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材料力学第5章-剪力图与弯矩图-807006720

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5章-梁的剪力图与弯矩图

5章-梁的剪力图与弯矩图

第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
TSINGHUA UNIVERSITY
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
TSINGHUA UNIVERSITY
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
TSINGHUA UNIVERSITY
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
TSINGHUA UNIVERSITY
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
总体平衡与局部平衡的概念
刚体平衡概念的扩展和延伸：总体平衡，则其任何 局部也必然是平衡的。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
梁的内力及其与外力的相互关系
TSINGHUA UNIVERSITY
应用截面法可以确定杆件任意横截面上的 内力分量
用假想截面从所要求 的截面处将杆截为两部 分
考察其中任意一部分 的平衡
TSINGHUA UNIVERSITY
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
火车轮轴支撑在铁轨上， 铁轨对车轮的约束，可以看作 铰链支座，因此，火车轮轴可 以简化为两端外伸梁。由于轴 自身重量与车厢以及车厢内装 载的人与货物的重量相比要小 得多，可以忽略不计，因此， 火车轮轴将发生弯曲变形。
第5章 梁的剪力图与弯矩图
工程中的弯曲构件
TSINGHUA UNIVERSITY
屋面梁上的孔为什么开在中间？上、下两边 各开一个半圆孔可以吗？

剪力和弯矩计算

剪力和弯矩计算

力和弯矩分别为
ql 2 / 8
FS max＝ql
第x 1页/共4页
M max＝ql 2 / 2
1
例题5-3
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并 B 画出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBY
M A＝0， MB＝0
FAy＝Fb/l FBy＝Fa/l
2．写出剪力和弯矩方程
x AC
FS x1＝Fb / l 0 x1 a
M x1＝Fbx1 / l 0 x1 a
CB FS x2 ＝ Fa / l a x2 l
M x2 ＝Fal x2 / l a x2 l
3x. 依方程画出剪力图和弯矩图2
第2页/共4页
FAy＝ FBy＝ ql/2
2．写出剪力和弯矩方程
x
ql / 2
FS x＝ql / 2 qx
0 x l
ql 2 / 8
M 3ql2 / 32
3ql2 / 32
Mx＝qlx / 2 qx2 / 2 0 x l
3. 依方程画出剪力图和弯矩
x 图。
4
第4页/共4页
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图
3
第3页/共4页
Байду номын сангаас题5-5
简支梁受均布载荷作用
y
q
A xC
FAY
l
试写出剪力和弯矩方程

《剪力图和弯矩》课件

《剪力图和弯矩》课件

剪力图和弯矩的发展趋势
数值计算方法的改进
随着计算机技术的不断发展，剪力图和弯矩的数值计算方法将更加 精确和高效。
考虑材料非线性的影响
随着对结构性能要求不断提高，需要考虑材料非线性对剪力图和弯 矩的影响。
多物理场耦合分析
将剪力图和弯矩分析与温度场、流体场等其他物理场进行耦合分析 ，以更准确地模拟结构的实际工作状态。
实际工程中的剪力图和弯矩计算
有限元分析
利用有限元方法，可以将复杂的结构离散化为多个小的单元 ，然后计算每个单元的剪力和弯矩。这种方法广泛应用于各 种工程领域。
手工计算
对于一些简单的结构，可以通过手工计算来得到剪力和弯矩 的值。这种方法要求工程师具备扎实的力学基础和计算能力 。
实际工程中的剪力图和弯矩优化
THANKS
感谢观看
《剪力图和弯矩》PPT课件
contents
目录
• 引言 • 剪力图和弯矩的基本概念 • 剪力图和弯矩的绘制方法 • 剪力图和弯矩的应用 • 剪力图和弯矩的实例分析 • 总结与展望
01
引言
课程背景
介绍《剪力图和弯矩》课程在土木工 程学科中的重要地位和作用，强调其 在实际工程中的应用价值。
简要介绍国内外剪力图和弯矩研究的 发展历程和现状，以及当前面临的挑 战和机遇。
剪力图和弯矩分析还可以用于优化结构设计，降低结构重量，提高结构的 经济性和可持续性。
在桥梁工程中的应用
01
桥梁工程中，剪力图和弯矩分析对于确保桥梁的稳定性和安全 性至关重要。
02
通过分析桥梁在不同载荷下的剪力图和弯矩图，可以评估桥梁
的承载能力和使用寿命。
在桥梁设计和施工中，需要充分考虑剪力图和弯矩的影响，采

