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有限元分析例子 (3)

有限元分析例子 (3)

1.练习题目内容【2以后为逐步落实练习的过程或结果，正反面为一个练习】问题：对带有圆孔、齿边后中间薄的齿轮，进行离心力分析。

标准齿轮，最大转速为62.8rad/s，计算其应力分布。

齿顶直径：24齿底直径：20齿数：10弹性模量：2.06e11密度：7.8e32.用anasys对上述问题进行建模求解。

我采用的是命令流方式，先把anasys命令输入记事本文件exercise-3commd并保存，之后用anasys调用。

调用操作:Utility Menu:file>read input from保存在记事本文件exercise-3commd中的命令流见本题最后（即4）。

有限元模型如下图：3. 求解结果如下：（1）径向变形云图：（2）径向应力云图：4. 记事本文件exercise-3commd中的anasys命令流如下/TITLE,static analysis of a gear/PREP7ET,1,SOLID185MPTEMP,,,,,,,,MPTEMP,1,0MPDATA,EX,1,,2.06e11MPDATA,PRXY,1,,0.3MPTEMP,,,,,,,,MPTEMP,1,0MPDATA,DENS,1,,7.8e3CSYS,1K,1,20,0,,K,110,16,40,,KWPAVE, 110wprot,-50,0,0CSYS,4K,2,12.838,0,,CSYS,1K,120,16,43,,K,130,16,46,,K,140,16,49,,K,150,16,52,,K,160,16,55,,KWPAVE, 120wprot,3,0,0CSYS,4K,3,13.676,0,,KWPAVE, 130 wprot,3,0,0CSYS,4K,4,14.513,0,, KWPAVE, 140 wprot,3,0,0CSYS,4K,5,15.351,0,, KWPAVE, 150 wprot,3,0,0CSYS,4K,6,16.189,0,, KWPAVE, 160 wprot,3,0,0CSYS,4K,7,17.027,0,,CSYS,1K,8,24,9.857,,K,9,24,13,,K,10,20,-5,,LSTR, 10, 1 LSTR, 1, 2 LSTR, 2, 3 LSTR, 3, 4 LSTR, 4, 5 LSTR, 5, 6 LSTR, 6, 7 LSTR, 7, 8 LSTR, 8, 9 FLST,2,9,4,ORDE,2 FITEM,2,1FITEM,2,-9LCOMB,P51X, ,0 CSYS,0WPAVE,0,0,0CSYS,1WPCSYS,-1,0wprot,13,0,0CSYS,4FLST,3,1,4,ORDE,1 FITEM,3,1LSYMM,Y,P51X, , ,1000,0,0 K,100,0,0,,LSTR, 100, 10LPLOTFLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,3 FITEM,2,-4 LGLUE,P51X FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 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/REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/PNUM,KP,0/PNUM,LINE,0 /PNUM,AREA,1 /PNUM,VOLU,0 /PNUM,NODE,0 /PNUM,TABN,0 /PNUM,SVAL,0 /NUMBER,0!*/PNUM,ELEM,0 /REPLOT!*/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,ZS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,ZS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/VIEW,1,1,1,1 /ANG,1/REP,FAST/ANG,1,-30,YS,1 /REP,FAST/ANG,1,30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,30,XS,1 /REP,FAST/ANG,1,-30,XS,1 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/REP,FAST/DIST,1,1.08222638492,1 /REP,FAST/DIST,1,1.08222638492,1 /REP,FAST/DIST,1,1.08222638492,1 /REP,FAST/DIST,1,1.08222638492,1 /REP,FAST/DIST,1,0.924021086472,1/REP,FAST/DIST,1,0.924021086472,1/REP,FAST/DIST,1,0.924021086472,1/REP,FAST/DIST,1,0.924021086472,1/REP,FAST/DIST,1,0.924021086472,1/REP,FAST/DIST,1,0.924021086472,1/REP,FAST/DIST,1,1.08222638492,1/REP,FAST/DIST,1,1.08222638492,1/REP,FASTLOCAL,11,1,0,0,0,-5, , ,1,1,CSYS,11,/EXPAND,10,LPOLAR,HALF,,36,, ,RECT,FULL,,,, ,RECT,FULL,,,, /REPLOTFINISH。

