模态分析算法原理与实例

5。

,模态分析方法模态分析作为动态分析的基础,是动态分析的重要内容。

模态分析是解决复杂结构振动问题的主要工具,它所寻求的最终目标在于改变机械结构系统。

由经验、类比和静态设计方法为动态、优化设计方法，它与有限元分析技术一起成为结构动力学的两大支柱。

通常把一个系统(振动结构）模型分成三种：（l)物理参数模型，即以质量、刚度、阻尼为特征参数的数学模型，这三种参数可完全确定一个振动系统。

(2)模态参数模型，以模态频率、模态矢量（振型)和衰减系数为特征参数的数学模型和以模态质量、模态刚度、模态阻尼、模态矢量（留数)组成的另一类模态参数模型，这两类模态参数都可以完整描述一个振动系统。

（3)非参数模型，频响函数或传递函数、脉冲响应函数是两种反映振动系统特性的非参数模型。

本文研究的模态分析是指以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

更确切地说,模态分析是研究系统物理参数模型、模态参数模型和非参数模型的关系，并通过一定手段确定这些系统模型的理论及其应用的一门学科。

根据研究模态分析的手段和方法不同，模态分析分为理论模态分析和实验模态分析，理论模态分析或称模态分析的理论过程,是指以线性振动理论为基础，研究激励、系统、响应三者的关系。

实验模态分析又称模态分析的实验过程，是理论模态分析的逆过程。

首先，实验测得激励和响应的时间历程,运用数字信号处理技术求得频响函数（传递函数)或脉冲响应函数，得到系统的非参数模型;其次,运用参数识别方法，求得系统模态参数;最后，如果有必要，进一步确定系统的物理参数。

因此，实验模态分析是综合运用线性振动理论、动态测试技术、数字信号处理技术和参数识别等手段,进行系统识别的过程。

计算模态分析实际上是一种理论建模过程，主要是运用有限元法对振动结构进行离散,建立系统特征值问题的数学模型,用各种近似方法求解系统特征值和特征矢量。

由于阻尼难以准确处理，因此通常均不考虑小阻尼系统的阻尼，解得的特征值和特征矢量即系统的固有频率和固有振型矢量(引用）。

模态分析方法与步骤模态分析方法与步骤一、模态分析包括下列6种方法：1.降阶法(reduced householder method)：该方法为一般结构最常用的方法之一。

其原理是在原结构中选取某些重要的节点为自由度，称为主自由度(master degree of freedom)，再用该主自由度来定义结构的质量矩阵及刚度矩阵并求出其频率及振动模态，进而将其结果扩展至全部结构。

在解题过程中该方法速度较快，但其答案较不准确。

主自由度的选择依照所探讨的模态、结构负载的情况而定：a. 主自由度的个数至少为所求频率个数的两倍。

b. 选择主自由度的方向为结构最可能振动的方向。

c. 主自由度节点位于较大质量或转动惯量处及刚性较低位置。

d. 如果弯曲模态为主要探讨模态，则可省略旋转自由度。

e. 主自由度的节点位于施力处或非零位移处。

f. 位移限制为零的位置不能选为主自由度节点，因为这种节点具有高刚性的特性。

可以用M命令来定义主自由度。

此外，也可由ANSYS自动选择自由度。

2. 次空间法(subspace method)：通常用于大型结构中，仅探讨前几个振动频率，所得到结果较准确，不需要定义主自由度，但需要较多的硬盘空间及CPU时间。

求取的振动模态数应该小于模型全部自由度的一半。

3. 非对称法(unsymmetrical method)：该方法用于质量矩阵或刚度矩阵为非对称时，例如转子系统。

其特征值(eigenvalue)为复数，实数部分为自然频率；虚数部分为系统的稳定度，正值表示不稳定，负值表示稳定。

4. 阻尼法(damped method)：该方法用于结构系统具有阻尼现象时，其特征值为复数，虚数部分为自然频率；实数部分为系统的稳定度，正值表示不稳定，负值表示稳定。

