全国各地中考数学专题26与圆有关的计算

圆的有关计算中考复习圆是我们学习几何的重要内容之一，在中考中经常会考到与圆有关的问题。

下面我将为大家总结一下与圆相关的一些重要知识点和解题技巧。

一、圆的基本概念1.圆的定义：平面上距离一个定点（圆心）固定距离（半径）的所有点的集合。

2.圆的元素：圆心、半径、直径、弧、弦、切线、割线等。

3.小提琴引理：对于平面上任意两点A、B，圆中心O，如果AB是圆的直径，则A、B、O三点共线。

二、圆的性质1.圆的周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

2.圆的面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积。

3.判定两条线段构成一个圆的条件：两条线段的长度相等。

三、圆的判定1.一个点在圆内的判定：如果一个点到圆心的距离小于半径，那么这个点就在圆内。

2.一个点在圆上的判定：如果一个点到圆心的距离等于半径，那么这个点在圆上。

3.一个点在圆外的判定：如果一个点到圆心的距离大于半径，那么这个点在圆外。

四、圆与其他几何图形的关系1.圆与直线的关系：圆的切线垂直于直线。

2.圆与角的关系：角内接于圆上的弧的长度是角的两倍。

3.圆与四边形的关系：四边形内切于圆的条件是四个内角顶点的对角线交点在圆的圆心上。

五、圆的相关定理和公式1.弧长定理：圆的弧长等于圆心角的度数与整圆面积的比值。

2.弧度制和角度制的换算公式：弧度制的角度=（角度制的角度×π）/180，角度制的角度=（弧度制的角度×180）/π。

3.圆心角的计算：圆心角的度数等于弧度制中的弧所对的角的弧度数。

六、圆的运用问题1.圆的位置问题：题目中给出了圆心、半径或者其他与圆有关的点的位置关系，要求求解其他未知量。

2.圆的面积和周长问题：题目中给出了圆的面积或者周长，要求求解半径或者直径等未知量。

3.动点问题：题目中给出了与圆有关的动点，要求求解动点所在的位置。

以上就是与圆相关的一些重要知识点和解题技巧，在中考复习中遇到与圆有关的问题时，可以根据这些知识点和技巧进行解题思路的整理和方法的选择，希望能对大家的复习有所帮助。

2024年中考重点之圆的基本性质与计算圆作为几何图形中的重要概念，在数学中起着重要的作用。

本文将探讨圆的基本性质和计算方法。

一、圆的定义与特点圆由一个固定的点（圆心）和到该点距离相等的所有点（圆周）组成。

圆的基本特点包括：1. 圆心距：圆上任意一点到圆心的距离都相等，等于圆的半径。

2. 直径：穿过圆心的线段，且两端的点都在圆上。

直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆周上的一段弯曲线段，两个端点属于圆上。

4. 弦：连接圆上任意两点的线段。

二、圆的基本计算公式1. 圆的周长：圆的周长也称为圆的长度，可以用公式C = 2πr来计算，其中r代表圆的半径，π取近似值3.14或3.1416。

2. 圆的面积：圆的面积可以用公式A = πr²来计算，其中r代表圆的半径，π取近似值3.14或3.1416。

三、圆的性质与定理1. 圆的各条弦的性质：- 弦长相等的弦，其对应的弧长也相等。

- 相等弧周角（一个圆心角）所对的弦等长。

- 垂直弦上的两个弧的和等于180度。

2. 圆周角定理：- 圆周角等于其对应的圆心角的一半。

3. 切线与弦的性质：- 切线与半径垂直相交。

四、圆的常见应用圆作为数学中常见的几何图形，在实际应用中也有广泛的运用，如：1. 圆形的轮胎和车轮：圆的旋转特性使得车辆能够平稳行驶。

2. 圆形的钟表和计时器：钟表和计时器的盘面通常为圆形，通过刻度和指针来进行时间的测量和记录。

3. 圆形的器皿和容器：如圆形的盘子、碗、杯子等，常见于生活中的餐具和容器。

综上所述，圆作为几何图形的重要概念，具有许多基本性质和特点，并且在实际生活中有广泛的应用。

熟练掌握圆的基本性质和计算方法，将有助于中考数学题目的解答和实际问题的解决。

同学们要通过大量的练习和实践，深入理解圆的性质与计算，从而在中考中取得好的成绩。

中考数学专题训练：与圆有关的计算（附参考答案）1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⏜)，点O是这段弧所在圆的圆心，B 为AC⏜上一点，OB⊥AC于D.若AC＝300√3 m，BD＝150 m，则AC⏜的长为( )A．300π m B．200π mC．150π m D．100√3π m2．将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形．若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是( )A．30°B．60°C．105°D．210°3．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的两点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从点A走到点B，走便民路比走观赏路少走( )A．(6π－6√3)米B．(6π－9√3)米C．(12π－9√3)米D．(12π－18√3)米4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为( )A．8－πB．4－πC．2－π4D．1－π45．如图，两个半径长均为√2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形FCD的圆心C 是AB⏜的中点，且扇形FCD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分的面积等于( )A ．π2－1 B ．π2－2 C ．π－1D ．π－26．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点M 在AB⏜上，则∠CME 的度数为( )A ．30°B ．36°C ．45°D ．60°7．如图，在以AB 为直径的⊙O 中，C 为圆上的一点，BC⏜＝3AC ⏜，弦CD ⊥AB 于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G .若H 是AG 的中点，则∠CBF 的度数为( )A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°8．设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的母线长为l ，满足2r ＋l ＝6，这样的圆锥的侧面积( ) A ．有最大值94π B ．有最小值94π C ．有最大值92πD ．有最小值92π9．如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥，这个圆锥的底面圆的半径是( )A ．π4 B ．√24 C ．12D ．110．圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为( ) A ．2π B ．3π C ．32πD ．12π11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA .若∠CAO ＝40°，∠ACB ＝70°，则阴影部分的面积是( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．323π12．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1，则圆的面积约为正方形面积的( )A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍13．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A ′，则此时线段CA 扫过的图形的面积为( )A ．4√3B ．6C ．43πD ．83π14．如图，要用一张扇形纸片围成一个无底的圆锥(接缝处忽略不计)．若该圆锥的底面圆周长为20π cm ，侧面积为240π cm 2，则这个扇形的圆心角的度数是_______度．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝2√3，半径为1的⊙O 在Rt △ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点A 到⊙O 上的点的距离的最大值为__________．16．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，E 为BC 的中点，连接AE ，DE ，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE ，DE 交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)17．已知AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，C 为⊙O 上一点，连接CA ，CB .(1)如图1，若C 为AB⏜的中点，求∠CAB 的大小和AC 的长； (2)如图2，若AC ＝2，OD 为⊙O 的半径，且OD ⊥CB ，垂足为点E ，过点D 作⊙O 的切线，与AC 的延长线相交于点F ，求FD 的长．18．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E，F，G，H，ED与⊙O相交于点M，则sin ∠MFG的值为______．19．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为______厘米．20．如图，AB，CD为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线⏜的中点，弦CE，BD相交于点F.交于点P，∠ABC＝2∠BCP，E是BD(1)求∠OCB的度数；(2)若EF＝3，求⊙O的直径长．21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD.(1)求证：CF是⊙O的切线．(2)如果AB＝10，CD＝6.①求AE的长；②求△AEF的面积．参考答案1．B 2．D 3．D 4．D 5．D6．D 7．C8．C 9．B10．C 11．C 12．B 13．D14．150 15．2√7＋1 16．4－π17．(1)∠CAB＝45°AC＝3√2(2)FD＝2√2 18．√5519.2620．(1)∠OCB＝60°(2)⊙O的直径长为6√321．(1)证明略(2)①AE＝454②△AEF的面积为2258。