第5章梁的剪力图与弯矩图 ppt课件

第5章梁的剪力图与弯矩图 ppt课件

FQ/kN
e
1.11 f
1.11
O
0.89 a
0a
O
0.89 b ,c 0.89 d d,e
1.335 b 1.665 c
0.335
x
fx
0
5．确定剪力与弯矩的最 大绝对值 从图中不难得到剪力与弯 矩的绝对值的最大值分别 为
(发生在EF段)
(发生在D、E截面上)
M/kN.m
ppt课件
34
例题2
FRA
ppt课件
13
控制面的概念
外力规律发生变化截面—集中力、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终 点处的横截面。
ppt课件
14
控制面的概念
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两 个端截面称为控制面（control cross-section）。据此，下列截面均可为控 制面：
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
其中任一点作平行于x 轴的直线而得。
ppt课件
39
例题3 A FAy FQ a 9qa/4 O
a
O
M
q
E
4a
B
a FBy
e
qa
c
b 7qa/4
e
81qa2/32
qa2 b,c
D
5．根据微分关系连图线
对于弯矩图：在AB段，因
有均布载荷作用，图形为
ql 二次抛物线。又因为q向 下为负，弯矩图为凸向M
坐标正方向的抛物线。于
第5章
梁的剪力图与弯矩图
2019年10月20日
ppt课件
1
目录

剪力图和弯矩图

剪力图和弯矩图

例题５ 简支梁如图所示,试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关 系作此梁的剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力
FAy1k5N ,FBy1k5N
2. 画FQ图
各控制点处的FQ值如下：
FQA右=FQC左=15kN
FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN
FQD=5kN
F QB左=－15kN
3. 画M图
CB段：
M (x)FAx YMeM lexM e a<x≤l
3.绘出剪力图和弯矩图
• 力偶荷载作用点：剪力图无变化；弯矩图 有突变 荷载逆时针转向,向上突变,突变量等 于荷载的大小 。
• 口诀表述：剪力图 力偶荷载无影响。 弯矩图 力偶荷载有突变。
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
１ 在均布荷载作用段, FQ图是斜直线,倾斜方向与荷载指向相同 2 无荷载作用区段,即q x =0,FQ图为平行x轴的直线。 3 在集中力作用处,FQ图有突变,突变方向与外力一致,且突变的数值等于该 集中力的大小。 4 在集中力偶作用处,其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端,其值为
F 1ql Qmax 2
最大弯矩发生在跨中,它的数值为Mmax
1 ql 2 8
经分析可得出：剪力、弯矩
随荷载变化的规律
无 荷 载 区 段：剪力图水平
线；弯矩图斜直线 剪力为正
斜向下,倾斜量等于此段剪力 图面积 。
集中荷载作用点：剪力图有
Q图 突变 突变方向与荷载方向相 同,突变量等于荷载的大小 ； 弯矩图有尖点 尖点方向与荷
MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－ 10kN×2m=40kN.m

材料力学第5章-剪力图与弯矩图

材料力学第5章-剪力图与弯矩图

第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。

材料力学第五章

材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图

剪力图和弯矩图

剪力图和弯矩图
剪力符号：当截面上的剪力使考虑的脱离体有顺时针转动 趋势时的剪力为正；反之为负。
◆ 横截面上的 弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁段上 的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。外力矩的 正负号规定与弯矩的正负号规定相同。
弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下 半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向 下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。
x1 x2
l
该处弯矩值最大 。
Pb/l
+
-
Pa/l
+
Pab/l
例题：图示为一受均布荷载作用的悬臂梁。试作此梁的剪力图 和弯矩图。
q
x l
q
FS
M x
解: 将梁在任意 x 处用横截面截开, 取左段为研究对象 横截面上有剪力和弯矩 , 假设均为正值
q
x l
q
FS
M x
根据研究对象的平衡条件列剪力方程和弯矩方程
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 括号里的不等式说明对应的内力方程所使用的区段。
FS(x)qx (0xl) M(x)1qx2 (0xl)
2 剪力图为一斜直线
FS (0) 0 FS (l) ql
弯矩图为二次抛物线
M (0) 0 M ( l 2 ) 1 ql 2
8 M ( l ) 1 ql 2
2
q
x l
FS
-
ql2/8
-
l/2
M
x ql
ql2/2
x
F S ,max ql
M max
1 ql 2 2
q
x l
FS
-