5. 区块法(block lanczos method)：该方法用于大型结构对称的质量及刚度矩阵，和次空间方法相似，但收敛性更快。

6. 快速动力法(power dynamics method)：该方法用于非常大的结构（自由度大于100,000）且仅需最小几个模态。

精选有限元分析模态分析讲义有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种工程分析方法，通过将连续体离散化为若干个有限单元，建立有限元模型，以求解结构的力学性能和振动特性。

模态分析是有限元分析的重要应用之一，主要用于研究和预测结构的固有频率、振型和模态势能的分布。

以下是一份精选的有限元分析模态分析讲义，包括了模态分析的基本原理、建立有限元模型的步骤和模态分析的结果解读。

一、模态分析的基本原理：1.结构固有频率的定义和意义；2.结构的振型和模态势能的物理意义；3.模态分析的数学模型和假设；4.模态方程的推导和求解方法；5.模态分析的应用示例。

二、建立有限元模型的步骤：1.结构的几何建模和网格划分；2.材料的力学性质和边界条件的定义；3.单元类型和单元参数的选择；4.单元刚度矩阵和质量矩阵的生成；5.结构的总刚度矩阵和总质量矩阵的组装；6.结构的边界约束处理；7.求解结构的固有频率和振型。

三、模态分析的结果解读：1.结构的固有频率和振型的意义及影响因素；2.模态势能的计算和分析；3.结构的频率响应和模态叠加法；4.模态分析结果的验证和灵敏度分析；5.模态分析在结构设计和优化中的应用。

此外，讲义还可以包括以下内容：1.不同类型结构的模态分析实例和案例分析；2.常见的模态分析方法和软件工具的介绍；3.模态分析结果的后处理和可视化方法；4.模态分析中的常见问题和解决方法；5.模态分析在结构健康监测和故障诊断中的应用。

总之，一份精选的有限元分析模态分析讲义应当全面介绍模态分析的基本原理和方法，包括模态分析的建模步骤和结果解读，同时提供实例和案例分析，为学习者提供理论基础和实践指导，使他们掌握有限元模态分析的基本原理和应用技能。

均匀直杆的子空间法模态分析1.模态分析的定义及其应用模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性(固有频率和振型)，即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。

同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。

ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。

前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。

ANSYS提供的模态提取方法有:子空间法(subspace)、分块法(block lancets),缩减法(reduced/householder)、动态提取法(power dynamics)、非对称法(unsymmetric),阻尼法(damped), QR阻尼法(QR damped)等，大多数分析都可使用子空间法、分块法、缩减法。

ANSYS的模态分析是线形分析，任何非线性特性，例如塑性、接触单元等，即使被定义了也将被忽略。

2.模态分析操作过程一个典型的模态分析过程主要包括建模、模态求解、扩展模态以及观察结果四个步骤。

(1).建模模态分析的建模过程与其他分析类型的建模过程是类似的，主要包括定义单元类型、单元实常数、材料性质、建立几何模型以及划分有限元网格等基本步骤。

(2).施加载荷和求解包括指定分析类型、指定分析选项、施加约束、设置载荷选项，并进行固有频率的求解等。

指定分析类型，Main Menu- Solution-Analysis Type-New Analysis,选择Modal。

指定分析选项，Main Menu-Solution-Analysis Type-Analysis Options，选择MODOPT(模态提取方法〕，设置模态提取数量MXPAND.定义主自由度，仅缩减法使用。

精心整理模态分析指的是以振动理论为基础、以模态参数为目标的分析方法。

首先建立结构的物理参数模型，即以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程；其次是研究其特征值问题，求得特征对（特征值和特征矢量），进而得到模态参数模型，即系统的模态频率、模态22¨330m 0z k 2k k z 000m 0k k z 0z +--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦（9） 定义主振型由于是无阻尼系统，因此系统守恒，系统存在振动主振型。

