高中数学必修一《函数的最值课时作业》

课时作业(五)第5讲函数的单调性与最值基础热身1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”的是()A.f(x)=B.f(x)=(x-1)2C.f(x)=e xD.f(x)=ln(x+1)2.函数y=-有()A.最小值2B.最小值C.最大值2D.最大值3.[2017·岳阳一中月考]已知a=log0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a4.[2018·河南中原名校联考]已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是()A.B.C.D.5.函数y=lo|x-3|的单调递减区间是.能力提升6.[2017·株洲一模]函数f(x)=lo(x2-4)的单调递增区间为()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)7.已知f(x)在R上是减函数,a,b∈R且a+b≤0,则下列结论正确的是()A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)]B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)8.[2017·唐山二模]函数f(x)=,x∈(m,n]的最小值为0,则m的取值范围是()A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)9.函数y=log a(2-ax)在区间[0,1]上是减函数,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(2,+∞)10.已知函数f(x)=-当x1≠x2时,--<0,则a的取值范围是()A.B.C.D.11.记min{a,b}=若f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为.12.[2017·衡阳联考]已知函数f(x)=lo x2+-的定义域为(0,+∞),则使得f(x+1)<f(2x-1)成立的x的取值范围是.13.(15分)[2018·南阳一中月考]设函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),F(x)=-(1)若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立,求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.14.(15分)[2017·中山模拟]已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(3)=1.(1)判断f(x)的单调性;(2)解关于x的不等式f(3x+6)+f>2;(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.难点突破15.(5分)[2017·长春二模]已知定义域为R的函数f(x)的图像经过点(1,1),且对任意实数>-2,则不等式f(log2|3x-1|)<3-lo|3x-1|的解集为()x1<x2,都有--A.(-∞,0)∪(0,1)B.(0,+∞)C.(-1,0)∪(0,3)D.(-∞,1)16.(5分)[2017·大庆一中月考]已知函数f(x)=2017x+ln(+x)-2017-x+1,则不等式f(2x-1)+f(x)>2的解集为.课时作业(五)1.A[解析]依题意可得函数在(0,+∞)上单调递减,故由选项可得A正确.2.B[解析]易知y=-,因为(x-1)2+2≥2,所以y≥,故选B.3.B[解析] ln 0.5<ln 1=0,0<0.60.5<0.60=1,1=log0.60.6<log0.60.5,故a>c>b,故选B.4.D[解析]当a=0时,函数f(x)=-12x+5在(-∞,3)上是减函数,符合题意;当a≠0时,则有解得0<a≤.所以a的取值范围为.--5.(3,+∞)[解析]令u(x)=|x-3|,则在(-∞,3)上u(x)为减函数,在(3,+∞)上u(x)为增函数.又∵0<<1,∴在区间(3,+∞)上,函数y=lo|x-3|为减函数.6.D[解析]由x2-4>0得x<-2或x>2,∴已知函数的定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞),令u=x2-4,则y=lo u在(0,+∞)上是减函数,又∵u=x2-4的图像的对称轴为直线x=0,且开口向上,∴u=x2-4在(-∞,-2)上是减函数,由复合函数的单调性知,f(x)在(-∞,-2)上是增函数.故选D.7.D[解析]a+b≤0可转化为a≤-b或b≤-a,由于函数f(x)在R上是减函数,所以f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),两式相加得f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).8.D[解析]因为f(x)==-1+在(-1,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以n=2,-1≤m<2,故选D.9.C[解析]题中隐含a>0,∴2-ax在区间[0,1]上是减函数.∴y=log a u应为增函数,且u=2-ax 在区间[0,1]上应恒大于零,∴∴1<a<2.10.A[解析]当x1≠x2时,--<0,∴f(x)是R上的减函数.∵f(x)=-∴-∴0<a≤,故选A.11.6[解析]由题意知,f(x)=易知f(x)max=f(4)=6.12.<x<2[解析]易知函数在定义域内为减函数,所以由f(x+1)<f(2x-1)及定义域为(0,+∞)得x+1>2x-1>0,解得<x<2.13.解:(1)∵f(-1)=0,∴b=a+1.由f(x)≥0恒成立,知a>0且Δ=b2-4a=(a+1)2-4a=(a-1)2≤0,∴a=1.从而f(x)=x2+2x+1.∴F(x)=-(2)由(1)可知f(x)=x2+2x+1,∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1,由g(x)在[-2,2]上是单调函数,知-≤-2或-≥2,得k≤-2或k≥6.14.解:(1)设x1>x2>0,则>1,∵当x>1时,f(x)>0,∴f(x1)-f(x2)=f>0,∴f(x1)>f(x2),∴函数f(x)为增函数.(2)在f(x1)-f(x2)=f中,令x1=9,x2=3,∴f(9)-f(3)=f(3).又f(3)=1,∴f(9)=2.∴不等式f(3x+6)+f>2,可转化为f(3x+6)+f>f(9),∴f(3x+6)>f(9)-f=f(9x),由函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,可得3x+6>9x>0,∴0<x<1,∴原不等式的解集为(0,1).(3)∵函数f(x)在(0,3]上是增函数,∴f(x)在(0,3]上的最大值为f(3)=1,∴不等式f(x)≤m2-2am+1对所有x∈(0,3],a∈[-1,1]恒成立转化为1≤m2-2am+1对所有a∈[-1,1]恒成立,即m2-2am≥0对所有a∈[-1,1]恒成立.设g(a)=-2ma+m2,∴需满足-即-解该不等式组,得m≤-2或m≥2或m=0,即实数m的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).15.A[解析]由题意知对任意x1<x2,-->-2,可得f(x1)+2x1<f(x2)+2x2,令F(x)=f(x)+2x,∴F(x)在定义域R内单调递增,由f(1)=1,得F(1)=f(1)+2=3.∵f(log2|3x-1|)<3-lo|3x-1|等价于f(log2|3x-1|)+2log2|3x-1|<3,令t=log2|3x-1|,有f(t)+2t<3,即有F(t)<F(1),∴t<1,即log2|3x-1|<1,从而0<|3x-1|<2,解得x<1且x≠0.16.[解析]由题意知,f(-x)+f(x)=2,∴f(2x-1)+f(x)>2可化为f(2x-1)>f(-x),又y=2017x,y=-2017-x,y=ln(+x)均为增函数,∴函数f(x)在R上单调递增,∴2x-1>-x,∴x>,∴原不等式的解集为,+∞.。