专题26圆的有关计算（共52题）一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πBC ．12D ．12．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的△O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF △AC ，垂足为点F ，若△O 的半径为△CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A ．16π-B ．16π-C ．20π-D ．20π-5．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．4π+C ．2D ．2π6．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧BO 、OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π7．（2021·青海中考真题）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A （羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（ ）平方米．A ．17π12B ．17π6C ．25π4D ．77π128．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．2132π-B ．2132π-C ．2πD ．122π- 9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+B ．2π-C ．1D ．52π- 10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段10AB =，点C 、D 在AB 上，1AC BD ==．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，PA 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P 的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S ．则S 关于t 的函数图像大致是（ ）A．B．C．D．11．（2021·山东东营市·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（）A．214°B．215°C．216°D．217°12．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．12π13．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC 的三个顶点都在O 上，AD 是O 的直径．若3OA =，则劣弧BD 的长是（ ）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π14．（2021·湖北中考真题）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm15．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．1216．（2021·河北中考真题）如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化二、填空题 17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______． 18．（2021·上海中考真题）六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．19．（2021·江西中考真题）如图，在边长为ABCDEF 中，连接BE ，CF ，其中点M ，N 分别为BE 和CF 上的动点，若以M ，N ，D 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为______．20．（2021·重庆中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线12AC =，16BD =，分别以点A ，B ，C ，D 为圆心，12AB 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留π）21．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）如图，将ABC 绕点C 顺时针旋转120︒得到''A B C ．已知3,2AC BC ==，则线段AB 扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________．22．（2021·浙江温州市·中考真题）若扇形的圆心角为30，半径为17，则扇形的弧长为______． 23．（2021·山东泰安市·中考真题）若ABC 为直角三角形，4AC BC ==，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．24．（2021·山东聊城市·中考真题）用一块弧长16πcm 的扇形铁片，做一个高为6cm 的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm 225．（2021·四川资阳市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，2cm,AB AD ==，以点B 为圆心，AB长为半径画弧，交CD 于点E ，则图中阴影部分的面积为_______2cm ．26．（2021·江苏宿迁市·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．27．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，BC =，将ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0180α︒<<︒）得到AB C ''△，并使点C '落在AB 边上，则点B 所经过的路径长为______．（结果保留π）28．（2021·湖南中考真题）如图，方老师用一张半径为18cm 的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是10cm ，那么这张扇形纸板的面积是________2cm （结果用含π的式子表示）．29．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，2AB =，点P 从点A 出发沿AB 方向运动，到达点B 时停止运动，连结CP ，点A 关于直线CP 的对称点为'A ，连接A ′C ，'A P ．在运动过程中，点'A 到直线AB 距离的最大值是_______；点P 到达点B 时，线段'A P 扫过的面积为___________．30．（2021·湖南衡阳市·中考真题）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为__________．（结果保留π） 31．（2021·重庆中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，分别以点A ，C 为圆心，AO 长为半径画弧，分别交AB ，CD 于点E ，F ．若BD ＝4，△CAB ＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．32．（2021·浙江宁波市·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）33．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，从一块直径为4dm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90︒的扇形，则此扇形的面积为_____2dm ．34．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB ＝12，则点B 经过的路径BC 长度为_____．（结果保留π）35．（2021·江苏无锡市·中考真题）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．36．（2021·广东中考真题）如图，等腰直角三角形ABC 中，90,4A BC ∠=︒=．分别以点B 、点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为____．37．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）若一个圆锥的底面半径为1cm ，它的侧面展开图的圆心角为90︒，则这个圆锥的母线长为____ cm ．38．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，在O 中，3OA =，45C ∠=︒，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）39．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，以C 为圆心、BC 长为半径画弧交AC 于点F ，则图中阴影部分的面积是_________．40．（2021·湖南岳阳市·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，8BE =，O 为BCE 的外接圆，过点E 作O 的切线EF 交AB 于点F ，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号） △AE BE =；△AED CBD ∠=∠；△若40DBE ∠=︒，则DE 的长为89π；△DF EF EF BF =；△若6EF =，则 2.24CE =．41．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角90AOB ∠=︒，则这段铁轨的长度_____米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）42．（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用π表示）三、解答题43．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．44．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径的半圆O 交AB 于点D ，过点D 作半圆O 的切线，交AC 于点E ．（1）求证：2ACB ADE ∠=∠；（2）若3,DE AE ==CD 的长．45．（2021·湖北随州市·中考真题）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）△如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示）△如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照△的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）△如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）△如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．46．（2021·浙江金华市·中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．△求APO ∠'的度数． △求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．47．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．48．（2021·四川达州市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点（C 不与点A ，B 重合）连接AC ，BC ，过点C 作CD AB ⊥，垂足为点D ．将ACD ∆沿AC 翻折，点D 落在点E 处得ACE ∆，AE 交O 于点F ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若15BAC ∠=︒，2OA =，求阴影部分面积．49．（2021·湖南邵阳市·中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED 与母线AD 长之比为1:2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB AC =，AD BC ⊥．将扇形AEF 围成圆锥时，AE ，AF 恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角BAC ∠的大小（2）若圆锥底面圆的直径ED 为5cm ，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）50．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 与BC ，AC 分别相切于点E ，F ，BO 平分ABC ∠，连接OA ．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若3BE AC ==，O 的半径是1，求图中阴影部分的面积．51．（2021·山东菏泽市·中考真题）在矩形ABCD 中，BC =，点E ，F 分别是边AD 、BC 上的动点，且AE CF =，连接EF ，将矩形ABCD 沿EF 折叠，点C 落在点G 处，点D 落在点H 处．（1）如图1，当EH 与线段BC 交于点P 时，求证：PE PF =；（2）如图2，当点P 在线段CB 的延长线上时，GH 交AB 于点M ，求证：点M 在线段EF 的垂直平分线上；（3）当5AB =时，在点E 由点A 移动到AD 中点的过程中，计算出点G 运动的路线长．52．（2021·江苏南京市·中考真题）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？π．在（1）如图△，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC的长为4cm图△所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图△中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．△蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．=．圆柱的侧面展开图如图△所示，在图中画出蚂蚁从点A △设AD的长为a，点B在母线OC上，OB b爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题26圆的有关计算 试题解析（共52题）一、单选题1．（2021·四川广元市·中考真题）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A ．4πB C ．12D ．1【答案】B 【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可． 【详解】 解：如下图：连接BC ，AO ， △90BAC ∠=， △BC 是直径，且BC=2， 又△AB AC =，△45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又△sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ，△ 1sin 45OA AB ===︒△BC 的长度为：901802π⨯，△， 设圆锥的底面圆的半径为r ，则：22r π=，△1=224r π=⨯ 故选：B 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，圆锥底面半径的计算，解直角三角形等相关知识点，根据条件计算出扇形的半径是解题的关键．2．（2021·浙江衢州市·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ） A ．32π B ．3π C ．5π D ．15π【答案】D 【分析】已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式2360n R S π=直接计算即可．【详解】解：2150615360S ππ⨯==．故选：D 【点睛】本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．3．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（ ）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D 【分析】作OC △AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出△A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可． 【详解】解：作OC △AB 于C ，如图， 则AC =BC ， △OA =OB ，△△A =△B =12（180°-△AOB ）=30°， 在Rt △AOC 中，OC =12OA =9，AC =△AB =2AC = 又△12018180AB π⨯⨯==12π，△走便民路比走观赏路少走12π-米， 故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．4．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的△O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF△AC，垂足为点F，若△O的半径为△CDF=15°，则阴影部分的面积为（）A．16π-B．16π-C．20π-D．20π-【答案】A【分析】连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到△ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到△BAC=2△DAC=2×15°=30°，求得△AOE=120°，过O作OH△AE于H，解直角三角形得到OH，AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD，连接OE，△AB是直径，△△ADB=90°，△AD△BC，△△ADB=△ADC=90°，△DF△AC，△△DFC=△DF A=90°，△△DAC=△CDF=15°，△AB=AC，D是BC中点，△△BAC=2△DAC=2×15°=30°，△OA=OE，△△AOE=120°，过O作OH△AE于H，△AO，△OH=12 AO△AHOH=6，△AE=2AH=12，△S阴影=S扇形AOE-S△AOE=(21201123602π⨯-⨯⨯16π=-故选：A．【点睛】本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．5．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD中，1,AB BC==P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为1C，当点P运动时，点1C也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段1CC扫过的区域的面积是（）A．πB．π+C D．2π【答案】B【分析】先判断出点Q在以BC为直径的圆弧上运动，再判断出点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，找到当点P与点A重合时，点P与点D重合时，点C1运动的位置，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式求解即可．【详解】解：设BP与CC1相交于Q，则△BQC=90°，△当点P在线段AD运动时，点Q在以BC为直径的圆弧上运动，延长CB到E，使BE=BC，连接EC，△C、C1关于PB对称，△△EC1C=△BQC=90°，△点C1在以B为圆心，BC为直径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点C1与点E重合，当点P与点D重合时，点C1与点F重合，此时，tanPC AB PBC BC BC ∠====， △△PBC =30°，△△FBP =△PBC =30°，CQ =12BC =，BQ 32=，△△FBE =180°-30°-30°=120°，11322BCFS CC BQ =⨯==线段1CC 扫过的区域的面积是21203604BCF S ππ⨯+=+． 故选：B ．【点睛】 本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、三角函数以及扇形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD ，再分别以E 、F 为圆心，1为半径作圆弧BO 、OD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π﹣1B ．π﹣2C ．π﹣3D ．4﹣π【答案】B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，阴影部分的面积是：14•π×22﹣2112π⋅⨯﹣2（1×1﹣14•π×12）＝π﹣2，故选：B．【点睛】本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规则图形的面积和差进行计算．7．（2021·青海中考真题）如图，一根5米长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只羊A（羊在草地上活动），那么羊在草地上的最大活动区域面积是（）平方米．A．17π12B．17π6C．25π4D．77π12【答案】D【分析】根据题意，画出这只羊在草地上的最大活动区域，然后根据扇形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示：这只羊在草地上的最大活动区域为两个扇形，其中大扇形的半径为5米，圆心角为90°；小扇形的半径为5－4=1米，圆心角为180°－120°=60°羊在草地上的最大活动区域面积=2290π560π1360360⨯⨯+=77π12（平方米）故选D．【点睛】此题考查的是扇形的面积公式的应用，掌握扇形的面积公式是解决此题的关键．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．23πB ．23π-C ．2πD ．2π 【答案】A【分析】以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，判断出90PBC ∠<︒，再根据△BCP =90°和△BPC =90°两种情况判断出点P 的位置，启动改革免费进行求解即可．【详解】解：以点B 为原点，BC 边所在直线为x 轴，以过点B 且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，△△BPC 为等腰直角三角形，且点P 在菱形ABCD 的内部，很显然，90PBC ∠<︒△若△BCP =90°，则CP =BC =2这C 作CE △AD ,交AD 于点E ，△四边形ABCD 是菱形△AB =BC =CD =DA =2，△D =△ABC =60°△CE =CDsin △D =22=< △点P 在菱形ABCD 的外部，△与题设相矛盾，故此种情况不存在；△△BPC =90°过P 作PF △BC 交BC 于点F ，△△BPC 是等腰直角三角形，△PF =BF =12BC =1 △P (1,1)，F (1,0)过点A 作AG △BC 于点G ，在Rt △ABG 中，△ABG =60°△△BAG =30°△BG =112AB =，AG =△A ，(1,0)G△点F 与点G 重合△点A 、P 、F 三点共线△1AP AF PF =-=△111)2ABP S ∆=⨯⨯= 12112BPC S ∆=⨯⨯= 26022=3603BAC S ππ⨯=扇形△2121=13232ABP BPC BAC S S S S ππ∆∆--=--=-阴影扇形 故选：A ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质以及求不规则图形的面积等知识，正确作出辅助线是解答此题的关键．9．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A．32π+B．2π-C．1D．52π-【答案】D【分析】取BC的中点O，设AE与△O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，△OF A=△OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC的中点O，设AE与△O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：△四边形ABCD是正方形，且边长为2，△BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，△AE是以BC为直径的半圆的切线，△OB=OC=OF=1，△OF A=△OFE=90°，△AB=AF=2，CE=CF，△OA=OA，△Rt △ABO △Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE △△OFE ，△,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，△90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，△COE BAO ∠=∠，△ABO OCE ∽， △OC CE AB OB=， △12CE =， △15222222ABO OCE ABCE S S S SS S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 故选D ．【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．10．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，线段10AB =，点C 、D 在AB 上，1AC BD ==．已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，在点P 移动过程中作如下操作：先以点P 为圆心，PA 、PB 的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点P 的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为S ．则S 关于t 的函数图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由题意，先求出1PA t =+，9PB t =-，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．【详解】解：根据题意，△10AB =，1AC BD ==，且已知点P 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB 向点D 移动，到达点D 后停止移动，则08t ≤≤，△1PA t =+，△10(1)9PB t t =-+=-，由PA 的长为半径的扇形的弧长为：60(1)(1)1803t t =ππ++ △用PA 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为16t + △其底面的面积为()2136t π+ 由PB 的长为半径的扇形的弧长为：60(9)(9)1803-t t =ππ- △用PB 的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为96-t△其底面的面积为()2936-t π △两者的面积和()222(1)(9)1841363618t t S =t t πππ+-=+-+ △图像为开后向上的抛物线，且当4t =时有最小值；故选：D ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．11．（2021·山东东营市·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）A ．214°B ．215°C ．216°D ．217°【答案】C【分析】 由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，可得母线长5l ==，圆锥的底面周长为：6=6ππ⨯，设圆心角的度数为n ， 则π56π180n ⨯=， 解得：216n =，故圆心角度数为：216︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．12．（2021·四川成都市·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求出△F AB，利用扇形面积公式求出扇形AB F的面积计算即可．【详解】解：△六边形ABCDEF是正六边形，△△F AB=()621801206-⨯︒=︒，AB=6，△扇形ABF的面积=2120612360，故选择D．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．13．（2021·云南中考真题）如图，等边ABC的三个顶点都在O上，AD是O的直径．若3OA=，则劣弧BD的长是（）A ．2πB ．πC ．32πD ．2π【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到△BOC =2△BAC ，证明△AOB △△AOC ，得到△BAO =△CAO =30°，得到△BOD ，再利用弧长公式计算．【详解】解：连接OB ，OC ，△△ABC 是等边三角形，△△BOC =2△BAC =120°，又△AB =AC ，OB =OC ，OA =OA ，△△AOB △△AOC （SSS ），△△BAO =△CAO =30°，△△BOD =60°，△劣弧BD 的长为603180π⨯⨯=π， 故选B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角△BOD 的度数． 14．（2021·湖北中考真题）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cm r ， 由题意得：120302180ππ⨯=r ， 解得10(cm)r =，即这个圆锥底面半径为10cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图特点是解题关键．15．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1:S S 的比值为（ ）A ．8πB ．4πC ．14D ．12【答案】A【分析】根据题意，设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a ，分别表示出黑色部分面积和正方形ABCD 的面积，进而即可求得1:S S 的比值．【详解】设正方形的边长为2a ，则圆的半径为a△24S a =，圆的面积为2a π△正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称△黑色部分面积为圆面积的一半△2112S a π=△2211::(4)28S S a a ππ==， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了阴影部分面积的求解，准确运用字母表示正方形面积和圆形面积并结合多边形内切圆性质、中心对称图形性质等相关知识点是解决本题的关键．16．（2021·河北中考真题）如图，点O 为正六边形ABCDEF 对角线FD 上一点，8AFO S =△，2CDO S =△，则ABCDEF S 正六边形的值是（ ）A ．20B ．30C ．40D ．随点O 位置而变化【答案】B【分析】 连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，根据矩形的性质求出5AFM S =△，再求出正六边形面积即可．【详解】解：连接AC 、AD 、CF ，AD 与CF 交于点M ，可知M 是正六边形ABCDEF 的中心，△多边形ABCDEF 是正六边形，△AB =BC ，△B =△BAF = 120°，△△BAC =30°，△△F AC =90°，同理，△DCA =△FDC =△DF A =90°，△四边形ACDF 是矩形，1+=102AFO CDO AFDC S S S =△△矩形，154AFM AFDC S S ==△矩形， =6=30AFM ABCDEF S S △正六边形，故选：B ．【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．二、填空题17．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）边长为4cm 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形AOB 的两条边，根据三角函数值即可求出．【详解】如图：正六边形中，过O 作,BO AB ⊥1=(62)1801206CAB ∠-⨯︒=︒ Rt ABO 中，1=602OAB CAB ∠=∠︒,301∴∠=︒ 它的外接圆与内切圆半径的比值是1cos 132AO BO ===∠．。