剪力图和弯矩图

剪力图和弯矩图

绘剪力图和弯矩图的基本方法：首先分别写出梁 的剪力方程和弯矩方程，然后根据它们作图。
Fs(x)
o
x
o
x
Fs 图的坐标系
M(x) M 图的坐标系
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
例题：图示简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载作用。 试作此梁的剪力图和弯矩图。
FA
2KN.m
FB
10KN//m
B
A
C
0.2m
0.4m
解: 求支座反力
F A 2KN (); F B 6KN ()
FA
A x
2KN.m
FB
10KN//m
B
C
0.2m
0.4m
F A 2KN (); F B 6KN ()
分段列剪力方程和弯矩方程
AC段 :
F S (x) F A 2 (0 x 0.2) M (x) F A x 2x (0 x 0.2)
剪力方程和弯矩方程 ：以梁的左端点为坐标原点，x 轴与梁的 轴线重合, 找出横截面上剪力和弯矩与横截面位置的关系 , 这种 关系称为剪力方程和弯矩方程。
即
Fs = Fs (x )
M = M（x）
剪力图和弯矩图
剪力 : 正值剪力画在 x 轴上侧，负值剪力画在 x 轴下侧。
** 弯矩 : 正值弯矩画在 x 轴的下侧；负值弯矩画在x 轴上侧。
不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起
正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的 外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法。

剪力图和弯矩图

剪力图和弯矩图

梁的剪力方程
V=V (x)
梁的弯矩方程
M=M(x)
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示V (x)和M(x)的图线。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图，简称V图和M图。绘图时一 般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪 力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯 矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
例题1 简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
V x
RA
qx
1 2
ql
qx
(0<x<l)
3、依方程作剪力图和弯矩图
Vmax=
1 ql 2
Mmax 1 ql 2 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
1.求约束反 力 2、分段建立方程 AC段： V
CB段： V
3、依方程而作图
例题3 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪 力图和弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
(kN)
E
3
x=3.1m
3
2.2
(kN·m)
1.41 3.8
FB 3.8
CA和DB段：q=0，V图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， V 图为向下斜直线， M图为下凸抛物线。
2.作剪力图和弯矩图
由剪力图和弯矩图可知：

材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图

材料力学第五章梁的剪力图与弯矩图

29

§5-3
剪力和弯矩及其方程
为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先 建立Oxy坐标系。其中O为坐标原点，x坐 标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左向右， y坐标轴铅垂向上。
30

§5-3
剪力和弯矩及其方程
建立剪力方程和弯矩方程，需要根据梁上的外 力（包括载荷和约束力）作用状况，确定控制 面，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪 力方程和弯矩方程。
FBy
F 0 M 0
y A
FAy FBy 2F
FSE O FAy ME
FBy
F 5F FAy 3 3
分析右段得到：
FBy
O
ME FSE
F
FBy
y
0
FSE FBy 0
M
o
0
3a M E FBy Fa 2
27

§5-3 剪力和弯矩及其方程
F FBy 3
3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，
梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。
4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力
并不作用在纵向对称面内的弯曲。
13
工程实际中的弯曲问题简图
P
P P P
P P P
P
14
平面弯曲
•具有纵向对称面 •外力都作用在此面内 •弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线
M M M
M
弯矩为正
弯矩为负
22
梁的控制面
集中力作用点两侧的截面
集中力偶作用点两侧的截面 集度相同的均布载荷起点和终点截面处
23

材料力学-5-弯矩图与剪力图

材料力学-5-弯矩图与剪力图

从所得到的剪力图和 弯矩图中不难看出:
在集中力作用点两 侧截面上的剪力是不相 等的，而在集中力偶作 用处两侧截面上的弯矩 是不相等的，其差值分 别为集中力与集中力偶 的数值。
例题5
q
A
4a FAy
梁由一个固定铰链支座和一个辊轴支座所
支承，但是梁的一端向外伸出，这种梁称为外 伸梁(overhanging beam)。梁的受力以及各部 分尺寸均示于图中。
工程中的弯曲构件
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
桥式吊车的大梁 可以简化为两端饺支 的简支梁。在起吊重 量(集中力FP)及大梁自 身重量(均布载荷q)的 作用下,大梁将发生弯 曲。
工程中可以看作梁的杆件是很多的:
石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定 成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷 作用下，反应塔将发生弯曲变形。
Nanjing University of Technology
材料力学 课堂教学(5)
2020年8月12日
第5章 梁的弯曲问题(1)－剪力图与弯矩图
杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的 力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线，这种受力与变形形式称为 弯曲（bending）。
主要承受弯曲的杆件称为梁（beam）。
得到梁的剪力方程和弯 矩方程分别为：
M(x)
FQ x＝FRA qx＝ql－qx 0 x 2l
FRA x
M x＝qlx－qx2
0 x 2l
2
这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；弯矩方程是x的 二次函数。
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：
第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在FQx和M-x坐标系中绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图与弯矩图。

