大学离散数学期末重点知识点总结(考试专用)

离散数学内容总结大纲第一篇 数理逻辑第1章 命题逻辑求命题公式的主析取范式及主合取范式例 求()()p r q p ∨⌝∧∨的主析取范式及主合取范式。

例 求(P →Q)∧R 的主析取范式及主合取范式。

例 求命题公式R Q P ∨∧)(的主析取范式和主合取范式。

例 求公式A =(p →⌝q )→r 的主析取范式与主合取范式。

例 求()r q p →→的主析取范式。

判断公式类型例 用等值演算法判断公式q ∧⌝ (p →q )的类型例 判断下列命题公式的类型（永真式、永假式、可满足式），方法不限。

(1)(2)证明例 证明：()()()r q r p r q p →∧→⇔→∨ 例 证明：r q p r q p →∧⇔→→)()( 例 推证：⌝Q ∧(P →Q)⇒⌝P例 前提：q p s q r p ∨→→,,，结论：s r ∨。

该结论是否有效？请说明原因。

在命题逻辑中构造下面推理的证明：例 如果小张守第一垒并且小李向B 队投球，则A 队获胜。

或者A 队未获胜，或者A 队成为联赛的第一名。

小张守第一垒。

A 队没有成为联赛的第一名。

因此小李没有向B 队投球。

解：先将简单命题符号化。

P：小张守第一垒；Q：小李向B队投球；R：A队取胜；S：A 队成为联赛第一名。

前提：(P∧Q)→R，R∨S，P，S结论：Q证明：(1) R∨S 前提引入(2) S 前提引入(3) R (1)(2)析取三段论(4) (P∧Q)→R 前提引入(5) (P∧Q) (3)(4)拒取式(6) P∨Q (5)置换(7) P 前提引入(8) Q (6)(7)析取三段论例一个公安人员审查一件盗窃案，已知下列事实：（1）甲或乙盗窃了录像机；（2）若甲盗窃了录像机，则作案时间不能发生在午夜前；（3）若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭；（4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前；（5）午夜时屋里灯光灭了。