有限元法介绍

有限元法介绍

通俗地说，有限元法就是一种计算机模拟技术，使人们能够在计算机上用软件模拟一个工程问题的发生过程而无需把东西真的做出来。

这项技术带来的好处就是，在图纸设计阶段就能够让人们在计算机上观察到设计出的产品将来在使用中可能会出现什么问题，不用把样机做出来在实验中检验会出现什么问题，可以有效降低产品开发的成本，缩短产品设计的周期。

有限元法也叫有限单元法（finite element m ethod, FEM），是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。

五十年代初，它首先应用于连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中，用以求得结构的变形、应力、固有频率以及振型。

由于这种方法的有效性，有限单元法的应用已从线性问题扩展到非线性问题，分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料，从连续体扩展到非连续体。

有限元法最初的思想是把一个大的结构划分为有限个称为单元的小区域，在每一个小区域里，假定结构的变形和应力都是简单的，小区域内的变形和应力都容易通过计算机求解出来，进而可以获得整个结构的变形和应力。

事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。

理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。

为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。

有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。

大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。

有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。

有限元分析实例范文

有限元分析实例范文

有限元分析实例范文假设我们正在设计一个桥梁结构，希望通过有限元分析来评估其受力情况和设计是否合理。

首先，我们需要将桥梁结构进行离散化，将其分为许多小的有限元单元。

每个有限元单元具有一定的材料性质和几何形状。

接下来，我们需要确定边界条件和加载条件。

例如，我们可以在桥梁两端设置固定边界条件，然后通过加载条件模拟车辆的载荷。

边界条件和加载条件的选择需要根据实际情况和设计要求来确定。

然后，我们需要选择适当的有限元模型和材料模型。

有限元模型选择的好坏将直接影响分析结果的准确性。

材料模型需要根据材料的弹性和塑性性质来选择合适的模型。

接下来，我们可以使用有限元软件将桥梁结构的离散化模型输入计算。

有限元软件将自动求解结构的受力平衡方程，并得出结构的应力和位移分布。

通过分析这些结果，我们可以评估桥梁结构的强度、刚度和稳定性等性能。

最后，根据有限元分析结果进行设计优化。

如果发现一些部分的应力过大，我们可以对设计进行调整，例如增加材料厚度或增加结构的增强筋。

通过不断优化设计，我们可以得到一个满足强度和刚度要求的桥梁结构。

需要注意的是，有限元分析只是工程设计中的一个工具，分析结果需要结合实际情况和工程经验来进行判断。

有限元分析的准确性也取决于离散化的精度、边界条件和材料模型等的选择。

总之，有限元分析是一种重要的工程分析方法，可以用于评估结构的受力情况和设计是否合理。

通过有限元分析，我们可以优化结构的设计，提高结构的性能和安全性。

希望以上例子对你对有限元分析有所了解。

有限元分析在飞机翼型设计中的应用研究

有限元分析在飞机翼型设计中的应用研究

有限元分析在飞机翼型设计中的应用研究随着航空工业的不断发展，飞机翼型设计逐渐成为了飞机设计当中的重要一环。

为了保障飞机的安全与性能，必须对翼型进行细致、科学的研究。

而有限元分析技术则是飞机翼型设计中的一项重要工具。

在此，我们将通过本文来探讨有限元分析在飞机翼型设计中的应用研究。

一、有限元分析技术简介有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是一种数值计算方法，用于计算并预测在实际工作环境中，机械零件或结构在各种负载下的性能。