梁的内力图剪力图和弯矩图(共16张PPT)

梁的内力图剪力图和弯矩图(共16张PPT)

V Rqx qlqx 作3、此依梁方的程剪x作力剪图力和图弯和矩A弯图矩。图
(0<x<l)
2、判断各段V、M图形状：
快速绘制剪力图和弯矩图
突变大小等于集中荷载的大小。
弯矩图出现转折，转折方向与
3、依方程作剪力图和弯矩图
Vmax= 1 ql 2
Mmax 1 ql 2 8
例2 简支梁受集中荷载作用，如图示，
斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小。V>0时向右下方斜斜，
V<0时向右上方倾斜，V=0时为水平线。
在均布荷载作用的梁段上：剪力图为斜直线，斜率等于荷载 集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。 弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；q>0〔 〕向上凸。 遇到集中荷载：剪力图突变，突变方向与集中荷载方向相同， 突变大小等于集中荷载的大小。弯矩图出现转折，转折方向与 集中力的方向相反。 遇到集中力偶：剪力图不变，弯矩图突变，突变方向由力偶的
弯矩图为二次抛物线，q<0，向下凸起；
V>0时向右下方斜斜，
v
而变化的，如果将x轴建立在梁的轴线上，原点建立在梁
q>0〔 〕向上凸。
q>0〔 〕向上凸。
v 1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
集度，q<0〔 〕向右下方倾斜，反之，向右上方倾斜。
作此梁的剪力图和弯矩图。
作此梁的剪力图和弯矩图。
〔4〕逐段绘制出V和M图即梁的V和M图
极值弯矩：集中力作用截面、集中力偶截面或弯矩为零的截面。
v
利用上述规律：
1、可以检查剪力图和弯矩图是否正确。
2、可以快速的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：
〔1〕将梁正确分段 〔2〕根据各段梁上的荷载情况，判断剪力图和弯矩图的 形状