课时作业(十) 函数的最大(小)值[学业水平层次]一、选择题1．函数f (x )在[－2，＋∞)上的图象如图1-3-2所示，则此函数的最大、最小值分别为( )图1-3-2A ．3，0B ．3，1C ．3，无最小值D ．3，－2【解析】 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0，3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.【答案】 C 2．已知函数f (x )＝2x －1(x ∈[2，6])，则函数的最大值为( ) A ．0.4 B ．1 C ．2 D ．2.5 【解析】 ∵函数f (x )＝2x －1在[2，6]上是单调递减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 C3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋6 x ∈[1，2]，x ＋7 x ∈[－1，1），则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．以上都不对【解析】 当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10， 当－1≤x <1时，6≤x ＋7<8.∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.故选A. 【答案】 A4．函数y ＝x ＋2x －1的最值的情况为( ) A ．最小值为12，无最大值 B ．最大值为12，无最小值 C ．最小值为12，最大值为2 D ．无最大值，也无最小值【解析】 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞）上是增函数，∴函数最小值为12，无最大值，故选A.【答案】 A 二、填空题5．已知函数y ＝x 2－4x ＋6，当x ∈[1，4]时，则函数的值域为________． 【解析】 ∵y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2， ∴当x ＝2时，y 取得最小值2.∵函数y ＝x 2－4x ＋6在[1，2]上递减，在[2，4]上递增． 又当x ＝1时，y ＝3，当x ＝4时，y ＝6， ∴函数的最大值为6. ∴函数的值域为[2，6]． 【答案】 [2，6]6．(2014·济宁高一检测)函数f (x )＝1x 在[1，b ](b ＞1)上的最小值是14，则b ＝________．【解析】 因为f (x )＝1x 在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.【答案】 4图1-3-37．(2013·陕西高考)在如图1-3-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．【解析】 设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．【答案】 20 三、解答题8．(2014·新田高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，－1≤x ≤0，x 2，0＜x ≤1，x ，1＜x ≤2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)作出函数的简图； (3)求函数的最大值和最小值．【解】 (1)当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝23，当0＜x ≤1时，f (x )＝x 2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当1＜x ≤2时，f (x )＝x ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝32.(2)如图：(3)由图象可知：f(x)max＝f(2)＝2；f(x)min＝f(0)＝0.9．(2014·宁波高一检测)已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值．(1)[0，3]；(2)[－1，1]；(3)[3，＋∞)．【解】作出f(x)＝3x2－12x＋5的图象如图所示，(1)由图可知，函数f(x)在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增．且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4.故在区间[0，3]上，当x＝2时，f(x)min＝－7；当x＝0时，f(x)max＝5.(2)由图可知，f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－4，f(x)max＝f(－1)＝20.(3)由图可知，f(x)在[3，＋∞]上单调递增，∴f(x)min＝f(3)＝－4，无最大值．[能力提升层次]1．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A．－1B．0C．1D．2【解析】f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，∴函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在[0，1]上单调递增． 又∵f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1. 【答案】 C2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，2]C ．(－∞，－2]D ．[1，2]【解析】 f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D. 【答案】 D3．已知f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间[1，5]上的最小值为f (5)，则a 的取值范围是________．【解析】 对称轴方程为x ＝1－a ，因为f (x )在区间[1，5]上的最小值为f (5)，所以1－a ≥5，得a ≤－4.【答案】 a ≤－44．为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下：【解】 (1)由题可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ，0≤x ≤100，57＋12（x －100）＝12x ＋7，x >100.(2)一月用电12x＋7＝76，即x＝138；二月用电12x＋7＝63，即x＝112；三月用电0.57x＝45.6，即x＝80；∴138＋112＋80＝330(度)∴第一季度共用电330度．。

3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值基础达标练1．函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如下图所示，则函数的最大值、最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (－1)C ．f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫－32D ．f ⎝⎛⎭⎫12，f (0)2．下列函数在『1,4』上最大值为3的是( )A ．y ＝1x＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝1－x3．函数y ＝x 2－2x ，x ∈『0,3』的值域为( )A ．『0,3』B ．『－1,0』C ．『－1，＋∞)D ．『－1,3』4．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ＜1，－x ＋6，x ≥1的最大值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606B ．45.6C ．45.56D ．45.516．函数y ＝f (x )的定义域为『－4,6』，若函数f (x )在区间『－4，－2』上单调递减，在区间 (－2,6』上单调递增，且f (－4)<f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．7．若函数y ＝ax ＋1在『1,2』上的最大值与最小值的差为2，则实数a ＝________.8．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________． 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2]，4x ，x ∈(2，4].(1)如图，画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的最大值．10．轮船由甲地逆水匀速行驶至乙地，甲、乙两地相距s(km)，水流速度为p(km/h)，轮船在静水中的最大速度为q(km/h)(p，q为常数，且q>p)，已知轮船每小时的燃料费用与轮船在静水中的速度v(km/h)成正比，比例系数为常数k.(1)将全程燃料费用y(元)表示为静水中速度v(km/h)的函数；(2)若s＝100，p＝10，q＝110，k＝2，为了使全程的燃料费用最少，轮船的实际行驶速度应为多少？