用空间向量证(解)立体几何题之——证明线面平行ppt 人教课标版

8.5.2 直线与平面平行
第八章 立体几何初步
考点
学习目标
核心素养
理解直线与平面平行的定义，会用图形
语言、文字语言、符号
直线与平面
直观想象、
语言准确描述直线与平面平行的判定
平行的判定
逻辑推理
定理，会用直线与平面平行的判定定理
证明一些空间线面位置关系
理解并能证明直线与平面平行的性质
直线与平面 定理，明确定理的条件，
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第八章 立体几何初步
1．如图，下列正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，若 M，N，P 分别为 其所在棱的中点，则不能得出 AB∥平面 MNP 的是( )
解析：选 C.在题图 A，B 中，易知 AB∥A1B1∥MN，MN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP；在图 D 中，易 知 AB∥PN，PN⊂平面 MNP，AB⊄平面 MNP，所以 AB∥平面 MNP.
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第八章 立体几何初步
1．已知 b 是平面 α 外的一条直线，下列条件中，可得出 b∥α 的 是( ) A．b 与 α 内的一条直线不相交 B．b 与 α 内的两条直线不相交 C．b 与 α 内的无数条直线不相交 D．b 与 α 内的所有直线不相交 解析：选 D.若 b 与 α 内的所有直线不相交，即 b 与 α 无公共点， 故 b∥α.
第八章 立体几何初步
(3)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直 线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方 法，体现了数学中的转化与化归的思想．
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第八章 立体几何初步
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面 平行．( × ) (2)若直线 l 上有两点到平面 α 的距离相等，则 l∥平面 α.( × ) (3)若直线 l 与平面 α 平行，则 l 与平面 α 内的任意一条直线平

答案：D
4．在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，与棱 BC 平行的棱共有________条．
答案：3 5．直线 a，b，c，d 满足 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的位置关系是________． 解析：∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由基本事实 4 可知 a∥d. 答案：平行
探究一 基本事实 4 [例 1] 空间四边形 ABCD 中，E，F，G，H 分别是边 AB，BC，CD，DA 的中点．求 证：四边形 EFGH 是平行四边形．
[典例] 如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形，BC∥AD 且 BC＝12AD，BE ∥FA 且 BE＝12FA，G，H 分别为 FA，FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？
[解析] (1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD， 可得 GH∥AD 且 GH＝12AD. 又 BC∥AD 且 BC＝12AD， ∴GH∥BC 且 GH＝BC，Hale Waihona Puke ∴四边形 BCHG 为平行四边形．
[自主检测] 1．下列结论正确的是( ) A．没有公共点的两条直线是平行直线 B．两条直线不相交就平行 C．两条直线有既不相交又不平行的情况 D．一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行 解析：A、B 均不正确，满足条件的两直线可能是异面直线；C 正确，既不相交，又 不平行，可能异面；D 不正确，如果这条直线与两条相交直线都平行，由平行公理， 两条相交直线就平行了． 答案：C
[提示] DC∥A′B′，这说明空间中的平行直线具有和平面内的平行直线类似的传 递性．
知识梳理 文字叙述：平行于同一条直线的两条直线 平行 ．
图形表示： 符号表示：直线 a，b，c，a∥b，b∥c⇒ a∥c . 作用：证明两直线平行．

（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
的夹角在什么范围内？
六、应用举例
例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A （1）线段 AB 的中点坐标和长度；
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
| AB | AB AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
是的，折枝的命运阻挡不了。人世一生，不堪论，年华将晚易失去，听几首歌，描几次眉，便老去。无论天空怎样阴霾，总会有几缕阳光，总会有几丝暗香，温暖着身心，滋养着心灵。就让旧年花落深掩岁月，把心事写就在素笺，红尘一梦云烟过，把眉间清愁交付给流年散去的烟山寒色，当冰雪消融，自然春暖花开，拈一朵花浅笑嫣然。
听这位老友，絮絮叨叨地讲述老旧的故事，试图找回曾经的踪迹，却渐渐明白了流年，懂得了时光。过去的沟沟坎坎，风风雨雨，也装饰了我的梦，也算是一段好词，一幅美卷，我愿意去追忆一些旧的时光，有清风，有流云，有朝露晚霞，我确定明亮的东西始终在。静静感念，不着一言，百转千回后心灵又被唤醒，于一寸笑意中悄然绽放。
回忆的老墙，偶尔依靠，黄花总开不败，所有囤积下来的风声雨声，天晴天阴，都是慈悲。时光不管走多远，不管有多老旧，含着眼泪，伴着迷茫，读了一页又一页，一直都在，轻轻一碰，就让内心温软。旧的时光被揉进了岁月的折皱里，藏在心灵的沟壑，直至韶华已远，才知道走过的路不能回头，错过的已不可挽留，与岁月反复交手，沧桑中变得更加坚强。

17
→
→
→
∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，
→ →→ 设PB＝sFE＋tFG， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，
∴tt＝ －2s＝，0， －t＝－2，
解得s＝t＝2。
→→→ ∴PB＝2FE＋2FG，
→→ 又∵FE与FG不共线，
→→→ ∴PB、FE与FG共面。 ∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG。
23
证明：(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)， 又 C(0,4,0)，D(2,0,2)，
→ ∴DE＝(－2,4,0)， → NC ＝(－2,4,0)，
→→ ∴DE＝NC。 ∴DE∥NC， 又NC⊂平面ABC内，DE⊄面ABC， 故DE∥平面ABC。
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(2)B1F⊥平面AEF。
→
→
→
→→
证明：(2) B1F ＝(－2,2，－4)， EF ＝(2，－2，－2)， AF ＝(2,2,0)， B1F ·EF ＝(－
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通关特训1 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直 角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点。求证：PB ∥平面EFG。
证明：∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形， ∴AB、AP、AD两两垂直，பைடு நூலகம்A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)、 B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、 G(1,2,0)。
取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝1，－a2，－a。 要使DP∥平面B1AE，只要n⊥D→P，有a2－az0＝0， 解得z0＝12。又DP⊄平面B1AE， ∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12。