材料力学课件：剪力图与弯矩图

材料力学课件：剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间 的微分关系
剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一 种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在
FQ－x和M－x坐标系中首先标出剪力方程和
弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩 值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩 方程的类型，绘制出相应的图线，便得到 所需要的剪力图与弯矩图。
ΣMC=0: (M+dM) +q dx ·dx /2 -M- FQ dx=0
剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系的证明
q
y
Mz(x)
O
Mz(x)+d Mz(x)
x
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ =0
FQ
x
dx
FQ +dFQ
ΣMC=0:
(M+dM) +q dx ·dx /2 -M- FQ dx=0
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩
图
剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪 力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的 方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；
建立FQ－x和M－x坐标系，并将控制面上的剪
如果一段梁上作用有均布载荷，即q＝常数，这一段 梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为x的线性函
数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线 。
弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载荷集度q的正负有 关：当q为正(向上)时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正 方向一致，：当q为负(向下)时，抛物线为凸曲线，凸的方向 与M坐标正方向一致。
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当梁上的外力（包括约束力）沿杆的轴线方向发生 突变时，剪力和弯矩的变化规律也将发生变化。
所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用，以 及分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。
q(x) FP2
M1
FP4
M2
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变化的函数 或变化的图线。这表明，如果在两个外力作用点之间的梁 上没有其他外力作用，则这一段梁所有横截面上的剪力和 弯矩可以用同一个数学方程或者同一图线描述。
材料力学
基础篇之五
第5章 梁的剪力图与弯矩图
第5章 剪力图与弯矩图
工程中的梁与梁的力学模型
梁横截面上的内力——剪力和弯矩 描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法 应用力系简化方法确定横截面上的剪力和弯矩 剪力方程和弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 结论与讨论
抛物线
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 FQ
q>0
dFQ dx q0
FQ qx C
x
d2M q >0. 2 dx
x
M
1 M qx 2 Cx D 2
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 FQ
q<0
dFQ dx q0
dM FQ =const. dx
x
M Cx D
M
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
FQ
FQ const.=C
q=0
dFQ dx q0
x
dM FQ =const. dx
M Cx D
M
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
例题 2
A
q
B
l
一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称 为简支梁(simple supported beam)。梁上承受集度为 q的均布载荷作用，梁的长度为l。 试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 剪力图与弯矩图
FQ qx C
x
d2M q <0. 2 dx
x
M
1 M qx 2 Cx D 2
第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
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第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
作用在梁上的平面载荷如果不包含纵向力，这时 梁的横截面上只有剪力 FQ和弯矩 M两种内力分量。 表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图形，分别称 为剪力图（diagram of shearing forces）和弯矩图 （diagram of bending moment）。
外伸端 固定铰支座 辊轴支座 外伸端
C A l2 l1 B l3 D
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
工程中可以看作梁的杆件很多
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型
外伸端
C
固定铰支座
A l2 l1
辊轴支座
B 外伸梁（一端外伸）
第5章 剪力图与弯矩图
0 x 2l
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的 微分关系
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第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
y
q
O
FRA
x
A C B
ql FQ x ＝- +qx 2
l
l
FRB
ql qx 2 M x ＝- x+ 2 2
将FQ(x)对x求一次导数，将M(x)对x求一次和二次导数，得到
第5章 剪力图与弯矩图
剪力方程与弯矩方程
y q O
FRA A B
x
解： 4 ．确定剪力方 程和弯矩方程 对于坐标为 x 的截面，将其 左侧的均布载荷和约束力向 右侧简化，得到该截面上的 剪力方程和弯矩方程：
x
l
FRB
q
M(x)
q
FRA
x
l－x
FQ(x)
FRB
ql ql qx 2 FQ x ＝-FRA qx＝- +qx M x ＝- x+ 2 2 2
第5章 剪力图与弯矩图
q(x)
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
M
M+d M
FQ qdx FQ dFQ 0
M M dM FQ dx qdx
0
C
FQ FQ+ dFQ
dx
dx 0 2
2
略去高阶项，得到
dFQ dx
q
dM FQ dx
d M q 2 dx
FA= FP
A
MO=2FPl F = F FP Q P
B C l
M=-FPl
l
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩 MA=0
A l
MO=2FPl
C l
FP
B
FA= FP M=0 MO=2FPl
A l C l
FP
B
MO=2FPl M=FPl
A l C l
FP
B
FQ= FP
FQ= FP
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
第5章 剪力图与弯矩图
剪力和弯矩的正负号规定
FQ ＋ ○ FQ FQ － ○
FQ
第5章 剪力图与弯矩图
剪力和弯矩的正负号规定
M －
M
+ +
－ M
＋ ○
M － ○
－
+ +
－
第5章 剪力图与弯矩图
梁横截面上的内力——剪力和弯矩
q(x) FP2 M1 FP4
FQ
C
FQ+ dFQ dx
第5章 剪力图与弯矩图
载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系
考察微段的受力与平衡
q(x)
ΣFy=0:
FQ qdx FQ dFQ 0
ΣMC=0:
M
M+d M
C
FQ FQ+ dFQ dx
M M dM FQ dx qdx
dx 0 2
悬臂梁在 B 、 C 两处分别承受集中力 FP 和集中力偶 M ＝ 2FPl 的作用。梁的全长为2l。 试用力系简化方法确定指定截面上的剪力和弯矩。
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的剪力和弯矩
MO=2FPl
MA
A l
FQ F P= FP
B l
MO=2FPl
C l
FP
B
A l
C
M=0
第5章 剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图
剪力图与弯矩图的绘制方法与轴力图和扭矩图 大体相似，但略有差异。主要步骤如下： 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。 应用力系简化的方法确定控制面上的剪力和弯矩数值。 建立FQ - x 和M – x 坐标系，并将控制面上的剪力和弯 矩值标在相应的坐标系中。 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯 矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
架在空中的悬臂梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
架在空中的悬臂梁
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
梁的力学模型（悬臂梁）
固定端 A l 自由端 B
FP
A B
第5章 剪力图与弯矩图
梁的力学模型与工程中梁的模型
dFQ dx
q
dM FQ dx
d2M q 2 dx
根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推知 内力FQ 、M 的变化规律。 例如，如果两个相邻控制面之间作用有均匀分布载荷， 则有 dFQ q const. , FQ qx C 斜直线 dx
dM 1 FQ qx C , M qx 2 Cx D dx 2
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
变化区间——控制面
q(x) FP2 FP4 M2
M1
FP1
FP3
FP5
第5章 剪力图与弯矩图
应用力系简化方法确定梁的 剪力和弯矩
FP2 M1 FQ q ( x) FP4 M2
FP1
FP3
FP5
y
M1 x FP1
M
F ＝0， M＝0
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
变化区间——控制面
根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这 一段杆的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此 ，下列截面均可为控制面：
第5章 剪力图与弯矩图
描述剪力和弯矩沿梁的轴线变化的两种方法
杆件内力变化的一般规律
某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件 上的外力相平衡；
q(x) FP2 M1 FP4 M2
FP1
FP3
FP5
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化.
第5章 剪力图与弯矩图