根据以上事实，推断谁是盗窃犯。

（在命题逻辑中构造推理证明。

1 / 1 1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (∃x)((Ax)∨(Bx))<=>( ∃x)(Ax)∨(∃x)(Bx) (∀x)((Ax)∧(Bx))<=>(∀x)(Ax)∧(∀x)(Bx) —┐(∃x)(Ax)<=>(∀x)┐(Ax) —┐(∀x)(Ax)<=>(∃x)┐(Ax) (∀x)(A ∨(Bx))<=>A ∨(∀x)(Bx) (∃x)(A ∧(Bx))<=>A ∧(∃x)(Bx) (∃x)((Ax)→(Bx))<=>(∀x)(Ax)→(∃x)(Bx) (∀x)(Ax) →B <=>(∃x) ((Ax)→B) (∃x)(Ax) →B <=>(∀x) ((Ax)→B) A →(∀x)(Bx) <=>(∀x) (A →(Bx)) A →(∃x)(Bx) <=>(∃x) (A →(Bx)) (∀x)(Ax)∨(∀x)(Bx) =>(∀x)((Ax)∨(Bx)) (∃x)((Ax)∧(Bx)) =>(∀x)(Ax)∧(∀x)(Bx) (∀x)(Ax)→(∀x)(Bx) =>(∀x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项，这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则，T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 3.谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 4.集合 1.N ，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A 中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A ，以集合A 的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A 有n 个元素，幂集P(A)有n 2个元素，|P(A)|=||2A =n 2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 5.关系 1.若集合A 有m 个元素，集合B 有n 个元素，则笛卡尔A ×B 的基数为mn ，A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系； 2.若集合A 有n 个元素，则|A ×A|=2n ，A 上有22n 个不同的关系； 3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性； 空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性； 全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性； 4.前域(domR)：所有元素x 组成的集合； 后域(ranR)：所有元素y 组成的集合； 5.自反闭包：r(R)=RU Ix ; 对称闭包：s(R)=RU 1-R ; 传递闭包：t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系：集合A 上的二元关系R 满足自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系； 7.偏序关系：集合A 上的关系R 满足自反性，反对称性和传递性，则称R 是A 上的一个偏序关系； 8.covA={<x,y>|x,y 属于A ，y 盖住x}； 9.极小元：集合A 中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)； 极大元：集合A 中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)； 最小元：比集合A 中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)； 最大元：比集合A 中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)； 10.前提：B 是A 的子集 上界：A 中的某个元素比B 中任意元素都大，称这个元素是B 的上界(若存在，可能不唯一)； 下界：A 中的某个元素比B 中任意元素都小，称这个元素是B 的下界(若存在，可能不唯一)； 上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)； 下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)； 6.函数 1.若|X|=m,|Y|=n,则从X 到Y 有mn 2种不同的关系，有m n 种不同的函数； 2.在一个有n 个元素的集合上，可以有2n2种不同的关系，有nn 种不同的函数，有n!种不同的双射； 3.若|X|=m,|Y|=n ，且m<=n ，则从X 到Y 有A m n 种不同的单射； 4.单射：f:X-Y ，对任意1x ,2x 属于X,且1x ≠2x ，若f(1x )≠f(2x )； 满射：f:X-Y ，对值域中任意一个元素y 在前域中都有一个或多个元素对应； 双射：f:X-Y ，若f 既是单射又是满射，则f 是双射； 5.复合函数：f ºg=g(f(x)); 5.设函数f:A-B ，g:B-C ，那么 ①如果f,g 都是单射，则f ºg 也是单射； ②如果f,g 都是满射，则f ºg 也是满射； ③如果f,g 都是双射，则f ºg 也是双射； ④如果f ºg 是双射，则f 是单射，g 是满射； 7.代数系统 1.二元运算：集合A 上的二元运算就是2A 到A 的映射； 2. 集合A 上可定义的二元运算个数就是从A ×A 到A 上的映射的个数，即从从A ×A 到A 上函数的个数，若|A|=2,则集合A 上的二元运算的个数为2*22=42=16种； 3. 判断二元运算的性质方法： ①封闭性：运算表内只有所给元素； ②交换律：主对角线两边元素对称相等； ③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同； ④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同； ⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同； 4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f 为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f 是双射，则称为同构； 8.群 广群的性质：封闭性； 半群的性质：封闭性，结合律； 含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元； 群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元； 2.群没有零元； 3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律； 4.循环群中幺元不能是生成元； 5.任何一个循环群必定是阿贝尔群； 10.格与布尔代数 1.格：偏序集合A 中任意两个元素都有上、下确界； 2.格的基本性质： 1) 自反性a ≤a 对偶: a ≥a 2) 反对称性a ≤b ^ b ≥a => a=b 对偶:a ≥b ^ b ≤a => a=b 3) 传递性a ≤b ^ b ≤c => a ≤c 对偶:a ≥b ^ b ≥c => a ≥c 4) 最大下界描述之一a^b ≤a 对偶 avb ≥a A^b ≤b 对偶 avb ≥b 5）最大下界描述之二c ≤a,c ≤b => c ≤a^b 对偶c ≥a,c ≥b =>c ≥avb 6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c 对偶 av(bvc)=(avb)vc 7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a 8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a 9) a ≤b <=> a^b=a avb=b 10) a ≤c,b ≤d => a^b ≤c^d avb ≤cvd 11) 保序性b ≤c => a^b ≤a^c avb ≤avc 12） 分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c) 13）模不等式a ≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c 3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)； 4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构； 5.链格一定是分配格，分配格必定是模格； 6.全上界：集合A 中的某个元素a 大于等于该集合中的任何元素，则称a 为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一) 全下界：集合A 中的某个元素b 小于等于该集合中的任何元素，则称b 为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一) 7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格； 8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a 和b 互为补元； 9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元； 10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格； 布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数； 11.图论 1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接； 2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联； 3.平凡图：只有一个孤立点构成的图； 4.简单图：不含平行边和环的图； 5.无向完全图：n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图； 有向完全图:n 个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图； 6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边； 7.r-正则图：每个节点度数均为r 的图； 8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍； 9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个； 10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和； 11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路； 12.