②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－
3 5
v，
∴u∥v，∴α∥β.
③∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
∴u与v不共线，也不垂直，
∴α与β相交但不垂直．
(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，
∴u·a＝－6＋8－2＝0，
∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.
②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
b，∴a∥b，∴l1∥l2.
②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，
∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
③∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，
∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2相交或异面．
(2)①u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－12 ，
∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.
A．(2,3,1)
B．(1，－1,2)
C．(1,2,1)
D．(1,0,3)
解析：A→D＝xA→B＋yA→C＝(x＋y，x＋2y，x－y)， 对四个选项逐个检验，只有当(x＋y，x＋2y，x－y)＝
(1,0,3)时有解xy＝ ＝2－1 . 答案：D
1．注意用向量中的有关公式及变形，借助建立直角坐 标系将复杂的几何问题化为简单的代数问题．

解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�

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解析：要使 l∥α，则必须 a⊥n，故 a·n＝0，
经验算，仅选项 D 符合要求，故选 D.
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9
4.若 a＝(2,1，－ 3)，b＝(－1,5， 3)，则以 a，b 为邻边
的平行四边形的面积为
.
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10
解析：因为 a·b＝(2,1，－ 3)·(－1,5， 3)＝0， 所以 a⊥b，又|a|＝2 2，|a|＝ 29， 所以 a，b 为邻边的平行四边形的面积为 |a|·|b|＝2 2× 29＝2 58.

于是 MN ＝(21，0，21)， DA1 ＝(1,0,1)， DB1 ＝(1,1,0)．
设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)．
则 n DA1 ＝0，且 n DB1完＝整版0p，pt 可得xx＋＋zy＝＝00 .
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取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1， 所以 n＝(1，－1，－1)．
又 MN n ＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝0，
所以 MN ⊥n.
又因为 MN⊄平面 A1BD，所以 MN∥A1BD.
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【温馨提示】 用向量证明线面平行的方法有：(1)证明 该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线 的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．注：合理建立 坐标系能简化计算．
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19
【跟踪训练 1】 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2， E、F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
2
9
A.3
B.2
C．－29
D．－32
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6
解析：因为 a∥b，所以－13＝－λ32＝－25125，

于是������������ =
1 2
,0,
1 2
, ������������1=(1,0,1),������������=(1,1,0).
设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),
则
������·������������1 = 0, 得 ������·������������ = 0,
������ + ������ = 0, ������ + ������ = 0.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1如图所示,已知四边形ABCD是直角梯 形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,12试建立适当
的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量; (2)求平面SAB的一个法向量; (3)求平面SCD的一个法向量.
解以点 A 为原点,AD、AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D
明������������与平面 A1BD 中的������������1是共线向量;思路三:可通过平面 A1BD 的法向量来证明.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
证明方法一:∵������������
=
������1������
−
������1������
=
1 2
������������
−
1 2
������1������
12,0,0 ,S(0,0,1).
(1)∵SA⊥平面 ABCD, ∴������������=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量.

●
意一点P。
法向量：若 a ，则 a 叫做平面
的法向量。
平面
a
●

A
过点A，以 a 为法向量
的平面是完全确定的
二、线线、线面、面面间的位置关系与向 量运算的关系
设直线l，m的方向向量分别为 ，b， a 平面 ， ， 的法向量分别为 u v
探究1：平行关系

三、简单应用
设直线 l，m的方向向量分别 练习1： 为a ， b，根据下列条件判断 l，m的位置关系：
( 1 ) a ( 2 , 1 , 2 ), b ( 6 , 3 , 6 ) ( 2 ) a ( 1 , 2 , 2 ), b ( 2 , 3 , 2 ) ( 3 ) a ( 0 , 0 , 1 ), b ( 0 , 0 , 3 )
设平面 ， 的法向量分别 练习2： 为u ， ，根据下列条件判 v 断 ， 的位置关系：

( 1 ) u ( 2 , 2 , 5 ), v ( 6 , 4 , 4 ) ( 2 ) u ( 1 , 2 , 2 ), v ( 2 , 4 , 4 ) ( 3 ) u ( 2 , 3 , 5 ), v ( 3 , 1 , 4 )
线线平行 l //m a // b a b 线面平行 l // a u a u 0 面面平行 // u // v u v


设直线l，m的方向向量分别为 ， ， a b 平面 ， ， 的法向量分别为 u v
u


v
// u // v u v

l

历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
符号语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与
此平面相交，那么_该__直__线___与__交__线____平行 a∥α，___a_⊂_β_，__α__∩_β_＝__b__________ ⇒a∥b
图形语言
栏目 导引
■名师点拨
PPT教程： /powerpoint/
资料下载：www.1ppt.c om /zilia o/
个人简历：www.1ppt.c om /j ia nli/
试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
教案下载：www.1ppt.c om /j ia oa n/
手抄报：www.1ppt.c om /shouc ha oba o/
历史课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/lishi/
用该定理判断直线 a 和平面 α 平行时，必须同时具备三个条件：
(1)直线 a 在平面 α 外，即 a⊄α.
(2)直线 b 在平面 α 内，即 b⊂α.
(3)两直线 a，b 平行，即 a∥b.
栏目 导引
第八章 立体几何初步
2．直线与平面平行的性质定理
英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/
试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
教案下载：www.1ppt.c om /j ia oa n/
手抄报：www.1ppt.c om /shouc ha oba o/
P P T课件：www.1ppt.c om /ke j ia n/