自动控制原理作业第七章参考答案

第七章 线性离散系统的分析与校正7-1 试根据定义∑∞=-*=0)()(n nTs e nT e s E确定下列函数的)(s E *和闭合形式的)(z E ：⑴ t t e ωsin )(=；⑵ ))()((1)(c s b s a s s E +++=，b a ≠，c a ≠，c b ≠。

解：Ts e z =；⑴ )()sin()(0z E enT s E n nTs==∑∞=-*ω；1)cos(2)sin(21}{21)(20+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-∞=--∑z T z z T e z z e z z j e e e j z E T j T j n nTsjwnT jwnT ωωωω。

⑵ ))()((1))()((1))()((1)(c s c b c a b s b c b a a s a c a b s E +--++--++--=； ∑∑∑∞=--∞=--∞=--*--+--+--=000))((1))((1))((1)(n nTs cnT n nTsbnT n nTs anT e e c b c a e e b c b a e e a c a b s E ； ))()(())()(())()(()(cTbT aT e z c b c a ze z b c b a z e z a c a b z z E ------+---+---=； 记))()((c b c a b a ---=∆，∆-=b a k 1，∆-=ca k 2，∆-=cb k 3；))()(()()()()(3)(2)(12321cTbT aT T c b T c a T b a aT bT cT e z e z e z ze k e k e k z e k e k e k z E ---+-+-+-------+-++-=。

7-2 采样周期为T ，试求下列函数的Z 变换：⑴ n a nT e =)(； ⑵ t e t t e 32)(-=；⑶ 3!31)(t t e =； ⑷ 21)(ss s E +=；⑸ )1(1)(2+-=-s s e s E sT 。

7.1 求下列矩阵的若尔当型及其变换矩阵（1）010001341⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：矩阵的特征值为：1230.78,0.11 1.95,0.11 1.95i i λλλ=-=-+=--，因此可化为对角线规范型：0.780.11 1.950.11 1.95ii -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦变换矩阵为：1232221231111110.780.11 1.950.11 1.950.61-3.8 - 0.42i -3.8 + 0.42i P i i λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）540430461⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1231λλλ===，()2rank I A -=，表明1λ=的几何重数为3-()rank I A -=1，即该特征值对应一个若尔当块。

所以该矩阵的若尔当型为：11111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵0410404040P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（3）421043521⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232, 2.21, 6.79λλλ=-==，因此可化为对角线规范型：2 2.21 6.79-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，变换矩阵为00.40.610.410.370.780.810.350.46P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦（4）010001340⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：矩阵的特征值为：1232.3,1, 1.3λλλ==-=-，因此可化为对角线规范型：2.31 1.3⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，变换矩阵为30.1 2.130.25 2.7530.583.58P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦7.2已知系统状态方程，求状态变换阵P ，使系统变为对角线型（假设系统的特征值为123,,λλλ）（1）012010001x x a a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦解：123222123111P λλλλλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）123100100a x a x a -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：系统的特征方程为：32123det()00I A a a a λλλλ-=⇒+++= 设变换矩阵123[,,],i i i i P v v v v Av v λ==满足 设123[,,]Ti i i i v v v v =，则有：11212132313(1)(2)(3)i i i i i i i i i i i a v v v a v v v a v v λλλ-+=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 由（1）得211()(4)i i i v a v λ=+由（2）（4）得23121()(5)i i i i v a a v λλ=++ 代入（3）得321123()0i v a a a λλλ+++=所以1i v 是任意常数，取为1，则21i i v a λ=+，2312i i i v a a λλ=++所以112131222111221223132111P a a a a a a a a a λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦7.3证明：对于具有互相不同特征值12,,,n λλλ 的矩阵1211000010000010000n n a a A a a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦能将其变换为对角矩阵形式的变换矩阵为：11122111212121211111111n n n n n n n n n n n a a P a a a a a a a a λλλλλλλλλλ------⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎣⎦证明：系统的特征方程为：111det()00nn n n I A a a a λλλλ---=⇒++++=设变换矩阵12[,,,],n i i i i P v v v v Av v λ== 满足 设12[,,,]Ti i i in v v v v = ，则有：21111212213231211211111111()()()(1)0(2)i i i i i i i i i i i i i i i n n n i in i in in i i n i n i i in i in n i v a v a v v v a v v v v a a v a v v v v a a v a v v v a v λλλλλλλλλλ-----=+⎧-+=⎧⎪⎪-+==++⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+==+++⎪⎪-=⎪⎪+=⎩⎩将（1）代入（2）得11110n n i i n i n i a a a v λλλ--++++= 对比系统特征方程可知11i v =满足。