它可以把一个复杂的结构破解成若干个互相连接的小结构（称为有限元），分别求解，最后再综合起来得到大结构的行为及性能特点。

它是目前常见的结构分析及设计最精确、最可靠的方法之一。

二、在飞机翼型设计中的应用在飞机翼型设计中，有限元分析可以应用在材料力学性能、载荷仿真、疲劳分析等方面，从而为设计和制造提供高精度的仿真模型。

1. 材料力学性能有限元分析可以用于飞机翼型材料的应力分析。

通过建模，可以计算出材料在不同环境下的应力、位移、应变等力学性能，以及对不同载荷的响应模式。

这有助于设计师了解不同材料在不同条件下的特性，从而做出最优的材料选择。

2. 载荷仿真有限元分析也可以在飞行时模拟翼型在各种负载下的性能。

通过设定不同负载情况，可以模拟出翼型在空气动力学、气动噪声、风险因素等方面的响应情况。

这对于预测飞机在不同负载条件下的稳定性、操作性、噪音等性能非常重要。

3. 疲劳分析在长时间的运行中，翼型及其组成部件承受的疲劳载荷是一个很重要的问题。

有限元分析可以在此方面提供可靠的仿真模拟。

通过模拟在实际使用中的负载情况，可以预测疲劳寿命，识别疲劳裂纹及损伤，并推导出最优的维护保养计划，从而使翼型的使用寿命得到最大化的延长。

三、应用案例有限元分析技术在飞机翼型设计中得到了广泛应用。

举个例子，美国肯尼迪航天中心研究员Glen Hinchcliffe曾经使用有限元分析技术，对747-400飞机的翼型进行仿真模拟，从而模拟不同地点的水平风和垂直风的影响，以确保在最极端的环境下翼型的可靠性。

有限元例子-简支梁受均布荷载

有限元例子-简支梁受均布荷载

例1 简支梁受均布荷载计算简图：图1-(a)所示一简支梁，高3 m，长18 m，承受均布荷载10 N/m2，E=2×1010Pa ,μ= 0. 167，取t=1 m,作为平面应力问题。

由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图1-(b)所示，而在y轴上的各结点处布置水平连杆支座。

图1 计算简图图2 计算剖分图数据整理1、节点坐标文件91 551 0.750 0.5002 1.500 0.5003 2.250 0.5004 3.000 0.5005 3.750 0.5006 4.500 0.5007 5.250 0.5009 6.750 0.50010 7.500 0.50011 8.250 0.50012 0.750 1.00013 1.500 1.00014 2.250 1.00015 3.000 1.00016 3.750 1.00017 4.500 1.00018 5.250 1.00019 6.000 1.00020 6.750 1.00021 7.500 1.00022 8.250 1.00023 0.750 1.50024 1.500 1.50025 2.250 1.50026 3.000 1.50027 3.750 1.50028 4.500 1.50029 5.250 1.50030 6.000 1.50031 6.750 1.50032 7.500 1.50033 8.250 1.50034 0.750 2.00035 1.500 2.00036 2.250 2.00037 3.000 2.00038 3.750 2.00039 4.500 2.00040 5.250 2.00041 6.000 2.00042 6.750 2.00043 7.500 2.00044 8.250 2.00045 0.750 2.50046 1.500 2.50047 2.250 2.50048 3.000 2.50049 3.750 2.50050 4.500 2.50051 5.250 2.50053 6.750 2.50054 7.500 2.50055 8.250 2.50056 9.000 3.00057 8.250 3.00058 7.500 3.00059 6.750 3.00060 6.000 3.00061 5.250 3.00062 4.500 3.00063 3.750 3.00064 3.000 3.00065 2.250 3.00066 1.500 3.00067 0.750 3.00068 0.000 3.00069 0.000 2.50070 0.000 2.00071 0.000 1.50072 0.000 1.00073 0.000 0.50074 0.000 0.00075 0.750 0.00076 1.500 0.00077 2.250 0.00078 3.000 0.00079 3.750 0.00080 4.500 0.00081 5.250 0.00082 6.000 0.00083 6.750 0.00084 7.500 0.00085 8.250 0.00086 9.000 0.00087 9.000 0.50088 9.000 1.00089 9.000 1.50090 9.000 2.00091 9.000 2.500该文件第1行第1个数据为节点数91，第2个数据为内部节点数55。

有限元分析及应用例子FEM14

有限元分析及应用例子FEM14

有限元分析及应用例子FEM14有限元分析及应用例子FEM14有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）是一种数值计算的方法，用于求解工程结构中的各种物理问题。

