过程．五、教学过程与设计纯虚数．[课堂练习2]已知M＝{2，m2－2m ＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．课堂小结升华认知[问题10]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，12.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i2 021＝________.4.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.教师14：提出问题10．学生14：学生14：学生课后进行思考，并完成课后练习．师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

7．1复数的概念7．1.1数系的扩充和复数的概念考点学习目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算问题导学预习教材P68－P70的内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．(2)复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．(3)复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．■名师点拨对复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等的充要条件在复数集C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等当且仅当a ＝c 且b ＝d ．3．复数的分类(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0Ｗ. (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i(b ∈R )不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i(b ∈R )才是纯虚数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)复数z 1＝3i ，z 2＝2i ，则z 1＞z 2.( ) (3)复数z ＝b i 是纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√若z ＝a ＋(a 2－1)i(a ∈R ，i 为虚数单位)为实数，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．1或－1 答案：D以3i －2的虚部为实部，以－3＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i 答案：A若(x －2y )i ＝2x ＋1＋3i ，则实数x ，y 的值分别为________． 答案：－12 －74复数的概念下列命题：①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是()A．①B．②C．③D．④【解析】对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x ＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D.【答案】 D判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．(2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋b i的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．[提醒]解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．对于复数a＋b i(a，b∈R)，下列说法正确的是()A．若a＝0，则a＋b i为纯虚数B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2C．若b＝0，则a＋b i为实数D．i的平方等于1解析：选C.对于A，当a＝0时，a＋b i也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；对于D，i的平方为－1.故选C.复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i ：(1)为实数？(2)为虚数？(3)为纯虚数？【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．(2)当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎨⎧m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．(3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ①z 为实数⇔b ＝0； ②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.1．若复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C.复数a 2－a －2＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故选C.2．当实数m 为何值时，复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是： (1)纯虚数；(2)实数．解：(1)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7＝1m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝4.(2)复数lg(m 2－2m －7)＋(m 2＋5m ＋6)i 是实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －7>0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2或m＝－3.复数相等(1)(2019·浙江杭州期末考试)若z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i(m ，n ∈R )，且z 1＝z 2，则m ＋n ＝( )A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或0(2)若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 (1)由z 1＝z 2，得n 2－3m －1＝－3且n 2－m －6＝－4，解得m ＝2，n ＝±2，所以m ＋n ＝4或0，故选A.(2)因为log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2（x 2－3x －2）>1，log 2（x 2＋2x ＋1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1，解得x ＝－2.