主振型意味着各物理坐标振动的相位角不是同相（相差0o ）就是反相位（相差180o ），即同时达到平衡位置和最大位置。

主振型定义如下：()i i j ωt+i i sin ωt+=Im(e )φφi mi mi z =z z （10）其中为第i 阶频率下，各自有度的位移矢量，为第i 个特征矢量，表示第i 阶固有频率下的振型，i ω为第i 阶频率下的第i 个特征值，i φ为（去除项化简得以矩阵的形式展开得：2i 2i mi 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k z =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（15）有非零解，则2i 2i 2i k-ωm -k 0-k 2k-ωm -k =00-k k-ωm ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（16）即()234222ω-m ω+4km ω-3k m =0（17）阶固有频率，每一个特征根对应一个特征矢量，表示对应模态下该由式3i i 21=z k 如果设定了1z 值，则就可以求出三个特征根值下，2z 和3z 相对于1z 的位移。

假设m=k=1， 一阶模态，1ω=0：21z =1z ，31z =1z ，即；二阶模态，223kω=m ：21z=0z，31z=-1z，即；三阶模态，23kω=m ：21z=-2z，31z=1z，即。

运动方程的解耦图错误！未指定顺序。

运动方程解耦过程在进行坐标变换之前需对刚度矩阵和质量矩阵进行归一化。

模态叠加法算法理论及其编程实现模态叠加法（Modal Superposition Method）是一种广泛应用于结构动力学计算中的数值分析方法，用于求解结构物的自由振动和响应。

该方法基于弹性力学原理，将结构物的振动模态进行叠加求解，得到结构物的整体振动响应。

模态叠加法的理论基础是振动理论和线性时变系统的特性。

在模态叠加法中，首先需要进行模态分析，即求解结构物的固有振动模态。

固有振动模态是结构物在无外界扰动的情况下自发振动的模式，可以通过有限元方法等手段进行求解。

固有振动模态是结构物的基础振动形态，通过线性组合这些基础振动形态，可以得到任意时刻结构物的振动情况。

在模态叠加法中，结构物的振动可以表示为各个模态振动的叠加。

每个模态表示一个固有振动模态，由振形函数和频率确定。

假设有n个模态，则结构物的振动响应可以表示为：\[u(t)=\sum_{i=1}^{n} A_{i}\sin(\omega_{i}t+\phi_{i})\]其中，A_i为振幅，\omega_i为频率，\phi_i为初始相位。