它将结构分割成有限个小单元，通过计算每个单元的行为来推断整体结构的行为。

下面将介绍有限元分析的原理，并举例说明其在实际应用中的使用情况。

有限元分析的原理是将复杂的结构问题转化为一系列简单的数学模型，通过数学方法求解这些模型的行为来预测整体结构的行为。

具体而言，有限元分析的步骤包括对结构进行离散化、建立有限元模型、确定边界条件、计算求解和分析结果。

举例来说，假设我们希望研究一根悬臂梁的变形和应力分布。

首先，我们将梁划分成若干个小单元，如梁单元。

然后，我们需要为每个单元定义适当的数学模型来描述其行为。

对于梁单元而言，可以使用简化的梁理论或柔性梁解来建立数学模型。

接下来，我们需要确定边界条件，如悬臂梁的杆端固定，另一端加载一定的力。

然后，通过求解各个单元的行为，并结合边界条件，我们可以计算整个梁的变形和应力分布。

最后，我们可以根据求解结果，分析梁的承载能力，优化设计以及进行结构改进。

1.结构力学：有限元分析可用于预测建筑物、桥梁、飞机和汽车等结构的应力分布和变形情况，以评估结构的安全性和稳定性。

例如，可以通过有限元模拟来确定一个钢梁在承受一定荷载后的变形和应力情况，以保证其设计的合理性。

2.流体力学：有限元分析可以用于模拟流体在管道、容器或其他结构中的流动情况。

例如，可以通过有限元分析预测液体或气体在流体力学系统中的流动速度和压力分布，并优化系统设计。

3.热传导：有限元分析可以用于计算热传导过程中的温度分布和热流情况。

例如，可以通过有限元分析来优化热交换器的设计，以提高传热效率。

4.振动分析：有限元分析可以用于模拟结构在受到激励时的振动情况。

例如，可以通过有限元分析来研究机械系统中的固有频率和模态形状，以减少振动和噪声。

ABAQUS有限元分析实例——非线性斜板

Abaqus有限元分析实例--- 非线性斜板这个例子如图8-11所示。

已经应用ABAQUS/Standard模拟了板的线性响应，现在你将应用ABAQUS/Standard对它进行重新分析，包含几何非线性的影响。

从线性模拟的结果表明对于此问题非线性的效应可能是重要的，由此次分析的结果，你将判断这个结论是否正确。

如果你愿意，可以根据本例题后而的指导，应用ABAQUS/Explicit将模拟扩展到动态分析。

在本手册的在线文档第A.6节“Norlincar skew plate"提供了输入文件。

当通过ABAQUS/CAE 运行这个输入文件时，将创建关于该问题的完整的分析模型。

根据下而给岀的指导如果你遇到困难，或者如果你希望检查你的工作，则可以运行这个输入文件。

在附录A "Example Files"中，给出了如何提取和运行输入文件的指导。

如果你没有进入ABAQUS/CAE或者其它的前处理器，可以人工创建关于这个问题的输入文件，关于这方而的讨论，见Getting Started with ABAQUS/Standard： Keywords Version, 第7.4 iT “Example： norlincar skew plate"。

8.4.1修改模型打开模型数据库文件SkewPlate.cae,从主菜单栏中，选择Model->Copy Model->Linear,将名字为Linear的模型复制成名字为Nonlinear的模型。