素养提升练1．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间『0，m』上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是()A．『1，＋∞)B．『0,2』C．(－∞，2』D．『1,2』2．已知函数f(x)＝x2＋ax＋4，若对任意的x∈(0,2』，f(x)≤6恒成立，则实数a的最大值为() A．－1B．1 C．－2D．23．对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值M max叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为________．4．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈『1，a 』，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．5．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P (万元)和Q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式：P ＝x 5，Q ＝35x .今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？6．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23. (1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在『－3,3』上的最大值及最小值．——★ 参*考*答*案 ★——基础达标练1．C『『解 析』』根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x ＝－32时，有最小值f ⎝⎛⎭⎫－32；当x ＝12时，有最大值f ⎝⎛⎭⎫12. 2．A『『解 析』』选项B 、C 在『1,4』上均为增函数，选项A 、D 在『1,4』上均为减函数，代入端点值，即可求得最大值为3的是y ＝1x＋2. 3．D『『解 析』』∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈『0, 3』，∴当x ＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x ＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为『－1, 3』．4．C『『解 析』』当x <1时，函数y ＝x ＋3单调递增，且有y <4，无最大值；当x ≥1时，函数y ＝－x ＋6单调递减，则在x ＝1处取得最大值为5.所以，函数在整个定义域内的最大值为5.5．B『『解 析』』设在甲地销售量为a ，则在乙地销售量为15－a ，设总利润为y ，则y ＝5.06a －0.15a 2＋2(15－a )(0≤a ≤15)，即y ＝－0.15a 2＋3.06a ＋30(0≤a ≤15)，可求y max ＝45.6.6．f (－2) f (6)『『解 析』』作出符合条件的函数的简图(图略)，可知f (x )min ＝f (－2)，f (x )max ＝f (6)．7．±2『『解 析』』由题意知a ≠0，当a >0时，有(2a ＋1)－(a ＋1)＝2，解得a ＝2；当a <0时，有(a ＋1)－(2a ＋1)＝2，解得a ＝－2. 综上可知a ＝±2.8．43『『解 析』』t ＝1－x (1－x )＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34. 所以0<f (x )≤43，即f (x )的最大值为43. 9．解 (1)函数f (x )的大致图象如图所示：(2)由函数f (x )的图象得出，f (x )的最大值为2.10．解 (1)∵轮船行驶全程的时间t ＝s v －p ， ∴y ＝ksv v －p(p <v ≤q )． (2)若s ＝100，p ＝10，q ＝110，k ＝2，则y ＝2×100v v －10＝200⎝⎛⎭⎫1＋10v －10(10<v ≤110)． 由于f (v )＝10v －10在(10,110』上是减函数，∴当v ＝110时，函数y ＝2×100v v －10＝200⎝⎛⎭⎫1＋10v －10取得最小值，且最小值为220.即当轮船的实际行驶速度为110 km/h 时，全程的燃料费用最少．素养提升练1．D『『解 析』』f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2.2．A『『解 析』』原问题可转化为a ≤2－x 2x ＝2x －x 对任意的x ∈(0,2』恒成立，因为y ＝2x－x 在(0,2』上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，所以实数a 的最大值为－1.3．2『『解 析』』设f (a )＝a 2－4a ＋6，f (a )≥M ，即f (a )min ≥M .而f (a )＝(a －2)2＋2，∴f (a )min ＝f (2)＝2.∴M ≤2，∴M max ＝2.4．(1,3』『『解 析』』如图，由题意可知f (x )在『1，a 』内是单调递减的，又∵f (x )的单调递减区间为(－∞，3』，∴1<a ≤3.5．解 设对甲种商品投资x 万元，则对乙种商品投资(3－x )万元，总利润为y 万元，根据题意得y ＝15x ＋353－x (0≤x ≤3)． 令3－x ＝t ，则x ＝3－t 2,0≤t ≤ 3. 所以y ＝15()3－t 2＋35t ＝－15⎝⎛⎭⎫t －322＋2120，t ∈『0， 3 』． 当t ＝32时，y max ＝2120，此时x ＝0.75,3－x ＝2.25. 由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为0.75万元和2.25万元，能获得的最大利润为1.05万元．6．(1)证明 ∵f (0)＋f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0.又f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)，∴f (－x )＝－f (x )．∀x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)．∵x 2－x 1>0，据题意有f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴y ＝f (x )在R 上是减函数．(2)解 由(1)式知，f (x )在『－3,3』上是减函数，∴f (－3)最大，f (3)最小．而f (3)＝f (2)＋f (1)＝2f (1)＋f (1)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2， ∴f (x )在『－3,3』上的最大值为2，最小值为－2.。

2019-2020年高中数学 1.3.1第2课时 函数的最大（小）值课时作业 新人教A 版必修1知识点及角度 难易度及题号基础 中档 稍难 函数图象与最值 1 函数单调性与最值 5、6 二次函数的最值 2、4、9 8、1012 分段函数的最值3、711解析：设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎫x －1922＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元． 答案：C5．函数y ＝－1x ，x ∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．解析：易证函数y ＝－1x 在[－3，－1]上为增函数，∴y min ＝13，y max ＝1，∴y max －y min ＝1－13＝23.答案：236．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝________.解析：若a ＜0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，a ＝3不满足a ＜0；若a ＞0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a ＋1＝4，a ＝1满足a ＞0，所以a ＝1.答案：17．求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＜x ＜1，x 1≤x ≤2的最值．解：函数f (x )的图象如图， 由图象可知f (x )的最小值为f(1)＝1.无最大值．8．