可达：对于图中的两个节点i v ,j v ，若存在连接i v 到j v 的路，则称i v 与j v 相互可达，也称i v 与j v 是连通的；在有向图中，若存在i v 到j v 的路，则称i v 到j v 可达； 13.强连通：有向图章任意两节点相互可达； 单向连通：图中两节点至少有一个方向可达； 弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通) 14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集； 割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点； 15.关联矩阵：M(G)，mij 是vi 与ej 关联的次数，节点为行，边为列； 无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2； 有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1， 关联矩阵的特点： 无向图： ①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点； 有向图： ③所有的入度(1)=所有的出度(0); 16.邻接矩阵：A(G)，aij 是vi 邻接到vj 的边的数目，点为行，点为列； 17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A (G)+3A (G)+4A (G) 可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路； A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数； 2A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数； 3A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数； 4A (G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数； P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数； 18.布尔矩阵：B(G)，i v 到j v 有路为1，无路则为0，点为行，点为列； 19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0； 20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图； 21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先； 深度优先： ①选定起始点0v ； ②选择一个与0v 邻接且未被访问过的节点1v ； ③从1v 出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次； 广度优先： ①选定起始点0v ； ②访问与0v 邻接的所有节点v1,v2,……,vk,这些作为第一层节点； ③在第一层节点中选定一个节点v1为起点； ④重复②③，直到所有节点都被访问过一次； 22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树； 23.构造最小生成树的三种方法： 克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法； （1）克鲁斯卡尔方法 ①将所有权值按从小到大排列； ②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序； ③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序； ④重复③，直到所有节点都被访问过一次； （2）管梅谷算法(破圈法) ①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图； ②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图； ③重复②，直到所有节点都被访问过一次； （3）普利姆算法 ①在图中任取一点为起点1v ，连接边值最小的邻接点v2； ②以邻接点v2为起点，找到v2邻接的最小边值，如果最小边值比v1邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v ，连接1v 现在的最小边值(除已连接的边值)； ③重复操作，直到所有节点都被访问过一次； 24.关键路径 例2 求PERT 图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径. 解：最早完成时间 TE(v1)=0 TE(v2)=max{0+1}=1 TE(v3)=max{0+2,1+0}=2 TE(v4)=max{0+3,2+2}=4 TE(v5)=max{1+3,4+4}=8 TE(v6)=max{2+4,8+1}=9 TE(v7)=max{1+4,2+4}=6 TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间 TL(v8)=12 TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)=min{12-1}=11 TL(v5)=min{11-1}=10 TL(v4)=min{10-4}=6 TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间 TS(v1)=0-0=0 TS(v2)=2-1=1 TS(v3)=2-2=0 TS(v4)=6-4=2 TS(v5=10-8=2 TS(v6)=11-9=2 TS(v7)=6-6=0 TS(v8)=12-12=0 关键路径: v1-v3-v7-v8 25.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路； 欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路； 欧拉图：具有欧拉回路的图； 单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路； 欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路； 26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件： ①连通图；②有0个或2个奇数度节点； （2）无向图中存在欧拉回路的充要条件： ①连通图；②所有节点度数均为偶数； （3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件： ①除两个节点外，每个节点入度=出度； ②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1； （4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件： 图中每个节点的出度=入度； 27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路； 哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路； 哈密顿图：具有哈密顿回路的图； 28.判定哈密顿图（没有充要条件） 必要条件： 任意去掉图中n 个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n ； 充分条件： 图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数； 29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议； 方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可； 30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图； 31.面次：面的边界回路长度称为该面的次； 32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍； 33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v 个节点，e 条边，r 个面，则 v-e+r=2； 34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图) 设图G 是v 个节点，e 条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6； 35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的； 36.判断G 是平面图的充要条件： 图G 不含同胚于K3.3或K5的子图； 37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2； ②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中； 完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接； 判定无向图G 为二部图的充要条件： 图中每条回路经过边的条数均为偶数； 38.树：具有n 个顶点n-1条边的无回路连通无向图； 39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数； 40.树高：层数最大的顶点的层数； 41.二叉树： ①二叉树额基本结构状态有5种； ②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度； ③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1； ④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立； ⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1； ⑥位于二叉树第k 层上的节点，最多有12-k 个(k>=1)； ⑦深度为k 的二叉树的节点总数最多为k 2-1个，最少k 个(k>=1)； ⑧如果有0n 个叶子，n2个2度节点，则0n=n2+1； 42.二叉树的节点遍历方法： 先根顺序（DLR ）； 中根顺序（LDR ）； 后根顺序（LRD ）； 43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树； 44.最优二叉树的构造方法： ①将给定的权值按从小到大排序； ②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值； ③重复②，直达所有权值构造完毕； 45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值； 每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；。