模态叠加法的关键是确定各个模态的振幅和初始相位。

确定各个模态的振幅和初始相位可以通过结构物的初始条件和激励情况来确定。

当结构物受到初始条件的影响时，振动模态的振幅和初始相位可以由初始条件确定。

当结构物受到外界激励时，振动模态的振幅和初始相位可以由结构物的动态响应计算得到。

根据叠加原理，结构物的振动响应可以表示为各个模态响应的叠加。

通过求解每个模态的振动响应，再进行叠加，可以得到结构物的整体振动响应。

在进行模态叠加法的编程实现时，一般可以采用以下步骤：1.进行结构物的模态分析，求解固有振动模态。

2.根据激励情况和初始条件，确定各个模态的振幅和初始相位。

3.对每个模态进行振动响应分析，求解振动模态的振动响应。

4.将各个模态的振动响应进行叠加，得到结构物的整体振动响应。

在实际编程实现中，可以利用数值计算软件或编程语言来实现模态叠加法。

模态分析基本原理
模态分析是一种用于研究系统的行为和性能的方法。

它可以帮助我们理解系统在不同条件下的行为和响应。

模态分析的基本原理是通过建立数学模型来描述系统的动力学特性。

这个模型通常由一组微分方程组成，描述了系统各个部分之间的相互作用和能量传递。

通过分析这些微分方程的解，可以得到系统的稳态和暂态响应。

为了进行模态分析，首先需要确定系统的状态空间。

状态空间是描述系统状态的一组变量，这些变量可以是位置、速度、加速度等。

状态空间的选择取决于具体问题的需求。

在模态分析过程中，还需要确定系统的边界条件和初始条件。

边界条件描述了系统与外界之间的交互，而初始条件描述了系统在初始时刻的状态。

模态分析通过研究系统的特征方程和特征根来揭示系统的行为模式。

特征方程是通过将系统的微分方程转化为代数方程得到的，而特征根是特征方程的解。

特征根的实部和虚部可以提供关于系统的稳定性和振荡特性的信息。

通过分析特征根，可以确定系统的模态响应。

模态响应描述了系统在不同特征根下的行为，包括稳定性、发散性和振荡性等。

模态分析可以应用于很多领域，包括机械工程、电气工程、控制系统等。

它可以帮助工程师设计和优化系统，提高系统的性
能和可靠性。

总之，模态分析是一种基于数学模型的方法，通过研究系统的行为特性和相互关系来理解和优化系统的性能。

有限元分析—模态分析有限元分析是一种结构力学领域的分析方法，可以对结构进行数值求解，以获得其固有频率和振型。

模态分析是其中的一种应用，用于研究结构在固有频率下的振动情况。

本文将介绍有限元分析的基本原理、模态分析的步骤和应用，并讨论其在实际工程中的重要性。

有限元分析是一种利用数值方法对结构进行力学分析的技术。

它将结构离散化为有限数量的单元，通过单元之间的相互作用来模拟整个结构的力学行为。

在进行模态分析时，通常采用线性弹性模型，即假设结构在固有频率下是线性弹性振动的。

模态分析的主要目标是确定结构的固有频率和振型。

固有频率是结构自由振动的频率，与结构的几何形状、材料性质和边界条件等相关。

振型则描述了结构在不同频率下的振动模式。

通过模态分析，可以了解结构在特定频率下的振动情况，为结构设计和改进提供依据。

模态分析的步骤主要包括：建模、网格划分、边界条件的定义、求解和结果分析。

建模是指将实际结构抽象为数学模型，在计算机上进行仿真。

网格划分是将结构划分为有限数量的单元，以便进行数值求解。

边界条件的定义是指确定结构的受力和支撑情况，包括约束、荷载等。

求解是指通过数值计算方法求解结构的固有频率和振型。

结果分析是对求解结果进行解释和评价，了解结构的振动特性。

模态分析在工程中具有广泛的应用。

首先，它可以用于优化结构设计。

通过模态分析，可以评估结构在不同固有频率下的振动情况，从而优化结构的设计参数，使其在工作频率下保持稳定。

其次，模态分析可以用于故障诊断。

结构的振动特性在受到损伤或故障时会发生变化，通过模态分析可以检测出这些变化，从而确定结构的健康状况。

最后，模态分析还可以用于结构改进。

通过分析结构的振动模式，可以确定结构的薄弱部位，从而采取相应的改进措施，提高结构的性能。

在实际工程中，模态分析具有重要的应用价值。

例如，在航空航天领域，模态分析可用于研究航空器的振动特性，以评估其结构的可靠性和安全性。

在建筑领域，模态分析可用于评估建筑物的地震响应性能，从而确保其在地震中的安全性。

桥梁结构动态评估的模态分析法文献综述郑大青一、模态分析在桥梁健康监测中的意义；二、模态分析的基本原理及分类；三、模态参数识别研究现状分析；四、模态分析损伤识别现状分析；五、目前模态分析在桥梁监测中存在的问题和不足。