第一章绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优弊端.解答： 1 开环系统(1)长处 :构造简单，成本低，工作稳固。

用于系统输入信号及扰动作用能早先知道时，可获得满意的成效。

(2)弊端：不可以自动调理被控量的偏差。

所以系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。

2闭环系统⑴长处：不论因为扰乱或因为系统自己构造参数变化所惹起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去消除此偏差，所以控制精度较高。

它是一种按偏差调理的控制系统。

在实质中应用宽泛。

⑵弊端：主要弊端是被控量可能出现颠簸，严重时系统没法工作。

1-2什么叫反应？为何闭环控制系统常采纳负反应？试举例说明之。

解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反应。

闭环控制系统常采纳负反应。

由1-1 中的描绘的闭环系统的长处所证明。

比如，一个温度控制系统经过热电阻（或热电偶）检测出目前炉子的温度，再与温度值对比较，去控制加热系统，以达到设定值。

1-3试判断以下微分方程所描绘的系统属于何种种类（线性，非线性，定常，时变）？2 d 2 y(t)3 dy(t ) 4y(t ) 5 du (t ) 6u(t )（1）dt 2 dt dt（2） y(t ) 2 u(t)（3）t dy(t) 2 y(t) 4 du(t) u(t ) dt dtdy (t )u(t )sin t2 y(t )（4）dtd 2 y(t)y(t )dy (t ) （5）dt 2 2 y(t ) 3u(t )dt（6）dy (t ) y 2 (t) 2u(t ) dty(t ) 2u(t ) 3du (t )5 u(t) dt（7）dt解答： （1）线性定常（2）非线性定常 （3）线性时变（4）线性时变（5）非线性定常（6）非线性定常（7）线性定常1-4 如图 1-4 是水位自动控制系统的表示图， 图中 Q1，Q2 分别为进水流量和出水流量。

控制的目的是保持水位为必定的高度。

习 题7-1 根据定义*()e()enTsn E s nT ∞-==∑试求下列函数的E *(s )和闭合形式的E (z )。

(1) e (t ) = t ； (2) 2)(1)(a s s E +=解 (1) e (t ) = t 求解过程可分为以下三个步骤进行：① 求()e t 的采样函数*()e t ：由()()|,0,1,2,t nT e nT e t nT n ==== ，得斜坡函数()e t 在各采样时刻的值()e nT 。

故采样函数为*00()(0)()()()()()()()()n n e t e t e T t T e nT t nT e nT t nT nT t nT δδδδδ∞=∞==+-++-+=-=-∑∑② 求*()e t 的拉氏变换式*()E s ：*()e t 的拉氏变换式为*()E s*0223'2'''2()()02[][(1)]1111(1)nTsnTsn n Ts TsnTsTs TsTsnTsTsTsTsnTs TsTs Ts Ts Ts E s e nT enTeTe TenTe e e eeeeeeTe e e e e ∞∞--==-------------===+++++=-+++++=-+++++⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦∑∑③ 求()E z ：由*1ln ()()|s znE z E s ==，得2()(1)Tz E z z =-(2) 2)(1)(a s s E +=① 求()e t ：()ate t te -=② 求*()e t*0()()(),()()|anTt nTn e t e nT t nT e nT e t nTeδ∞-===-==∑所以 *0()()anTn e t nTet nT δ∞-==-∑③ 求*()E s*()()nTsanTnTsn n E s e nT enTee∞∞---====∑∑④ 求()E s*1ln 012()()|[()2()()]anTns zn Tat atatnE s E s nTeze z e z n e z T∞--==---===++++∑令1()at e z y -=，则2123''2()(123)()1(1)n nE y y y nyyT y y y y yTy Ty yT y y -=+++++=+++++⎛⎫== ⎪--⎝⎭将1()at y e z -=代入上式，可得()E z 为 1122()()[1()]()ataT at aTT e z Tze E z e z z e----==--7-2 求下列函数的Z 变换X (z )。