【答案】 (1)A (2)－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解．[注意] 在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a ，b ，c ，d ∈R ，即当a ，b ，c ，d ∈R 时，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .若忽略前提条件，则结论不能成立．已知A ＝{1，2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1，3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－ 1.1．若复数z ＝a i 2－b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则一定有( ) A ．b ＝0 B ．a ＝0且b ≠0 C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B.z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0. 2．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：选D.因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.3．若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3.答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3. 答案：3[A基础达标]1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是()A．1－i B．1＋iC．－3＋3i D．3＋3i解析：选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.2．在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，则()A．a＝0或a＝2 B．a＝0C．a≠1且a≠2 D．a≠1或a≠2解析：选B.因为复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.3．若x i－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋y i＝()A．－2＋i B．2＋iC．1－2i D．1＋2i解析：选B.由i2＝－1，得x i－i2＝1＋x i，则由题意得1＋x i＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋y i＝2＋i.4．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－bC．a>0且a≠b D．a≤0解析：选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.5．下列命题：①若z＝a＋b i，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；②若z21＋z22＝0，则z1＝z2＝0；③若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选A.在①中未对z＝a＋b i中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z21＋z22＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.6．如果x－1＋y i与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．解析：由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.答案：1417．复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________. 解析：因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5. 答案：58．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )是虚数，则m 的取值范围是________．解析：因为z 为虚数，所以log 12(3－m )≠0，故⎩⎪⎨⎪⎧1＋m >0，3－m ≠1，3－m >0，解得－1<m <3且m ≠2. 答案：(－1，2)∪(2，3)9．已知复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(m ∈R )． (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是虚数，求实数m 的取值范围； (3)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值； (4)若复数z 是0，求实数m 的值．解：(1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， 所以m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数． 所以m ≠5且m ≠－3.所以实数m 的取值范围为{m |m ≠5且m ≠－3}．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，所以m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，所以m ＝－3.10．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2（y ＋1）i ＝y ＋4x i ，（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值． 解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0 ①，2（y 0＋1）＝4x 0②，2x 0＋ay 0＝9 ③，－（4x 0－y 0＋b ）＝－8④，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以实数a ，b 的值分别为1，2.[B 能力提升]11．“复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数”是“a ＝－2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为1－a ＋a 2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，所以若复数4－a 2＋(1－a ＋a 2)i(a ∈R )是纯虚数，则4－a 2＝0，即a ＝±2；当a ＝－2时，4－a 2＋(1－a ＋a 2)i ＝7i 为纯虚数，故选B.12．