三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（全国通用）圆的有关计算（优选真题60道）一．选择题（共20小题）1．（2023•大连）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（ ） A ．2πB ．3πC ．32πD ．12π【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：l =nπr 180=90⋅π×3180=32π，∴该扇形的弧长为32π． 故选：C ．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．2．（2023•湘潭）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π【分析】根据圆锥的侧面展开图中弧的长等于圆锥底面周长即可得出答案． 【解答】解：这个圆锥的侧面展开图中AA′̂的长为2π×4＝8π． 故选：C ．【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1．圆锥的母线长为扇形的半径，2．圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．3．（2023•鄂州）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．5√3−√33πB ．5√3−4πC ．5√3−2πD ．10√3−2π【分析】连接OD．解直角三角形求出∠DOB＝60°，BC＝4√3，再根据S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB，求解即可．【解答】解：连接OD．在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝4，∴BC=√3AB＝4√3，∴OC＝OD＝OB＝2√3，∴∠DOB＝2∠C＝60°，∴S阴＝S△ACB﹣S△COD﹣S扇形ODB=12×4×4√3−12×2√3×2√3×√32−60π⋅(2√3)2360＝8√3−3√3−2π＝5√3−2π．故选：C．【点评】本题考查扇形的面积，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．4．（2023•通辽）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，点C是半径OB上一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（）A．√2+π6B．√2+π3C．2√2+π6D．2√2+π3【分析】作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，最小值为AE的长与弧AD的和．【解答】解：作D点关于直线OB的对称点E，连接AE，与OB的交点为C点，此时阴影部分周长最小，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB̂于点D，∴∠AOD＝∠BOD＝30°，由轴对称的性质，∠EOB ＝∠BOD ＝30°，OE ＝OD ， ∴∠AOE ＝90°，∴△AOE 是等腰直角三角形， ∵OA ＝1，∴AE =√2，AD̂的长=30π×1180=π6， ∴阴影部分周长的最小值为√2+π6， 故选：A ．【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，证得△AOE 为等腰直角三角形是解题的关键．5．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A ．πB ．3πC ．2πD ．2π−√3【分析】由等边三角形的性质得到AB ̂=BC ̂=AC ̂，由弧长公式求出AB ̂的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长．【解答】解：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ＝3，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， ∴AB ̂=BC ̂=AC ̂， ∵AB̂的长=60π×3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长是3π． 故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出AB̂的长． 6．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm 的三个等圆构成，且三个等圆⊙O 1，⊙O 2，⊙O 3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）A ．14πcm 2B ．13πcm 2C ．12πcm 2D ．πcm 2【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接O1A ，O2A ，O1B ，O3B ，O2C ，O3C ，O1O2，O1O3，O2O3，则△O1AO2，△O1BO3，△O2CO3，△O1O2O3是边长为1的正三角形， 所以，S 阴影部分＝3S 扇形O 1O 2A ＝3×60π×12360=π2（cm2），故选：C ．【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．7．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，C 是AB ̂上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，若CD ＝CE ，则图中阴影部分面积为（ ）A ．25π16B ．25π8C ．25π6D ．25π4【分析】先连接OC ，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC 的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∵CD＝CE，∴四边形OECD是正方形，∴∠COE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形DCE＝S△OCE+S半弓形DCE＝S扇形COB=45π×52360=25π8，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB̂是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出AB̂的弧长l的近似值计算公式：l＝AB+MN2OA．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（）A．11﹣2√3B．11﹣4√3C．8﹣2√3D．8﹣4√3【分析】连接ON，根据AB̂是以O为圆心，OA为半径的圆弧，N是AB的中点，MN⊥AB，知ON⊥AB，M，N，O共线，由OA＝4，∠AOB＝60°，知△AOB是等边三角形，得ON＝OA•sin60°＝2√3，即得MN＝OM﹣ON＝4﹣2√3，故l＝AB+MN2OA =4+(4−2√3)24=11﹣4√3．【解答】解：连接ON，如图：∵AB ̂是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，N 是AB 的中点，MN ⊥AB ， ∴ON ⊥AB ， ∴M ，N ，O 共线， ∵OA ＝4，∠AOB ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴OA ＝AB ＝4，∠OAN ＝60°， ∴ON ＝OA •sin60°＝2√3， ∴MN ＝OM ﹣ON ＝4﹣2√3， ∴l ＝AB +MN 2OA=4+(4−2√3)24=11﹣4√3；故选：B ．【点评】本题考查弧长的计算，解题的关键是读懂题意，作出辅助线求ON 的长度．9．（2023•连云港）如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC ＝5，则阴影部分的面积是（ ）A ．414π﹣20B ．412π﹣20C ．20πD ．20【分析】根据矩形的性质可求出BD ，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD ，则BD 过点O ， 在Rt △ABD 中，AB ＝4，BC ＝5，S 阴影部分＝S 以AD 为直径的圆+S 以AB 为直径的圆+S 矩形ABCD ﹣S 以BD 为直径的圆 ＝π×（42）2+π×（52）2+4×5﹣π×（BD 2）2=41π4+20−41π4＝20，故选：D ．【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提．10．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P ，Q ，M 均为正六边形的顶点．若点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），则点M 的坐标为（ ）A ．（3√3，﹣2）B ．（3√3，2）C ．（2，﹣3√3）D ．（﹣2，﹣3√3）【分析】设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．判断出OC ，CM 的长，可得结论． 【解答】解：设中间正六边形的中心为D ，连接DB ．∵点P ，Q 的坐标分别为(−2√3，3)，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形，∴OA＝OB=√3，∴OC＝3√3，∵DQ＝DB＝2OD，∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2，∴M（3√3，﹣2），故选：A．【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（2023•河北）如图，点P1～P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是（）A．a＜b B．a＝bC．a＞b D．a，b大小无法比较【分析】利用三角形的三边关系，正多边形的性质证明即可．【解答】解：连接P4P5，P5P6．∵点P1～P8是⊙O的八等分点，∴P3P4＝P4P5＝P5P6＝P6P7，P1P7＝P1P3＝P4P6，∴b﹣a＝P3P4+P7P6﹣P1P3，∵P5P4+P5P6＞P4P6，∴P3P4+P7P6＞P1P3，∴b ﹣a ＞0， ∴a ＜b ， 故选：A ．【点评】本题考查正多边形于圆，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 在AB ̂上，点Q 是DE ̂的中点，则∠CPQ 的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．36°D ．60°【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可． 【解答】解：如图，连接OC ，OD ，OQ ，OE ， ∵正六边形ABCDEF ，Q 是DE ̂的中点， ∴∠COD ＝∠DOE =360°6=60°，∠DOQ ＝∠EOQ =12∠DOE ＝30°，∴∠COQ ＝∠COD+∠DOQ ＝90°， ∴∠CPQ =12∠COQ ＝45°， 故选：B ．【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．13．（2022•绵阳）在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF ）放在平面直角坐标系中，若AB 与x 轴垂直，顶点A 的坐标为（2，﹣3），则顶点C 的坐标为（ ）A ．（2﹣2√3，3）B ．（0，1+2√3）C ．（2−√3，3）D ．（2﹣2√3，2+√3）【分析】根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BD 交CF 于点M ，则点B （2，1）， 在Rt △BCM 中，BC ＝4，∠BCM =12×120°＝60°， ∴CM =12BC ＝2，BM =√32BC ＝2√3， ∴点C 的横坐标为﹣（2√3−2）＝2﹣2√3，纵坐标为1+2＝3， ∴点C 的坐标为（2﹣2√3，3）， 故选：A ．【点评】本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键．14．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ∥CD ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，以点E 为圆心，DE 为半径，且DE ＝6的圆交CD 于点F ，则阴影部分的面积为（ ）A ．6π﹣9√3B ．12π﹣9√3C ．6π−9√32D ．12π−9√32【分析】根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．【解答】解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝3√3，∴DF＝6√3，阴影部分的面积=120π×36360−12×6√3×3＝12π﹣9√3，故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．15．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣3√3B．3π−9√32C．2π﹣3√3D．6π−9√32【分析】根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB̂上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO ＝BO ，∴四边形AOBC 是菱形， 连接OC 交AB 于D ， ∵OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形， ∴∠CAO ＝∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°， ∵AC ＝3， ∴OC ＝3，AD =√32AC =3√32， ∴AB ＝2AD ＝3√3，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形AOB ﹣S 菱形AOBC =120π×32360−12×3×3√3=3π−9√32，故选：B ．【点评】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．16．（2022•广西）如图，在△ABC 中，CA ＝CB ＝4，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点A 逆时针旋转2α，得到△AB ′C ′，连接B ′C 并延长交AB 于点D ，当B ′D ⊥AB 时，BB′̂的长是（ ）A ．2√33π B ．4√33π C ．8√39π D ．10√39π【分析】证明α＝30°，根据已知可算出AD 的长度，根据弧长公式即可得出答案． 【解答】解：∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ， ∴AD ＝DB =12AB ′．∴∠AB ′D ＝30°， ∴α＝30°， ∵AC ＝4，∴AD ＝AC •cos30°＝4×√32=2√3，∴AB =2AD =4√3，∴BB′̂的长度l =nπr 180=60×π×4√3180=4√33π． 故选：B ．【点评】本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．17．（2022•绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm ）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）A ．282.6B ．282600000C ．357.96D ．357960000【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S 圆锥侧面积+S 圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.1kg ，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量．【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m ， 圆锥的高为0.4m ，则圆锥的母线长为：√0.32+0.42=0.5m ． ∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2）， ∵圆柱的高为1m ．圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2）， ∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2）， ∵每平方米用锌0.1kg ，∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg ，∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg ）． 故选：A ．【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，难度中等．18．（2022•遵义）如图，在正方形ABCD 中，AC 和BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AB 于点E （E 不与A ，B 重合），交CD 于点F ．以点O 为圆心，OC 为半径的圆交直线EF 于点M ，N ．若AB ＝1，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．π8−18B ．π8−14C ．π2−18D ．π2−14【分析】图中阴影部分的面积等于扇形DOC 的面积减去△DOC 的面积． 【解答】解：以OD 为半径作弧DN ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OB ＝OD ＝OC ，∠DOC ＝90°， ∵∠EOB ＝∠FOD ，∴S 扇形BOM ＝S 扇形DON ， ∴S 阴影＝S 扇形DOC ﹣S △DOC =90π×(√22)2360−14×1×1=π8−14，故选：B ．【点评】本题考查了正方形的性质，扇形的面积，关键是求出阴影部分的面积等于扇形DOC的面积减去△DOC 的面积．19．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．23π−√32B．23π−√3C．43π﹣2√3D．43π−√3【分析】连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=√3，进而求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=√3，∴S△AOB=12×2×√3=√3，∴阴影部分的面积为：23π−√3；故选：B．【点评】本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．20．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=√5，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（）A．8﹣πB．4﹣πC．2−π4D．1−π4【分析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则图形的面积：S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC），将相关量代入求解即可．【解答】解：根据题意可知AC=√AB2−BC2=√√52−22=1，则BE＝BF＝AD＝AC＝1，设∠B＝n°，∠A＝m°，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，∴S阴影部分＝S△ABC﹣（S扇形EBF+S扇形DAC）=12×2×1−（nπ×12360+mπ×12360）＝1−(n+m)π360=1−π4，故选：D．【点评】本题考查扇形面积的计算及勾股定理，通常需要将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来进行求解．二．填空题（共20小题）21．（2023•吉林）如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为15m，点A，B是圆上的两点，圆心角∠AOB＝120°，则AB的长为m．（结果保留π）【分析】由弧长公式：l =nπr 180（l 是弧长，n 是扇形圆心角的度数，r 是扇形的半径长），由此即可计算．【解答】解：∵∠AOB ＝120°，⊙O 半径r 为15m ， ∴AB̂的长=120π×15180=10π（m ）．故答案为：10π．【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长公式．22．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l 为6cm ，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r 为 cm ．【分析】首先求得展开之后扇形的弧长也就是圆锥的底面周长，进一步利用弧长计算公式求得圆锥的底面圆的半径r ．【解答】解：由题意得：母线l ＝6，θ＝120°， 2πr =120π×6180，∴r ＝2（cm ）． 故答案为：2．【点评】本题考查了圆锥的计算及其应用问题，解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．23．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出BD＝2√2，再由扇形面积公式求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，∴△AOD≌△COB（SSS），∵正方形ABCD的边长为2，∴BD=√22+22=2√2，=π，∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即45π⋅(2√2)2360故答案为：π．【点评】本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积，能够理解题意，将阴影部分的面积转化为扇形BED 的面积是解题的关键．24．（2023•齐齐哈尔）若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）【分析】解析圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm²）故答案为：6π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．25．（2023•邵阳）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为cm2．（结果保留π）【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：这张扇形纸板的面积=1•2π•8•30＝240π（cm2）．2故答案为：240π．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为cm．【分析】根据扇形面积公式计算即可．【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，×2πr×24＝120π，则12解得：r＝5，故答案为：5．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．27．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为cm．【分析】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OÊ的长．＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出DE【解答】解：连接OE，OD，∵OD ＝OB ， ∴∠B ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ， ∴∠C ＝∠ODB ， ∴OD ∥AC ， ∴∠EOD ＝∠AEO ， ∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝50°， ∴∠EOD ＝∠BAC ＝50°， ∵OD =12AB =12×6＝3（cm ）， ∴DÊ的长=50π×3180=56π（cm ）．故答案为：56π．【点评】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD ∥AC ，从而求出∠EOD 的度数．28．（2023•苏州）如图，在▱ABCD 中，AB =√3+1，BC ＝2，AH ⊥CD ，垂足为H ，AH =√3．以点A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB ，AC ，AD 分别交于点E ，F ，G ．若用扇形AEF 围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 1；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r 2，则r 1﹣r 2＝ ．（结果保留根号）【分析】根据平行四边形的性质以及正弦函数的定义求出∠D ＝60°，∠BAC ＝45°，利用弧长公式以及圆的周长公式求出r1，r2即可．【解答】解：在▱ABCD中，AB=√3+1，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB=√3+1，AB∥CD．∵AH⊥CD，垂足为H，AH=√3，∴sinD=AHAD =√32，∴∠D＝60°，∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°，∴DH=12AD＝1，∴CH＝CD﹣DH=√3+1﹣1=√3，∴CH＝AH，∵AH⊥CD，∴△ACH是等腰直角三角形，∴∠ACH＝∠CAH＝45°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACH＝45°，∴45π×√3180=2πr1，解得r1=√38，30π×√3 180=2πr2，解得r2=√312，∴r1﹣r2=√38−√312=√324．故答案为：√324．【点评】本题考查了圆锥的计算，平行四边形的性质，解直角三角形，弧长公式，求出∠D＝60°，∠BAC ＝45°是解决本题的关键．29．（2023•云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽．若圆锥的底面圆的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为分米．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得：圆锥的高为：√42−12=√15（分米），故答案为：√15．【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记勾股定理是解题的关键．30．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是6√6−6√2．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是．【分析】如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，由等腰直角三角形性质可得CK＝GK=√22CG，进而得出BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，利用解直角三角形可得BK=√3GK，建立方程求解即可得出答案；如图2，以C为圆心，CD为半径作圆，当△CDE绕点C旋转60°时，CE′交AB于H′，连接DD′，过点D作DM ⊥AB于M，过点C作CN⊥DD′于N，则∠BCE′＝∠DCD′＝60°，点D的运动轨迹为DD′̂，点H的运动轨迹为线段BH′，因此在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′，再利用等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式即可求得答案．【解答】解：如图1，过点G作GK⊥BC于K，则∠CKG＝∠BKG＝90°，∵∠BCD＝45°，∴△CGK是等腰直角三角形，∴CK＝GK=√22CG，∵BC＝12，∴BK＝BC﹣CK＝12−√22CG，在Rt△BGK中，∠GBK＝30°，∴GKBK =tan∠GBK＝tan30°=√33，即12−√22CG =√3×√22CG ， ∴CG ＝6√6−6√2；如图2，以C 为圆心，CD 为半径作圆，当△CDE 绕点C 旋转60°时，CE ′交AB 于H ′，连接DD ′，过点D 作DM ⊥AB 于M ，过点C 作CN ⊥DD ′于N ，则∠BCE ′＝∠DCD ′＝60°，点D 的运动轨迹为DD′̂，点H 的运动轨迹为线段BH ′，∴在旋转0°到60°的过程中，线段DH 扫过的面积为S △BDD ′+S 扇形CDD ′﹣S △CDD ′，∵CD ＝BC •cosCBD ＝12cos45°＝6√2，∴DG ＝CD ﹣CG ＝6√2−（6√6−6√2）＝12√2−6√6，∵∠BCD+∠ABC ＝60°+30°＝90°，∴∠BH ′C ＝90°，在Rt △BCH ′中，CH ′＝BC •sin30°＝12×12=6，BH ′＝BC •cos30°＝12×√32=6√3，∵△CD ′E ′是等腰直角三角形，∠CD ′E ′＝90°，D ′H ′⊥CE ′，∴D ′H ′=12CE ′＝6， ∴BD ′＝6√3+6，∵DM ⊥AB ，∴∠DMG ＝90°，∴∠DMG ＝∠CH ′G ，∵∠DGM ＝∠CGH ′，∴△DGM ∽△CGH ′，∴DM CH′=DG CG ，即DM 6=√2−6√66√6−6√2，∵CD′＝CD＝6√2，∠DCD′＝60°，∴△CDD′是等边三角形，∴∠CDD′＝60°，∵CN⊥DD′，∴CN＝CD•sin∠CDD′＝6√2sin60°＝3√6，∴S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′=12×（6√3+6）×（3√3−3）+60π⋅(6√2)2360−12×6√2×3√6=18+12π﹣18√3；故答案为：6√6−6√2；18+12π﹣18√3．【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等，得出DH扫过的面积为S△BDD′+S扇形CDD′﹣S△CDD′是解题关键．31．（2023•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为BC的中点，连接AE．DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．【分析】用三角形ADE的面积减去2个扇形的面积即可．【解答】解：∵AD＝2AB＝4，E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，∴∠BAE＝∠AEB＝∠CDE＝∠DEC＝45°，∴阴影部分的面积为12×4×2−2×45π×22360=4﹣π．故答案为：4﹣π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．32．（2023•重庆）如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【分析】连接BD，根据圆周角定理证得BD是⊙O的直径，利用勾股定理求得直径，然后利用圆的面积减去矩形的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵AB＝4，AD＝3，∴BD=√AD2+AB2=√32+42=5，∴S阴影＝S⊙O﹣S矩形ABCD=π×(52)2−3×4=254π﹣12．故答案为：254π﹣12．【点评】本题考查了圆的面积和矩形的面积，解题的关键是明确阴影部分的面积是圆的面积减去矩形的面积，属于中考常考题型．33．（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算方法求出扇形ADE 的面积，由S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE 可得答案．【解答】解：如图，连接BD 交AC 于点O ，则AC ⊥BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝2，∠BAO ＝30°，∴BO =12AB ＝1，AO =√32AB =√3，∴AC ＝2OA ＝2√3，BD ＝2BO ＝2，∴S 菱形ABCD =12AC •BD ＝2√3，∴S 阴影部分＝S 菱形ABCD ﹣2S 扇形ADE＝2√3−60π×22360 =6√3−2π3， 故答案为：6√3−2π3．【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确解答的前提．34．（2022•广州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在边AC 上，以O 为圆心，4为半径的圆恰好过点C ，且与边AB 相切于点D ，交BC 于点E ，则劣弧DE ̂的长是 ．（结果保留π）【分析】连接OD ，OE ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠A ＝∠COE ，再根据切线的性质和平角的定义可得∠DOE ＝90°，然后利用弧长公式进行计算即可解答．【解答】解：如图，连接OD ，OE ，∵OC ＝OE ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ABC ＝∠OEC ，∴AB ∥OE ，∴∠BDO+∠DOE ＝180°，∵AB 是切线，∴∠BDO ＝90°，∴∠DOE ＝180°﹣∠DOE ＝90°，∴劣弧DÊ的长是90×π×4180=2π．故答案为：2π．【点评】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．35．（2022•重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【分析】先根据锐角三角函数求出∠AEB ＝30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，∴BE＝BC＝2，在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴sin∠AEB=ABBE =12，∴∠AEB＝30°，∴∠EBA＝60°，∴∠EBC＝30°，∴阴影部分的面积：S=30π×22360=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．36．（2023•陕西）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为．【分析】根据正八边形的性质得出四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出AE，GE，BG即可．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G，由题意可知，四边形CEGF是矩形，△ACE、△BFG是等腰直角三角形，AC＝CF＝FB＝EG＝2，在Rt△ACE中，AC＝2，AE＝CE，∴AE＝CE=√22AC=√2，同理BG=√2，∴AB＝EG+BG＝2+√2，故答案为：2+√2．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．37．（2023•河北）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上．两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中：（1）∠α＝度；（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为（结果保留根号）．【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可得到结论；（2）把问题转化为图形问题，首先作出图形，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求ON＝OM+BE，再根据正六边形的性质以及三角函数的定义，分别求出OM，BE即可．【解答】解：（1）作图如图所示，∵多边形是正六边形，∴∠ACB＝60°，∵BC∥直线l，∴∠ABC＝90°，∴α＝30°；故答案为：30°；（2）取中间正六边形的中心为O，作图如图所示，由题意得，AG∥BF，AB∥GF，BF⊥AB，∴四边形ABFG为矩形，∴AB＝GF，∵∠BAC＝∠FGH，∠ABC＝∠GFH＝90°，∴△ABC≌△GFH（SAS），∴BC＝FH，在Rt△PDE中，DE＝1，PE=√3，由图1知AG＝BF＝2PE＝2√3，OM＝PE=√3，∵BC=12(BF−CH)=√3−1，∴AB=BCtan∠BAC =√3−1√33=3−√3，∴BD=2−AB=√3−1，∵DE=12×2=1，∴BE=BD+DE=√3，∴ON=OM+BE=2√3．∴中间正六边形的中心到直线l的距离为2√3，故答案为：2√3．【点评】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．38．（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是．【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解答】解：∵多边形是正五边形，∴正五边形的每一个内角为：15×180°×（5﹣2）＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五边形的个数是360°÷36°＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键．39．（2023•杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则S1S2=．【分析】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到S△ABC＝S△AEE＝S△CDES△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．【解答】解：如图所示，连接OA，OC，OE．∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是⊙O的内接正三角形，∵∠B＝120°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA=12（180°﹣∠B）＝30°，∵∠CAE＝60°，∴∠OAC＝∠OAE＝30°，∴∠BAC＝∠OAC＝30°，同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，又∵AC＝AC，∴△BAC≌△OAC（ASA），∴S△BAC＝S△AOC，圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，=2，∴S1S2故答案为：2【点评】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．40．（2023•连云港）以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则正六边形ABCDEF至少旋转°．【分析】以正六边形ABCDEF的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，即∠DCD'是旋转角，∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少要旋转60°．【解答】解：∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BCD＝120°，要使新正六边形A′B′CD′E′F′的顶点D′落在直线BC上，则∠DCD'至少为60°，则正六边形ABCDEF至少旋转60°．故答案为：60°．【点评】本题考查多边形的性质和旋转的性质，熟悉性质是解题关键．。