第七章非线性控制系统分析练习题及答案7-1设一阶非线性系统的微分方程为xx3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系统平衡状态x e0,1,1其中：x0：稳定的平衡状态；ex1,1：不稳定平衡状态。

e计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。

x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211图解7-1系统相轨迹可见：当x(0)1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)1时，系统发散；x(0)1 时，x(t);x(0)1时，x(t)。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x~x平面上任意分布。

7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1)xxx0(2) x1x2xx122xx12解（1）系统方程为1:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0，得平衡点：x e0。

系统特征方程及特征根：132:ss10,sj(稳定的焦点)1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍点)1,2xf(x,x)xx, d xdxxxxdx dx 1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)计算列表-∞-3-1-1/301/313∞x0:11-1-2/302-∞-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-4∞20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。

2图解7-2（a）系统相平面图（2）xxx112①x22xx②12由式①：x2x1x1③式③代入②：(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10④令x1x10得平衡点：x e0由式④得特征方程及特征根为2.4142ss2101,2（鞍点）0.414画相轨迹，由④式xx 11 d x1dxx12x1x1x 1 x1 2计算列表322.53∞11.52=1/(-2)∞210-1-2∞用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。

自动控制原理（山东大学）山东大学智慧树知到答案2024年第一章测试1.下列家用电器哪个属于闭环控制？（）A:洗衣机 B:冰箱 C:电子手表 D:电视机答案:B2.下列系统哪个属于闭环控制？（）A:无人售货机 B:十字路口红绿灯系统 C:数控机床 D:空调答案:D3.开环控制方式简单，控制精度高。

A:错 B:对答案:A4.只要有反馈通道，一定是闭环控制。

A:对 B:错答案:A5.线性系统一定会满足叠加原理的。

A:对 B:错答案:A6.满足叠加原理的系统，一定是线性系统。

A:错 B:对答案:B7.复合控制方式是既有开环控制，又有闭环控制。

A:错 B:对答案:B8.电枢控制的直流电动机反馈控制系统是属于（）。

A:恒值控制系统 B:离散控制系统 C:连续控制系统 D:线性定常系统答案:ACD9.雷达天线控制系统是属于（）。

A:连续控制系统 B:恒值控制系统 C:随动控制系统 D:线性定常系统答案:ACD10.计算机控制系统是属于（）。

A:程序控制系统 B:离散控制系统 C:非线性控制系统 D:线性控制系统答案:B第二章测试1.不同的物理系统，可以是同一种环节，同一个物理系统也可能成为不同的环节，这是与描述他们动态特性的微分方程相对应的。

A:错 B:对答案:B2.常见的典型环节有几种？A:4 B:5 C:7 D:6答案:D3.在线性定常系统中，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数。

A:对 B:错答案:B4.物理系统线性微分方程一般表示形式中，方程左端导数阶次都输入的阶次。

A:高于 B:低于或等于 C:低于 D:高于或等于答案:D5.传递函数描述系统本身属性，与输入量的关系是：A:与输入量的大小无关，与输入量的类型有关。

B:与输入量的大小有关，与输入量的类型无关。

C:与输入量的大小和类型均有关 D:与输入量的大小和类型均无关答案:C6.传递函数表示成零极点表达式时，其中的传递系数又叫根轨迹增益。

习题7-1下面的微分方程代表了线性定常系统，请写出它们对应的状态空间表达（a ）)(5)()(4)(22t r t c dtt dc dt t c d =++（b ）)()()()(4)(5)(02233t r d c t c dtt dc dt t c d dt t c d t =++++⎰ττ （c ）dtt dr t r t c dt t c d dt t c d )(4)()()(2)(2233+=++ 7-2 已知线性定常系统的状态方程为：Ax x =.，其中（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010100010A 试求系统统的状态转移矩阵At e答案：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--tt Ate e e2205.05.01 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t t t e Atcos sin sin cos （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=------)(5.0)(5.00)(5.0)(5.001)(5.0)(5.01t t t t t t t t t t t t Ate e e e e e e e e e e e e 7-3 已知系统的状态方程为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210.，初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10)0(x ，试求单位阶跃收入时系统的时间响应x(t)答案：（1）求状态转移矩阵 先求出预解矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-+++-++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---)2(2)1(1)2(2)1(2)2(1)1(1)2(1)1(2)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1()3(321)(11s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI对上式进行拉式反变换，即可定出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t t t t t t t At2222e 2e e 2e 2e e e e 2e（2）求系统的时间响应()0022()2()()2()22()2()()2()022()e e ()d 002e e e e 2e e e e d 112e 2e e 2e 2e 2e e 2e 0.50.5tAt A t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tx t x Bu e e ττττττττττττ---------------------------=+⎡⎤⎡⎤----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰7-4 已知矩阵：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(ϕ （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-t t t t t t t e e e e e e e t 222222)(ϕ 试问：它们可能是某个系统的状态转移矩阵吗？为什么？答案：I =)0(ϕ时才是状态转移矩阵，所以上述两个矩阵均不是某个系统的状态转移矩阵。