对于非线性斜板模型，你将考虑包含几何非线性效应和改变输出要求。

定义分析步进入分析步Step模块，从主菜单栏中，选择Step-->Edit->Apply Pressure来编辑分析步定义。

在Edit Step对话框的Basic页中,选中NIgeom (注：几何非线性的缩写)以考虑几何非线性的效应，并设垃分析步的时间周期为1.0。

ABAQUS有限元分析实例详解 3PPT课件


L
F2EA(U2U1) L
11
既
F F1 2 E LA1 , 1,1 1 U U1 2
FKU
[K]单元刚度阵，{F}载荷，{U}位移向量
每一种类型单元都有自己的单元刚度 矩阵，对于复杂的单元是基于能量原理 来确定的。
12
3）总刚度矩阵 结构有限元是用有限个基本单元来
逼近结构模型，把有限个基本单元的单 元刚度矩阵组装到一起，形成总刚度矩 阵。
四或八节点四边形板元 CQUAD4、CQUAD8 四节点剪力板元 CSHEAR
21
体单元 六面体单元 CHEXA 五面体单元 CPENTA 四面体单元 CTETRA
约束元（刚体元 RBE2） 其它单元 质量元 CONM2
22
2、输入文件结构 执行控制（求解类型、允许时间、系统 诊断） 情况控制（输出请求、选择模型数据集） 数据：节点、单元（结构模型定义）、 几何和材料性质、载荷、约束（求解条 件参数)
一、简介
一般来说工程分析可分为两大类： 数值法
（有限元法是数值法的一种）
1
经典法：
经典法直接采用控制微分方程来求 解场问题，其方法是基于物理原理而建 立的。闭合性的精确解仅对于几何、载 荷与边界条件最简单的情况才有可能得 到。精确解离大多数实际工程问题较远。 经典法可以验证数值解的解题精度。
2
AP1_2000计算结果与理论解对比
\\ 执行控制\\
TITLE=FIXED PLATE DISP=ALL STRESS=ALL SPC=1 LOAD=1
\\4种控制\\
25
BEGIN BULK
\\数据集\\
GRID 1 0 0. 0. 0.
GRID 2 0 2. 0. 0.

abaqus有限元建模小例子

问题一：工字梁弯曲1.1问题描述：在＜＜材料力学实验＞＞中，弯曲实验測定了工字梁弯曲应变大小及其分布，以验证弯曲正应力公式。

在这里，採用ABAQUS/CAE建立试验件的有限元模型,ABAQUS/Standard模块进行分析求解，得到应力、应变分布，对比其与理论公式计算值及实验測量值的差別。

弯曲实验的相关数据：材料：铝合金E=70GPa泊松比0.3实验装置结构简图如图所示：结构尺寸测量值：H=50 ( +/-0.5mm)h=46(+/-0.5mm) B=40 ( +/-0.5mm) b=2(+/-0.02mm)a=300(+/-1mm)F仁30N Fmax=300N F =100N1.2 ABAQUS有限元建模及分析一对象：工字型截面铝合金梁梁的结构简图如图1所示，結构尺寸、载荷、約束根据 1.1设定，L取1600mm，两端各伸出100mm。

二用ABAQUS/CAE建立实验件的有限元模型，效果图如下：边界条件简化：左侧固定铰支座简化为下表面左参考点处的约束5= U2=U3=0右侧活动铰支座简化为下表面右参考点处的约束5= U2=UR3=0几何模型V 有限元模型Y2丄三ABAQUS 有限元分析結果①应力云图（Z 方向正应力分量）：施加载荷前VM-： M>'L- XI .■WWCiA"lr A Ji Ui7U^-> l-AXU Mil ：UMI4 M3 W£,W>SH3ta.LJ-mE佔 口3「一血IQ J tki aa iK* ■沁 器悴空 i /協F±qSt ・u %ic>: - 3U1TCF=300N5 ► sc②应变（Z方向分量）：中间竖直平面的厚度方向应变分布图:ILitJ.JX3L*riL T9i- ■¥»■(/ F=200NTiu«$ 呷p?lli由上图可以看出应变沿着厚度方向呈线性比例趋势变化，与实验测得的应变值变化趋势相同。

