有限元分析基础

第一讲第一章有限元的基本根念Basic Concepts of the Finite Element Method1.1引言(introduction)有限元(FEM或FEA)是一种获取近似边值问题的计算方法。

边值问题(boundary value problems, 场问题field problem )是一种数学问题(mathematical problems)(在所研究的区域，一些相关变量满足微分方程如物理方程、位移协调方程等且满足特定的区域边界)。

边值问题也称为场问题，场是指我们研究的区域，并代表一种物理模型。

场变量是满足微分方程的相关变量，边界条件代表场变量在场边界上特定的值(物理边界转化为数学边界)。

根据所分析物理问题的不同，场变量包括位移、温度、热量等。

1.2有限元法的基本思路 (how does the finite element methods work)有限元法的基本思路可以归结为：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。

下面用在自重作用下的等截面直杆来说明有限元法的思路。

等截面直杆在自重作用下的材料力学解答图1.1 受自重作用的等截面直杆图1.2 离散后的直杆受自重作用的等截面直杆如图所示，杆的长度为L ，截面积为A ，弹性模量为E ，单位长度的重量为q ，杆的内力为N 。

试求：杆的位移分布，杆的应变和应力。

)()(x L q x N -=EAdx x L q EA dx x N x dL )()()(-== ⎰-==xx Lx EA q EA dx x N x u 02)2()()( (1))(x L EAq dx du x -==ε )(x L A q E x x -==εσ 等截面直杆在自重作用下的有限元法解答(1)离散化如图1.2所示，将直杆划分成n 个有限段，有限段之间通过一个铰接点连接。

称两段之间的连接点为结点，称每个有限段为单元。

有限元理论基础有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

釆用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

4.加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。

(Weighted residual method WRM)是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。

加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。

设问题的控制微分方程为：在V域内厶(")-八0 (5.1.1)在S 边界上〃(“)-& = 0 (5.1.2)式中：L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；f、g ——为与未知函数u无关的己知函数域值；u——为问题待求的未知函数当弄!J用力u权余•肚法求近丁以解首先在求耳军域上理立一个T式閑数H 一般兵升如下形式:仁土CN=NC(5.1.3)T M式中：c{----------- 彳寺定系数. 也可称为广义坐标；N：--- 取白完备函冬攵*S线.性无关的基函孕攵°由于〃一般只圮彳守求函缨攵U的近1以耳岂因u匕将式(5 1.3) 代入式(5 1 1)牙口式(5 1.2)后将诃•不誉斯兄，昔迅:| R] = L(flb— f在V域内\R B =B(^~g在S 边界上("14)城然 & 、尽反映了r式函竽攵与实解之问的偏差. 它丁门分另U称做内召卩牙口边界余覺。

若在域\'内引入内部权函数硏，在边界S上引入边界权函数W B 则可理立11个消除余甘的条件.一般可农示为：L兀W B1R B dS = 0 (/ = L2.L ,〃) (51-5)• V • S不同的权函数幵；和jr R反映了不同的消除余•眩的准则。

有限元分析基础1.1 有限元法的优势在数值分析方法中有限元法是使用最广泛的，因为它对复杂的边界条件、各种几何形状、不同的材料性能有很强的适用性，对力学的各类问题、位势格列问题的计算格式有一定的通用性，这种分析方法还有良好的效率与计算精度。

就力学概念而言，有限单元法的基础还是传统力学分析方法，只不过结构变成了连续体，它是将一个结构力学中的一个结构整体分成了若干个基本结构构件，这些基本结构构件就被称作是“单元”。

有限单元法将一个结构整体看做由有限个相当微小的结构单元体。

进而假设各单元体仅在节点处产生力和位移，这样一个具有无限个自由度的连续体就简化变成了有限个自由度的力学模型，结构分析的方法就可以利用求解。

建立的模型每个节点的节点力和位移求解方式与结构力学方法是完全相同的，这也是精确地，显而易见的是物理模型将单元划分的越小，它将越接近于真实连续体，最终的解也将收敛于精确解。