2.8、C1∧C2≈Res(C1,C2)2.10、（消解的完全性）一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.3.1、由命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式.（推理正确不能保证结论一定正确）4.1、闭式在任何解释下都是命题5.1、（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式6.1、空集是任何集合的子集。

（推论：空集是唯一的）6.2、（包含排斥原理）设集合S上定义了n条性质，其中具有第i 条性质的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为：6.3、德摩根律：A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)~(B⋃C)=~B~⋂C~(B⋂C)=~B~⋃C7.9、设R为A上的关系, 则(1) R 在A上自反当且仅当IA ⊆R(2) R 在A上对称当且仅当R=R^(-1)(3) R 在A上传递当且仅当R︒R ⊆R7.10、设R为A上的关系, 则有(1) r(R)=R∪R^0(2) s(R)=R∪R^(-1)(3) t(R)=R∪R^2∪R^3∪…9.1、设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.9.2、设◦为S上的二元运算，θl和θr分别为S中关于运算的左和右单位元，则θl = θr = θ为S上关于◦运算的惟一的零元.9.3、设◦为S上的二元运算，e和θ分别为◦运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e≠θ.9.4、设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元yl 和右逆元yr, 则有yl = yr= y, 且y是x 的惟一的逆元.10.2、G为群，∀a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. （G中适合消去律）10.3、G为群，a∈G且|a| = r. 设k是整数，则(1) a^k = e当且仅当r | k(r整除k)(2 )|a^-1| = |a|10.4、（子群判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a^-1∈H.10.5、（子群判定定理二）设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab^-1∈H.10.6、（子群判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H.10.7、设H是群G的子群，则He=H，∀a∈G有a∈Ha10.8、设H是群G的子群，则∀a,b∈G有：a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb10.9、设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.推论：设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G，Ha = Hb或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G10.10、（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则：|G| = |H|·[G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.推论1：设G是n阶群，则∀a∈G，|a|是n的因子.推论2：对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.10.11、（循环群的生成元）设G=<a>是循环群. ：(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.10.12、（循环群的子群）设G=<a>是循环群.(1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.14.1、（握手定理）在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍.14.2、（握手定理）在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数.推论：任何图(无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数.14.5、在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1 的通路.推论：在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）.14.7、对任意无向图G中，有：κ(G)λ≤(G)δ≤(G)14.8、D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路14.9、D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路14.10、无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈15.1、无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.15.2、无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.15.5、G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且是若干个边不重的圈的并.15.6、设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1⊂V且V1∅≠，均有p(G-V1) ≤ |V1|设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1⊂V且V1∅≠均有p(G-V1) ≤ |V1|+1 15.7、设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n-1则G 中存在哈密顿通路.推论：设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.16.1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1) G 是树(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且m=n-1.(4) G 是连通的且m=n-1.(5) G 是连通的且G 中任何边均为桥.(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.16.2、设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶.16.3、无向图G具有生成树当且仅当G连通.推论1 ：G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1.推论2 ：余树的边数为m-n+1.推论3 ：余树为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与余树一定有公共边17.3、平面图各面次数之和等于边数的两倍.17.4、极大平面图是连通的，并且n（n≥3）阶极大平面图中不可能有割点和桥.17.5、设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.17.6、（欧拉公式）设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r=217.7、（欧拉公式的推广）设G是具有k（k≥2）个连通分支的平面图，则n-m+r=k+117.8、设G为连通的平面图，且deg(Ri)≥l, l≥3，则m≤ l(n-2)/( l-2)推论：K5，K3,3不是平面图17.10、设G为n（n≥3）阶m条边的简单平面图，则m≤3n-6.17.11、设G为n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m=3n-6.17.12、设G 为简单平面图，则δ(G)≤5.17.13、G是平面图⇔G中不含与K5或K3,3同胚的子图.17.14、G是平面图⇔G中无可收缩为K5或K3,3的子图18.3、设n阶图G中无孤立顶点.(1) 设M为G中一个最大匹配，对于G中每个M非饱和点均取一条与其关联的边，组成边集N，则W=M⋃N为G中最小边覆盖.(2) 设W1为G中一个最小边覆盖；若W1中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配.(3) G中边覆盖数α1与匹配数β1满足α1+β1=n.推论：设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配，W是G中的边覆盖，则|M| ≤ |W|，等号成立时，M为G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.18.4、M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可增广交错路径.18.5、（Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|≤|V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”.18.6、设二部图G=<V1,V2,E>中，V1中每个顶点至少关联t (t≥1)条边，而V2中每个顶点至多关联t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.18.7、对于任意无向图G，均有χ(G) ≤∆(G)+1几个相关性质:χ(G)=1当且仅当G为零图χ(Kn)=n若G为奇圈或奇阶轮图，则χ(G)=3，若G为偶阶轮图，则χ(G)=4.若G的边集非空，则χ(G)=2当且仅当G为二部图18.8、（Brooks定理）若连通无向图G不是Kn,（n≥3），也不是奇数阶的圈，则χ(G) ≤∆(G) 18.10、（四色定理）任何平面图都是4-可着色的。

离散数学复习要点离散数学是数学的一个分支领域，主要研究离散的结构和离散情形下的数学对象及其相关性质。

它与连续数学不同，离散数学的对象是离散的，如集合、图、布尔代数等。

在计算机科学、信息科学、通信工程等领域中，离散数学的理论和方法被广泛应用。

以下是离散数学的一些重要的复习要点：1.集合论：集合是离散数学的基础，集合的基本运算如交、并、差等，以及集合的基本性质如并集和交集的结合律、分配律等，都是需要复习的内容。