一、模态分析在桥梁健康监测中的意义：桥梁是国家基础设施的重要组成部分，关系到人们的生命和财产安全。

因此，对桥梁进行监测并确定其结构健康状况具有重要的经济和社会意义。

传统的桥梁结构健康监测主要依靠无损检测技术或人工经验对某个特定的结构部件进行检测、查找，判断是否有损伤及损伤的程度，或者测量与桥梁结构性能相关的参数，比如变形、挠度、应变、裂缝等等，通过对这些参数分析，进而判定桥梁结构健康状况。

在应用上面这些方法时存在一些缺陷，如测量之前需知道损伤的大体范围，或者被检测的结构部分是仪器可接近的；在对大跨度桥梁等体量大、构件多的结构监测时，存在不能测量桥梁内部等隐蔽部分、测量工作量大、工作效率相对较低、不能获取桥梁整体信息等不足。

为此，一些专家学者提出了基于模态分析的桥梁健康监测方法，如图1。

此方法将结构动力学领域中的模态分析技术应用到桥梁健康监测中来，以多学科交叉研究为基础的，通过测试桥梁整个结构在外载作用下的响应来分析结构的固有频率、阻尼和模态振型等动力特性，进而诊断结构损伤位置和程度。

因此，模态参数识别和之后的模态分析损伤识别是整个健康监测中2个重要的组成部分。

图1 模态分析健康监测流程图测量桥梁结构激励、响应等信息 进行桥梁模态参数识别（固有频率、阻尼和模态振型等） 用模态分析损伤识别法进行安全评估模态分析监测方法克服了传统监测法存在的一些缺点，它不受结构规模和隐蔽的限制；具有多学科交叉优势，能对结构全局进行检测，从而能够评价桥梁结构的整体健康状态。

近年来，该方法发展迅速，日趋成熟。

事实上，它已经成为桥梁结构在线健康监测的核心技术之一。

因此，模态分析对桥梁健康监测具有重要意义。

二、模态分析的基本原理及分类：由振动理论知：一个线性振动系统，当它按自身某一阶固有频率作自由谐振时，整个系统将具有确定的振动形态（简称振型或模态）。

均匀直杆的子空间法模态分析欧阳歌谷（2021.02.01）1.模态分析的定义及其应用模态分析用于确定设计结构或机器部件的振动特性(固有频率和振型)，即结构的固有频率和振型，它们是承受动态载荷结构设计中的重要参数。

同时，也可以作为其它动力学分析问题的起点，例如瞬态动力学分析、谐响应分析和谱分析，其中模态分析也是进行谱分析或模态叠加法谐响应分析或瞬态动力学分析所必需的前期分析过程。

ANSYS的模态分析可以对有预应力的结构进行模态分析和循环对称结构模态分析。

前者有旋转的涡轮叶片等的模态分析，后者则允许在建立一部分循环对称结构的模型来完成对整个结构的模态分析。

ANSYS提供的模态提取方法有:子空间法(subspace)、分块法(block lancets),缩减法(reduced/householder)、动态提取法(power dynamics)、非对称法(unsymmetric),阻尼法(damped), QR阻尼法(QR damped)等，大多数分析都可使用子空间法、分块法、缩减法。

ANSYS的模态分析是线形分析，任何非线性特性，例如塑性、接触单元等，即使被定义了也将被忽略。

2.模态分析操作过程一个典型的模态分析过程主要包括建模、模态求解、扩展模态以及观察结果四个步骤。

(1).建模模态分析的建模过程与其他分析类型的建模过程是类似的，主要包括定义单元类型、单元实常数、材料性质、建立几何模型以及划分有限元网格等基本步骤。

(2).施加载荷和求解包括指定分析类型、指定分析选项、施加约束、设置载荷选项，并进行固有频率的求解等。

指定分析类型，Main Menu- Solution-Analysis Type-New Analysis,选择Modal。

指定分析选项，Main Menu-Solution-Analysis Type-Analysis Options，选择MODOPT(模态提取方法〕，设置模态提取数量MXPAND.定义主自由度，仅缩减法使用。