有限元平面问题三角形实例

有限元平面问题三角形实例有限元法是一种常用的计算方法，可以用来解决各种工程问题。

其中，有限元平面问题是有限元法的一种应用，常用于分析三角形结构。

在有限元平面问题中，我们通常会将结构划分成许多小的单元，每个单元由节点和单元刚度矩阵组成。

而三角形结构则是有限元平面问题中常用的一种单元形状。

三角形结构的特点是简单而且易于处理，因此广泛应用于各种领域，如土木工程、机械工程、航空航天等。

下面我们就以一个实际的例子来说明如何应用有限元平面问题分析三角形结构。

假设我们要分析一个三角形钢板在受力作用下的变形情况。

首先，我们需要将钢板划分为许多小的三角形单元。

每个单元由三个节点组成，节点之间通过边连接。

在有限元分析中，我们需要对每个单元进行网格划分，并确定节点的坐标和边的长度。

然后，通过求解节点的位移和应力分布，可以得到钢板在受力作用下的变形情况。

具体来说，我们可以通过求解线性方程组来得到节点的位移。

而节点的应力则可以通过应变-位移关系来计算。

通过这种方式，我们可以得到钢板在受力作用下各个节点的位移和应力分布情况。

有限元平面问题的分析结果可以帮助我们了解结构的强度和刚度情况，为设计和优化提供依据。

例如，在钢板的设计中，我们可以通过有限元分析来确定合适的材料和尺寸，以满足结构的强度和刚度要求。

除了钢板，有限元平面问题还可以应用于其他类型的三角形结构。

例如，在土木工程中，我们可以使用有限元分析来分析三角形桥梁或者三角形支撑结构的变形和应力分布情况。

有限元平面问题是一种常用的分析方法，可以应用于各种三角形结构的分析。

通过对节点的位移和应力分布的求解，我们可以得到结构在受力作用下的变形情况。

这对于工程设计和优化至关重要，可以帮助我们提高结构的强度和刚度，确保其安全可靠。

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{cosh[am (a−|
y0
−
y|)]
+ cosh[αm (α − ( y0 + y))]}
非稳定流解为：
∑ H ( x ,
y,t)
=
H(x,
y,∞)
+
2Q a2T
∞ m=1
exp(−Tam2 t
a
2 m
/
S )σ(am ,
x,
x0 )
∑ ∑ +
4Q a2T
∞ m=1
∞ n=1
exp ( − Trm2,n t rm2,n
图 1 计算简图
图 2 计算剖分图
计算结果文件 NODE NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
WX -0.566702E-08 -0.113487E-07 -0.168416E-07 -0.220905E-07 -0.270217E-07 -0.315560E-07 -0.356141E-07 -0.391179E-07 -0.419879E-07 -0.441365E-07 -0.455015E-07 -0.274740E-08 -0.557603E-08 -0.834469E-08 -0.109851E-07 -0.134591E-07 -0.157275E-07 -0.177441E-07 -0.194496E-07 -0.207653E-07 -0.216040E-07 -0.219679E-07
性较弱，K2 = 1m / d 。从平面上来看，含水系统为一正方形，和前述二维承压地下水水流模型算例相同(见图 2.6-1)，边长ａ为 1200m，
东、西部边界 BC 和 AD 为两条水头均为 H1的河流，切割三个含水层，南，北部边界 AB 和 CD 为不透水边界，在含水层的中心有一
抽水井，并且只从上层抽水。含水层剖面结构如图 2，含水系统的上、下均为不透水层。定解问题描述如下:
1)．二维承压地下水水流模型算例
假设承压含水层区域是一边长为 a 的正方形，东西边界为定水头边界，水头为 H1，南北边界为隔水边界，区域中心有一抽水井以
流量 Q 抽水，承压含水层的导水系数为 T。
稳定流定解问题如下：
T
∂2 H ∂x 2
+
T
∂2 H ∂y 2
−
Qδ( x
−
x0 ,
y
−
y0 )
=
0
(x, y) ∈G
58 98.391 98.383 0.008
59 97.554 97.645 0.091
60 96.324 96.567 0.243
127 95.496 95.593 0.097
表 2a 二维承压非稳定流水头解析解和有限元解对比表
61 92.387 92.396 0.009
(T=100.0,S=1.0E-4,Time=1.0)
0.050
1.000 98.393 98.406
0.013
2.000 98.391 98.386
0.005
4.000 98.391 98.384
0.007
7.000 98.391 98.384 0.007
10.000 98.391 98.384 0.007
2)．三维承压地下水水流模型算例
所考虑的承压含水系统有三个水平层，每层厚度为 20m，上、下两层为导水性较强的含水层， K1 = K3 = 10m / d ，中间一层导水
56 99.996 99.687 98.970 98.810 99.996 99.686 98.970 98.810 99.996 99.687 98.970 98.810 99.996 99.686 98.970 98.810