此外，还需要了解集合的基数和幂集等概念。

2.命题逻辑：命题是一个可以判断真假的陈述句，命题逻辑是研究命题及其逻辑关系的数学体系。

需要复习的内容包括命题的逻辑运算，如非、与、或、异或等，以及逻辑等价、逻辑推理等。

3.谓词逻辑：谓词逻辑是对自然语言中的谓词进行形式化表示和推理的系统。

复习重点包括一阶谓词逻辑的基本概念，如谓词、量词、域、项等，以及谓词的合取、析取、全称量词和存在量词等逻辑联结词的语义。

4.图论：图论是研究图及其性质的数学分支。

需要复习的内容包括图的基本概念，如顶点、边、路径、圈等，以及图的表示方法、图的遍历算法、连通图、树等。

5. 网络流模型：网络流模型是研究流动网络的数学方法，主要包括最大流、最小割等问题。

需要复习的内容包括网络的基本概念，如容量、割、流等，以及Ford-Fulkerson算法等解决网络流问题的方法。

6.布尔代数：布尔代数是一种关于逻辑运算的代数系统，常用于电路设计和逻辑推理。

需要复习的内容包括布尔代数的基本运算，如与、或、非等，以及布尔函数的最小项与最大项表示、卡诺图等。

7.组合数学：组合数学是研究离散中的计数问题的数学分支。

需要复习的内容包括排列、组合、多元排列组合等的计数方法，如乘法原理、加法原理、排列组合的顺序问题等。

8.代数系统：代数系统是研究代数结构及其性质的数学分支，包括群、环、域等。

需要复习的内容包括群的基本概念和性质，如封闭性、结合律、单位元、逆元等。

三一文库（ ）*电大考试*电大离散数学期末复习要点与重点考试资料考点归纳总结离散数学是中央广播电视大学开放教育本科电气信息类计算机科学与技术专业的一门统设必修学位课程，共72学时，开设一学期．该课程的主要内容包括：集合论、图论、数理逻辑等．下面按章给出复习要点与重点．第1章 集合及其运算复习要点 1．理解集合、元素、集合的包含、子集、相等，以及全集、空集和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法．具有确定的，可以区分的若干事物的全体称为集合，其中的事物叫元素.．集合的表示方法：列举法和描述法.注意：集合的表示中元素不能重复出现，集合中的元素无顺序之分．掌握集合包含(子集)、真子集、集合相等等概念．注意：元素与集合，集合与子集，子集与幂集，∈与⊂(⊆),空集∅与所有集合等的关系.空集∅，是惟一的，它是任何集合的子集．集合A 的幂集P (A )＝}{A x x ⊆， A 的所有子集构成的集合．若∣A ∣＝n ，则∣P (A )∣=2n ． 2．熟练掌握集合A 和B 的并A ⋃B ，交A ⋂B ，补集~A (~A 补集总相对于一个全集).差集A －B ，对称差⊕，A ⊕B ＝(A －B )⋃(B －A )，或A ⊕B ＝(A ⋃B )－（A ⋂B ）等运算，并会用文氏图表示．掌握集合运算律(见教材第9～11页)(运算的性质).3．掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法．集合的运算问题：其一是进行集合运算；其二是运算式的化简；其三是恒等式证明．证明方法有二：(1)要证明A ＝B ，只需证明A ⊆B ，又A ⊇B ；(2)通过运算律进行等式推导．重点：集合概念，集合的运算，集合恒等式的证明．第2章 关系与函数复习要点1．了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算．有序对就是有顺序二元组，如<x , y >，x , y 的位置是确定的，不能随意放置．注意：有序对<a ，b >≠<b , a >，以a , b 为元素的集合{a , b }={b , a }；有序对(a , a )有意义，而集合{a , a }是单元素集合，应记作{a }．集合A ，B 的笛卡儿积A ×B 是一个集合，规定A ×B ＝{<x ,y >∣x ∈A ,y ∈B }，是有序对的集合.笛卡儿积也可以多个集合合成，A 1×A 2×…×A n ．2．理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系.掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的集合运算和求复合关系、逆关系的方法．二元关系是一个有序对集合，},{B y A x y x R ∈∧∈><=，记作xRy ．关系的表示方法有三种：集合表示法，关系矩阵：R ⊆A ×B ，R 的矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧/==⨯n j m i b R a Rb a r r M j i j i ij n m ij R ,...,2,1,...,2,101,)(. 关系图：R 是集合上的二元关系，若<a i , b j >∈R ，由结点a i 画有向弧到b j 构成的图形．空关系∅是唯一、是任何关系的子集的关系； 全关系},,{A b a b a E A ∈><=A A ⨯≡； 恒等关系},{A a a a I A ∈><=，恒等关系的矩阵M I 是单位矩阵．关系的集合运算有并、交、补、差和对称差． 复合关系}),,(,{2121R c b R b a b c a R R R >∈<∧>∈<∃><=∙=；复合关系矩阵：21R R R M M M ⨯=(按布尔运算)；有结合律：(R ∙S )∙T ＝R ∙(S ∙T )，一般不可交换． 逆关系},,{1R y x x y R >∈<><=-；逆关系矩阵满足：T R R M M =-1；复合关系与逆关系存在：(R ∙S )－1=S －1∙R －1．3．理解关系的性质(自反性和反自反性、对称性和反对称性、传递性的定义以及矩阵表示或关系图表示)，掌握其判别方法(利用定义、矩阵或图，充分条件)，知道关系闭包的定义和求法．注：(1)关系性质的充分必要条件：① R 是自反的⇔I A ⊆R ；②R 是反自反的⇔I A ⋂R ＝∅；③R 是对称的 ⇔R ＝R －1；④R 是反对称的⇔R ⋂R －1⊆I A ；⑤R 是传递的⇔R ∙R ⊆R .(2)I A 具有自反性，对称性、反对称性和传递性．E A 具有自反性，对称性和传递性．故I A ，E A 是等价关系．∅具有反自反性、对称性、反对称性和传递性．I A 也是偏序关系．4．