满足方程x 2－2x －3＋(9y 2－6y ＋1)i ＝0的实数对(x ，y )表示的点的个数为________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3＝0，9y 2－6y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝13.所以实数对(x ，y )表示的点有⎝⎛⎭⎫3，13，⎝⎛⎭⎫－1，13，共有2个． 答案：213．已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，则m 的值为________． 解析：因为z <0，所以z ∈R ，所以m 2＋5m ＋6＝0， 解得m ＝－2或m ＝－3.当m ＝－3时，z ＝1>0，不符合题意，舍去； 当m ＝－2时，z ＝－1<0，符合题意． 故m 的值为－2. 答案：－214．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩N M ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，即a ＋3＝0且b 2－1＝3，得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意，舍去； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}．符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意，舍去；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1，b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0，b 2－b －3＝0，此方程组无整数解． 综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.[C 拓展探究]15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2， 解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α＋1，y ＝2sin α－1.(α∈R ) 所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋2 5 ]．。

第七章复数1．知识结构：2．基本要求：理解复数的有关概念：复数、虚数、纯虚数，复数的实部、虚部，共轭复数、复数相等；理解复平面的有关概念：复平面、实轴、虚轴，复数的向量表示、复数的模、复平面上两点间的距离．掌握复数的四则运算、平方根，1的立方根；会解实系数一元二次方程．3．重点问题：（1）利用复数的分类、复数相等、复数的运算求解复数问题；（2）掌握复数的模、两复数差的模的几何意义，并解决模的最值问题；（3）掌握实系数一元二次方程的根的问题．4．思想方法与能力：（1）将复数问题转化为实数问题的“化归思想”；（2）通过对实系数一元二次方程的根的问题，把握分类讨论的数学思想；（3）根据复数与复平面内的点的对应关系，注意数与形的转化．1941957.1 复数的概念及运算（一）知识梳理1．复数概念：（1）z a bi =+（a b R ∈、），i 为虚数单位，a 为实部，b 为虚部 （2）共轭复数：z a bi =-（3）复平面：实轴、虚轴，z 对应复平面上的点的坐标为(,)a b （4）复数的模：z =z 对应点到原点的距离2．复数分类： （1）实数：0b = （2）虚数：0b ≠（3）纯虚数：0a =且0b ≠ 3．复数相等：设1z a bi =+，2z c di =+，a b R ∈、、c 、d ，则12z z a c =⇔=且b d = 4．复数的四则运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1122a b a b R ∈、、、），则 （1）121212()()z z a a b b i ±=±+± （2）1212121221()()z z a a b b a b a b i =-++ （3）11212211222222()()z a a b b a b a b iz a b ++-=+（分母实数化） 5．共轭复数与模的性质（1）1212z z z z ±=±； 1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭ （2）1212z z z z ⋅=⋅； 1122z z z z = （3）2z z z =⋅； z z =（4）z R z z ∈⇔=； z 为纯虚数z z ⇔=-且0z ≠6．求解复数z 的方法设z a bi =+（a b R ∈、），转化为求实数a b 、的方程组典型例题196【例1】判断下列命题的真假：（1）设12z z C ∈、，若2212z z =，则1122z z z z =；（2）设123z z z C ∈、、，若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==；（3）设z C ∈，则z 为纯虚数的充要条件是0z z +=； （4）设12z z C ∈、，若120z z ->，则12z z >； （5）设12z z C ∈、，则12z z -= （6）设z C ∈，则()()m nmnz zm n Q =∈，解：（1）为真命题，其余都为假命题【例2】实数m 分别取什么数时，复数2(1)52)615z i m i m i =++-+-（是 （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应的点在第三象限； （5）对应的点在直线40x y ++=上；（6）共轭复数的虚部为12 解：（1）53m m ==-或；（2）53m m ≠≠-且；（3）2m =-； （4）32m -<<-；（5）512m m =-=或【例3】计算下列各式的值： （1）232005i i i i ⋅⋅⋅⋅= （2）232005i i i i ++++=（3）7651212i i i i ---+-- 解：（1）i - （2）i （3）7455i -- 说明：i 的幂运算具有周期性【例4】（1）已知1z i =+，设23(1)4z i ω=+--，求ω （2）若(34)724z i i -=-+，求1z（3）若545(13)(1)(3)i i z i ++=-，求z 的值解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--197（2）72434i z i -+=+，1z =342525i +（3）545455131(13)(1)4(3)3i ii i z i i++++===-- 【备用题1】已知z w C ∈，，(13)i z +为纯虚数，2zw i=+，且w =w 解：(155)z i =±+，则7w i =-或7w i =-+巩固练习1．对于任意虚数z ，z z +的共轭一定是 ，z z -一定是 ，z z ⋅一定是 ，22()z z -一定是2．已知121iz i-=+，则z = ，z = 3．设b R ∈，且1122i bi +++的实部与虚部相等，则b =4．计算2320081i i i i +++++=5．若123421z i z i =--=+，，且12z z z ⋅=，则z =6．