中考真题分类汇编（圆）----与圆有关的计算一、选择题1. （2021•山西）如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长 为半径画弧，得BC ，连接 AC 、AE ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2πB. 4πC. 33πD. 233π解：过B 点作AC 垂线，垂直为G ，根据正六边形性质可知，30CAB BCA ∠=∠=︒，∴22222=222123AC AG AB GH =⨯-=⨯-=，∴S 扇形=260(23)2360ππ⨯⨯=， 故选：A ．2. （2021•河北省）如图，等腰△AOB 中，顶角∠AOB ＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O 为圆心，OA 为半径画圆；②在⊙O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；③作AB 的垂直平分线与⊙O 交于M ，N ；④作AP 的垂直平分线与⊙O 交于E ，F ．结论Ⅰ：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【分析】如图，连接EM，EN，MF．NF．根据矩形的判定证明四边形MENF是矩形，再说明∠MOF≠∠AOB，可知（Ⅱ）错误．【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图象可知∠MOF≠∠AOB，∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）错误，故选：D．3.（2021•四川省成都市）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，∵正六边形的边长为6，∴S阴影＝＝12π，故选：D4．（2021•湖北省荆州市）如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC 长为半径画，点P为菱形内一点，连接P A，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．2πD．【分析】连接AC，延长AP，交BC于E，根据菱形的性质得出△ABC是等边三角形，进而通过三角形全等证得AE⊥BC，从而求得AE、PE，利用S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：连接AC，延长AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠P AB＝∠P AC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC为等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，故选：A．5.（2021•四川省广元市）如图，在边长为2的正方形ABCD中，AE是以BC为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（）A. 32π+B. 2π- C. 1 D.52π-【答案】D【解析】【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OF A=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．【详解】解：取BC 的中点O ，设AE 与⊙O 的相切的切点为F ，连接OF 、OE 、OA ，如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，且边长为2，∴BC=AB =2，∠ABC=∠BCD =90°，∵AE 是以BC 为直径的半圆的切线，∴OB =OC =OF =1，∠OF A =∠OFE =90°，∴AB =AF =2，CE =CF ，∵OA =OA ，∴Rt △ABO ≌Rt △AFO （HL ），同理可证△OCE ≌△OFE ，∴,AOB AOF COE FOE ∠=∠∠=∠，∴90AOB COE AOB BAO ∠+∠=︒=∠+∠，∴COE BAO ∠=∠，∴ABO OCE ∽， ∴OC CE AB OB=， ∴12CE =， ∴15222222ABO OCE ABCE S S S S S S ππ-=-=+-=+-=阴影半圆半圆四边形； 6.（2021•四川省广元市）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为90︒的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ ）A. 4πB. 24C. 12D. 1【答案】B【解析】【分析】先计算BC 的长度，然后围成的圆锥底面周长等同于BC 的长度，根据公式计算即可．【详解】解：如下图：连接BC ，AO ，∵90BAC ∠=，∴BC 是直径，且BC=2，又∵AB AC =，∴45ABC ACB ∠=∠=，,AO BC ⊥又∵sin 45OA AB ︒=，112OA BC == ， ∴ 12sin 452OA AB ===︒ ∴BC 的长度为：9022=1802π⨯，∴围成的底面圆周长为22π， 设圆锥的底面圆的半径为r ， 则：222r ππ=， ∴212=224r ππ=⨯． 故选：B7. （2021•浙江省衢州卷） 已知扇形的半径为6，圆心角为150︒．则它的面积是（ ）A. 32πB. 3πC. 5πD. 15π【答案】D8. （2021•遂宁市） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，若⊙O 的半径为43，∠CDF =15°， 则阴影部分的面积为（ ）A. 16123π-B. 16243π-C. 20123π-D. 20243π-【答案】A【解析】 【分析】连接AD ，连接OE ，根据圆周角定理得到∠ADB =90°，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，求得∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，解直角三角形得到OH 3AH =6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接AD ，连接OE ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC =∠DF A =90°，∴∠DAC =∠CDF =15°，∵AB =AC ，D 是BC 中点，∴∠BAC =2∠DAC =2×15°=30°，∵OA =OE ，∴∠AOE =120°，过O 作OH ⊥AE 于H ，∵AO 3∴OH =12AO 3， ∴AH 3=6，∴AE =2AH =12，∴S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE =(212043112233602π⨯-⨯⨯163π=-故选：A ．9. (2021•四川省自贡市)如图，直线22y x =-+与坐标轴交于A 、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线3y x =-+于点Q ，OPQ △绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大值是（ ）A. 23πB. 12π C. 1116π D. 2132π 【答案】A【解析】【分析】根据题意得OQM OMN S S S =-阴影扇形扇形，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，利用扇形面积公式得到()21325?8S a a π=-++阴影，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，根据旋转的性质，OPQ OMN ≅，∴OPQ OMN S S =，则OMN OPQ OQM OPN S S S S S =+--阴影扇形扇形OQM OPN S S =-扇形扇形，∵点P 在直线22y x =-+上，点Q 在直线3y x =-+上，且PQ ∥y 轴，设P (a ，2-2a )，则Q (a ，3-a )，∴OP 2=()22222584a a a a +-=-+，OQ 2=()2223269a a a a +-=-+， OQM OPN S S S =-阴影扇形扇形2245?45?360360OQ OP ππ=- ()21325?8a a π=-++， 设22116325333y a a a ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∵30-<，∴当13a =时，y 有最大值，最大值为163， ∴S 阴影的最大值为1612383ππ⨯=． 故选：A ．10. （2021•青海省）如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动）那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积是（ ）A ．πm 2B ．πm 2C ．πm 2D ．πm 2【分析】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，所以面积＝＝π（m 2）；小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m ，则面积＝＝（m 2），则小羊A 在草地上的最大活动区域面积＝π+＝π（m 2）． 故选：B ．11. （2021•浙江省湖州市）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为C 1，当点P 运动时，点C 1也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段CC 1扫过的区域的面积是A ．πB ．334π+C ．332D ．2π 【答案】B【解析】如图，C 1运动的路径是以B 为圆心，3为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC 1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以3为边长的等边三角形，故S ＝22120(3)333(3)36044ππ+⨯=+，故选B ．12. （2021•湖南省张家界市）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD 的面积为S ，黑色部分面积为1S ，则1S ：S 的比值为（A ）.A 8π .B 4π .C 41 .D 2113. （2021•云南省）如图，等边△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径．若0A ＝3，则劣弧BD 的长是（ ）BA ．B ．πC ．D ．2π14. （2021•广西贺州市）如图，在边长为2的等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与AB ，AC 分别交于E ，F 两点，则图中阴影部分的面积为（ ）A. π6B. π3C. π2D. 2π3【答案】C【解析】【分析】由等边ABC 中，D 是BC 边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解．【详解】ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的中点AD BC ∴⊥，60A ∠=︒2222213AD AB BD ∴=-=-=S 扇形AEF 226060(3)3602r πππ⨯=== 故选C ．15. （2021•湖北省江汉油田）用半径为30cm ，圆心角为120︒的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ ）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm【答案】B【解析】【分析】根据圆锥的侧面是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面周长即可得．【详解】解：设这个圆锥底面半径为cmr，由题意得：12030 2180ππ⨯=r，解得10(cm)r=，即这个圆锥底面半径为10cm，故选：B．二．填空题1.．（2021•湖南省衡阳市）底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为12π．（结果保留π）【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．故答案为：12π．2.（2021•怀化市）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是π﹣．（结果保留π）【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB 可得出结论．【解答】解：∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝＝π﹣．故答案为：π﹣．3.（2021•宿迁市）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【答案】48π【解析】【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．【详解】解：∵底面圆的半径为4，∴底面周长为8π，∴侧面展开扇形的弧长为8π，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，∴120180rπ＝8π，解得：r＝12，∴侧面积为π×4×12＝48π，故答案为：48π．4.（2021•山东省聊城市）用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2【答案】80【解析】【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm ， ∴圆锥的母线长为：226810cm +=，∴扇形铁片的面积=16110280ππ⨯⨯=cm 2， 故答案是：80π．5. （2021•山东省泰安市）若△ABC 为直角三角形，AC ＝BC ＝4，以BC 为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 4 ．【分析】连接CD ．构建直径所对的圆周角∠BDC ＝90°，然后利用等腰直角△ABC 的性质：斜边上的中线是斜边的一半、中线与垂线重合，求得CD ＝BD ＝AD ，从而求得弦BD 与CD 所对的弓形的面积相等，所以图中阴影部分的面积＝直角三角形ABC 的面积﹣直角三角形BCD 的面积．【解答】解：连接CD ．∵BC 是直径，∴∠BDC ＝90°，即CD ⊥AB ；又∵△ABC 为等腰直角三角形，∴CD 是斜边AB 的垂直平分线，∴CD ＝BD ＝AD ,∴＝,∴S 弓形BD ＝S 弓形CD ，∴S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △BCD ；∵△ABC为等腰直角三角形，CD是斜边AB的垂直平分线，∴S Rt△ABC＝2S Rt△BCD；又S Rt△ABC＝×4×4＝8，∴S阴影＝4；故答案为：4．6.．（2021•湖北省宜昌市）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为（2π﹣2）平方厘米．（圆周率用π表示）【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝BC＝2厘米，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1厘米，AD＝BD＝厘米，∴△ABC的面积为BC•AD＝（厘米2），S扇形BAC＝＝π（厘米2），∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝（2π﹣2）厘米2，故答案为：（2π﹣2）．7.（2021•广东省）如题13图，等腰直角三角形ABC中，90BC=．分别以点B、A∠=︒，4点C 为圆心，线段BC 长的一半为半径作圆弧，交AB 、BC 、AC 于点D 、E 、F ，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】4π- 【解析】211142π24π424ABC B S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=-△⊙阴影，考查阴影面积的求法（主要还是用整体减去局部）8. （2021•湖北省恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径 26 寸．【分析】过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ，连接OA ，设圆的半径为x ，利用勾股定理在Rt △OAC 中，列出方程，解方程可得半径，进而直径可求．【解答】解：过圆心O 作OC ⊥AB 于点C ，延长OC 交圆于点D ，连接OA ，如图：∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC ＝AB ，．则CD ＝1寸，AC ＝BC ＝AB ＝5寸．设圆的半径为x 寸，则OC ＝（x ﹣1）寸．在Rt △OAC 中，由勾股定理得：52+（x ﹣1）2＝x 2，解得：x ＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．9. （2021•浙江省宁波市） 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，延长,AC BD 交于点P ．若120P ∠=︒，O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为________cm ．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，∵,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，∴90OCP ODP ∠=∠=︒，∵120P ∠=︒，360OCP ODP P COD ∠+∠+∠+∠=︒，∴60COD ∠=︒，∴CD 的长=6062180（cm ），故答案为：2π．．10. （2021•浙江省台州）如图，将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，得到线段AC ．若AB＝12，则点B经过的路径BC长度为_____．（结果保留π）【答案】2π【解析】【分析】直接利用弧长公式即可求解．【详解】解：30122180BClππ⋅==，故答案为：2π．11. 2021•浙江省温州市）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为π．【分析】根据弧长公式代入即可．【解答】解：根据弧长公式可得：l＝＝＝π．故答案为：π．12.（2021•湖北省荆门市）如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，根据等边三角形的性质得到∠PBC＝60°，解直角三角形求出BF、PF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接PB、PC，作PF⊥BC于F，∵PB＝PC＝BC，∴△PBC为等边三角形，∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，∴BF＝PB•cos60°＝PB＝1，PF＝PB•sin60°＝，则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2＝[﹣（﹣×2×）]×2＝2﹣，故答案为：2﹣．13.（2021•江苏省盐城市）设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为6π．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．故答案为6π．14.（2021•重庆市A）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）．【答案】4 5【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4，∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2，∴22362423605AOES Sππ⨯⨯===阴影扇形，故答案为：45π．15. （2021•重庆市B）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为96﹣100π．（结果保留π）【分析】先求出菱形面积，再计算四个扇形的面积即可求解．【解答】解：在菱形ABCD中，有：AC＝12，BD＝16．∴．∵∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB＝360°．∴四个扇形的面积，是一个以AB的长为半径的圆．∴图中阴影部分的面积＝×12×16﹣π×102＝96﹣100π．故答案为：96﹣100π．16.（2021•湖北省十堰市）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以C为圆心、BC长为半径画弧交AC于点F，则图中阴影部分的面积是_________．【答案】3π-6【解析】【分析】连接BE ，可得ABE △是等腰直角三角形，弓形BE 的面积=2π-，再根据阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积，即可求解．【详解】连接BE ，∵在正方形ABCD 中，以AB 为直径的半圆交对角线AC 于点E ，∴∠AEB =90°，即：AC ⊥BE ，∵∠CAB =45°，∴ABE △是等腰直角三角形，即：AE =BE ，∴弓形BE 的面积=211222242ππ⨯-⨯⨯=-， ∴阴影部分的面积=弓形BE 的面积+扇形CBF 的面积-BCE 的面积=2π-+2454360π⨯⨯-114422⨯⨯⨯=3π-6． 故答案是：3π-6．17. （2021•湖南省永州市）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 ．18.（2021•黑龙江省大庆市）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm 2．高是5cm ．如果这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是 cm 2；【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积．【详解】Ｖ圆柱＝Sh =212560cm ， 这个橡皮泥的一半体积为：2160302V cm ，把它捏成高为5cm 的圆锥，则圆锥的高为5cm ，故1303Sh ， 即15=303S ， 解得=18S （cm 2），故填：18．19. （2021•黑龙江省大庆市） 如图，作⊙O 的任意一条直经FC ，分别以F 、C 为圆心，以FO 的长为半径作弧，与⊙O 相交于点E 、A 和D 、B ，顺次连接AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、F A ，得到六边形ABCDEF ，则⊙O 的面积与阴影区域的面积的比值为 ；16题图DBE A OF C【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解【详解】连接OE ，OD ，OB ，OA ，由题可得：EF OF OE FA OA AB OB BC OC CD OD ==========,,,,,EFO OFA OAB OBC OCD ∴△△△△△△ODE 为边长相等的等边三角形∴可将图中阴影部分的面积转化为ODE 和OAB 的面积之和，如图所示：设⊙O 的半径与等边三角形的边长为a ，∴⊙O 的面积为22S r a ππ==等边OED 与等边OAB 的边长为a 234OAB a S S ∴==△OED △ 23=2OED OABa S S S ∴+=△△阴 ∴⊙O 的面积与阴影部分的面积比为2223=332S a S a ππ=阴故答案为：233π． 20. （2021•吉林省长春市）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA 的长度为200米，圆心角90AOB ∠=︒，则这段铁轨的长度 米，（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）【分析】根据圆的弧长计算公式l ＝，代入计算即可． 【解答】解：圆弧长是：＝100π（米）．故答案是：100π．21. （2021•绥化市）一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm ．【答案】40【解析】【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm 的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】解：设弧所在圆的半径为r ，由题意得， 135253180r ππ⨯⨯=⨯⨯， 解得，r=40cm ．22. （2021•江苏省无锡市）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr＝，解得r＝．故答案为：．23.（2021•山东省济宁市）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC 的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是﹣．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴sin C＝＝＝，BC＝＝＝2，∴∠C＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝BC＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，故答案为：﹣．24.（2021•呼和浩特市）已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为__________．（用含π的代数式表示），圆心角为__________度．12π，21625.（2021•齐齐哈尔市）一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为_____cm．【答案】9．【解析】【详解】试题分析：求得圆锥的底面周长，利用弧长公式即可求得圆锥的母线长：∵圆锥的底面周长为：2π×6=12π，∴圆锥侧面展开图的弧长为12π.设圆锥的母线长为R，∴24012180Rππ⨯=，解得R=9cm．考点：圆锥的计算．三、解答题1.（2021•湖北省黄冈市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）有切点则连圆心，证明垂直关系；无切点则作垂线，证明等于半径；（2）将不规则图形转化为规则图形间的换算．【解答】（1）证明：连接OE，OF，∵BO是∠ABC的平分线，∴OD═OE，OE是圆的一条半径，∴AB是⊙O的切线，故：AB是⊙O的切线．（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，∴OE⊥BC，OF⊥AC，∴四边形OECF是正方形，∴OE═OF═EC═FC═1，∴BC═BE+EC═4，又AC═3，∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）═×（）═﹣．故图中阴影部分的面积是：﹣．2.（2021•湖南省邵阳市）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）【分析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．（2）根据S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF求解即可．【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．由题意得π•DE＝,AD＝2DE,∴n＝90,∴∠BAC＝90°．(2)∵AD＝2DE＝10(cm),∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．3.（2021•江西省）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD＝∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD＝30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB＝2时，求AD，AC与围成阴影部分的面积．【分析】（1）先判断出∠CBE＝∠D,再用等角的余角相等，即可得出结论；（2）①先判断出OC∥AB，再判断出BC∥OA，进而得出四边形ABCO是平行四边形，即可得出结论；②先求出AC，BC，再用面积的和，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠D，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠D+∠CAD＝90°，∴∠CBE+∠CAD＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CBE+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE；(2)①四边形ABCO是菱形，理由：∵∠CAD＝30°，∴∠COD＝2∠CAD＝60°，∠D＝90°﹣∠CAD＝60°，∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴CE⊥AB，∴OC∥AB，∴∠DAB＝∠COD＝60°，由（1）知，∠CBE+∠CAD＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠CAD＝60°＝∠DAB，∴BC∥OA，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA＝OC，∴▱ABCO是菱形；②由①知，四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝2，∴AD＝2OA＝4，由①知，∠COD＝60°，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴CD＝2，AC＝2，∴AD ，AC 与围成阴影部分的面积为S △AOC +S 扇形COD ＝S △ACD +S 扇形COD ＝××2×2+ ＝+π． 4. （2021•湖北省随州市）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为_____，其内切圆的半径长为______；（2）①如图1，P 是边长为a 的正ABC 内任意一点，点O 为ABC 的中心，设点P 到ABC 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，连接AP ，BP ，CP ，由等面积法，易知()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△，可得123h h h ++=_____；（结果用含a 的式子表示） ②如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边距离分别为1h ，2h ，3h ，4h ，5h ，参照①的探索过程，试用含a 的式子表示12345h h h h h ++++的值．（参考数据：8tan 3611≈°，11tan 548≈°）（3）①如图3，已知O 的半径为2，点A 为O 外一点，4OA =，AB 切O 于点B ，弦//BC OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为______；（结果保留π）②如图4，现有六边形花坛ABCDEF ，由于修路等原因需将花坛进行改造．若要将花坛形状改造成五边形ABCDG ，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点G 的位置，并说明理由．（1）125，1；（23；②5516a ；（3）①23π；②见解析． 【分析】（1）根据等积法解得直角三角形斜边上的高的长，及利用内切圆的性质解题即可； （2）①先求得边长为a 的正ABC 的面积，再根据()123123ABC OAB h h h S a S ++==△△解题即可；②设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，过O 作OQ AB ⊥于Q ，先由正切定义，解得OQ 的长，由①中结论知，5OAB ABCDE S S =五边形△，继而得到()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，据此解题； （3）①由切线性质解得30OAB ∠=︒，再由平行线性质及等腰三角形性质解得60COB ∠=︒，根据平行线间的距离相等，及同底等高或等底同高的两个三角形面积相等的性质，可知图中阴影部分的面积等于扇形OBC 的面积，最后根据扇形面积公式解题；②连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，根据DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△，据此解题．【详解】解：（1）直角三角形的面积为：13462⨯⨯=， 22345+=，设直角三角形斜边上的高为h ，则1562h ⨯⋅= 125h ∴= 设直角三角形内切圆的半径为r ，则11(345)3422++=⨯⨯ 1r ∴=，故答案为：125，1； （2）①边长为a 的正ABC 底边的高为32a ，面积为：2133224OAB a S a a =⋅⋅=△ ()123232431ABC OAB h h h S S a a =++==△△ 123h h h =∴++32a ， 故答案为：32a ； ②类比①中方法可知()1234512ABCDE a h h h h h S ++++=五边形， 设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA ，OB ，由①得5OAB ABCDE S S =五边形△，过O 作OQ AB ⊥于Q ，()1180521085EAB ∠=⨯⨯-=°°， 故54OAQ ∠=°，1tan 54tan 542OQ AQ a =⨯=°°，故()123451115tan 54222a h h h h h a a ++++=⨯⨯°，从而得到： 12345555tan 54216h h h h h a a ++++=≈°． （3）①AB 是O 的切线，OB AB ∴⊥90OBA ∴∠=︒2,4OB OA30OAB ∴∠=︒60AOB ∴∠=︒//BC OA60AOB OBC ∴∠=∠=︒OC OB =60OBC OCB ∴∠=∠=︒60COB ∴∠=︒过点O 作OQ BC ⊥//BC OA ，OQ ∴是COB ABC 、的高，ABC OCB S S ∴=26060423603603OBC r S S πππ⨯⨯∴====阴影部分扇形 故答案为：23π； ②如图，连接DF ，过点E 作//EG DF 交AF 的延长线于G 点，则点G 即为所求，连接DG ，∵DEF ABCDEF ABCDF S S S =+六边形五边形△，∵//EG DF ，∴DEF DGF S S =△△，∴DGF ABCDEF ABCDF ABCDG S S S S =+=六边形五边形五边形△．5. （2021•襄阳市） 如图，直线AB 经过O 上的点C ，直线BO 与O 交于点F 和点D ，OA 与O 交于点E ，与DC 交于点G ，OA OB =，CA CB =．（1）求证：AB 是O 的切线； （2）若//FC OA ，6CD =，求图中阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）332π2-6. （2021•贵州省贵阳市）如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN ．（1）EM 与BE 的数量关系是 BE ＝EM ； （2）求证：＝； （3）若AM ＝，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．【分析】（1）证得△BME是等腰直角三角形即可得到结论；（2）根据垂径定理得到∠EMB＝90°，进而证得∠ABE＝∠BEN＝45°，得到＝，根据题意得到＝，进一步得到＝；（3）先解直角三角形得到∠EAB＝30°，从而得到∠EOB＝60°，证得△EOB是等边三角形，则OE＝BE＝，然后证得△OEB≌△OCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，∴∠ABE＝45°，∵AB⊥EN，∴△BME是等腰直角三角形，∴BE＝EM，故答案为BE＝EM；（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，∴∠AOE＝90°，∴∠ABE＝∠AOE＝45°，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠EMB＝90°∴∠ABE＝∠BEN＝45°，∴＝，∵点E是的中点，∴＝，∴＝，∴﹣＝﹣，∴＝；（3）连接AE，OB，ON，∵EN⊥AB，垂足为点M，∴∠AME＝∠EMB＝90°，∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，∴EM＝BM＝1，又∵BE＝EM，∴BE＝，∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，∴tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，∵∠EAB＝∠EOB，∴∠EOB＝60°，又∵OE＝OB，∴△EOB是等边三角形，∴OE＝BE＝，又∵＝，∴BE＝CN，∴△OEB≌△OCN（SSS），∴CN＝BE＝又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．7. （2021•湖北省黄石市）如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 是切点，AC 是O 的直径，连接OP ，交O 于点D ，交AB 于点E ．（1）求证：//BC OP ；（2）若E 恰好是OD 的中点，且四边形OAPB 的面积是163，求阴影部分的面积； （3）若1sin 3BAC ∠=，且23AD =，求切线PA 的长．【答案】（1）见解析；（2）823π-；（3）2【解析】【分析】（1）证明∠POB =∠CBO ，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）证明△AOD 是等边三角形得∠AOD =60°，设OA =R ，求出AE 3R ，AB 3R ，PO =2R ，根据四边形OAPB 的面积是163R ，再利用AOB AOB S S S ∆=-阴影扇形求解即可；（3）利用1sin 3BAC ∠=设出BC =m ，则AC =3m ，分别求出2AE m =，DE =m ，在Rt △AED 中运用勾股定理列方程，求出m 的值，再证明∠APO =∠BAC ，利用1sin 3BAC ∠=求出P A 的长．【详解】解：（1）证明：∵PA PB ，是O 的切线 ∴PO AB ⊥，即90OEB ∠=︒∴90EOB OBE ∠+∠=︒∵AC 是O 的直径∴∠ABC =90°90EBO CBO ∠+∠=︒∴EOB CBO ∠=∠∴//BC OP（2）∵E 是OD 的中点，且AB ⊥OD ，∴AO =AD ，又AO =OD∴△AOD 是等边三角形∴∠AOD =60°∵P A 是O 的切线，OA 是O 的半径，∴∠OAP =90°∴∠APO =30°∴PO =2AO在Rt AOE ∆中，∠AOE =60°∴∠OAE =30°设OA =R ，则2R OE =∴2AE R =∴2,22AB AE PO AO R ====∵四边形OAPB 的面积是∴16AB PO =2163R =解得，R （负值舍去）∴AB OE ==∵60AOD ∠=︒∴120AOB ∠=︒∴1=82AOBAOB S S S π∆-=-⨯=-阴影扇形 （3）∵90ABC ∠=︒∴1sin 3BAC BC AC ∠== 故设BC =m ，则AC =3m ，∴32AO m = ∵OE //BC∴1122OE BC m == 3122DE OD OE m m m =-=-= 在Rt △AEO 中，222AE AO OE m =-=在Rt △AED 中，222AE DE AD +=∴222(2)(23)m m +=∴2m = (负值舍去)∴22AE =∵90,90OAE AOE APO AOE ∠+∠=︒∠+∠=︒∴OAE APO ∠=∠1sin sin 3APO BAC ∠=∠= ∴13AE PA = ∴ 362PA AE ==8. （2021•四川省达州市）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点（C 不与点A ，B 重合），BC ，过点C 作CD ⊥AB ，点D 落在点E 处得△ACE ，AE 交⊙O 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若∠BAC ＝15°，OA ＝2，求阴影部分面积．【分析】（1）连接OC ，求得∠ACO ＝∠EAC ，根据内错角相等两直线平行得到OC ∥AE ，进。