57 99.982 99.289 97.868 97.557 99.982 99.289 97.868 97.557 99.983 99.290 97.868 97.558 99.983 99.289 97.868 97.558
152 100.000 100.000
0.000
56 99.556 99.504
0.052
57 99.039 98.981
0.047
58 98.393 98.391 0.002
59 97.556 97.654 0.098
60 96.326 96.577 0.251
127 95.498 95.603 0.105
H(x,
y , t )| AD
=
H(x,
y , t )| BC
=
H1
(6)
∂H | = ∂H | = 0 ∂n BC ∂n AB 此两个定解问题的解析解由 Chan，Mullineux 和 Reed(1976)给出
稳定流解为：
∑ H ( x ,
y,∞)
=
H1
−
Q aT
∞ m=1
s(am , x, x0 ) am sinh(ama)
0.880218E-10 0.692376E-10
WY 0.284110E-06 0.277090E-06 0.265805E-06 0.250302E-06 0.230758E-06 0.207440E-06 0.180684E-06 0.150885E-06 0.118452E-06 0.836906E-07 0.464555E-07 0.284613E-06 0.277685E-06 0.266399E-06 0.250872E-06 0.231293E-06 0.207928E-06 0.181109E-06 0.151226E-06 0.118702E-06 0.839384E-07 0.472553E-07 0.284767E-06 0.277941E-06
61 83.275 78.395 75.084 74.451 84.269 79.369 76.055 75.422 96.529 92.329 89.022 88.389 97.023 92.891 89.589 88.957
例 简支梁受均布荷载
计算简图：图 1-(a)所示一简支梁，高 3 m，长 18 m，承受均布荷载 10 N/m2，E=2×1010Pa ,μ= 0. 167， 取 t=1 m,作为平面应力问题。由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图 1-(b)所示，而在 y 轴上的各结 点处布置水平连杆支座。
58 99.929 98.673 96.577 96.135 99.930 98.677 96.584 96.142 99.934 98.685 96.593 96.151 99.934 98.686 96.599 96.159
59 99.707 97.585 94.891 94.345 99.710 97.592 94.900 94.355 99.749 97.655 94.965 94.420 99.748 97.659 94.974 94.430
25
0.114365E-10
26
-0.465731E-10
27
-0.970630E-10
28
-0.138932E-09
29
-0.164633E-09
30
-0.152922E-09
31
-0.666807E-10
32
0.123645E-09
33
0.348329E-09
34
0.290915E-08
35
0.568377E-08
在计算时，正方形的边长ａ为 1200m，计算剖分图见图 1，T 的单位为[m2 / day]，S 为无量纲变量，H 的单位为[m]，Q 的单位为[m3 / day]，
确定性模型计算时 H1 = 100.0m，Q=1000.0m3 / day。
D
C
A
B
图 1 地下水水流模型平面有限元剖分
Fig.1 FEM mesh of groundwater flow model in horizontal direction
S ∂H ∂t
=
∂ ∂x (K x
∂H ∂x
)
+
∂ ∂y
(
K
y
∂H ∂y
)
+
∂ ∂z
(
K
z
∂H ) −W ∂z
(x, y, z) ∈G,t > 0
(49)
H( x, y, z,0) = H1 ( x, y, z) ∈G ,t = 0
(50)
H( x, y, z, t )|Γ1 = H1 ( x, y, z) ∈Γ1, t > 0
36
0.834360E-08
37
0.108786E-07
38
0.132569E-07
39
0.154393E-07
40
0.173892E-07
41
0.190758E-07
42
0.204751E-07
43
节点号
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
表 3 三维承压地下水水流问题有限元计算结果
152 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000
初始水位 隔水层
第1含水层 第2含水层 第3含水层
隔水层