自动控制原理第7章习题解7-1 求下列采样的离散信号x *(t )及离散拉斯变换X *(s ) ① ()t te t x α-=； ② ()t e t x t ωαsin -=； ③()t t t x ωcos 2=； ④ ()t te t x 4-=； 解：① ()t te t x α-=()()[][]()211111011111--------+∞=----+∞=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-====∑∑z e z Te z e dz d Tz z e dz d Tz ztekT x Z z X T T T k k kT k kkTααααα ② ()t e t x t ωαsin -=()()[][][]()()()()211cos 1sin sin sin ---∞+=-∞+=--+-====∑∑z e zekT z e kT zekT zkT ekT x Z z X kTkTkT k kkTk kkTαααααωωωω③()t t t x ωcos 2=()()[]()[]()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡====-------∞+=-----+∞=---+∞=-∑∑∑211111101111112cos 21cos 1cos cos cos z z kT z kT dz d Tz dz d Tz z kT dz d Tz dz d TzzkT kT dz dTzzkT kT kT x Z z X k k k kk kωωωωω ④ ()ttet x 4-=()()[][][]()21414141104114111-----+∞=----+∞=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-====∑∑z e z Te z e dz d Tz z e dz d Tz zkTekT x Z z X T T T k k kT k kkT7-2求下列函数的Z 变换。

①()kTe kT x α--=1； ②()kT ekT x kTωαcos -=；③()tet t x 52--=； ④()t t t x ωsin =；⑤()()a s s k s G +=； ⑥()()()211++=s s s s G⑦()211s s s e s G Ts +-=-；⑧()()15+=-s s e s G Ts解：① ()kTe kT x α--=1根据z 变换定义有：()()[][]11011111---+∞=--+∞=-+∞=-----=-=-==∑∑∑ze z z e zzekT x Z z X T k k kT k kk kkTααα ② ()kT e kT x kT ωαcos -= 根据欧拉公式有：()()kT j kT kTj kT kTj kT j kTkTe e e e ekT ekT x ωαωαωωααω--+----+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==212cos 然后，再根据z 变换定义得：()()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==∑∑∑+∞=---+∞=-+-+∞=---+-0002121k k kT j kT k k kT j kT k k kTj kT kT j kT z e z e z e e kT x Z z X ωαωαωαωα()()()21111cos 1cos 1111121-------+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ze z e kT z e kT z e z e kT kT kT T j T T j T αααωαωαωω或者()()[][][]()()[]()()()2111cos 1cos 1cos cos ----∞+=-∞+=--+--====∑∑z e z e kT z e ze kT zekT zkT ekT x Z z X kTkTkTkTk kkTk kkTααααααωωωω③ ()t e t t x 52--= 根据z 变换定义有：()()[]()[]()()()15311220502521111-----∞+=--∞+=-∞+=-----+=-=-==∑∑∑z e z z z T z ezkT zekT kT x Z z X T k kkT k kk kkT其中，根据z 变换的性质有()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑+∞=-----+∞=---+∞=-011110112k k k k k kz kT u dz d Tz dz d Tz z kT dz d Tz zkT ()()()()411121121111111111121111---------------⋅-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z Tz z z T Tz z Tz dz d Tz z dz d Tz dzdTz ()()()()()()()()()311124111141214121211111111112221-----------------+=--+=--=--++-=z z z T z z z T Tz z z T Tzz z z z z T Tz④ ()t t t x ωsin = 根据z 变换的性质有()()[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-====∑∑∑+∞=----+∞=---+∞=-0110112sin sin k k kT j kT j k k k kz j e e dz d Tz z kT dz d Tz zkT kT kT x Z z X ωωωω()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-------------1111111111111121111121z e z e z e z e j dz d Tz z e ze j dz d TzT j T j T j T j T j T j ωωωωωω()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=------------1cos 2sin 1211211112111z T z z T dz d Tz z e e z z e e j dz d TzT j T j T j T j ωωωωωω ()()[]()21211121121111cos 2cos 221cos 2sin 1cos 2sin +⋅---+⋅-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⋅=------------z T z T z z z T z T Tz z T z z T dz d Tzωωωωωω()()212111cos 21sin +⋅-⋅-⋅=----z T z z z T T ωω ⑤()()a s s ks G +=；方法是,首先将分式分解为部分分式,然后再利用留数方法确定其待定系数，最后通过查表可得Z 变换式。