若223()1z z f z z -+=+，则(1)f i +=7．计算：2310011111111i i i i i i i i ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为 8．计算： 264(43)(3)(12)i i i --=- 9．复数3()z ai a R =-∈，若5z <，则a 的取值范围是 10．设复数z 满足5z =，且(34)i z +是纯虚数，则z =11．当m 为何值时，22(344)(252)z m m m m i =--+++为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在第二象限？19812．设m R ∈，虚数22(1)()z m m m i =++-，且2(1)z m i =+-+，求m 的值7.2 复数的概念及运算（二）典型例题【例1】已知1z i =+，若2211z az bi z z ++=--+，求实数,a b 的值. 解：因为2(1)(1)1i z z i --+=+，又22(1)(1)()(2)z az b i a i b a b a i ++=++++=+++ 所以121a b a +=+=，，所以12a b =-=，说明：复数相等的充要条件是解复数问题的重要依据【例2】求复数z ，使4z R z+∈，且22z -= 解一：设z a bi =+（a b R ∈、）由22224444()()a b z a bi a b i R z a bi a b a b +=++=++-∈+++故2240bb a b-=+ 又由22z -=2= 解方程组，可得0z =，4z =，1z = 解二：由4z R z +∈，即441()z z z z z z+=+=+，则2()(4)0z z z--=，即z z =或24z =当z z =且22z -=时，0z =或4z =； 当24z =且22z -=时，0z =或1z =± 综上所述：0z =，4z =，1z =±199【例3】设w 是方程110z z++=的一个根，求： （1）248(1)(1)(1)(1)w w w w ++++ （2）20082008ww -+解：（1）1；（2）1- 【例4】设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设11zu z-=+，求证u 为纯虚数； （3）求2u ω-的最小值.解：（1）由1z R zω=+∈且z 是纯虚数得1z =，则z z ω=+ 设z a bi =+ (,)a b R ∈，则2a ω=，由12ω-<<知112a -<<则，1Re 12z -<<（2）证明：111()111z z zz z z u u z z z zz z ----=====-++++ 且0u ≠，所以u 为纯虚数（3）因为222121z z z u z z uu a z z zω--+-=++=++++1222(1)3111a a a a a -=+=++-≥++ 当且仅当0a =即z i =±时，2u ω-有最小值为1巩固练习1．复数34i +的平方根为2．若一个复数的平方等于它的共轭复数，则此复数为 3．虚数z 满足1z R z+∈，则z = 4．已知z u C ∈、且z u ≠，1z =，则1z uz u--⋅的值为5．设复数()z x yi x y R x y =+∈≠、，，若222z z P Q z z i-==⋅，，则下列关系式中正确的是（ ）(A) P Q > (B) P Q < (C) P Q = (D) P Q 、不能确定大小2006．如果210w w ++=，则21001w w w ++++=7．设221z z =-则复数z =8．设x y 、为共轭复数，且()326x y xyi i +-=-，求x y 、9．已知2222x y xyi i -+=，求实数x y 、的值10．已知1z R z+∈，且2z -，求复数z .7.3 复数的几何意义与向量表示知识梳理1．复数与复平面内点及位置向量的对应复数z x yi =+（x y R ∈、），对应点(,)P x y ，对应向量(,)OP x y = 2．两复数差的模的几何意义：设复数111z x y i =+，222z x y i =+（1122x y x y R ∈、、、）对应复平面上的点分别为12Z Z 、，则12z z -表示两点12Z Z 、之间的距离，即1221z z Z Z -=3．常见轨迹的复数方程：（1）0(0)z z r r -=>表示以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆 （2）12z z z z -=-表示以复数12z z 、对应点为端点的线段的垂直平分线 （3）122z z z z a -+-= 12(2)z z a -<表示椭圆 （4）122z z z z a ---= 12(2)z z a ->表示双曲线的一支典型例题201【例1】平行四边形OABC ，各顶点对应的复数分别是00,2,23,2A B az z i z a i ==+=-+ C z b ai =-+ (,)a b R ∈，求AOC ∠大小.解：由题设得(0,0)(2,)(2,3)(,)2a O A B a Cb a --，，， 因0ABC 为平行四边形，故OC 中点与AB 中点重合 故由中点公式，得2,6a b ==此时，OA OC AC ===由余弦定理，得34AOC π∠=说明：注意到复数的几何意义，即复数的实部、虚部对应于复平面内点的横坐标、终坐标【例2】复数z 所对应的点Z ，点Z 的轨迹是什么曲线？ （1）12z i ++= （2）4z i z i ++-= （3）223z i z --=解：（1）是以点(1,1)--为圆心，2为半径的圆（2）是以点(0,1)±为焦点的椭圆，其方程为22134x y += （3）设复数z 对应点为(,)x y ，则(,)z x y i x y R =+∈，代入原式并化简得2288240x y x y +--+=，其轨迹为：以(4,4)为圆心，说明：注意到两复数差的模的几何意义【例3】（1）已知1z =，求2z -的最值；（2）已知11z i --=，求z i +的最值；（3）复数z 满足223z i z --=，求z 的最大值与最小值 （4）若z =2242z z i -++的最小值解：（1）利用单位圆上的点到点(2,0)的距离的最值得最大值为3、最小值为1（2）以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到(0,1)-1、2021（3）由例2（3）知，max z =min z =（4）设(,)z x yi x y R =+∈，则z对应点的轨迹是：以原点为圆心，为半径的圆 而2222222242(4)(2)2(2)2(1)10z z i x y x y x y -++=-++++=-+++其中22(2)(1)x y -++的最小值为220=所以2242z z i -++的最小值为50说明：一般地，复数z 满足0(0)z z r r -=>，则复数z 对应复平面内点的轨迹是：以复数0z 对应点为圆心，r 为半径的圆【例4】若复数01(0)z mi m =->，对任意复数z 都有0w z z =⋅，2w z =。