从数学观点来看，可以利用有限单元法来求解偏微分方程问题的近似解。

很多位势问题和经典连续体的力学问题都是由未知场函数的偏微分方程组与一定的边界条件来表征的，有限元法就是通过变分原理以及分区插值等离散化处理，将这类二次泛函的极值问题形象转化为常见的一维多元线性代数方程，可以便于求解。

有限单元法分析的问题类型决定了采用何种有限元分析主题程序，当然既可以是静力学问题也可以是动力学问题，既可以可以是温度场或者流场问题，也可以是稳态场或者瞬态场问题，线性和非线性的问题等等。

1.2 有限单元法分析实现手段有限元分析软件是实现有限单元法的主要手段。

面向工程的有限元软件在国际上比较通用的有：ANSYS、ABAQUS、ADINA等。

ANSYS作为工程数值模拟软件的代表，是一款具有很多用途的有限元分析类型的软件，随着版本的不同，其分析功能也在完善和扩充当中，它可以灵活的提供结构线性分析和热扰动分析，也可以对一些结构、一定流体、电力问题、电磁场问题及碰撞等问题进行求解。

有限元分析的基本原理有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。

有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。

有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。

首先，有限元分析的基础原理是结构变形。

结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。

通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的准确性。

其次，有限元分析的基础原理是力学方程。

满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。

力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。

动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。

静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。

最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。

材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。

本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。

以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。

有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。

有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。

所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。

第二章有限元分析基础有限元分析是一种常用的工程计算方法，在工程学科中被广泛应用。

本章将介绍有限元分析的基本概念和基础知识。

有限元分析是一种数值分析方法，用于求解复杂的物理问题。

它的基本思想是将一个连续的物体或结构离散化为有限数量的基本单元，通过在每个单元上进行计算，最终得到整个物体或结构的行为。

这些基本单元通过节点连接在一起，形成了一个有限元网格。

通过在每个节点上求解方程，可以得到整个物体或结构的应力、变形等相关信息。

在有限元分析中，有三个重要的步骤：建模、离散和求解。

建模是指将实际物体或结构转化为数学模型的过程。

在建模过程中，需要确定物体或结构的几何形状、边界条件和力学性质等。

离散是指将物体或结构划分为有限数量的基本单元。

常用的基本单元有三角形、四边形和六面体等。

离散过程中需要确定每个基本单元的几何属性和材料性质等。

求解是指在离散的基础上，通过求解节点上的方程，得到物体或结构的应力、变形等结果。

求解过程中，需要确定节点的位移和应变等参数。

有限元分析的基本假设是在每个基本单元内，应力和应变满足线性关系。

这意味着在小变形和小位移的情况下，有限元分析是有效的。

此外，为了提高计算精度，通常会增加更多的基本单元。

但是，增加基本单元数量会增加计算复杂度和计算时间。

因此，在实际应用中，需要根据问题的复杂程度和计算资源的限制进行权衡。

有限元分析广泛应用于各个领域，例如结构力学、热传导、电磁场、流体力学等。

在结构力学中，有限元分析可以用于求解静力学和动力学问题。

在热传导中，有限元分析可以用于求解温度分布和热流问题。

在电磁场中，有限元分析可以用于求解电荷和电场分布等。

在流体力学中，有限元分析可以用于求解流速和压力分布等。

总之，有限元分析是一种重要的工程计算方法，可以用于求解各种物理问题。

通过建模、离散和求解等步骤，可以得到物体或结构的应力、变形等结果。

有限元分析在工程学科中有着广泛的应用前景，对于工程设计和优化起着重要作用。

学习有限元分析需要哪些有限元分析基础知识?有限元分析具有确保产品设计的安全合理性，同时采用优化设计，找出产品设计最佳方案，降低材料的消耗或成本; 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题; 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费等作用，越来越被应用，越来越的人不断开始学习有限元分析。