第七章 非线性控制系统分析练习题及答案7-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。

解 令 x=0 得 -+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。

计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。

可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。

注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~xx 平面上任意分布。

7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。

(1)x x x ++=0 (2) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x xx x x解 （1） 系统方程为x -2 -1 -13 0 13 1 2x-6 0 0.385 0 -0.385 0 6x 11 2 0 1 02 11图解7-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+I I >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。

系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。

图解7-2（a ）系统相平面图（2） xx x 112=+ ① 2122x x x+= ② 由式①： x xx 211=- ③ 式③代入②： ( )( )x xx x x 111112-=+- 即 x x x 11120--= ④ 令 x x110== 得平衡点： x e =0 由式④得特征方程及特征根为 ⎩⎨⎧-==--414.0414.20122,12λs s （鞍点） 画相轨迹，由④式x xdxdx x x x 1111112===+α xx 112=-α 计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b ）所示。

自动控制原理第二章到第七章课后习题答案第二章2-1试求下图所示电路的微分方程和传递函数。

解：（a ）根据电路定律，列写出方程组：001Li R c L R C di L u u dtu R i i dt Ci i i ⋅+==⋅==+⎰消除中间变量可得微分方程：20002i d u du L L C u u dt R dt⋅⋅+⋅+=对上式两边取拉氏变换得：2000()()()()i LL C U s s U s s U s U s R⋅⋅⋅+⋅⋅+= 传递函数为022()1()()1i U s R G s L U s R Ls LCRs s LCs R ===++++ （b ）根据电路定律，列写出方程组：12011()i i u i R R idt C u u i R =++-=⎰消除中间变量可得微分方程：121012i R R Ru u idt R R C+=-⎰ 对上式两边取拉氏变换得：2012()(1)()(1)i U s R Cs U s R Cs R Cs +=++传递函数为0212()1()()1i U s R CsG s U s R Cs R Cs+==++2-3求下图所示运算放大器构成的电路的传递函数。

解：（a ）由图（a ），利用等效复数阻抗的方法得22111(s)1(s)()1o i R U R Cs Cs G U s R R Cs ++==-=-+（b ）由图（b ），利用等效复数阻抗的方法得222121211221211111(s)()1(s)1()1o i R U C s R R C C s R C R C s G U s R C s R C s R C s++++==-=-+2-5试简化下图中各系统结构图，并求传递函数()()C s R s 。

2-6试求下图所示系统的传递函数11()()C s R s ，21()()C s R s ，12()()C s R s 及22()()C s R s 。

第7章　非线性系统的分析1．试计算并绘制下列各微分方程的相平面图。

解：（1）求得运用积分法解得相轨迹方程为其相轨迹如图7-1所示。

（2）求得运用积分法解得相轨迹方程为其相轨迹如图7-2所示。

图7-1 系统的相轨迹 图7-2 系统的相轨迹（3）求得令切线斜率，则可得等倾线方程为，即可见等倾线为一簇水平线。

①当α＝0时，，则该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其他相轨迹均以此线为渐近线。

②当α→∞时，，表明相轨迹垂直穿过x轴。

③当α→－1/T时，，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为－1/T。

最后根据等倾线作图法可得其概略相轨迹如图7-3所示。

图7-3 系统的概略相轨迹（4）求得令切线斜率，则可得等倾线方程为，即可见等倾线为一簇水平线。

①当α＝0时，x＝M，则该等倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其他相轨迹均以此线为渐近线。