理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价类的求法和作偏序集哈斯图的方法．知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界．等价关系和偏序关系是具有不同性质的两个关系. ⎩⎨⎧==+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+偏序关系等价关系传递性反对称性对称性自反性 知道等价关系图的特点和等价类定义，会求等价类．一个子集的极大(小)元可以有多个，而最大(小)元若有，则惟一.且极元、最元只在该子集内；而上界与下界可以在子集之外．由哈斯图便于确定任一子集的最大(小)元，极大(小)元．5．理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数．理解单射、满射和双射等概念，掌握其判别方法．设f 是集合A 到B 的二元关系，∀a ∈A ，存在惟一b ∈B ，使得<a , b >∈f ，且Dom(f )=A ，f 是一个函数(映射)．函数是一种特殊的关系．集合A ×B 的任何子集都是关系，但不一定是函数．函数要求对于定义域A 中每一个元素a ，B 中有且仅有一个元素与a 对应，而关系没有这个限制．二函数相等是指：定义域相同，对应关系相同，而且定义域内的每个元素的对应值都相同．函数有：单射——若)()(2121a f a f a a ≠⇒≠；满射——f (A )=B 或,,A x B y ∈∃∈∀使得y =f (x )；双射——单射且满射．复合函数,:,:,:C A f g C B g B A f →→→ 则 即))(()(x f g x f g = ．复合成立的条件是：)(Dom )(Ran g f ⊆．一般g f f g ≠，但f g h f g h )()(=.反函数——若f ：A →B 是双射，则有反函数f －1：B →A ，},)(,,{1A a b a f B b a b f ∈=∈><=-，f f g f f g ==-----11111)(,)( 重点：关系概念与其性质，等价关系和偏序关系，函数.第3章 图的基本概念复习要点1．理解图的概念：结点、边、有向图，无向图、简单图、完全图、结点的度数、边的重数和平行边等.理解握手定理．图是一个有序对<V ，E >，V 是结点集，E 是联结结点的边的集合．掌握无向边与无向图，有向边与有向图，混合图，零图，平凡图、自回路(环)，无向平行边，有向平行边等概念．简单图，不含平行边和环(自回路)的图、在无向图中，与结点v (∈V )关联的边数为结点度数deg (v )；在有向图中，以v (∈V )为终点的边的条数为入度deg －(v )，以v (∈V )为起点的边的条数为出度deg ＋(v )，deg(v )=deg +(v ) +deg －(v )．无向完全图K n 以其边数)1(21-=n n E ；有向完全图以其边数)1(-=n n E ． 了解子图、真子图、补图和生成子图的概念． 生成子图——设图G ＝<V , E >，若E '⊆E ，则图<V , E '>是<V , E >的生成子图． 知道图的同构概念，更应知道图同构的必要条件，用其判断图不同构.重要定理：(1) 握手定理 设G =<V ，E >，有∑∈=V v E v 2)deg(； (2) 在有向图D ＝<V , E >中，∑∑∈+∈-=V v V v v v )(deg )(deg；(3) 奇数度结点的个数为偶数个．2．了解通路与回路概念：通路(简单通路、基本通路和复杂通路)，回路(简单回路、基本回路和复杂回路)．会求通路和回路的长度．基本通路(回路)必是简单通路(回路)．了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支．了解点割集、边割集、割点、割边等概念．了解有向图的强连通强性；会判别其类型．设图G ＝<V ，E >，结点与边的交替序列为通路．通路中边的数目就是通路的长度．起点和终点重合的通路为回路．边不重复的通路(回路)是简单通路(回路)；结点不重复的通路(回路)是基本通路(回路).无向图G 中，结点u , v 存在通路，u , v 是连通的，G 中任意结点u , v 连通，G 是连通图．P (G )表示图G 连通分支的个数．在无向图中，结点集V '⊂V ，使得P (G －V ')>P (G )，而任意V "⊂V ',有P （G －V "）＝P (G )，V '为点割集. 若V '是单元集，该结点v 叫割点；边集E '⊂E ，使得P (G －V ')>P (G )，而任意E "⊂E '，有P （G －E "）＝P (G )，E '为边割集．若E '是单元集，该边e 叫割边(桥)．要知道：强连通−−→−必是单侧连通−−→−必是弱连通，反之不成立． 3．了解邻接矩阵和可达矩阵的概念，掌握其构造方法及其应用．重点：图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示．第4章 几种特殊图复习要点1．理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图的判别方法．通过连通图G 的每条边一次且仅一次的通路(回路)是欧拉通路(回路)．存在欧拉回路的图是欧拉图.欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复．笔不离开纸，不重复地走完所有的边，走过所有结点，就是所谓的一笔画．欧拉图或通路的判定定理(1) 无向连通图G 是欧拉图⇔G 不含奇数度结点(即G 的所有结点为偶数度)；(2) 非平凡连通图G 含有欧拉通路⇔G 最多有两个奇数度的结点；(3) 连通有向图D 含有有向欧拉回路⇔D 中每个结点的入度＝出度．连通有向图D 含有有向欧拉通路⇔D 中除两个结点外，其余每个结点的入度＝出度，且此两点满足deg －(u )－deg ＋(v )＝±1．2．理解汉密尔顿通路(回路)、汉密尔顿图的概念，会做简单判断．通过连通图G 的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，是汉密尔顿通路(回路)．存在汉密尔顿回路的图是汉密尔顿图.汉密尔顿图的充分条件和必要条件(1) 在无向简单图G =<V ，E >中，∣V ∣≥3，任意不同结点V v u G v u ≥+∈)deg()deg(,,，则G 是汉密尔顿图．(充。