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，则a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值，而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]的最小值为0，故a ＜0.答案：C9．对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有实数M 中，我们把M 的最大值M max＝－1叫做函数f (x )＝x 2＋2x 的下确界，则对于a ∈R ，且a ≠0，a 2－4a ＋6的下确界为________．解析：a 2－4a ＋6＝(a －2)2＋2≥2， 则a 2－4a ＋6的下确界为2. 答案：210．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a ＞1)，若f (x )的定义域和值域均是[1，a ]，求实数a 的值．解：∵f (x )开口向上，对称轴x ＝a ＞1， ∴f (x )在[1，a ]上是减函数，∴f (x )的最大值为f (1)＝6－2a ，f (x )的最小值为f (a )＝5－a 2，∴6－2a ＝a,5－a 2＝1，∴a ＝2.11．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足为函数R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 0≤x ≤400，80 000 x >400，其中x 是仪器的产量．(1)将利润f (x )表示为产量x 的函数．(利润＝总收益－总成本)(2)当产量x 为何值时，公司所获利润最大；最大利润是多少元？ 解：由题意知f (x )＝R (x )－100x －20 000＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 0≤x ≤400，－100x ＋60 000 x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，即当x ＝300时，f (x )有最大值25 000，当x>400时，f(x)<20 000.综上可知，当月产量为300台时，公司获得最大利润25 000元．12．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．解：在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立⇔x 2＋2x ＋a >0恒成立，即a >－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上恒成立．由于g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g (x )max ＝g (1)＝－3，∴a >－3.1．求最大值、最小值时的三个关注点(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标而不是横坐标． (2)单调性法求最值勿忘求定义域．(3)单调性法求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误，求解时一定要注意．2．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．.。

第 2 课时 函数的最值课时目标 1.理解函数的最大 (小 )值的观点及其几何意义 .2.领会函数的最大 ( 小)值与单一性之间的关系 .3.会求一些简单函数的最大 ( 小 )值．1．函数的最大值、最小值最值最大值 最小值设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 I ，假如存在实数 M 知足：(3) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．条件(1) 关于随意的 x ∈ I ，都有 __________ ．(4) 存在 x 0∈ I ，使得 __________ ．(2) 存在 x 0∈ I ，使得 __________.结论 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值M 是函数 y ＝ f(x) 的最小值2.函数最值与单一性的联系(1) 若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上单一递加，则 f(x) 的最大值为 ________ ，最小值为________．(2)若函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ，b]上单一递减， 则 f(x) 的最大值为 ______，最小值为 ______．一、选择题1．若函数 f(x) ＝x 2＋2(a － 1)x ＋ 2 在区间 (－ ∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是()A ． a ≤－ 3B ．a ≥－ 3C ． a ≤ 5D ．a ≥32．函数 y ＝ x ＋ 2x － 1()A ．有最小值 1，无最大值21，无最小值B ．有最大值 2C ．有最小值 1，最大值 22D ．无最大值，也无最小值3．已知函数 y＝x2－2x＋ 3 在区间 [0，m] 上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是 () A． [1，＋∞ ) B ． [0,2]C． ( －∞， 2]D． [1,2]4．假如函数 f(x) ＝ x2＋ bx＋ c对随意的实数x，都有 f(1＋ x)＝ f( － x)，那么 ()A． f(－ 2)<f(0)<f(2)B． f(0)<f( － 2)<f(2)C． f(2)<f(0)<f( －2)D． f(0)<f(2)<f( －2)5．函数 y＝ |x－ 3|－ |x＋ 1|的 ()A．最小值是 0，最大值是 4B．最小值是－ 4，最大值是 0C．最小值是－ 4，最大值是 4D．没有最大值也没有最小值1的最大值是 ()6．函数 f(x) ＝1－x(1－x)45A. 5B. 434C.4D. 3题号 1 2 3 4 56答案二、填空题2的值域是 ________．7．函数 y＝|x|＋18．函数 y＝－ x2＋ 6x＋ 9 在区间 [a，b](a<b<3) 有最大值9，最小值－ 7，则 a＝ ________，b＝ __________.9．若 y＝－2， x∈ [－ 4，－ 1]，则函数y 的最大值为 ________．x三、解答题10．已知函数f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2.(1)求f(x) 在区间[1， 3]上的最大值和最小值；2(2)若g(x) ＝ f(x) －mx在 [2,4] 上是单一函数，求m 的取值范围．11．若二次函数知足f(x ＋1)－ f(x) ＝ 2x 且 f(0) ＝1.(1)求 f(x) 的分析式；(2)若在区间 [ －1,1] 上不等式f(x)>2x ＋m 恒建立，务实数m 的取值范围．能力提高12．已知函数 f(x) ＝ 3－ 2|x|， g(x) ＝ x2－ 2x，结构函数 F(x)，定义以下：当f(x) ≥g(x)时，F(x) ＝ g(x) ；当 f(x)<g(x) 时， F(x) ＝f(x) ，那么 F(x)()A．有最大值 3，最小值－ 1B．有最大值 3，无最小值C．有最大值 7－ 2 7，无最小值D．无最大值，也无最小值13．已知函数 f(x) ＝ ax2－ |x|＋ 2a－ 1，此中 a≥0， a∈R.(1)若 a＝ 1，作函数 f(x) 的图象；(2)设 f(x) 在区间 [1,2] 上的最小值为g(a)，求 g(a)的表达式．1．函数的最大(小 )值(1)定义中 M 第一是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f(x) ＝－ x2(x∈ R)的最大值为 0，有 f(0)＝ 0，注意对“存在”的理解．(2)关于定义域内随意元素，都有 f(x) ≤M或 f(x) ≥M建立，“随意”是说对每一个值都一定知足不等式．拓展关于函数y＝ f(x) 的最值，可简记以下：最大值： y max或 f(x) max；最小值： y min或 f(x) min.2．函数的最值与值域、单一性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确立的，但它不必定有1最值，如函数y＝x.假如有最值，则最值必定是值域中的一个元素．(2)若函数f(x) 在闭区间 [a， b]上单一，则f(x) 的最值必在区间端点处获得．即最大值是f(a)或f(b) ，最小值是f(b) 或f(a)．3．