与圆有关的计算18. （2012山东泰安，18，3分）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ，若ABC ∠=120°，OC=3，则 BC的长为（ ）A.πB.2π D.3π D.5π【解析】连接OB ，因为AB 是⊙O 的切线，所以OB ⊥AB ，∠ABO=90°，因为ABC ∠=120°，所以OBC ∠=30°.因为OB=OC ，所以∠C=∠B=30°，∠BOC=120°，所以 BC的长l BC=12032180ππ=.【答案】B.【点评】圆的切线垂直于过切点的半径，连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一；熟记弧长公式180n r l π=的求弧长的基础，设法求出弧所对圆心角的度数是关键（已知半径和条件下）。

14.（2011山东省聊城，14，3分）在半径为6cm 的圆中，60º圆心角所对的弧长为 cm. (结果保留π) 解析：根据弧长公式ππ2180660=⨯=l . 答案：π2点评：注意弧长公式与扇形公式区别联系.14．(2012重庆，14，4分)一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为___________（结果保留π）解析：根据扇形的面积公式即可求出。

答案：3π点评：注意单位要统一，如果题目中没单位，答案也不带单位。

12．(2012山东德州中考,12,4,)如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成. 已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于_________．12． 【解析】每段弧的长为180n R l π=＝1×26π=3π，故三段弧总长为π．【答案】π【点评】此题主要考查圆的弧长公式180n Rl π=．此题还可以用转换法，实际三个弧之和相等于一个半圆． 8．（2012四川内江，8，3分）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝分图形的面积为 A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3【解析】如下图所示，取AB 与CD 的交点为E ，由垂径定理知CECOB ＝2∠CDB ＝60°，所以OC ＝sin 60CE＝2，OE ＝12OC ＝1，接下来发现OE ＝BE ，可证△OCE ≌△BED ，所以S 阴影＝S 扇形COB ＝16π·22＝2π3．【答案】D【点评】圆的有关性质是中考高频考点，而图形面积也是多数地方必考之处，将它们结合可谓珠联璧合．解答此题需在多处转化：一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决；二是由圆周角度数求出圆心角度数；三是发现图中存在的全等三角形，这一点是解题关键．23.（2012贵州贵阳，23，10分）如图，在⊙O 中，直径AB=2，CA 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于D ，若∠C=45°，则（1）BD 的长是 ；（5分） （2）求阴影部分的面积. （5分）解析： （1）由CA 切⊙O 于A ，得∠A=90°，再结合∠C=45°，得∠B=45°.连接AD ，则由直径AB=2，得∠ADB=90°.故BD=AB ×cos45°=2×cos45°=2；（2）运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD 的面积.B 图2B图2第23题图AC解：（1）填2； （2）由（1）得，AD=BD.∴弓形BD 的面积=弓形AD 的面积，故阴影部分的面积=△ACD 的面积. ∵CD=AD=BD=2，∴S △ACD =21CD ×AD=21×2×2=1，即阴影部分的面积是1. 点评：本题主要考查了圆的性质，切线的性质，等腰直角三角形的性质以及割补法，解法较多，有利于考生从自己的角度获取解题方法，中等偏下难度.13. (2012山东省临沂市，13，3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A.1 B.23C. 3D. 32【解析】由图得，四边形ABED 是圆内接四边形，∴∠B=∠D=∠DEC=600，∴弓形BE 的面积等于弓形DE 的面积，又∵AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB=4，∠BED=1200，∴BE=ED=AD=2，BC=4，阴影部分面积=S △CDE,又△CDE ∽△ABC ，∴S △ABC=34, S △CDE=41S △ABC=.3 【答案】选C 。