离散数学知识点总结 一、各章复习要求与重点第一章 集 合[复习知识点]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、 De Morgan 律等），文氏（V enn ）图3、序偶与迪卡尔积本章重点内容：集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明 [复习要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。

[本章重点习题]P5~6，4、6； P14~15，3、6、7； P20，5、7。

[疑难解析] 1、集合的概念因为集合的概念学生在中学阶段已经学过，这里只多了一个幂集概念，重点对幂集加以掌握，一是掌握幂集的构成，一是掌握幂集元数为2n 。

2、集合恒等式的证明通过对集合恒等式证明的练习，既可以加深对集合性质的理解与掌握；又可以为第三章命题逻辑中公式的基本等价式的应用打下良好的基础。

实际上，本章做题是一种基本功训练，尤其要求学生重视吸收律和重要等价式在B A B A ~⋂=-证明中的特殊作用。

[例题分析]例1 设A ，B 是两个集合，A={1，2，3}，B={1，2}，则=-)()(B A ρρ 。

解}}3,2,1{},3,2{},3,1{},2,1{},3{},2{},1{,{)(φρ=A}}2,1{},2{},1{,{)(φρ=B于是}}3,2,1{},3,2{},3,1{},3{{)()(=-B A ρρ例2 设{}{}Φ=,,,,b a b a A ，试求：(1){}b a A ,-； (2)Φ-A ； (3){}Φ-A ； (4){}{}A b a -,； (5)A -Φ； (6){}A -Φ。

解 (1){}{}{}Φ=-,,,b a b a A (2)A A =Φ- (3){}{}{}b a b a A ,,,=Φ- (4){}{}Φ=-A b a , (5)Φ=-ΦA (6){}Φ=-ΦA 例3 试证明()()()()B A B A B A B A ~~~~⋂⋃⋂=⋃⋂⋃ 证明()()()()()()()()()()()()()()()()()()B A B A B A B A B B B A A B A A B B A A B A B A B A ~~~~~~~~~~~~~⋂⋃⋂=Φ⋃⋂⋃⋂⋃Φ=⋂⋃⋂⋃⋂⋃⋂=⋂⋃⋃⋂⋃=⋃⋂⋃第二章 二元关系[复习知识点]1、关系、关系矩阵与关系图2、复合关系与逆关系3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）5、等价关系与等价类6、偏序关系与哈斯图（Hasse ）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函数及其性质（单射、满射、双射）8、复合函数与反函数本章重点内容：二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念 [复习要求]1、理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。