二次函数在闭区间上的最值探究二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝ f(x) 的草图，而后依据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的地点关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依照，而且最大(小 )值不必定在极点处获得．第 2 课时函数的最大 (小)值知识梳理1． (1)f(x) ≤M (2)f(x 0)＝ M (3)f(x)≥M (4)f(x 0)＝ M2． (1)f(b) f(a)(2)f(a) f(b)作业设计1．A [ 由二次函数的性质，可知 4≤－ (a －1) ，解得 a ≤－ 3.]2．A [ ∵ y ＝ x ＋2x － 1在定义域 [1，＋ ∞)上是增函数，21 1 1∴ y ≥f( )＝ ，即函数最小值为，无最大值，选 A.]2223．D[ 由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3＝ (x － 1)2＋ 2 知，当 x ＝1 时， y 的最小值为 2，当 y ＝ 3 时， x 2－2x ＋ 3＝ 3，解得 x ＝0 或 x ＝ 2.由 y ＝ x 2－ 2x ＋ 3 的图象知，当 m ∈ [1,2] 时，能保证 y 的最大值为3，最小值为 2.]4．D [ 依题意，由f(1＋ x)＝ f( － x)知，二次函数的对称轴为x ＝ 1，由于 f(x) ＝ x 2＋ bx2＋ c 张口向上，且 f(0) ＝ f(1)， f(－ 2)＝ f(3) ，由函数 f(x) 的图象可知， [1，＋ ∞)为 f(x) 的2 增区间，因此 f(1)<f(2)<f(3) ，即 f(0)<f(2)<f( － 2)． ]－4(x ≥3)5． C [y ＝ |x － 3|－ |x ＋ 1|＝ － 2x ＋2(－ 1≤x<3) .4 (x< －1)由于 [－1,3)是函数 y ＝－ 2x ＋ 2 的减区间，因此－ 4<y ≤4，综上可知 C 正确． ]6．D [f(x) ＝ 1 41 23 ≤ .]＋ 3(x － ) 42 7． (0,2]分析 察看可知 y>0 ，当 |x|取最小值时， y 有最大值，因此当 x ＝ 0 时， y 的最大值为 2，即 0<y ≤2，故函数 y 的值域为 (0,2] ．8．－2 0分析y ＝－ (x －3) 2＋ 18，∵ a<b<3，∴函数 y 在区间 [a ， b]上单一递加，即－b 2＋ 6b ＋ 9＝9，得 b ＝0(b ＝ 6 不合题意，舍去 )2－ a ＋ 6a ＋9＝－ 7，得 a ＝－ 2(a ＝8 不合题意，舍去 )．分析函数 y ＝－ 2x 在 [ － 4，－ 1]上是单一递加函数，2故 ymax＝－－1＝2.10．解(1)∵ f(x) ＝ x 2 －2x ＋ 2＝ (x －1) 2＋1， x ∈ [1， 3]，2∴ f(x) 的最小值是 f(1) ＝ 1，又 f(1)＝ 54， f(3) ＝ 5，2因此， f(x) 的最大值是 f(3)＝ 5，即 f(x) 在区间 [ 1，3] 上的最大值是 5，最小值是 1.2 (2)∵ g(x) ＝ f(x) － mx ＝ x 2－ (m ＋ 2)x ＋ 2，∴ m ＋ 2m ＋ 2≥4，即 m ≤2或 m ≥ 6.2 ≤2或2 故 m 的取值范围是 (－ ∞， 2]∪ [6，＋ ∞)．11．解(1) 设 f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)，由 f(0) ＝ 1，∴ c ＝ 1，∴ f(x) ＝ ax 2＋ bx ＋1.∵ f(x ＋ 1)－ f(x) ＝ 2x ，∴ 2ax ＋ a ＋ b ＝ 2x ，2a ＝ 2 ，∴a ＝ 1 2－ x ＋ 1.∴，∴ f(x) ＝ x a ＋ b ＝ 0b ＝－ 1(2)由题意： x 2－ x ＋ 1>2x ＋ m 在 [ － 1,1] 上恒建立，即 x 2－ 3x ＋ 1－ m>0 在 [－1,1] 上恒建立．令 g(x) ＝ x 2－ 3x ＋ 1－ m ＝ (x －3)2－ 5－m ， 2 4其对称轴为 x ＝32，∴ g(x) 在区间 [－ 1,1]上是减函数，∴ g(x) min ＝ g(1)＝ 1－ 3＋ 1－ m>0，∴ m<－1.12．C [绘图获得 F(x) 的图象：射线 AC 、抛物线 AB 及射线 BD 三段， y ＝ 2x ＋3， 联立方程组y ＝ x 2－ 2x ，得 x A ＝ 2－ 7，代入得 F(x) 的最大值为 7－ 2 7，由图可得 F(x) 无最小值，进而选C.]13．解 (1)当 a ＝ 1 时， f(x) ＝ x 2x 2＋x ＋ 1， x<0－ |x|＋ 1＝2－x ＋ 1，.x x ≥0作图 (如右所示 )．(2)当 x ∈ [1,2] 时， f(x) ＝ ax 2－ x ＋2a － 1.若 a ＝0，则 f(x) ＝－ x － 1 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝－ 3.若 a>0，则 f(x) ＝ a(x － 2a 1)2＋ 2a － 4a 1－ 1，f(x) 图象的对称轴是直线x ＝ 1 .2a 1 1时， f(x) 在区间 [1,2] 上是增函数， 当 0<<1 ，即 a>2a2g(a)＝ f(1) ＝3a － 2.当 1≤111时，≤2，即 ≤ a ≤2a42g(a)＝ f( 1) ＝ 2a － 1－ 1，2a 4a当 2a 1>2，即 0<a<14时， f(x) 在区间 [1,2] 上是减函数，g(a)＝ f(2) ＝6a － 3.6a－ 3，1 0≤ a<4综上可得 g(a)＝2a－1－1，11≤ a≤4a4213a－ 2， a>2。

5.4.2.2 正弦函数、余弦函数的单调性与最值一、选择题1．已知函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在区间M 上都是增函数，那么区间M 可以是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 解析：y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π上是增函数，y ＝cos x 在(π，2π)上是增函数，所以区间M 可以是⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π. 答案：D2．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝－π2B ．y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 解析：当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y ＝sin x 有最小值－1，函数y ＝2－sin x 有最大值3.答案：C 3．符合以下三个条件：①⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝－sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝－cos x解析：在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D. 答案：B4．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10B ．sin 3>sin 2C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2>cos 1解析：因为sin 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，且0<2－π2<1<π，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2>cos 1，即sin 2>cos 1.答案：D二、填空题5．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________． 解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 由2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 6．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 解析：当0≤x ≤π2时，－π4≤2x －π4≤3π4，因为函数y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上的函数值恒为正数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上的函数值恒为负数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0上为增函数，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－22. 