新人教版初中数学——与圆有关的计算知识点归纳及中考典型题解析一、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．二、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．（2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．考向一正多边形与圆任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．典例1如图，已知⊙O的周长等于8π cm，则圆内接正六边形ABCDEF的边心距OM的长为A．2 cm B．cmC．4 cm D．cm【答案】B【解析】如图，连接OC，OD，∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，∴∠COD=60°，∵OC=OD，OM⊥CD，∴∠COM=30°，∵⊙O的周长等于8π cm，∴OC=4 cm，∴OM=4cos30°（cm），故选B．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．1．若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是__________．2．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．考向二 弧长和扇形面积1．弧长公式：π180n Rl =； 2．扇形面积公式：2π360n R S =扇形或12S lR =扇形．典例2 如图，A 、B 、C 是圆O 上三个不同的点，且//AO BC ，20OAC ∠=，若1OA =，则AB 长是A ．118π B ．19πC ．29πD ．718π【答案】C【解析】∵AO ∥BC ，∴∠ACB=∠OAC=20°，由圆周角定理，得：∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°．∴AB 的长为401180π⨯⨯=29π，故选C ．【名师点睛】本题主要考查了弧长的求解，解题的关键是熟知圆周角定理和平行线的性质． 典例3 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧AB ，则AB 的展直长度为A ．3πB ．6πC ．9πD ．12π【答案】B【解析】AB 的展直长度为：10810180π⨯=6π（m ）．故选B ．【名师点睛】此题主要考查了弧长计算，正确掌握弧长公式是解题关键．3．圆心角为240°的扇形的半径为3cm ，则这个扇形的面积是 A ．πcm 2 B ．3πcm 2C ．9πcm 2D ．6πcm 24．如图，从一块直径为2m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为A ．22m π B ．232m πC ．2m πD ．22m π1．时钟的分针长5cm ，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是A ．254πcm B ．152πcm C ．52πcm D ．512πcm 2．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB 2，则AB 的长是A ．πB ．32π C ．2π D ．12π 3．圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是 A ．90°B ．120°C ．150°D ．180°4．已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆．若∠ABC =25°，则劣弧AC 的长为A ．25π36 B ．125π36C ．25π18D ．5π365．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，正六边形的周长是12，则O 的半径是A ．3B ．2C ．D ．6．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，4AB =，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 于点D ，则CD 的长为A ．1π6B ．1π3C ．2π3D ．π37．如图，AB 是圆锥的母线，BC 为底面半径，已知BC =6 cm ，圆锥的侧面积为15π cm 2，则sin ∠ABC 的值为A ．34B ．35C ．45D ．538．如图，AB 为O 的直径，C 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，连接AC AD BC BD 、、、，若2AB =，则图中阴影部分的面积为A ．23π-B ．23π-C ．3π-D ．3π-9．若一个圆锥的底面积为24cm π，圆锥的高为，则该圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为 A ．40︒B ．80︒C ．120︒D ．150︒10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．小明用如图所示的扇形纸片折叠成一个圆锥的侧面，已知圆锥的母线长为5cm ，扇形的弧长是6πcm ，那么这个圆锥的高是__________．12．如图，I是△ABC的内心，∠B=60°，则∠A I C=__________．13．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，AB=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为__________．14．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留根号和π）．15．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而902=45是360°（多边形外角和）的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是__________；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是__________．16．如图，AB 是⊙O 的弦，BC 切⊙O 于点B ，AD ⊥BC ，垂足为D ，OA 是⊙O 的半径，且OA =3．（1）求证：AB 平分∠OAD ；（2）若点E 是优弧AEB 上一点，且∠AEB =60°，求扇形OAB 的面积（计算结果保留π）．17．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE DF =3，求图中阴影部分的面积．18．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，OE AB ⊥于点E ，以点O 为圆心，OE为半径作半圆，交AO 于点F ． （1）求证：AC 是O 的切线；（2）若点F 是AO 的中点，3OE =，求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下，点P 是BC 边上的动点，当PE PF +取最小值时，直接写出BP 的长．19．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为A ，BC 交O 于点D ，点E 是AC 的中点.（1）试判断直线DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）若O 的半径为2，50B ∠=，5AC =，求图中阴影部分的周长.20．如图，C 、D 是半圆O 上的三等分点，直径AB =4，连接AD 、AC ，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．21．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC 分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE．（1）求证：DA=DE；（2）若AB=6，CD，求图中阴影部分的面积．1．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是 A ．2π B ．4πC ．12πD ．24π2．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠CPD 的度数为A ．30°B ．36°C ．60°D ．72°3．如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A =90°，∠ABC =105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为A ．2BC ．32D4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB BC =2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为A 2πB 2πC ．-πD ．-π25．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12 cm ，底面圆半径为3 cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________cm 2（结果精确到个位）．6．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留π）7．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120︒，点A与点B的距离为若扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________．8．如图，O为Rt△ABC直角边AC上一点，以OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E，已知BC，AC=3．则图中阴影部分的面积是__________．9．已知圆锥的底面半径是1__________度．AB=，将半圆绕点A顺时针旋转60︒，点B旋转到点C的位10．如图，AB为半圆的直径，且6置，则图中阴影部分的面积为__________．11．如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥O A．若OA=则阴影部分的面积为__________．12．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB=1尺（1尺=10寸），则该圆材的直径为__________寸．13．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF ⊥AC，垂足为点F．（1）求证：直线DF是⊙O的切线；（2）求证：BC2=4CF·AC；（3）若⊙O的半径为4，∠CDF=15°，求阴影部分的面积．15．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射∠=∠．线交BE的延长线于点C，使EAC EDA（1）求证：AC是⊙O的切线；==（2）若CE AE1．【答案】C【解析】∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过15分钟转过360°×1560=90°， 则分针的针尖转过的弧长是l C ． 2．【解析】（1）连接OB ，OC ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BOC =90°， ∴∠P =12∠BOC =45°； （2）过点O 作OE ⊥BC 于点E ，∵OB =OC ，∠BOC =90°，∴∠OBE =45°，∴OE =BE ，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴BE ==∴BC=2BE=2×=．【点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧．3．【答案】D【解析】扇形面积的计算公式为：2π2409S6π360360n rπ⨯⨯===，故选D．4．【答案】A【解析】连接AC．∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．∵AB2+BC2=22，∴AB=BCm，∴阴影部分的面积是290360π⨯=12π（m2）．故选A．【名师点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．1．【答案】C【解析】∵25B∠=︒，∴50O∠=︒，∵//AB CO，∴50O A∠=∠=︒，故选C.【名师点睛】本题主要考查了圆周角定理及平行线的性质，熟练运用相关知识点是解决本题的关键.2．【答案】A【解析】如图，连接OA、OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AB=BC=DC=AD，∴AB BC CD DA===，∴∠AOB=14×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（）2，解得：AO=2，∴AB的长为90π2180⨯=π，故选A．3．【答案】D【解析】∵圆锥的主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，∴圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，则圆锥的侧面展开图扇形的半径为4，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是n，根据题意，得：·π·4180n=4π，解得：n=180°，故选D．4．【答案】C【解析】如图，连接AO，CO，∵∠ABC=25°，∴∠AOC=50°，∴劣弧AC的长=50π525π=18018⨯，故选C．5．【答案】B【解析】如图，连结OA，OB，∵ABCDEF 为正六边形，∴∠AOB =360°×16=60°，∴△AOB 是等边三角形， ∵正六边形的周长是12，∴AB =12×16=2，∴AO =BO =AB =2，故选B ．【名师点睛】本题考查了正多边形和圆，以及正六边形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线求出∠AOB =60°是解答此题的关键. 6．【答案】C【解析】∵90ACB ∠=︒，4AB =，30A ∠=︒，∴60B ∠=︒，2BC =， ∴CD 的长为60π22π1803⨯=，故选C ． 7．【答案】C【解析】设圆锥的母线长为R ，由题意得15π=π×3×R ，解得R =5， ∴圆锥的高为4，∴sin ∠ABC =45．故选C ． 8．【答案】B【解析】设AD BC 、相交于点,E C 和D 分别是半圆AB 上的三等分点，AB 为⊙O 的直径30ABC BAD ∴∠=∠=︒.90ACB BDA ∠=∠=︒.2AB =，1,AC BD ∴==32ABC ABDBC AD SS==∴==，如图，连接OE ，则OE AB ⊥，1,AO BO OE ==∴=122ABES∴==，2222ABC ABES S S Sππ∴=-+=-+=-阴影半圆， 故选B .【名师点睛】此题主要考查了半圆的面积、圆的相关性质及在直角三角形中，30°角所对应的边等于斜边的一半，关键记得加上△ABE 的面积是解题的关键.9．【答案】C【解析】∵圆锥的底面积为4πcm 2，∴圆锥的底面半径为2cm ，∴底面周长为4π，圆锥的高为cm ， ∴由勾股定理得圆锥的母线长为6cm ， 设侧面展开图的圆心角是n °， 根据题意得：6180n π=4π，解得：n =120．故选C ． 【名师点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．11．【答案】4cm【解析】设圆锥的底面半径是r ，则2πr =6π，解得：r =3，cm ）． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面展开图的计算．用到的知识点：圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径是圆锥的母线长． 12．【答案】120°．【解析】∵∠B =60°，∴∠BAC +∠BCA =120°∵三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点，∴∠I AC =12∠BAC ，∠I CA =12∠BCA ， ∴∠I AC +∠I CA =12（∠BAC +∠BCA ）=60°，∴∠A I C =180°﹣60°=120°，故答案为120°．【名师点睛】此题主要考查利用三角形的内切圆的圆心是三角形三个角的平分线的交点性质进行角度求解，熟练掌握，即可解题. 13．【答案】（32+48π）cm 2【解析】如图，连接OA 、OB ，∵AB =90°，∴∠AOB =90°，∴S △AOB =12×8×8=32（cm 2）， 扇形ACB （阴影部分）=2270π8360⨯⨯=48π（cm 2），则弓形ACB 胶皮面积为（32+48π）cm 2， 故答案为：（32+48π）cm 2．14-π3 【解析】正六边形的中心为点O ，如图，连接OD 、OE ，作OH ⊥DE 于H ，∴∠DOE =3606︒=60°，∴OD =OE =DE =1，∴OH∴正六边形ABCDEF 的面积=12×，∠A =(62)1806-⨯︒=120°，∴扇形ABF 的面积=2120π13π603⨯=，∴图中阴影部分的面积=2-π3，故答案为：2-π3． 15．【答案】14；21【解析】图2中的图案外轮廓周长是：8-2+2+8-2=14； 设∠BPC =2x ，∴以∠BPC 为内角的正多边形的边数为：360180180290x x =--，以∠APB 为内角的正多边形的边数为：360x，∴图案外轮廓周长是=18090x --2+360x -2+360x -2=18090x -+720x-6，根据题意可知：2x 的值只能为60°，90°，120°，144°， 当x 越小时，周长越大，∴当x =30时，周长最大，此时图案定为会标， 则则会标的外轮廓周长是=180720903030+--6=21，故答案为：14；21．16．【解析】（1）连接OB ，如图所示：∵BC 切⊙O 于点B ，∴OB ⊥BC ，∵AD ⊥BC ，∴AD ∥OB ，∴∠DAB =∠OBA ，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA ，∴∠DAB =∠OAB ，∴AB 平分∠OAD ； （2）∵点E 是优弧AEB 上一点，且∠AEB =60°， ∴∠AOB =2∠AEB =120°，∴扇形OAB 的面积=2120π3360⨯=3π． 17．【解析】（1）DE 与⊙O 相切，理由：如图，连接DO ，∵DO =BO ， ∴∠ODB =∠OBD ，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ， ∴∠EBD =∠DBO ， ∴∠EBD =∠BDO ， ∴DO ∥BE ， ∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =∠EDO =90°， ∴DE 与⊙O 相切．（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BE ，DF ⊥AB ， ∴DE =DF =3，∵BE∴BD =6， ∵sin ∠DBF =31=62， ∴∠DBA =30°， ∴∠DOF =60°，∴sin60°=3DF DO DO ==∴DO则FO ，132π2-=． 18．【解析】（1）如图，过O 作AC 垂线OM ，垂足为M ．∵AB AC =，AO BC ⊥， ∴AO 平分BAC ∠，∵OE AB OM AC ⊥⊥，， ∴OE OM =， ∵OE 为⊙O 的半径， ∴OM 为⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线．（2）∵3OM OE OF ===，且F 是OA 的中点，∴6AO =，AE =∴2AEO S AO AE =⋅÷=△， ∵OE AB ⊥，∴60EOF ∠=︒，即9π603π3602OEF S ⋅︒==︒扇形，∴3π2S =阴影． （3）作B 关于BC 的对称点G ，交BC 于H ，连接FG 交BC 于P ，此时PE PF +最小， 由（2）知60EOF ∠=︒，30EAO ∠=︒， ∴60B ∠=︒， ∵3EO =，∴3EG =，32EH =，BH =， ∵EG BC ⊥，FO BC ⊥， ∴EHP △∽FOP △， ∴31322EH HP FO PO ==÷=，即2HP OP =，∵BO HP OP=+=，∴3HP=HP=，∴22BP=+=19．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OE、OD，如图，∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC=90°，∵点E是AC的中点，O点为AB的中点，∴OE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵OB=OD，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，在△AOE和△DOE中，∵OA=OD，∠1=∠2，OE=OE，∴△AOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE=∠OAE=90°，∴DE⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵DE、AE是⊙O的切线，∴DE=AE，∵点E是AC的中点，∴DE=AE=12AC=2.5，∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，∴阴影部分的周长=100210 2.5 2.551809ππ⨯++=+．【名师点睛】本题考查的是切线的判定与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线、切线长定理、弧长的计算，掌握切线的性质与判定、弧长公式是解题的关键．20．【解析】（1）如图，连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴AD=CD=BC，∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，∴∠CAB=30°，∵DE ⊥AB ，∴∠AEF =90°，∴∠AFE =90°–30°=60°； （2）由（1）知，∠AOD =60°，∵OA =OD ，AB =4，∴△AOD 是等边三角形，OA =2，∵DE ⊥AO ，∴DE∴S 阴影=S 扇形AOD –S △AOD =260π2360–12×2321．【解析】（1）如图，连接OE 、BE ，∵OB =OE ， ∴∠OBE =∠OE B ． ∵BC =EC ， ∴∠CBE =∠CEB ， ∴∠OBC =∠OEC ． ∵BC 为⊙O 的切线， ∴∠OEC =∠OBC =90°． ∵OE 为半径， ∴CD 为⊙O 的切线， ∵AD 切⊙O 于点A ， ∴DA =DE ．（2）如图，连接OC ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则四边形ABFD 是矩形， ∴AD =BF ，DF =AB =6，∴DC=BC+AD∵CF=∴BC-AD，∴BC在直角△OBC中，tan∠BOC=BC OB∴∠BOC=60°．在△OEC与△OBC中，OE OB OC OC CE CB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OEC≌△OBC（SSS），∴∠BOE=2∠BOC=120°，∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE=2×12BC·OB-2120π360OB⋅⋅3π．1．【答案】C【解析】S=2120π6360⨯⨯=12π，故选C．2．【答案】B【解析】如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD=3605︒=72°，∴∠CPD=12∠COD=36°，故选B．3．【答案】D【解析】∵∠A=90°，AB=AD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD=45°，BD AB，∵∠ABC=105°，∴∠CBD=60°，而CB=CD，∴△CBD为等边三角形，∴BC=BDAB，∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB∶CB，∴下面圆锥的侧面积×．故选D．4．【答案】A【解析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB，BC=2，∴tan A=BCAB==，∴∠A=30°，∴∠DOB=60°，∵OD=12ABDE=32，3222π-=-，故选A．5．【答案】113【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=12×2π×3×12=36π≈113（cm2）．故答案为：113．6．【答案】π-1【解析】如图，延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积=14×（S圆O-S正方形ABCD）=14×（4π-4）=π-1，故答案为：π-1．7．【答案】43【解析】如图，连接AB，过O作OM AB⊥于M，∵120AOB∠=︒，OA OB=，∴30BAO ∠=︒，AM =2OA =， ∵240π22π180r ⨯=，∴43r =，故答案为：43．【名师点睛】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键． 8．【答案】6π【解析】在Rt ABC △中，∵BC =，3AC =．∴AB =，∵BC OC ⊥，∴BC 是圆的切线，∵O 与斜边AB 相切于点D ，∴BD BC =，∴AD AB BD =-==在Rt ABC △中，∵1sin2BC A AB ===，∴30A ∠=︒， ∵O 与斜边AB 相切于点D ，∴⊥OD AB ，∴9060AOD A ∠=︒-∠=︒，∵tan tan 30OD AAD ==︒=，∴1OD =， ∴260π13606πS ⨯==阴影．故答案为：6π．【名师点睛】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键． 9．【答案】90【解析】设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a =4， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ︒，根据题意得π42π1180n ⨯⨯=，解得90n =， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90︒．故答案为：90．【名师点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10．【答案】6π【解析】由图可得，图中阴影部分的面积为：22260π6π(62)π(62)6π36022⨯⨯⨯÷⨯÷+-=，故答案为：6π．【名师点睛】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11π【解析】如图，作OE ⊥AB 于点F ，∵在扇形AOB 中，∠AOB =120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥O A ．OA = ∴∠AOD =90°，∠BOC =90°，OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴OD =OA ·tan30°=3=2，AD =4，AB =2AF =2×2=6，OF ，∴BD =2，∴阴影部分的面积是：S △AOD +S 扇形OBC -S △BDO =2230π2π23602⨯+-=，π． 12．【答案】26【解析】设⊙O 的半径为r ．在Rt △ADO 中，AD =5，OD =r -1，OA =r ，则有r 2=52+（r -1）2，解得r =13，∴⊙O 的直径为26寸，故答案为：26．13．【解析】（1）∵BA =BC ，∠ABC =90°，∴∠BAC =45°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB =∠AEB =90°，∴∠DAF +∠BGD =∠DBG +∠BGD =90°， ∴∠DAF =∠DBG ， ∵∠ABD +∠BAC =90°， ∴∠ABD =∠BAC =45°，∴AD =BD ， ∴△ADF ≌△BDG ．（2）①如图2，过F 作FH ⊥AB 于H ，∵点E 是BD 的中点， ∴∠BAE =∠DAE ， ∵FD ⊥AD ，FH ⊥AB ， ∴FH =FD ，∵FH BF =sin ∠ABD =sin45°=2，∴2FD BF =，即BF FD ， ∵AB =4，∴BD =4cos45°，即BF +FD +1）FD ，∴FD=4-故答案为：4-． ②连接OH ，EH ，∵点H 是AE 的中点，∴OH ⊥AE ，∵∠AEB =90°，∴BE ⊥AE ，∴BE ∥OH ，∵四边形OBEH 为菱形，∴BE =OH =OB =12AB ， ∴sin ∠EAB =BE AB =12， ∴∠EAB =30°．故答案为：30°．14．【解析】（1）如图所示，连接OD ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，而OB =OD ，∴∠ODB =∠ABC =∠C ，∵DF ⊥AC ，∴∠CDF +∠C =90°，∴∠CDF +∠ODB =90°，∴∠ODF =90°，∴直线DF 是⊙O 的切线．（2）连接AD ，则AD ⊥BC ，则AB =AC ，则DB =DC =12BC ， ∵∠CDF +∠C =90°，∠C +∠DAC =90°，∴∠CDF =∠DCA ，而∠DFC =∠ADC =90°，∴△CFD ∽△CDA ，∴CD 2=CF ·AC ，即BC 2=4CF ·AC ． （3）连接OE ，∵∠CDF =15°，∠C =75°，∴∠OAE =30°=∠OEA ， ∴∠AOE =120°，S △OAE =12AE ·OE ·sin ∠OEA =12×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA =S 阴影部分=S 扇形OAE -S △OAE =120360︒︒×π×42-16π3- 15．【解析】（1）如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒，∴90EAO AOF ∠+∠=︒，∵OA OE =， ∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠， ∵12EDA AOE ∠=∠， ∴EDA AOF ∠=∠，∵EAC EDA ∠=∠，∴EAC AOF ∠=∠，∴90EAO EAC ∠+∠=︒，∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠，∴90CAO ∠=︒，∴OA AC ⊥，∴AC 是⊙O 的切线．（2）∵CE AE ==C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠，∴2AEO EAC ∠=∠，∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠，∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒，∴OAE △是等边三角形，∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =，∴260π2π360=AOE S ⋅⨯=扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-【名师点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理．。