2020—2021高中必修二2019A 专项冲刺卷（人教版）专项7.1 复数的概念（考试时间：100分钟 满分：120分）一、 选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z 满足||1z z i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．i B ．i -C ．1i -D ．1i +【答案】B 【分析】令z a bi =+，然后代入||1z z i -=+中化简求出,a b 的值，从而可求出z 【解析】解：令z a bi =+，因为||1z z i -=+()1a bi i +=+1a bi i -=+，所以11a b =-=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，所以z i =-， 故选：B2．已知复数()()1i 1i z m =--+是纯虚数，则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D 【分析】利用纯虚数的性质可得m 的值. 【解析】()()()1i 1i 11i z m m m =--+=--+，因为z 为纯虚数且m 为实数， 故1010m m -=⎧⎨+≠⎩，故1m =，故选：D3．已知i 是虚数单位，复数12z i =-的虚部为（ ） A ．2- B ．2C ．2i -D ．1【答案】A 【分析】根据复数的概念可得出结论. 【解析】复数12z i =-的虚部为2-. 故选：A.4．i 为虚数单位，已知复数21(1)a a i -+-是纯虚数，则a 等于（ ） A ．±1 B ．1C ．1-D ．0【答案】C 【分析】根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解. 【解析】复数21(1)a a i -+-是纯虚数，所以21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，得1a =-.故选：C.5．设i 虚数单位，复数12z i =+，则||z =（ ）A B ．5C ．1D ．2【答案】A 【分析】利用模的定义求解即可 【解析】||z ==故选：A6．已知复数z 满足2z z -=，则z 的实部是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．不能确定【答案】C 【分析】先设出复数z ，再根据2z z -=，列出式子，即可求得z 的实部. 【解析】解：设z a bi =+，2z z -=，即2a bi a bi +-=+，=化简得：440a -+=， 解得：1a =， 即z 的实部是1. 故选：C.7．设复数z 满足(1)4i z i +⋅=，则z =（ ）A ．1B ．2C D ．【答案】D 【分析】 先由条件有41iz i=+，求出复数z ，再求复数z 的模. 【解析】 由(1)4i z i +⋅=， 则()()()41422111i i i z i i i i ⋅-===+++⋅-，所以z ==故选：D.8．当复数z 满足|z +3﹣4i |＝1时，则|z +2|的最小值是（ ）A 1B 1CD 1【答案】B 【分析】用复数的几何意义两复数和的模大于或等于模的差，直接求最小值． 【解析】∵|z +2|＝|（z +3﹣4i ）+（﹣1+4i ）|≥|﹣1+4i |﹣|z +3﹣4i |1﹣1∴|z +2|﹣1． 故选：B ．9．设复数z 满足()11i z +=，则z 的虚部为（ ） A ．12B ．1-C ．12-D ．12i -【答案】C 【分析】由()11i z +=求出z ，根据复数的定义直接求解即可. 【解析】由()11i z +=得()()()1111111122-===-++-i z i i i i ，所以则z 的虚部为12-. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的运算和定义，属于基础题. 10．复数(1)z i i =-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】由复数乘法运算化简(1)z i i =-，可知其坐标，进而判断其所在的象限. 【解析】(1)1z i i i =-=+，所以对应的点坐标为(1,1)在第一象限，故选：A11．设复数z 满足|(1)|1z i -+=，则||z 的最大值为 （ ）A 1B 1C ．2D ．3【答案】B 【分析】设,,z a bi a b R =+∈，得出,a b 的关系，结合其几何意义求解最值. 【解析】设,,z a bi a b R =+∈，()|(1)|111z i a b i -+=-+-=，()()22111a b -+-=，||z =22111x y 上的点到原点距离的最大值，1. 故选：B12．复数z 满足|1|1z -=，则z 的最大值为（ ）A ．1BCD ．2【答案】D 【分析】利用复数的几何意义复数z 表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆上的点，||z 表示动点与原点之间的距离，即得结果. 【解析】由复数的几何意义知，|1|1z -=即复数z 是以(1,0)为圆心，半径为1的圆上的点，而||z 表示复数z 表示的动点与原点之间的距离，结合图象，易见||z 的最大值为2， 故选：D.二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．已知复数z 满足条件1z =，那么z i +的最大值为______． 【答案】4 【分析】由1z =，所以复数z 对应的点在单位圆上，由z i +表示复数z 对应的点与复数i -对应的点()1M --之间的距离，根据圆的性质可得答案. 【解析】因为1z =，所以复数z 对应的点在单位圆上，z i +表示复数z 对应的点与复数i -对应的点()1M --之间的距离，而3OM ==．所以z i +的最大值为14OM r OM +=+=. 故答案为：414．在复平面内，复数()()222z m m m i =++--对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围是________． 【答案】()()2,12,--+∞【分析】由已知建立不等式组，解之可得答案． 【解析】 根据题意得出22020m m m +>⎧⎨-->⎩，解得21m -<<-或>2m ，所以实数m 的取值范围是()()2,12,--+∞．故答案为：()()2,12,--+∞．15．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 【答案】6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【解析】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +=，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =12216z z Z Z -==，616．若复数1z ，2z 满足123z z ==，1232z z +=122z z -的值是______. 【答案】35【分析】设复数所对应的向量分别为a ，b ，根据123z z ==，1232z z +=模的运算，由2222a b b a a b +++=⋅，得到0a b ⋅=，再由222424a a b a b b--+=⋅求解. 【解析】设复数所对应的向量分别为a ，b因为复数1z ，2z 满足123z z ==，12z z += 所以3a =，3b =，32a b +=， 所以222218a a b b a b+⋅+=+=，即0a b ⋅=， 所以a b ⊥， 所以22244524b ba a ab -=⋅-+=，解得352a b -=所以122z z -的值是故答案为：17．