对于很多想开始学有限元分析的人都会有这么一个疑问，学习有限元分析需要哪些有限元分析基础知识呢？对于这个问题，看板网根据超过十年的企业和个人有限元分析培训经验，给各位想学习有限元分析的朋友们提点建议。

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元分析基础知识主要有，结构强度分析、振动频率分析、谐响应分析、扭曲分析、机构尺寸优化分析、疲劳分析、热力分析、跌落测试、响应谱分析等。

以下是一些建议：1，图书馆或书店都可以买到有限元教材，有的教材讲得深，有的教材讲得浅。

要是想在理论层面往深层次学习，还要学习一些数学基础，比如泛函分析、变分原理，但是，如果不专门研究一般用不了理解那么深刻。

2，要根据你从事的行业而定。

如果做力学有限元分析，起码要懂力学，就要学习力学理论知识，比如弹性力学等；做电磁有限元分析，起码要懂麦克斯韦方程组。

市场上卖的有限元教材一般都是结合力学讲的。

然后你可以学习有限元软件（比如ANSYS、ABAQUS等）解决具体的工程实际问题了。

如果对结构有限元分析感兴趣，应该从材料力学、弹性力学开始。

对应力、应变、平衡方程、本构关系、位移－应变关系等知识有了了解以后，可以学习变分法的知识，。

第2章有限元法基础第1节有限单法的形成一、有限元法的形成在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。

其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。

例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。

我们把这类问题，称为离散系统。

尽管离散系统是可解的，但是求解这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术；第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。

例如弹性力学问题、热传导问题和电磁场问题等。

由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。

尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。

对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。

为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。

在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。

有限元法的形成可以追溯到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。

从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。

1956年M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。

他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。

1954—1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。

1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。

数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法。

有限元分析概念有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。

由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。

有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。

并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。

线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。

在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。

如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。

非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。

有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。

由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。

在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。

2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。

当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。

研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。

它包括大位移大应变及大位移小应变问题。

1.什么是等参数单元？（教材）坐标变换和单元内的场函数采用相同数目的节点参数及相同的插值函数，这种变换方法是等参数变换，这种变换方式能满足坐标变换的相容性，采用等参数变换的单元称之为等参数单元。

2.等参数单元的特点、基本条件、划分单元应注意的问题（教材习题）3.应用等参数单元时为什么要采用高斯积分，高斯积分点的数目如何确定？（教材习题）4.薄板弯曲问题的基本假设是什么？（其他参考书）（1）板弯曲钱垂直于中面的法线，在板弯曲后保持为直线，并垂直于弯曲后的中面。

（2）板面各水平层之间相互挤压（3）薄板受垂直于中面的载荷时可以为中间层各点设有平行于板面的位移.5.位移插值必须满足的三个条件：（教材）（1）位移插值函数应能满足单元的刚体位移（2）位移插值函数应能反映常量应变——常应变准则（3）位移插值函数应能保证单元内及相邻单元间位移的连续性——变形协调准则6.什么是轴对称问题？（其他参考书）：轴对称物体的形变及应力分布不一定是轴对称的，只有当约束和载荷都对称于旋转轴时，轴对称物体的变形及应力分布才是轴对称的。

我们把满足上述条件的系统应力分析问题称为轴对称问题。

（教材）：如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外力，都是绕某一轴对称的，则弹性体的应力、应变和位移也就对称于这一轴，这种问题称为轴对称问题。

7.刚度矩阵性质(总刚)：（1）对称性，关于正对角线对称（2）稀疏性，矩阵中有大量的零元素（3）带状分布，矩阵中非零元素在主对角线两侧呈带状分布10.形函数的性质。

(教材)（1）单元内任一点的三个形函数之和恒等于1，即Ni+Nj+Nm=1.(2)在节点i:Ni=1,Nj=0,Nm=0在节点j:Ni=0,Nj=1,Nm=0在节点m:Ni=0,Nj=0,Nm=111. 有限元法的特点（其他参考书）（1）概念清楚，容易理解（2）适应性强，应用范围广。

（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机程序，可以充分利用数字计算机的优势。