答案：－22 7．sin 2π7________sin ⎝⎛⎭⎪⎫－15π8(填“>”或“<”)． 解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π8＝sin π8，因为0<π8<2π7<π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，所以sin π8<sin 2π7，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8<sin 2π7. 答案：>三、解答题8．求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos 2x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . 解析：(1)函数y ＝cos 2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z,2k π≤2x ≤2k π＋π，k ∈Z .∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，k π≤x ≤k π＋π2，k ∈Z . ∴函数y ＝cos 2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z ，单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z . (2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，函数y ＝－2sin x －π4的单调递增、递减区间分别是函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的单调递减、递增区间． 令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z . 即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z ， 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4，k ∈Z . 令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z . 即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z . 即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4，k ∈Z . 9．比较下列各组数的大小：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8与cos 15π7； (2)sin 194°与cos 160°.解析：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝cos π8，cos 15π7＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π7＝cos π7，∵0<π8<π7<π，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，∴cos π8>cos π7，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>cos 15π7.(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin 14°<sin 70°.从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. [尖子生题库]10求下列函数的最大值和最小值：(1)y ＝3＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6.解析：(1)∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1∴当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1.(2)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝2；当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝0时，y min ＝0.。

课时分层作业(十) 函数的最大(小)值(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、填空题1．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________． 4 [因为f (x )＝1x 在[1，b ]上是减函数，所以f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，所以b ＝4.]2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________．1 [函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，x ∈[0，1]，且函数有最小值－2. 故当x ＝0时，函数有最小值，当x ＝1时，函数有最大值．∵当x ＝0时，f (0)＝a ＝－2，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.]3．函数f (x )＝6－x －3x 在区间[2，4]上的最大值为________．－4 [∵6－x 在区间上是减函数，－3x 在区间上是减函数，∴函数f (x )＝6－x －3x 在区间上是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝6－2－3×2＝－4.]二、选择题4．函数y ＝1x －1在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．12C ．13D ．－12B [∵函数y ＝1x －1在[2，3]上单调递减，∴当x ＝3时，y min ＝13－1＝12.] 5．函数f (x )＝－x 2＋4x －6，x ∈[0，5]的值域为( )A ．[－6，－2]B ．[－11，－2]C ．[－11，－6]D ．[－11，－1] B [函数f (x )＝－x 2＋4x －6＝－(x －2)2－2，x ∈[0，5]，所以当x ＝2时，f (x )取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；当x ＝5时，f (x )取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，所以函数f (x )的值域是[－11，－2]．故选B.]6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1），则f (x )的最大值、最小值分别为( ) A ．10，6B ．10，8C ．8，6D ．以上都不对A [当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x <1时，6≤x ＋7<8，∴f (x )min ＝f (－1)＝6，f (x )max ＝f (2)＝10.故选A.]7．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)C [令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.又∵x ∈[0，2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0，∴a <0.]8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元 C [设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924， ∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．]三、解答题9．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ∈（－∞，0），x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞）的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．[解] 函数的图象如图所示．由图象可知f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和[0，＋∞)，无递减区间．