已知复数552iz i i=+-，则z =______.【答案】【分析】结合复数的乘除法法则求出z 17i =-+，进而可求出模. 【解析】解：()()252555251724i i iz i i i i i i i i+=+=+=++=-+--，则z ==.故答案为:18．已知复数z 满足(1)4z i -=（i 为虚数单位），则||z =___________.【答案】【分析】 求出41z i=-，再根据复数模的求法即可求解. 【解析】41z i =-，所以4|||1|z i ===-故答案为：三、解答题（本大题共7小题，共69分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．已知m 为实数，i 为虚数单位，设复数()()2256253z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的复点在直线70x y -+=的右下方，求m 的取值范围. 【答案】（1）2-；（2）(4,4)-. 【分析】（1）根据纯虚数的性质，列出方程组，即可求得答案；（2）根据题意，可得复数z 对应点的坐标，根据题意，列出不等式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意得：225602530m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-；（2）复数z 对应的点的坐标为22(56,253)m m m m +++-， 直线70x y -+=的右下方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+>，所以22(56)(253)70m m m m ++-+-+>， 解得44m -<<，所以m 的取值范围为(4,4)-.20．已知复数(1)(21)()z m m i m R =-++∈ （1）若z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）若z 在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围及z 的最小值【答案】（1）1；（2）1,12m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，||min z =【分析】（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出． 【解析】 解：（1）(1)(21)()z m m i m R =-++∈为纯虚数，10m ∴-=且210m +≠ 1m ∴=（2）z 在复平面内的对应点为(1,21))m m -+由题意：10210m m -<⎧⎨+>⎩，∴112m -<<．即实数m 的取值范围是1,12⎛⎫-⎪⎝⎭．而||z ===当11(,1)52m =-∈-时，||min z == 21．若复数22(6)(2)z m m m m i =+-+--，当实数m 为何值时， （1）z 是纯虚数；（2）z 对应的点在第二象限. 【答案】(1)3-；(2) ()3,1-- 【分析】（1）由题可得226020m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解出即可；（2）由题可得226020m m m m ⎧+-<⎨-->⎩，解出不等式即可.【解析】（1）若z 是纯虚数，则226020m m m m ⎧+-=⎨--≠⎩，解得3m =-；（2）若z 对应的点在第二象限，则226020m m m m ⎧+-<⎨-->⎩，解得3<1m -<-， 即m 的取值范围为()3,1--.22．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=.（1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值. 【答案】（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z+为实数，列出等量关系式，求得结果. 【解析】 （1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y-+=++=++=++-++++，因为4z z+为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以4z =或1z =或1z =.23．已知复数1z i =-.（1）设25341z z ω=+-+，求ω的值； （2≥的实数a 的取值范围. 【答案】（1）5i ；（2）1(2,][1,)6-+∞.【分析】（1）将复数1z i =-代入25341z z ω=+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误；（2）将复数1z i =-≥，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.【解析】（1）1z i =-.()()255314311211i i ii ω∴=++-=+---+ ()()()512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=；（2|1|a a i +-≥≥即()2231220a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，整理得26710a a -+≥且2a >-， 解得126a -<≤或1a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 24．已知复数[]122sin 1(2cos ),0,z z i θθθπ==+∈ （1）若12z z R ⋅∈，求角θ；（2）复数12,z z 对应的向量分别是12,OZ OZ ，其中O 为坐标原点，求12OZ OZ ⋅的取值范围.【答案】（1）6πθ=或3πθ=；（2）4⎡⎤-⎣⎦.【分析】（1）由题意可得：12(2sin )(4sin cos i z z θ θθθ==⋅+，由12z z R ⋅∈，可得：4sin cos0θθ=，即可得解； （2）由题意可得1(2sin ,OZ θ=，2(1,2cos )OZ θ=， 12·2sin 4sin 3OZ OZ πθθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭根据[]0,θπ∈，即可得解. 【解析】（1）由[]122sin ,1(2cos ),0,z z i θθθπ==+∈， 可得2122sin (4sin cos ))i z z i θθθθ=+⋅-2sin (4sin cos i θ θθθ=+，由12z z R ⋅∈，可得：4sin cos 0θθ=，所以sin 2θ=，所以6πθ=或3πθ=；（2）由题意可得1(2sin ,OZ θ=，2(1,2cos )OZ θ=12·2sin 4sin 3OZ OZ πθθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 由[]0,θπ∈，所以2333πππθ-≤-≤，所以4sin()43πθ-≤-≤，所以12OZ OZ ⋅的取值范围为4⎡⎤-⎣⎦.。