中考专题复习圆形(含答案)本文档为中考数学专题复，主要涵盖了圆形的相关知识点及答案。

以下是题目及对应的答案：1. 求圆的面积题目：已知圆的半径为4cm，求圆的面积。

答案：圆的面积公式为$S = \pi \cdot r^2$，代入半径$r = 4$，得到$S = \pi \cdot 4^2 = 16\pi cm^2$。

2. 求圆的周长题目：已知圆的直径为6cm，求圆的周长。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入直径$d = 6$，得到$C = \pi \cdot 6 = 6\pi cm$。

3. 求圆的直径题目：已知圆的周长为10π cm，求圆的直径。

答案：圆的周长公式为$C = \pi \cdot d$，代入周长$C = 10\pi$，解方程得到$d = \frac{C}{\pi} = \frac{10\pi}{\pi} = 10 cm$。

4. 求圆柱体的体积题目：已知圆柱体的底面积为9π $cm^2$，高度为5cm，求圆柱体的体积。

答案：圆柱体的体积公式为$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$，代入底面积$S = 9\pi$，高度$h = 5$，得到$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi cm^3$。

5. 求扇形的面积题目：已知扇形的半径为8cm，弧长为12cm，求扇形的面积。

答案：扇形的面积公式为$S = \frac{1}{2} \cdot r \cdot l$，代入半径$r = 8$，弧长$l = 12$，得到$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 =48 cm^2$。

6. 求圆锥的体积题目：已知圆锥的底面积为16π $cm^2$，高度为6cm，求圆锥的体积。

答案：圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2\cdot h$，代入底面积$S = 16\pi$，高度$h = 6$，得到$V =\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot 6 = 32\pi cm^3$。