由函数图象可知，函数的最小值为f (0)＝－1.10．已知函数f (x )＝－x 2＋2x －3.(1)求f (x )在区间[2a －1，2]上的最小值g (a )；(2)求g (a )的最大值．[解] (1)f (x )＝－(x －1)2－2，f (2)＝－3，f (0)＝－3，∴当2a －1≤0，即a ≤12时，f (x )min ＝f (2a －1)＝－4a 2＋8a －6； 当0＜2a －1＜2，即12<a <32时，f (x )min ＝f (2)＝－3. 所以g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4a 2＋8a －6，a ≤12，－3，12<a <32. (2)当a ≤12时，g (a )＝－4a 2＋8a －6单调递增， ∴g (a )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3； 又当12<a <32时，g (a )＝－3， ∴g (a )的最大值为－3.[等级过关练]1．函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( ) A ．32B ．－83C ．－2D ．2A [∵f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上单调递减， ∴f (x )max ＝f (－2)＝2－12＝32.] 2．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[0，2]C ．(－∞，2]D ．[1，2] D [f (x )＝(x －1)2＋2，∵f (x )min ＝2，f (x )max ＝3，且f (1)＝2，f (0)＝f (2)＝3，∴1≤m ≤2，故选D.]3．函数g (x )＝2x －x ＋1的值域为________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞ [设x ＋1＝t (t ≥0)，则x ＋1＝t 2， 即x ＝t 2－1，∴y ＝2t 2－t －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－178，t ≥0， ∴当t ＝14时，y min ＝－178， ∴函数g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－178，＋∞.] 4．用min{a ，b }表示a ，b 两个数中的最小值．设f (x )＝min{x ＋2，10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．6 [在同一个平面直角坐标系内画出函数y ＝x ＋2和y ＝10－x 的图象．根据min{x ＋2，10－x }(x ≥0)的含义可知，f (x )的图象应为图中的实线部分． 解方程x ＋2＝10－x ，得x ＝4，此时y ＝6，故两图象的交点为(4，6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，其最大值为交点的纵坐标，所以f (x )的最大值为6.] 5．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y ．(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？[解] (1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，由表格得方程组⎩⎪⎨⎪⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝162， 所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]．(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]．当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．。

第2课时函数的平均变化率与最值必备知识基础练1．已知函数f (x )＝1x 在[1，2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于()A．12B．－12C．1D．－12．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2，2])的最小值、最大值分别为()A．3，5B．－3，5C．1，5D．5，－33．已知f (x )＝x 2－ax ＋a2在[0，1]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为()A．0B．12C．1D．24．函数y ＝f (x )的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，且f (－4)＜f (6)，则函数f (x )的最小值是________，最大值是________．5．质点运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间(3，3＋Δt )内的平均速度为________，在t ＝3处的瞬时速度为________．6．利用函数的平均变化率证明函数y ＝3x ＋2在区间[0，5]上是减函数．关键能力综合练7．已知函数f (x )＝kx 2－4x ＋8在[5，10]上单调递减，且f (x )在[5，10]上的最小值为－32，则实数k 的值为()A．－45B．0C．0或－45D．0或178．(多选)下列函数中，值域是[0，＋∞)的是()A．y ＝|x |B．y ＝3－x C．y ＝x2D．y ＝－x 2＋49．(多选)设c ＜0，f (x )是区间[a ，b ]上的减函数，下列结论中正确的是()A．f (x )在区间[a ，b ]上有最小值f (a )B．1f （x ）在[a ，b ]上有最小值f (a )C．f (x )－c 在[a ，b ]上有最小值f (b )－c D．cf (x )在[a ，b ]上有最小值cf (a )10．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率为________．11．当0≤x ≤2时，a ＜－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝x ＋4x.(1)试证明函数f (x )在(0，2)上单调递减；(2)求函数f (x )在[12，4]上的值域．核心素养升级练13．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f (t )的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是()14．对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是()A．1<x <3B．x <1或x >3C．1<x <2D．x <1或x >215．求二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[2，4]上的最小值．第2课时函数的平均变化率与最值必备知识基础练1．解析：函数f (x )＝1x 在[1，2]上是减函数，所以x ＝1时，f (x )的最大值为1，即A＝1，x ＝2时，f (x )的最小值为12，即B ＝12，则A －B ＝1－12＝12.答案：A2．解析：因为f (x )＝－2x ＋1在[－2，2]是减函数，所以当x ＝2时，函数的最小值为－3，当x ＝－2时，函数的最大值为5.答案：B3．解析：因为f (x )＝x 2－ax ＋a 2图象的开口向上，对称轴为x ＝a 2，①当a 2≤12，即a ≤1时，此时函数取得最大值g (a )＝f (1)＝1－a2，②当a 2>12，即a >1时，此时函数取得最大值g (a )＝f (0)＝a2，故g (a 1－a2，a ≤1a >1，故当a ＝1时，g (a )取得最小值12.答案：B4．解析：因为函数y ＝f (x )在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，所以f (x )的最小值是f (－2)，又因为f (－4)＜f (6)，所以f (x )的最大值是f (6).答案：f (－2)f (6)5．解析：根据平均变化率的公式f （x ＋Δt ）－f （x ）Δx，则在时间(3，3＋Δt )内的平均速度为v －＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）3＋Δt －3＝6＋Δt ，当t ＝3时的瞬时速度为6.答案：6＋Δt66．