②当α→∞时，，表明相轨迹垂直穿过x轴。

③当α→－1/T时，，说明相平面上下无穷远处的相轨迹斜率为－1/T。

最后根据等倾线作图法可得其概略相轨迹，如图7-4所示。

图7-4 系统的概略相轨迹（5）求得运用积分法可解得相轨迹方程为为一抛物线，其概略相轨迹如图7-5所示。

图7-5 系统的概略相轨迹（6）运用积分法可解得相轨迹方程为其中c为一常数，其相轨迹如图7-6所示。

图7-6 系统的相轨迹２．非线性控制系统结构图如图7-7所示，M ＝1。

要使系统产生振幅A＝4，频率ω＝1的自振运动，试确定参数K ，τ的值。

图7-7 系统结构图解：画出和G （jω）曲线如图8．7所示，当K 改变时，只影响自振振幅A ，不改变自振频率ω；而当τ≠0时，会使自振频率降低，幅值增加。

因此可以调节K ，τ大小实现要求的自振运动。

由自振条件N （A ）G （jω）＝-1即将ω＝1代入上式可解得K ＝9.93，τ＝0.322图7-8 和G （jω）曲线3．设继电型控制系统结构如图7-9所示，输入r （t ）＝R·1（t ），c （0）＝0。

习题参考答案7-1 求如下信号的频谱|()|F i ω。

（1）1)(=t f（2）t e t f -=)( （3）t t f cos )(= （4）t t f =)( （5）t te t f -=)(（6）t t t f cos )(=解：控制系统中的信号都是指0<t 时0)(=t f 函数。

以下信号不考虑频谱中的奇异信号。

（1）|1||)(|ωω=i F（2）211|11||)(|ωωω+=+=i i F （3）|1||)(|2ωωω-=i F（4）21|)(|ωω=i F（5）2)1(1|)(|ωω+=i F（6）222)1(1|)(|ωωω-+=i F7-2 对题7-1的信号进行采样，采样频率为T =0.1秒， （1）求采样信号的频谱*|()|F i ω。

（2）求采样信号的z 变换。

解：（1）1)(=t f∑∞=-=0*)1.0()(n n t t f δωωωωωω1.0cos 2211.0sin 1.0cos 1111)(1.001.0*-=+-=-==-∞=-∑i e e i F i n n i111)(1-=-=-z zz z F（2）t e t f -=)(∑∞=--=01.0*)1.0()(n n n t e t f δωωωωωω1.0cos 2111.0sin 1.0cos 1111)(1.02.01.01.01.01.001.01.0*------∞=---+=+-=-==∑e e ieee e i F i n n i n1.011.011)(----=-=ez zz e z F （3）t t f cos )(=∑∑∞=-∞=-+=-=01.01.00*)1.0()(21)1.0()1.0(cos )(n n i n i n n t e e n t n t f δδ*0.1(1)0.1(1)0.1(1)0.1(1)0.1(1)0.1(1)0.1(1)0.1(1)0.20.10.10.21()21112111221122cos1(note :cos10.54)212cos110.54c i n i nn n i i i i i i i i i i F i ee e e e e e e e e e e ωωωωωωωωωωωωω∞∞-+--==-+---+---+------=+=+----=--+-==-+-=∑∑os0.10.54sin 0.11 1.08cos0.1cos0.2(1.08sin 0.1sin 0.2)i i ωωωωωω+-+++=108.154.008.1154.01)(22211+--=+--=---z z zz z z z z F （4）t t f =)(∑∞=-=0*)1.0(1.0)(n n t n t f δωωωωωωω1.0cos 202011.0sin 1.0cos 11.01|1.0|1.0)(221.01.001.0*-=+-=-==--∞=-∑i ee nei F i i n n i2211)1(1.0)1(1.0)(-=-=--z zz z z F （5）t te t f -=)(∑∞=--=01.0*)1.0(1.0)(n n n t ne t f δ，ωωωωωωω1.0cos 20101011.0sin 1.0cos 11.01|1.0|1.0)(1.02.021.01.021.01.01.01.001.01.0*--------∞=---+=+-=-==∑e e ie ee e nei F i i n n i n21.01.0211.011.0)(1.0)1(1.0)(-------=-=e z ze z e z e z F 7-3 已知连续信号的拉普拉斯变换如下，对信号进行频率为T =0.1秒采样后，求采样信号的z 变换。