2024年中考数学复习重难点题型训练—圆的相关证明与计算（含答案解析）类型一基本性质有关的1.(2022·湖南省郴州市)如图，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径的⊙O与线段BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P．(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为6，∠P=30°，求CE的长．【答案】(1)连接OD，根据AB=AC，OB=OD，得∠ACB=∠ODB，从而OD//AC，由DE⊥AC，即可得PE⊥OD，故PE是⊙O的切线；(2)连接AD，连接OD，由DE⊥AC，∠P=30°，得∠PAE=60°，又AB=AC，可得△ABC 是等边三角形，即可得BC=AB=12，∠C=60°，而AB是⊙O的直径，得∠ADB=90°，可得BD=CD=12BC=6，在Rt△CDE中，即得CE的长是3．本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定△ABC是等边三角形．2.(2022·辽宁省盘锦市)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，过点C作CE//AD与BA的延长线交于点E．(1)求证：CE与⊙O相切；(2)若AD=4，∠D=60°，求线段AB，BC的长．【答案】(1)连接OC，根据圆周角定理得∠AOC=90°，再根据AD//EC，可得∠OCE=90°，从而证明结论；(2)过点A作AF⊥EC交EC于F，由AD是圆O的直径，得∠ABD=90°，又AD=4，60°，即得AB=3BD=23，根据∠ABC=45°，知△ABF是等腰直角三角形，AF=BF=2AB= 6，又△AOC是等腰直角三角形，OA=OC=2，得AC=22，故CF=AC2−AF2=2，从而BC=BF+CF=6+2．本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．3.（2021·山东临沂市·中考真题）如图，已知在⊙O中，＝＝，OC与AD相交于点AB BC CDE．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE=BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据 BCCD =得到BC=CD ，从而证明菱形．【详解】解：（1）连接BD ，∵ AB BCCD ==，∴∠ADB=∠CBD ，∴AD ∥BC ；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF=∠CBF ，∵ BCCD =，∴BC=CD ，∴BF=DF ，又∠DFE=∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC=CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF=DF ．4.（2021·四川南充市·中考真题）如图，A ，B 是O 上两点，且AB OA =，连接OB 并延长到点C ，使BC OB =，连接AC ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）点D ，E 分别是AC ，OA 的中点，DE 所在直线交O 于点F ，G ，4OA =，求GF 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先证得△AOB 为等边三角形，从而得出∠OAB=60°，利用三角形外角的性质得出∠C=∠CAB=30°，由此可得∠OAC=90°即可得出结论；（2）过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N ，利用勾股定理得出AC=30°的直角三角形的性质得出DN ，再根据垂径定理和勾股定理即可求出GF 的长．【详解】（1）证明：∵AB=OA ，OA=OB∴AB=OA=OB∴△AOB 为等边三角形∴∠OAB=60°，∠OBA=60°∵BC=OB∴BC=AB∴∠C=∠CAB又∵∠OBA=60°=∠C+∠CAB∴∠C=∠CAB=30°∴∠OAC=∠OAB+∠CAB=90°∴AC 是⊙O 的切线；（2）∵OA=4∴OB=AB=BC=4∴OC=8∴AC=∵D 、E 分别为AC 、OA 的中点，∴OE//BC ，DC=过O 作OM ⊥DF 于M ，DN ⊥OC 于N则四边形OMDN 为矩形∴DN=OM在Rt △CDN 中，∠C=30°，∴DN=12DC=∴OM=3连接OG ，∵OM ⊥GF∴GF=2MG=222OG OM -=()22243-=213【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、等边三角形的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键．5.（2021·安徽中考真题）如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB ，CD 交于点E ．（1）M 是CD 的中点，OM ＝3，CD ＝12，求圆O 的半径长；（2）点F 在CD 上，且CE ＝EF ，求证：AF BD ⊥．【答案】（1）35；（2）见解析．【分析】（1）根据M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线可得OM CD ⊥，OM 平分CD ，则有6MC =，利用勾股定理可求得半径的长；（2）连接AC ，延长AF 交BD 于G ，根据CE EF =，AE FC ⊥，可得AF AC =，12∠=∠，利用圆周角定理可得2D ∠=∠，可得1D ∠=∠，利用直角三角形的两锐角互余，可证得90AGB ∠=︒，即有AF BD ⊥．【详解】（1）解：连接OC ，∵M 是CD 的中点，OM 与圆O 直径共线∴OM CD ⊥，OM 平分CD ，90OMC ∴∠=︒12CD = 6MC ∴=．在Rt OMC △中．OC ===∴圆O 的半径为（2）证明：连接AC ，延长AF 交BD 于G ．CE EF = ，AE FC⊥AF AC∴=又CE EF= 12∠∠∴= BCBC = 2D∴∠=∠1D∴∠=∠中在Rt BED∠+∠=︒90D B∴∠+∠=︒B190AGB∴∠=︒90∴⊥AF BD【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键．∠是 AD所对的圆周角，6.（2021·浙江中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠=︒．30ACD∠的度数；（1）求DABAB=，求DF的（2）过点D作DE AB⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若4长．【答案】（1）60︒；（2）23【分析】（1）连结BD ，根据圆周角性质，得B ACD ∠=∠；根据直径所对圆周角为直角、直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案；（2）根据含30°角的直角三角形性质，得12AD AB =；根据垂径定理、特殊角度三角函数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）连结BD ，30ACD ∠=︒30B ACD \Ð=Ð=°AB Q 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒，9060DAB B ∴∠=︒-∠=︒（2）90ADB ∠=︒ ，30B ∠=︒，4AB =∴122AD AB ==60DAB ∠=︒ ，DE AB ⊥，且AB 是直径sin 60EF DE AD︒∴===2DF DE =∴=．【点睛】本题考查了圆、含30°角的直角三角形、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角、垂径定理、含30°角的直角三角形、三角函数、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．7.（2021·湖南中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AC 是O 的直径，点D 是 BC的中点，//DE BC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：直线DE 与O 相切；（2）若O 的直径是10，45A ∠=︒，求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）5CE =．【分析】（1）连接OD ，由点D 是 BC的中点得OD ⊥BC ，由DE//BC 得OD ⊥DE ，由OD 是半径可得DE 是切线；（2）证明△ODE 是等腰直角三角形，可求出OE 的长，从而可求得结论．【详解】解：（1）连接OD 交BC 于点F ，如图，∵点D 是 BC的中点，∴OD ⊥BC ，∵DE//BC∴OD ⊥DE∵OD 是O 的半径∴直线DE 与O 相切；（2）∵AC 是O 的直径，且AB=10,∴∠ABC=90°，152OC OA AB ===∵OD ⊥BC∴∠OFC=90°∴OD//AB 45BAC ∠=︒∴45DOE ∠=︒∵90ODE ∠=︒∴45OED ∠=∴5DE OD OC ===由勾股定理得，OE =∴5CE OE OC =-=．【点睛】此题主要考查了切线的判定与性质的综合运用，熟练掌握切线的判定与性质是解答此题的关键．8.（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，在Rt AOB 中，90∠=︒ABO ，30OAB ∠=︒，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交BO 的延长线于点C ，过点C 作OA 的平行线，交O 于点D ，连接AD ．（1）求证：AD 为O 的切线；（2）若2OB =，求弧CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）23π【分析】（1）连接OB ，先根据直角三角形的性质得到∠AOB=60°，再运用平行线的性质结合已知条件可得60AOD ∠=︒，再证明AOB AOD △≌△可得90ADO ABO ∠=∠=︒即可；（2）先求出∠COD ，然后再运用弧长公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OD∵30OAB ∠=︒，90B ∠=︒∴60AOB ∠=︒又∵//CD AO∴60C AOB ∠=∠=︒∴2120BOD C ∠=∠=︒∴60AOD ∠=︒又∵,OB OD AO AO==∴()AOB AOD SAS ≌∴90ADO ABO ∠=∠=︒又∵点D 在O 上∴AD 是O 的切线；（2）∵120BOD ∠=︒∴60COD ∠=︒∴602223603l ππ=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、弧长公式等知识点，掌握圆的切线的证明方法成为解答本题的关键．9.（2020•齐齐哈尔）如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两个点，AC=CD =DB ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线．（2）若直径AB ＝6，求AD 的长．【分析】（1）连接OD ，根据已知条件得到∠BOD =13×180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OD，=CD =DB ，∵AC∴∠BOD=13×180°＝60°，=DB ，∵CD∴∠EAD＝∠DAB=12∠BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD=12AB＝3，∴AD=62−32=33．10.（2020•深圳）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝10，BC＝6，求CD的长．【分析】（1）证明：连接AC、OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥CD，则可判断OC∥AD，所以∠OCB＝∠E，然后证明∠B＝∠E，从而得到结论；（2）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用勾股定理可计算出AC＝8，再根据等腰三角形的性质得到CE＝BC＝6，然后利用面积法求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC、OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∴CD⊥AD，∴OC∥AD，∴∠OCB＝∠E，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∴∠B＝∠E，∴AE＝AB；（2）解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴AC=102−62=8，∵AB＝AE＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∵12CD•AE=12AC•CE，∴CD=6×810=245．11.（2020•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD．过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．（1）求证：AD∥EC；（2）若AB＝12，求线段EC的长．【分析】（1）连接OC，由切线的性质可得∠OCE＝90°，由圆周角定理可得∠AOC＝90°，可得结论；（2）过点A作AF⊥EC交EC于F，由锐角三角函数可求AD＝83，可证四边形OAFC是正方形，可得CF＝AF＝43，由锐角三角函数可求EF＝12，即可求解．【解析】证明：（1）连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC+∠OCE＝180°，∴∴AD∥EC（2）如图，过点A作AF⊥EC交EC于F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∴sin∠ADB=AB AD==83，∴AD=∴OA＝OC＝43，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝43，∵∠BAD＝90°﹣∠D＝30°，∴∠EAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵tan∠EAF=EF AF=3，∴EF=3AF＝12，∴CE＝CF+EF＝12+43．类型二与三角形全等、相似有关的12.(2022·辽宁省营口市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O与AC交于点E，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．(1)求证：∠D=∠EBC；(2)若CD=2BC，AE=3，求⊙O的半径．【答案】(1)根据切线的性质可得∠DAO=90°，从而可得∠D+∠ABD=90°，根据直径所对的圆周角是直角可得∠BEC=90°，从而可得∠ACB+∠EBC=90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，从而利用等角的余角相等即可解答；(2)根据已知可得BD=3BC，然后利用(1)的结论可得△DAB∽△BEC，从而利用相似三角形的性质可得AB=3EC，然后根据AB=AC，进行计算即可解答．本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．13.（2022·北部湾）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长BA交⊙O于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线（2）若AE DE=23，AF=10，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：连接OD；∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线（2）解：连接CF，由（1）知OD⊥DE，∵DE⊥AB，∴OD∥AB，∵OA=OC，∴BD=CD，即OD是△ABC的中位线，∵AC是⊙O的直径，∴∠CFA=90°，∵DE⊥AB，∴∠BED=90°，∴∠CFA=∠BED=90°，∴DE∥CF，∴BE=EF，即DE是△FBC的中位线，∴CF=2DE，∵AE DE=23，∴设AE=2x，DE=3k，CF=6k，∵AF=10，∴BE=EF=AE+AF=2k+10，∴AC=BA=EF+AE=4k+10，在Rt△ACF中，由勾股定理，得AC2=AF2+CF2，即(4k+10)2=102+(6k)2，解得：k=4，∴AC=4k+10=4×4+10=26，∴OA=13，即⊙O的半径为13.【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）连接OD ，根据等腰三角形的性质可得∠C=∠ODC ，∠B=∠C ，则∠B=∠ODC ，推出OD ∥AB ，由平行线的性质可得∠ODE=∠DEB=90°，即DE ⊥OD ，据此证明；（2）连接CF ，由（1）知OD ⊥DE ，则OD ∥AB ，易得OD 是△ABC 的中位线，根据圆周角定理可得∠CFA=90°，根据垂直的概念可得∠BED=90°，则DE ∥CF ，推出DE 是△FBC的中位线，得CF=2DE ，设AE=2x ，DE=3k ，CF=6k ，则BE=EF=2k+10，AC=BA=4k+10，根据勾股定理可得k 的值，然后求出AC 、OA ，据此可得半径.14.（2021·江苏无锡市·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AC 是O 的直径，AC 与BD 交于点E ，PB 切O 于点B ．（1）求证：PBA OBC ∠=∠；（2）若20PBA Ð=°，40ACD ∠=︒，求证：OAB CDE V V ∽．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知∠ABC=90°，由切线的性质可知∠OBP=90°，进而即可得到结论；（2）先推出20OCB OBC ∠=∠=︒，从而得∠AOB=40°，继而得∠OAB=70°，再推出∠CDE=70°，进而即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AC 是O 的直径，∴∠ABC=90°，∵PB 切O 于点B ，∴∠OBP=90°，∴90PBA ABO OBC ABO ∠+∠=∠+∠=︒，∴PBA OBC ∠=∠；（2）∵20PBA Ð=°，PBA OBC ∠=∠，∴20OBC ∠=︒，∵OB=OC ，∴20OCB OBC ∠=∠=︒，∴∠AOB=20°+20°=40°，∵OB=OA ，∴∠OAB=∠OBA=(180°-40°)÷2=70°，∴∠ADB=12∠AOB=20°，∵AC 是O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠CDE=90°-20°=70°，∴∠CDE=∠OAB ，∵40ACD ∠=︒，∴40ACD AOB ∠=∠=︒，∴OAB CDE V V ∽．【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定定理，切线的性质定理，是解题的关键．15.（2020•衢州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，AB ＝10，AC ＝6，连结OC ，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求OE的长．【分析】（1）利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可．（2）证明△AEC∽△BCA，推出CE AC=AC AB，求出EC即可解决问题．【解析】（1）证明：∵AE＝DE，OC是半径，=CD ，∴AC∴∠CAD＝∠CBA．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AE＝DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC=AC AB，∴CE6=610，∴CE＝3.6，∵OC=12AB＝5，∴OE＝OC﹣EC＝5﹣3.6＝1.4．16.（2020•铜仁市）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D 是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，BE CE=12，求CD的长．【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠A＝∠ECB，∵∠BCE＝∠BCD，∴∠A＝∠BCD，∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD，∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，∴∠DCO＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝∠BCE，∴tanA=BC AC=tan∠BCE=BE CE=12，设BC＝k，AC＝2k，∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD，∴BC AC=CD AD=12，∵AD＝8，∴CD＝4．17.（2020•衡阳）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；（2）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，根据相似三角形的性质得到AC=325，根据勾股定理得到CD=AD2−AC2==根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴AE AD=AD AC，108=8AC，∴AC=325，∴CD=AD2−AC2==245，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴△OBD∽△ABC，∴OD AC=BD BC，∴5325=BD BD+245，∴BD=1207．18.（2020•遵义）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交BC 于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长度．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠ADO＝∠DAE，从而OD∥AE，由DE∥BC得∠E＝90°，由两直线平行，同旁内角互补得出∠ODE＝90°，由切线的判定定理得出答案；（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠ADB＝90°，再由OF＝1，BF＝2得出OB的值，进而得出AF和BA的值，然后证明△DBF∽△ABD，由相似三角形的性质得比例式，从而求得BD2的值，求算术平方根即可得出BD的值．【解析】（1）连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD，∴∠ADO＝∠DAE，∴OD∥AE，∵DE∥BC，∴∠E＝90°，∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3，∴AF＝4，BA＝6．∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠ADB＝∠DFB，又∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD，∴BD BA=BF BD，∴BD2＝BF•BA＝2×6＝12．∴BD＝23．19.（2019•陕西）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．（1）求证：DC∥AP；（2）求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，根据平行线的性质和判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO，∴DC∥AP；（2）解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴延长AO交DC于点E，则AE⊥DC，OE=12BC，CE=12CD，在Rt△AOP中，OP=62+82=10，由（1）知，△AOP∽△CBD，∴DB OP=BC OA=DC AP，即1210=BC6=DC8，∴BC=365，DC=485，∴OE=185，CE=245，在Rt△AEC中，AC=AE2+CE2==20（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC 是O 的切线：（2）若2,33OA BE OD ==，求DA 的长．【答案】（1）见解析；（2）910【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC 是圆O 的切线；（2）根据已知得到OA=2DA ，证明△DCO ∽△DEB ，得到DO CO DB EB =，可得DA=310EB ，即可求出DA 的长．【详解】解：（1）如图，连接OC ，由题意可知：∠ACB 是直径AB 所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC ，OB 是圆O 的半径，∴OC=OB ，∴∠OCB=∠ABC ，又∵∠DCA=∠ABC ，∴∠DCA=∠OCB ，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC ⊥DC ，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB+===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21.（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，四边形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=︒，CB CD =，连接BD ，以点B 为圆心，BA 长为半径作B ，交BD 于点E ．（1）试判断CD 与B 的位置关系，并说明理由；（2）若AB =，60BCD ∠=︒，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）相切，理由见解析；（2）π-【分析】（1）过点B 作BF ⊥CD ，证明△ABD ≌△FBD ，得到BF=BA ，即可证明CD 与圆B 相切；（2）先证明△BCD 是等边三角形，根据三线合一得到∠ABD=30°，求出AD ，再利用S △ABD -S 扇形ABE 求出阴影部分面积．【详解】解：（1）过点B 作BF ⊥CD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∵CB=CD ，∴∠CBD=∠CDB ，∴∠ADB=∠CDB ，又BD=BD ，∠BAD=∠BFD=90°，∴△ABD ≌△FBD （AAS ），∴BF=BA ，则点F 在圆B 上，∴CD 与圆B 相切；（2）∵∠BCD=60°，CB=CD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠CBD=60°∵BF ⊥CD ，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，∵AB=BF=，∴AD=DF=tan30AB ⋅︒=2，∴阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形ABE=(230122360π⨯⨯⨯-=π-．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，难度不小，解题的关键是正确做出辅助线．22.（2020•上海）如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC 于点D．（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD．③若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∥BC交BD的延长线于E．则AE BC=AD DC=23，推出AO OH=AE BH=43，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解析】（1）证明：连接OA．A∵AB＝AC，=AC ，∴AB∴OA⊥BC，∴∠BAO＝∠CAO，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAO，∴∠BAC＝2∠BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．①若BD＝CB，则∠C＝∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝3∠ABD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DBC＝2∠ABD，∵∠DBC+∠C+∠BDC＝180°，∴8∠ABD＝180°，∴∠C＝3∠ABD＝67.5°．②若CD＝CB，则∠CBD＝∠CDB＝3∠ABD，∴∠C ＝4∠ABD ，∵∠DBC+∠C+∠CDB ＝180°，∴10∠ABD ＝180°，∴∠BCD ＝4∠ABD ＝72°．③若DB ＝DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．综上所述，∠C 的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE ∥BC 交BD 的延长线于E ．则AE BC =AD DC =23，∴AO OH =AE BH =43，设OB ＝OA ＝4a ，OH ＝3a ，∵BH 2＝AB 2﹣AH 2＝OB 2﹣OH 2，∴25﹣49a 2＝16a 2﹣9a 2，∴a 2=2556，∴BH =∴BC ＝2BH =23.（2021·云南中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上异于A 、B 的点，连接AC 、BC ，点D 在BA 的延长线上，且DCA ABC ∠=∠，点E 在DC 的延长线上，且BE DC ⊥．（1）求证：DC是O的切线：（2）若2,33OA BEOD==，求DA的长．【答案】（1）见解析；（2）9 10【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到DO CODB EB=，可得DA=310EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠OCB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC 是圆O 的半径，∴DC 是圆O 的切线；（2）∵23OA OD =，∴23OA OA DA =+，化简得OA=2DA ，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE ⊥DC ，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB ，∴OC ∥BE ，∴△DCO ∽△DEB ，∴DO CO DB EB =，即33255DA OA DA DA DA OA OB DA EB +===++，∴DA=310EB ，∵BE=3，∴DA=310EB=3931010⨯=，经检验：DA=910是分式方程的解，∴DA=910．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．类型三与锐角三角函数有关24.(2022·辽宁省铁岭市)如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过OA上的点P作PD⊥AC，交CB的延长线于点D，交AB于点E，点F为DE的中点，连接BF．(1)求证：BF与⊙O相切；(2)若AP=OP，cosA=45，AP=4，求BF的长．【答案】(1)连接OB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC=90°，从而可得∠ABD=90°，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得BF=EF=12AD，然后利用等腰三角形的性质可得∠FEB=∠FBE，从而可得∠FBE=∠AEP，最后根据垂直定义可得∠EPA=90°，从而可得∠A+∠AEP=90°，再利用等腰三角形的性质可得∠A=∠OBA，从而可得∠OBA+∠FBE= 90°，进而可得∠OBF=90°，即可解答；(2)在Rt△AEP中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出PE的长，然后利用同角的余角相等可得∠AEP=∠C，从而可证△APE∽△DPC，进而利用相似三角形的性质可求出DP的长，最后求出DE的长，即可解答．本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．25.(2022·四川省广安市)如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，延长AB至点C，连接CD ，∠BDC =∠BAD ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线．(2)若tan∠BED =23，AC =9，求⊙O 的半径．【答案】（1）连接OD ，由圆周角定理得出∠ADB =90°，证出OD ⊥CD ，由切线的判定可得出结论；(2)证明△BDC∽△DAC ，由相似三角形的性质得出CD AC =BC CD =BD DA =23，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．26.（2021·山东菏泽市·中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，E 为 BC上一点，F 为弦DC 延长线上一点，连接FE 并延长交直径AB 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点P ，若FE FP =．（1）求证：FE 是O 的切线；（2）若O 的半径为8，3sin 5F =，求BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）=2BG 【分析】（1）连接OE ，证明OE ⊥EF 即可；（2）由3sin 5F =证得4sin 5G =，运用正弦的概念可得结论．【详解】解：（1）证明：连接OE ，如图，∵OA=OE∴∠OAE=∠OEA ．∵EF=PF ，∴∠EPF=∠PEF∵∠APH=∠EPF ，∴∠APH=∠EPF ，∴∠AEF=∠APH ．∵CD ⊥AB ，∴∠AHC=90°．∴∠OAE+∠APH=90°．∴∠OEA+∠AEF=90°∴∠OEF=90°∴OE ⊥EF ．∵OE 是O 的半径∴EF 是圆的切线，（2）∵CD ⊥AB∴FHG ∆是直角三角形∵3sin 5F =∴35GH FG =设3GH x =，则5FG x=由勾股定理得，4FH x=由（1）得，OEG ∆是直角三角形∴4sin 5OE FH x G OG FG x===∴45OE OG =，即45OE OE BG =+∵8OE =∴8485BG =+解得，2BG =【点睛】此题主要考查了圆的切线的判定，勾股定理和解直角三角形等知识，熟练掌握切线的判定是解答此题的关键．27.（2022·黔东南）（1）请在图中作出△ABC 的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；的中点，过点B的（2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是CE切线与AC的延长线交于点D.①求证：BD⊥AD；②若AC=6，tan∠ABC=34，求⊙O的半径.【答案】（1）解：如下图所示（2）解：①如下图所示，连接OC、OB∵BD是⊙O的切线∴OB⊥BD对应的圆周角，∠COE是CE 对应的圆心角∵∠CAE是CE∴∠COE=2∠CAE的中点∵点B是CE∴∠COE=2∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴∠CAE=∠BOE∴AD//OB∴BD⊥AD②如下图所示，连接CE对应的圆周角∵∠ABC与∠AEC是AC∴∠ABC=∠AEC∵AE是⊙O的直径∴∠ACE=90°∴tan∠AEC=AC CE=34∴CE=8∵AE2=CE2+AC2∴AE=10∴⊙O的半径为5.【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；解直角三角形；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）∵△ABC的外接圆⊙O的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到△ABC 的外接圆；【分析】（1）利用尺规作图分别作出AC，AB的垂直平分线，两垂直平分线交于点O，然后以点O为圆心，OB的长为半径画圆即可.（2）①连接OC，OB，利用切线的性质可证得OB⊥BD，利用圆周角定理可证得∠COE=2∠CAE，由点B是弧CE的中点，可推出∠CAE=∠BOE，利用平行线的判定定理可证得AD∥OB，由此可证得结论；②连接CE，利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ABC=∠AEC，利用直径所对的圆周角是直角，可推出∠ACE=90°；再利用解直角三角形求出CE的长，利用勾股定理求出AE的长.28.（2022·鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tanA＝12，求△OCD的面积.【答案】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB+∠OCA=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵∠PCB=∠OAC，∴∠PCB=∠OCA，∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，∴PC与⊙O相切（2）解：∵∠ACB=90°，tanA=12，∴BC AC=12，∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，∴△PBC∽△PCA，∴PC PA=PB PC=BC CA=12，∴PA=8，PB=2，∴AB=6，∴OC=OB=3，∴OP=5，∵BC∥OD，∴△PBC∽△POD，∴PB OP=PC PD，即25=4PD，∴PD=10，∴CD=6，∴S△OCD=12OC⋅CD=9【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由圆周角定理得∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，结合∠PCB=∠OAC得PCB=∠OCA，结合∠OCB+∠OCA=90°可得∠PCO=90°，据此证明；（2）根据三角函数的概念可得BC AC=12，易证△PBC∽△PCA，根据相似三角形的性质可得PA、PB，然后求出AB、OP，证明△PBC∽△POD，根据相似三角形的性质可得PD，由PD-PC=CD可得CD，然后根据三角形的面积公式进行计算.29.（2022·毕节）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F.（1）求证：BF=BD；（2）若CF=1，tan∠EDB=2，求⊙O直径.【答案】（1）证明：连接OE，如下图所示：∵AC为圆O的切线，∴∠AEO=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴OE∥BC，∴∠F=∠DEO，又∵OD=OE，∴∠ODE=∠DEO，∴∠F=∠ODE，∴BD=BF.（2）解：连接BE，如下图所示：由(1)中证明过程可知：∠EDB=∠F，。

专题27 涉及圆的证明与计算问题专题知识点概述圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。

纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。

一、与圆有关的概念1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

定点称为圆心，定长称为半径。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

2．圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆心角的度数等于它所对弧的度数。

3.圆周角：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。

4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

外心到三角形三个顶点的距离相等。

5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

内心是三角形三个角的角平分线的交点。

内心到三角形三边的距离相等。

二、与圆有关的规律1.圆的性质：（1）圆具有旋转不变性；（2）圆具有轴对称性；（3）圆具有中心对称性。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

3．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．7．圆内接四边形的特征①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。

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201７年中考数学专题练习２6《关于圆的计算》【知识归纳】1。

圆的周长为，１°的圆心角所对的弧长为,n°的圆心角所对的弧长为,弧长公式为．2.圆的面积为,1°的圆心角所在的扇形面积为,n°的圆心角所在的扇形面积为S＝×πr２= = ..（其中r为的半径,为的长)；圆锥的全面积:S全3。

圆锥的侧面积公式：Ｓ=rl=S侧＋S底＝πrl+πｒ2.【基础检测】1．（２016·湖北十堰）如图,从一张腰长为6０cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮ＯAB中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为（)A．１０cm B.15cｍＣ.１０cｍD.20ｃm2．(20１６年浙江宁波）如图，圆锥的底面半径r为6ｃm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）Ａ.30πcm2ﻩB．４8πcｍ２C.６０πcm2Ｄ.8０πcm２３。

(2016·四川泸州)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A.B．C． D.4。

（2016·四川资阳）在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，AＣ=２,以点B为圆心，ＢＣ的长为半径作弧,交AB于点D,若点D为AB的中点,则阴影部分的面积是( ）A．2﹣π B．4﹣π C.2﹣π D.π5。