解析：证明：设0≤x 1，x 2≤5，且x 1≠x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝3x 2＋2－3x 1＋2＝3（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2），所以Δf Δx ＝－3（x 1＋2）（x 2＋2），又由0≤x 1，x 2≤5，且x 1≠x 2，则x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，所以ΔfΔx<0，则函数y ＝3x ＋2在[0，5]上是减函数．关键能力综合练7．解析：由函数f (x )＝kx 2－4x ＋8在[5，10]上单调递减可知，当x ＝10时，函数有最小值，即100k －40＋8＝－32，解得k ＝0，当k ＝0时，f (x )＝－4x ＋8，函数单调递减，满足题意．答案：B8．解析：y ＝|x |的值域是[0，＋∞)；y ＝3－x 的值域是R ；y ＝x 2的值域是[0，＋∞)；y ＝－x 2＋4的值域是(－∞，4].答案：AC9．解析：A 中，f (x )是区间[a ，b ]上的减函数，在区间[a ，b ]上有最小值f (b )，A 错误；B 中，f (x )是区间[a ，b ]上的减函数，而函数1f （x ）在[a ，b ]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B 错误；C 中，f (x )是区间[a ，b ]上的减函数，f (x )－c 在区间[a ，b ]上也是减函数，其最小值为f (b )－c ，C 正确；D 中，f (x )是区间[a ，b ]上的减函数，且c ＜0，则cf (x )在区间[a ，b ]上是增函数，则在[a ，b ]上有最小值cf (a )，D 正确．答案：CD10．解析：Δy ＝12＋Δx －1－(－12)＝－Δx2（2＋Δx ），k AB ＝ΔyΔx ＝－12（2＋Δx ），当Δx ＝1时，k AB ＝－16.答案：－1611．解析：a ＜－x 2＋2x 恒成立，即a 小于函数f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0，2]的最小值，而f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0，2]的最小值为0，所以a ＜0.答案：(－∞，0)12．解析：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，2)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋4x 1)－(x 2＋4x 2)＝(x 1－x 2)＋(4x 1－4x 2)＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝(x 1－x 2)(1－4x 1x 2)，又0<x 1<x 2<2，所以x 1－x 2<0，0<x 1x 2<4，1－4x 1x 2<0，所以(x 1－x 2则f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，故函数f (x )＝x ＋4x在x ∈(0，2)上单调递减．(2)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2，由(1)可知，f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－4x 1x 2)<0，即f (x )在[2，＋∞)上单调递增，又f (x )在(0，2)上单调递减，其中f (12)＝172，f (2)＝4，f (4)＝5，所以f (x )在区间[12，4]上的值域为[4，172].核心素养升级练13．解析：由图象可知，高度与时间都是线性关系，所以排除C、D；当t ∈[0，t 1]时，高度匀速增长，当t ∈[t 1，t 2]时，高度也是匀速增长的，但t ∈[0，t 1]时的增长速率小于t ∈[t 1，t 2]时的增长速率，所以只有A 满足．答案：A14．解析：对任意a ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，设g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，即g (a )>0在a ∈[－1，1]上恒成立．g (a )在a ∈[－1，1]上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段，则只需线段的两个端点在x 轴上方，（－1）＝x 2－5x ＋6>0（1）＝x 2－3x ＋2>0，解得x >3或x <1.答案：B15．解析：∵函数图象的对称轴是x ＝a ，∴当a <2时，f (x )在[2，4]上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6－4a ，当a >4时，f (x )在[2，4]上是减函数，∴f (x )min ＝f (4)＝18－8a ，当2≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，设f (x )在[2，4]上的最小值为g (a )，∴g (a a ，a <2，a 2，2≤a ≤4，a ，a >4.。

【答案】 C5．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)【解析】 令f (x )＝－x 2＋2x ，则f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1.又∵x ∈[0,2]，∴f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝0.∴a <0.【答案】 C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1的值域为________． 【解析】 y ＝2x 2－2x ＋3x 2－x ＋1＝2＋1x 2－x ＋1. 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 所以2<2＋1x 2－x ＋1≤103.故值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103 7．函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ，x ≥1－x 2＋2，x <1的最大值为________．【解析】 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.【答案】 28．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值，则函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的最大值是________．【解析】 在同一坐标系中分别作出函数y ＝4x ＋1，y ＝x ＋4，y ＝－x ＋8的图象后，取位于下方的部分得函数f (x )＝min{4x ＋1，x ＋4，－x ＋8}的图象，如图所示，由图象可知，函数f (x )在x ＝2时取得最大值6.【答案】 6三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知函数f (x )＝|x |(x ＋1)，试画出函数f (x )的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值． 【解析】 f (x )＝|x |(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x ≤0x 2＋x ，x >0的图象如图所示．(1)f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0，＋∞) 上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数， 因此f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12，[0，＋∞)； 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 . (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14，f (12)＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34. 10．已知函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈[3,5]． (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．【解析】 (1)函数f (x )在[3,5]上是增加的，证明：设任意x 1，x 2，满足3≤x 1<x 2≤5.。