离散数学期末总结一．知识点第一章.集合论集合论或集论是讨论集合〔由一堆抽象物件构成的整体〕的数学理论，包含集合、元素和成员关系等最基本数学概念。

在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。

本章主要介绍集合的基本概念、运算及幂集合和笛卡尔乘积。

这章是本书的基础部分，要学好离散数学就需要很好的掌控集合的内容。

集合论的概念和方法已经渗透到全部的数学分支，因而各数学分支的完整体系，都是在所取集合上。

第二章．关系关系在我们日常生活中常常会遇到关系这一概念。

但在数学中关系表示集合中元素间的联系。

本章主要学习关系的基本概念、关系的性质、闭包运算、次序关系、等价关系，本章学习的重点：关系的性质、闭包运算、次序关系。

关系这一章是集合论这一章的延伸，对集合论的理解程度对学习关系这一章是特别有影响的。

而关系又是学习下一章代数系统必不可少的，所以本章是特别重要的章节。

第三章．代数系统代数结构也叫做抽象代数，主要讨论抽象的代数系统。

抽象代数讨论的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统：半群、群等等。

本章主要学习了运算与半群、群。

学习本章需要学会判断是否是代数系统、群和半群，以及判断代数系统具有哪些运算规律，如：结合、交换律等及单位元、逆元。

这些都在我们计算机编码中表达出重要的作用。

第四章．图论图论〔Graph Theory〕起源于闻名的柯尼斯堡七桥问题，以图为讨论对象。

图论中的图是由假设干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

本章主要学习图的基本概念、路径与回路、图的矩阵表示、平面图和二部图、以及树。

学习的重点：图的矩阵表示、平面图和二部图、以及树。

第五章．数理规律数理规律又称符号规律、理论规律。

它既是数学的一个分支，也是规律学的一个分支。

是用数学方法讨论规律或形式规律。

数理规律是数学基础的一个不可缺少的组成部分。

离散数学必备知识点总结汇总
1.集合论：集合的概念、元素、子集、交集、并集、差集、补集、空集、集合的运算、集合的等价关系、集合的序关系等。

2.命题逻辑：命题的概念、命题的联接词（与、或、非）、命题的否
定形式、命题的蕴涵、等价命题、命题的充分条件和必要条件、命题的合
取范式和析取范式、蕴涵式、逻辑等价式、命题的否定形式的推理。

3.谓词逻辑：谓词的概念、谓词的量化、全称量化和存在量化、谓词
逻辑的等价式和推理规则、归纳定理和应用。

4.关系：关系的概念、关系的性质、关系的运算、关系的性质和关系
的代数结构。

5.图论：图的概念、图的表示、连通图、树、度数和定理、欧拉图、
哈密顿图、图的平面性质等。

6.混合图：有向图、无向图、有向图和无向图的表示、混合图的回路、可达矩阵、连通度、强连通图等。

7.布尔代数：布尔运算、布尔函数、布尔代数的运算规则、完备性和
最小化。

8.代数结构：半群、群、环、域的定义和性质、同态和同构。

9.组合数学：排列组合、二项式系数、排列、组合、分配原理、鸽巢
原理、生成函数、容斥原理等。

10.图的着色：图的着色问题、邻接矩阵、边界点、图的着色问题的
算法、四色定理等。

11.概率论：基本概念、概率的性质、条件概率、独立事件、贝叶斯定理、随机变量、概率分布函数、期望、方差、协方差、相关系数、大数定理和中心极限定理等。

12.递归：递归关系、递归函数、递归算法、递归树、递归求解等。

1.1替代规则（重言式、矛盾式）1.2对偶式的定义。

什么样的公式有对偶式？对偶式原理的含义、证明、使用1.3范式1.4全功能的联结词变幻1.5谓词推理运用和1.8合在一起。

推理规则和名称（CP规则）1.6谓词符号化、特性谓词、唯一存在（量词）用其他联结词表达、自由变元、约束变元。

改名规则只能对约束变元使用。

1.7定理中出现的公式2基本概念！！！2.1属于和包含的关系、集合关系用谓词表达2.2集合运算、对应的谓词表达形式、主范式、定理中关于集合的公式。

2.3求幂集合和元素个数2.5定义和性质3关系的定义二元关系的三种表达形式及转换集合——集合的二元关系自反、反自反、对称、反对称、传递的定义！！前域、陪域为同一集合。

合成运算谓词表达、相应性质P100-102矩阵运算闭包（必考）、公式3-10 P110 9、10闭包性质自反对称传递顺序一定偏序的判断和证明、画出哈斯图。

求最大/小、极大/小、上下界其他序判定。

词典序和标准序、求前/后继等价关系的判定、最常用的等价关系、等价的概念覆盖和划分区别、划分和等价关系的诱导、求积与和、划分的定义和性质、函数的定义、其他概念。

合成函数与关系的合成顺序不同。

单满双的函数性质判定（定理）及证明。

逆函数<--->双射左右逆元构造单侧逆函数补充部分：题型：一、选择10*2’=20’二、填空18*2’=36三-七为大题：三、主范式证明。

9’四、谓词演绎推理15’五、六：二元关系证明七、函数15’注意：一、三章是重点，一定要对基本概念相当清楚（尤其是第一章的公式）！！2.3不考。

那些已知的定理的证明不考，可以直接用的。

这是信安班画的重点，大家可以做个参考。

目前估计卷子是一样的。